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ALGO SOBRE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

A continuación se presenta un ejercicio correspondiente al último tema de Álgebra del primersemestre. El objetivo de mostrarlo en estas páginas es que sirva como un repaso y unapreparación para el apasionante y útil curso de Álgebra Lineal. Este ejercicio fue inspirado porotro que se propone en el libro “Apuntes de Álgebra Lineal” de Eduardo Solar González y LedaSpeziale de Guzmán, el cual recomiendo ampliamente para aquellos estudiantes que cursaránesta asignatura o, simplemente, que deseen recordar o aprender esta rama del conocimiento.

Ejercicio: Sea el conjunto ; es decir se trata delconjunto de funciones reales de variable real que tienen como característica particular que laimagen de los valores menos dos y cinco son iguales; esto es que los puntos correspondientesde su gráfica con abscisa menos dos y cinco, tienen la misma ordenada. Además se definenlas operaciones:

Es decir, las operaciones usuales de adición de funciones y multiplicación de un escalar poruna función que se aprendieron en Cálculo Diferencial.

Se desea saber si la estructura algebraica cumple con las propiedades enlistadas acontinuación:

y el elemento suma es único,

MATEMÁTICAS Y CULTURA

23.01.2014 No. 295

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y es único.

RESOLUCIÓN:

y el elemento suma es único.

Para investigar si esta propiedad se cumple debemos tener en cuenta que su enunciado nosseñala que la suma de dos funciones que pertenecen al conjunto debe pertenecer a esemismo conjunto y debe ser única. Es un error que se comete muy frecuentemente entre losestudiantes que se inician en esta rama del saber, el mencionar que la propiedad se cumpleporque la suma de dos funciones reales de variable real también es una función de este tipo,cuando debe asegurarse que la función resultado también posea la característica con la quese definió al conjunto; es decir, la imagen de la suma para el valor menos dos debe ser igual ala imagen de dicha suma para cinco; además de que si esto se cumple, el resultado debe serúnico.

Sean ; es decir Ahora bien, por la definición deadición de funciones se tiene:

, entonces:

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Pero , por lo que las expresiones (1) y (2) son equivalentes. Porúltimo para esta propiedad, tanto como son funciones y la propiedad básica de unafunción

3es que cada elemento de su dominio tiene una sola imagen en el codominio, además delmismo concepto de función se tiene que la suma de dos funciones es también una función, demanera que la imagen obtenida sea en la primera expresión o sea en la segunda, que es lamisma, nos lleva a concluir que es única.

La propiedad que acabamos de comprobar se conoce como cerradura, ello se debe a que aloperar con dos elementos de un conjunto, el resultado es del mismo conjunto, por lo que está“cerrado”, no es posible llegar a elementos de otros conjuntos.

Esta propiedad la podemos identificar como la asociatividad. Para asegurar su validez sólobasta recordar que todas las funciones reales de variable real la cumplen y no importa sipertenecen o no al conjunto en estudio.

Esta propiedad nos indica que el conjunto debe contener el llamado elemento idéntico,también conocido como el cero. Por supuesto que de Cálculo Diferencial conocemos que elidéntico de las funciones reales de variable real es la función constante igual a cero; con reglade correspondencia . Lo que nos toca investigar es si esta función es un

elemento del conjunto . La respuesta es sí ya que ; es decir .

La comprobación de esta propiedad también es casi inmediata pues es válida para el conjuntoentero de las funciones reales de variable real y como contiene a la función cero, deinmediato concluimos que cualquier función de dicho conjunto tiene su elemento inverso en él.

Esta propiedad, que es la conmutatividad, también se cumple para este conjunto puessabemos que se cumple para cualquier par de funciones del conjunto grande.

y es único.

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Sea es decir , y sea . De acuerdo con la definición de multiplicaciónde un escalar por una función se tiene:

pero , entonces

4Por otra parte

De (3) y (4) podemos concluir que la propiedad se cumple; además, como en la primera de laspropiedades, por tratarse de funciones llegamos a la conclusión que el producto de un escalarpor una función es único.

Aquí tenemos que se trata de la distributividad con respecto a la adición de funciones, la cualde Cálculo Diferencial sabemos de su cumplimiento, no importando a cual conjunto defunciones pertenezcan los sumandos.

Ahora tenemos la distributividad con respecto a la adición de números reales. Sucede algoenteramente similar a la propiedad anterior. Del mismo Cálculo Diferencial conocemos de sucumplimiento.

Esta propiedad nos dice que al multiplicar a una función por un escalar y, de nuevo, multiplicaral producto anterior por otro escalar, debe llevarnos al mismo resultado de multiplicar primeroa los dos escalares y a este resultado por la función. Nuevamente, de Cálculo Diferencialtenemos que la propiedad se cumple para cualquier función, pertenezca o no al conjunto

Esta propiedad es la que probablemente su cumplimiento sea más evidente. Creo que nohabrá dificultad en asegurar que cualquier función, sea o no del conjunto al multiplicarse porel número uno dé como resultado la misma función.

Con esto concluye el ejercicio y hemos comprobado que la estructura satisface lasdiez propiedades enunciadas; sin embargo, vale la pena extenderse un poco más en algunoscomentarios.

