b3-Campos Magneticos Dinamicos_h

Roberto Holub Electrotecnia I 4Tcnica

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INDUCCION ELECTROMAGNETICA En 1831, luego de una larga serie de experimentos, Michael Faraday encontr una relacin nueva entre efectos elctricos y magnticos. Se sabia, luego de los trabajos de Oersted y Ampere, entre otros, que una corriente elctrica (un campo elctrico) crea efectos magnticos. Faraday estaba convencido de la simetra en las leyes de la naturaleza, y de la observacin de la induccin electrosttica y la induccin de efectos magnticos por corrientes elctricas crea que un campo magntico deba creas efectos elctricos. Sin embargo, la relacin era ms sutil: son las variaciones en el tiempo del campo magntico las que crean un campo elctrico. A continuacin se citan las propias palabras de Faraday, en su presentacin ante la Royal Institution de Londres: El poder que posee la tensin elctrica de producir un estado elctrico opuesto en sus proximidades se ha expresado por el trmino general de induccin, el cual tal como ha sido recibido en el lenguaje cientfico puede ser tambin utilizado adecuadamente, con el mismo sentido general, para expresar el poder que pueden poseer las corrientes elctricas de inducir algn estado peculiar sobre la materia en su inmediata proximidad, que de otra manera permanecera indiferente. Es con este significado que propongo usarlo en este trabajo.

Ciertos efectos de induccin de las corrientes elctricas han sido ya reconocidos y descriptos, como los de magnetizacin; los experimentos de Ampere de la atraccin de un disco de cobre por una espiral plana; su repeticin con electroimanes de los extraordinarios experimentos de Arago y tal vez algunos otros. Sin embargo, parece improbable que stos puedan ser todos los efectos que produce la induccin por corrientes; especialmente dado que, si se prescinde del hierro, casi todos ellos desaparecen, mientras que todava una infinidad de cuerpos que muestran fenmenos definidos de induccin con electricidad de tensin, resultan adems influidos por la induccin de la electricidad en movimiento.

Ms an, ya sea se adopte la hermosa teora de Ampere o alguna otra, o cualquiera sea la reserva mental que se haga, sigue resultando extraordinario que, como toda corriente elctrica est acompaada por una correspondiente intensidad de accin magntica en ngulo recto con la corriente, buenos conductores de electricidad colocados dentro de la esfera de esta accin, no tengan alguna corriente inducida a travs de ellos ni se produzca algn efecto sensible equivalente, en fuerza, a tal corriente.

Estas consideraciones, con su consecuencia, la esperanza de obtener electricidad a partir del magnetismo ordinario, me estimularon en varias oportunidades a investigar experimentalmente el efecto de induccin de las corrientes elctricas. ltimamente llegu a resultados positivos y no solo he satisfecho mis esperanzas, sino que obtuve una clave que a mi parecer ofrece una explicacin completa de los fenmenos magnticos de Arago y tambin el descubrimiento de un nuevo estado que probablemente puede tener gran influencia en algunos de los ms importantes efectos de las corrientes elctricas.

Me propongo describir estos resultados, no como fueron obtenidos, sino en forma tal de dar la ms concisa visin del conjunto.

Se arrollaron aproximadamente veintisis pies de alambre de cobre de un vigsimo de pulgada de dimetro alrededor de un cilindro de madera, formando una hlice, intercalando un delgado hilo para impedir que las diferentes espiras se tocaran. Se cubri esta hlice con tela de algodn y luego se aplic un segundo alambre de la misma manera. En esta forma se superpusieron doce hlices conteniendo cada una, una longitud promedio de

alambre de veintisis pies y todas en el mismo sentido. La primera, tercera, quinta, sptima y undcima de estas hlices se unieron por sus terminaciones, extremo con extremo, de manera de formar una nica hlice. Las otras se conectaron en forma anloga y as se obtuvieron dos hlices, estrechamente intercaladas, que tenan el mismo sentido, que no se tocaban en ninguna parte y que contenan cada una ciento cincuenta y cinco pies de longitud de alambre.

Una de estas hlices se conect con un galvanmetro. La otra con una batera voltaica de diez pares de placas de cuatro pulgadas cuadradas, con chapas dobles y bien cargadas; sin embargo, no pudo observarse la ms ligera desviacin de la aguja del galvanmetro.

Al establecer el contacto se produjo un repentino y ligero efecto en el galvanmetro y tambin se produjo un ligero efecto similar cuando se interrumpi el contacto con la batera. Pero mientras la corriente voltaica continuaba pasando a travs de una de las hlices, no pudo percibirse ninguna desviacin galvanomtrica ni ningn otro efecto semejante a la induccin sobre la otra hlice, aunque se prob que el poder activo de la batera era grande por el calentamiento de la totalidad de su propia hlice y por el brillo de la descarga cuando se haca a travs de carbn.

El resto de la presentacin describe experimentos realizados para corroborar estas observaciones iniciales y analizar la dependencia de los resultados al tomar diferentes circuitos, materiales y disposiciones geomtricas. Entre otras cosas, Faraday describe el primer transformador y el primer generador/motor elctrico. Las experiencias de Faraday se pueden esquematizar considerando dos espiras conductoras cercanas. Por una de ellas puede circular una corriente controlada por un interruptor. La segunda es una espira cerrada con un galvanmetro conectado. Mientras circula corriente estacionaria (continua) por la primera espira el galvanmetro de la segunda no registra corriente alguna. Sin embargo al abrir o cerrar el interruptor se produce una corriente transitoria en la segunda espira como puede verse en las grficas de la derecha. El sentido de circulacin de esta corriente inducida es tal que el campo magntico creado por ella se opone al campo magntico creado por la corriente en la primera espira. Podemos interpretar este resultado admitiendo que se produce una fem (inducida) sobre un circuito cerrado que concatena o encierra un flujo magntico variable en el tiempo.

FEM INDUCIDA Un motor elctrico es una maquina que transforma energa elctrica en mecnica. Un generador es una maquina que transforma energa mecnica en elctrica. El funcionamiento de un motor depende del hecho de que un conductor que transporta una corriente en un campo magntico experimenta una fuerza que tiende a moverlo. El funcionamiento del generador es inverso; el movimiento de un conductor en un campo magntico origina una fuerza electromotriz (fem) que tiende a originar una corriente (si el circuito del conductor se encuentra cerrado). El hecho de que una fem se origine en

CAMPOS MAGNTICOS DINAMICOS


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un conductor que se mueve en un campo magntico fue descubierto en 1831 independientemente por Faraday en Londres y por Henry en Estados Unidos. La aparicin de una fem en un conductor que se mueve en un campo magntico constituye el ejemplo ms sencillo de un fenmeno mucho ms general denominado induccin electromagntica. Siempre que se produzca una variacin en el flujo magntico que abraza un circuito, se induce una fem en el circuito. Se efecta trabajo sobre las elctricas del conductor, por lo tanto, estas cargas experimentan fuerzas. Estas fuerzas tienen que ser elctricas. Las cargas estn accionadas por un campo elctrico. OTRAS EXPERIENCIAS DE FARADAY Sea una espira unida a un galvanmetro. Como el circuito carece de batera, no circula corriente por el galvanmetro. Michael Faraday realiz experiencias moviendo un imn con relacin a la espira y obtuvo las siguientes conclusiones:

a) Solamente aparece corriente en el galvanmetro mientras haya movimiento relativo entre espira e imn

b) La corriente es producida por una fem que recibe el nombre de fem inducida c) La fem inducida aparece en la espira cuando cambia la intensidad del campo magntico en la

regin de la espira d) La fem inducida cambia de polaridad cuando se invierte el sentido del movimiento relativo

imn-espira Llamamos inducido al circuito donde aparece la corriente: la espira Llamamos inductor al agente que produce el fenmeno: el imn. La fem inducida es proporcional al nmero de espiras de la bobina

