BAB I PENDAHULUAN FISIKA

ILMU FISIKA : berhunbungan dengan materi dan energi, hukum-

hukum yang mengatur gerakan partikel dan gelombang dengan

interaksi antar partikel dan dengan sifat-sifat molekul, atom dan

inti atom dengan sistem berskala besar seperti gas, zat cair,

padat.

- Telaah empiris

- Dipelajari melalui pengamatan-pengamatan (eksperimen)

- Pengamatan + Pengukuran gejala fisis = Teori ilmu Fisika

BESARAN

Suatu angka atau kumpulan angka-angka yang dipakai untuk

menyatakan suatu gejala fisis. (Besaran adalah suatu sifat yang

dapat diukur dari suatu benda).

Misal: Panjang, Waktu, Massa, Gaya, Suhu, Energi, muatan

listrik dll

BESARAN DASAR BESARAN TAMBAHAN

(BERDIMENSI) (TAK BERDIMENSI)

1. Panjang : Meter 1. Sudut datar: Rad

2. Massa : Kg (Radian)

3. Waktu : Sekon 2. Sudut ruang: Srd

4. Arus listrik : Ampere (Steradian)

5. Suhu termodinamik: Kelvin

6. Intensitas Cahaya : Kandela

7. Jumlah zat : Gram molekul (Mole)

1 Radian: Sudut pusat lingkaran yang menghadap busur sepanjang

jejari lingkaran, R.

1 Steradian: Sudut di titik pusat bola yang menghadapi segmen

permukaan bola seluas R².

BESARAN TURUNAN: Besaran yang diturunkan dari besaran dasar,

besaran turunan dan diturunkan dengan nama khusus.

SISTEM SATUAN PANJANG MASSA WAKTU GAYA

DINAMIS BESAR

(MKS)

DINAMIS KECIL

(CGS)

meter

cm

kg

gr

sekon

sekon

Newton

Dyne

PENGUKURAN

LANGSUNG: Membandingkan besaran yang diukur dengan suatu alat

ukur.

CONTOH: Panjang Penggaris

Massa Neraca

Waktu Arloji

TAK LANGSUNG: Besaran yang akan diukur, dinyatakan melalui

besaran-besaran lain yang diukur.

CONTOH: Kecepatan Jarak, Waktu

Gaya Massa, Jarak, Waktu

STANDAR DAN SATUAN:

Satuan : untuk mengukur besaran, selalu dibandingkan dengan

suatu acuan standar yang telah diakui kebenarannya.

Contoh Satuan: meter, detik, gram dll

Sejarah satuan:

Meter

- 1791 (paris Academy of Science) menetapkan sistem metrik

adalah jarak dua goresan pada batang platium-irridium, 1 m

didefinisikan 10-7 jarak dari Katulistiwa ke Kutub Utara

- 1889 ditetapkan Organisasi International (General Conference

on Weights and Measures) menetapkan secara resmi system

metric menjadi standard SI dengan perbaikan (abadi & dapat

ditiru).

- 14 Oktober 1960, GCWM mengubah standar ke tetapan atom.

(panjang gelombang atom Cripton 86) Misalnya: 1 m

didefinisikan sbg 1.650.763,73 panjang gel cahaya tsb.

- Sekarang 1 m standar didefinisikan sebagai jarak yang

ditempuh cahaya dalam ruang hampa selama 1/299.729.458

sekon.

Sekon

- Awalnya waktu rotasi bumi 1/60x1/60x1/24 rata-rata lama hari

matahari.

- 1967, didefinisikan 1 detik sama frekuensi cahaya dengan

9.192.631,770 siklus per sekon radiasi atom cesium.

1 kg

- Satu Kilogram adalah setara dengan sebuah silinder platina-

irridium yg disimpan di International Bureu of Weights and

Mesures di Sevres dekat Paris.

Masih ada satuan pokok lainnya : satuan temperatur, (oC/oK),

Satuan jumlah zat (mole), satuan arus (A), Kandela (cd), dll

Setelah satuan ditetapkan (SI) yang digunakan secara unversal,

dikenal sistem mgs maka dapat ditentukan satuan yang lebih besar. Berdasar system

metrik :

1 kilometer 1 km 103 meter 103 m

1 kilogram 1 kg 103 gram 103 g

1 kilowatt 1 kW 103 watt 103 W

Sistem desimal lain yang masih digunakan tetapi secara bertahap

digantikanoleh satuan SI adalah sistem cgs

Selain SI ada sistem satuan yang berlaku di USA dan negara

Persemakmuran Inggris, sehingga ada untuk mempermudah

pembacaan dilakukan penyetaraan sistem satuan sebagai berikut:

Panjang:

1 yd = 0,9144 m

1 ft = 1/3 yd= 0,3048 m

1 inci = 2,54 cm

Massa : 1 lb (pon) = 0,45359237 kg

KONVERSI SATUAN

Besaran fisik terdiri dari suatu bilangan dan satuan. Jika besaran2

itu dijumlahkan, dikurangkan, dikalilkan atau dibagi dalam

persamaan. Aljabar, maka satuannya juga diperlakukan seperti

bilangannya.

Contoh : mobil bergerak dengan laju konstan 80 km perjam setelah

3 jam jaraknya berapa?

Jarak (x) = hasil kali kecepatan (v) dan waktu (t).

x = v . t =

cara memperlakukan satuan semacam ini mempermudah untuk

melakukan konversi mis dari km menjadi mil

1 mil = 1,61 km

240 km = 240 km x

DIMENSI

Cara penulisan besaran fisis ke dalam besaran pokok (besaran dasar).

