VALORES PROPIOS (AUTOVALORES)

Y

VECTORES PROPIOS (AUTOVECTORES)

Los vectores propios o autovectores de una matriz A son todoslos vectores xi0, a los que la transformación A convierte encolineales o múltiplos de si mismo, esto es,

, 0i i i iAx x xLas constantes li son losvalores propios o autovaloresde la matriz A.

Autovalores y Autovectores

Para encontrar los autovectores la anterior se escribe como:

0 , 0i i iI A x x

1 ( )0 0 0i

i ii

adj I Ax I A

I A

Como los autovectores son distintos de cero, existe solución si:

det( ) 0i iI A I A

Con esta ecuación se encuentran los autovalores li, y con laprimera ecuación se obtienen los autovectores.

i i i iAx x x

Autovalores y Autovectores

Ejemplo:

los autovalores son l=-2 y l=-4.

1 1 1 2 11 2

2 2 11

2 2

3 1 3 22

1 3 3 12

1x x x x xx x

x x x x xx

3 1

1 3A

2 2

0 3 1 3 1det( )

0 1 3 1 3

( 3) 1 6 8

I A

Reemplazando l=-2 en Ax=lx

1 1 1 2 11 2

2 2 1 2 22

3 1 3 44

3 4

1

3 11

x x x x xx x

x x x x xx

Reemplazando l=-4 en Ax=lx

Con MatlabDevuelve la matriz diagonal D con

los autovalores y la matriz V cuyas

columnas son los autovectores.

1 12-1 12

V

[V,D]=eig(A)

-4 0

0 -2D

Devuelve un vector e con los autovalores.e=eig(A)

P=poly(e) Devuelve el polinomio característico P.

-4

-2e

1 6 8P

Polos, Autovalores y Estabilidad

Un sistema continuo LTI homogéneo (u(t)=0) es marginalmenteestable si tiene uno o más polos distintos en el eje imaginario(jw), y todos los polos restantes tienen parte real negativa.

Vimos anteriormente que la función de transferencia G(s)

de un modelo expresado en el espacio de estados es:

1adj[ ]( )

( ) ( )( )

Cadj[ ]

sI AY sG s C sI A B D C B D

U s sI A

sI AB sI A D

sI A

Polos y Autovalores

y que el denominador de la Función de transferencia|sI-A|=0 es el polinomio característico del sistema.

( ) det[ ] 0P s sI A sI A

Polos, Autovalores y Estabilidad

Luego, las raíces si = li del polinomio característicoson los autovalores de la matriz A, pero tambiénsabemos que las raíces del polinomio característicoson los polos de la función de transferencia.

Autovalores de Polos de ( )A G s

Observaciones del Algebra Lineal

Una matriz A de nxn es definida negativa cuando paratodo vector x se verifica:

0Tx Ax

Si la desigualdad no es estricta ( ) la matriz A essemidefinida negativa.

Obviamente la definición no es operativa porque nopodemos probar con infinitos vectores si cumple ladesigualdad. Existen varias maneras de verificar si unamatriz es semidefinida negativa, la más útil para el cursoes la que está relacionada con los autovalores:

0Tx Ax

Una matriz A es definida negativa si la parte realde sus autovalores son negativas.

Observaciones del Algebra Lineal

Todo lo anterior vale para matrices definidas ysemidefinidas positivas:

0 ó 0T Tx Ax x AxUna matriz A es definida positiva si la parte real de susautovalores son positivas.

0 Matriz definida positiva

0 Matriz semidefinida positiva

0 Matriz definida negativa

0 Matriz semidefinida negativa

A

A

A

A

Para que una matriz sea semidefinida (positiva o negativa)alguno de sus autovalores es nulo.

Símbolos de las matrices definidas

Polos, Autovalores y Estabilidad

Autovalores de Polos de ( )A G s

si la parte real de los autovalores

de A son negativa

Un sistema expresado en variables de estado es

ESTABLE

o s si

A es def

lo que es e

inida negat

q

i

uivale

va (A

nte

<0).

Vimos que:

Si A0 el sistema es marginalmente estable (uno o máspolos distintos en el eje jw).

TRANSFORMACIONES DE SEMEJANZA

Base de un espacio lineal (o espacio vectorial)

1 2

11 2

2x x

xx xU x U

x 1 2

11 2

2z z

zz zU z U

z

Una Transformación de Similitud representa un cambio decoordenadas sin traslación (cambio de base del espaciovectorial).

Significado Geométrico de las Transformaciones de Semejanza

1 2

11 2

2x x

xx xU x U

x 1 2

11 2

2z z

zz zU z U

z

1 1 2

2 1 2

11 21

12 22

z x x

z x x

U t U t U

U t U t U

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 11 21 2 12 22

1 11 2 12 1 21 2 22

( ) ( )

( ) ( )z z x x x x

x x

x z zU z U z t U t U z t U t U

z t z t U z t z t U

11 12 1

21 22 2

t t zx Tz

t t z1z T x

1 2x xcon T U U

Significado Geométrico de las Transformaciones de Semejanza

Transformaciones de Semejanza

Como ya se ha señalado, la elección de variables deestado o realización para un sistema LTI dado noes única. Concretamente podemos tener un sistemacon entrada u(t), salida y(t) y dos elecciones orealizaciones diferentes para el vector de estado:x(t) y z(t)n, con sus matrices asociadas {A,B,C,D}

y {Az,Bz,Cz,Dz} respectivamente. Ambos modelos sedicen similares o equivalentes y están relacionadosentre ellos por una transformación de semejanza osimilitud.

