1

1.1 Proposisi

Definisi: [Proposisi]Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya. Benar Proposisi

Salah

Contoh: Manakah dari pernyataan berikut yang merupakan proposisi?

1. Ini buku siapa?2. IPB terletak di Bogor.3. Bandung ibukota Jawa Tengah.4. x + 5 = 2.5. Bogor kota yang indah.

Nilai Kebenaran:

Notasi: huruf kecil p, q, r, s, t, … dikuti “:” pernyataan

Contoh: Lambangkan proposisi berikut dan tentukan nilai kebenarannya.

1. Ada bilangan prima yang genap.2. Jakarta ibukota negara India.3. 8 habis dibagi 4.

Proposisi Nilai kebenaranBenar 1Salah 0

BAB 1. LOGIKA MATEMATIK

2

+ Perangkai:

1.2 Perangkai Dasar

Proposisi

Perangkai “Ingkaran” (Negasi)

Definisi: [Ingkaran] Misalkan p suatu proposisi. Ingkaran p (negasi p) adalah

suatu proposisi yang salah jika p benar dan proposisi yang benar jika p salah.

Notasi: -p (dibaca tidak p)

Tabel Kebenaran:

Proposisi tunggal

p

q

Proposisi majemuk

tunggal

majemuk

p -p

1 0

0 1

negasi (-) dan () atau () jika maka () jika dan hanya jika ()

3

Contoh: Tentukan dan lambangkan ingkaran dari proposisi berikut, kemudian tentukan nilai kebenarannya.

1. 2 + 3 = 0.2. 2 adalah bilangan genap.3. Jakarta ibukota negara India.

Catatan:

1. Lambangkan proposisi dalam bentuk positif. 2. Tidak melambangkan suatu proposisi dan negasinya, dengan huruf yang berbeda.

Perangkai “Dan” (Konjungsi)

Definisi: [Konjungsi]Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi “p dan q” (konjungsi p dan q) adalah suatu proposisi yang bernilai benar jika kedua proposisi p dan q bernilai benar.

Notasi: p q (dibaca: p dan q)

Tabel Kebenaran: p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

4

Contoh: Misalkan diketahui dua proposisi berikut.

p: Hari ini hujan. q: Pak Joni pergi ke kantor.

Nyatakan proposisi berikut dalam kalimat verbal, kemudian jelaskan nilai kebenarannya.

1. p q 2. -p q 3. -p -q

Catatan: Kata lain yang bisa diartikan sebagai perangkai adalah: tetapi, walaupun, meskipun, sedangkan, namun.

Perangkai “Atau” (Disjungsi)

inklusif Disjungsi eksklusif

Definisi: [Disjungsi inklusif]Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Disjungsi inklusif p dan q adalah suatu proposisi yang bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu proposisi penyusun-nya bernilai benar.

Notasi: p q (dibaca: p atau q)

Definisi: [Disjungsi eksklusif]Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Disjungsi eksklusif p dan q adalah suatu proposisi yang bernilai benar jika salah satu saja dari kedua proposisi penyusun-nya yang bernilai benar.

Notasi: p q (dibaca: p ataukah q)

5

Tabel Kebenaran:

p q p q p q

1 1 1 0

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

Contoh: Tentukan perangkai disjungsi yang tepat untuk proposisi berikut, kemudian jelaskan nilai kebenarannya.

1. p: Ani belajar Matematika. q: Ani belajar Fisika.

2. p: 3 > 5. q: 3 < 5.

Perangkai “Jika …maka…”

Definisi: [Proposisi bersyarat]Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi bersyarat (implikasi) “jika p maka q”, adalah suatu proposisi yang bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai salah.

Notasi: p q (dibaca: jika p maka q) p: premis, hipotesis, anteseden q: konsekuen, kesimpulan

6

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Tabel Kebenaran:

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut.

