HÀM SỐ, GIỚI HẠN, D E f LIÊN TỤC f · 03/04/2017 1 BàigiảngToáncaocấp1 NguyễnVănTiến HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CHƯƠNG0 BàigiảngToáncaocấp1

03/04/2017

1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC

CHƯƠNG 0


Định nghĩa hàm một biến• Cho D, E là tập con của tập số thực R. Hàm số f là

một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x trongtập D với duy nhất một phần tử f(x) trong tập E.

1

a f a

1fD E

f


Định nghĩa hàm một biến• D: miền xác định (domain)

• E: miền giá trị (range)

• x: biến độc lập (independent variable)

• f(x): biến phụ thuộc (dependent variable)


Đồ thị hàm số

• Cho hàm số:

• Đồ thị của hàm f là tập hợp tất cả các điểm (x,y)thỏa y=f(x) với xD.

• Ký hiệu đồ thị hàm f là G(f). Ta có:

• Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta đượcmột đường (cong hoặc thẳng), đường này gọi làđồ thị của hàm số f.

:f D E

,G f x f x x D


Đồ thị hàm số• Đồ thị hàm số y=2x+x2

2f 2f

2


Đồ thị hàm số

domain mxd

range

mgt y f x

0 x

y

03/04/2017

2


Tiêu chuẩn đường thẳng đứng• Đường cong trong mặt phẳng Oxy là đồ thị của

hàm f khi và chỉ khi không có đường thẳngđứng nào cắt đường cong nhiều hơn một điểm.

• Chú ý: đường thẳng đứng trong Oxy có dạng:x=a


Ví dụ

0 x

y

Đây là đồ thị của hàm một biến

x a


Ví dụ

0 x

y

Đây không phải là đồ thị của hàm một biến


Hàm xác định từng khúc

• Được định nghĩa khác nhau trên mỗi tập conkhác nhau của miền xác định.

Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2:

, 0

???, 0

x xf x x mxd

x x

2

1 , 1???

, 1

x xf x mxd

x x



0x

yy xy x

, 0

, 0

x xf x

x x

0 0f



0x

y

1

1

2y x

1y x

0 1

1 0

2 4

f

f

f

2

1 , 1

, 1

x xf x

x x

Đồ thị f(x) có màu đỏ.

03/04/2017

3


Tính đối xứng• Hàm số chẵn: f là hàm chẵn trên miền D nếu:

• Hàm số lẻ: f là hàm lẻ trên miền D nếu:

• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy là trục đối xứng.

• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O là tâm đốixứng.

àx D x D v f x f x

àx D x D v f x f x


Ví dụ

• Hàm số sau đây là chẵn, lẻ hay không chẵnkhông lẻ?

• Giải:

• Vậy hàm f(x) là hàm lẻ.

5 4

2

) ) 1

) ) 3

a f x x x b g x x

c h x x x d k x x

5

5x x x f xxf x


Ví dụ

b) Ta có:

Vậy g là hàm chẵn.

c)

Vậy hàm h không chẵn, không lẻ.

4

41 1x gxg x x

2

22

h x x x

xh x x x

h x h x h x h x

x


Ví dụ

d) Tập xác định:

Vì:

Nên hàm số đã cho có tập xác định không đốixứng. Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.

; 3D

4 ; 3 à 4D m D


Hàm số tăng, giảm

• Hàm số f tăng trên khoảng I nếu:

• Hàm số f giảm trên khoảng I nếu:

• Đồ thị hàm số tăng đi lên từ trái sang phải.

• Đồ thị hàm số giảm đi xuống từ trái sang phải.

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I

1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I


Ví dụ

y f x

ba 0 c x

y

d

Hàm số đã chotăng trên đoạn[a;b] và giảm trênđoạn [c;d]

03/04/2017

4


Hàm số ngược

• Định nghĩa hàm 1-1: Hàm số f gọi là hàm 1-1nếu nó không nhận cùng một giá trị nào đó 2lần trở lên. Nghĩa là:

• Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f là hàm 1-1 khi và chỉ khi không có đường thẳng nằmngang nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn mộtđiểm.

1 2 1 2,f x f x x x


Ví dụ• Hàm f là hàm 1-1; hàm g không là hàm 1-1.

1

2

3

4

10

21

5

6

1

2

3

4

3

15

8

f

g


Ví dụ

• Hàm số sau có là hàm 1-1?

• Ta có:

• Theo định nghĩa f là hàm 1-1.

3f x x

3 3

1 2 1 2 1 2x x x x f x f x


Ví dụ• Đồ thị hàm số

f(x)=x3

• Ta thấy mọi đườngnằm ngang chỉ cắtđồ thị tại một điểmduy nhất. Không cóđường nào cắtnhiều hơn mộtđiểm. Vậy f là hàm1-1.

0

x

y


Ví dụ

• Hàm số: g(x)=x2 có phải hàm 1-1?

• Đáp số:

Vì 1-1 nhưng g(1)=1=g(-1) nên hàm đã chokhông là hàm 1-1.

Tuy nhiên xét riêng trên miền [0, +) thì hàm g làhàm 1-1.

Vì:

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2, 0;

x x x x g x g x

x x


Ví dụ• Xét trên toàn

trục số g không là 1-1.