EXPERIENCIAS DE HENRY Casi en forma simultanea y de manera independiente, Henry descubra que si un conductor de

longitud l se mueve en una regin donde existe un campo magntico, de forma tal que el conductor corte las lneas de campo al moverse, se origina una diferencia de potencial en los extremos del conductor. Esta diferencia de potencial origina una corriente elctrica si se cierra el circuito uniendo los extremos del conductor. Si se invierte el sentido del movimiento del conductor, se observa un cambio en el sentido de la fem inducida y si el circuito se encuentra cerrado, una consecuente inversin en el sentido de la corriente elctrica. Para explicar este fenmeno, recordemos que cuando una carga elctrica se mueve dentro de un

campo magntico, experimenta una fuerza BvqF = donde v es la velocidad de la carga y B la induccin magntica del campo. Las cargas libres que existen en un conductor (metal), se mueven en el mismo sentido bajo la accin de esa fuerza y el flujo de cargas mviles (electrones) a travs del conductor es la corriente elctrica. Otra forma de verlo es considerar que el motivo de la induccin de la fem es la variacin del flujo magntico. Recordamos que el flujo (nmero de lneas de campo) que atraviesa una superficie depende del valor del campo, del rea de la superficie y de la orientacin de sta con respecto al campo:

cos= SB

[ ] [ ] [ ]2mTWb =

As, el flujo magntico depende de tres valore y basta con que cambie uno slo de ellos para que cambie el valor del flujo. Cuando, en la experiencia de Faraday aproximamos el imn a la bobina, un nmero mayor de lneas de campo magntico atraviesa la superficie del bobinado y por lo tanto aumenta el flujo. Escribimos esa variacin del flujo magntico como

if =

Tambin el galvanmetro acusar el paso de una corriente si dejamos fijo el imn y deformamos la bobina de forma tal que vare su superficie. Fjense que es exactamente lo mismo dejar fija la bobina y acercarle el imn que dejar fijo el imn y acercarle la bobina.


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Si acercamos el polo norte del imn vemos que la corriente circula como se ve en el siguiente dibujo:

Si ahora alejamos el polo norte de la bobina, vemos que el sentido de la corriente se invierte:

Por otra parte se observa que el sentido de la corriente es el mismo cuando acercamos un polo norte que cuando alejamos un polo sur. De forma anloga, produce el mismo efecto acercar un polo sur que alejar un polo norte. Una forma de inducir una fem en la bobina es a travs de un solenoide o electroimn, como se ve en la figura que sigue.

En este caso auque el electroimn no se mueve con respecto a la bobina, si hacemos variar la corriente que circula por el solenoide, va a variar el campo magntico generado dentro del solenoide y al mismo tiempo el flujo que atraviesa la bobina, en la que al mismo tiempo va a engendrarse una fem.

MOVIMIENTO DE UN CONDUTOR EN UN CAMPO MAGNETICO

Consideremos un conductor del cual una longitud l se encuentra en un campo magntico B y se mueve con una velocidad v . El conductor, campo y velocidad son simultneamente perpendiculares. Aunque el conductor como un todo es elctricamente neutro, cada una de las cargas que lo

constituyen (electrones y protones) est sometida a una fuerzaF cuya magnitud, como ya vimos, es:

BvqF =

A diferencia de los ncleos positivos, algunos de los electrones pueden moverse libremente y se movern hacia la izquierda. Si los extremos del conductor son abiertos, el movimiento de los electrones dar origen a que el extremo izquierdo del conductor se cargue negativamente y el extremo derecho positivamente. El movimiento de los electrones contina hasta que los extremos del conductor alcancen una diferencia de potencial tal que la


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fuerza ejercida por el campo elctrico resultante sobre los electrones equilibre exactamente la

fuerza F que acta sobre los mismos debido al movimiento del conductor. Puesto que la fuerza sobre una carga Q en un campo elctrico E es EQF = , esto requiere que se origine un campo elctrico de magnitud vBE = , en la parte del conductor situada en el campo magntico. El campo elctrico tiene que estar dirigido de derecha a izquierda para equilibrar las fuerzas

magnticas. Un campo elctrico E que acta sobre la longitud l corresponde a una diferencia de potencial:

ll == vBEV Si ahora cerramos el circuito del conductor mediante una resistencia externa, va a circular una

corriente I por el circuito, de magnitud

RvB

RI l==

Ya que la fem engendrada en el conductor acta como la batera del circuito.

En la resistencia se va a disipar por unidad de tiempo una cantidad de energa RIPR2

= por

efecto Joule, a la que denominamos potencia disipada. Esta energa se disipa en forma de calor. Esta energa debe provenir de la energa mecnica consumida en empujar el conductor. La necesidad de consumir energa es clara ya que por el conductor circula corriente y, como vimos, cuando un conductor que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magntico, aparece sobre el conductor una fuerza

BIF = l

Vemos en el dibujo la direccin y sentido de la fuerza (comprobar mediante la regla del producto vectorial). Pero esta fuerza es opuesta al movimiento del conductor y tiende a frenarlo. Si queremos que el conductor siga movindose a velocidad constante, debemos aplicar una fuerza igual y opuesta. Esta fuerza externa que aplicamos mueve al conductor,

supongamos, una distancia d , as que en ese intervalo, estamos haciendo sobre el sistema un trabajo

dBIdFW == l

La potencia mecnica es el trabajo realizado

por unidad de tiempo, as que en este caso la potencia es

tdBI

tWPC == l

Y el cociente td / no es otra cosa que la velocidad con que se mueve el conductor:

vBIPC = l

Como consecuencia de la conservacin de la energa, la potencia desarrollada por la fuerza externa que mueve al conductor ha de ser igual a la potencia disipada en la resistencia.

RC PP =

RIvBI = 2l

RIvB =l

Recordando que la fem en el conductor es ll == vBEV la ecuacin anterior nos da la ley de Ohm para el circuito analizado lo cual confirma que la potencia mecnica desarrollada es la misma que se disipa en la resistencia. Es interesante notar el carcter autorregulador del sistema. Si intentamos aumentar la velocidad con la que se mueve el conductor, aumentar la fem engendrada en el conductor, y

consecuentemente la corriente del circuito. Esto implica que aumentara la fuerza BIF = l que se opone al movimiento lo cual es una muestra de la tendencia del sistema a conservar su estado. Por otro lado podemos concluir que la corriente inducida lo es en un sentido tal, que produce una fuerza magntica que se opone a la fuerza que motiva el movimiento.

LEY DE LENZ

De acuerdo con todo lo anterior podemos decir:

Toda variacin de flujo que atraviesa un conductor produce en ste una fem inducida. Si el conductor es parte de un circuito cerrado, aparece entonces una corriente inducida.

