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Introdução a limites
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TangenteVelocidadeExercıcios
Limites e derivadas
Levi G. Santos
Universidade de Guarulhos
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TangenteVelocidadeExercıcios
Indice
1 Tangente
2 Velocidade
3 Exercıcios
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TangenteVelocidadeExercıcios
Tangente
Tangens = tocando.
Reta que toca a curva.
Mesma direcao que a curva no ponto de contato.
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TangenteVelocidadeExercıcios
Encontre uma equacao da reta tangente a parabola y = x2 noponto P(1,1)
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TangenteVelocidadeExercıcios
Tangente X secante mPQ = (x2−1)(x−1)
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TangenteVelocidadeExercıcios
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TangenteVelocidadeExercıcios
limQ→P = m
limx→1 = x2−1x−1
limx→1 = x2−(12)x−1
limx→1 = (x+1)(x−1)(x−1)
limx→1 = x + 1limx→1 = x + 1 = 2
y = mx + b1 = 2 ∗ 1 + bb = −1y = 2x− 1
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TangenteVelocidadeExercıcios
Velocidade
Suponha que uma bola seja solta a partir do ponto deobservacao no alto de uma torre, 450 m acima do solo.Encontre a velocidade da bola apos 5 segundos.Dados: s = 4, 9t2
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TangenteVelocidadeExercıcios
mPQ = 4,9(t+h)2−4,9t2
(t+h)−t
limh→0 = 4,9(t+h)2−4,9t2
(t+h)−t
limh→0 = 4,9(t2+2th+h2)−4,9t2
(t+h−t)
limh→0 = 4,9t2+4,9.2th+4,9h2−4,9t2
h
limh→0 = 9,8th+4,9h2
h
limh→0 = h(9,8t+4,9h)h
limh→0 = 9, 8t + 4, 9h
v=9,8t v=9,8*5 v=49m/s
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex1
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex1 a)
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex1 a)
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex1 b)
Usamos os valores de t proximos a P(t=10 e t=20)
−38,8+(−27,8)2 = −33, 3
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex1 c)
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex2
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex2 a)
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex2 b)
Pelos resultados obtidos, e igual a 1
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex2 c)
m=1
P(2,-1) −→ (y − y0) = m(x− x0)
y-(-1)=1(x-2)
y+1=x-2
y=x-2-1
y=x-3
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex3
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex3 a)
y=10t-4,9t2
y(1,5)=10.1,5-4,9(1,5)2
y(1,5)=3,975 m (velocidade instantanea em 1,5 s)
y(1,5+0,5)=10(1,5+0,5)-4,9(1,5+0,5)2
y(2)=10.2-4,9.22
y(2)=20-19,6
y(2)=0,4 m
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex3 a)
y(1,5)=3,975 m
y(2,0)=0,400 m
Vm = ∆S∆t = ∆y
∆t
Vm = 0,4−3,9752−1,5 = −3,6
0,5 = −7, 15m/s
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex3 a)
Vm = ∆S∆t = ∆y
∆t =y(tf )−y(ti)
tf−ti
Vm = y(1,5+a)−y(1,5)(1,5+a)−1,5
lembre-se que y(t) = 10t− 4, 9t2=
{tf = (1, 5 + a)s
ti = 1, 5s
Vm = 10(1,5+a)−4,9(1,5+a)2−y(1,5)(1,5+a)−a
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex3 a)
Vm = 10(1,5+a)−4,9(1,5+a)2−y(1,5)(1,5+a)−a
Vm = 15+10a−4,9(1,52+2.1,5.a+a2)−4a
Vm = 15+10a−4,9.1,52−4,9.3a−4,9a2−4a
Vm = 15+10a−11,025−14,7a−4,9a2−4a
Vm = a(−4,7−4,9a)a
Vm = −4, 7− 4, 9a
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex3 a)
Vm = −4, 7− 4, 9a
Se ∆t = 0, 5s, temos :
Vm = −4, 7− 4, 9.0, 5
Vm = −4, 7− 2, 45
Vm = −7, 15m/s
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex3 a)
y(1,5)=3,975 m e y(2,0)=0,400 m
Vm = ∆S∆t = ∆y
∆t
Vm = 0,4−3,9752−1,5 = −3,6
0,5 = −7, 15m/s
.........................................................
Vm = −4, 7− 4, 9a
Vm = −4, 7− 4, 9.0, 5
Vm = −7, 15m/s
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex4
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex4 a)
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex4 b)
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex5
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TangenteVelocidadeExercıcios
Ex5 b)
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