Upload
vuongkhanh
View
321
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
154 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
BAB 4
PERBANDINGAN, PROPORSI, DAN SKALA
A. Perbandingan
1. Perbandingan dan Pecahan
Perbandingan atau rasio antara a dan b ditulis a : b adalah pecahan b
a, dengan syarat
0b . Jadi, b
aba : , dengan 0b . Apabila 0 ba , maka 1
1
11:1: ba .
Jika 0k , maka k
b
k
akbkaba ::: .
Menyederhanakan perbandingan ba : sama artinya dengan menyederhanakan
pecahan b
a, dengan 0b .
Sebuah perbandingan menyatakan berapa kali suatu besaran dari besaran yang lain.
Kedua besaran yang dibandingkan harus sama jenisnya.
Contoh:
1. Sederhanakan setiap perbandingan berikut ini.
1. A : B = 54 : 63 c. P : Q = 5:7
23
2. C : D = 2 : 5
3 d. X : Y =
6
51:
4
12
Solusi:
a. A : B = 54 : 63 = 7:69
63:
9
54
b. C : D = 2 : 5
3= 3:105
5
3:52
c. P : Q = 35:2375:77
235:
7
235:
7
23
d. X : Y = 22:27126
11:12
4
9
6
11:
4
9
6
51:
4
12
2. Jumlah semua siswa di SD ANNISA adalah 720 orang. Jumlah siswa laki-laki 320
orang. Tentukan perbandingan siswa laki-laki dengan siswa perempuannya.
Solusi:
155 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
Jumlah siswa perempuan = 720 – 320 = 400 orang
Jumlah siswa laki-laki : jumlah siswa perempuan = 320 : 400 = 4 : 5.
Jadi, perbandingan siswa laki-laki dengan siswa perempuannya adalah 4 : 5.
3. Pak Suherman dan Pak Slamet masing-masing mempunyai persedian beras sebesar
248 kg dan 0,744 ton. Tentukan perbandingan beras yang dimiliki Pak Suherman dan
Pak Slamet itu.
Solusi:
Beras persediaan Pak Suherman = 248 kg
Beras persediaan Pak Slamet = 0,744 ton = 744 kg
Beras persedian Pak Suherman : Beras persedian Pak Slamet = 248 : 744 = 1 : 3.
Jadi, perbandingan beras yang persediaan milik Pak Suherman dan Pak Slamet itu
adalah 1 : 3.
4. Umur Gagas dan Ilham sekarang masing-masing 5 tahun dan 8 tahun. Berapakah
perbandingan umur mereka empat tahun yang akan dating?
Solusi:
Umur Gagas 4 tahun yang akan datang = (5 + 4) tahun = 9 tahun.
Umur Ilham 4 tahun yang akan datang = (8 + 4) tahun = 12 tahun.
Jadi, perbandingan umur mereka empat tahun yang akan datang = 9 : 12 = 3 : 4.
5. Jumlah uang Fauzan adalah 8
71 kali jumlah uang Fitri. Berapakah perbandingan
jumlah uang Fauzan dengan jumlah uang Fitri.
Solusi:
Jumlah uang Fauzan = 8
71 × jumlah uang Fitri
Jumlah uang Fauzan = 8
15 × jumlah uang Fitri
8
15
FitriuangJumlah
FauzanuangJumlah
Jumlah uang Fauzan : Jumlah uang Fitri = 15 : 8.
Jadi, perbandingan jumlah uang Fauzan dengan jumlah uang Fitri adalah 15 : 8.
2. Menentukan Nilai Suatu Kelompok, Jika Diketahui Perbandingan Dua Kelompok
dan Nilai Satu Kelompok yang Lainnya
Jika diketahui baBA :: dan B, maka Bb
aA .
156 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
Jika diketahui baBA :: dan A, maka Aa
bB .
