Ayu8 (Laplace)

Pontificia Universidad Catolica de Chile Facultad de Matematicas

MAT1640 - 1 ? Ecuaciones Diferenciales - 2do Semestre 2012Profesor: Marta Garca-HuidobroAyudante: Sebastian Urrutia Quiroga

Ayudanta 8Transformada de Laplace (LT)

Problema 1. Calcule las transformadas inversas de las siguientes funciones en el dominio de Laplace:

(a) G(s) =1

s3+

2

s2 7 +4s

s2 + 2+e2s

s

(b) G(s) =e2s

s2 + 2s 1

(c) G(s) =1

s3(s2 + 1)

(d) G(s) =1

(s 1)(s2 + 4)

Solucion:

(a) Es directo de las definiciones de las transformadas de funciones usuales que:

L1{G} = t2

2+

27

sinh (

7t) + 4 cos (

2t) +H(t 2)

(b) Combinamos los dos teoremas de traslacion. Como L1{easF (s)} = f(t a)H(t a),

f(t) = L1{

1

s2 + 2s 1}

= L1{

1

(s+ 1)2 2}

= etL1{

1

s2 2}

= etsinh (

2t)

2

Por lo tanto,

L1{G} = f(t 2)H(t 2) = e(t2) sinh (

2(t 2))2

H(t 2)

(c) Aprovechando las propiedades de la transformada aplicada a la integral,

L1{

1

s(s2 + 1)

}=

t0

sin () d = 1 cos (t)

L1{

1

s2(s2 + 1)

}=

t0

(1 cos ()

)d = t sin (t)

L1{

1

s3(s2 + 1)

}=

t0

( sin ()

)d =

t2

2 1 + cos (t)

(d) Notemos que:

L1{

1

(s 1)(s2 + 4)}

=1

2sin (2t) et = 1

2

t0etu sin (2u) du =

et

5 cos (2t)

5 sin (2t)

10

Problema 2. Sea

F (s) =s2 + 1 + 2s+ es

s(s2 + 2s 1) , y(t) = L1{F (s)}

1


Determine una ecuacion diferencial con condiciones iniciales y(0) = a, y(0) = b con a2 + b2 6= 0 tal quey(t) sea su solucion.

Solucion: Consideremos la ecuacion y + Ay + By = g(t). Aplicando la transformada de Laplace,obtenemos que:

(s2 +As+B)Y (s) sy(0) y(0)Ay(0) = G(s)Reagrupando y reemplazando,

Y (s) =sa+ b+Aa+G(s)

s2 +As+B=sa+ b+Aa

s2 +As+B+

G(s)

s2 +As+B=s2 + 1 + 2s+ es

s(s2 + 2s 1)

Comparando con la ecuacion, podemos tomar s + 2 = sa + b + Aa, A = 2, B = 1, G(s) = 1 + es

s.

Entonces, a = 1, b = 0, g(t) = 1 +H(t 1). La ecuacion es:

y + 2y y = 1 +H(t 1) , y(0) = 1, y(0) = 0

Problema 3. Resuelva, con la transformada de Laplace, el siguiente problema de Cauchy:y + 2y + y = te2t

y(0) = 1, y(0) = 0

Solucion: Aplicando la Transformada de Laplace a la ecuacion:

s2F (s)(y(0) + sy(0)

)+ 2sF (s) 2y(0) + F (s) = 1

(s 2)2

Aplicando las condiciones iniciales se obtiene que:

F (s)(s2 + 2s+ 1

)=

1

(s 2)2 + s+ 2 F (s) =1

(s+ 1)2(s 2)2 F1(s)

+s+ 2

(s+ 1)2 F2(s)

Expandimos F1(s) en fracciones parciales:

1

(s+ 1)2(s 2)2 =a

s+ 1+

b

(s+ 1)2+

c

s 2 +d

(s 2)2

La solucion del sistema de ecuaciones asociado al desarrollo en fracciones parciales queda propuesto allector. Finalmente,

