Click here to load reader
Upload
juyoung-wang
View
215
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
PUC Ayudantia 8 de EDO sobre Laplace
Citation preview
Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas
MAT1640 - 1 ? Ecuaciones Diferenciales - 2do Semestre 2012Profesor: Marta Garca-HuidobroAyudante: Sebastian Urrutia Quiroga
Ayudanta 8Transformada de Laplace (LT)
Problema 1. Calcule las transformadas inversas de las siguientes funciones en el dominio de Laplace:
(a) G(s) =1
s3+
2
s2 7 +4s
s2 + 2+e2s
s
(b) G(s) =e2s
s2 + 2s 1
(c) G(s) =1
s3(s2 + 1)
(d) G(s) =1
(s 1)(s2 + 4)
Solucion:
(a) Es directo de las definiciones de las transformadas de funciones usuales que:
L1{G} = t2
2+
27
sinh (
7t) + 4 cos (
2t) +H(t 2)
(b) Combinamos los dos teoremas de traslacion. Como L1{easF (s)} = f(t a)H(t a),
f(t) = L1{
1
s2 + 2s 1}
= L1{
1
(s+ 1)2 2}
= etL1{
1
s2 2}
= etsinh (
2t)
2
Por lo tanto,
L1{G} = f(t 2)H(t 2) = e(t2) sinh (
2(t 2))2
H(t 2)
(c) Aprovechando las propiedades de la transformada aplicada a la integral,
L1{
1
s(s2 + 1)
}=
t0
sin () d = 1 cos (t)
L1{
1
s2(s2 + 1)
}=
t0
(1 cos ()
)d = t sin (t)
L1{
1
s3(s2 + 1)
}=
t0
( sin ()
)d =
t2
2 1 + cos (t)
(d) Notemos que:
L1{
1
(s 1)(s2 + 4)}
=1
2sin (2t) et = 1
2
t0etu sin (2u) du =
et
5 cos (2t)
5 sin (2t)
10
Problema 2. Sea
F (s) =s2 + 1 + 2s+ es
s(s2 + 2s 1) , y(t) = L1{F (s)}
1
Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas
Determine una ecuacion diferencial con condiciones iniciales y(0) = a, y(0) = b con a2 + b2 6= 0 tal quey(t) sea su solucion.
Solucion: Consideremos la ecuacion y + Ay + By = g(t). Aplicando la transformada de Laplace,obtenemos que:
(s2 +As+B)Y (s) sy(0) y(0)Ay(0) = G(s)Reagrupando y reemplazando,
Y (s) =sa+ b+Aa+G(s)
s2 +As+B=sa+ b+Aa
s2 +As+B+
G(s)
s2 +As+B=s2 + 1 + 2s+ es
s(s2 + 2s 1)
Comparando con la ecuacion, podemos tomar s + 2 = sa + b + Aa, A = 2, B = 1, G(s) = 1 + es
s.
Entonces, a = 1, b = 0, g(t) = 1 +H(t 1). La ecuacion es:
y + 2y y = 1 +H(t 1) , y(0) = 1, y(0) = 0
Problema 3. Resuelva, con la transformada de Laplace, el siguiente problema de Cauchy:y + 2y + y = te2t
y(0) = 1, y(0) = 0
Solucion: Aplicando la Transformada de Laplace a la ecuacion:
s2F (s)(y(0) + sy(0)
)+ 2sF (s) 2y(0) + F (s) = 1
(s 2)2
Aplicando las condiciones iniciales se obtiene que:
F (s)(s2 + 2s+ 1
)=
1
(s 2)2 + s+ 2 F (s) =1
(s+ 1)2(s 2)2 F1(s)
+s+ 2
(s+ 1)2 F2(s)
Expandimos F1(s) en fracciones parciales:
1
(s+ 1)2(s 2)2 =a
s+ 1+
b
(s+ 1)2+
c
s 2 +d
(s 2)2
La solucion del sistema de ecuaciones asociado al desarrollo en fracciones parciales queda propuesto allector. Finalmente,
F1(s) =2/27
s+ 1+
1/9
(s+ 1)2 2/27s 2 +
1/9
(s 2)2De lo anterior, es inmediato que:
f1(t) =2
27et +
1
9tet 2
27e2t +
1
9te2t
Para F2(s), repetimos el proceso:
s+ 1
(s+ 1)2=
a
s+ 1+
b
(s+ 1)2=
1
s+ 1+
1
(s+ 1)2
2
Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas
y con ellof2(t) = e
t + tet
Por lo tanto, la funcion buscada es:
y(t) =29
27et +
10
9tet 2
27e2t +
1
9te2t
Problema 4. Resolver la ecuacion diferencial:
2y + y + 2y ={
1 , si 5 t < 200 , en otros casos
Sujeta a las condiciones iniciales y(0) = 0, y(0) = 0.
