BAB III

KONTROL PADA STRUKTUR

III.1 Klasifikasi Kontrol pada Struktur

Sistem kontrol aktif adalah suatu sistem yang menggunakan tambahan energi luar.

Sistem kontrol aktif dioperasikan dengan sistem kalang-terbuka maupun kalang-

tertutup. Sistem kontrol aktif kalang-terbuka adalah sistem dimana gaya kontrol

ditentukan oleh kondisi awal sistem. Ini berarti bahwa gaya kontrol diketahui

sebelumnya dari informasi yang diberikan oleh konfigurasi sistem, keadaan awal, dan

gangguan yang diberikan. Sistem kontrol aktif kalang-tertutup adalah sistem dimana

gaya kontrol tergantung pada keadaan sistem pada saat itu. Sehingga kontrol aktif

kalang-tertutup dapat disebut juga sistem kontrol umpan balik. Sistem kontrol umpan

balik merupakan sistem yang cocok digunakan dalam aplikasi teknik sipil, karena

adanya ketidaktentuan parameter struktur dan beban yang diterima struktur.

Sistem kontrol pasif tidak membutuhkan tambahan energi luar dalam beroperasi.

Banyak sistem kontrol pasif bekerja sebagai kontrol kalang-tertutup. Setiap

mekanisme kontrol membangkitkan gaya kontrol yang dibutuhkan bila struktur

diganggu atau responnya melebihi batas-batas tertentu. Dengan demikian keadaan

struktur pada saat itu adalah satu-satunya yang memaksa mekanisme kontrol untuk

membangkitkan gaya yang dibutuhkan untuk mengontrol keadaan struktur

berikutnya. Klasifikasi kontrol struktur digambarkan pada gambar berikut:

Gambar III.1 Klasifikasi kontrol pada struktur

14

III.2 Klasifikasi Kontrol Aktif pada Struktur

Sistem kontrol aktif pada struktur mempunyai konfigurasi dasar seperti yang

diperlihatkan secara skematis sebagai berikut:

Gambar III.2 Diagram skematik kontrol aktif pada struktur

Konfigurasi tersebut terdiri dari:

• Sensor-sensor yang diletakkan di berbagai tempat pada struktur untuk

mengukur gaya luar atau respon struktur atau keduanya

• Alat untuk memproses informasi yang diukur dan menghitung gaya kontrol

yang diperlukan berdasakan suatu algoritma kontrol.

• Aktuator, biasanya digerakkan oleh sumber energi luar untuk menghasilkan

gaya kontrol yang dibutuhkan,

Pada kontrol kalang-tertutup, maka hanya respon struktur yang diukur dengan

dimonitor secara kontinyu dan informasi ini digunakan untuk memberikan koreksi

yang kontinyu terhadap gaya kontrol yang diberikan. Sedangkan pada mekanisme

kontrol kalang-terbuka, maka besarnya gaya luar yang diukur. Pada kasus dimana

informasi keduanya, yaitu respon struktur dan besarnya gaya luar digunakan untuk

merencanakan gaya kontrol, maka istilah closed-open-loop digunakan.

15

Peralatan yang dapat digunakan dapat diklasifikasikan dalam empat kategori, yaitu

peredam massa aktif, tendon aktif, penambahan massa, redaman, kekakuan, dan

kontrol pulsa.

Penyerap dinamik atau peredam massa dapat dirangkaikan dengan sumber energi luar

dan sebuah aktuator elektrohidrolik untuk membentuk peredam massa. Aktuator

dioperasikan sebagai kontrol aktif. Algoritma kontrol aktif diimplementasikan dengan

menggunakan bantuan komputer.

Tendon aktif atau kabel digunakan dengan menarik tendon dengan menggunakan

hydraulic rams. Gaya internal dibangkitkan, yang digunakan untuk menyesuaikan

deformasi struktur. Sensor perpindahan dan kecepatan digunakan untuk memonitor

respon akibat gaya luar. Jika respon melebihi batas tertentu, pengontrol menentukan

penyesuaian yang dibutuhkan dengan penambahan algoritma kontrol, dan

mengaktifkan aktuator hidrolik yang menegangkan tendon.

