BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN PENDAHULUAN · PDF fileTeorema A (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal) Andaikan f kontinu pada selang terbuka ... adalah merupakan fungsi ganjil,, grafiknya

Matematika Teknik 1, Bab 5

s. johanes, dtm sv ugm 60

2013

BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN (Pertemuan ke 9 & 10)

PENDAHULUAN

Diskripsi singkat

Pada bab ini yang dibahas adalah tentang nilai maksimum dan minimum, kemonotonan

dan kecekungan kurva, serta maksimum dan minimum lokal.

Manfaat

Manfaat turunan yang diprioritaskan disini adalah untuk menentukan nilai maksimum dan

minimum.

Relevansi

Menentukan nilai maksimum dan minimum dalam bidang teknik banyak dijumpai, bahkan

bidang ekonomipun digunakan. Disamping itu kegunaan bab ini dalam mata kuliah yang lain juga

diperlukan, misalnya dalam mata kuliah perpindahan kalor, ketika menentukan jari-jari kritis

suatu isolasi.

Learning Outcomes

Mahasiswa dapat menentukan harga maksimum dan minimum, masalah-masalah praktis,

terutama yang berkaitan dengan bidang teknik.



2013

PENYAJIAN

5.1. Maksimum dan Minimum

Definisi

Andaikan S domain (daerah asal) f, memuat c,

dikatakan bahwa:

i. adalah nilai maksimum f pada S jika

untuk semua x di S,

ii. adalah nilai minimum f pada S jika

untuk semua x di S,

iii. adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah

nilai maksimum atau nilai minimum.

Teorema A (Eksistensi Maks-Min)

Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai

minimum.

Teorema B (Titik Kritis)

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrim,

maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu:

1. Titik ujung dari f,

2. Titik stasioner dari f ( ),

3. Titik singular dari f ( tidak ada)

Y=f(x)

y

x O S

maks

k

maks maks

min min

min

Titik-titik ujung Titik-titik stasioner Titik-titik singular

Titik-titik kritis

Gambar 5-1

Gambar 5-2



2013

Prosedur sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi

kontiniu f pada selang tertutup I, sebagai berikut:

Langkah 1, carilah titik-titik kritis dari f pada I,

Langkah 2, hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum,

sedangkan yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh:

1. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari: , pada .

Penyelesaian: , maka dan .

Maka titik-titik kritis:

nilai maks dan nilai min

2. Fungsi kontinu dimana-mana.

Carilah nilai maksimum dan minimum pada

.

Penyelesaian: tidak pernah 0,

tetapi tidak ada, sehingga 0 adalah titik

kritis (sama seperrti titik-titik ujung ( )

Masalah-masalah praktis

Yang dimaksud masalah-masalah praktis adalah masalah yang mungkin timbul dalam

kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah demikian jarang mempunyai titik-titik singular, tetapi

faktanya, nilai maksimum dan minimum biasanya terjadi pada titik-titik stasioner. Namun

demikian titik-titik ujung harus diperiksa.

y

x -1 1 2 3 -1

-2

-3

-4

-1 O 1 2

1

2

y

y

x

F=x2/3

Gambar 5-3

Gambar 5-4



2013

3. Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar sen dollar per mil saat

dikemudikan dengan kecepatan v mil per jam. Pengemudinya dibayar $ 14 per jam. Pada

kecepatan berapakah biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya k mil akan paling murah ?

Dengan asumsi bahwa aturan kecepatan yang diperbolehkan adalah .

Penyelesaian: Misalkan C adalah biaya total dalam sen $ untuk menjalankan truk sejauh k

mil. Maka:

C = biaya pengemudi + biaya operasi

Maka: ,

sehingga: ,

4. Kotak persegi panjang dibuat dari selembar kertas karton, dengan ukuran panjang 24 inci dan

lebar 9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojoknya dan melipat ke

atas sisi-sisinya, seperti pada gambar, di bawah ini. Cari ukuran kotak yang volumenya

maksimum ? Berapa volumenya ?

Volume yang terjadi adalah V:

atau

atau

x

x

9

24

24-2x 9-2x

Gambar 5-5



2013

Turunan pertama dari V:

Maka (memenuhi) dan (tak memenuhi). Jadi ukuran kotak yang menghasilkan

volume maksimum adalah 20x5x2 inci3. Volumenya = 200 inci3.