La corriente inducida slo dura mientras dura la variacin del flujo. La fem inducida es un efecto que no puede existir sin una causa. La relacin entre la corriente inducida y la causa que la genera fue estudiada por Lenz en 1834, quien formul la ley que lleva su nombre


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Cuando el polo norte del imn de la figura de abajo se acerca a la bobina induce una corriente en ella. Esta corriente genera un campo magntico opuesto al del imn. El sentido de la corriente inducida debe ser tal que aparezca un polo norte frente al polo norte del imn. Si ahora intentamos alejar el imn, debe inducirse en la bobina una corriente tal se oponga a este cambio. El cambio esta representado por el alejamiento del imn. La oposicin de la corriente a este cambio implica que el campo magntico producido por la corriente en la bobina debe atraer al imn impidiendo que se aleje. Esto significa que el campo en la bobina ahora tendr su polo sur enfrentado al imn. Recuerden que los polos de nombre diferente se atraen. La corriente ahora va a circular en el sentido opuesto al anterior.

LEY DE FARADAY De acuerdo con las experiencias realizadas por Faraday podemos decir:

Un campo magntico esttico no produce efectos elctricos Un campo magntico cambiante induce una fem en un conductor o bobina La fem inducida es el resultado del cambio del flujo magntico

La fem inducida acta oponindose al cambio de flujo que la crea. El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variacin del flujo inductor.

La magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la rapidez con la que cambia el flujo magntico a travs del circuito.

t

=


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Si el circuito es una bobina de N espiras de superficie S que se encuentran en una regin donde existe un campo magntico es B , entonces la fem inducida en la bobina es

( )t

BSNt

N

=

= cos

El signo menos indica la polaridad de la fem inducida y se refiere a la ley de Lenz, que indica que la corriente inducida crea un campo que se opone a la variacin en el tiempo del campo original. Por ejemplo, la espira de la figura de abajo a la izquierda se halla en una regin del espacio donde existe

un campo magntico variable en el tiempo. La derivada de

B respecto del tiempo tiene la direccin indicada. Entonces la corriente inducida sobre la espira tiene el sentido indicado en la

figura, que crea el campo inducido iB que se opone a los cambios en el campo original (el campo original en si puede apuntar en cualquier direccin). No es necesario sin embargo que el campo magntico sea variable. Si un circuito o parte de l se mueve o se modifica su superficie en una regin del espacio donde exista un campo magntico (por ejemplo estacionario y uniforme), se inducirn corrientes que tienden a mantener constante el flujo magntico que encierra el circuito. En el primer caso hablamos de

efecto de induccin electromagntica (circuito fijo y campo variable) mientras que en el segundo caso (campo estacionario, circuito mvil o variable en su geometra) se habla de fem de movimiento. Si no hay variacin del flujo en el tiempo 00 ==

En el caso del conductor que se mueve dentro de un campo magntico, al avanzar una distancia x el conductor de longitud l (longitud del conductor inmersa en el campo) barre una superficie

xS = l . Si el campo magntico es uniforme y de magnitud B , la fem inducida en el conductor es

( )t

SBt

SBt

=

=

=

cos

Ya que 1cos0 == . Entonces

vBt

xB =

= ll

Siendo v la rapidez con la que se mueve el conductor dentro del campo. Compare esta ultima expresin con la que aparece al final de la pagina 84.

Si, al moverse, el vector velocidad v del conductor forma un ngulo con el vector de campo magnticoB , entonces la fem inducida vale

senvB = l Al hacer el anlisis de la fem que se induce en un conductor que se mueve en una regin donde existe un campo magntico consideramos que el conductor se encontraba en movimiento respecto de un sistema de referencia fijo al campo, el cual consideramos en reposo. Es interesante averiguar si se llega al mismo resultado si consideramos un sistema de referencia fijo al conductor y si ponemos que lo que se mueve es el campo magntico. Recordemos que decimos que un sistema de referencia es inercial cuando en l son vlidas las leyes de Newton de la mecnica clsica. Si sabemos que un determinado sistema de referencia es inercial, cualquier otro sistema que se encuentre en reposo respecto de aqul o bien que se mueve respecto de l con movimiento rectilneo y uniforme, ser tambin un sistema de referencia inercial. Por otra parte, no ser inercial un sistema de referencia que se encuentre acelerado respecto de nuestro original sistema de referencia inercial. Si se aplican las leyes de Newton a sistemas de referencia no inerciales aparecen fuerzas que no corresponden a interacciones y por lo tanto no son fuerzas desde un punto de vista estricto. En los casos que estamos analizando, ya sea que se mueva el conductor o el campo, mientras la velocidad del movimiento sea constante, se obtienen los mismos resultados para la fem inducida sin importar donde coloquemos el sistema de referencia (siempre inercial). Cuando colocamos el sistema de referencia fijo al campo magntico, un observador observa cargas en movimiento (las cargas que forman los tomos de la barra conductora que se mueve) y entonces sobre estas cargas debe aparecer una fuerza de origen magntico (fuerza de Lorentz), fuerza que desplaza las cargas a extremos opuestos de la barra y determina la aparicin de una diferencia de potencial entre extremos. Cuando colocamos el sistema de referencia fijo en la barra ya no hay cargas en movimiento y por lo tanto un observador no detecta ninguna fuerza de origen magntico, pero observa ahora lneas de campo magntico que se desplazan y que dan lugar a la aparicin de un campo elctrico. Es este campo elctrico el que produce la fem sobre la barra. Las dos descripciones son equivalentes en cuanto al valor de la fem observada, pero existe una diferencia en cuanto a la causa que genera dichas fuerzas electromotrices.


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Esta asimetra en la descripcin de los fenmenos supuestamente responsables de un determinado efecto a partir de observaciones en sistemas de referencia inerciales en movimiento relativo es citada por Einstein en la introduccin a su trabajo de 1905 donde establece la teora especial de la relatividad. En palabras del propio Einstein: Es conocido que la electrodinmica de Maxwell como se la entiende habitualmente en el presente cuando se aplica a cuerpos en movimiento, lleva a asimetras que no parecen ser inherentes a los fenmenos. Tmese, por ejemplo, la accin electrodinmica recproca entre un imn y un conductor. El fenmeno observable aqu depende solamente del movimiento relativo entre el conductor y el imn, mientras que la visin usual traza una clara distincin entre los dos casos en que uno u otro de estos cuerpos est en movimiento. Porque si el imn est en movimiento y el conductor en reposo, surge en la vecindad del imn un campo elctrico con una cierta energa definida, que produce una corriente en los lugares donde estn situadas partes del conductor. Pero si el imn est estacionario y el conductor en movimiento, no surge campo elctrico alguno en la vecindad del imn. Sin embargo en el conductor encontramos una fuerza electromotriz, para la cual en s no hay una energa correspondiente, pero que da lugar asumiendo igualdad en el movimiento relativo en los dos casos discutidos a corrientes elctricas del mismo camino e intensidad que las producidas por las fuerzas elctricas en el primer caso. Ejemplos de este tipo, junto con los fallidos intentos de descubrir algn movimiento de la Tierra relativo al medio luminoso, sugieren que los fenmenos de la electrodinmica as como los de la mecnica no poseen propiedades correspondientes a la idea del reposo absoluto. Ms bien sugieren que, como ya se ha demostrado a primer orden de pequeas cantidades, las mismas leyes de la electrodinmica y la ptica sern vlidas para todos los sistemas de referencia para los cuales las ecuaciones de la mecnica se cumplen. Elevaremos esta conjetura (cuyo sentido se llamar desde ahora Principio de Relatividad) al status de un postulado, y tambin introduciremos otro postulado, que slo aparentemente es irreconciliable con el anterior, que la luz siempre se propaga en el espacio vaco con una velocidad definida c que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor. Estos dos postulados son suficientes para la obtencin de una teora simple y consistente de la electrodinmica de cuerpos en movimiento basada en la teora de Maxwell para cuerpos estacionarios. La introduccin de un ter luminfero se revelar superflua ya que la visin a desarrollar aqu no requiere un espacio absolutamente estacionario provisto con propiedades especiales, ni asignar un vector velocidad a puntos del espacio vaco donde tienen lugar los procesos electromagnticos. La teora a ser desarrollada se basa como toda electrodinmica en la cinemtica del cuerpo rgido, dado que las afirmaciones de cualquier teora tienen que ver con las relaciones entre cuerpos rgidos (sistemas de coordenadas), relojes y procesos electromagnticos. Una consideracin insuficiente de esta circunstancia yace en la raz de las dificultades que encuentra al presente la electrodinmica de cuerpos en movimiento. Aunque el elemento disparador de la teora especial de la relatividad parece ser la necesidad de hallar una descripcin adecuada de la forma de las ecuaciones de Maxwell cuando se analizan los fenmenos desde sistemas de referencia en movimiento relativo, la parte cinemtica es totalmente general y crea una mecnica nueva, contradiciendo los postulados bsicos de Newton acerca del espacio y el tiempo absolutos. Trabajos posteriores de Einstein y otros, complementaron esta mecnica y arrojaron nuevos resultados sobre los fenmenos electromagnticos. Adems del descubrimiento de la induccin electromagntica, Michael Faraday aport muchas importantes contribuciones a la teora electromagntica. Una de las ms fructferas fue la nocin de lneas de campo. Muchos haban observado antes la peculiar distribucin de limaduras de hierro en presencia de un imn, pero fue Faraday quien primero pens que esta distribucin en lneas de fuerza reflejaba una caracterstica profunda de la interaccin magntica.

