IAI: Soluo Exerccios -> Pesquisa InformadaIA1 Aula #07-a)
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Exerccio 1- Mapa (simplificado) das estradas Romenas - Use
Pesquisa Sfrega para ir de Arad a Bucareste.Neamt71
Oradea151 99
87
Iasi
92
Zerind75 Arad118
Fagaras Vaslui142 211 97
Sibiu140 80
Rimnicu Vilcea
Hirsova Urziceni98 85 101 86
Timisoara111 146 70 138 75
Pitesti90
LogojMehadia Dobreta
Bucareste Eforie
120
Craiova
Giurgiu
H(n)= distncia em linha recta de cada cidade a Bucareste Arad
366 Bucareste 0 Craiova 160 Dobreta 242 Eforie 161 Fagaras 178
Giurgiu 77 Hirsova 151 Iasi 226 Lugoj 244 Mehadia 241 Neamt 234
Oradea 380 Pitesti 98 Rimnicu Vilcea 193 Sibiu 253 Timisoara 329
Urziceni 80 Vaslui 199 Zerind 374
Arad h=366 Arad sibiu h=253 timisoara h=329 zerind h=374
Pesquisa Sfrega (Exerccio 1)AradH(n)= distncia em linha recta de
cada cidade a Bucareste Arad 366 Bucareste 0 Craiova 160 Dobreta
242 Eforie 161 Fagaras 178 Giurgiu 77 Hirsova 151 Iasi 226 Lugoj
244 Mehadia 241 Neamt 234 Oradea 380 Pitesti 98 Rimnicu Vilcea 193
Sibiu 253 Timisoara 329 Urziceni 80 Vaslui 199 Zerind 374
Sibiu Arad h=366 Fagaras h=178
Timisoara h=329 Zerind h=374 Rimnicu h=193 Sibiu Arad h=366
Sibiu h=253 Fagaras Oradea h=380 Bucareste h=0
Oradea h=380
Arad Timisoara h=329 Zerind h=374 Rimnicu h=193
Exerccio 2- Pesquisa Sfrega
Considere o problema de ir de Iasi at Fagaras. Use a mesma funo
heurstica para calcular o caminho com recurso Pesquisa Sfrega.
Quais as concluses que pode tirar da aplicao do algoritmo.
Exerccio 2 - Pesquisa Sfrega
Considere o problema de ir de Iasi at Fagaras.
H(n) sugere expanso via Neamt que leva a uma no sada Caminho
ptimo ir por Vaslui, Urziceni, Bucareste e Fagaras. Se no existir o
cuidado de evitar estados repetidos a soluo no ser encontrada,
entrando-se em ciclos que oscilam entre Neamt e Iasi.
Exerccio 3- Mapa (simplificado) das estradas Romenas - Use
Pesquisa A* para ir de Arad a Bucareste.Neamt71
Oradea151 99
87
Iasi
92
Zerind75 Arad118
Fagaras Vaslui142 211 97
Sibiu140 80
Rimnicu Vilcea
Hirsova Urziceni98 85 101 86
Timisoara111 146 70 138 75
Pitesti90
LogojMehadia Dobreta
Bucareste Eforie
120
Craiova
H(n)= distncia em linha recta de cada cidade a Bucareste Arad
366 Bucareste 0 Craiova 160 Dobreta 242 Eforie 161 Fagaras 178
Giurgiu 77 Hirsova 151 Iasi 226 Lugoj 244 Mehadia 241 Neamt 234
Oradea 380 Pitesti 98 Rimnicu Vilcea 193 Sibiu 253 Timisoara 329
Urziceni 80 Vaslui 199 Zerind 374
Exerccio 3: A*
arad0+366=366
arad sibiu140+253=393
timisoara118+329= 447
zerind75+374=449
arad sibiu arad280+366= 646
timisoara orad118+329= 447
zerind75+374=449
fag
rimnicu
239+178= 146+380= 526 417
220+193=413
arad sibiu arad280+366= 646
timisoara orad146+380= 526 118+329= 447
zerind75+374=449
fag239+178= 417
rimnicu
craiova366+160= 526
pitesti317+98= 415
sibiu300+253=553
Exerccio 4 - A*
Exerccio 4: Resoluo A*
Exerccio 4: Resoluo A*
Exerccio exame 24/06/2002
Um carteiro tem normalmente uma zona de trabalho bem definida.
