Afleveringsopgave10-13.besvarelse

Se andre afleveringsopgaver og besvarelser i afleveringsmappen: http://bjarneh.dk/matA/afleveringsopgaver

Afleveringsopgave10(Repetion, Integralregning). Besvarelsen

Opg2. Monotoniforhold,beregn tangent for graf i bestemt punktsom sædvanligt er fed skrift G kommandoer, her til input-felt

f(x)=1/3x^3 -1/2*x^2 -6x [ i input, i CAS skrives med semikolon f(x):=…

fm(x)=Afledede[f] -> x^(2) - x - 6 er f’=f-mærke, det er derfor jeg bruger betegnelsen fm

Ligningen for tangenten t i P=(-3,f(-3)) =(-3, 4.5) , med ’ankerpunkt’ xo=-3, sådan:

Hurtige metode, til eksamen, t:Tangent[P, f] : y=6x +22.5, bedre dog med:

Beregningsmetoden(som også er hurtig): t2:y=fm(-3)*(x- -3)+f(-3)

Bruger formel: y=a*(x-xo)+f(xo), idet a=f’(xo) er tangentens hældningstal

Monotoni-skema [vi skal kun bruge nulpunkter for fm=f’, hvor fm=0], bemærk jeg selvfølgelig henviser til figuren]

Skæring[fm,0 ] [finder de x, hvor fm(x)=0 ->A=(-2,0) , B=(3,0)

x -2, i A 3, i B

f’ + 0 - 0 +

f ↗ C ↘ D ↗

for x<-2 er tangents hældningstal= f’>0 -> men så ’går tangenten og grafen opad’ -> f-værdierne vokser!, er voksende

C=(-2,f(-2)) =(-2,7.3333) =lokalt max , D=(3, f(3)) =(3,-13.5)=lokalt min, ingen af disse er globale, Vm[f]=R=hele R, alle værdier

Husk G-figur, hvor du viser vigtige størrelser, skær til så du kan zoome ind på vigtige forhold, viser ikke CAS, bruger jo ikke CAS her

Opg3. skæringspunkt mellem linje og parabel; ortogonale linjer

orange tekst er mine kommentarer til jer, skal ikke medtages i en besvarelse

f(x)=-x^2 +8x -7 sammenlignes med generelle udtryk: f(x)=ax^2+bx+c, man ser at a=’-’= -1 ! , b=8,

c= -7,

Tx=-b/2a=-8/(2*-1)=8/2=4 er T’s x, Ty=f(4) -> 9 [ standardmetoden: når x kendes, skal talværdien for x indsættes på x’s plads i forskiften, det er det G gør, når man skriver f(4) ]

T= Ekstremum[f] =(4,9) , ok!

l:y=x+3

Skæring[f, l] ->A,B G beregner vha skjult nsolve[{f,l}], lidt overflødig bemærkning -husk tjek at A=(2,5) som du får oplyst, brug altid oplysninger som tjek-punkter, ok her!

[ *Beregn selv: f(x)=l [generel metode, sæt forskrifter lig hinanden -x^2+8x-7 = x+3 -x^2+7x-10=0 [2.gradsligning

Tangentberegning vha Geogebra:Hurtige tangentberegning: t=Tangent[A, f] -> y=4x-3 , A er jo røringspunktet

Manual tangent-beregning, vha y=f’(xo)(x-xo)+f(xo)Manuelle, nem: f’(x)=-2x+8, t2: y=f’(2)(x-2)+5=4*(x-2)+5=4x-8+5=4x-3 [kaldes her t2 , Ax=2

har jo at f(2)=Ay=5, f’(2) =-2*2+8=4

Bevis/vis at to linjer er vinkelrette: produkt af de to hældningstal skal være -1c) den hurtige: m=Linje[T, B] -> y=-x+13 , har hældningstal am=-1,[kan også bruge am=(y2-y1)/(x2-x1)

al=1 er hældningstal for l, der gælder am* al=-1*1=-1 -> så (m,l) er ortogonale!

g=Linjestykke[A, B ] vælges som grundlinjen i trekant,

h=Linjestykke[T, B] er så højden pga ortogonalitet(l,m), nævn det! Så:

Areal=0.5*g*h =3

Tr=Polygon[T, A, B] laver trekanten, man ser at siderne passer og arealet er 3, brug kun som kontrol. Det trækker ned, i det mindste i helhedsbedømmelsen, hvis du ikke beregner arealet selv.

