AUTOVALORES E AUTOVETORES

Em alguns casos de multiplicação de uma matriz por um vetor, tal produto é igual a o produto de um escalar (λ) por o mesmo vetor. Como exemplo, temos:

[6 34 7] . [34]=[30

40]Assim, é fácil identificar que o resultado do produto da matriz por um vetor fornece um novo vetor, no entanto esse vetor novo é igual a o vetor anterior multiplicado por um escalar, que no caso da questão anterior é 10.

Dada uma matriz A = [a ij], quadrada e não nula, deseja-se encontrar uma solução para a

seguinte equação vetorial:

A . x=λ . x (1)

O problema de encontrar valores de λ e x diferentes de zero e que satisfaçam a equação (1) é chamado de problema de autovalor e de autovetor.

Encontrando Autovalores

Dada uma matriz A = [a11 a12

a21 a22], resolvendo (1), temos que:

[a11 a12

a21 a22] . [x1

x2]= λ .[ x1

x2]

Logo:

a11 . x1+a12 . x2=λ . x1

a21 . x1+a22 . x2=λ . x2

A equação anterior fornece um sistema linear. Passando os valores da direita para a esquerda, a equação fica igualada a zero, tornando um sistema linear homogêneo, que na forma matricial pode ser escrito como:

( A−λI ) . x=0 (2)

Por a regra de Cramer, há uma solução não trivial (x≠0) se o determinante do lado esquerdo de (2) for igual a zero, logo:

Det (A− λI )=|a11−λ a12

a21 a22−λ|=0

Cicero Cezar F. Dantas

Resolvendo o determinante e igualando a zero, podemos encontrar o valor de λ, que é dito autovalor correspondente à matriz A. para determinação dos autovetores, basta apenas realizar o processo inverso com cada autovalor e encontrar o valor do vetor x. Vale ressaltar que para cada autovalor encontrado, tem-se um autovetor.

(A−λI ) é chamada de matriz característica e o determinante da mesma é dito determinante característico.

A transposta de uma matriz quadrada A tem os mesmos autovalores da matriz A.

MATRIZES SIMÉTRICAS, ANTISSIMÉTRICAS E ORTOGONAIS.

Uma matriz real e quadrática A = [a ij] é chamada de:

Simétrica: se sua transposta é igual a A.

AT=A↔aij=a ji

Antissimétrica: se a transposta dá um valor negativo de A

AT=−A↔aij=−a ji

Ortogonal: se a transposta dá uma inversa de A

AT=A−1

Os autovalores de uma matriz simétrica são reais, já os de uma matriz antissimétrica são imaginários ou zero.

Ortonormalidade de vetores coluna e linha

Uma matriz real quadrada é ortogonal se somente se seus vetores coluna (e também suas linhas coluna) de um sistema ortonormal são:

a j . ak=a jT . ak={0 se j≠ k1 se j=k

Determinante de uma matriz ortogonal

O determinante de uma matriz ortogonal tem o valor de +1 ou -1.

Autovalores de uma matriz ortogonal

Os autovalores de uma matriz ortogonal são reais ou complexos em pares conjugados, e devem ter valor absoluto 1.

Cicero Cezar F. Dantas

Cicero Cezar F. Dantas