Penerbit Erlangga

BAB 5

DIMENSI TIGA

Kompetensi Dasar

• Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-

unsurnya.

• Menghitung luas permukaan bangun ruang.

• Menerapkan konsep volume bangun ruang.

• Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam

bangun ruang.

A. BANGUN RUANG DAN UNSUR-

UNSURNYA

1. Kubus

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi

oleh enam bidang datar (sisi) yang sama luas

dengan dua belas rusuk yang sama panjang dan

semua sudutnya merupakan sudut siku-siku.

Unsur-Unsur Kubus

Unsur-unsur kubus ABCD.EFGH pada Gambar diatas antara

lain:

a. Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi yang

kongruen, yaitu ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE, dan

DCGH.

b. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu

AB, DC, EF, HG, EA, HD, FB, GC, AD, BC, FG, dan EH.

c. Memiliki 12 diagonal sisi yang sama panjang, yaitu

AC, BD, EG, FH, AH, DE, BG, CF, AF, BE, DG, dan CH.

d. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang, yaitu

AG, BH, CE, dan DF.

e. Memiliki 6 bidang diagonal, yaitu

ACGE, BDHF, ADGF, ABGH, BCHE, dan CDEF.

f. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.

Jaring-Jaring Kubus

Apabila kubus ABCD.EFGH diiris menurut

rusuk EH, HD, EF, FB, BA, DC, dan CG, akan

dihasilkan bangun datar seperti pada

Volume Kubus

Luas Permukaan Kubus

dimana s = panjang sisi kubus

Contoh

2. Prisma

Prisma adalah suatu bangun ruang yang

mempunyai sepasang sisi sejajar dan

sebangun, yang disebut alas, serta sisi-sisi lain

yang diperoleh dengan menghubungkan ujung-

ujung titik sudut dari kedua alasnya dan disebut

sisi tegak. Prisma yang akan dipelajari pada bab

ini adalah prisma tegak.

Jenis-jenis Prisma

Jenis-jenis prisma umumnya dikelompokkan

berdasarkan bangun datar yang menjadi alas

prisma tersebut.

(a) prisma tegak segi empat

(b) prisma tegak segitiga

(c) prisma tegak segi enam

Jaring-Jaring Prisma

Volume dan Luas Permukaan Prisma

Seperti kita ketahui, prisma segi empat yang alasnya berbentuk persegi

panjang dapat juga kita sebut balok. Sebuah balok memiliki ukuran

panjang alas (p), lebar (l), dan tinggi (t) dapat dihitung volumenya (V)

dengan rumus berikut.

Contoh

3. Limas

Limas adalah suatu bangun ruang yang

mempunyai satu sisi

sebagai alas dan sisi-sisi lain berupa segitiga

berpotongan pada satu

titik yang disebut puncak limas. Sedangkan jarak

dari puncak ke

alas limas disebut dengan tinggi limas.

Unsur-Unsur Limas

Limas beraturan merupakan bangun ruang yang

memiliki bidang alas sebuah segi-n beraturan dan

bidang sisi tegak yang berbentuk segitiga sama

kaki yang kongruen.

Perhatikan Gambar dibawah, Limas segi empat

T.ABCD memiliki rusuk TA, TB, TC, dan TD rusuk

tegak dan sisi tegak berupa segitiga

TBC, TCD, TDA, dan TAB.

Jaring-jaring Limas

Volume dan Luas Permukaan Limas

Contoh

4. Tabung

Tabung adalah suatu bangun ruang dengan suatu

irisan melingkar yang seragam. Jika ujung-

ujungnya tegak lurus pada permukaan yang

melengkung, tabung itu adalah suatu tabung

tegak.

Unsur-Unsur Tabung

unsur-unsur tabung antara lain:a. Tabung memiliki 3 sisi, di antaranya berbentuk bidang

lengkung dan lainnya berbentuk lingkaran.

b. Garis s disebut garis sumbu tabung atau disebut garis

pelukis atau disebut juga tinggi tabung (t).

Jaring-Jaring Tabung

` Volume dan Luas Permukaan Tabung

Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas

(r) dan tinggi tabung (t) memiliki volume

sebagai berikut.

Luas permukaan tabung adalah luas selimut

tabung ditambah dengan luas alas dan

tutupnya, dihitung dengan rumus sebagai

berikut.

Sedangkan luas permukaan tabung tanpa tutup

adalah sebagai berikut.

Contoh

5. Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh

suatu daerah pada bidang datar (disebut alas)

dan sebuah selimut. Kerucut dapat dibentuk dari

sebuah segitiga siku-siku yang diputar, dimana

sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran.

Unsur-Unsur Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang alasnya

berbentuk lingkaran dengan jari-jari r. TC = t

menyatakan tinggi kerucut dengan T sebagai

puncak kerucut dan a disebut sebagai

apotema atau garis pelukis.

Jaring-Jaring Kerucut

Volume dan Luas Permukaan Tabung

Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas (r) dan

tinggi (t), memiliki volume (V) sebagai berikut.