Por forma a optimizar o tempo de entrega, os servios centrais
pretendem construir um sistema para elaborar diariamente o percurso
mais curto para a entrega do correio destinado a cada zona. Esse
percurso deve incluir a passagem pelos locais para onde existe
correio, o que pode variar de dia para dia, e o retorno ao ponto de
partida - o centro de distribuio. O processo subjacente baseia-se
numa procura A*. Para determinar qual a heurstica a utilizar,
decidiu-se realizar um estudo, para qual foi requisitada a sua
ajuda. Considerando a zona definida pelo mapa apresentado acima (A
o centro de distribuio e os valores representam as distncias entre
os vrios locais): a) Supondo que existe correio apenas para os
locais D e E, resolva o problema aplicando a procura A* com a
heurstica definida por h1= max (20 x (nmero de locais por percorrer
para os quais existe correio), (distncia mnima do local corrente at
ao ponto de partida)). Para tal, assuma que no se pode passar pelo
mesmo local mais do que duas vezes e que os ns so gerados por ordem
alfabtica segundo o nome do ltimo local que define o caminho. b) A
heurstica h1 admissvel? Justifique. c) Comente a afirmao seguinte:
A heurstica h1 pior do que a heurstica definida por h2 = 20 x
(nmero de locais por percorrer para os quais existe correio).
Resoluo: Expanso A* = Custo Uniforme + pesquisa sfrega.
Estratgia de resoluo: dada o pequeno nmero de ns mas a existncia de
inmeros caminhos com custo diferente, comear a desenhar a rvore de
expanso total incluindo todos os diferentes caminhos que incluam o
n objectivo A passando por D e E. A partir da comear a expanso,
calculando o respectivo custo heurstico. Parar quando encontrar o
caminho de custo mnimo que inclua os dois ns objectivo.A {D(30)
B(55)} D {A(40),B(55),E(70),C(115)} A{D(50),B(55),
B(55),E(70),C(115)} D {B(55), B(55),E(70),E(90),C(115),C(135)} B
{B(55),E(70),E(90),E(100),C(115),C(130),C(135)}
B{A(70),E(70),E(80),E(90),E(100),C(110),C(115),C(130),C(135)} A
{D(60),E(70),B(85),E(80),E(90),E(100),C(110),C(115),C(130),C(135)}
D{E(70),B(85),E(80),E(90),E(100),EIV(100),C(110),C(115),C(130),C(135),CIv(145)}
E
{D(70),B(80),B(85),E(80),E(90),E(100),EIV(100),C(110),C(115),C(130),C(135),
CIv(145)}
D{A(70),B(80),B(85),E(80),E(90),E(100),EIV(100),C(110),C(115),C(130),C(135),
CIv(145)}
A{B(80),B(85),E(80),E(90),E(100),EIV(100),C(110),C(115),C(130),C(135),CIv(145)}
Ns na fila que no sero expandidos. Parar a expanso, foi encontrado
o caminho de custo mnimo! Caminho ptimo: A D E D A = Custo 70Ns
visitados= 11 a saber:
A,D(30),A(40),D(50),B(55),B(55),A(70),D(60),E(70),D(70),A(70)
Exerccio exame 24/06/2002
Exerccio exame 24/06/2002Resoluo: Expanso total em rvore com
custo A* dos caminhos ( Ordem de expanso dos ns 1 a 11). Ns no
numerados no foram expandidos ver expanso anterior!
Avaliao de cada n, h medida que so expandidos. Custo real at ao
n + distncia heurstica do n corrente ao n objectivo A.