Kategori ketiga dari sistem kontrol aktif untuk bangunan tinggi adalah penambahan

struktur tambahan yang dipasang pada puncak bangunan yang mirip dengan sayap

pesawat terbang dengan geometri yang dapat berubah-ubah. Struktur tambahan ini

dapat bergerak dan posisinya dihitung berdasar pengukuran deformasi pada saat itu.

Kontrol pulsa merupakan kategori ke-empat dalam kontrol aktif pada struktur. Pulsa

diberikan selama periode waktu yang pendek dalam bentuk udara dan jet gas atau

tendon prestressed. Dorongan ini diberikan dengan menggunakan pembangkit pulsa

yang diletakkan pada posisi yang berbeda-beda pada struktur. Dorongan ini diberikan

pada struktur dalam interval waktu diskrit, dan intensitasnya dihitung berdasar

algoritma kontrol yang berdasar pengukuran respon pada lokasi yang berbeda-beda

pada struktur.

III.3 Peredam massa pasif dan peredam massa aktif

Respon bangunan bertingkat tinggi terhadap beban dinamis, gempa bumi, dan angin

merupakan hal penting dalam perencanaan struktur. Diantara bermacam-macam

peralatan kontrol yang telah dikembangkan, suatu alat kontrol pasif yang berdasarkan

penggunaan massa tambahan sebagai sistem penyerap energi telah dipelajari secara

16

intensif dan sudah dipasang pada beberapa bangunan bertingkat tinggi. Alat kontrol

itu disebut dengan peredam massa pasif (tuned mass damper).

Adapun beberapa contoh-contoh bangunan yang menggunakan TMD (tuned mass

damper) adalah sebagai berikut:

- Hancock Tower di Boston, Massachusetts. Dengan reduksi respon struktur

50%

- Bangunan Citicorp Center di Manhattan, New York. Dengan reduksi respon

struktur 40%.

- Chiba Port Tower di Chiba. Dengan reduksi respon struktur antara 40% - 50%

- Sydney Tower, di Sydney. Dengan reduksi respon struktur antara 40% - 50%

- Higashimyama Sky Tower di Nagoya. Dengan reduksi respon struktur antara

30% - 50%

Sebuah TMD terdiri dari massa inersia yang dikerjakan pada lokasi bangunan dengan

pergerakan maksimum, biasanya diletakan pada lantai atas. TMD meneruskan gaya

inersia ke rangka bangunan untuk mereduksi getarannya yang keefektivitasannya

dihitung berdasarkan karakteristik dinamik dan jumlah dari massa tambahan yang

bekerja.

Dalam perkembangan kontrol vibrasi dari struktur, kontrol pasif disukai karena

kemudahannya dan ketahanannya, yaitu alat yang tetap berfungsi tanpa sumber energi

dari luar dan tidak memiliki resiko yang signifikan dalam menyebabkan kondisi yang

tidak stabil.

Akan tetapi tanpa kegunaan dari mekanisme kontrol, kontrol pasif ini tidak mampu

mengatur variasi pada berbagai parameter dari sistem. Sehingga dikembangkan

kontrol aktif dengan alat yang lebih kecil yang mampu mengontrol vibrasi pada

struktur dengan respon yang berubah-ubah. Sistem inersia yang dilengkapi dengan

sebuah analisis kontrol dengan komputer untuk mengukur signal respon dan

menghasilkan gaya kontrol, berdasarkan umpan balik dari kecepatan dan percepatan

dari struktur yang sering juga disebut peredam massa aktif .

17

Adapun beberapa contoh-contoh bangunan yang menggunakan ATMD (active tuned

mass damper) adalah sebagai berikut:

- Kansai Int’L Airport Control Tower di Osaka. Dapat mereduksi respon

struktur akibat angin sebesar 50%.

- LTC Bank of Japan di Tokyo. Mereduksi percepatan maksimum akibat angin

sampai 50%.

- Ando Nishikicho Building di Tokyo. Mereduksi perpindahan dan percepatan

pada arah x sebesar 58% dan 69% dan juga perpindahan pada arah y sebesar

30% dan percepatan sebesar 52%.