F1(s) =2/27

s+ 1+

1/9

(s+ 1)2 2/27s 2 +

1/9

(s 2)2De lo anterior, es inmediato que:

f1(t) =2

27et +

1

9tet 2

27e2t +

1

9te2t

Para F2(s), repetimos el proceso:

s+ 1

(s+ 1)2=

a

s+ 1+

b

(s+ 1)2=

1

s+ 1+

1

(s+ 1)2

2


y con ellof2(t) = e

t + tet

Por lo tanto, la funcion buscada es:

y(t) =29

27et +

10

9tet 2

27e2t +

1

9te2t

Problema 4. Resolver la ecuacion diferencial:

2y + y + 2y ={

1 , si 5 t < 200 , en otros casos

Sujeta a las condiciones iniciales y(0) = 0, y(0) = 0.

Solucion: Utilizando la funcion de Heaviside, H(t a), la ecuacion queda como sigue:

2y + y + 2y = H(t 5)H(t 20)

Aplicando LT y utilizando las condiciones iniciales,

Y (s)(

2s2 + s+ 2)

=e5s e20s

s Y (s) = (e5s e20s)

(1

s(2s2 + s+ 2)

)Ahora, para resolver la inversa, consideremos:

G(s) =1

s(2s2 + s+ 2) g(t) = L1{G(s)}

Con lo anterior se tendra que:

y(t) = L1{(e5t e20t)G(s)} = H(t 5)g(t 5)H(t 20)g(t 20)

Por lo tanto, basta resolver la inversa deG(s) para obtener la solucion al problema. Utilicemos fraccionesparciales:

G(s) =A

s+

Bs+ C

2s2 + s+ 2=

1/2

s s+ 1/2

2s2 + s+ 2

La fraccion de la derecha se debe reescribir para poder asociarla a alguna funcion conocida:

G(s) =1

2s 1

2

(s+ 14

)+ 14(

s+ 14)2

+ 1516

Aplicando la inversa, obtenemos que:

g(t) =1

2 e

t/4

2

[cos

(15 t

4

)+

115

sin

(15 t

4

)]

El reemplazo final queda propuesto al lector.

3


Problema 5. Resuelva el problema de valor inicial:

2y + y + 2y = (t 5) , y(0) = 0, y(0) = 0

Solucion: Aplicando LT a la ecuacion,(2s2 + s+ 2

)Y (s) = e5s Y (s) = e5s 1

2s2 + s+ 2

Reescribimos el lado derecho para reconocerlo como una transformada conocida:

Y (s) =1

2e5s

1

s2 + s/2 + 1=

1

2e5s

1

(s+ 1/4)2 + 15/16=

215

e5s

15/4

(s+ 1/4)2 + 15/16

Para resolver la inversa, hacemos que:

G(s) =

15/4

(s+ 1/4)2 + 15/16 g(t) = L1{G(s)} = et/4 sin

(15 t

4

)

Entonces,

L1 {e5sG(s)} = H(t 5)g(t 5) = { 0 , t < 5e(t5)/4 sin

(15 (t5)

4

), e.o.c.

Finalmente,

y(t) =

0 , t < 5

215

e(t5)/4 sin

(15 (t 5)

4

), e.o.c.

Problema 6. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales{y = y + 2x+ cos tx = 2y + x+ sin t

con condiciones iniciales y(0) = 0, x(0) = 0.