Sin embargo, en esa poca la lnea principal de desarrollo de la teora de la electricidad y el magnetismo se basaba en el modelo de accin a distancia. Luego de los experimentos de Coulomb en 1788 y la asimilacin de los fenmenos elctricos al mismo modelo de la teora gravitatoria de Newton, ampliamente respetada y considerada la forma paradigmtica de las acciones fsicas, diversos investigadores como Laplace, Poisson, Lagrange, Green y Gauss, desarrollaron la teora matemtica del potencial. Tambin la teora magntica de Ampere se basaba en la idea de accin a distancia. Faraday no contaba con una formacin matemtica adecuada y segua con dificultad estos desarrollos, pero en su pensamiento ntimo crea que deban encontrarse bases fsicas de estas teoras matemticas. Crey encontrar estas bases en la nocin de lneas de fuerza. En Experimental Researches in Electricity, Vol III, Serie XXVIII (1852), Faraday escribe: A partir de mis primeros experimentos sobre la relacin de la electricidad y el magnetismo, he tratado de pensar y hablar de la lneas de fuerza magntica como representaciones de la potencia magntica, no meramente en cuestiones de calidad y direccin, sino tambin en cantidad. La necesidad en que me hall de un uso ms frecuente del trmino de algunas investigaciones recientes me ha conducido a creer que ha llegado el momento en que la idea que imparte la frase debe ser enunciada muy claramente, y tambin debe ser examinada cuidadosamente, de manera que pueda averiguarse cuan lejos puede aplicarse en verdad en la representacin de las condiciones y fenmenos magnticos y cuan til puede ser en su dilucidacin, y tambin cunto puede ayudar en dirigir correctamente la mente a nuevas concepciones de la naturaleza fsica de la fuerza y el reconocimiento de los posibles efectos, sea nuevos o conocidos, que pueden producirse por esta representacin. Ahora me parece que estas lneas pueden emplearse con grandes ventajas para representar la naturaleza, condicin, direccin y cantidad comparativa de las fuerzas magnticas, y que en muchos casos tienen, al menos al razonador fsico, una superioridad sobre los mtodos que representan las fuerzas como concentradas en centros de accin, tales como los polos de imanes y agujas, u otros mtodos como, por ejemplo, el que considera los magnetismos norte y sur como fluidos que se difunden desde los extremos o entre las partculas de una barra. Cmo la fuerza magntica se transfiere a travs de cuerpos o a travs del espacio no lo sabemos. Si el resultado es meramente accin a distancia, como en el caso de la gravedad, o por algn agente intermedio, como en los casos de la luz, el calor, la corriente elctrica y (como yo lo creo) la accin elctrica esttica. La idea de los fluidos magnticos, aplicada por algunos, o la de los centros magnticos de accin, no incluye la nocin del ltimo tipo de transmisin, pero la idea de las lneas de fuerza si lo hace. Por mi propia parte, considerando la relacin del vaco a la fuerza magntica y el carcter general de los fenmenos magnticos externos al imn, estoy ms inclinado a la nocin que en la transmisin de la fuerza existe una accin, externa al imn, que a la idea de que los efectos son meramente de atraccin y repulsin a distancia. Tal accin puede ser una funcin del ter, porque no es nada improbable que, si existe un ter, debera tener otros usos que la simple transmisin de la radiacin. Las ideas de Faraday, al no tener un soporte matemtico que permitiera predecir efectos, tuvieron poco eco. En 1842 William Thomson (despus Lord Kelvin) public el trabajo On the uniform motion of heat in homogeneous solid bodies, and its connection with the mathematical theory of electricity, donde demostraba que la nocin de lneas de fuerza poda ser interpretada matemticamente de manera que llevaba a ecuaciones similares a las ya entonces conocidas de teoras de la transmisin del calor y la mecnica. En 1847 Thomson extendi estas ideas a una representacin mecnica de las interacciones elctricas y magnticas en On a mechanical


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representation of electric, magnetic, and galvanic forces. Estos trabajos de Thomson pueden considerarse como la base de la que se desarroll la teora de los campos electromagnticos. En su Treatise on electricity and magnetism, de 1873, James Clerk Maxwell plantea su deuda con Faraday y Thomson en el desarrollo de sus propias ideas sobre la teora electromagntica, as como su deseo de fundir las nociones empricas de Faraday con las nociones matemticas de la lnea continental: La apariencia general del tratado difiere considerablemente de la de varios trabajos elctricos excelentes, publicados en su mayora en Alemania, y puede parecer que se hace escasa justicia a las especulaciones de varios eminentes elctricos y matemticos. Una razn de esto es que antes de comenzar el estudio de la electricidad resolv no leer ninguna obra matemtica sobre el tema antes de haber ledo por completo Experimental Researches on electricity de Faraday. Yo era consciente de que se supona que haba diferencias entre la forma de concebir los fenmenos de Faraday y la de los matemticos, de modo que ni el ni ellos estaban satisfechos con el lenguaje del otro. Tenia tambin la conviccin de que esta discrepancia no surga de que alguna de las partes estuviera equivocada. Fui convencido de esto primero por Sir William Thomson, a cuyo consejo y asistencia, as como a sus obras publicadas, debo la mayora de lo que he aprendido sobre este tema. A medida de que avanzaba en el estudio de Faraday, perciba que su mtodo de concebir los fenmenos era tambin un mtodo matemtico, aunque no exhibido en la forma convencional de smbolos matemticos. Tambin encontr que estos mtodos eran capaces de ser expresados en formas matemticas ordinarias, para as ser comparadas con las de los matemticos. Por ejemplo, Faraday, en su mente, vea lneas de fuerza atravesando todo el espacio donde los matemticos vean centros de fuerzas que se atraen a la distancia. Faraday vea un medio donde ellos no vean nada salvo distancia. Faraday busc el asiento de los fenmenos en acciones reales que tenan lugar en el medio. Ellos estaban satisfechos de haberlo hallado en una potencia de accin a distancia expresada sobre los fluidos elctricos. Cuando haba traducido lo que consideraba eran las ideas de Faraday a una forma matemtica, encontr que en general los resultados de los dos mtodos coincidan, de modo que los mismos fenmenos eran descriptos y las mismas leyes de accin se deducan mediante ambos mtodos, pero los mtodos de Faraday recordaban aquellos en los que comenzamos con el todo y llegamos a las partes por anlisis, mientras que los mtodos matemticos ordinarios se fundamentaban en el principio de comenzar por las partes y construir el todo mediante sntesis.