- Osaka Resort City (ORC) 200 Symbol Tower di Osaka. Mereduksi respon

struktur 1/2 sampai 1/3.

- Shinjuku Park Tower di Tokyo. Dengan reduksi respon struktur 50% selama

terjadi angin topan pada 1996.

Walaupun sistem kontrol aktif ini menghasilkan massa redaman yang lebih kecil dan

memiliki tingkat efisiensi yang lebih tinggi, tetapi kelemahan dari sistem ini adalah

biaya operasi dan perawatan yang lebih mahal dari kontrol pasif.

III.3.1 Peredam Massa Pasif

Peredam massa pasif telah dipelajari secara teoristik sejak tahun 1928 oleh

Ormondroyd dan Den Hartog. Idenya adalah meletakan suatu osilator kecil pada

sistem yang akan dikendalikan responnya (sistem utama) dan kemudian mengatur

frekuensi osilator tersebut sedemikian sehingga energi getaran pada sistem utama

ditransfer ke osilator. Pengaturan frekuensi osilator umumnya dilakukan dengan

menyesuaikan massa osilator sehingga sistem peredam ini disebut tuned mass damper

(TMD). Gambar berikut mendeskripsikan sistem struktur TMD secara skematis:

18

Gambar III.3 Sistem Bangunan TMD

Dalam Gambar III.3, bangunan dimodelkan sebagai sistem berderajat kebebasan

tunggal dengan massa m, konstanta redaman c, dan konstanta pegas k, yang masing-

masing merepresentasikan massa, redaman, dan kekakuan ragam pertama dari

bangunan itu; f(t) merepresentasikan pengaruh luar, misalnya gaya angin; md, cd, dan

kd masing-masing merepresentasikan massa, redaman, dan kekakuan yang

berhubungan dengan TMD ini membentuk sisitem dinamik baru berderajat kebebasan

dua.

Persamaan gerak sistem bangunan TMD dapat ditulis sebagai berikut:

(3.1) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅

0)t(f

yx

kkkkk

yx

ccccc

yx

m00m

dd

dd

dd

dd

d

x(t) dan y(t) masing-masing menyatakan perpindahan dari massa m dan massa md

terhadap suatu sumbu refrensi tetap.

Agar respon sistem utama (struktur gedung) dapat diminimalkan, maka karekteristik

md dan kd harus diatur besarnya sehingga optimum. Faktor-faktor yang

mempengaruhi kinerja TMD adalah sebagai berikut:

1. rasio antara massa TMD dan massa sistem utama

mmd=µ

19

2. rasio frekuensi

ωω

= dr ,

dimana d

dd m

k=ω

3. rasio redaman dari sistem TMD

dd

dd m2

cω

=ξ

Menurut Den Hartog parameter-parameter optimum TMD adalah sebagai berikut:

- rasio frekuensi

µ+

=1

1fopt (3.2)

- rasio damper peredam

)1(83

opt,d µ+µ

=ζ (3.3)

Sehingga nilai optimum dari redaman dan kekakuan peredam adalah sebagai berikut:

mfk 22optopt Ω= (3.4)

mf2c optoptopt Ωζ= (3.5)

Dimana:

µ = rasio massa tuned terhadap massa lantai

Ω = frekuensi natural struktur

m = massa peredam

20

III.3.2 Peredam Massa Aktif

Peredam massa aktif merupakan penyempurnaan dari sistem kontrol pasif, yaitu

TMD. Model struktur utama dengan sistem ATMD dapat dilihat pada gambar

berikut:

Gambar III.4 Sistem bangunan ATMD

Dari Gambar III.4 terlihat sistem TMD dihubungkan dengan aktuator (pembangkit

gaya) yang aktifitasnya dikontrol oleh komputer. Aktuator inilah yang

membangkitkan gaya kontrol u(t). Prinsip kontrol umpan balik digunakan untuk

menentukan u(t). Persamaan gerak ATMD dapat ditulis sebagai berikut:

)t(u11

0)t(f

yx

kkkkk

yx

ccccc

yx

m00m

dd

dd

dd

dd

d ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅

⋅⋅

⋅⋅

(3.6)