• Xét trên miền[0; +) hàm g là 1-1.

0x

y

03/04/2017

5


Hàm số ngược

Định nghĩa:

• Cho f là hàm 1-1, có miền xác định A và miềngiá trị B.

• Hàm ngược của hàm f kí hiệu là f -1, có miền xácđịnh B, miền giá trị A.

• Được xác định theo hệ thức sau:

1 ,f y x f x y y B


Ví dụ• Hàm số ngược của hàm f.

1

2

3

4

10

21

5

6f

1 10 1f

1

2

3

4

10

21

5

6

1 10f

1f


Chú ý

• Miền xác định của f -1 = miền giá trị của f.

• Miền giá trị của f -1 = miền xác định của f.

• Ta thường ký hiệu y là biến phụ thuộc và x làbiến độc lập nên hàm số ngược thường viếtdạng:

1y f x f y x


Ví dụ

• Hàm ngược của hàm:

• Là:

• Vì:

3f x x

31 1/3f x x x

3

1/3 1/3f y f x x x


Cách tìm hàm ngược

1. Viết:

2. Giải phương trình trên tìm x theo y (nếuđược).

3. Hoán đổi x và y. Ta có kết quả:

1y f x

y f x


Ví dụ• Tìm hàm ngược của hàm:

• Giải:

• Hoán đổi:

• Vậy hàm ngược:

3 2f x x

3 3 32 2 2y x x y x y

3 2y x

31 2y f x x

03/04/2017

6


Ví dụ• Tìm hàm ngược của:

• Chú ý: trên miền đã cho g là hàm 1-1 nên có hàmngược.

• Ta có:

• Hoán đổi: Vậy hàm ngược:

2, 0g x x x

2 2, 0y x x x y x y

y x x 1 0g x x x


Chú ý• Từ định nghĩa ta có:

• Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f quađường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứnhất)

1

1

) ,

) ,

i f f x x x A

ii f f x x x B


Đồ thị

Đồ thị hàm ngượcf-1 đối xứng vớihàm f qua đườngthẳng y=x (phângiác góc phần tưthứ nhất)


Các phép toán hàm số• Cho hai hàm số f, g có miền xác định là A, B. Khi đó:

• Tổng và hiệu của f và g:

• Tích của f và g:

• Thương của f và g:

. . ; :f g x f x g x mxd A B

, :f g x f x g x mxd A B

: 0f xf

x mxd x A B g xg g x


Hàm số hợp• Cho hai hàm:

• Thỏa:

• Khi đó tồn tại hàm hợp:

• Ta có:

: :f X R g Y R

:

o

o

f g X Z

h x f g x f g x

g Y X

of g h


Ví dụ

• Cho

• Ta có:

23;g x x f x x

2

2 2

3 3

3

o

o

f g x f g x f x x

g f x g f x g x x

03/04/2017

7


Ví dụ

• Cho hai hàm số:

• Xác định và chỉ ra miền xác định của các hàmsau:

; 2f x x g x x

) ; ; ;

) ; ; ;o o o o

fa f g f g fg

gb f g g f f f g g


Giải• Ta có:

• Vậy:

: 0;f x x mxd A

2 : ;2g x x mxd B

2 : 0;2f g x x x mxd A B

2 : 0;2f g x x x mxd A B


Giải• Vậy:

. 2 : 0;2fg x x x mxd A B

2

: \ 0 0;2 \ 2 0;2

f xx

g x

mxd A B x g x

4

02 2

: ;

2

2

x xf g x f g x f x

mxd


Giải

0

0: 0 4 : 0; 42 0

2g f x g f x g

xDK x mx

x

x

d

x

4

0

: 0;

xf f x f f x f xx

mxd


Giải

022 2g g x g g x g x x

2 0 2: 2 2

2 42 2 0

: 2;2

x xDK x

xx

mxd


Ví dụ• Cho hàm số:

• Tìm các hàm f, g, h sao cho:

• Đặt:

• Khi đó:

2cos 9F x x

0 0F f g h

29, cos ,h x x g x x f x x

0 0 0 0

22

9

9 cos 9

cos 9 cos 9

f g h x f g h x f g x

f g x f x

x x F x

03/04/2017

8


CÁC LOẠI

HÀM SỐ THƯỜNG GẶP


Hàm tuyến tính

• Ta nói y là hàm tuyến tính của x nếu:

• Đồ thị hàm y là một đường thẳng cắt trục tungtại điểm có tung độ b, hệ số góc là a.

y ax b


Đa thức

• Hàm P gọi là một đa thức nếu:

• a0,a1, …, an: hệ số của đa thức

• n: bậc của đa thức (an0)

• Miền xác định: D=R

1 2

1 2 1 0...n n

n nP x a x a x a x a x a

n


Hàm hữu tỷ

• Dạng:

• Trong đó P, Q là các đa thức.

• Miền xác định: là tập các giá trị x thỏa Q(x) 0.

• Ví dụ:

P xf x

Q x

5 2

2

3 1; : 3

9

x xf x mxd x R x

x


Hàm đại số

• Sử dụng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia,lấy căn các hàm đa thức ta được hàm đại số.