Solucion: SeanX(s) = L{x(t)}, Y (s) = L{y(t)}. Entonces, aplicando la transformada a cada ecuacion:

y = y + 2x+ cos (t) L

sY (s) y(0) = Y (s) + 2X(s) + ss2 + 1

x = 2y + x+ sin (t) L

sX(s) x(0) = X(s) + 2Y (s) + 1s2 + 1

Reemplazando las condiciones iniciales y reescribiendo el sistema en su forma matricial,

1 s 22 1 s

Y (s)X(s)

= ss2 + 1

1s2 + 1

Empleando la Regla de Crammer,

X(s) =3s 1

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) Y (s) =s2 s+ 2

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)

4


El resto del problema consiste en obtener las transformadas inversas de estas funciones. Para ello, porla linealidad de LT, basta obtener las transformadas inversas de las siguientes tres funciones:

f1(t) = L1{

s2

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)}

f2(t) = L1{

s

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)}

f3(t) = L1{

1

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1)}

Para f1(t),

F1(s) =s2

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) =as+ b

s2 + 1+

c

s 3 +d

s+ 1=1/10 s+ 1/5

s2 + 1+

9/40

s 3 1/8

s+ 1

f1(t) = 110

cos (t) +1

5sin (t) +

9

40e3t 1

8et

Para f2(t),

F2(s) =s

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) =as+ b

s2 + 1+

c

s 3 +d

s+ 1=1/5 s 1/10

s2 + 1+

3/40

s 3 +1/8

s+ 1

f2(t) = 15

cos (t) 110

sin (t) +3

40e3t +

1

8et

Para f3(t),

F3(s) =1

(s2 + 1)(s 3)(s+ 1) =as+ b

s2 + 1+

c

s 3 +d

s+ 1=

1/10 s 1/5s2 + 1

+1/40

s 3 1/8

s+ 1

f3(t) =1

10cos (t) 1

5sin (t) +

1

40e3t 1

8et

Finalmente, como x(t) = 3f2(t) f3(t),

x(t) = 710

cos (t) 110

sin (t) +1

5e3t +

1

2et

y como y(t) = f1(t) f2(t) + 2f3(t),

y(t) =3

10cos (t) 1

10sin (t) +

1

5e3t 1

2et

Problema 7. Resuelva la ecuacion t0y(t )

(y() 1 e

)d = 1 et , t 0

Solucion: Sea Y (s) = L{y(t)}. Aplicando LT obtenemos:

Y (s)2 Y (s)(

1

s+

1

s 1)

= 1s 1 +

1

s Y (s)2 Y (s)

(1

s+

1

s 1)

+1

s(s 1) = 0

5


y con ello: (Y (s) 1

s

)(Y (s) 1

s 1)

= 0

Por lo tanto, hay dos soluciones:

y(t) = 1 y(t) = et , t 0

Problema 8. Considere un sistema masa-resorte con m = 1, c = 5 y k = 6 que parte del reposo desde elpunto de equilibrio sujeto a una fuerza externa f(t). Escriba la posicion de la masa como una convolucion.

Solucion: Debemos resolver la ecuacion diferencial

x + 5x + 6x = f(t) , x(0) = x(0) = 0

Aplicando LT, obtenemos:(s2 + 5s+ 6

)X(s) = F (s) X(s) = F (s)

s2 + 5s+ 6

Como

L1{

1

s2 + 5s+ 6

}= L1

{1

s+ 2 1s+ 3

}= e2t e3t

tenemos que

x(t) = L1{X(s)} =(e2t e3t

) f(t) =

t0

(e2 e3

)f(t ) d

6


Transformadas Comunes

f(t) F (s) = L{f(t)} Dominio

CC

ss > 0

tnn!

sn+1s > 0, n = 1, 2, . . .

tq(q + 1)

sq+1s > 0, q R

eat1

s a s > a

tneatn!

(s a)n+1 s > 0, a R

sin (at)a

s2 + a2s > a

cos (at)s

s2 + a2s > a

sinh (at)a

s2 a2 s > |a|

cosh (at)s

s2 a2 s > |a|

(t a) esa a

eatf(t) F (s a)

f(t a)H(t a) easF (s)

tnf(t) (1)nF (n)(s)

f (n)(t) snF (s)(f (n1)(0) + sf (n2)(0) + + sn1f(0)

) t0f() d

F (s)

s

f(t) g(t) F (s)G(s)

f(at)F (s/a)

|a|

7

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