Dalam mekanika, PANJANG : L

MASSA : M

WAKTU : T

Bagaimana DIMENSI dari:

1. Kecepatan m/s = L/T = LT-1

2. Percepatan

3. Gaya

4. gravitas

5. Energi Kinetik &

6. Energi Potensial

7. Momentum

8. impuls

9. momen inersia

10. tegangan

11. regangan

12. modulus elastis

13. modulus geser

14. beban terbagi rata

15. kekakuan

KONSISTENSI SATUAN DIMENSI BESARAN FISIK

Syarat persamaan adalah dimensinya harus konsisten.Misalnya luas segi empat : panjang x lebar

L x L = L2

Kecepatan (v) : meter/detik = m/s = L/TPercepatan (a) : meter/detik2 = m/s2 = L/T-2

Penjumlahan besaran fisik hanya berarti jika besaran-besaran itu mempunyai dimensi yang sama. Sebagai contoh besaran luas tidak dapat dijumlahkan dengan besaran kelajuan.

Contoh kesalahan dalam perhitungan dengan memeriksa dimensi :Luas lingkaran A = 2П r,

L2 = L

Contoh lain x = vt + 1/2at

L =

L= L + L/T

Karena ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan berarti rumus yang disajikan tidak benar.

Contoh penggunaan dimensi besaran fisik

Di inginkan untuk membuat model guna membuat nilai Kekakuan

dari suatu balok sederhana yang bertampang empat persegi panjang

P

Variabel yang terlibat dimensi M L

kekakuan ML-1 1 -1

L(bentang) L 0 1

b (lebar balok) L 0 1

h Tinggi balok L 0 1

E (modulus elatis) M L-2 1 -2

G (modulus geser) M L-2 1 -2

tegangan ML-2 1 -2

Karena r = 2 (yaitu M & L) dipilih 2 variabel independent l dan E

0k

K = C La bc hd Ee Gf

M1 L-1 T0 = La Lc Ld (M L-2)e (M L-2)f

M1 L-1 T0 = M(e+f ) L( a+c+d-2e-2f) T0

Diperoleh

M1 = M(e+f) berarti (e+f) = 1

L-1 = L( a+c+d-2e-2f) berarti ( a+c+d-2e-2f) = -1

Karena dipilih L dan E sebagai variable independent

e + f = 1 e = 1 – f

( a+c+d-2e-2f) = -1 a = -1- c-d +2e +2f

a = -1- c-d +2(1-f) +2f

a = 1- c –d

sehingga K = C La bc hd Ee Gf

K = C L(1-c-d) bc hd E(1-f) Gf

K = C L E

C

Dimana

Persyaratan complete similarity

VEKTOR

Pengertian Vektor dan Skalar

VEKTOR: Besaran yang mempunyai besar dan arah.

Contoh: Kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya, dsb.

VEKTOR a: arah vektor

titik O | a | besar/panjang

tangkap vektor

SKALAR: Besaran yang mempunyai besar saja.

Contoh: Massa, Waktu, Suhu, Energi dsb.

PENJUMLAHAN DAN SELISIH VEKTOR

1. CARA SEGITIGA

a R = a + b = b + a a b

R

o b o

b

R = a – b a

= a + (-b) R

2. CARA JAJARAN GENJANG

a R = a + b

1 | R| = R= √ a² + b² + 2 ab cosθ

o θ 2 RUMUS COSINUS

b

RUMUS SINUS

a b R = =

sin θ2 sin θ1 sin θ

3. CARA POLYGON

b o d

o a c o

o

R = a + b + c + d = a + b + d + c

= a + d + b + c = ……. Penjumlahan vektor komutatif

R d b

o a

c

4. CARA SUMBU SIKU-SIKU

Y

d dy b R = Σ Rx + Σ Ry

by a |R| = R =√ ΣRx² + ΣRy²

dx cx bx X

ΣRx = a + bx – cx - dx

c cy ΣRy = by + dy - cy

Arah resultan:

ΣRy

tg θ = ΣRx 1.5.3 PERKALIAN VEKTOR

1.5.3.1 Perkalian vector a dengan skalar k

Vektor k a.

k > 0 : k a Searah dengan a.

k < 0 : k a Berlawanan arah dengan a.

1.5.3.2 PERKALIAN VEKTOR DENGAN VEKTOR

a) PERKALIAN SKALAR/SCALAR PRODUCT/DOT

PRODUCT SKALAR

a . b = |a| |b| cos (a,b) = a b cos θ

θ : sudut antara vektor a dan b.

b) PERKALIAN VEKTOR/ VECTOR PRODUCT/

CROSS PRODUCT VEKTOR.

a x b = |a| |b| sin (a,b) = a b sin θ arah?

c a x b = c

b b x a = - c

a x b = b x a

a a x b = - b x a

- c

1.5.3.3 VEKTOR SATUAN (UNIT VECTOR)

Adalah vector yang panjangnya satu satuan dan arahnya sesuai

dengan arahyang dikehendaki.

Y

ay a a = ax + ay

j a = i ax + j aj

α X a = i a cos α + j a sin α

i ax |a| = a = √ ax² + ay²

ay

arah vector a, tg α = ax

Y a = ax + ay + az

ay

a = i ax + j ay + k az

a j | a| = a = √ ax² + ay² + az² β γ α i ax X az k

cos²α + cos²β + cos²γ = 1 Z ax ay az

Arah vector a: cos α = , cos β = , cos γ = a a a

j

i k

PERKALIAN TITIK UNIT VEKTOR

senama: i . i = j . j = k . k = 1

tak senama : i . j = j.k = k.i = 0

PERKALIAN SILANG UNIT VEKTOR

senama: i x i = j x j = k x k = 0

tak senama : i x j = k ; j x k = i ; k x i =j

DAPATKAN:

a ± b = ………....

a . b = ………….

a x b = ………….