1. Jika segitiga ABC sama sisi, maka segitiga ABC sama kaki.

2. Jika 1 < 2 dan 1 > 2, maka 1 = 2.3. Jika Agus tidak lulus ujian, maka dunia akan berhenti berputar.

Catatan:

1. Hubungan sebab akibat antara anteseden dan konse- kuen tidak harus selalu ada.2. Dalam hal proposisi bersyarat p q diajukan sebagai

proposisi yang benar dan terdapat hubungan antara anteseden dan konsekuen, proposisi p q dapat diucapkan:

p berimplikasi q p syarat cukup bagi q q syarat perlu bagi p p hanya jika q

Variasi perangkai implikasi:

1. q p disebut konvers dari p q 2. -p -q disebut invers dari p q 3. -q -p disebut kontrapositif dari p q

7

Contoh: Tentukan konvers, invers dan kontrapositif dari proposisi berikut, kemudian tentukan nilai kebenarannya.

1. Jika 2 + 3 = 5, maka Bandung ibukota Jawa Tengah.2. Jika segitiga ABC sama sisi, maka segitiga ABC sama

kaki.

Perangkai “Jika dan hanya jika” (jhj)

Definisi: [Proposisi dwisyarat] Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi dwisyarat “p jika dan hanya jika q” adalah suatu proposisi yang bernilai benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

Notasi: p ↔ q (dibaca: p jika dan hanya jika q)

Tabel Kebenaran: p q p ↔ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Catatan:

1. Dalam hal proposisi dwisyarat p ↔ q benar dan terdapat hubungan antara p dan q, proposisi p

↔ q dapat diucapkan sebagai “p syarat perlu dan cukup bagi q”.2. Agar p ↔ q benar terdapat dua syarat yaitu p q

benar dan q p benar.

8

Contoh: Lambangkan dan tentukan nilai kebenaran proposisi berikut.

1. 5 bilangan genap jhj 2 bukan bilangan ganjil.

2. Segi empat ABCD bujur sangkar jhj semua sudutnya siku-siku dan sisinya sama panjang.

1.3 Proposisi Kompleks

+ Perangkai:

Proposisi tunggal

Proposisi kompleks

Proposisi majemuk

Proposisi kompleks adalah proposisi majemuk yang menggunakan dua atau lebih perangkai.

Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari proposisi kompleks berikut:

1. [(-p ↔ r) (q p )] -r, jika p benar, q salah dan r salah.2. q [-r (-q -p)], jika q salah dan r benar.

3. [(p q) (q ↔ r )] (p ↔ r)

9

Klasifikasi proposisi berdasarkan nilai kebenarannya:

1. Tautologi Proposisi yang selalu bernilai benar untuk semua

kemungkinan kombinasi nilai kebenaran proposisi- proposisi penyusunnya.

2. Kontradiksi Proposisi yang selalu bernilai salah untuk semua

kemungkinan kombinasi nilai kebenaran proposisi- proposisi penyusunnya.

3. Kontingensi Proposisi yang bukan tautologi dan bukan kontradiksi.

Notasi: i = tautologi o = kontradiksi

Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran periksa apakah proposisi berikut merupakan tautologi, kontradiksi atau kontingensi.

1. p -p2. ( p q) p3. [(p q) (q ↔ r )] (p ↔ r)

1.4 Latihan

1. Nyatakan proposisi berikut ke dalam lambang, kemudian tentukan nilai kebenarannya.

a. Syarat cukup untuk dapat kuliah di IPB adalah lulus USMI.b. Sumbangan diharapkan berupa uang atau barang.

10

c. Syarat perlu dan cukup supaya segitiga ABC sama sisi adalah ketiga sisinya sama panjang.d. Bukan kantor pos yang buka, tetapi apotek di depannya.e. Ani maupun Ningrum tidak ada di rumah.