Solucion: Utilizando la funcion de Heaviside, H(t a), la ecuacion queda como sigue:
2y + y + 2y = H(t 5)H(t 20)
Aplicando LT y utilizando las condiciones iniciales,
Y (s)(
2s2 + s+ 2)
=e5s e20s
s Y (s) = (e5s e20s)
(1
s(2s2 + s+ 2)
)Ahora, para resolver la inversa, consideremos:
G(s) =1
s(2s2 + s+ 2) g(t) = L1{G(s)}
Con lo anterior se tendra que:
y(t) = L1{(e5t e20t)G(s)} = H(t 5)g(t 5)H(t 20)g(t 20)
Por lo tanto, basta resolver la inversa deG(s) para obtener la solucion al problema. Utilicemos fraccionesparciales:
G(s) =A
s+
Bs+ C
2s2 + s+ 2=
1/2
s s+ 1/2
2s2 + s+ 2
La fraccion de la derecha se debe reescribir para poder asociarla a alguna funcion conocida:
G(s) =1
2s 1
2
(s+ 14
)+ 14(
s+ 14)2
+ 1516
Aplicando la inversa, obtenemos que:
g(t) =1
2 e
t/4
2
[cos
(15 t
4
)+
115
sin
(15 t
4
)]
El reemplazo final queda propuesto al lector.
3
Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas
Problema 5. Resuelva el problema de valor inicial:
2y + y + 2y = (t 5) , y(0) = 0, y(0) = 0
Solucion: Aplicando LT a la ecuacion,(2s2 + s+ 2
)Y (s) = e5s Y (s) = e5s 1
2s2 + s+ 2
Reescribimos el lado derecho para reconocerlo como una transformada conocida:
Y (s) =1
2e5s
1
s2 + s/2 + 1=
1
2e5s
1
(s+ 1/4)2 + 15/16=
215
e5s
15/4
(s+ 1/4)2 + 15/16
Para resolver la inversa, hacemos que:
G(s) =
15/4
(s+ 1/4)2 + 15/16 g(t) = L1{G(s)} = et/4 sin
(15 t
4
)
Entonces,
L1 {e5sG(s)} = H(t 5)g(t 5) = { 0 , t < 5e(t5)/4 sin
(15 (t5)
4
), e.o.c.
Finalmente,
y(t) =
0 , t < 5
215
e(t5)/4 sin
(15 (t 5)
4
), e.o.c.
Problema 6. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales{y = y + 2x+ cos tx = 2y + x+ sin t
con condiciones iniciales y(0) = 0, x(0) = 0.