LATIHAN:

1. Dua buah vector masing-masing besarnya 20 N dan 40 N, arahnya

berturut-turut mengapit sudut dengan sumbu X, Y, dan Z positip

adalah (60°,45°, 60°) dan (40°, 90°, 60°).

Tentukan sudut antara kedua vector dengan menggunakan:

A) Perkalian titik

B) Perkalian silang

2. Tiga buah gaya 10 N, 15 N dan 40 N arahnya berturut-turut

mengapit sudut dengan sumbu X,Y,Z positip (60°, 60°, 45°); (90°,

45°, 45°); (60°, 30°, 45°). Tentukan resultan dan arahnya.

1 A

A =20

B =40

Ax=20 cos 60 = 10

Ay =20cos45 = 14.142

Az=20cos60 = 10

Bx=40 cos 40 = 30.642

By =40cos 90 = 0

Bz=40cos 60 = 20

A.B = Ax.Bx +Ay.By +Az. Bz = 506.42

[A] = = 141.487

[B]= =1338.9185

Cosθ = = θ= 89.998

1B.

A =20

B =40

Ax=20 cos 60 = 10

Ay =20cos45 = 14.142

Az=20cos60 = 10

Bx=40 cos 40 = 30.642

By =40cos 90 = 0

Bz=40cos 60 = 20

=

AxB =(AyBz – Az.By)i + (Az.Bx – AxBz)j + (AxBy-AyBx)k=

[AxB] =

[AxB]= [A] [B] sin θ

Sin θ = =

θ =

2

Ax=

Ay =

Az=

Bx=

By =

Bz=

2

cx=

cy =

cz=

R= (Ax+Bx+cx)i +(Ay+By+cy) j + (Az+Bz+cz)k

Rx Ry Rz

[R] =

Rx Ry Rz

Arah vector a: cos α = , cos β = , cos γ = [R] [R ] [ R]

KINEMATIKA PARTIKEL

KINEMATIKA : Ilmu yang mempelajari gerak benda tanpa meninjau

penyebabnya.

PARTIKEL : Benda yang ukurannya kecil sekali.

KECEPATAN

X kecepatan sesaat

Y X2 Q

kecepatan rata-rata ∆X X1 P

P Q X ∆t

X1 ∆X t1 t2 t X2

Gerak partikel sepanjang sumbu X Grafik posisi sebagai

fungsi waktu

Kecepatan rata-rata:

∆X X2 – X1

v = = (2.1) ∆t t2 – t1

Kecepatan sesaat: Harga limit dari kecepatan rata-rata bila titik kedua dibuat semakin dekat dengan titik pertama.

∆X dX v = lim = (2.2) ∆t 0 ∆t dt

PERCEPATAN

v percepatan sesaat

Y v2 Q

percepatan rata-rata ∆v v1 P

P Q X ∆t

v1 v2 t1 t2 t Gerak partikel sepanjang sumbu X Grafik kecepatan

sebagai fungsi waktu

Percepatan rata-rata: kecepatan benda bergerak berubah

dengan waktu

∆v v2 – v1

a = = (2.3) ∆t t2 – t1

Percepatan sesaat: ∆v dv a = lim = (2.4) ∆t 0 ∆t dt

GERAK LURUS

Gerak lurus adalah gerak suatu benda yang lintasannya berbentuk

garis lurus.

BERATURAN

(kecepatan konstan)

GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN

(percepatan konstan)

BERUBAH TAK BERATURAN

(percepatan berubah)

2.3.1 GERAK LURUS BERATURAN

Kecepatan konstan : v = konstan = c

dva = = dv/dt ( c ) = 0 dt dxv = dx = v dt (2.5) dt

GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN

Percepatan konstan: a = konstan = c

dv a = ∫ dv = ∫ a dt v = at + c1 (2.6) dt

Jika pada saat, t = 0, maka vt = v0, dari (2.6): v0 = 0 +c1, c1 = v0

vt = v0 + at (2.7)

Dari persamaan (2.5), maka:

dx v = dx = v dt, maka: dt xt = v0 t + ½ a t² + C2 (2.8)

Pada saat t = 0, xt = x0 maka: xt = v0 t + ½ a t² + x0 (2.9)

Dari persamaan (2.7) dan (2.9) diperoleh:

vt² = v0² + 2 a (xt – x0) (2.10)

LATIHAN

1. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus ditentukan oleh

persamaan: x = 8 t – 3 t² x: cm dan t: sekon

a) Hitunglah kecepatan rata-rata dalam selang waktu t = 0 sekon dan t

= 1 sekon.

b) Hitunglah kecepatan sesaat ketika t = 1 sekon dan t = 4 sekon

c) Hitunglah percepatannya pada saat t=1 sekon dan t = 4 sekon

d) Tentukan waktu yang dimiliki benda saat diam.

2. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan sebagai fungsi waktu:

v = 6 t + 4 v : m/s dan t : sekon

mempunyai arah tetap mengapit sudut 30° terhadap sumbu x.

Pada keadaan awal, benda berada pada posisi (1;2) meter.