III.4 Analisis Ruang Keadaan

Langkah pertama dalam studi analisis adalah memodelkan sistem tersebut dengan

menggunakan model matematik. Sesuai dengan konsep, karena kemampuannya yang

dapat menggambarkan sistem tentang kondisi sistem saat itu yang dinyatakan dengan

keadaan (state) sistem. Sesuai dalam notasi dan analitis, karena pendekatan state-

space menggunakan matriks vektor yang memberikan persamaan sistem dan

membentuk solusi dalam penulisan yang kompak. Kesesuaian pendekatan state-space

21

dalam solusi numerik dengan analitis adalah suatu keuntungan tambahan, khususnya

bagi sistem yang berubah terhadap waktu (time-varying), dan untuk sistem non linier.

Dalam menganalisis sistem dinamik, persamaan diferensial yang khusus diperlukan

untuk menghubungkan variabel-variabel dinamik dengan turunannya dalam beberapa

tingkat (orde). Dengan metode state-space, semua persamaan diferensial dalam model

matematika dalam orde berapapun, dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial

tingkat satu, yaitu hanya variabel dinamik dan turunan pertamanya (terhadap waktu)

saja.

Dalam notasi vektor, dengan menggunakan definisi vektor keadaan dan vektor

kontrol, model dinamika linier dinyatakan sebagai:

utBztAdtdzz )()( +==

⋅

Dimana A(t) dan B(t) adalah matriks yang diberikan oleh

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(...)()(............

)(...)()()(...)()(

)(

21

22221

11211

tatata

tatatatatata

tA

kkkk

k

k

(3.7)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(...)()(............

)(...)()()(...)()(

)(

21

22221

11211

tbtbtb

tbtbtbtbtbtb

tB

klkk

l

l

Matriks A(t) selalu merupakan matriks bujursangkar (k x k), sedangkan matriks B(t)

tidak selalu bujursangkar. Banyak sistem memiliki jumlah input l lebih kecil dari

jumlah variabel keadaan.

Bila sistem time-invariant, matriks A dan B tidak merupakan fungsi terhadap waktu.

Kontrol pada struktur merupakan sistem dinamik linier dan time-invariant. Sehingga

persamaan dinamik menjadi:

BuAzz +=⋅

(3.8)

22

Dimana A dan B adalah matriks konstan.

Persamaan gerak sistem struktur n-DOF yang dibebani dengan beban gempa

dan dikontrol dengan gaya kontrol U(t) adalah sebagai berikut:

)(tx g

⋅⋅

(3.9) (t)UH(t)x1..M-Kx(t)(t)xC(t)xM g +=++⋅⋅⋅⋅⋅

Dimana M, C, dan K berturut-turut adalah nxn matriks massa struktur, nxn matriks

redaman, dan nxn matriks kekakuan struktur. x(t), turunan pertama dan keduanya

berturut-turut adalah perpindahan, kecepatan, dan percepatan. 1 adalah n-vektor

dengan elemennya 1, U(t) adalah r-vektor gaya kontrol, dan H adalah nxr matrik

yang mendefinisikan lokasi gaya kontrol.

Persamaan 3.9 disusun dalam bentuk persamaan 2n-state space, dimana sistem

persamaan difrensial orde-2 dapat diubah menjadi persamaan nonlinier difrensial

orde-1 sebagai berikut:

(3.10) (t)xW)t(BU)t(AZ)t(Z g

⋅⋅⋅

++=

Dimana Z(t) adalah 2n-vektor state:

(3.11) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ⋅

)t(X

)t(X)t(Z

A adalah matrik 2n x 2n dengan susunan berikut:

(3.12) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

= −− CMKMI0

A 11

B adalah matrik 2n x r, dan W adalah 2n-vektor sebagai berikut:

(3.13) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= − HM

0B 1

(3.14) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= − 1.MM0

W 1

23

III.5 Kontrol Optimal

Suatu sistem kontrol yang optimal adalah suatu sistem yang desainnya

mengoptimalkan (meminimumkan atau memaksimumkan, tergantung kasusnya) nilai

fungsi sebagai indeks-perfomansi (performance-index).

Konsep pengoptimalan sistem kontrol terdiri dari pemilihan indeks-performansi dan

desain yang menghasilkan sistem kontrol optimal yang dibatasi oleh faktor-faktor

pembatas (constraint) secara fisis.