Få nu lavet godt skærmdump hvor du viser de vigtige størrelser:

Opg4a. Trekants-opgave, beregning både på papir og med WordMatBrug gerne egne beregninger først, se de 4 cases, http://bjarneh.dk/matC/Oversigt/vilkaarlig-trekant.html#4-cases-for-trekant

Så du får træning til mundtlig eksamen.

Bagefter brug wordmat, som er hurtig til eksamen

Opg4a

a=8, c=6, trekanten er ikke retvinklet

Case: vinkel+2 hosliggende sider kendt ->cos-rel: b^2=a^2+c^2-2*a*c*cos(B)= 8^2+6^2-2*8*6*cos(93)= 105.0242517993 -> |AC|=b=105.02^0.5=10.2 a -> sin(A)=sin(93)/10.2*8= 0.7832388507 -> A= arcsin(0.7832)/°=51.6’

C=180-51.6-93=35.4°

C1=35.4/2 =17.7°’

D1=180-17.7-93=69.3°

Sin-rel bruges: |BD|/sin(C1)=|BC|/sin(D1) -> |BD|=8/sin(69.3°)*sin(17.7°) =2.60 ,

alt ser ok ud på figur

A

B

C

a

b

c

med wordmat, gør sådan

vælg vis mellemregninger i Word, fravælg vis tal, Se skærmdump af wordmat-panel nedenfor

WordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 93° , a = 8 , c = 6 -angiv tydeligt input-værdierMarker svar på spørgsmål, og den/de relevante beregninger!, vist med rød her

A = 51,22031°B = 93°C = 35,77969°

a = 8b = 10,24813c = 6

Længden af siden b findes vha. en cosinusrelationb=√a2+c2−2 · a·c·cos ( B )=√82+62−2 ·8 · 6 · cos (93 ° )=10,24813

Vinkel A findes vha. en cosinusrelation

A=co s−1( b2+c2−a2

2 · b·c )=cos−1( 10,248132+62−82

2 ·10,24813 · 6 )=51,22031°

Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekantC=180 °−A−B=180 °−51,22031°−93 °=35,77969 °

Brug opgavens vinkel og side -betegnelser, klik fx på A og omdøb til DMarker svar på spørgsmål, og den/de relevante beregninger!, vist med rød herWordMat's trekantsløser anvendes med input: B = 93° , C = 17° , d = 8

D

B

C

d

b

c

D = 70°B = 93°C = 17°

d = 8b = 8,501755c = 2,489084

Vinkel D findes vha. vinkelsum = 180° i en trekantD=180 °−B−C=180 °−93 °−17 °=70 °

Længden af siderne b og c findes vha. sinusrelationerne

b=d· sin (B )sin ( D )

=8· sin (93° )sin (70° )

=8,501755

c=d· sin (C )sin ( D )

=8 · sin (17 ° )sin (70 ° )

=2,489084

opg4b.bro-opgave: brokabellængder(x)=ax^2+bx+c,længde af parabelbue

Nukkakas gode besvarelse, mine supplerende forklaringer med rød

A) Punkt P er den længde fra vejbanen til bærekabel (3,26), y-værdien, fint

B) Mindst afstand fra bærekablet til vejbanen er f(33)=0,0069*332-0,45*33+9,5= 2.165 husk beregn!, i A, få nævnt det

C) Kommenter gerne at du finder ekstremum til 32.6, afvigelse fra 33 skyldes at f(x) er et afrundet udtryk, nævn gerne det!

D) Længden af bærekablet i modellen er 68,21, fint. Jeg ville tilføje at den vandrette afstand er 66m,

buen er en smule længere, det virker ok! Tænk altid over, hvordan du kan tjekke beregninger!

God figur, du viser de vigtige punkter og dine beregninger i CAS, god besvarelse!

Afleveringsopgave11(integralregning,omdrejningslegemer;repetition)

Opg1. areal under graf, rumfang af omdrejningslegme

Opg2. areal mellem graf og x-aksen, rumfang af omdrejningslegmeOmdrejningslegeme-rumfang, V=π*∫ f(x)^2dx fra a til b

Opg3. areal mellem to grafer, skæringspunkt for grafer bestemmer integral-grænserNukaPeters

Først sætter jeg funktionerne i input-feltet: f (x) = x2 g (x) = 2x

Nu skal jeg finde skæringspunkterne for de to funktioner, ved at trykke på Punkt og trykke på skæringspunkter.

A = (-0,7667, 0,5878) og B = (1,9208, 3,7863) -B er upræcis Jeg skal bruge x-værdier for at finde arealet.