Luas permukaan kerucut adalah luas selimut kerucut

ditambah dengan luas alas kerucut, dihitung dengan

rumus berikut.

Sedangkan untuk luas permukaan kerucut tanpa alas atau

luas selimut

kerucut adalah sebagai berikut.

dimana a = garis pelukis (apotema).

Contoh

B. HUBUNGAN ANTARA UNSUR-

UNSUR DALAM BANGUN RUANG

Ruang adalah himpunan dari semua titik. Titik-titik

dalam ruang mempunyai lokasi yang eksak atau

pasti dan tidak bergerak.

Unsur-unsur ruang adalah titik, garis, dan bidang.

Titik adalah himpunan bagian terkecil dari ruang.

Pada pembahasan ini yang dimaksud garis

adalah garis lurus, sedang yang dimaksud

bidang adalah bidang datar.

1. Hubungan Garis dan BidangHubungan suatu garis terhadap suatu bidang memenuhi satu dari

tiga kemungkinan berikut.

Garis Terletak pada Bidang

Suatu garis dikatakan terletak pada bidang apabila setiap titik padagaris tersebut terletak atau berimpit dengan bidang. PerhatikanGambar dibawah. Garis EG terletak pada bidang EFGH dangaris AB pada bidang ABCD.

Garis Sejajar Bidang

Suatu garis dikat9akan sejajar dengan bidang apabila antara garisdan bidang tidak mempunyai titik persekutuan (tidak pernahberpotongan). Pada Gambar dibawah, garis EF sejajar ABCD dan garis AC sejajar EFGH.

Garis Menembus Bidang

Suatu garis dikatakan menembus bidang apabila garis dan bidangtersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan (titik potong). Perhatikan Gambar 5.15. Garis BO menembus bidang EFGH di

Contoh

2. Jarak pada Bangun Ruang

Jarak Antara Dua Titik

Jarak antara dua titik adalah panjang garis

yang menghubungkan kedua titik tersebut.

Perhatikan Gambar dibawah ini, Jarak P dan

Q dapat dihitung dengan membuat segitiga

siku-siku dan menggunakan rumus

pythagoras.

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik ke garis adalah panjang garis yang

ditarik dari suatu titik dan tegak lurus garis

tersebut.

Jarak Antara Titik dengan Bidang

Jarak antara titik dengan bidang adalah

panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang

atau panjang garis lurus dari titik ke titik

proyeksinya pada bidang. Jarak sebuah titik

ke sebuah bidang adalah jarak tegak lurus

dari titik ke bidang itu.

Jarak Antara Dua Garis Bersilangan

Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis

tersebut tidak sejajar dan terletak pada dua bidang

yang berbeda. Perhatikan Gambar dibawah ini.

Garis AE dan BH saling bersilangan. Misal dari

kubus ABCD.EFGH akan ditentukan jarak antara

AE dan BH, langkah-langkahnya adalah sebagai

berikut.

a. Tentukan dan buat bidang yang melalui BH dan

sejajar AE sehingga diperoleh bidang BDHF,

b. Proyeksikan AE pada bidang BDHF sehingga

diperoleh garis KL,

c. Jarak antara AE dan BH adalah jarak antara AE

dan KL diperoleh OM atau EK atau AL.

Jarak Antara Dua Garis Sejajar

Perhatikan gambar dibawah ini. Garis AB dan

DC sejajar dan terletak pada bidang ABCD.

Misalkan garis IJ tegak lurus garis AB dan

DC, dan memotong kedua garis tersebut

masing-masing di titik I dan J. Jarak antara

garis AB dan CD adalah panjang ruas garis

IJ.

Contoh

3. Sudut

Sudut Antara Dua Garis Bersilangan

Dua garis l dan m yang saling berpotongan di titikP digambarkan seperti berikut.

Dari Gambar diatas, yang dimaksud sudut dua garisbersilangan (berpotongan) adalah sudut ∠APB (atauα) dan ∠APC. Besar ∠APB + ∠APC = 180°.

Sudut Antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip

yang dibentuk antara garis dengan proyeksinya

pada bidang. Perhatikan Gambar dibawah ini. Garis

EG adalah proyeksi EC pada bidang EFGH, maka

sudut antara EC dan bidang EFGH adalah ∠CEG.

Sudut Antara Dua Bidang

Perhatikan Gambar disamping ini.

Bidang A dan bidang B membentuk sudut

α. Sudut yang dibentuk pada gambar di

samping dapat ditentukan dengan

langkah-langkah sebagai berikut.

1. Tandai titik potong kedua

bidang, misalnya titik Q.

2. Buat garis k pada bidang A melalui titik

Q dan garis l pada bidang B melalui Q.

Kedua garis tegak lurus garis potong.

Diperoleh sudut antara bidang A dan

bidang B sama dengan sudut antara garis

k dan garis l. Sudut antara garis k dan

garis l disebut sudut tumpuan, sedangkan

bidang yang melalui garis k dan garis l

disebut bidang tumpuan.

Contoh