• Ví dụ:

2

23

2 5

12 4

2 3

f x x x

xg x x x x

x x


Hàm lũy thừa• Dạng:

• >0 : hàm số tăng.

• <0 : hàm số giảm

• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,1) và điqua gốc (0,0) và không qua gốc nếu <0 .

, , 0y x

03/04/2017

9


Hàm lũy thừa

Giá trị của Miền xác định

Z

* \ 0

Q

0;

\hay * 0;

• Miền xác định: tùy thuộc vào số mũ


Hàm số mũ• Dạng:

• Miền xác định: D=R .

• Miền giá trị: (0; +) .

• Nếu a>1: hàm số tăng.

• Nếu 0<a<1: hàm số giảm.

• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (0,1), nằmphía trên và tiệm cận với trục hoành.

,( 0, 1)xy a a a


Đồ thị hàm số 2x và (1/3)x


Hàm số mũ• Tính chất:

.

.

1

. .

, , ; 0

x y x y

xx y x

y x

yx x y

xx x

mn mn

i a a a

aii a a

a a

iii a a

iv a b a b

v a a m n N n


Hàm logarit cơ số a • Dạng:

• Miền xác định D= (0; +), miền giá trị: R

• Là hàm số ngược của hàm số mũ y=ax.

• Logarit với cơ số e (e≈2.71828) gọi là logarit cơ số tựnhiên.

log , 0, 1a

y x a a

log y

ay x x a

log lnex x


Logarit là hàm ngược của hàm mũ

03/04/2017

10


Đồ thị log2x và log1/3 x

Hàm số tăng nếu a>1 và giảm nếu 0<a<1


Hàm logarit• Tính chất:

log

log ( . ) log log

log log log

log ( ) log

log log . log

a

a a a

a a a

a a

x

a a b

i x y x y

xii x y

yiii x x

iv x a

v c b c


Hàm logarit

• Tính giá trị sau:

• Giải:

2 2 2 10) log 80 log 5 ? ) log 10. log 4a b

42 2 2 2 2

80)log 80 log 5 log log 16 log 2 4

5a

1/2

2 10 2 1

10

0

2 2

) log 10.log 4 log 10 .log 4

1 1log . log 4 log 40

2 21 1

b


Hàm lượng giác• 1. Hàm sin, cos:

• Tập xác định R,

• Tập giá trị là [-1, 1]

• Tuần hoàn với chu kỳ 2π.

sin ; cosy x y x

sin 2 sin ,

cos 2 cos ,

x k x k Z

x k x k Z


Hàm lượng giác• Đồ thị hàm

sin x và cosxtrên [-2;2]


Hàm lượng giác• 2. Hàm tan:

• Điều kiện xác định:

• Tập giá trị là R.

• Tăng trên các khoảng:

• Tuần hoàn với chu kỳ π.

tany x

2x k

( , )2 2

k k

tan tan ,x k x k Z

03/04/2017

11


Đồ thị hàm tan(x)


4. Hàm lượng giác• 3. Hàm cot:

• Điều kiện xác định:

• Tập giá trị là R.

• Tăng trên các khoảng:

• Tuần hoàn với chu kỳ π.

coty x

x k

( , )k k

cot cot ,x k x k Z


Quan hệ hàm lượng giác

• Ta hay dùng công thức sau:

• Sinh viên tự ôn lại các kiến thức lượng giác.

2 2

2 2

2 2

sin) sin cos 1 ) tan

coscos

) cot ) tan .cot 1sin

1 1) 1 tan ) 1 cot

cos sin

xi x x ii x

xx

iii x iv x xx

v x vi xx x


Hàm arcsinx• Đồ thị hàm sinx trên [-; ]

• Đồ thị y=sinx trên [-/2; /2]


Hàm lượng giác ngược

1. Hàm arcsin: (đọc là ác – sin) hay sin-1

Là hàm ngược của hàm y=sin(x)

Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị:

Là hàm lẻ, tăng.

1arcsin siny x x

,2 2

arcsin sin2 2

y x x y y


Hàm arcsinx

• Đồ thị hàm arcsin x:

Tập xác định: [-1,1].Tập giá trị: [-/2; /2]Là hàm lẻ, tăng.

03/04/2017

12


Đồ thị hàm sin(x) và arcsin(x)


Ví dụ

• Tính:

• Giải:

1 1 1)sin ) tan arcsin

2 3a b

1 1 1sin ì sin à ;

2 6 6 2 6 2 2v v


Ví dụ

• Tính:

• Đặt:

• Vậy:

1)tan arcsin

3b

1 1arcsin sin à

3 3 2 2x x v x

1 1tan arcsin tan

3 2 2x


Ví dụ

• Tìm

• Giải:

1 1 17)sin sin )sin sin )sin sin 2

6 6a b c

1) ; sin sin6 2 2 6 6

a


Ví dụ

• Ta có:

• Tính trực tiếp:

17 7 7; sin sin

6 2 2 6 6

1 17 1sin sin sin

6 2 6

ì sin à ;6 6 2 2

v v



2. Hàm arccos: (đọc là ác – cô sin) hay cos-1

Là hàm ngược của hàm y=cos(x)

Tập xác định: [-1,1]. Tập giá trị: [0; ]

Là hàm giảm.