Jeg indsætter formlen i input-feltet: Intregal[f, g, -0.7667, 1,9208] vist integralMellem[ ]

Så kommer resultatet, som er Areal = 2,1021 ok, her er forklaringer i fornuftigt omfang!

Men regn også vha stamfunktionen F, for at få træningen

h(x)=2x-x2

Opg4. Lineær, linje- (regressions-) model for datasæt

NukaPeters

x er altid årstal, vælg x=antal år efter startåret brug f(x)=fitLinje[liste]

a) a= 36,7 og b= 303,4 , opskriv altid forskrift, skriv G beregner f(x)=36.7x+303.4 heraf a=, b=b) Først: x=2012-2007=5, så y=36,7 * 5 + 303,4 = 486,9 ≈ 487 elever, skriv hvad størrelsen er!c) Forskellen er; 575-487 = 88 -kommenter: modellen er ikke god, der er sikkert været initiativer fra

politisk side, der har øget søgningen til GUX

Opg5.cirklens ligning,skæringspunkt mellem cirkel og linjeNukaPeters

a) Først laver jeg cirklen; c:(x-2)2 + (y-1)2 = 25Og derefter sætte punkterne A og B; A = (2, 6) og B = (6, -2)! Vis at B er på cirklen: (6,-2) indsat i c:(6-2)2 + (-2-1)2 = 25 <-> 4^2+3^2=25 <-> 16+9=25 -> c: opfyldt ok, så B er på cirklen!, det er ikke nok man kan se det på figuren!

Nu kan jeg finde afstanden mellem A og B, ved at trykke på Linjestykke og trykke på punkterne.Afstanden = 8,9443 ok

b) Før jeg finder vinklen v, laver jeg først centralen af cirkel, som er; C = (2, 1)Og nu kan jeg finde vinklen ved at trykke på Vinkel og trykke på B, C og A, så kommer vinklen, som er; v = 126,8699o ok, men

for at træne, brug også trekants-beregning selv: cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)= (5^2+5^2-8.9443^2)/(2*5*5)=-0.6000 -> C=arccos(.) =126.9’

For at finde h, bruger jeg formlen; h = r * (1 - cos(v/2)) = 5 * (1 - cos(126,8699/2)) = 2,7639, ok

Opg6.indtastning af kompliceret funktions-forskrift i G, aflæs/beregn værdier på graf

NukaPeters kommentarer

x-værdien viser tiden og y-værdien viser vægten af hunkalkunen, godt du skriver det

a) På tidspunktet 21,9242 ≈ 22 uge, vejer kalkunen 3000 g og pkt mere!b) På tidspunktet 35,4255 uge, vejer kalkunen højst på 3417,9233 g , forklar: fundet som

ekstremum() brug gerne mm =afledede[m] og B som skæring[mm,0]

Opg7.opgaver uden hjælpemidlerfra NukaPeter

Opg. 7 a) Tallet 462 viser startpunktet af funktionen. Funktionen er aftagende pga. tallet 0,92. vækstrate=a-1=-0.08=-8% årligt

Opg. 2 a) fra NukaPeters

Får ikke vist tydeligt nok at der er vandret tangent i x=4, som f’(4)=0 jo betyder(tegn vandret tangent-linje i grafpunktet for x=4), ellers fint at du viser -9 ikke er med, 7 er med som x, og Vm er ok!

Til alle:

Start altid med at tegne Dm og Vm inde på x og y-akserne, så ved du at du skal holde dig indenfor dette område!

Afleveringsopg12(differential-ligninger, repetition)Opg1.løs differentialligning, så graf går gennem bestemt punktOpg1. 28.19c(bestem c så graf går gennem P=(1,2), d)graf gennem Q(-1,1)

Isoler y’ og brug så BeregnODE[ y’ -udtrykket ] eller bedre hele ligningen: BeregnODE[ ligningen ]

Løs ligningen vha Geogebra BeregnODE[ differential-ligningen]y’+2*x*y-x=0 <-> y’= -2*x*y +x, man kan heldigvis skrive: BeregnODE[ y'=-2*x*y +x ] ->

y = (c_2 * ℯ^((-x^(2)))) + 1 / 2 eller bedre højreklik og kopi udtryk som billede ->

skal graf gennem P, så gør fc(x):= BeregnODE[ y'=-2*x*y +x ] ,

skriv gerne i besvarelse noget henad:

”krav: fc(1)=2 -> nsolve( fc(1)=2 ) -> {c_4 = 4.077422742689} ”

så f(x):= 4.0774* ℯ^((-x^(2))) + 1 / 2

graf går gennem P, ok!