Exerccio exame 24/06/2002Resoluo: Clculo de F(n)=G(n)+H(n) para
os ns visitados F(A) = 30+ Max(20*2=40,0)=30+40=70 F(A) = 20+
Max(20*1=20,10)=20+20=40 F(A) = 70+ Max(20*0=0,0)=70+0=70 F(B) =
15+ Max(20*2=40,15)=15+40=55 F(B) = 45+ Max(20*2=40,15)=45+40=85
F(B) = 35+ Max(20*1=20,15)=35+20=55 F(B) = 65+
Max(20*0=0,15)=65+15=80 F(C) = 60+ Max(20*1=20,55)=60+55=115 F(C) =
80+ Max(20*1=20,55)=80+55=135 F(C) = 75+ Max(20*2=40,55)=90+55=130
F(C) = 55+ Max(20*2=40,55)=55+55=110
F(C) = 90+ Max(20*1=20,55)=90+55=145 F(D) = 10+
Max(20*1=20,10)=10+20=30 F(D) = 30+ Max(20*1=20,10)=30+20=50 F(D) =
40+ Max(20*1=20,10)=40+20=60 F(D) = Max(20*0=0,10)=60+10=70 F(E) =
Max(20*1=20,35)=35+35=70 F(E) = Max(20*0=0,35)=55+35=90 F(E) =
Max(20*1=0,35)=65+35=100 F(E) = Max(20*1=20,35)=45+35=80 F(E) =
Max(20*0=0,35)=35+35=100
60+ 35+ 55+ 65+ 45+ 65+
Exerccio exame 24/06/2002a)
A heurstica h1 admissvel? Justifique.
Sim, h1 admissvel. Uma heurstica admissvel no toma valores
superiores ao custo real. Para h1 ser admissvel qualquer das suas
componentes tambm tem que o ser, dado ser definida pelo mximo de
ambas. A distncia mnima entre dois quaisquer locais diferentes do
ponto de partida "A" sempre superior ou igual a 20. Alm disso, uma
soluo tem que incluir a sada de "A" e regresso a "A", percurso que
tem um custo mnimo de 20 (atravs do caminho "AD"). Isto significa
que a primeira componente nunca sobrestima o custo real. A segunda
componente tambm admissvel visto o custo de um qualquer estado at
ao ponto de partida nunca ser inferior distncia mnima respectiva.
b) Comente a afirmao seguinte: A heurstica h1 pior do que a
heurstica definida por h2 = 20 x (nmero de locais por percorrer
para os quais existe correio). A afirmao falsa. Como h1>=h2 e
ambas so admissveis, h1 aproxima-se mais do custo real, logo mais
informada, o que possibilita uma procura mais eficiente
Exerccio exame16/09/2002 2 poca
4 3 2 1 0
X X G S X X 0 1 2 3 4
Considere a seguinte matriz em que os ndices 0 a 4 representam
as coordenadas de cada casa. A casa S(1,2) representa a casa de
partida enquanto que a G(2,3) representa a casa objectivo. As casas
com X so obstculos. A funo seguinte retorna as casas acessveis a
partir dum estado H qualquer e pela ordem indicada:1 4H 2 3
Represente a rvore parcial que conduz do estado corrente (S) ao
estado objectivo (G) usando uma pesquisa do tipo pesquisa sfrega
orientada por uma heurstica do tipo Distncia de Manhattam
d(x1,y1,x2,y2) entre um estado qualquer e o estado objectivo sendo
dx1,y1,x2,y2 = abs(x1x2)+ abs(y1-y2).