- La estructura algebraica del ejercicio anterior se llama Espacio Vectorial. Es decir,

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tenemos un conjunto y dos operaciones que cumplen con diez propiedades, aunqueestrictamente hablando se tienen en realidad dos conjuntos. En el ejemplo, el conjuntode funciones, que en general serán “los vectores” y el conjunto de los números reales,que serán los escalares y que ellos mismos deben constituir otra estructura algebraicaestudiada en Álgebra, el campo. En ocasiones y para algunos autores, quizás por

5simplicidad, al propio conjunto de vectores se le llama el espacio vectorial. Para elejemplo del ejercicio se podría decir “el espacio vectorial sobre el campo de losreales.

- Una definición del Álgebra Lineal es “la parte de las matemáticas que se dedica alestudio de los espacios vectoriales”. Si nos fijamos, ya en cursos anteriores se hatrabajado con vectores. Posiblemente algunos desde el bachillerato, otros aquí mismoen la Facultad en la asignatura Geometría Analítica. Los vectores de los que se hahablado son un caso particular de los espacios vectoriales. Para unos profesores losvectores los han definido como ternas ordenadas de números reales y los escalaresestos números reales. Algunos otros los definen como “segmentos dirigidos”. Enrealidad esta última definición puede considerarse como la interpretación geométrica delos vectores mencionados como ternas ordenadas de números reales. Ya el estudiantede Álgebra Lineal podrá percatarse que muchos otros elementos con los que hatrabajado también pueden considerarse como vectores, atendiendo a las propiedadesde la estructura algebraica que se analizó en el ejercicio precedente; solamente que enmuchos casos no es posible representarlos gráficamente como en el ejemplo referidode los segmentos dirigidos.

- En Álgebra también se estudia a los números complejos en todo un capítulo y, hacia elfinal del curso, se puede concluir que el conjunto de los números complejos con susoperaciones de adición y multiplicación, también forman la estructura llamada Campo.De hecho, desde estudios previos y en forma casi generalizada, se refiere uno al“Campo de los Números Complejos” a lo mejor sin prestar atención a esto, como sifuera solamente un nombre asignado a este conjunto. En la definición general de losespacios vectoriales se tiene que el conjunto de los escalares debe ser un campo,aunque para las aplicaciones específicas del Álgebra Lineal en la ingeniería, que es loque en esta Facultad nos ocupa, los escalares son en su gran mayoría o númerosreales o números complejos.

- El ejercicio que presenté puede resolverse de manera mucho más sencilla aplicando unteorema. Es más, como inicié la presentación fue mencionando que tomé la idea de unejercicio propuesto en el libro de la Maestra Leda y en él se induce por su enunciado ala aplicación de dicho teorema pues se quiere saber si el conjunto es “un subespacio”.Ya el estudiante de Álgebra Lineal conocerá el concepto de subespacio y el teorema alque me refiero. Con ello se podrá dar cuenta de todo lo que se simplifica la resolución

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del ejercicio. Solamente les diré que para determinar si el conjunto es un subespacio;es decir, un espacio vectorial contenido en otro, bastará con aplicar dos de los axiomas.Con ello podemos afirmar que se nos hace “una rebaja del ochenta porciento”, locual no es despreciable.

6- El Álgebra Lineal es una asignatura de impartición relativamente reciente. Como tal, en

la Facultad, debe haber iniciado su enseñanza a finales de la década de los setentas oa principios de los ochentas; sin embargo, puedo asegurar que cuando era estudianteen varias de las asignaturas me enseñaron diversos conceptos de dicha materia,cuando era necesaria su aplicación. Esto ha tenido repercusión en varios aspectos.Algunos ingenieros de la vieja guardia afirman categóricamente que “el Álgebra Linealno sirvepara nada”, que “ellos son excelentes ingenieros y nunca la cursaron”. Es más,aconsejan a los estudiantes que “hay que pasarla y después olvidarse de ella”. Yodifiero completamente de estas opiniones. Como mencioné, nunca estuve en un cursode dicha asignatura en la Facultad pero sí me enseñaron temas de ella cuando serequirió. Además, con el transcurso del tiempo, con la experiencia de ingeniero y comoprofesor, puedo afirmar, sin lugar a dudas, que el Álgebra Lineal tiene más aplicacionesen ingeniería que el Cálculo. De hecho, hay diversos temas del Cálculo que o requierende la aplicación del Álgebra Lineal o se facilita su comprensión o determinación con suutilización. Como ejemplo, el tema de Series de Taylor, como un caso particular deSeries de Potencias, puede estudiarse de manera muy interesante como una“combinación lineal de los vectores de una base con un número infinito de elementos”;sin dejar a un lado el hecho que el conjunto de funciones reales de variable real, consus operaciones de adición y multiplicación de un número real por una función, formanun espacio vectorial, como vimos en el ejercicio.

- Lo que sí es un hecho es que resulta muy difícil mencionar a los estudiantes lasaplicaciones de esta asignatura durante su impartición. Por ejemplo, de poco serviríaque durante el curso les exprese a los alumnos que “el conjunto solución de unaecuación diferencial lineal homogénea de orden es un espacio vectorial de dimensión

Con ello quizás lograría que pensaran los estudiantes “cómo sabe aunque noentendí nada”. Claro que como profesor debo buscar la manera que esto se resuelvasatisfactoriamente y sí pueda mencionar algunas aplicaciones y lograr que el estudio deesta materia les sea agradable.

- Por último quiero exhortar a los que inician en el estudio del Álgebra Lineal que lohagan con todo su entusiasmo considerando que la aplicarán en su momento y que, ensí, sus conceptos son apasionantes.

ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGAPROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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