Dalam perancangan suatu sistem kontrol optimal, ada tujuan yang ditetapkan untuk

sistem kontrol yang akan dibuat, yang dibatasi oleh beberapa ukuran deviasi dari

keadaan ideal. Ukuran ini biasanya didapatkan dari kriteria optimasi, atau indeks-

performansi. Indeks-performansi adalah fungsi yang nilainya menunjukkan

bagaimana baiknya perilaku sistem aktual dibandingkan dengan perilaku yang

diinginkan.

Dalam banyak hal, kelakuan sistem dioptimalkan dengan memilih gaya kontrol u(t)

dengan cara meminimumkan (atau memaksimumkan, tergantung kasusnya) indeks-

performansi. Pemilihan indeks-performansi yang sesuai adalah penting, karena untuk

sistem yang berderajat besar indeks ini menentukan sifat sistem kontrol optimal yang

dihasilkan. Oleh karena itu, sistem kontrol yang dihasilkan adalah linier, non-linier,

stationer atau time varying, akan tergantung dari bentuk indeks ini. Indeks ini harus

diformulasikan berdasarkan hal-hal yang dibutuhkan. Masalah kebutuhan biasanya

tidak hanya kebutuhan kinerja (performance) sistem, tetapi juga dibatasi oleh bentuk

kontrol, sehingga dapat direalisasikan secara fisik.

Untuk suatu kasus tertentu, penggunaan teori optimal dalam pemilihan indeks-

performansi untuk perancangan sistem mengalami hambatan dengan adanya

perbedaan antara kemungkinan analitis dengan kegunaan praktis. Dengan demikian,

sangat diperlukan bahwa kriteria untuk kontrol optimal tidak berasal dari matematis,

tetapi dari pandangan praktis. Pada umumnya pemilihan indeks-performansi juga

mempertimbangkan kesepakatan antara evaluasi yang menentukan dari perilaku

sistem dan masalah matematis yang mudah dipecahkan.

24

Memilih indeks-performansi yang sesuai untuk masalah yang ada sangat sulit,

khususnya untuk masalah yang kompleks.

III.5.1 Konsep Kontrol Optimal Klasik

Beberapa macam tipe kontrol struktur aktif adalah sebagai berikut:

• Kontrol Closed Loop. Kontrol ini bekerja dengan cara memonitor respon

struktur secara terus menerus dan informasi ini digunakan untuk mengoreksi

gaya kontrol yang diberikan secara terus menerus.

• Kontrol Open Loop atau disebut juga kontrol umpan maju adalah bila gaya

kontrol ditentukan hanya berdasarkan gaya luar yang diukur. Untuk struktur

yang dibebani dengan eksitasi gempa dilakukan dengan mengukur percepatan

gempa pada dasar struktur.

• Kontrol Closed Open Loop. Kontrol ini bekerja dengan menggunakan

informasi respon struktur dan gaya luar digunakan bersama-sama untuk

mendesain gaya kontrol.

Dalam teori kontrol optimal klasik, gaya kontrol U(t) dipilih sedemikian sehingga

indeks performansi yang didefinisikan sebagai:

(3.15) [ ] dt)t,U,U,Z,Z(Jt,t),t(Z),t(ZJJf

0

t

t2f0f01

⋅⋅

∫+=

Diminimumkan dengan kondisi batas persamaan 3.9. Indeks performansi J

mempunyai 2 (dua) suku. Suku pertama, J1 adalah fungsi kondisi awal dan akhir yang

hanya bergantung dari waktu awal dan akhir, yaitu hanya dievaluasi pada dua kondisi

tersebut saja. Suku kedua adalah integral yang dievaluasi sepanjang interval waktu

kontrol.