Solucion: SeanX(s) = L{x(t)}, Y (s) = L{y(t)}. Entonces, aplicando la transformada a cada ecuacion:
y = y + 2x+ cos (t) L
sY (s) y(0) = Y (s) + 2X(s) + ss2 + 1
x = 2y + x+ sin (t) L
sX(s) x(0) = X(s) + 2Y (s) + 1s2 + 1
Reemplazando las condiciones iniciales y reescribiendo el sistema en su forma matricial,
1 s 22 1 s
Y (s)X(s)
= ss2 + 1
1s2 + 1
Empleando la Regla de Crammer,
X(s) =3s 1
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) Y (s) =s2 s+ 2
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)
4
Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas
El resto del problema consiste en obtener las transformadas inversas de estas funciones. Para ello, porla linealidad de LT, basta obtener las transformadas inversas de las siguientes tres funciones:
f1(t) = L1{
s2
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)}
f2(t) = L1{
s
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)}
f3(t) = L1{
1
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)}
Para f1(t),
F1(s) =s2
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) =as+ b
s2 + 1+
c
s 3 +d
s+ 1=1/10 s+ 1/5
s2 + 1+
9/40
s 3 1/8
s+ 1
f1(t) = 110
cos (t) +1
5sin (t) +
9
40e3t 1
8et
Para f2(t),
F2(s) =s
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) =as+ b
s2 + 1+
c
s 3 +d
s+ 1=1/5 s 1/10
s2 + 1+
3/40
s 3 +1/8
s+ 1
f2(t) = 15
cos (t) 110
sin (t) +3
40e3t +
1
8et
Para f3(t),
F3(s) =1
(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) =as+ b
s2 + 1+
c
s 3 +d
s+ 1=
1/10 s 1/5s2 + 1
+1/40
s 3 1/8
s+ 1
f3(t) =1
10cos (t) 1
5sin (t) +
1
40e3t 1
8et
Finalmente, como x(t) = 3f2(t) f3(t),
x(t) = 710
cos (t) 110
sin (t) +1
5e3t +
1
2et
y como y(t) = f1(t) f2(t) + 2f3(t),
y(t) =3
10cos (t) 1
10sin (t) +
1
5e3t 1
2et
Problema 7. Resuelva la ecuacion t0y(t )
(y() 1 e
)d = 1 et , t 0
Solucion: Sea Y (s) = L{y(t)}. Aplicando LT obtenemos:
Y (s)2 Y (s)(
1
s+
1
s 1)
= 1s 1 +
1
s Y (s)2 Y (s)
(1
s+
1
s 1)
+1
s(s 1) = 0
5
Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas
y con ello: (Y (s) 1
s
)(Y (s) 1
s 1)
= 0
Por lo tanto, hay dos soluciones:
y(t) = 1 y(t) = et , t 0
Problema 8. Considere un sistema masa-resorte con m = 1, c = 5 y k = 6 que parte del reposo desde elpunto de equilibrio sujeto a una fuerza externa f(t). Escriba la posicion de la masa como una convolucion.
Solucion: Debemos resolver la ecuacion diferencial
x + 5x + 6x = f(t) , x(0) = x(0) = 0
Aplicando LT, obtenemos:(s2 + 5s+ 6
)X(s) = F (s) X(s) = F (s)
s2 + 5s+ 6
Como
L1{
1
s2 + 5s+ 6
}= L1
{1
s+ 2 1s+ 3
}= e2t e3t
tenemos que
x(t) = L1{X(s)} =(e2t e3t
) f(t) =
t0
(e2 e3
)f(t ) d
6
Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas
Transformadas Comunes
f(t) F (s) = L{f(t)} Dominio
CC
ss > 0
tnn!
sn+1s > 0, n = 1, 2, . . .
tq(q + 1)
sq+1s > 0, q R
eat1
s a s > a
tneatn!
(s a)n+1 s > 0, a R
sin (at)a
s2 + a2s > a
cos (at)s
s2 + a2s > a
sinh (at)a
s2 a2 s > |a|
cosh (at)s
s2 a2 s > |a|
(t a) esa a
eatf(t) F (s a)
f(t a)H(t a) easF (s)
tnf(t) (1)nF (n)(s)
f (n)(t) snF (s)(f (n1)(0) + sf (n2)(0) + + sn1f(0)
) t0f() d
F (s)
s
f(t) g(t) F (s)G(s)
f(at)F (s/a)
|a|
7