Contoh:
Jumlah siswa perempuan di suatu sekolah adalah 300 orang. Jika perbandingan jumlah
siswa laki-laki dan jumlah siswa perempuan adalah 5 : 6, berapakah jumlah siswa laki-
lakinya?
Solusi:
Jumlah siswa laki-laki : Jumlah siswa perempuan = 5 : 6
Jumlah siswa laki-laki = 6
5× Jumlah siswa perempuan = 300
6
5 = 250 orang
3. Menentukan Nilai Setiap Kelompok, Jika Diketahui Perbandingan dan Jumlah
Nilai Seluruh Kelompok
Jika diketahui baBA :: dan A + B, maka )( BAba
aA
dan
)( BAba
bB
.
Contoh:
Dalam sebuah kotak terdapat bola hijau dan putih yang jumlahnya 156 buah.
Perbandingan jumlah bola hijau dan bola putih adalah 5 : 7. Berapakah jumlah bola hijau
dan putih masing-masing?
Solusi:
Jumlah bola hijau 6515675
5
buah
Jumlah bola hijau 9115675
7
buah
4. Menentukan Nilai Setiap Kelompok, Jika Diketahui Perbandingan dan Jumlah
Nilai Seluruh Kelompok
Jika diketahui cbaCBA :::: dan A + B + C, maka )( CBAcba
aA
,
)( CBAcba
bB
, dan )( CBA
cba
cC
Contoh:
1. Dalam sebuah kotak terdapat pinsil HB, 2B, dan 3B yang jumlahnya 98 batang.
Perbandingan jumlah pinsil HB, 2B, dan 3B adalah 3 : 6 : 5. Berapakah jumlah
masing-masing pinsil itu?
157 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
Solusi:
Pinsil HB 219814
398
563
3
batang
Pinsil 2B 429814
698
563
6
batang
Pinsil 3B 359814
598
563
5
batang
2. Terdapat 4 drum A, B, C, dan D yang keseluruhannya berisi minyak tanah 600 liter.
Perbandingan volume minyak di drum A, B, dan C adalah 4 : 2 : 3. Jika drum D berisi
150 liter minyak tanah, berapa liter minyak tanah di drum A?
Solusi:
Volume minyak tanah di drum A, B, dan C seluruhnya = (600 – 150) liter = 450 liter.
Volume minyak tanah di drum A 2004509
4450
324
4
liter.
5. Menentukan Nilai Setiap Kelompok, Jika Diketahui Perbandingan Tiga Kelompok
dan Jumlah Nilai Dua Kelompok yang Lain
Jika diketahui cbaCBA :::: dan A + B, maka )( BAba
aA
,
)( BAba
bB
, A
a
cC atau B
b
cC .
Solusi:
Perbandingan jumlah kelas 3, 4, dan 5 adalah 5 : 4 : 3. Jika jumlah siswa kelas 4 dan 5
adalah 210 orang, berapakah jumlah siswa kelas 3?
Solusi:
Jumlah siswa kelas 4 : Jumlah siswa kelas 5 = 4 : 3.
Jumlah siswa kelas 4 dan 5 adalah 210 orang.
Jumlah siswa kelas 4 12021034
4
orang
Jumlah siswa kelas 3 : Jumlah siswa kelas 4 = 5 : 4
Jumlah siswa kelas 3 1501204
5 orang
Kita boleh mengerjakan sebegai berikut.
Jumlah siswa kelas 5 9021034
3
orang
Jumlah siswa kelas 3 : Jumlah siswa kelas 5 = 5 : 3
158 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
Jumlah siswa kelas 3 150903
5 orang
6. Menentukan Nilai Setiap Kelompok, Jika Diketahui Perbandingan dan Selisih Nilai
Dua Kelompok
Jika diketahui baBA :: dan A B, maka )( BAba
aA
dan
)( BAba
bB
.
Contoh:
1. Seorang peternak memelihara kelinci dan kambing. Perbandingan jumlah kambing
dan kelinci adalah 4 : 5. Selisih antara jumlah kelinci dan kambing 10 ekor.