5.2. Kemonotonan dan kecekungan

Teorema A (teorema kemonotonan)

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam I.

1. Jika f’(x)>0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

2. Jika f’(x)<0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.

Sedangkan f monoton murni pada I, jika ia naik pada I atau turun pada I.

Teorema B (teorema kecekungan)

Andaikan f terdiferensial dua kali,, pada selang terbuka (a,b).

1. Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b)

2. Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b)

y

x

y=f(x)

c

c

turun naik

f’(x)<0 f’(x)>0

Gambar 5-6



2013

Titik balik

Andaikan f kontinu di c. kita sebut (c, f(c)) adalah suatu titik balik dari grafik f, jika f cekung

ke atas pada satu sisi, dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Grafik dalam gambar 5-8

menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Yang merupakan calon titik-titik balik adalah: titik dimana f”(x) = 0; atau f”(x) tidak ada.

f” > 0: cekung ke atas f” < 0: cekung ke bawah cekung ke atas

cekung ke bawah

Gambar 5-7

cekung ke atas

cekung ke bawah

cekung ke atas

cekung ke bawah

cekung ke bawah

cekung ke atas

titik-titik balik

titik-titik balik

Gambar 5-8



2013

5.3. Maksimum dan minimum lokal

Nilai maksimum suatu fungsi f pada

himpunan S adalah nilai f terbesar yang

dicapai pada keseluruhan himpunan S.

Kadang-kadang diacu sebagai nilai

maksimum global, atau nilai maksimum

absolut dari f. jadi untuk fungsi f dengan

daerah asal S = [a, b] yang grafiknya diskets

dalam gambar di bawah ini, f(a) adalah nilai

maksimum global, sedangkan f(c) adalah nilai

maksumum lokal.

Teorema A (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal)

Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang memuat titik kritis c.

1. Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c)

adalah nilai maksimum lokal

2. Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c)

adalah nilai minimum lokal

3. Jika f’(x) berttanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal

a b c

Maks global

Maks lokal

Gambar 5-9

Min lokal

Maks lokal

Min lokal

Maks lokal

Min global

Maks lokal

Maks global

Gambar 5-10



2013

Contoh 1. Dimana g(x) = x/(1+x2) grafiknya naik/turun, cekung ke atas/bawah, ekstrim local dan

sketkan grafikknya.

Penyelesaian.

Penyebut selalu positif,, maka yang (- ,-1); (-1, 1) dan (1, ). Dengan menguji turunan

pertama tersebut, diperoleh g’(x) < 0 pada selang (- ,-1) & (1, ), dan g’(x) > 0 pada selang (-1,

1).

g’ (+) (0) (-) (0) (+)

-1 1

Untuk menentukan batas-batas kecekungan, maka ditentukan lebih lanjut turunan

keduanya sebagai berikut.

y

x a b c

Slope (+)

Slope (0)

Slope (-)

a c b

y

x

Slope (-)

Slope (+)

Slope (0)

a b c x

Slope (+)

Slope (0)

Slope (+)

y

Maksimum lokal Minimum lokal

Tanpa nilai ekstrim lokal

Gambar 5-11

Gambar 5-12



2013

g” (-) (0) (+) (0) (-) (0) (+)

0

Penyebut selalu positif, maka yang perlu diselesaikan adalah pembilangnya. Titik-titik

pemisah adalah - , 0, dan . Tiga titik pemisah ini menentukan empat selang.

Dengan menguji turunan kedua pada empat selang tersebut, maka disimppulkan bahwa

g(x) cekung ke atas pada (- , 0) dan ( , ), sedangkan cekung ke bawah pada selang (- , - )

dan (0, ).

Untuk membuat sketsa grafik g, digunakan semua informasi yang telah diperoleh, dan g

adalah merupakan fungsi ganjil,, grafiknya simetri terhadap titik asal.

Kadang uji turunan kedua gagal, karena f”(x) mungkin nol pada titik stasioner.

Contoh untuk kedua fungsi berikut: f(x) = x3 & f(x) = x4.

Untuk f(x) = x3, f’(x) = 0 & f”(x) = 0 pada titik stasioner, dan tak mempunyai nilai maksimum.