Lav Geogebra-graf og tjek at løsningen faktisk går gennem punktet!

y’-2x*y-exp(x^2) <-> y’=2x*y+ exp(x^2)

BeregnODE[ 2x*y+ exp(x^2) ] eller bedre: BeregnODE[ y'=2x*y+ exp(x^2) ] ->

Opg3. differentialligningen N’=-k*N, løsning går gennem bestemt punktFra Nuka Peter

Kommenter lidt: b=26156 er startantallet

Forklar lidt: 2015: x=2015-2008=7, så y=f(7), ca 9816

Fint du beregner a, bemærk så gerne at vækstrate=a-1=-15%, aftager 15% årligt!(det er klart det ikke er holdbart for populationen! Jagtrestriktioner nødvendige!)

Jeg ville også lave skæring[f, 26156/2] til T½

Opg6.Tjek at bestemt funktion f(x) er løsning til en differential-ligningf(x)=2x2-4x+7

f’(x)=2*2x -4 +0=4x-4

f(x) -2x2-3 = 2x2-4x+7 -2x2-3 = -4x+4 -ikke f’(x), så ligningen er ikke opfyldt, f er ikke løsning!

opg7. Logistisk vækst, løsning til differential-ligningen y’=a*(M-y)

pop i 2010: x=2010-1980=30 -> y=g(30)=25000 bruges som krav

nsolve( gc(30)=25000 ) -> konstanten {c_1 = (-43297795.89971)}

B=Ekstremum[gm, 30, 38] -> (32,13738) er stedet for væksthastighed=gm=g’ er max

C=(32,g(32)) -> (32,500009) er punktet på grafen, og det er hvor y har nået værdien max/2=50000, fint!

Opg8. Grupperet statistik(data er decimaltal, de samles i intervaller=grupper)

Opg9. trekantsopgave, løst vha wordmatLav også på papir før wordmat! for træningens skyld, du skal træne at se hvilket af 4 cases du har,

Så kan du spare tid til eksamen med WordMat!

hvis I bruger WordMat, så gør sådan

brug opg betegnelser, marker svar på ? fx med rød eller fed, Sådanse http://bjarneh.dk/matC/Oversigt/vilkaarlig-trekant.html#Trekants-beregning-med-WordMat WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 50° , C = 78° , b = 15 <- vigtigt at få udskrevet inputtet!

A

B

C

a

b

c

A

D1

C

a

d1

c

Fjern gerne beregninger du ikke skal bruge, her a

A = 50°B = 52°C = 78°

a = 14,58187b = 15|AB|=c = 18,61931

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekantB=180 °−A−C=180 °−50°−78 °=52 °

Længden af siderne a og c findes vha. sinusrelationerne

c=b· sin (C )sin ( B )

=15 · sin (78 ° )sin (52 ° )

=18,61931

D1=180-25-78=77 er <ADC

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 25° , D1 = 77° , C = 78° , d1 = 15

A = 25°D1 = 77°C = 78°

a = 6,506023d1 = 15|AD|=c = 15,05815

Længden af siderne a og c findes vha. sinusrelationerne,

a=d 1· sin ( A )sin ( D 1 )

=15 · sin (25 ° )sin (77 ° )

=6,506023

c=d 1 · sin (C )sin ( D 1 )

=15 · sin (78 ° )sin (77 ° )

=15,05815

Opg10. find forskrift for parabel der har bestemt linje som tangentP1=A=(-5,1) og P2=B=(3,5)

l: al=(y2-y1)/(x2-x1)= (5-1)/(3- -5)=4/8=0.5,

b=y1-a*x1=1-0.5*(-5)=1+2.5=3.5

y=0.5x+3.5

eller simpelt

l:fitLinje[A,B]

f(x)=ax2+c -> at=f’(x)=2ax+0=2ax er hældningstallet for tangent t i x=x

i x= -1 er l tangent, så hældningstallet at=f’(-1)=2a(-1)= -2a = al <-> -2a=0.5 <-> a=0.5/-2=-0.25 , nu ved vi

f(x)= -0.25x2+c

f(-1)=3 da P er røringspunkt -> f(-1)= -0.25(-1)2+c= -0.,25+c=3 <-> c=3.25,

f(x)= -0.25x2+3.25

P=(-1,3)