Hitunglah jumlah kelinci dan kambing masing-masing yang dimiliki peternak itu.
Solusi:
Strategi 1:
Jumlah kambing : Jumlah kelinci = 4 : 5
Jumlah kambing =5
4× Jumlah kelinci
Jumlah kelinci – Jumlah kambing = 10
Jumlah kelinci – 5
4× Jumlah kelinci = 10
5
1× Jumlah kelinci = 10
Jumlah kelinci = 5 × 10 = 50 ekor
Jumlah kelinci – Jumlah kambing = 10
Jumlah kambing = Jumlah kelinci – 10 = 50 – 10 = 40 ekor
Boleh juga dikerjakan sebagai berikut.
Jumlah kelinci =4
5× Jumlah kambing
Jumlah kelinci – Jumlah kambing = 10
4
5 × Jumlah kambing – Jumlah kambing = 10
4
1× Jumlah kambing = 10
Jumlah kambing = 4 × 10 = 40 ekor
Strategi 2: Rumus langsung
159 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
Jumlah kelinci 501045
5
ekor
Jumlah kelinci – Jumlah kambing = 10
Jumlah kambing = Jumlah kelinci – 10 = 50 – 10 = 40 ekor
Boleh juga dikerjakan sebagai berikut.
Jumlah kambing 401045
4
ekor.
2. Perbandingan umur Ayah dan anak adalah 16 : 3. Selisih umur Ayah dan anak adalah
39 tahun.
a. Berapakah umur mereka masing-masing?
b. Tentukan perbandingan umur Ayah dan anak 6 tahun yang akan datang.
c. Tentukan perbandingan umur Ayah dan anak 3 tahun yang lalu.
Solusi:
a. Umur Ayah 4839316
16
tahun
Umur Anak 939316
3
tahun
b. Umur Ayah 3 tahun yang akan datang = 48 + 3 = 51 tahun
Umur Ayah 3 tahun yang akan datang = 9 + 3 = 12 tahun
Jadi, perbandingan umur Ayah dan anak 6 tahun yang akan datang = 51 : 12
= 17 : 4.
c. Umur Ayah 3 tahun yang lalu = 48 3 = 45 tahun
Umur Ayah 3 tahun yang lalu = 9 3 = 6 tahun
Jadi, perbandingan umur Ayah dan anak 6 tahun yang akan datang = 45 : 6
= 15 : 2
7. Menentukan Nilai Setiap Kelompok, Jika Diketahui Perbandingan Tiga Kelompok
dan Selisih Nilai Dua Kelompok
Jika diketahui cbaCBA :::: dan A B, maka )( BAba
aA
,
)( BAba
bB
, A
a
cC atau B
b
cC .
Solusi:
Perbandingan umur Dinda : Laras : Yuda = 2 : 3 : 7. Jika umur Yuda 12 tahun lebih tua
dari Laras, carilah usmur mereka masing-masing!
Solusi:
160 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
Umur Yuda = umur Laras + 12 tahun
Umur Yuda – Umur Laras = 12 tahun
Umur Laras 91237
3
tahun
Umur Yuda 211237
7
tahun
Umur Dinda : Umur Laras = 2 : 3
Umur Dinda 693
2 tahun atau
Umur Dinda : Umur Yuda = 2 : 7
Umur Dinda 6217
2 tahun
8. Menggabungkan Beberapa Perbandingan dalam Satu Perbandingan
Beberapa perbandingan dapat digabungkan dalam satu perbandingan. Misalnya diberikan
perbandingan-perbandingan baBA :: dan dcCB :: , maka perbandingan
gabungannya adalah CBA :: yang dapat ditentukan oleh rumus langsung sebagai berikut.
bdbcacCBA :::: .
