Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Térgeometria
Egyenesek és síkok kölcsönös helyzete
Két síkEgyenes és sík
Két egyenesEgyenesek és síkok
Szög, távolság
Egyenesek hajlásszöge
Egyenes és sík hajlásszöge
Két sík hajlásszöge
Egyenes és sík távolsága
Pont és sík távolsága
Két sík távolsága
Kitérő egyenesek távolsága
Egyenes és sík
merőlegessége
PoliéderekForgástestek
Felszín, térfogat
Egymásba írt testek
Felszín, térfogat
4. 8.
11.
2.1.10.Térfogatszámítás integrállal
1. 2.
12.
15.
13.
14.
1. Mekkora szöget zár be a 102 m hosszú szakasz egy síkkal,
ha a síkra eső merőleges vetülete fele a szakasz
hosszának?
2. Egy P pont egy síktól m távolságra van. A P ponton átmegy
két egyenes, melyek egymással és a síkkal is 60°-os szöget
zárnak be. Határozzuk meg ezen két egyenes és a sík
metszéspontjainak távolságát!
Az S1 és az S2 síkok hajlásszöge 𝛼. Vegyünk fel a S1 síkon
egy háromszöget, amelynek területe T. Igazoljuk, hogy ha a
háromszöget merőlegesen vetítjük az S2 síkra, akkor a
vetületének területe T∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼.
Egyenlő szárú háromszög alapja 40 cm, szárainak hossza 52 cm. A
háromszöget megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. (A válaszait
két tizedes jegyre kerekítve adja meg!)
a. Készítsen vázlatrajzot az adatok feltüntetésével, és számítsa ki,
hogy mekkora a keletkező forgáskúp nyílásszöge?
b. Számítsa ki a keletkező forgáskúp térfogatát!
c. Mekkora a felszíne annak a gömbnek, amelyik érinti a kúp
alapkörét és a palástját?
d. Mekkora a kúp kiterített palástjának területe?
Érettségi-2007.okt.
Egy téglatest egyik testátlója az élekkel 𝛼, 𝛽, 𝛾 szögeket zárbe. Bizonyítsuk be, hogy
a. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1.
b.1
𝑐𝑜𝑠2𝛼+
1
𝑐𝑜𝑠2𝛽+
1
𝑐𝑜𝑠2𝛾≥ 9
A szilikon tömítőanyagot hengerben árulják. A henger belső
átmérője 45 mm, a tubus hossza 21,6 cm, és az aljától 4
cm-nyi helyet nem szilikon tölti ki. A henger folytatása egy
10,6 cm alkotójú csonka kúp alakú kinyomó cső, amelynek
egyik végén 8 mm, a másik végén 2 mm átmérőjű a lyuk.
Hány méteres egyenes csíkot tudnánk kinyomni a csőből?
Egy zárt, egyenes körkúp alakú edényben magasságának
feléig áll a víz. Milyen magasan áll a víz a kúpban, ha azt
„fejre állítjuk”?
Az ABCD tetraéder D csúcsából kiinduló élek páronként
merőlegesek egymásra. AD=a, BD=b, CD=c. Írjunk a
tetraéderbe egy kockát, úgy hogy egyik csúcsa a D pont
legyen. Ha a kocka éle x, igazoljuk, hogy 1
𝑥=
1
𝑎+
1
𝑏+
1
𝑐
Próbáld megfogalmazni a feladat megfelelőjét a síkban!
Egy négyoldalú szabályos
gúlába közös tengelyű
forgáshengert helyezünk el úgy,
hogy a henger alapja a gúla
alapján van, és a fedőlapja
érinti a gúla oldallapjait. A gúla
a alapéle és m magassága
egyaránt 6 cm.
a. Legfeljebb mekkora lehet a
henger palástjának a területe?
b. Legfeljebb mekkora lehet a
henger térfogata?
http://tube.geogebra.org/material/show/id
/1970509
Egy cirkuszi sátor felállítva olyan szabályos hatszög alapú egyenes
gúla, amelynek alapéle 12 m, magassága 16 m hosszú. A sátor
felállításakor 13 rudat használnak. Hat merevítő rúd a hat oldalél teljes
hosszában fut. Van még 7 függőlegesen álló tartórúd. Egy az alap
középpontjában, a teljes magasságban tartja a sátrat. A talajon álló
kisebb pedig egy-egy oldalél talajhoz közelebbi harmadoló pontjában
támaszt.
a. Hány négyzetméter a sátrat alkotó ponyva felülete ( a gúla palástja)? A
végeredményt egészre kerekítve adja meg.
b. Összesen hány méter a 13 rúd hossza?
c. Körbe vezetünk egy kifeszített kötelet a hat kisebb támasztó rúd felső
végpontjain át. Milyen hosszú ez a kötél?
Érettségi-2009
Egy 10 cm átmérőjű, 15 dm hosszú, fából készült
forgáshengerből annyi 5 cm sugarú gömböt faragunk,
ahányat csak lehet.
a. Mennyi a hulladék?
b. Hogy aránylik egymáshoz a henger felszíne és a gömbök
felszínének az összege?
Egy 2 cm sugarú, 20 cm széles festőhengerrel dolgozva egy fordulattal
körülbelül 3 ml festéket viszünk fel a falra. (A festőhenger csúszás nélkül
gördül a falon. )
a. Elegendő-e 4 liter falfestéket vásárolnunk, ha a szobánkban 40 m2-nyi
falfelületet egy rétegben, egyszer akarunk lefesteni?
b. Milyen magasan állna 4 liter falfesték a 16 cm átmérőjű, forgáshenger alakú
festékes vödörben?
Válaszát cm-ben, egészre kerekítve adja meg!
Érettségi 2014-emelt szint
Az ABCDEFGH téglatest A csúcsából induló élei: AB=12; AD=6; AE=8. Jelölje a
HG él felező pontját P.
a. Számítsa ki az ABCDP gúla felszínét!
b. Mekkora szöget zár be az ABCDP gúla ABP lapjának síkja az ABCD lap síkjával?
Érettségi-emelt szint
Egy szobor talapzata 1 m oldalélű 1,5 m magasságú szabályos háromszög alakú
egyenes hasáb, amelyet szabályos tizenkétszög alapú egyenes hasábbá
kívánunk átalakítani. A hasábmagasságát megtartva, az oldalélekkel
párhuzamosan lehasítunk belőle részeket úgy, hogy a térfogata a lehető
legnagyobb legyen.
a. Mekkora az így kapott hasáb alapéle?
b. Mekkora tömegű hulladékot kell elszállítanunk, ha a talapzat olyan bazaltból
készült, amelynek sűrűsége 2,85𝑘𝑔
𝑑𝑚3?