Tentukan: a) Percepatan rata-rata dalam selang waktu t=2 sekon

dan t = 4 sekon.

b) Percepatan pada saat t = 2 sekon

c) Persamaan gerak dan persamaan lintasan partikel

GERAK LURUS BERUBAH TAK BERATURAN (PERCEPATAN

BERUBAH TIDAK BERATURAN)

Fungsi waktuPercepatan berubah

Fungsi posisi

Percepatan sebagai fungsi Waktu

dvx

ax = = f(t) dvx = f(t) dt dt

∫ dvx = ∫ f(t) dt vx = ∫ f(t) dt + C1 (2.11)

dx vx = dx = vx dt dt

∫ dx = ∫ vx dt x = ∫ vx dt + C2 (2.12)

LATIHAN

Sebuah partikel bergerak menurut sumbu x dengan percepatan:

Ax = 5 t – 2 ax : m/s² dan t : sekon

Pada kondisi awal partikel berada pada x = 2m dan kecepatannya vx = 5

m/s. Tentukan:

a. Posisi partikel pada saat t = 2 sekon

b. Kecepatan rata-rata antara t = 2 sekon dan t = 4 sekon

c. kecepatan dan percepatan pada t = 3 sekon

d. Posisi partikel pada saat kecepatannya 12 m/s

e. Kecepatan partikel pada saat percepatan 23 m/s

Percepatan sebagai fungsi Posisi

dvx dvx dx

ax = = f(x) f(x) = dt dt dx

dvx

f(x) = v v dvx = f(x) dx dx

∫ v dvx = ∫ f(x) dx ½ vx² = ∫ f(x) dx + C3 (2.13)

LATIHAN

Percepatan sebuah benda dinyatakan dengan persamaan:

ax = 2 x + 4 ax : m/s² dan x : m

Pada keadaan awal kecepatannya 5 m/s. Tentukan kecepatan benda untuk

setiap poisisi.

2.4 GERAK PELURU/PARABOLA/TRAYEKTORI

Gerak suatu benda yang lintasannya berbentuk parabola

Sumbu x : Gerak lurus beraturan

Sumbu y : Gerak lurus berubah beraturan ( a = g )

g : percepatan gravitasi

Y H vo

vy vo vxw Ο α W X

vox θ vyw

vw

Persamaan Kecepatan:

vx = vo cos α (2.14)

vy = vo sin α – g t (2.15)

v = √ vx² + vy² (2.16)

arah kecepatan:

vy

tg θ = (2.17) vx Persamaan Gerak:

dxvx = x = vo cos α . t + C4 (2.18)

dt

dyvy = y = vo sin α . t - ½ g.t² + C5 (2.19)

dt

Jika C4 dan C5 sama dengan nol, Persamaan Lintasan:

gy = tg α . x - ( ) x² (2.20)

2 vo² cos²α

LATIHAN

1. Dari sebuah titik O di tanah ditembakkan peluru dengan kecepatan awal

vo = 60 m/s dengan sudut elevasi 60°.

a) Bilamana dan dimana peluru akan sampai di titik tertinggi dari

lintasannya?.

b) Bilamana dan dimana peluru akan sampai di tanah dan berapa

kecepatan serta besar arahnya pada waktu itu?.

c) Bilamana, dimana dan dengan kecepatan serta arah berapa peluru

mengenai bidang tegak lurus yang terletak pada jarak 150√3 m dari

titik O.

2. Sebuah peluru ditembakkan dari posisi (1;2) ft dengan

kecepatan awal 80 ft/s membentuk sudut 30° terhadap sumbu

horizontal.

Hitunglah:

a) Jarak horizontal ke titik asal, 2 sekon setelah ditembakkan.

b) Jarak vertikal di atas titik asal, 2 sekon setelah ditembakkan.

c) Kecepatan pada saat itu.

3. Harus ditembakkan dengan sudut elevasii berapa, bila sebuah peluru

mempunyai lintasan yang melewati titik P (5;6) m dengan kecepatan 60

m/s?

2.5 GERAK MELINGKAR

Gerak suatu benda yang lintasannya berbentuk lingkaran.

Q Partikel bergerak dari P Q,

S perpindahannya: ∆s

O O P ∆s Kecepatan rata-rata: v = (2.21) ∆t

O R

∆s Kecepatan sesaat: v = lim ∆t 0 ∆t ds v = (2.22) dt

Jika waktu yang dibutuhkan dari P kembali ke P adalah T, maka:

2Л v = (2.23)

T

V2 q

Q v1 ∆s v2

s -v1 p

P OOvv ∆v = v2 – v1

∆v Percepatan rata-rata: a = (2.24) ∆t

Percepatan sesaat: a = v²/R (2.25)

(percepatan sentripetal/radial)

ds dθ dθ ds ds = R dθ, v = = R dθ dt dθ dt

didefinisikan kecepatan sudut:

O R ∆θ dθ ω = lim = dan v = ω R (2.26) ∆t 0 ∆t dt

at Percepatan tangensial:

at = R α (2.27)

α : percepatan sudut

O R O

a

O ar

R

Percepatan disetiap saat:

a = √ ar² + at² (2.28)

GERAK TRANSLASI GERAK MELINGKAR

vt = vo ± a t

xt –xo = vo t ± ½ a t²

vt² = vo² ± 2 a (xt - xo)

ωt = ωo ± α t

θt – θo = ωo ± ½α t²

ωt² = ωo² ± 2 α ( θt – θo )

LATIHAN

1. Sebuah benda berputar melalui porosnya dengan kecepatan sudut tetap

10 rad/s. Kemudian dipercepat dengan percepatan sudut tetap 2 rad/s²,

hingga mencapai kecepatan sudut 15 rad/s. Setelah itu diperlambat

dengan perlambatan 6 rad/s² sampai berhenti. Tentukan:

a) Waktu yang diperlukan untuk mempercepat sampai dengan

kecepatan 15 rad/s.

b) Waktu yang diperlukan selama perlambatan.

c) Sudut yang ditempuh selama diperlambat dan dipercepat.

d) Jarak yang ditempuh oleh suatu titik pada jarak 1 meter dari

poros selama dipercepat & diperlambat.