Tangent[P, f] -> identisk med l, ok

Opg11. Lineær, linje-model (regressions)-fitmodel til datasætliste1={(66, 1150), (87, 2045), (115, 2195), (136, 2575), (148, 3075)} skriv liste1 i CAS, så kan du højreklik for kopiering af strengen ind i dok

f(x)=FitLinje[liste1] -> y=20.1x -12.9 med a=20.1=ændringen per x: prisen vokser 20100kr/m^2 få skrevet det! , b=-12.9 er værdien når x=0, uden hus, man får faktisk penge, 12900kr, for at købe en grund(mærkeligt, burde være positiv. Men sammenhængen er ikke overbevisende, vi har få data, som ligger ret spredt omkring linjen)

Grafen viser at punkterne faktisk er ret spredt omkring linjen, og det understøttes af

Rkvd=Rkvadreret[liste1, f] ->0.92 =R2, en del under 1.0 [ R2=1.0 svarer til at punkterne er perfekt på model-grafen ]

Pris for 160m^2 hus: her har vi x=160 så y=f(160)= 20.1*160 -12.9=3203.1=3.2 mio kr

P=(160,f(160)) -> laver punkt på grafen

Husstørrelse for 1.5mio: her skal vi finde x, så y=1500, altså har vi kravet, som giver en ligning

( f(x)= ) 20.1x -12.9=1500 <=> 20.1x =1500 +12.9=1512.9 <=> x= 1512.9/20.1=75.3 m^2

Q=Skæring[f, 1500] _> laver punkt for y=1500

Opg12. Ugrupperet statistik(data er hele tal, de samles ikke i grupper=intervaller)Ugrupperet stat, få tegnet pindediagram, boksplot i a),

beregn middelværdien

F-grafen kaldes også et trappediagram(jeg bruger normalt XY-punktdiagram, manuelt forbinder jeg punkterne med vandrette streger i Paint, brug ikke tid på det til eksamen!

En elev har god besvarelse:

I trappediagram kan man se at 25% er 7, 50% eller median er 8 og 75% er 9.

I pindediagram ser vi antal af besøgs hyppigheder. Som der stå, at 20 dage der havde 8 besøg. Og den mindste er i 5 dage med 11 besøg. Fint at du kommenterer og ikke nøjes med wordmat-stat

I Boksplot viser fra 25% til 50 % er 7-8 og fra 50% til 75% er 8-9.

Her kan man nævne at boksplot i sig selv er lidt farligt at konkludere ud fra: bloksplottet viser median=8, heraf fortolker man at 50%>8, men faktisk er det kun 100-69%=31%(det problem har man ikke med grupperet statistik!)

Nævn beregnet til 8.05, skitser metoden: sum{x*f}= 6*0.15+7*0.23+..

Afleveringsopgave13(eksamensspørgsmål)Se mundtlig eksamensspørgsmål om statistik, lav evt. udkast til eksamen, du kan fx bruge noget af disse 2 opgaver(så har du gennemregnet opgaver før eksamen, viser og forklare grafer, skitser nogle af beregninger, fremgangsmåde( Evt kan du bruge WordMat-Stat, men så skal du skitsere hvordan man laver fx F-kurven på papir, finder kvartilsættet).

Husk du kun har godt 25min!

Opg1. indkomstfordelingen på Grønland sammenlignet med DK; gruppereta) Tegn histogram, sumkurven, bestem kvartilsættet, tegn boksplot

b) Hvilken %del tjener mindre end 200000kr

c) Hvilken %del tjener mere end 500000kr

d) sammenlign indkomstfordelingen i Grønland med DK,

se fx på spredningen=75%-25% kvartilen=længden af boksen i boksplottet, Jeg gætter på mindre spredning i DK, fordi indkomstforskellene vist er større her end i DK

e) evt. kan du forsøge at beregne Geni-koefficienten for Grønland, se http://bjarneh.dk/matC/Statistik/indkomstfordeling.docx

Andel personer fordelt på indkomstintervaller efter tid, indkomstinterval, indkomsttype og opgørelsestype

http://www.stat.gl/dialog/topmain.asp?lang=da&subject=Income&sc=IN   Andel

2015  Højest 50.000 kr.  Bruttoindkomst 14,5

50.001 - 100.000 kr.  Bruttoindkomst 15,8

100.001 - 150.000 kr.  Bruttoindkomst 17,4

Andel personer fordelt på indkomstintervaller efter tid, indkomstinterval, indkomsttype og opgørelsestype