Exerccio exame16/09/2002 2 pocaResoluo:
4 3 2 1 0
X X G S X X 0 1 2 3 4
4 3 2 1 0
5 4 3 4 5 0
4 3 X 3 4 1
3 2 X 2 3 2
2 1 0 X X 3
3 2 1 2 3 4
A pesquisa sfrega uma pesquisa do tipo o melhor primeiro em que
f(n)=h(n). Selecciona o n a expandir que parece estar mais prximo
(sfrega) do n objectivo( i.e. o menor valor de f ). no completa e
no admissvel (ver slides das aulas). Se se no tiver cuidado em
evitar ns repetidos a pesquisa pode entrar em ciclos infinitos e no
encontrar a soluo. o caso neste problema! O enunciado nada diz a
este propsito, dando no entanto uma sequncia de expanso dos ns que
obrigatoriamente deveria ser seguida! Por este facto duas respostas
seriam possveis, tendo ambas a mesma cotao: 1 aco: Clculo dos
valores heursticos dos ns h(n): Lembrar que a Distncia de Manhattan
a soma das distncias mnimas horizontais e verticais de cada casa at
casa objectivo. Pode resolverse de forma analtica usando a funo
dada. Por exemplo para a casa (2,0)=> H(n) = abs(x1-x2)+
abs(y1-y2)= abs(2-3)+ abs(0-2)= abs(-1)+ abs(2)= 1+2= 3, sendo que
x1 e y1 so as coordenadas do n corrente e x2 e y2 as coordenadas do
n objectivo.
Exerccio exame16/09/2002 2 poca
4 3 2 1 0
5 4 3 4 5 0
4 3 X 3 4 1
3 2 X 2 3 2
2 1 0 X X 3
3 2 1 2 3 4
4 3 2 1 0
X X G S X X 0 1 2 3 4
1 Soluo No evitando estados repetidos: Assim a expanso a partir
de S e seguindo a ordem indicada seria usando o algoritmo de
pesquisa sfrega a seguinte:
Ao seguir a ordem indicada entraria em ciclo infinito nunca
expandindo o n (1,1) com custo heurstico =3, pelo que nunca
encontraria a soluo.
Exerccio exame16/09/2002 2 poca2Soluo: Evitando ciclos
repetidos: (a no referncia a este facto leva a perder metade da
cotao mesmo que a resposta esteja certa)
4 3 2 1 0
5 4 3 4 5 0
4 3 X 3 4 1
3 2 X 2 3 2
2 1 0 X X 3
3 2 1 2 3 4
4 3 2 1 0
X X G S X X 0 1 2 3 4
Exame 2002 diurnoConsidere o grafo seguinte representando o
espao de estados e operadores dum problema de navegao
Exame 2002 diurnoO custo do caminho indicado pelos valores
representados nos arcos enquanto que uma avaliao heurstica do custo
de cada n em relao ao n objectivo G dado pelos valores indicados
nas caixas. Ao expandir cada n assuma que: Ao colocar na fila, os
ns expandidos ordenam-se por ordem alfabtica (Por ex: ao expandir S
a ordem ser S { A,B}) No gere nenhum n filho que aparea como
antecessor do n corrente na rvore de pesquisa. Qual a ordem de
expanso, o caminho e o respectivo custo at soluo(S>G), usando:
a) Custo uniforme b) A*
Exame 2002 diurnoResoluo: Resoluo: Ordem de expanso: Custo real
mnimo. Em caso de custo igual, expandir por ordem alfabtica. Ns
visitados: Quando se trata do mesmo n por caminhos diferentes
representa-se por: B , B, B, etc. S {B(2),A(3)} B {A(3), C(3),
A(6),E(6)} A {C(3), A(6), D(6),E(6),B(7)} C {H(5), A(6),
D(6),E(6),B(7)} H {A(6), D(6),E(6),B(7)} A {D(6),E(6),B(7),D(9)} D
{E(6),B(7),G(8),D(9),E(9)} E {B(7),F(7),G(8),D(9), D(9),E(9)} B
{F(7),C(8),G(8),D(9), D(9),E(9), E(11)} F {C(8),G(8),D(9),
D(9),E(9), E(11)} C {G(8),D(9), D(9),E(9),H(10),E(11)} G {D(9),
D(9),E(9),H(10),E(11)} Parar expanso dado que foi encontrado o
caminho.Ns na pilha que no sero expandidos!