1arccos cosy x x

arccos cos , 0y x x y y

03/04/2017

13


Hàm arccos x

y=cosx trên miền [0; 2]

y=cosx trên miền [0; 2]


Hàm arccos(x) và cos(x)



3. Hàm arctan: (đọc là ác – tang)

Là hàm ngược của hàm y=tan(x)

Là hàm lẻ, tăng.

Tập xác định: R.

Tập giá trị:

1arctan tany x x

/ 2; / 2

arctan tan ,2 2

y x x y y


Ví dụ

• Đơn giản biểu thức:

• Ta có: 1cos tan x

1tan tan ,2 2

y x x y y

2 2

2 2

2 2

1 11 tan cos

cos 1 tan1 1

cos1 tan 1

y yy y

yy x



4. Hàm arccot: (đọc là ác – cô tang)

Là hàm ngược của hàm y=cot(x)

Tập xác định: R. Tập giá trị:

Là hàm giảm.

1arccot coty x x

0,

arccot cot , 0y x x y y


Hàm siêu việt

• Các hàm không phải hàm đại số gọi là hàm siêuviệt.

• Các hàm siêu việt đã biết: hàm lượng giác, hàmlượng giác ngược, hàm mũ, hàm logarit.

03/04/2017

14


Một số hàm trong phân tích Kinh tế

• Hàm sản xuất: Q=Q(L)

• Hàm doanh thu: R=R(Q)

• Hàm chi phí: C=C(Q)

• Hàm lợi nhuận: π= π(Q)=R(Q)-C(Q)

• Hàm cung: Qs=S(p), tăng theo p

• Hàm cầu: Qd=D(p), giảm theo p

• Ghi chú: L là lao động; Q là sản lượng; p là giá


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

• Giới hạn dãy số

• Giới hạn hàm số

• Tính chất

• Công thức giới hạn cơ bản

• Vô cùng lớn

• Vô cùng bé

• Ngắt bỏ vô cùng bé tương đương


Dãy số

• Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tựnhiên khác 0.

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un).

• un gọi là số hạng thứ n của dãy.

*:u N R

n u n


Dãy số• Cho dãy số:

• Ta có:

• Hỏi:

• Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?

1

2 1

nu n

n

1 2 3

1 42; 1; ;...

2. 1 5

1

1u u u

100 999 9999999? ? ?u u u


Dãy số

• 10 giá trị đầu của dãy:

n un

1 2

2 1

3 0.8

4 0.714285714

5 0.666666667

6 0.636363636

7 0.615384615

8 0.6

9 0.588235294

10 0.578947368

• Các giá trị tiếp theo:

n un

100 0.507537688

101 0.507462687

9999 0.500075011

10000 0.500075004

10000000 0.500000075

100000000 0.500000008

1000000000 0.50000000110^9


Dãy số• Nhận xét:

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5.

• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10-

9).

• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăngn lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn.

• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.

1

2 1

nu n

n

03/04/2017

15


Định nghĩa giới hạn dãy số• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:

• Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

• Ký hiệu:

0 00 .0, :

nnn u an

lim

lim

n

n nn

n

u a hay u a

hay u a

nhỏ tùy ý Chênh lệchn đủ lớn


Ví dụ

• Chứng minh:

• Bước 1. Lấy >0

• Bước 2. Lập hiệu:

• Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có)

1 1lim 0,5

2 1 2n

n

n

nu a

nu a


Ví dụ• Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa

và kết luận.

• Giải.

• Với mọi >0. Ta có:

n

nu a

n n

n n

1 1 3

2 1 2 2 2 1

3 3 12 1

2 4 2


Ví dụ• Chọn

• Ta có:

Vậy theo định nghĩa:

0

3 1

2 2n

0 0

3 1 10, :

2 2 2nn n n u

1lim

2nnu


Ví dụ

• Chứng minh giới hạn sau bằng định nghĩa:

lim 11n

n

n


Hệ quả

• Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu:

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0

để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn .

• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cáchgiữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và akhông thể nhỏ tùy ý.

10 1 0

0, 0 : à .n

n n n v u a

03/04/2017

16


Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi:

• (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủlớn.

• Ký hiệu:

0 00, 0 : .

nA n n n u A

limnnu


Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi:

• (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủlớn.

• Ký hiệu:

0 00, 0 : .

nA n n n u A

limnnu


Tính chất• 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

• 2. Cho tồn tại hữu hạn. Khi đó:lim ; limn nn nu v

) lim lim lim

) lim . lim . lim

lim) lim , lim 0

lim

) lim lim

n n n nn n n

n n n nn n n

nn nnn n

n nn

n nn n

a u v u v

b u v u v

uuc v

v v

d u u


Tính chất

• Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:

• Nếu:

lim

) lim lim , lim 0

) lim 0 lim 0

nn n

vv

n n nn n n

n nn n

e u u u

f u u

0n n nu v z n n

lim limn nn nu z a

lim

nnv a

thì


Minh họa

0n n nu v z n n

a


Ví dụ

• Tìm giới hạn dãy số:

• Ta có:

• Vậy:

2

sin 5) )