http://www.stat.gl/dialog/topmain.asp?lang=da&subject=Income&sc=IN   Andel

150.001 - 200.000 kr.  Bruttoindkomst 9,9

200.001 - 250.000 kr.  Bruttoindkomst 9,4

250.001 - 300.000 kr.  Bruttoindkomst 6,7

300.001 - 350.000 kr.  Bruttoindkomst 6,1

350.001 - 400.000 kr.  Bruttoindkomst 5,2

400.001 - 500.000 kr.  Bruttoindkomst 6,5

500.001 - 600.000 kr.  Bruttoindkomst 3,2

600.001 - 700.000 kr.  Bruttoindkomst 1,8

700.001 - 800.000 kr.  Bruttoindkomst 1,0

800.001 - 900.000 kr.  Bruttoindkomst 0,6

900.001 - 1.000.000 kr.  Bruttoindkomst 0,5

Over 1.000.000 kr.  Bruttoindkomst 1,3

Indkomst i alt efter køn, enhed, region, indkomstinterval og tid , Danmark  2015

http://www.statistikbanken.dk/10331 Mænd og kvinder i altPersoner i gruppen (antal)Hele landetUnder 100.000 kr. 629 164100.000 - 199.999 kr. 1 029 131200.000 - 299.999 kr. 1 052 779300.000 - 399.999 kr. 881 280400.000 - 499.999 kr. 518 476

500.000 - 749.999 kr. 388 043750.000 - 999.999 kr. 89 3611.000.000 - 1.999.999 kr. 59 2832.000.000 - 2.999.999 kr. 8 5003.000.000 - 3.999.999 kr. 3 0884.000.000 - 4.999.999 kr. 1 4785.000.000 - 9.999.999 kr. 2 172

Fra god elevbesvarelse:

Danske indkomstfordeling

1 0 0 , 00 0

2 0 0 , 00 0

3 0 0 , 00 0

4 0 0 , 00 0

5 0 0 , 00 0

7 5 0 , 00 0

1 , 00 0 , 0

0 0

2 , 00 0 , 0

0 0

3 , 00 0 , 0

0 0

4 , 00 0 , 0

0 0

5 , 00 0 , 0

0 0

1 0 , 00 0 . . .

629,

164

1,02

9,13

1

1,05

2,77

9

881,

280

518,

476

388,

043

89,3

61

59,2

83

8,50

0

3,08

8

1,47

8

2,17

2

DK - Histrogram

skriv intervalbetegnelser på x-aksen, fx 0-50, 50-100, osv

Det er ikke korrekt:

histogram: sammenlign ]250;300] med ]400;500], lad os sige begge har f≈6.6%, arealet af de to søjler skal så være ens!,men så skal højden for ]400;500], L=100, kun være det halve af ]250;300], L=50, fordi L er den dobbelte!

Men det er ikke lige til at lave i Excel, brug blot pindediagram, men skriv gerne denne bemærkning om højderne!

<- med Excel, grafisk aflæsning er ok

Med geogebra, kopieres punkterne (Øvre,F(Øvre)) ind i G regneark, der laves liste af punkter, tegn stykkevisLinje af punkterne, som her:

farv gr, dk-graferne i 2 forskellige farver [fint , du farver dine punkter]

Boksplot GL DKMindste 0 0Nedre 83,2 152Median 162 264Øvre 311 389Største 900 1000

God brug af udklip !

Grafen nederst er for danskere og den højere er for grønlænder indkomstdeling. Fint du får skrevet det her

Hvilken % del tjener mindre end 200.000,- På grafen der vises at Danskere tjener mindre end 200.000 på 36,8% dele og grønlændere tjener mindre end 200.000 på 57,6% dele. ok

Hvilken % del tjener mere end 500.000,- På grafen der vises at Danskere tjener mere end 200.000, skriv F(500)=88% aflæses så 100-88= 12% dele tjener mere end 500’000, ok svar, og grønlændere tjener mere end 500.000 på 8,5% dele. godt

Sammenlign indkomstfordelingen i Grønland med DK. Fra 50%-75%

GL : 311−162162

· 100=91,98 %, altså ca dobbelt så stor spredning i GR som i DK

DK : 389−264264

· 100=47,35 %

Der op der vises forskellen mellem 75% og 50%. Og man kan se at i GL der har enormt større indkomst-forskelle end DK.

Opg2. Ugrupperet statistik

0 200 400 600 800 1000 1200

GL

DK

De to datasæt sammenlignes vha boksplot

50% af ordene er lange, mere end 6 bogstaver, i HF-bekendtgørelsen, mens det kun gælder 20% i HP

Med få data(få forskellige x’er og lille antal samlet hyppighed) er boksplot ikke præcist, desværre. HP- boksplot angiver jo at 75%kvartilen er 6, så man tror at 25% er over 6, selv om det kun er 20%

Det er fordi man jo runder x op, x er den mindste værdi, der har F>=0,5

x=6 er medianen i rød, men det betyder at vi kun ved at 50%<=F(6)<75%, så F(6) kan altså faktisk være ca 75%, hvis man er uheldig, og så er forskellen mellem HP og røde jo ikke stor!