Contoh:
1. Diketahui A : B = 1 : 3 dan B : C = 1 : 2. Carilah A : B : C.
Solusi:
Strategi 1:
Karena A : B = 1 : 3, maka kA dan kB 3
Karena B : C = 1 : 2, maka mB dan mC 2
Maka dari itu km 3
kkmC 6322
Jadi, 6:3:16:3::: kkkCBA .
Strategi 2: Rumus langsung
Jika baBA :: dan dcCB :: , maka bdbcacCBA :::: .
Karena A : B = 1 : 3 dan B : C = 1 : 2, maka 6:3:123:13:11:: CBA .
Strategi 3:
A : B = 1 : 3
B : C = 1 : 2 (dikalikan 3)
= 3 : 6
Jadi, 6:3:1:: CBA
161 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
2. Diketahui A : B = 2 : 3 dan B : C = 2 : 5. Carilah A : B : C.
Solusi:
Strategi 1:
Karena A : B = 2 : 3, maka kA 2 dan kB 3
Karena B : C = 2 : 5, maka mB 2 dan mC 5
Maka dari itu km 32 atau km2
3
kkmC2
15
2
355
Jadi, 15:6:42
15:3:2
2
15:3:2:: kkkCBA .
Strategi 2: Rumus langsung
Jika baBA :: dan dcCB :: , maka bdbcacCBA :::: .
Karena A : B = 2 : 3 dan B : C = 2 : 5, maka 15:6:453:23:22:: CBA .
Strategi 3:
A : B = 2 : 3
B : C = 2 : 5 (dikalikan 2
3)
= 3 : 2
15
Jadi, 15:6:42
15:3:2:: CBA .
3. Diketahui A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 9, C : D = 15 : 16. Carilah A : D dan A : B : C : D.
Solusi:
3
2
B
A,
9
4
C
B,
32
15
D
C
18
5
16
15
9
4
3
2
D
C
C
B
B
A
D
A
Jadi, A : D = 5 : 18
A : B = 2 : 3
B : C = 4 : 9 (dibagi 4
3)
= 3 : 4
27
162 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
C : D = 15 : 16 (dikalikan 20
9)
= 4
27 :
5
36
Jadi, 144:135:80:605
36:
4
27:4:3::: DCBA
4. Diketahui A : B = 1 : 4, B : C = 2 : 3, C : D = 5 : 12, dan D : E = 8 : 15. Carilah A : B :
C : D : E.
Solusi:
A : B = 1 : 4
B : C = 2 : 3 (dikalikan 2)
= 4 : 6
C : D = 5 : 12 (dikalikan 5
6)
= 6 : 5
72
D : E = 8 : 15 (dikalikan 5
9)
= 5
72: 27
Jadi, 135:72:30:20:527:5
72:6:4:1:::: EDCBA
5. Perbandingan jumlah uang yang dimiliki Dinda dengan Laras adalah 3 : 5, sedangkan
perbandingan jumlah uang Laras dan Yuda adalah 2 : 7. Carilah perbandingan jumlah
uang Dinda, Laras, dan Yuda.
Solusi:
Dinda : Laras = 3 : 5
Laras : Yuda = 2 : 7 (dikalikan 2
5)
= 5 : 2
35
Dinda : Laras : Yuda = 3 : 5 : 2
35 = 6 : 10 : 35.
Jadi, perbandingan jumlah uang Dinda, Laras, dan Yuda adalah 6 : 10 : 35.
163 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
6. Umur A adalah 4
11 kali umur B, umur B adalah
3
22 kali umur C, dan umur C adalah
6
5 kali umur D. Carilah perbandingan umur A dan D dan perbandingan umur A, B, C,
dan D.
Solusi:
BBA4
5
4
11 4:5: BA
4
5
B
A
CCB3
8
3
22 3:8: CB
3
8
C
B
DC6
5 6:5: DC
6
5
D
C
9
25
6
5
3
8
4
5
D
C
C
B
B
A
D
A
9:25: DA
Jadi, perbandingan umur A dan D adalah 25 : 9.