1

n

n n n

na u b v

n n

2 2

sin 10 0

1 1n

nu

n n

lim 0 lim 0n nn nu u

03/04/2017

17


Công thức giới hạn

16) lim 0 0 7) lim 1,

lnln

8) lim 0 0 9) lim 0

n p

n n

p p

nn n

a n pnn n

n e

1) lim

02) lim

0 0

n

n

C C

n

0 , 13) lim

, 1n

n

qq

q

14) lim 1

n

ne

n

5) lim 1

n

a

n

ae

n


Các dạng vô định

• Có 7 dạng vô định:

• Quy tắc cần nhớ:

0 00; ; ; 0. ; 1 ; 0 ;

0

ln ! , 0; 1nn n a n a


Tìm giới hạn dãy số

• Biến đổi đại số (nhân liên hợp, các hằng đẳngthức …)

• Chia tử và mẫu cho biểu thức khác 0 (thườngchia cho n hay an…)

• Dùng công thức giới hạn dãy số e.

• Dùng định lý kẹp


Ví dụ• Tìm các giới hạn sau:

2

2 2 2

3

2 3

2

) lim 1

1 1 1) lim ...

1.2 2.3 1

1 2 ...) lim

) lim1 1

n

n

n

n

a n n

bn n

nc

n

n nd

n n



1 1

1

1

1

2 3) lim

2 32 3

) lim2 35.2 3.5

) lim100.2 2.5

6 5) lim

5 6

n n

n nn

n n

n nn

n n

n nn

nn

nn n

a

b

c

d



2

3

3 12

2

2) lim 1

1

1) lim

5

n

n

n

n

an

nb

n

03/04/2017

18



2

2 3

sin) lim

1arctan

) lim

sin cos) lim

1.sin !) lim

n

n

n

n

n na

nn

bnn n

cn

n nd

n


Giới hạn hàm số• Để có cái nhìn trực

quan về giới hạnhàm số ta xét ví dụsau.

• Cho hàm số:

2 2f x x x


Giới hạn hàm số• Bảng giá trị của hàm số khi x gần 2 (nhưng

không bằng 2)

• Ta có: x f(x) x f(x)

1 2 3 8

1.5 2.75 2.5 5.75

1.75 3.3125 2.2 4.64

1.9 3.71 2.1 4.31

1.95 3.8525 2.05 4.1525

1.99 3.9701 2.01 4.0301

1.995 3.985025 2.005 4.015025

1.999 3.997001 2.001 4.003001


Giới hạn hàm số

• Từ bảng giá trị và đồ thị ta thấy. Khi x dần về 2(cả 2 phía) thì giá trị của f(x) dần về 4. Có nghĩalà giá trị f(x) có thể gần 4 một cách tùy ý nếu tachọn x đủ gần 2.

• Ta nói: Giới hạn của hàm số f(x)=x2-x+4 khi xdần đến 2 bằng 4.

2

2lim 2 4x

x x


Định nghĩa

• Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a bằng Lnếu giá trị của f(x) có thể gần L một cách tùy ýkhi lấy giá trị của x đủ gần a nhưng x khôngbằng a.

• Ký hiệu:

• Dạng toán học:

limx af x L

lim

0, 0, :0x af x L

x D x a f x L


Ví dụ• CMR:

• B1. Lấy >0 tùy ý.

• B2. Lập hiệu:

• B3. Khi x gần 2. Từ bất phương trình trên giải:

2

2lim 2 4x

x x

24 2f x x x

2 ???x

03/04/2017

19


Ví dụ• B3. Vì x gần 2 nên ta có thể giả sử:

• Ta có:

• Vậy:

1;3 2 1 4x x

2 2 2 1 24x x x x x

242 2 24

xx x x


Ví dụ

• B4. Viết lại theo định nghĩa:

• Kết luận:

20, : 04

2 2 4x x x

2

2lim 2 4x

x x


Định nghĩa• Ta chỉ quan tâm đến giá trị

hàm số f(x) khi x gần a nhưngxa. Do đó ta không quantâm việc hàm số có xác địnhtại a hay không.

• Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/xkhông xác định tại 0. Nhưngta có:

x (sinx)/x

1 0.841470985

0.5 0.958851077

0.4 0.973545856

0.3 0.985067356

0.2 0.993346654

0.1 0.998334166

0.01 0.999983333

0.005 0.999995833

0.001 0.9999998330

sinlim 1x

x

x


Giới hạn bên trái• Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần

đến a từ bên trái bằng L nếu giá trị của hàm sốf(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của xđủ gần a và x nhỏ hơn a.

• Ký hiệu: limx a

f x L

lim

0, 0, :0x a

f x L

x D a x f x L


Giới hạn bên trái

L

f x

y f x

0 x

x

y

a

limx a

f x L


Giới hạn bên phải

• Định nghĩa: Giới hạn của hàm số f(x) khi x dầnđến a từ bên phải bằng L nếu giá trị của hàm sốf(x) có thể gần L một cách tùy ý khi giá trị của xđủ gần a và x lớn hơn a.