2. Suatu fly wheel (roda gila) diameter 4 cm dipercepat sehinga tepi roda

bergerak dengan percepatan yang memenuhi persamaan:

a = 5 t + 10 ; a : cm/s² dan t : sekon

Pada keadaan awal, besar kecepatan tepi roda 5 cm/s.

Tentukan:

a) Kecepatan sudut 5 sekon setelah dipercepat.

b) Percepatan roda pada saat 5 sekon setelah dipercepat.

c) Sudut yang ditempuh selama 5 sekon.

BAB III DINAMIKA PARTIKEL

DINAMIKA: Ilmu yang mempelajari Gerak benda dan Gaya yang

menimbulkan gerak tersebut.

Gerakan patikel mempunyai kecepatan yang lebih kecil dari kecepatan

cahaya MEKANIKA KELASIK

1. Tiga buah hukum Newton

2. Satu buah hukum tentang gravitasi

MEKANIKA NEWTON

3.1 HUKUM-HUKUM NEWTON

3.1.1 HUKUM I NEWTON/ HUKUM KELEMBAMAN

Semua benda akan berada dalam keadaan diam atau bergerak

beraturan, kecuali jika ada gaya yang bekerja padanya.

Jika tidak ada gaya yang bekerja pada suatu benda, maka percepatannya

nol.

3.1.2 HUKUM II NEWTON

Jika terhadap suatu benda bekerja gaya, maka terjadi perubahan

kecepatan atau timbul percepatan.

Gaya yang bekerja untuk tiap satuan massa adalah sebanding dengan

percepatan yang dihasilkan.

F ~ a m F = c m a, benda dengan massa standar c = 1

F = m.a (3.1)

Jika lebih dari satu gaya, maka secara vektoris:

Σ Fx = m ax

Σ F = m a (3.2)

Σ Fy = m ay Jika resultan gaya pada benda sama dengan nol:

Σ F = 0 a = 0, benda dalam keadaan diam atau bergerak

beraturan.

STATIKA

3.1.3 HUKUM III NEWTON

Jika sebuah benda melakukan gaya pada benda lain, maka benda

kedua selalu melakukan gaya balasan pada benda pertama.

Jika salah satu gaya yang terjadi Gaya Aksi, maka gaya yang lain

disebut Gaya Reaksi sama besar berlawanan arah.

Faksi = - Freaksi (3.3)

F’ F F’ F

F = - F’

3.1.4 HUKUM GRAVITASI

Gaya antara dua partikel yang mempunyai massa m1 dan m2 terpisah

pada jarak r, adalah suatu gaya tarik menarik sepanjang garis yang

menghubungkan kedua partikel.

m1 . m2

F = G (3.4) r2

G = 6,67 x 10 -11 N.m²/kg²

3.2 MACAM-MACAM GAYA

1. Gaya berat (W)

2. Gaya tegangan tali (T)

3. Gaya normal (N)

4. Gaya gesekan (fr)

5. Gaya sentripetal (Fcp)

T T

N T

N WA sinα WA cosα T

fr T fr WA WB

W

Statis : fs = μs . N

Gaya gesek

(fr) kinetis : fk = μk . N

Fcp = m . acp

m.v² R = (3.5) R

LATIHAN

1. Sebuah benda terletak pada bidang horizontal yang licin sempurna.

Padanya bekerja gaya F = 20 N arahnya ke atas dengan membuat

sudut α dengan bidang horizontal. Jika massa benda 2 kg, tentukan:

a) Besar sudut α supaya gaya normal tepat ½ kali berat benda.

b) Percepatan benda ( g = 10 m/s²)

2. F = 5 N

v = 3 m/s 45° Tentukan: bilamana dan di

mana benda berhenti.

μk = 0,2 m = 0,5 kg.

3. A

O T R

mA = 2 kg μkA = 0,1

mB = 5 kg

B Tentukan:

Tegangan tali dan percepatan benda

4. Sebuah tikungan jalan raya dirancang untuk lalu lintas dengan

kecepatan 60 km/jam.

a) Jika jejari tikungan 150 m sedang permukaan jalan licin, berapakah

seharusnya kemiringan jalan?

b) Jika tikungan tidak miring, berapakah koefisien gesekan minimum

antara roda dan jalan agar kendaraan tidak tergelincir/slip.

5. mA = 80 kg, μkA = 0,5

A B mB = 40 kg, μkB = 0,4

60° 30°

Tentukan: percepatan benda dan tegangan tali.

6. Sebuah ayunan matematis berputar

Secara horizontal.

θ Jika m = 20 gr, L = 1 m, θ = 30°

L R = 30 cm dan g = 10 m/s²

Tentukan: percepatan benda dan

m tegangan tali.

BAB IV KERJA & ENERGI

KERJA : Energi yang dipindahkan

ENERGI : Kemampuan melaksanakan kerja

R

TRANSFER ENERGI : Perpindahan energi

TRANSFORMASI ENERGI: Perubahan bentuk energi

4.1 KERJA

F sin θ

N F

θ F cos θ

a b

ds

W

Jika dalam waktu dt benda berpindah tempat sejauh ds, maka kerja dW

yang dilakukan oleh gaya F:

dW = F cos θ ds (4.1)

atau secara vektoris:

dW = F . ds

Kerja W yang dilakukan sepanjang lintasan dari a ke b adalah:

b b bWa b = ∫ dW = ∫ F cos θ ds = ∫ F . ds (4.2) a a aJika benda berpindah dari x1 ke x2 akibat gaya F yang konstan:

W = F cos θ (x2 – x1) (4.3)