En 1854, despus de su graduacin, Maxwell ley las Experimental Researches de Faraday. En 1855 a los 25 aos, Maxwell public su primer trabajo sobre electricidad, titulado On Faradays lines of force, donde establece analogas entre el comportamiento electroesttico y el movimiento de los fluidos incompresibles, y entre las lneas de fuerza magntica y torbellinos en un fluido. Suponiendo a las cargas positivas y negativas como fuentes y sumideros de un fluido, Maxwell encuentra que el flujo se realizara siguiendo las lneas de fuerza de Faraday. En 1861-62 Maxwell publica una serie de trabajos, On physical lines of force, donde, a partir de sus resultados previos, desarrolla un modelo mecnico de las fuerzas electromagntica. En este modelo la accin a distancia se reemplaza por una descripcin de campos en un medio especial, el ter, donde los campos producen tensiones asociadas con las lneas de fuerza de Faraday. Este ter, como soporte material de la propagacin de las radiaciones, es una estructura comn a todos los modelos mecanicistas de mediados del siglo XIX y slo desaparecer con la teora de la relatividad. El modelo de Maxwell era notablemente complejo. Se basaba en una estructura de vrtices, unos elctricos y otros magnticos, cuyos ejes coincidan con las lneas de fuerza de Faraday. En palabras del propio Maxwell:

Creo que tenemos buena evidencia para la opinin de que algn fenmeno de rotacin tiene lugar en el campo magntico; que esta rotacin se realiza por un gran nmero de porciones muy pequeas de materia, cada una rotando sobre su propio eje, siendo este eje paralelo a la direccin de la fuerza magntica, y que las rotaciones de estos diferentes vrtices dependen unas de las otras mediante algn tipo de mecanismo que las conectan. El intento que hice para imaginar un modelo que funcione de este mecanismo no debe tomarse de mayor valor que lo que realmente es, una demostracin de que es posible imaginar un mecanismo capaz de producir una conexin mecnicamente equivalente a la real conexin de las partes del campo electromagntico. El problema de determinar el mecanismo requerido para establecer una especie dada de conexin entre los movimientos de las partes de un sistema siempre admite un nmero infinito de soluciones. De stas algunas pueden ser ms toscas o ms complejas que otras, pero todas deben satisfacer las condiciones generales del mecanismo. Los siguientes resultados de la teora, sin embargo, son de mayor valor: 1) La fuerza magntica es el resultado de la fuerza centrfuga de los vrtices. 2) La induccin electromagntica de corrientes es el efecto de las fuerzas puestas en juego cuando la velocidad de los vrtices est cambiando.

3) La fuerza electromotriz surge de las tensiones (mecnicas) sobre el mecanismo de conexin. 4) El desplazamiento elctrico surge de la respuesta elstica del mecanismo de conexin. Esta ltima frase describe una novedad introducida por Maxwell. As como un campo magntico variable en el tiempo daba lugar a un campo elctrico, de acuerdo a los descubrimientos experimentales de Faraday, un campo elctrico variable en el tiempo dara lugar a un campo magntico. Esta caracterstica nueva, la corriente de desplazamiento, que reemplazaba a la corriente real en la produccin de un campo magntico en un medio dielctrico, permite llegar a la prediccin de la existencia de ondas electromagnticas. Maxwell encuentra que la velocidad de propagacin de estas ondas coincide numricamente con el valor de la velocidad de la luz en el vaco: la velocidad de propagacin de vibraciones transversales a travs del medio elstico del cual las celdas estn compuestascoincide tan exactamente con la velocidad de la luzque apenas podemos evitar la inferencia que la luz consiste en las vibraciones transversales del mismo medio que es la causa de los fenmenos elctricos y magnticos. El nfasis es original de Maxwell, que se daba cuenta de lo revolucionario de sus conclusiones. En una larga carta a Faraday en 1861, Maxwell afirma: Pienso que ahora tenemos fuertes razones para creer, ya sea que mi teora sea un hecho o no, que el medio luminfero y el medio electromagntico son uno solo. En 1864 Maxwell publica un tercer trabajo, titulado A dynamical theory of the electromagnetic field, donde abandona la interpretacin mecanicista de sus trabajos previos y otorga una realidad a las cantidades vectoriales que definen el campo. En particular, introduce la corriente de desplazamiento mediante argumentos puramente elctricos, mientras que en su modelo previo surga de consideraciones sobre la elasticidad del medio: En un dielctrico bajo la accin de fuerza electromotriz, podemos concebir que la electricidad en cada molcula est tan desplazada que un lado resulta elctricamente positivo y el otro negativo, pero que la electricidad


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permanece enteramente conectada con la molcula, y no pasa de una molcula a otra. El efecto de esta accin sobre la masa dielctrica total es producir un desplazamiento general de la electricidad en una cierta direccin. Este desplazamiento no constituye una corriente, porque cuando ha llegado a un cierto valor permanece constante, pero es el comienzo de una corriente, y sus variaciones (en el tiempo) constituyen corrientes en la direccin positiva o negativa de acuerdo a que el desplazamiento est aumentando o disminuyendo. Maxwell afirma que los fenmenos magnticos se deben a la corriente total, que es la suma de las

corrientes de conduccin ( J ) y la corriente de desplazamiento ( dtDd / , en rigor tD / ). En este trabajo Maxwell va ms all de su afirmacin de que la luz y las ondas electromagnticas se propagan por el mismo medio. Y dice: La luz misma (incluyendo el calor radiante y otras radiaciones) es una perturbacin electromagntica en la forma de ondas que se propagan a travs del campo electromagntico. El trabajo de 1864 no difiere conceptualmente del Treatise de 1873, donde Maxwell realiza una presentacin enciclopdica del electromagnetismo que se conoca en la poca, a la luz de su propia teora. Esta obra, por su pretensin de abarcar todos los fenmenos electromagnticos entonces conocidos desde el modelo de campo, y utilizando la nomenclatura matemtica del clculo vectorial pero sin la ayuda de la terminologa simblica introducida por Heaviside, Hertz y otros, es notablemente difcil y, de igual forma que los trabajos previos de Maxwell, no caus mucho impacto. Los fsicos britnicos, liderados por Lord Kelvin, mantenan su inclinacin hacia una interpretacin mecnica de los fenmenos fsicos y los fsicos continentales, con pocas excepciones, adheran a las teoras matemticas basadas en la accin a distancia. Maxwell entiende claramente que estas dos descripciones son complementarias, y aunque usa profusamente en el Treatise las herramientas matemticas y los desarrollos previos de los matemticos continentales, siempre se apoya en la intuicin fsica de Faraday de las lneas de fuerza que ahora constituyen lneas de campo. El rol del trmino de desplazamiento como fuente de campo magntico es subrayado: Tenemos muy poca evidencia experimental relacionada a la accin electromagntica directa de corrientes debidas a la variacin (temporal) del desplazamiento elctrico en dielctricos, pero la extrema dificultad de reconciliar las leyes del electromagnetismo con la existencia de corrientes elctricas que no son cerradas es una razn entre muchas por la cual debemos admitir la existencia de corrientes transitorias debidas a la variacin del desplazamiento. Su importancia se ver cuando lleguemos a la teora electromagntica de la luz. Una de las principales peculiaridades de este tratado es la doctrina que afirma que la verdadera corriente elctrica, de la que dependen los fenmenos electromagnticos, no es igual a la corriente de conduccin, sino que debe tenerse en cuenta adems la variacin temporal del desplazamiento elctrico para estimar el movimiento total de electricidad. Maxwell es consciente de la consecuencia de admitir la existencia del trmino de desplazamiento. Este trmino, agregado en la ley de Ampere, lleva a predecir que la luz es un fenmeno electromagntico, de forma que el captulo XX de su Treatise se titula Teora electromagntica de la luz. Sin embargo, el desplazamiento sigue siendo introducido a partir de un medio fsico formado por molculas polarizables, un dielctrico. Maxwell encuentra que la velocidad de propagacin de