• Ký hiệu: limx a

f x L

lim

0, 0, :0x a

f x L

x D x a f x L

03/04/2017

20


Giới hạn bên trái

L

f x

y f x

0x

x

y

a

limx a

f x L


Định lý

limlim

limx a

x a

x a

f x Lf x L

f x L

• Hàm số f có giới hạn L khi x tiến tới a khi và chỉkhi:

• f có giới hạn trái và giới hạn phải tại a.

• Hai giới hạn đó bằng nhau

• Bằng L


Luật tính giới hạn

• Cho các giới hạn sau tồn tại hữu hạn:

• Ta có: lim ; lim

x a x af x g x

1. lim 2. lim 3. lim n n

x a x a x aC C x a x a

5. lim . lim . limx a x a x a

f x g x f x g x

4. lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x


Luật tính giới hạn (tt)

lim

6. lim lim 0limx a

x a x a

x a

f xf xg x

g x g x

9. lim nn

x ax a

8. lim limn nx a x a

f x f x

7. lim limnn

x a x af x f x

Với điều kiệncác biểu thứccó nghĩa


Tính chất

• Nếu f là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và anằm trong tập xác định của f thì:

• Nếu và tồn tại giới hạn:

thì:

limx a

f x f a

,f x g x x a

limx a

g x L

lim limx a x a

f x g x L


Ví dụ

• Tính:

• Giải:

2

2

2 2

2 1) lim 3 4 ) lim

5 3x x

xa x x b

x

2 2

2) lim 3 4 2 3.2 4 2x

a x x

22

2

2. 2 12 1 7) lim

5 3 115 3. 2x

xb

x

03/04/2017

21


Ví dụ• Tính:

• Ta có:

• Mà:

• Vậy:

2

2

4lim ???

2x

x

x

2 2 242, 2

2 2

x xxx x

x x

2

lim 2 4x

x

2

2 2

4lim lim 2 4

2x x

xx

x


Giới hạn vô cực• Xét:

• Khi x gần 0, f(x) có thểlớn một cách tùy ý chứf(x) không dần đến mộtsố nào đó.

• Ta nói: giới hạn hàm sốtại x=0 không tồn tại vàviết:

2

1f x

x

20

1limx x


Giới hạn vô cực• Cho hàm f xác định về 2 phía điểm a, trừ điểm

a.

• Nếu giá trị f(x) có thể lớn tùy ý khi x đủ gần a,xa. Ta nói:

• Nếu giá trị f(x) có thể nhỏ tùy ý khi x đủ gần a,xa.

limx a

f x

limx a

f x


Giới hạn vô cực

0

x

yx a

l i mx a

f x


Định lý kẹp

• Nếu khi x gần a (có thể trừđiểm a) và:

• Thì:

f x g x h x

lim limx a x a

f x h x L

limx a

g x L



0

sin1. lim 1

x

x

x

1

03. lim 1 x

xx e

0

17. lim 1

x

x

e

x

0

1 15. lim

x

x

x

0

tan2. lim 1

x

x

x

14. lim 1

x

xe

x

20

1 cos 16. lim

2x

x

x

0

ln 18.lim 1

x

x

x

03/04/2017

22



0

arcsin9. lim 1

x

x

x

11. lim arctan2x

x

13. lim arcco tx

x

0

arctan10. lim 1

x

x

x

12. lim arctan2x

x

14. lim arcco t 0x

x


Ví dụ• Nhận dạng và tính giới hạn sau

4

0

0

2 3

0

2 1 3. lim

2

. lim 1

sin 2. lim

sin 3ln ln

. lim

. lim

x

x

x

x

x x

x

xa

x

b x x

xc

xx a a

dx

e ee

x

0

0

0

0

0

0

0

0


Ví dụ• Nhận dạng và tính giới hạn:

1/

2

. lim 1

ln 1. lim

. lim tan2

x

x

x e

x

a x e

xb

x e

c x x

.0

0

0

0.


Ví dụ• Nhận dạng và tính giới hạn:

2

1

02

2

2

22

2

. lim cos

5. lim

5 4

5 3. lim

4

x

xx

x

x

x

a x

x xb

x

xc

x

1

1

5


Vô cùng bé

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé(VCB) khi xa nếu:

• Ví dụ:

sinx là VCB khi x 0 vì:

1/x là VCB khi x vì:

lim 0x a

f x

0lim sin 0x

x

1lim 0x x


Tính chất

1. Tổng hữu hạn các VCB là một VCB.

2. Tích hai VCB là một VCB.

3. Tích của một VCB và một hàm bị chặn là mộtVCB.

4. Thương của hai VCB có thể không là một VCB.

03/04/2017

23


Định nghĩa• Cho f(x); g(x) là hai VCB khi xa. Giả sử:

1. Nếu k=0 thì f(x) là VCB bậc cao hơn g(x).

Ký hiệu: f(x)=0(g(x))

2. Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là hai VCBcùng cấp

3. Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương.

Ký hiệu: f(x) ~ g(x)

4. Nếu k= ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x).

limx a

f xk

g x


Các VCB tương đương khi x0

2

1) sin 2) tan

3)arcsin 4)arctan

15) 1 cos 6) 1 1

27) 1 8) 1 ln

19) ln 1 10) log 1

ln

x x

a

x x x x

x x x x

x x x x

e x a x a

x x x xa

• Đây là các VCB khi x 0.


Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

• Các VCB bậc cao bị ngắt bỏ.

• Giới hạn có dạng 0/0

• Các dạng khác ta biến đổi để xuất hiện dạng0/0.

Toång höõu haïn caùc VCBlim

Toång höõu haïn caùc VCBx a

VCB baäc cuûa töûlim

VCB ba

thaáp nhaát

thaáp nhaäc cuûaá aãut mx a


Ví dụ

• Tính:

• Ta có:

• Vậy:

x

xI

x

5

0

1 1lim

arctan

x x xkhi x

x x

1/55 11 1 1 1

05arctan

x x

xx

Ix x

5

0 0

11 1 15lim limarctan 5


Ví dụ

• Tính:

• Ta có:

• Vậy:

x

x xJ

x x

2 30

ln 1 tanlim

sin

x x x x xkhi x

x x

2

3 3

ln 1 tan tan0

sin

x x x

x x x xI

x x x x x

2 3 2 3 20 0 0

ln 1 tanlim lim lim 1

sin


Ví dụ• Tính:

x

x

x x

x

x

x

x

x

e xK

xe e

Lx

eM

xe x

Nx x

2

20

sin 5

0

1

1

4 30

cos 3lim

2sin

lim 2ln 1 2

sin 1lim 1

ln1 cos 1 1

lim22 sin

03/04/2017

24


Vô cùng lớn

• Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn(VCL) khi xa nếu:

• Ví dụ:

x a

f x hay

lim

) ; ; cot laø VCL khi .sin

) tan laø VCL khi .

i x xx x

ii x x hay x

1 10

2 2


Định nghĩa• Cho f(x); g(x) là hai VCL khi xa. Giả sử:

1. Nếu k= thì f(x) là VCL bậc cao hơn g(x).

2. Nếu k hữu hạn, khác 0 ta nói f(x) và g(x) là hai VCLcùng cấp

3. Nếu k=1 thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương.

Ký hiệu: f(x) ~ g(x)

limx a

f xk

g x


Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

• Các VCL bậc thấp bị ngắt bỏ.

• Giới hạn có dạng /.

Toång höõu haïn caùc VCLlim

Toång höõu haïn caùc VCLx a

VCL baäc cuûa töûlim

VCL ba

cao nhaát

cao nhaáäc cuûa aãut mx a


Ví dụ

• Tính:

• Ta có:

• Vậy:

x

x x xI

x x

2

2

4 2 3lim

4

x x xkhi x

x x

2 2

2

4

4

2

2

4 2 3 2 3 3lim lim

24x x

x x x x x xI

x xx x


Ví dụ

x x

x x x

e e xJ

x x x

ln 1 lnlim lim lim 1

x

x x

x x

3 33 2

32

3 7lim

3 2 23 3

32

3 2 1 7 8lim

2 1x

x x xK

x x

x

x

x

3 33

2

3lim 3


Liên hệ VCB và VCL

• Định lý: Xét quá trình xa:

• Nếu f(x) là VCB thì: là VCL.

• Nếu f(x) là VCL thì: là VCB.

g xf x

1

g xf x

1

03/04/2017

25


Chú ý khi thay thế hàm tương đương

• Cho f(x)~f1(x) và g(x)~g1(x)

• Khi đó:

f x g x f x g x f x g x 1 1 1 1

f x g x f x g x f x g x 1 1 1 1


Thay thế sai

x x

x x x

x

x

x

3 30 0

tan sinlim lim

x x

x x x

x

x

x

3 30 0

tan sin tanlim lim

x x

xx x x

x x

3 30 0

tan sin sinlim lim

x x

x x

x x x x

2 2

2 20 22 0

1 cos 1 coslim lim

sin


Liên tục

• Liên tục tại một điểm

• Liên tục trái

• Liên tục phải

• Điểm gián đoạn

• Liên tục trên khoảng


Hàm số liên tục tại một điểm• Định nghĩa 1. Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu

xác định tại điểm này và:

• Định nghĩa 2. Hàm số f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi:

x x

f x f x

0

0lim

Nếu hàm không liên tục tại x0 ta nói hàm giánđoạn tại điểm này.

x x f x f x 0 0

0, 0 : 0


Liên tục trái – Liên tục phải

• Hàm số f(x) liên tục trái tại x0:

• Hàm số f(x) liên tục phải tại x0:

• Định lý: f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi f(x) liêntục trái và phải tại x0.

x x

f x f x

0

0lim

x x

f x f x

0

0lim


Điểm gián đoạn• Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số

1. Điểm gián đoạn loại 1:

• Tồn tại hữu hạn:

2. Điểm gián đoạn loại 2: nếu không là điểm gián đoạnloại 1

- Một trong hai giới hạn không tồn tại.

- Hoặc tồn tại nhưng bằng .

x x x x

f x f x 00

lim ; lim

ñieåm khöû ñöôïc

ñieåm nhaûy

ta noùi laø .

ta noùi laø .

x x x x

x x x x

f x f x x

f x f x x

00

00

0

0

lim lim

lim lim

03/04/2017

26


Liên tục trên khoảng

• f liên tục trên (a;b) nếu f liên tục tại mọi điểmthuộc(a;b).