Untuk f(x) = x4, f’(x) = 0 & f”(x) = 0 pada titik stasioner, tapi mempunyai nilai minimum.

Gambar 5-13

-3 -2 -1 0 1 2 3

1/2

-1/2

y

x

Gambar 5-14

turun turun

Cekung ke bawah

Cekung Ke atas

Cekung Ke atas

Cekung ke bawah



2013

Di sini uji turunan kedua tak mampu menarik kesimpulan tentang maksimum atau

minimum, maka diperlukan informasi tambahan. Informasi tambahan itu adalah, apabila turunan

ketiga tidak sama dengan nol, maka titik tersebut adalah titik belok.

Tugas pertemuan ke 10, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.

Soal no 1 s.d. 5, kenali titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum.

1. ,

2. ,

Latihan untuk pertemuan ke 10, carilah turunan pertama dari soal-soal berikut.

1. Sebuah benda dilempar langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48

kaki/detik kira-kira berada pada ketinggian kaki pada akhir t detik. (a)

Berapa ketinggian maksimum yang dicapai ? (b) Seberapa cepat ia bergerak, dan ke arah

mana pada akhir 1 detik ? (c) Berapa lama waktu yang diperlukan untuk kembali ke posisi

semula ?

Petunjuk.

Kunci (a) tinggi puncak = 36 ft, (b) kecepatan setelah 1 detik adalah 16 ft/det, dan

(c) waktu yang diperlukan benda untuk kembali ke posisi semula adalah 3 detik.

Gambar 5-15



2013

Soal-Soal Terapan Maksimum & Minimum

Soal no 1 s.d. 5, kenali titik-titik kritis dan carilah nilai maksimum dan minimum.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. Sebuah benda dilempar langsung ke atas dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 48

kaki/detik kira-kira berada pada ketinggian kaki pada akhir t detik. (a) Berapa

ketinggian maksimum yang dicapai ? (b) Seberapa cepat ia bergerak, dan ke arah mana pada

akhir 1 detik ? (c) Berapa lama waktu yang diperlukan untuk kembali ke posisi semula ?

7. Sebuah roda berpusat di titik asal dan berjari-jari 10 cm, berputar berlawanan arah putaran

jarum jam pada laju 4 putaran/detik. Sebuah titik P pada pelek berada di (10,0) pada t = 0. (a)

Berapa koordinat titik P pada saat t? (b) Pada laju berapa titik P naik (atau turun) pada saat t

= 1detik ?

8. Sebuah benda dilempar langsung ke atas pada ketinggian kaki

setelah t detik. (a) Berapa kecepatan awalnya ? (b) Kapan ia mencapai ketinggian maksimum

? (c) Berapa ketinggian makimumnya? (d) Kapan ia membentur tanah ? (e) Dengan laju

berapa ia membentur tanah ?

9. Perhatikan alat roda piston dalam gambar 1. Roda mempunyai jari-jari 1 kaki dan berputar

berlawanan arah jarum jam pada 2 radian/detik. Batang penghubung panjangnya 5 kaki. Titik

P berada di (1,0) pada saat t = 0. (a) cari koordinat titik P saat t? (b) Cari ordinat Q pada saat t

(absis selalu nol)? (c) cari kecepatan Q pada saat t ? Anda akan memerlukan kenyataan

bahwa



2013

10. Sebuah surat selebaran memuat 50 cm2 bahan cetak. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah

selebar 4 cm, sedangkan di samping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapa ukuran surat

selebaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin?

11. Sebuah balok kayu persegi-panjang harus dipotong dari sebuah gelondongan dengan

penampang yang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar

dan kuadrat tebalnya, tentukan ukuran penampang balok yang memberikan paling kuat?

12. Anton berada di perahu dayung 2 mil dari titik terdekat B, pada sebuah pantai yang lurus,

melihat asap mengepul dari rumahnya di pantai, yang berjaraK 6 mil dari B. Ia

membayangkan dapat mendayung dengan laju 6 mil/jam dan lari 10 mil/jam. Bagaimana ia

harus bertindak agar mencapai rumah secepatnya?

13. Cari ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat

ditempatkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak?