Jika θ = 0, W = F (x2 – x1 ) (4.4)

Satuan: CGS Dyne.cm = Erg

MKS Newton.m = Joule ; 1 Joule = 107 Erg

British lb.ft

4.2 ENERGI

F

N θ 2

Y Σ Fy = 0

fr Σ Fx = m ax = m dv/dt

1 Ф W y2 = mv dv/ds

y1 Σ F menempuh lintasan ds

X

F cos θ ds –W sinФ ds – fk ds = mv dv/ds . ds

2 2 2 2 ∫ F cos θ ds = ∫ mv dv + ∫ mg dy + ∫ fk ds (4.5) 1 1 1 1 2 ∫ F cos θ ds = ½ m (v2²- v1²) + m g (y2 – y1) + ∫ fk ds (4.6) 1 kerja yang perubahan perubahan kerja yang

dilakukan gaya energi kinetik energi potensial dilakukan gaya

luar F, WF ∆ Ek ∆ Ep gesek, Wfr

Jika WF = 0 dan Wfr = 0 ∆ Ek + ∆ Ep = 0

Ek + Ep = konstan (4.7)

4.3 ENERGI POTENSIAL

ELASTIS PEGAS

▓▓▓

F’ F’ : gaya pemulih ▓▓▓▓▓▓ F ∆ x F = k ∆x hukum Hooke (4.8) 1 2

Kerja yang dilakukan oleh gaya F: dW = F dx

∫ dW = ∫ k x dx

W = Ep’ = ½ k (x2² - x1²) (4.9)

Pengembangan persamaan (4.7):

Ek1 + Ep1 + Ep1’ = Ek2 + Ep2 + Ep2’ (4.10)

Hukum Kekekalan Energi Mekanis

4.4 DAYA/POWER

DAYA: sejumlah kerja dW yang dilakukan dalam selang waktu dt.

∆WDAYA RATA-RATA: P = (4.11) ∆t

∆W dW DAYA SESAAT: P = Lim = (4.12) ∆t 0 ∆t dt

dW d(F.s) P = = = F . v (4.13) dt dt

Satuan Daya: MKS Joule/sekon = Watt, 1 KW = 1000 W

CGS Erg/sekon

British lb.ft/sekon

1 Hp = 1 PK = 1 DK ≈ 746 Watt.

LATIHAN

1. Sebuah benda didorong ke atas sejajar dengan bidang miring dengan

gaya F = 50 N. Laju di A 10 m/s, waktu sampai di B tinggal 5 m/s. Jarak

AB = 3 m, sudut kemiringan bidang α = 30°. Bila massa benda m = 2 kg, g

= 10 m/s², tentukan:

a) Kerja yang dilakukan gaya F pada benda dari A ke B.

b) Kerja yang dilakukan oleh medan gravitasi.

c) Koefisien gesekan lantai.

2. Sebuah benda mula-mula diam di B, massanya 2 kg. Kemudian benda

dilepaskan dan bergerak sepanjang lantai miring dengan sudut

kemiringan 30° dan mempunyai koefisien gesek 0,5. Bila jarak AB 2 m

dan konstanta pegas k = 5 N/cm, hitunglah:

a) Energi awal benda B

b) Laju waktu benda sampai di A A

c) panjang pegas waktu pegas

menahan benda hingga berhenti. 30°

3. Sebuah balok massa 2 kg dari keadaan diam dilepaskan dari titik A

pada sebuah lintasan yang berbentuk kwadran lingkaran dengan jejari 1

meter. Balok meluncur ke bawah sepanjang lintasan sampai di titik B

meluncur di atas permukaan horizontal sejauh 4 m sampai di C lalu

berhenti. Tentukan:

a) Koefisien gesek bidang BC

b) Usaha melawan gesekan saat benda menempuh lintasan BC.

4. Sebuah benda massa 100 kg dengan gaya F yang membetuk sudut 30°

terhadap bidang horizontal. Koefisien gesek antara benda dengan jalan

0,6. Berapa cepat gaya F yang harus diberikan dengan laju konstan agar

melakukan kerja dengan daya sebesar 1 PK.

5. Sebuah katrol mengangkat beban massa 20 kg dengan percepatan

konstan 20 m/s² dari keadaan diam. Tentukan:

a) Tegangan tali penggantung

b) Ek dan Ep setelah 2 sekon

c) Kecepatan beban setelah naik 1 meter

d ) Daya motor penggerak saat kecepatan beban 10 m/s

BAB V MOMENTUM LINEAR

5.1 GAYA IMPULS

Beberapa macam gaya hanya bekerja dalam waktu yang singkat,

misal: peristiwa tumbukan, tendangan pada sepak bola, bola menumbuk

tembok Gaya-gaya yang bekerja disebut GAYA IMPULS

F

Fo

∆ t

t

to

Sebuah gaya luar F bekerja pada sebuah benda bermassa m, maka

berdasarkan hukum II Newton:

F = m a = m dv/dt F dt = m dv (5.1)

F dt = m dv F dt = m (v2 – v1) (5.2)

Impuls Perubahan

Gaya F : I momentum: ∆p

Jika tidak ada gaya luar F = 0, maka

F dt = m (v2 – v1) = 0 m v2 – m v1 = 0

m v2 = m v1 m v = konstan (5.3)

Hukum Kekekalan Momentum Linier

VA1 vB1 vA2 vB2

FA FB

FA = - FB

∫ FA dt = - ∫ FB dt

mA vA1 + mB vB1 = mA vA2 + mB vB2 (5.4)

momentum sebelum momentum setelah

tumbukan terjadi tumbukan terjadi

Jika dalam proses tumbukan energi kinetiknya konstan, maka tumbukan

disebut Tumbukan Elastis Sempurna.