4:5: BA
3:8: CB (dibagi 2)
2
3:4
6:5: DC (dikalikan 10
3)
5
9:
2
3
18:15:40:505
9:
2
3:4:5::: DCBA .
Jadi, perbandingan umur A, B, C, dan D adalah 50 : 40 : 15 : 18.
7. Diberikan tiga bilangan A, B, dan C yang jumlahnya 172. Perbandingan bilangan A
dan B adalah 2 : 3 dan perbandingan bilangan B dan C adalah 5 : 6. Carilah ketiga
bilangan itu masing-masing.
Solusi:
A : B = 2 : 3
B : C = 5 : 6 (dikalikan 5
3)
= 3 : 7
18
164 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
18:15:105
18:3:2:: CBA
Bilangan A 40172181510
10
Bilangan B 60172181510
15
Bilangan C 72172181510
18
9. Perbandingan yang Berubah Karena Keluarnya Sebagian Anggota Kelompok
Contoh:
Jumlah karyawan suatu perusahaan adalah 400 orang. Perbandingan karyawan
perempuan dan laki-laki adalah 3 : 5. Karena krisis, perusahaan itu melakukan
pemutusan hubungan kerja (PHK) beberapa karyawan perempuan, sehingga
perbandingan karyawan perempuan dan laki-laki sekarang adalah 1 : 2. Carilah banyak
karyawan perempuan dan laki-laki semula. Berapakah karyawan yang di PHK.
Solusi:
Sebelum PHK:
5:3: LP dan 400 LP
15040053
3
P orang
25040053
5
L orang
Jadi, jumlah karyawan perempuan dan laki-laki sebelum PHK masing-masing adalah 150
orang dan 250 orang.
Sesudah PHK:
2:1: LP dan 250L (tetap)
1252502
1P orang
Karyawan perempuan setelah PHK adalah 125 orang.
Jadi, karyawan prempuan yang di PHK = 150 – 125 = 25 orang.
10. Perbandingan yang Berubah Karena Bertambahnya Anggota Kelompok
Contoh:
Jumlah umur Afifah dan ibunya adalah 48 tahun. Perbandingan umur ibu dan Afifah
adalah 3 : 1. Dalam berapa tahun perbandingan umurnya menjadi 5 : 2?
165 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
Solusi:
Umur ibu : Umur Afifah = 3 : 1 dan Jumlah umur Afifah dan Ibu = 48 tahun
Umur Afifah 124813
1
tahun
Umur Ibu 364813
3
tahun
Setelah n tahun, umur Ibu = (36 + n) tahun dan umur Afifah = (12 + n), dengan
perbandingan umurnya adalah 5 : 2. Jadi,
2:5)12(:)36( nn
)12(5)36(2 nn
nn 560272
nn 256072
n312
43:12 n
Jadi, stelah 4 tahun, perbandingan umurnya menjadi 5 : 2.
B. Proporsi
Proporsi adalah kesamaan dari dua perbandingan. Jadi, dcba :: atau d
c
b
a adalah sebuah
proporsi, dengan a dan d dinamakan batas, b dan c pertengahan, sedangkan d dinamakan
proporsional keempat terhadap a, b, dan c.
Dalam proporsi cbba :: , c dinamakan proporsional ketiga terhadap a dan b, dan b
dinamakan proporsional tengah antara a dan c.
Sifat-sifat Proporsi:
Jika dcba :: atau d
c
b
a , maka
1. bcad 3. d
b
c
a 5.
d
dc
b
ba
2. c
d
a
b 4.
d
dc
b
ba
6.
dc
dc
ba
ba
Contoh:
1. Carilah nilai x sebagai proporsi keempat dari 12:4:3 x .
Solusi:
12:4:3 x
1234 x
166 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
94
123
x
2. Carilah nilai x sebagai proporsi ketiga dari x:44:3 .
Solusi:
x:44:3
443 x
3
16x
3. Seutas tali panjangnya 300 cm dibagi menjadi dua bagian dengan perbandingan 2 : 3.
Carilah panjang tiap-tiap bagian.