Pada persamaan 3.15, J adalah suatu fungsi skalar yang diminimumkan terhadap U(t)

untuk memenuhi kondisi batas yang ditentukan oleh persamaan 3.9. Kondisi batas

lainnya juga dapat dipilih, misalnya batas toleransi respon struktur (perpindahan dan

kecepatan), yaitu:

b)t(Z ≤ (3.16)

25

Bentuk indeks performansi yang biasanya digunakan dalam kontrol struktur adalah

dalam bentuk kuadratik Z(t) dan U(t). Dengan t0 = 0, yaitu:

(3.17) ( dt)t(RU)t(U)t(QZ)t(ZJf

i

t

t

TT∫ += )

Interval waktu [0,tf] didefinisikan lebih lama dari eksitasi gaya luar. Q adalah matrik

2n x 2n semi definit positif, dan R adalah r x r matrik definit positif.

Solusi kontrol optimal yang didefinisikan oleh persamaan 3.9 dengan kondisi batas

persamaan 3.9 adalah dengan membentuk Lagrangian dengan menggandengkan dua

persamaan ini dengan pengali lagrangian yang merupakan fungsi waktu, sebagai

berikut:

dt)t(Z-(t)xW)t(BU)t(AZ)t()t(RU)t(U)t(QZ)t(Zft

0g

TTT∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++λ++=α

⋅⋅⋅

(3.18)

Dimana λ(t) adalah 2n-vektor yang merupakan costate variable (atau pengali

lagrangian).

Syarat perlu yang mendefinisikan kontrol optimal didapat dari variasi pertama α,

yaitu:

dtuu

zz

)0(z)0()t(z)t(tf

0

TT

ffT ∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡δ

∂Η∂

+δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Η∂

+λ+δλ+δλ−=δα⋅

(3.19)

Dimana H adalah Hamiltonian yang didefinisikan oleh integral pada persamaan 3.18.

Karena Z(0) = Z0, suatu konstan, maka Zδ (0)=0. Untuk memenuhi = 0, maka: δα

u∂Η∂ =0, 0 ≤ t ≤ tf (3.20)

0z

)t( =∂Η∂

+λ⋅

(3.21)

Dengan kondisi batas:

(tTλ f) = 0 (3.22)

Persamaan 3.20 sampai 3.22 adalah syarat perlu untuk kontrol optimal.

Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan diatas, maka:

26

(3.23) ),t(QZ2)t(A)t( T −λ−=λ⋅

0)t( fT =λ

)t(BR21)t(U T1 λ−= − (3.24)

Untuk kasus umum, yaitu gaya kontrol U(t) atau λ(t) ditentukan berdasarkan respon

dan eksitasi gaya luar, maka:

)t(q)t(Z)t(P)t( +=λ , 0)t( f =λ (3.25)

Dimana suku pertama persamaan 3.25 menunjukan kontrol close-loop, dan suku

kedua kontrol open-loop.

Matrik P(t) dan vektor q(t) yang tidak diketahui dapat ditentukan dengan

mensubstitusikan persamaan 3.25 ke persamaan 3.21, 3.23, dan 3.24, sehingga

didapat:

)t(q)t(ZQ2)t(PA)t(PBBR)t(P21A)t(P)t(P TT1

⋅−

⋅

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+

0)t(xW)t(P)t(qABBR)t(P21

gTT1 =+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

⋅⋅− (3.26)

III.5.1.1 Kontrol Closed Loop

Untuk kasus dimana gaya kontrol ditentukan berdasarkan respon struktur saja, dalam

hal ini q(t) = 0, maka persamaan 3.26 direduksi menjadi:

)t(ZQ2)t(PA)t(PBBR)t(P21A)t(P)t(P TT1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−+ −

⋅

0)t(xW)t(P g =+⋅⋅

, (3.27) 0)t(P f =

Bila eksitasi dasar sama dengan nol, maka persamaan 3.27 menjadi:

0Q2)t(PA)t(PBBR)t(P21A)t(P)t(P TT1 =++−+ −

⋅

, 0)t(P f = (3.28)

Dalam teori kontrol optimal, persamaan 3.28 adalah persamaan Riccati, dan P(t)

adalah matrik Riccati. Karena P(t) ditentukan pada t = tf, maka persamaan 3.28

diselesaikan dengan cara mundur terhadap waktu. Dengan mensubstitusikan q(t) = 0

27

ke persamaan 3.21, maka vektor gaya kontrol U(t) mempunyai hubungan linier

dengan Z(t), yaitu:

)t(Z)t(G)t(Z)t(PBR21)t(U T1 =−= − (3.29)

Dimana G(t) adalah matrik pengali,

)t(PBR21)t(G T1−−= (3.30)

Sudah dikatakan bahwa matrik Riccati pada persamaan 3.28 hanya tergantung dari

karakteristik struktur dan matrik bobot Q dan R. Untuk struktur, pengalaman

menunjukan bahwa matrik Riccati P(t) tetap konstan selama eksitasi gempa dan

menurun secara cepat menuju nol saat mendekati tf. Sehingga P(t)=P, dan = 0,

sehingga persamaan 3.28 menjadi:

)t(P⋅

0Q2PAPBPBR21PA TT1 =++− − (3.31)

Dengan demikian faktor pengali G(t) juga menjadi konstan:

PBR21G)t(G T1−−== (3.32)

Dengan mensubstitusikan persamaan 3.32 ke persamaan 3.21, maka didapat:

(3.33) [ ] (t)xW)t(ZBGA)t(Z g

⋅⋅⋅

++=

Dari persamaan 3.33 diatas dapat dilihat bahwa pengaruh kontrol closed-loop adalah

dalam memodifikasi struktur dimana sistem matrik diubah dari A menjadi [ ]BGA +

(system closed-loop).

Karena penurunan persamaan 3.28 dilakukan dengan asumsi bahwa eksitasi dasar

sama dengan nol, maka gaya kontrol optimal closed-loop untuk struktur yang

dibebani gempa. Ini akan merupakan gaya kontrol optimal jika = 0. (t)xg

⋅⋅

28

III.5.1.2 Kontrol Open Loop

Untuk kontrol optimal open-loop, vektor kontrol tergantung hanya dari eksitasi

gempa, dalam hal ini gaya kontrol tidak bergantung dari respon struktur Z(t). Dengan

demikian persamaan 3.21 menjadi:

)t(q)t( =λ (3.34)

Dan persamaan 3.26 direduksi menjadi:

, )t(QZ2)t(qA)t(q T −−=⋅

0)t(q f = (3.35)

Yang identik dengan persamaan 3.27. Dengan demikian gaya kontrol adalah:

)t(qBR21)t(U T1−−= (3.36)

Dan persamaan 3.9 akan menjadi:

)t(xW)t(qBBR21)t(AZ)t(Z g

T1⋅⋅

−⋅

+−= , Z(0) = 0 (3.37)

Vektor state Z(t) dan vektor q(t) dapat diselesaikan dari persamaan 3.35 dan 3.36.

Tetapi kontrol open-loop tidak dapat diimplementasikan untuk kontrol struktur

karena q(t) harus dicari secara mundur dari waktu akhir tf. Hal ini mengharuskan

eksitasi gempa harus diketahui sebelumnya, dimana tidak mungkin dilakukan. (t)xg

⋅⋅

III.5.1.3 Kontrol Closed-Open Loop

Bila gaya kontrol U(t) seperti dinyatakan persamaan 3.21, maka gaya kontrol yang

didapat dikatakan kontrol optimal closed-open-loop. Dalam hal ini, vektor kontrol

dihitung dari respon struktur yang diukur dan percepatan gempa. Matrik Riccati P

dan vektor q(t) didapatkan dari persamaan 3.26 sebagai berikut:

0Q2PAPBPBR21PA TT1 =++− − (3.38)

0)t(xW)t(P)t(qAPBR21)t(q g

T1 =+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

⋅⋅−

⋅

(3.39)

29

Tidak seperti halnya kontrol closed-loop, dimana matrik pengali didapatkan dengan

mengabaikan eksitasi gempa, maka kontrol optimal closed-open-loop yang diberikan

oleh persamaan 3.38 dan 3.39 menggunakan informasi eksitasi gempa.

Tetapi kontrol optimal closed-open-loop tidak dapat dilaksanakan, karena q(t) dalam

persamaan 3.39 harus dicari solusinya secara mundur dari waktu akhir tf, yang

menunjukan bahwa riwayat waktu percepatan gempa harus diketahui

sebelumnya, dan hal ini tidak mungkin dilakukan.

(t)xg

⋅⋅

30