14. Seorang petani berusaha memagari dua kandang persegi-panjang berdampingan yang

identik, masing-masing seluas 900 ft2, seperti diperlihatkan dalam gambar. Berapa x dan y

agar pagar kawat yang diperlukan sesedikit mungkin?

15. Sebuah bak air dengan alas berbentuk bujur sangkar harus dibangun untuk menampung air

12.000 ft3. Jika logam untuk tutup atas memerlukan biaya dua kali biaya untuk sisi dan alas

beton tiap ft2, berapa ukuran bak yang paling hemat?

16. Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas 36.000 in3. Jika panjang kotak harus dua

kali lebarnya, berapa ukuran kotak agar bahan yang dan diperlukan sesedikit mungkin?

P

Q

t = 0

x

x

y

Gambar 5-16



2013

17. Jika kekuatan balok persegi-panjang sebanding dengan hasil kali lebar dan kuadrat tebalnya,

cari ukuran balok yang terkuat yang dapat dipotong dari sebuah gelondong yang

penampangnya berbentuk elips ?

18. Penerangan pada sebuah titik berbanding terbalik terhadap jarak titik tersebut dari sumber

cahaya dan berbanding lurus terhadap intensitas sumber cahaya. Jika dua sumber cahaya

berjarak s ft dan masing-masing mempunyai intensitas I1 dan I2, pada titik mana di antara

mereka akan minimum ?

19. Sebuah pembangkit tenaga listrik terletak di tepi sebuah sungai lurus yang lebarnya w kaki.

Sebuah pabrik terletak di seberang sungai, L kaki ke arah hilir dari titik A yang berseberangan

langsung dengan pabrik . Jalur mana yang paling hemat untuk pemasangan sebuah kabel

yang menghubungkan pembangkit dengan pabrik jika biaya pemasangan kabel di bawah air a

rupiah tiap kaki dan b rupiah di darat (a>b) ?

20. Sebuah observatorium harus berbentuk tabung lingkaran tegak yang diatapi sebuah kubah

setengah bola. Jika biaya kubah atap tiap kaki persegi lebih mahal dua kali dari pada biaya

dinding silinder, berapa perbandingan ukuran yang paling hemat untuk volume yang

diketahui ?

21. Sebuah beban yang dihubungkan ke sebuah pegas bergerak sepanjang sumbu x, sehingga

koordinat x nya saat t adalah . Berapa jarak terjauh beban dari titik

asal ?

22. Saya memiliki perak murni yang cukup untuk melapisi suatu luas permukaan satu meter

persegi. Saya merencanakan melapisi sebuah bola dan sebuah kubus. Dengan dimensi yang

bagaimanakah agar volume total benda yang terlapisi itu maksimum ? Atau minimum ?

(dapat dimungkinkan seluruh perak yang ada hanya dapat melapisi salah satu bangun

geometri).

23. Suatu kaleng minyak berbentuk silinder tertutup, mempunyai volume 250π cm3. Tentukan

ukuran kaleng agar luas kulit ditambah luas alas dan tutup minimum ?

24. Jumlah biaya untuk membuat x radio, adalah . Berapa radio harus

dibuat, agar harga tiap radio minimum.

25. Suatu kawat panjangnya 8 m, dipotong menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk membuat

lingkaran, sedangkan bagian kedua untuk membuat bujur sangkar. Berapa panjang masing-

masing bagian, agar jumlah luas lingkaran dan luas bujur sangkar minimum.



2013

PENUTUP

Tes formatif dan kunci tes formatif

1. Sebuah bak air dengan alas berbentuk bujur sangkar harus dibangun untuk menampung air

12.000 ft3. Jika logam untuk tutup atas memerlukan biaya dua kali biaya untuk sisi dan alas

beton tiap ft2, berapa ukuran bak yang paling hemat?

Kunci: sisi alas buur sangkar (alas bak) = 20 ft dan tingginya adalah 30 ft.

Petunjuk penilaian dan umpan balik

Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100.

Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya

sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan

nilai .

Tindak lanjut

Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan

selanjutnya diuji lagi.

Documents

BAB V. PENGGUNAAN TURUNAN PENDAHULUAN · PDF fileTeorema A (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal) Andaikan f kontinu pada selang terbuka ... adalah merupakan fungsi ganjil,, grafiknya