• f liên tục trên [a;b) nếu f liên tục tại mọi điểmthuộc(a;b) và liên tục phải tại a.

• f liên tục trên (a;b] nếu f liên tục tại mọi điểmthuộc(a;b) và liên tục trái tại b.

• f liên tục trên [a;b] nếu f liên tục tại mọi điểmthuộc(a;b); liên tục phải tại a và liên tục trái tạib.


Tính chất hàm số liên tục• Cho f(x) và g(x) là 2 hàm liên tục tại x0. Khi đó:

• Cho f(x), g(x) là hai hàm liên tục trên [a,b]. Khi đó:

lieân tuïc taïi .

Neáu lieân tuïc taïi .

0

0 0

. ; ; .

. 0

i f x f x g x f x g x x

f xii g x thì x

g x

lieân tuïc treân .

Neáu lieân tuïc treân .

lieân tuïc treân .

. ; ; . ;

. 0 ;

. ;

i f x f x g x f x g x a b

f xii g x thì a b

g x

iii f x a b


Hàm sơ cấp• Hàm sơ cấp cơ bản:

• Hàm sơ cấp: là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơbản bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán:cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và phép hợp

1. 2.

3. 0 1

4. log 0 1

5. sin ; cos ; tan ; cot

6. arcsin ; arccos ;

arctan ; arc cot

x

a

y C y x

y a a

y x a

y x y x y x y x

y x y x

y x y x


Sự liên tục của hàm sơ cấpĐịnh lý. Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định

của nó.

Ví dụ: Tìm các khoảng liên tục của hàm số:

) ; 2 2;

) 3;

) 1;

a

b

c

2

2

3 5)

2) 3

) ln 1

3 2, 1

) 12 , 1

x xa f x

xb g x x

c h x x

x xx

d k x xx

) ;

: ;1 1;k

d D

Lien tuc


Bài tập 1

• Tìm các giới hạn sau đây

2 12 1

2 1

3 3 2

2 1 2 2

2 22

3 2

5.2 3.5 3) lim ) lim

110.2 2.5

6.9 7.4 ( 5) ( 7)) lim ) lim

3 5.6 2 3

sin) lim 3 5 ) lim

1

2 1) lim

2 1

nn n

n nn n

n n

n nn n

n n

n

n

na b

n

n n nc d

n n

n ne n n n n f

n

ng

n


Bài tập 2• Tìm các giới hạn sau:

4

2

21 6

2 2 4 2 2

20 0

4 32 32 1 0

1 2 3 cos) lim ) lim

2

4 5 2 2) lim ) lim

61

) lim 1 1 ) lim 4 13 7 2

sin 4 sin 2 2 1) lim ) lim

sin 6 sin8 sin 2 sin sin

) lim ) lim cos

x x

x x

x x

x x

xxxx x

x xa b

xx

x x xc d

xx

e x x f x x x

x xg h

x x x x x

k l

1

2xx

03/04/2017

27


Bài tập 3_Giới hạn một phíaa) Tính các giới hạn một phía

1 1l im ( ), lim ( )x x

f x f x

biết 1 1

1( )

x xf x

x

b) Tính 0 0

sin sinlim ; limx x

x x

x x , suy ra sự tồn tại của

0

sinlimx

x

x.

c) Tìm giới hạn một phía 0 0

2 2l im , lim

sin sinx x

x x x x

x x

.

d) Tính các giới hạn sau đây

a) 2 28 3 4 1l imx

x x x x

b) 22 4 7 4l imx

x x x

Bài tập 3


Bài tập 4• Sử dụng VCB tương đương tìm giới hạn

2 3 4

372 3

3

3

2 4 3

ln( ) (1 )(1 cos )

ln(1 ) sin0 0

sin . 12sin ln(1 )

tan .ln(1 3 )0 0

ln( 2 ) (1 )(1 cos )

ln(1 4 ) 2 sin0 0

arctan(2

2

) lim ) lim

) lim ) lim

) lim ) lim

) lim

x

x

x

cosx e x

x x xx x

xarc x ex x x

x xx xx x x

cos x e x

x x xx x

x

a b

c d

e f

g

12

2

) 2sin( 2) arcsin ( 1)

2 .ln(1 3 )4 0) lim

xx x x x e

tg x xx xh


Bài tập 5

• Xét tính liên tục của hàm số sau tại x=0

2

2

sin, 0

) ( )

, 0

( 3) ln(4 1), 0

) ( ) 1

2 , 0

x

xkhi x

a f x x

m khi x

x xkhi x

b f x e

x x khi x


Bài tập 6

• Xét tính liên tục của hàm số sau trên TXĐ

2

2

2

ln(2 1)4 , 0, 2) ( ) ) ( ) 12

, 0, 2

1 , 1 1, 1) ( ) ) ( )

2, 1 3 2 , 1

x

x xx khi xkhi xa f x b f x ex

x a khi xm khi x

x khi x x x khi xc f x d f x

mx khi x x khi x

Documents

HÀM SỐ, GIỚI HẠN, D E f LIÊN TỤC f · 03/04/2017 1 BàigiảngToáncaocấp1 NguyễnVănTiến HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC CHƯƠNG0 BàigiảngToáncaocấp1