ondulaciones electromagnticas en el aire o en los espacios planetarios coincide con los valores medidos por fsicos como Fizeau y Foucault. Maxwell muri en 1879. Aunque su trabajo en la fsica era ampliamente reconocido, su teora electromagntica tuvo poca repercusin, quizs por la dificultad matemtica de su tratamiento, el enciclopedismo apabullante del Tratase y la poca fe de los fsicos de su poca en un modelo no mecanicista. Algunos pocos autores como Lodge, Fitzgerald, Heaviside y Helmholtz trabajaron siguiendo las lneas del Treatise. En 1887-1888, Heinrich Hertz, alumno de Helmholtz, public trabajos donde describe la produccin y deteccin de ondas electromagnticas y la medicin de su velocidad de propagacin que coincide con la prediccin de Maxwell. Estos descubrimientos, junto con la simplificacin de la teora debido a la notacin operacional vectorial introducida por Hertz y Heaviside, llevaron a la aceptacin universal de la teora de Maxwell. Los trabajos de Maxwell han ejercido una inmensa influencia en el desarrollo de la fsica y en la invencin de aparatos que han forjado la industria moderna.

FEM INDUCIDA Y CAMPO ELECTRICO Vimos que un flujo magntico variable induce una fem y una corriente en un circuito cerrado. Cuando pensamos en corriente elctrica pensamos en un campo elctrico que determina una fuerza elctrica en partculas cargadas, ponindolas en movimiento. En el caso del circuito cerrado antes mencionado podemos inferir que el flujo magntico variable induce un campo elctrico, ltimo responsable de la aparicin de la corriente. Si bien las cargas se ponen en movimiento por la aparicin del campo elctrico, ste es independiente de la existencia de las cargas. Esto sugiere que, aunque no existiese el circuito cerrado, la variacin del flujo magntico en determinada regin del espacio dara lugar a la aparicin de un campo elctrico. Y esto es realmente as. Este campo elctrico inducido no es conservativo, a diferencia del campo elctrico producido por una distribucin de carga estacionaria. Podemos visualizar esto prestando atencin a la figura de la derecha. En ella vemos un anillo conductor situado en un campo magntico uniforme. Si ahora el campo magntico se vuelve variable en el tiempo, de acuerdo con la ley de Faraday se induce en el anillo una fem:

dtd B

=


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La aparicin de una corriente inducida en el anillo implica la existencia de un campo elctrico

inducido E como ya vimos. Este campo, en cada punto del anillo, debe ser tangente al conductor ya que, en cada punto, esa es la direccin en la que se mueven las cargas, respondiendo a la fuerza elctrica. El trabajo que efecta el campo elctrico para mover una carga q una vez alrededor del anillo es q . La fuerza que pone en movimiento la carga es qE y entonces podemos escribir, para el trabajo, rqE pi2 . Donde rpi2 es la distancia que recorre la carga en una vuelta alrededor del anillo. Igualando ambas expresiones para el trabajo:

rqEq pi 2=

rE

pi

2

=

Siendo 2rBBAB pi== entonces:

dtdBr

dtd

rrE B

221

2=

==

pipi

La fem para cualquier trayecto cerrado se puede expresar como:

= sdE

Teniendo en cuenta que el campo puede no ser uniforme y el trayecto puede tener forma arbitraria, podemos escribir la ley de Faraday en la forma general:

=

dtd

sdE B El campo elctrico que aparece en esta expresin es no conservativo y es creado por un campo magntico variable. Es por lo tanto un campo elctrico pero no electroesttico. Si el campo fuese

electroesttico seria conservativo y se cumplira 0= sdE La distincin entre la fem y la diferencia de potencial se hace tangible en sus propiedades matemticas.

La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera est definida por la integral del campo electroesttico (conservativo) a lo largo de cualquier trayectoria entre ellos:

==B

AAB ldEVVV

Si la integral se evala siguiendo una trayectoria cerrada que comience y termine en el mismo punto, por ejemplo el punto A, la diferencia de potencial es cero:

0=== A

AAA ldEVVV

Esta no es ni ms ni menos que una de las leyes de Kirchhoff. En contraste, la ley de Faraday nos dice que la fem alrededor de una trayectoria cerrada no es siempre cero. La fem describe fuentes de energa y es el resultado de efectos magnticos y de campos elctricos inducidos. La fuerza electromagntica total que acta sobre una carga, o fuerza de Lorentz, era: ( )BvEqF +=

La fem inducida que acta alrededor de una trayectoria cerrada es el trabajo efectuado por unidad de carga, al mover la carga por la trayectoria.

( ) +== ldBvEqW Aunque en esta ltima expresin aparece el campo electroesttico slo el campo elctrico inducido contribuye a la fem, porque la integral del campo electroesttico alrededor de una trayectoria cerrada es cero. ( ) ( ) ( ) ( ) =+=+=+= ldBvldBvldBvldEldBvE 0 Por otro lado, se define al potencial nicamente mediante el campo electroesttico. En este caso el campo inducido no contribuye.


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FEM Y SISTEMAS DE REFERENCIA Si empujamos un imn hacia una espira de alambre, a una rapidez v , el campo magntico cambiante induce un campo elctrico en la espira, y por ella circula una corriente. Si en lugar de hacer esto dejamos quieto al imn y movemos la espira hacia el imn con la misma rapidez v , las fuerzas magnticas producen una fem de movimiento que impulsa corriente por la espira. En ambos casos la corriente es igual. Einstein, en su artculo sobre relatividad, observ que esos dos experimentos deben dar el mismo resultado porque en realidad son el mismo experimento. El campo elctrico inducido y la fem de movimiento no son efectos fsicos aislados, sino dos modos de describir el mismo efecto en distintos marcos de referencia. Existe una correspondencia

semejante entre los mismos campos elctrico y magntico. La cantidad ( )BvE + que expresa la contribucin a la fem en determinado elemento ld de un circuito en movimiento, es el campo elctrico E medido en el marco de referencia que se mueve con ese elemento.