½ mA vA1² + ½ mB vB1² = ½ mA vA2² + ½ mB vB2² (5.5)

mA (vA1² - vA2²) = mB (vB2² - vB1²)

Persamaan (5.4) mA (vA1 - vA2) = mB (vB2 - vB1)

Eliminir mA atau mB vA1 - vB1 = - ( vA2 - vB2) (5.6)

vA2 - vB2

1 = vA1 - vB1

vA2 - vB2

e = e : koefisien (5.7) vA1 - vB1 restitusi

0≤ e ≤ 1

Elastis sempurna e = 1

Tumbukan Elastis sebagian 0 < e < 1

Tidak elastis e = 0

LATIHAN

1. Sebuah balok massanya 100 gram terletak di atas bidang datar tanpa

gesekan. Pada benda bekerja gaya horizontal:

F = 104 + ( 3 x 103) t F : Newton dan t : sekon

Tentukan: a) Impuls selama 5 sekon yang pertama

b) Kecepatan balok ketika t = 5 sekon

c) Usaha yang dilakukan dalam 5 sekon pertama

2. Sebutir peluru massanya 0,05 kg ditembakkan mendatar dengan

kecepatan 400 m/s masuk sampai 0,1 m ke dalam suatu pohon. Jika

gaya hambatan konstan, maka hitunglah:

a) Perlambatan peluru

b) Gaya penghambat

c) Lama waktu menghambat

d) Impuls tumbukan

3. Balok bermassa 300 gram dan 200 gram bergerak saling mendekati di

atas bidang horizontal tanpa gesekan dengan kecepatan yang

besarnya berturut-turut 50 cm/s dan 100 cm/s.

a) Jika kedua balok tetap melekat satu sama lain sesudah tumbukan,

berapa kecepatan akhirnya?

b) Hitunglah energi kinetkc yang hilang selama tumbukan

c) Tentukan kecepatan akhir tiap-tiap balok jika tumbukan bersifat

elastis sempurna.

4. Ketika sebuah peluru massanya 10 gram mengenai ayunan balistik yang

massanya 2 kg, pusat ayunan itu naik ke atas setinggi 10 cm terhitung

dalam arah vertikal dan peluru bersarang di dalam ayunan tersebut.

Tentukan kecepatan awal penembakan peluru.

5. vp

mp = 20 gram, mb = 990 gram

agar balok bergerak 10 cm di

perlukan gaya 105 Dyne.

10 cm Tentukan: a) Ep’ maksimum pegas

b) Kecepatan awal peluru vp

5.2 PUSAT MASSA

Pandang system dua partikel yang terletak pada sumbu x

Massa: m1 x1

M2 x2

m1 m2

x1 x2

Untuk N buah partikel, pusat massa sistem:

Σ mi x i Σ mi yi

Xpm = ypm = (5.8) Σ mi Σ mi

5.2.1 Benda dengan distribusi massa yang kontinu

Y

∆ mi

ri

X

Benda terbagi atas N buah massa ∆m yang terletak pada posisi ri.

m1 m2

X = x1 + x2

m1 + m2 m1 + m2

m1 x1 + m2 x2

X = m1 + m2

Pusat massa benda:

r1 ∆m1 + r2 ∆m2+ ……….+ rN ∆mN

rpm = ∆m1 + ∆m2+ ……….+ ∆mN

Σ ri ∆mi rpm = (5.9) Σ ∆mi

Bentuk integrasi:

r dmrpm = (5.10) dm

Untuk komponen-komponen terhadap sumbu x, y dan z tinggal mengganti

r dengan x, y dan z.

5.2.2 Pusat Berat Sistem

r1 W1 + r2 W2+ ……….+ rn Wn

rpm = W1 + W2+ ……….+ Wn

Σ ri Wi rpm = (5.11) Σ Wi

LATIHAN

1. Tentukan letak pusat massa dari tiga partikel dengan massa masing-

masing 1 kg, 2 kg dan 3 kg yang terletak pada titik-titik sudut sebuah

segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter.

2. Tentukan pusat massa sebuah batang tipis panjang L dengan rapat

massa (massa per satuan panjang): ρ yang serba sama (homogen).

BAB VI DINAMIKA ROTASI

Ditinjau suatu system terdiri dari tiga partikel yang dihubungkan

dengan batang-batang kaku yang tak bermassa dan jarak antara massa-

massa partikel dengan pusat massa selalu tetap

benda tegar.

F2 Jika system benda tegar

m2 ini dipengaruhi oleh

F1 gaya-gaya yang bekerja

m1 m3 pada partikel, maka

ada dua kemungkinan:

F3

1. Jika Σ F = 0, titik pusat massa diam atau bergerak lurus beraturan,

tetapi benda tegar dapat melakukan gerak rotasi terhadap pusat massa.

2. Jika Σ F ≠ 0, titik pusat massa bergerak dengan percepatan dan benda

tegar akan melakukan gerak rotasi gerak campuran.

6.1 Besaran-besaran vector dalam gerak rotasi/melingkar

1. Kecepatan Sudut:

∆θ dθ ω = lim = ∆t 0 ∆t dt

v = ω r = ω x r (6.1)

2. Percepatan sudut:

∆ω dω α = lim = ∆t 0 ∆t dt

a = α r = α x r (6.2)

3. Momentum Linear:

p = m v (6.3)

4. Momentum Angguler:

L = r x p = r x (mv)

= mr x (ω x r) = m r² C (6.4)

I : momen inersia

L = I ω

5. Momen Gaya:

τ = r x F τ = r F sin θ (6.5)

6.2 Momen Inersia untuk Benda Tegar

Ditinjau benda tegar dengan distribusi massa kontinu.