Propiedades Invariantes de las Transformaciones de Semejanza

Una de las propiedades importantes de las transformaciones

de semejanza es que:

● La ecuación característica (polinomio característico).

● Los valores característicos (autovalores).

● Los vectores característicos (autovectores).

● Las funciones de transferencia

Son Invariantes (no cambian, siguen siendo los mismos).

Teorema: Supongamos un sistema cuyo vector de estado esx(t)n con matrices {A,B,C,D}. Si queremos pasar a otrarealización o representación de estado equivalente con vectorde estado z(t)n con matrices {Az,Bz,Cz,Dz}. Entonces se

debe elegir una matriz de transformación T nxn no singular(invertible) que define la relación entre los vectores de

estado x(t) y z(t) :

1( ) ( ) , ( ) ( )x t Tz t z t T x t

Entonces, el modelo de estado para la nueva realización quedadeterminado por las matrices:

1 1, , ,z z z zA T AT B T B C CT D D

Transformaciones de Semejanza

La transformación T es una transformación de semejanza.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Tz t ATz t Bu t

y t CTz t Du t

1 1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zz

z z

BA

C D

z t T AT z t T B u t

y t CT z t D u t

1( )( ) ( )

( )

Y sG s C sI A B D

U s

1 1 1( )( ) ( )

( )

Y sG s CT sI T AT T B D

U s

Función de transferencia paraLa primera realización

Función de transferencia para la segundarealización

VEREMOS QUE LAS DOS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA SON IGUALES

Transformación de semejanza de las ecuaciones de estado

1 1 1( )( ) ( )

( )

Y sG s CT sI T AT T B D

U s

1 1 1( )MN N M

11

1

1 1 1

( )

11 1

1

1 11 1

( ) ( )

( )

T sI T AT

I I

sIsTT

C sI A

G s CT sI T AT T B D

C T sI T AT T B D

C TsIT TT ATT B B DD

Operamos sobre la segunda realización aplicando la propiedadde la inversa del producto de matrices

La función de transferencia es la misma.

Transformación de las ecuaciones de estado

11 1 1( ) ( )G s CT sI T AT T B D C sI A B D

Luego para un sistema LTI existe una función detransferencia e infinitas realizaciones o modelos de estado.

Transformación de las ecuaciones de estado

Recordemos que los autovalores de la matriz A en cadarealización coincide con los polos del sistema. Como la funciónde transferencia es única esto significa que:

LOS AUTOVALORES NO CAMBIAN EN LAS

DISTINTAS REALIZACIONES.

Lógico, todas las realizaciones equivalentes son estables oinestables, no algunas si y otras no.

FORMAS CANÓNICAS

DE LOS MODELOS EN EL

ESPACIO DE ESTADO

Cadj[ ]( )( )( )

( ) ( )G

G

sI ABN sY sG s

U s D s sI A

( )GD s sI A

Recordemos que los polos de G(s) son las raíces del polinomiodenominador.

Para un modelo en el espacio de estados los ceros son lasraíces de:

( ) 0cP s sI A

El denominador de la Función de transferencia igualado a cero|sI-A| = 0 es el polinomio característico del sistema.

Transformaciones de Semejanza

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Como existen infinitas matrices de transformación nosingulares Tnxn existen infinitas realizaciones del sistemaLTI. Algunas de las realizaciones tienen significado físico,otras por su estructura simple se las denomina formascanónicas, otras por su estructura particular tienen nombre.Todas son realizaciones mínimas.

Las realizaciones con nombre más conocidas son:

Formas Canónicas Companion

Forma Canónica de Modal o de Jordan

Forma Canónica Diagonal (caso particular de la de Jordan)

Realizaciones balanceadas

Formas Canónicas Companion

En general, el cálculo del polinomio característico de unamatriz requiere la expansión de |sI-A| = 0. Sin embargo, paraciertas matrices el polinomio característico es evidente. Estasson las matrices en la forma canónica companion.

Las formas Canónicas Companion son:

Formas Canónicas Controlables: Hay varias formascanónicas controlables, FCC1a (variables de fase), FCC1b,FCC2a, FCC2b.

Forma Canónica Observable: Hay varias formas canónicasobservables, FCO1a, FCO1b (es la que devuelve el comandocanon(ss,’companion’) de Matlab), FCO2a, FCO2b.