CORRIENTES DE EDDY Como ya vimos, una fem y una corriente se inducen en un circuito cuando se presenta un flujo magntico variable. De igual forma, existen corrientes llamadas corrientes de eddy que se inducen en un material conductor cuando ste se somete a un flujo magntico variable. Para demostrarlo se puede utilizar el dispositivo pendular que se ve en la figura derecha. El extremo del pndulo est formado por una placa delgada de aluminio. Al oscilar, la placa atraviesa una regin donde existe un campo magntico uniforme. Pero si prestamos atencin a la placa, mientras sta se mueve por dicha

regin, el flujo magntico en la placa cambia, desde su ingreso hasta su completo egreso de la regin comprendida entre los dos polos del imn. Los electrones libres de los tomos en la placa se encuentran, al variar el flujo, sometidos a una fem inducida que los pone en movimiento dentro de la placa. Estos electrones mviles determinan las llamadas corrientes de eddy, corriente cuya trayectoria, como es de esperar ser una circunferencia. De acuerdo a la ley de Lenz, el sentido

de la corriente ser tal que crear un campo que se opondr a la causa que genera las corrientes. El efecto de estas corrientes ser el de frenar el movimiento de la placa.

Como se ve en la figura, cuando la placa ingresa al sector entre ambos polos, pasa de una regin sin campo magntico a otra en donde s hay campo. Por lo tanto, en el ingreso el flujo magntico que atraviesa la placa se encuentra en aumento. Al seguir la placa su movimiento y comenzar a salir de la regin entre los polos, la placa pasa a una regin sin campo y entonces, ahora el flujo magntico que atraviesa la placa se encuentra decreciendo. Como resultado de dos condiciones de variacin de flujo opuestas, los sentidos de las corrientes inducidas son opuestos en ambos casos. Como se ve en la figura de la izquierda, si la placa tiene una geometra entrecortada (tipo tenedor) se verifica que los efectos de las corrientes de eddy disminuyen. El motivo es que la nueva configuracin impide que se formen grandes trayectos de corriente. En su lugar aparecern pequeas corrientes en cada uno de los sectores de la placa. Las corrientes de eddy, tambin conocidas como corrientes parsitas, convierten la energa en su forma trmica por calentamiento joule. Esta disipacin explica la energa cintica que pierde el pndulo de nuestro ejemplo. Tambin explica por que los ncleos magnticos de transformadores y otras mquinas elctricas se realizan por apilamiento de delgadas lminas de hierro, aisladas elctricamente. Esto disminuye la magnitud de las corrientes parsitas y en consecuencia el calentamiento del ncleo y la energa trmica disipada, lo cual favorece, en principio, al rendimiento del dispositivo. Los sistemas de frenado de muchos subtes usan la induccin electromagntica y las corrientes de eddy. Un electrizan se encuentra en el tren y posicionado de modo que se encuentre muy cerca de los rieles metlicos. Cuando se desea frenar, se hace circular una gran corriente por los electroimanes. El movimiento relativo entre el tren y los rieles induce en stos corrientes de eddy. Estas corrientes generan su propio campo magntico y sobre el tren aparece entonces una fuerza que se opone a su moviendo. Cuando un conductor se mueve a travs de un campo magntico, la ley de Lenz predice una fuerza que se opone al movimiento relativo. En cada caso, la fuerza se debe a que la corriente, impulsada por una fem inducida, interacta con el campo magntico. Un dispositivo ingenioso puede aprovechar tales fuerzas para impulsar motores, o para formar un sistema de propulsin. La figura de abajo muestra una placa metlica entre dos conjuntos de bobinas magnticas. Si en cada par de bobinas enfrentadas se estable y luego se quita una corriente, avanzando de izquierda a derecha, las bobinas simulan un imn que se mueve hacia la


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derecha de la placa. De acuerdo con la ley de Lenz, las fuerzas resultantes aceleran la placa para mantener el paso con el imn en movimiento. Este es el principio del motor de induccin lineal y de los impulsores de masa previstos como el principal medio para lanzar naves de carga en las colinas espaciales del futuro. Existen vehculos experimentales (trenes) que emplean un efecto parecido y flotan sobre un colchn magntico que usa motores lineales en un sistema de electrodinmico de levitacin.

LAS ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell son tan fundamentales para el electromagnetismo, como las leyes de Newton lo son para la mecnica clsica. Las ecuaciones de Maxwell probaron estar en concordancia con la teora especial de la relatividad de Einstein, y predicen la existencia de las ondas electromagnticas que se propagan con una rapidez

smc /103/1 800 == o sea, la velocidad de la luz. Ms aun, la teora de Maxwell muestra que estas ondas son radiadas por cargas elctricas aceleradas. Por simplicidad, a continuacin se presentan las cuatro ecuaciones de Maxwell aplicadas al espacio libre, o sea, sin la presencia de materiales dielctricos o magnticos.

0

qAdES

= de Gauss para la electrosttica

0=S

AdB Ley de Gauss para el magnetismo

dtd

sdE B= Ley de Faraday-Lenz

dtdIsdB E+= 000 Ley de Ampere-Maxwell

AUTOINDUCCION

Como vimos, existen dos clases de fuerzas elctricas que pueden poner en movimiento cargas en un circuito elctrico. Por un lado podamos tener la fuerza electromotriz de una batera. En este caso tenemos energa acumulada en su forma qumica la cual se transforma en energa elctrica e impulsa las cargas en un circuito. Pero por otro lado, ya sabemos que si un circuito elctrico cerrado se encuentra en movimiento relativo con un campo de induccin magntica, de forma tal que el flujo magntico que atraviesa el circuito es variable en el tiempo, se induce en el circuito una fuerza electromotriz. Esta fuerza electromotriz inducida tambin acta sobre las cargas elctricas ponindolas en movimiento. Vamos a aprovechar estos conocimientos para analizar la siguiente situacin. Supongamos que tenemos un circuito elctrico que consiste en una batera, una resistencia y un interruptor como se ve en la figura. Cuando se cierra el interruptor la fem de la batera pone en movimiento las cargas elctricas del circuito conductor (se establece un campo elctrico). Las cargas circulan por el circuito y a esta circulacin, que implica un intervalo de tiempo, la llamamos corriente elctrica de conduccin. Ahora bien, sabemos que la corriente elctrica del circuito tendr un valor determinado en funcin de la fem de la batera y de la resistencia del circuito. Pero este valor estable de corriente no es inmediato. Veamos por qu. Al comenzar a circular las cargas a travs del circuito, esta corriente elctrica, de acuerdo a lo visto determina la aparicin de un campo magntico en las inmediaciones de los conductores que transportan la corriente. Como antes de cerrar el interruptor ninguna corriente estaba presente en el circuito, el campo magntico tambin era nulo. Al establecerse la corriente se genera un campo magntico cuya magnitud va en aumento, en forma proporcional a la corriente. Estamos entonces, en presencia de un campo magntico variable y esto determina la aparicin de una fem inducida en el circuito. Como ya sabemos, la fem inducida induce a su vez una corriente (porque el circuito es cerrado) y de acuerdo a la ley de Lenz esta corriente genera un campo magntico que se opone a la variacin del campo que genera la fem inducida. Por lo tanto, tanto la fem inducida como la corriente inducida se oponen (son de sentido opuesto) a la fem de la batera y a la corriente que sta impulsa. Como resultado, se requiere determinado intervalo de tiempo hasta que la fem de la batera y la fem inducida (ambas en oposicin) alcanzan un valor de equilibrio y como consecuencia un intervalo de tiempo hasta que se alcanza un valor estable de la corriente del circuito.