Opg3 , 2 linjer, afstand(punkt,linje): eksamenslignende opgave slå op i formelsamling under ’linjer’, se igennem (alle formler du skal bruge står der!)

Forsøg at regne på papir vha formlerne(for at træne formlerne), tjek så med G, ellers lav den med G(husk, det giver fuld score, forudsat du har mellemregninger og forklaringer med!)

Fra god elevbesvarelse

Dist ( P ,m )=¿a· x1+b− y1∨¿

√a2+1¿

Dist ( P ,m )=|−4 ·6+11−4|√−42+1

=|−17|√17

Dist ( P ,m )=4,123

a l=0,25 , am=−4.

Ortogonale=al · am=−1.

0,25 · (−4 )=−1. Det er ortogonale, fordi resultatet er -1. fint

Skæringspunktet mellem l og m:

l=m→ 0,25 x+2,5=−4 x+11

0,25 x+2,5−2,5+4 x=−4 x+11−2,5+4 x

4,25 x=8,5

4,25 x4,25

= 8,54,25

x=2

f (2 )=0,25 ·2+2,5=3

Skæringspunktet mellem l og m er (2,3) fint

Medtag gerne skærmdump af G fil, hvor du viser at alt passer!

l:y=0.25*(x-6)+4 , al=0.25

m: y=-4x+11 , am=-4 am*al=-4*0.25=-1, altså er m og l er vinkelrette!

S=Skæring[m, l]

dist=Linjestykke[S, P] er afstanden mellem m og P, netop fordi m og l er vinkelrette!

Opg4 eksamensopg, uden hjælpemidler

Middeltallet=3+6+7+4+5+5+4+2+3+110

=4

Opg5. cirklens ligning, skæringspunkt mellem cirkel og linje

Indtast x^2+… i input, skriv så G omformer til (x+3)^2+… sammenlignes med (x-a)^2+.. ses at a=3, b=… r=..

Brug både G og ’papirs-beregning’,

For at få træning: Udregn centervinklen C vha. trekants-beregning, udregn arealet=½absin(C)

Omskriv l til formen y=ax+b, tjek a og b grafisk!

Fra god elevbesvarelse

En cirkel C er bestemt ved ligning:

x2+6 x+ y2−4 y=7

a) Bestemt cirklens radius og koorinatsættet til cirklens centrum.¿

−2a=6→a= 6−2

→ a=−3

−2 b=−4→ b=−4−2

→b=2

x2−2 · (−3 ) · x−32+ y2−2 · 2· y+22−7=r2

x2+6 · x+9+ y2−4 x−4−7=r2

x2+6 x+ y2−4 x=9+4+7( x+3 )2+( y−2 )2=20

Koordinatsættet til cirklens centrum er (-3,2) og cirklens radius er √20 flot men gør ikke dette til skriftlig eksamen: indtast blot ligningen, skriv så ”G omformer til ( x+3 )2+( y−2 )2=20, jvf med cirklens ligning til

( x−a )2+ ( y−b )2=r2, ses at a=-3 og b=2 og r=kvdr(20)”b) En linje l er bestemt ved ligningen x+3y-13=0.

Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen l og Cirklen C.

x+3 y−13=0

3 y=−x+13

y=−13

x+4 13 , her kan du bemærke, at skæring i y=4.33 er ok,

Sætter y ind i c i #1, løser 2.gradsligningen i #5

f (−5,02 )=−0,33 ·−5,02+4,33=5,9866

f (1 )=−0,33 ·1+4,33=4

A punktet er (-5.02; 5.99)

B punktet er (1; 4) , altså samme som D og E ( fundet som skæring[c,l] ) , fint

c) Bestem trekantens areal.

cos (C )=a2+b2−c2

2 ·b·a

cos (C )=4,472+4,472−6,322

2 · 4,47 · 4,47=0,00049

¿C=cos−1 (0,00049 )=89,9719

Trekanten er næsten retvinkel, man kan sige at det er retvinkel. Det er den! Afvigelse skyldes afrundinger

Trekanten er retvinkel. Så man skal brug den formel: A=1/2*|AC|*|BC|

Areal=12

· 4,7 ·4,7=9,99 ≈ 10, = polygon1, beregnet af G, kom gerne med korte bemærkninger,

at det passer med figuren!