Representación en las Variables de Fase (FCC1a)

Este tipo de realización la vimos en la clase anterior, es la máscomún. Las variables de estado se asignan de la siguientemanera:

12

1

1 1 0 01

( ) ( ) ( )( ) ( )

n n

nn n

n

d y t d y t dy ta a a y t b u t

dtdt xx

dxt

La salida es: 1( ) ( )x t y t

La forma general de la representación en variables de fase es para una función de transferencia con ceros es:

Formas Canónicas Companion

Representación en Variables de Fase (FCC1a)

1 1

2 2

1 1

0 1 2 1

( ) 0 1 0 0 ( )

( ) 0 0 0 0 ( )

( ) 0 0 0 1 ( )

( ) ( )

( ) (

n n

n n n n

x t x t

x t x t

x t x t

x t a a a a x t

Ax t x

1 0

2 0

1 0

0

0 0

0 ( )

0 ( )

( )

0 ( )

1 ( )

) ( )

,

n

n

x t

x t

u t

x t

x t

Bt x t x

1

2

0 1 2 1

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n n

n

n

x t

x t

y t b b b b

x tCx t

x t

22 1 0

3 22 1 0

( ) ( )s b s b

Y s Us a s a s a

bs

1 1

2 2

3 0 1 2 3

1

0 1 2 2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) ( ) 1

( )

( ) ( )

( )

x t x t

x t x t u t

x t a a a x t

x t

y t b b b x t

x t

Las cuatro formas Companion (FCC1, FCC2, FCO1, FCO2)

Surgen de la Descomposición Directa de las funciones de transferencia

cuyos polinomios no estén factorizados (deben estar en el formato tf, no

en el formato zpk).

3 23 2 1 03 2

2 1 0

( )b s b s b s b

G ss a s a s a

En general, el cálculo del polinomio característico de una matriz requiere

la expansión de |lI-A|. Sin embargo, para ciertas matrices el polinomio

caracter´ıstico es evidente. Estas son las matrices en la forma companion,

(La hemos visto como variables de fase)

Este tipo de realización es la que vimos anteriormente comovariables de fase. Se utiliza para el caso de una entrada (lonormal en este curso).

Forma Canónica Controlable 1 (FCC1 o variables de fase)

Forma Canónica Controlable 2 (FCC2)

3 23 2 1 03 2

2 1 0

( )b s b s b s b

G ss a s a s a

2 1 0

2 2

2 2 2 3 1 1 3 0 0 3 2 3

1

1 0 0 , 0

0 1 0 0

,

cc cc

cc cc

a a a

A B

C b a b b a b b a b D b

Forma Canónica Observable 1 (FCO1)

3 23 2 1 03 2

2 1 0

( )b s b s b s b

G ss a s a s a

Forma Canónica Observable 2 (FCO2)

2 2 2 3

2 1 2 1 1 3

0 0 0 3

2 2 3

1 0

0 1 ,

0 0

1 0 0 ,

co co

co co

a b a b

A a B b a b

a b a b

C D b

Forma Canónica Modal o de Jordan

Este tipo de realización trata de diagonalizar la matriz A lomás posible (en bloques). Si se puede diagonalizar la matriz Atodas las variables de estado están desacopladas. Existentres casos:

a) Todos los autovalores son reales y distintos (este es el

único caso en que la matriz A puede diagonalizarse).

b) Existen autovalores complejos conjugados.

c) Existen autovalores reales y múltiples (repetidos).

a) Todos los autovalores son reales y distintos

Forma Canónica Diagonal Este tipo de realización solo esposible cuando todos losautovalores son reales ydistintos ya que de lo contrariono es posible diagonalizar unamatriz.

b) Autovalores complejos conjugados

1 2 3,4 1 1 5,6 2 2, , ,j j

c) Autovalores reales y múltiples (repetidos).

c) Autovalores reales y múltiples (repetidos).

Forma Canónica Modal o de Jordan con Matlab

1) El comando canon de Matlab con la opción modal

devuelve la forma canónica de Jordan.

G=zpk([],[-1+2i -1-2i -2 -2 -2 -3 -4],480);

sys = canon(G,'modal')

-2 2 0 0 0 0 0

0 -2 2 0 0 0 0

0 0 -2 0 0 0 0

0 0 0 -1 2 0 0

0 0 0 -2 -1 0 0

0 0 0 0 0 -3 0

0 0 0 0 0 0 -4

A

14.21

-7.04

3.2

-1.307

0.2614

19.18

5.864

B

3.75 0 0 -1.554 0.2825 -3.128 0.787C

Ejemplo

Forma Canónica Modal o de Jordan con Matlab

2) El comando jordan del symbolic toolbox de

Matlab devuelve la forma canónica de Jordan.

Jordan puede computar numéricamente, pero se debe

computar en simbólico. Numéricamente es un

algoritmo terriblemente mal condicionado.

% jordan Jordan Canonical Form.

% jordan(A) computes the Jordan Canonical/Normal Form of

% the matrix A.

% The matrix must be known exactly, so its elements must

% be integers or ratios of small integers. Any errors in

% the input matrix may completely change its JCF.

Formas Canónicas de los Modelos de Estado

Realizaciones Balanceadas

Las veremos mas adelante.