Vi = riω

Untuk N buah partikel yang

OO membentuk benda tegar.O

I = Σ mi ri² I = Σ ri² ∆mi

Jika ∆m <<< I = ∫ r² dm (6.6)

LATIHAN

1. Tiga buah benda yang massanya sama 0,5 kg diletakkan berturut-turut

pada titik A (0,0) m; B (4,0) m; C (2,4) m dihubungkan dengan

batang-batang kaku yang massanya dapat diabaikan. Tentukan:

Momen inersia dan momentum sudut bila diputar sistemnya terhadap

sumbu x dengan kecepatan sudut 20 rad/s.

2. Tentukan momen inersia dari batang langsing dan homogen panjang L,

massanya m dan massa per satuan panjang ρ tetap besarnya yang

diputar di titik O yang berjarak l dari salah satu ujung.

3. Tentukan momen Inersia dari piringan tipis jejari R mempunyai massa

per satuan luas σ yang diputar melalui titik O tegak lurus bidang

gambar.

6.3 Dalil Sumbu Sejajar

Selain menghitung momen inersia suatu benda terhadap sumbu yang

terletak pada pusat massa, kita dapat menentukan momen inersia benda

terhadap sumbu sembarang yang sejajar dengan sumbu putar melalui pusat

massa.

∆mi

Momen inersia melalui S:

Is = ∫ r² dm

S r = l + p

Dm r² = r . r = (l + p) . (l + p)

= l² + p² + 2 p.l

= l² + p² + 2 px lx + 2 py ly

I = ∫ l² dm + ∫ p² dm + ∫ 2 lx px dm + ∫ 2 ly py dm

ml² Ipm = Io 0 0

lx dan ly : tetap

∫ px dm dan ∫ py dm adalah posisi pusat massa dihtung dari pusat massa =

0

I = ml² + I0 (6.7)

LATIHAN

1. Tentukan momen inersia dari piringan yang berputar melalui sumbu

tegak lurus bidang piringan melalui pinggir piringan.

2. Tentukan momen inersia dari batang panjang L berputar pada sumbu

yang terletak pada jarak ⅓ L dari salah satu ujung.

6.3 DINAMIKA BENDA TEGAR

F = m a

τ = I α

Jika momen gaya τ menyebabkan benda berputar, maka kerja yang

dilakukan jika benda bergerak dari sudut θ1 dan θ2:

l PM O p r

θ2

W = ∫ τ . dθ (6.8) θ1

Energi kinetik benda:

∆ Ek = Ek1 – Ek2 = ½ Iω1² - ½ Iω2² (6.9)

LATIHAN

m ; r

Sebuah piringan bermassa m = 5 kg

jejari r = 10 cm berputar tanpa gesekan

pada sumbu melalui pusat piringan .

Padanya dililitkan seutas tali dan ditarik

dengan gaya T = 100 N. Tentukan:

a) percepatan sudut

b) percepatan tangensial

Jika pada ujung tali diberikan beban 0,5 kg kemudian dilepaskan,

tentukan: a) besar percepatan beban waktu bergerak ke bawah

b) besar tegangan tali

6.4 STATIKA BENDA TEGAR (KESEIMBANGAN)

Gerak partikel adalah gerak translasi kesetimbangan

STATIKA PARTIKEL.

Partikel dalam keadaan diam: v = 0 a = 0 atau v = c a = 0

Syarat: Σ F = 0 Σ Fx = 0 , Σ Fy = 0

Gerak benda adalah Gerak Translasi dan Gerak Rotasi

Diam : v = 0, a = 0 dan ω = 0, α = 0

Benda

Bergerak : v = c, a = 0 dan ω = 0, α = 0

Syarat: Σ F = 0

Σ τ = Σ I α = 0

MOMEN GAYA

F F

τ = r x F

besar momen gaya: τ = r F sin θ

arah momen gaya: ….. ?

KESETIMBANGAN TRANSLASI

1.

A 45° 30° B Tentukan TA, TB dan TC

Jika massa beban 10 kg

untuk masing-masing

C soal.

2. B 3. B

45° 45°

A ∟

A

C 60°

rr

C

4. Tentukan tegangan tali A dan C, serta gaya reaksi pada engsel B

jika massa beban 10 kg.

A

A 45°

30° 60°

B B C

C

KESETIMBANGAN TRANSLASI DAN ROTASI

1. Sebuah tangga massa 20 kg, panjang 5 m pusat beratnya terletak

ditengah-tengah dan membentuk sudut 60° terhadap tanah.

Tentukan:

a) Gaya yang dikerjakan oleh dinding

pada tangga.

b) Gaya yang dikerjakan oleh tanah

pada kaki tangga. 60°

c) Sudut antara FA dengan tanah.

2. Sebuah tangga panjang 20 m massa 20 kg bersandar di tembok pada

suatu tempat setinggi 16 m dari tanah. Titik berat tangga terletak pada

jarak 1/3 panjang tangga dari tanah.

Seseorang bermassa 60 kg memanjat tangga dan berhenti di tengah

tangga. Jika koefisien gesek statis antara dinding tembok dan tangga

nol, sedang antara tanah dan tangga 0,4. Tentukan:

a) Gaya-gaya yang dilakukan system pada tanah dan dinding.

b) Berapa jauh orang tersebut dapat naik tangga tergelincir.

3.

Massa batang 20 kg, massa beban

10 kg dan panjang batang 4m

60° diletakkan seperti pada gambar.

Tentukan: tegangan pada kawat

Dan gaya batang oleh engsel.