Solusi:
Strategi 1:
Misalnya tali bagian yang pertama adalah x dan tali bagian yang kedua 300 – x, maka
3
2
300
x
x
xx 26003
6005 x
1205:600 x cm
180120300300 x cm
Jadi, bagian-bagian tali itu adalah 120 cm dan 180 cm.
Strategi 2:
Bagian tali yang pertama 1203005
2300
32
2
cm
Bagian tali yang kedua 1803005
3300
32
3
cm
4. Annisa dan Afifah usianya masing-masing 10 tahun dan 16 tahun. Dalam berapa tahun
lagi perbandingan usia mereka adalah 2 : 3.
Solusi:
Dalam x tahun lagi usia mereka masing-masing menjadi (10 + x) tahun dan (16 + x)
tahun. Maka
3:2)16(:)10( xx
)16(2)10(3 xx
xx 232330
303223 xx
167 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
2x
Jadi, dalam 2 tahun lagi perbandingan usia mereka 2 : 3.
5. Jika 7:3:2:: cba dan 46432 cba , carilah nilai a, b, dan c.
Solusi:
Karena 7:3:2:: cba , maka pilihlah ka 2 , kb 3 , dan kc 7 sehingga
46432 cba
46)7(4)3(3)2(2 kkk
462894 kkk
4623 k
223:46 k
4222 ka
6233 kb
14277 kc
C. Skala
Gambar skala adalah sebuah gambar yang mewakili sebuah objek yang sebenarnya.
sebenarnyaUkuran
gambarpadaUkuranSkala
Skala 1 : 100.000 atau 1 cm : 100.000 cm artinya adalah ukuran pada gambar = 1cm dan
ukuran sebenarnya = 100.000 cm.
Contoh:
1. Pada sebuah peta, suatu sungai digambarkan sepanjang 10 cm. Jika skala 1 : 250.000,
berapa panjang sungai sebenarnya dalam km?
Solusi:
sebenarnyaUkuran
10
000.250
1
Ukuran sebenarnya = 10 × 250.000 = 2.500.000 cm = (2.500.000 : 100.000) km = 25 km
2. Gambar rencana dari suatu gedung digambarkan dengan skala 1 : 200. Jika lebar gedung
sebenarnya 50 m, berapakah lebar pada gambar rencananya?
Solusi:
10050250
1
x
20250
000.5x cm
Jadi, lebar pada gambar rencananya adalah 20 cm.
168 |Jejak Seribu Pena, Perbandingan, Proporsi, dan Skala SD
3. Jarak dari A ke B adalah 300 km. Pada peta digambarkan 10 cm. Jika peta digambar
menurut skala 1 : n, berapakah nilai n?
Solusi:
000.000.3
1
000.100300
101
n
000.000.3n
4. Pada suatu peta kota A dan kota B berjarak 9 cm. Jika jarak yang sebenarnya 63 km,
carilah skala peta itu.
Solusi:
000.700
1
000.10063
9Skala
= 1 : 700.000
5. Pada gambar suatu persegi luasnya 25 cm2 dan luas persegi sebenarnya adalah 625 cm
2.
Carilah skala yang digunakan.
Solusi:
Panjang sisi persegi pada gambar = 525 cm
Panjang sisi persegi sebenarnya = 25625 cm
5:15
1
25
5Skala
6. Pada gambar suatu segitiga digambarkan dengan alas 40 cm dan tinggi 25 cm yang
menggunakan skala 1 : 10. Carilah luas sebenarya dalam m2.
Solusi:
x
25
10
1
250x cm = 2,5 m
y
40
10
1
400y cm = 4 m
Luas yang sebenarnya = 55,242
1 m
2