Opg6. Differentialregning,monótoniforhold;afkod hvilken graf for f’ hører til f-graf

-

Skriv ]-∞;a[ : f vokser, så f’>0 her, det passer kun med A, ]a;b] og ]b; ∞[ , ∞=uendelig, passer også med A, eller bedre lav monotoniskema

x a b

f voks ∩ aft U voks

f’ + 0 - 0 + , skemaet passer kun med A

Opg7, Differentialregning,monótoniforhold;vis f’>0 så graf er voksendeBeregn selv f’

Nem: f’(x)=1/3*3*x2+1=x2 +1>=1 >0 -> f voksende. Når f’>=1 er f’ jo også >0 !

Opg8, optimeringsopgave(monotoniforhold skal beregnes), **22.8 (Trips2-s.76), se hjælp: http://bjarneh.dk/matB/Differentialregning/differentialregnings-opgaver.html#22.8

Opg9, (monotoniforhold skal beregnes)

Lav beregningerne selv, uden CAS, så bagefter tjek med G-CAS selvfølgelig

Beregn selv f’ find nulpunkt(er) for f’ -det er ikke så svært

Lav monotoni-skema med x,f’,f noget henad:

x a

f’ + 0 -

f ↗ ∩ ↘

x A

f’ + 0 -

f ↗ ∩ ↘

f ' ( x )=6√ x−2 x

f ' ( x )=6 · x0,5−2 x

f ' ( x )=0,5 · 6 · x0,5−1−2x1−1

f ' ( x )=3 · x−0,5−2 x0

f ' ( x )=3 · x−0,5−2 , skriv: finder så skæring[f’,0] eller solver f’(x)=0 ,

prøv selv at løse ligningen: 3 · x−0,5−2 =0 <->

x-0.5=2/3=0.667 : potensligning med potens p=-0.5, skal ^(1/p) på begge sider

<-> x=0.667^(1/-0.5) =2.248

Opg10a(trigonometriske, periodiske) funktion; Lodon-Eye nem vha Geogebra

Fede kommandoer er til G

f(x)=67.5*sin(0.209x-1.57)+70

middel: y=70 tegner middel-linjen, svingningen foregår omkring 70m’s højde

b=0.209 er vinkelhastigheden ->

perioden=tiden for fuld svingning/omløb T=2π/b =30.06 , altså ½t, som der står i opgaven!

Kan måle T som linjestykke mellem A og B -mål afstande med linjestykke, giver hurtigt talværdier, tjek

C=Ekstremum[f, 10, 20] -> toppunkt, y=137.5, heraf ses amp=137.5-70=67.5, kan også måle afstand med linjestykke fra C til middel->D

f(7) [i CAS ->62.8m efter 7min, vis punktet: E=(7, f(7) ) , udregn selv:

f(7)= 67.5*sin(0.209*7-1.57)+70 =67.5*sin(-0.107)+70

’40m’ svarer til y=40, du skal altså finde x så f(x)=40, fx nsolve( f(x)=40 ) -> {x = 5.308354106788, x = 24.74711313527}, altså 5.30min -tjek grafen

skæring[f,40] -> duer ikke, der er uendeligt mange løsninger, og G vælger tilfældig(Her F med x=3331). Gør sådan: Lav først vandret linje l: y=40, så kan du afkrydse skæringspunkt mellem l og graf omkring 5 ->G , skriv G i CAS så udskrives koordinatsættet og du kan højreklik for kopiering til buffer og <ctrl><v> til Word: G=(5.308354110794, 40.00000005064), til sidst lav skærmdump!

Opg10b(trigonometriske, periodiske) funktion, temperaturen i Assiat

En gammel eksamensopg, udgør 3/25*100%=12% af sættet, som er 5t prøve, altså beregnet til tid=5*60*0.12=36min

I en model beskrives middeltemperaturen i Aasiaat på et givet tidspunkt af året ved en funktion med forskriften

f (t) 11sin0,524t 2,3565 , 0 t 12hvor f (t) er middeltemperaturen i C målt t måneder efter 1. januar.

a) Tegn grafen for f , og forklar, hvad tallet 11 i modellen fortæller om middeltemperaturen i Aasiaati løbet af et år.b) Bestem det tidspunkt, hvor middeltemperaturen ifølge modellen er højst. -det er jo ikke midnat, vel!c) Bestem det tidsrum, hvor middeltemperaturen ifølge modellen er over 4C. Brug nu din sunde fornuft, overvej dine resultater, please!Kilde DMI