INDUCTANCIA


101

El mismo efecto se puede observar cuando se hace circular una corriente elctrica por un electroimn. Supongamos que la corriente a travs del elemento se encuentra aumentando. Entonces, el flujo magntico en el electroimn es variable y como consecuencia de la ley de Lenz, se induce en el electroimn una fem que determina a su vez una corriente inducida la cual genera un campo magntico tal que se opone a las variaciones del campo inicial. Como el campo inicial iba en aumento (porque la corriente iba en aumento) entonces el campo inducido tiene sentido opuesto al primero.

La ley de Faraday-Lenz nos daba una idea cuantitativa de las fuerzas electromotrices inducidas. Esta ley estableca que:

dtd B

=

Pero como vimos en los ejemplos anteriores, la variacin del flujo magntico dependa de las variaciones en la corriente elctrica. Esta relacin de proporcionalidad la podemos expresar como:

dtdI

dtd B

Entonces podemos asegurar que:

dtdI

Si queremos cambiar el factor de proporcionalidad por una relacin de igualdad debemos introducir

una constante. En este caso dicha constante lleva el smbolo L y entonces:

dtdIL=

La constante L se llama inductancia y depende de la geometra del circuito o del elemento y de otras caractersticas fsicas. La unidad para medir la inductancia, de acuerdo con la expresin anterior, es el volt-segundo/amper el cual abreviamos con el nombre henry. Entonces:

AsVH = 11

INDUCTANCIA DE UN SOLENOIDE Como ya sabemos, el campo en el interior del solenoide ideal es

INnIBl

00 ==

Donde N es el nmero de espiras y l la longitud del solenoide. El flujo magntico es el mismo a travs de cualquier espira y vale:

INABABl

0==

Donde A es la seccin recta transversal del solenoide (interior). Ahora bien, sabemos que:

dtdIL

dtdN B ==

Y entonces:

LIN B =

Reemplazando el valor para el flujo y despejando L llegamos a:

INAIN

INL B

l0==

Y entonces la inductancia del solenoide es:

l

ANL2

0=


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INDUCTANCIA DE UN TOROIDE Veamos que ocurre en un toroide de seccin transversal rectangular. Como vimos, la induccin magntica en un toroide es:

r

NIB

pi

2

0=

Siendo N es el nmero de espiras arrolladas uniformemente sobre el ncleo toroidal. El flujo resulta:

====b

a

b

a

b

a

Br

drNIhhdrr

NIhdrBAdBpi

pi

2200

[ ] [ ]a

bNIhabNIhrNIh baB ln2

lnln2

ln2

000

pi

pi

pi

===

Usando nuevamente la relacin

BINL =

Que derivamos de la ley de Faraday obtenemos:

a

bhNL ln2

20

pi

=

INDUCTORES CON MATERIALES MAGNTICOS Si el espacio interior de un inductor, por ejemplo el solenoide o el toroide vistos anteriormente, se llena con un material magntico cuya constante de permeabilidad magntica es entonces la inductancia aumenta en un factor . Si es 0L la inductancia en vaco entonces la inductancia con material magntico es:

0LL =

ENERGA EN UN CAMPO MAGNTICO

Volvamos a nuestro circuito RL. Ya vimos que la presencia del inductor impeda que la batera conectada al circuito estableciera una corriente elctrica instantnea de valor estable. Esto implica que la batera suministre ms energa que si el inductor no se encontrara presente en el circuito. Esto se debe a que parte de la energa entregada por la batera aparece como energa interna en la resistencia, mientras que la energa restante se almacena en el campo magntico del inductor. Podemos escribir una ecuacin energtica para el circuito RL de la siguiente forma:

dtdILIRII += 2

En esta expresin I es la energa entregada por la batera, RI 2 es la energa que se disipa en el resistor y entonces

dtdILI es la energa almacenada en el inductor. Si llamamos LU a la energa

almacenada en el inductor en cualquier instante, entonces podemos escribir:

dtdILI

dtdU L

=

Si queremos calcular la energa total almacenada en el inductor debemos efectuar la integral:

===II

IdILLIdIdUU00

2

21 LIU =


103

En cualquier regin del espacio en donde exista un campo magntico, se define la energa por unidad de volumen o densidad de energa magntica como:

0

2

2B

uB =

INDUCTANCIA MUTUA

En muchos casos, el flujo magntico que atraviesa un circuito elctrico vara en el tiempo debido a la variacin de corrientes elctricas en circuitos vecinos. Esta variacin induce una fem y el fenmeno se denomina, en este caso, induccin mutua, ya que depende de la interaccin de dos circuitos. La figura de la derecha muestra dos bobinas cercanas. La

corriente 1I en la bobina 1, formada por 1N espiras, crea un campo magntico. Se puede apreciar como algunas de las lneas de este campo magntico atraviesan la

bobina 2, formada por 2N espiras. Llamemos 12 al flujo creado por la bobina 1 que atraviesa la bobina 2.

Definimos la inductancia mutua 12M de la bobina 2 con respecto a la bobina 1 como:

1

12212 I

NM

=

La inductancia mutua depende de la geometra de los circuitos que interactan y de su orientacin espacial relativa. A medida que la separacin entre los circuitos aumenta, la inductancia mutua disminuye debido a la disminucin del flujo magntico que comparten los circuitos.

Si la corriente 1I vara con el tiempo la fem inducida en la bobina 2 es:

dtdI

MN

IMdtdN

dtdN 112

2

1122

1222 =

=

=

Anlogamente, una corriente variable en la bobina 2 inducir en la bobina 1 una fem:

dtdIM 2211 =

Se puede demostrar que los coeficientes de induccin mutua de ambas bobinas son iguales y podemos escribir:

2112 MMM ==

De modo que:

dtdIM 21 = y dt

dIM 12 =

Vemos la analoga entre estas expresiones y la ecuacin dtdIL= para el caso de la

autoinduccin. Como se puede ver, la unidad de la inductancia mutua es el henry.

COEFICIENTE DE ACOPLAMIENTO

Cuando dos bobinas se acoplan inductivamente colocndolas una cerca de la otra, la relacin entre

sus inductancias mutuasM y sus inductancias individuales 1L y 2L es:

21LLkM =

Donde k es el coeficiente de acoplamiento y su valor responde al rango 10 k . Se cumple 1=k cuando todo el flujo magntico producido por una de las bobinas es concatenado por las espiras de la otra. BOBINAS EN SERIE Si dos bobinas acopladas mutuamente se conectan en serie con sus campos en adicin la inductancia total es:

MLLLA 221 ++=


104

Si se invierten las conexiones de una de las bobinas entonces siguen conectadas en serie pero ahora sus campos se encuentran en oposicin. En esta nueva condicin, la inductancia total de la serie es:

MLLLS 221 +=

En funcin de las dos expresiones anteriores, se puede determinar la inductancia mutua conectando primero las bobinas en serie aditiva y luego en serie sustractiva. Operando las expresiones anteriores se obtiene:

4BA LLM =

BOBINAS EN PARALELO Cuando se conectan las bobinas en paralelo, las inductancias individuales y la inductancia mutua de las bobinas, se relacionan para dar lugar a la inductancia total de la siguiente manera:

MLMLLA ++

+=

21

111

Campos en adicin

MLMLLS +

=

21

111

Campos en sustraccin

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b3-Campos Magneticos Dinamicos_h