Exame 2002 diurno
Exame 2002 diurnob) A* Heurstica admissvel dado que em nenhum
caso sobrestima o custo do caminho Clculo F(n)= G(n)+H(n) F(A)=
3+5=8 F(A)=6+5=11 F(A)=8+5=13 F(B)=2+4=6 F(B)=7+4=11 F(B)=4+4=8
F(C)=3+5=8 F(D)=6+2=8 F(D)= 9+2=11 F(E)=6+2=8 F(E)=8+2=10
F(E)=9+2=11 F(E)=8+2=10 F(F)=7+1=8 F(G)=8+0=8 F(H)=5+4=9S
{B(6),A(8)} B {A(8), C(8), E(8), A(11),} A {C(8), D(8),E(8),
A(11),B(11)} C {H(9), B(8), D(8),E(8),A(11),B(11)} H {B(8),
D(8),E(8),A(11),B(11)} B {D(8),E(8),A(11),B(11),A(13)} D
{E(8),G(8),A(11),B(11),E(11),A(13)} E
{F(8),G(8),A(11),B(11),D(11),E(11),A(13)} F
{G(8),E(10),A(11),B(11),D(11),E(11),A(13)} G
{E(10),A(11),B(11),D(11),E(11),A(13)} Ns na pilha que no sero
expandidos!
Exame 2002 diurno
Exame 2002 diurnoc) Admita que para o problema anterior, crimos
duas heursticas admissveis h1 e h2. Suponha que as queremos
combinar por forma a orientar melhor a pesquisa. Quais das 3
combinaes seguintes correspondem a heursticas admissveis, e
porqu?:
Resposta: 1 Admissvel. Se h1 e h2 so admissveis a mdia das duas
tambm o . 2 No admissvel. Se h1 admissvel nunca sobreestima o
caminho at ao n objectivo. O dobro desse valor sobreestimar esse
valor. 3 Admissvel.Se h1 e h2 so admissveis, o mximo da combinao
das duas nunca sobreestimar o custo do caminho.
Exame 2002 diurnod) Qual a melhor forma de combinar a 1 e a 3:
F= max(h1,h2) ou G=(h1+h2)/2. Porqu?
Resposta: Max(h1,h2) ser sempre maior que (h1+h2)/2 ou dito de
outro modo o mximo entre dois valores ser sempre maior que a sua
mdia, pelo que a pesquisa ser sempre mais informada, nunca
sobrestimando o custo do caminho
Exerccio examepoca especial 2002
Um vendedor quer visitar as cidades do mapa sem passar duas
vezes pela mesma cidade (e sem voltar cidade de origem). Resolva
este problema comeando em Lisboa. Utilize a heurstica que diz que o
nmero de quilmetros a percorrer igual ao comprimento mdio dos
caminhos (200 km) vezes o nmero de cidades que falta percorrer. Em
caso de empate entre dois ns, escolha o n cuja ltima cidade esteja
alfabeticamente primeiro. a) use a procura sfrega b) use a A* c)
Compare as solues encontradas por ambos os algoritmos d) Diga se a
funo heurstica admissvel e porqu?
Exerccio examepoca especial 2002
a)
Exerccio examepoca especial 2002
b)
Exerccio examepoca especial 2002Resposta c): Como se pode
observar, a soluo obtida pelo A* de melhor qualidade. O vendedor
apenas teria que percorrer 1300 Km, face aos 1450 Km da soluo
encontrada pela procura sfrega. Este resultado justifica-se porque
o A* considera na sua funo de custo (f) no s o valor heurstico (h)
mas tambm o custo do caminho at ento percorrido (g). Observa-se
tambm que o nmero de ns expandidos pela procura sfrega foi bastante
inferior, ou seja, neste caso este tipo de procura foi mais
eficiente em termos espaciais e temporais. Isto, porque a procura
sfrega apenas se preocupou em caminhar em direco a uma soluo, no
considerando o esforo j realizado (g) para garantir um soluo ptima
comportamento que evitou vrios retrocessos e a consequente expanso
de mais ns. Resposta d): admissvel uma vez que em nenhum caso
sobreestima o custo real do caminho
