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3.5 Métodos Iterativos para a Solução de Sistemas Lineares
Seja os Sistema Linear b x A = onde:
A matriz de coeficientes nn×
x vetor de variáveis 1×nb vetor independente
(constantes) 1×n
Idéia Geral dos Métodos Iterativos
Converter o sistema de equações b x A =
em um processo iterativo)( x g xC x
ϕ =+= , onde:
C matriz com dimensões nn× g
vetor com dimensões 1×n
)( xϕ
função de iteração matricia
Esquema Iterativo Proposto
!artindo de uma vetor apro"imação inicia)(o
x , constr#i$se uma seq%&ncia
iterativa de vetores:)(
)()()1(
oo x g xC x ϕ =+=
)( )1()1()'(
x g xC x ϕ =+=
)( )1()1()( −−
=+= k k k
x g xC x ϕ
Forma Geral
)( )()1( k k
x x ϕ =+
s mtodos de soução de sitemas ineares iterativos podem ser
considerados como uma
*eneraização do +todo de teração Linear para a soução de
ra-zes.
Oservação
Se a sequ&ncia de apro"imação)(o
x ,)1(
x ,)'(
x , ......,)(k
x ta que
g C x k
k +=⇒=
∞→α α α
)(im , então α a soução do sistema
b x A = .
!este de Parada
Como em todos os processos iterativos, necessitamos de um
critrios para a parada do processo.
a) +á"imo desvio a/souto:
1
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)1()(
,1
)( ma" −=
−=∆ k i
k
ini
k x x
/) +á"imo desvio reativo:
)(
,1
)()(
ma" k
ini
k
k
R
x=
∆=∆
0esta forma, dada uma precisão ε o
vetor)(k
x será escoido como soução apro"imada
da soução e"ata, se ε
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=
nnn ab
ab
ab
g
5
5
5
'''
111
0ado uma apro"imação inicia)(o
x , o +todo de 6auss$7aco/i consiste em
o/ter uma seq%&ncia)(o
x ,)1(
x ,)'(
x , ......,)(k
x , por meio da reação recursiva:
g xC x k k
+=+ )()1(
/serve que o processo iterativo utiiza somente estimativas da
iteraçãoanterior.
8"empo: 9esover o sistema de equações ineares, peo +todo de
6auss$7aco/i com
soução inicia [ ]T o x :,3:,1;,3)( −= e
toer(=
1
)';(13
1
)(
'
)(
1
)1(
2
)(
2
)(
1
)1(
'
)(
2
)(
'
)1(
1
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
−−=
−−−=
−−=
+
+
+
−=
−−
−−−−
=
13:
=>
13;
3132
13'
=13
=1
131
13'3
g C
Soução para ?@3)1()3()1(
x g xC x ⇒+=
2
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−=
−+
−
−−
−−
−−
=
AB,3
>:,1
A:,3
13:=
>13
;
:,3
:,1
;,3
313
213
'=
13=
1131
13'3
1
1
x
x
Cácuo de)1(
R∆ :
1>'>,3>:,1
2B,3
ma"
2B,3
2B,3AB,3:,3
':,3:,1>:,1
':,3A:,3;,3
)1(
2,1
)1(
)3(
2
)1(
2
)3(
'
)1(
'
)3(
1
)1(
1
===∆
=−=−
=−−=−
=−=−
= i
i
R x
x x
x x
x x
!ara ?@1:
ε >==∆⇒
−= 3:3:,3A>,1
1',3
A::,3
A>,1
A;>,3)'()'(
R x
!ara ?@':
ε >>,1
32'B,3
AAA>B,3A>>>,1
AAAB,3)2()'(
R x
−=
AA>B,3
A>>>,1
AAAB,3
x soução com erro menor que 3,3=.
&ondiç'es Su(i%ientes para a &onver)*n%ia do Método de
Gauss#$a%oi
!eorema
Seja o sistema inear b x A =
e seja:
kk
n
k j j
kj
k a
a
=
∑≠=1
α
Se 1ma",1
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/serve que esta uma condição suficiente, se for satisfeita o
mtodo conver*e, entretantose não for satisfeita nada se pode
afirmar.
8"empo 1:
Seja a matriz do e"empo dado anteriormente:
1',313
)2'(
1B,3=
)11(
12,313
)1'(
132'
1=1
1'13
2
'
1
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1;=,3>
):3(
1::,32
)11(
1>,31
)''(
>:3
121
''=
2
'
1
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)1(
1
)1(
'
)1(
1 ,...,, +
−
++ k
j
k k x x x com as componentes
ainda não atuaizadas da iteração anterior )()(
'
)(
1 ,...,, k
n
k
j
k
j x x x ++ .
)..........(1
)..........(1
)..........(1
)..........(1
)1(
11
)1(
22
)1(
''
)1(
11
)1(
)(
'
)(
B2B
)1(
'2'
)1(
1212
''
)1(
2
)(
'
)(
B'B
)(
2'2
)1(
1'1'
''
)1(
'
)(
1
)(
B1B
)(
212
)(
'1'1
11
)1(
1
+−−
++++
+++
++
+
−−−−=
−−−−−=
−−−−=
−−−−−=
k
nnn
k
n
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
k k k k
k
nn
k k k k
k
nn
k k k k
xa xa xa xaba
x
xa xa xa xaba
x
xa xa xa xaba x
xa xa xa xaba
x
8"empo: 9esover o sistema inear utiizando o +todo terativo de
6auss$Seide, comT o
x G3,3,3H= e toer
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ε >==∆
=∆
=−−−=−=−=−
=−=−
−
=
=
=1A=;,3
3'=,1
'3,3
ma"
ma"
11'=,3)>;=,3(A>;=,3
'3,3;=,3A=,3
3'=,33,13'=,1
A>;=,3
A=,3
3'=,1
)'(
2,1
)'(
2,1)'(
)1(
2
)'(
2
)1(
'
)'(
'
)1(
1
)'(
1
)'(
ii
ii
R
x
x x
x x
x x
x
!ara ?@' e T x GA>;=,3,A=,3,33'=,1H'
−= :
ε ,3
33;=,1
3B1',3
ma"
ma"
311>,3)A>;=,3(AAA2,3
3B1',3A=,3AA1',3
31;=,33'=,13;=,1
AAA2,3
AA1',3
33;=,1
)2(
2,1
)2(
2,1)2(
)'(
2
)2(
2
)'(
'
)2(
'
)'(
1
)2(
1
)2(
ii
ii
R
x
x x
x x
x x
x
−
=
AAA2,3
AA1',3
33;=,1
x soução com erro menor que 3,3=.
>