2. Nyatakan secara verbal proposisi berikut, jika

p: Rani mahasiswa TPB.q: Rina mahasiswa pengulang mata kuliah

Matematika Dasar.

a. -p q b. -(p q) c. -p -q

3. Periksa dengan menggunakan tabel kebenaran apakah proposisi berikut tautologi, kontradiksi atau kontingensi.

a. (p q) ↔ (-q -p)b. [(p q) -q] -p c. [(p -(q -r)) -q] (p r)

4. Nyatakan proposisi berikut:

“Misalkan a suatu bilangan real. Jika a > 0, maka a + 1> 1”

menggunakan istilah syarat perlu dan syarat cukup, kemudian tentukan konvers, invers dan kontrapositif dari proposisi tersebut.

5. Jika proposisi p ↔ q benar, tentukan nilai kebenaran dari proposisi p -q.

11

1.5 Kesetaraan Dua Proposisi

Definisi: [Kesetaraan logik]Dua buah proposisi dikatakan setara logik, bila kedua proposisi tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama untuk setiap kombinasi nilai kebenaran proposisi penyusunnya.

Notasi: p = q atau p q atau p q (dibaca: p setara dengan q)

Contoh: Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa:

1. p q = -p q2. -(p q) = -p -q

Dalil-dalil Kesetaraan

Misalkan p, q dan r adalah proposisi, i tautologi dan o kontradiksi.

1. Dalil Keidentikan a. p o = p b. p i = i c. p o = o a. p i = p

2. Dalil Kesamakuatan a. p p = p b. p p = p

3. Dalil Komplemen a. p -p = i b. p -p = o

12

4. Dalil Komutatif a. p q = q p b. p q = q p 5. Dalil Asosiatif a. (p q) r = p (q r) b. (p q) r = p (q r)

6. Dalil Distributif a. p (q r) = (p q) (p r) b. p (q r) = (p q) (p r) 7. Dalil Ingkaran Ganda a. -(- p) = p

8. Dalil de Morgan a. -(p q) = -p -q b. -(p q) = -p -q

9. Dalil Penghapusan a. (p q) p = p b. (p q) q = q

10. Dalil lainnya a. p q = -p q b. p ↔ q = (p q) (q p) = (p q) (-p -q)

Catatan: Untuk menunjukkan kesetaraan dua proposisi dapat digunakan:

1. Tabel kebenaran2. Dalil Kesetaraan

13

Contoh: Dengan menggunakan dalil kesetaraan tunjukkan bahwa:

1. (p -p) → -p = i2. -(p q) (p -q) = -q3. p (q → r) =(p q) r.

1.6 Argumen

Definisi: [Argumen]Argumen adalah suatu proposisi yang berbentuk

[H1 H2 H3 … Hn] → K.

Catatan:

1. H1 , H2 , H3 , …,Hn : hipotesis, premis K : Kesimpulan2. Argumen [H1 H2 H3 … Hn] → K

biasa ditulis: H1

H2

H3

Hn

K

● Argumen

Sah [H1 H2 H3 … Hn] → K tautologi

Tidak sah [H1 H2 H3 … Hn] → K bukan tautologi

14

Catatan:

1. Jika suatu argumen sah dan semua premisnya benar, maka kesimpulan pasti benar. 2. Untuk memeriksa kesahan suatu argumen dapat digunakan:

• tabel kebenaran • dalil kesetaraan• kombinasi dalil kesetaraan dan tabel kebenaran.

Contoh: Periksa apakah argumen berikut sah atau tidak sah.

1. Jika hari ini hujan, maka saya membawa payung. Ternyata saya tidak membawa payung. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa hari ini tidak hujan.2. Jika Indonesia negara agraris, maka industri di Indonesia tidak berkembang. Kenyataannya industri di Indonesia tidak berkembang. Jadi dapat disimpulkan Indonesia adalah negara agraris.

Aturan Inferensia: beberapa argumen yang sah dan sering dijumpai dalam penalaran sehari-hari.

1. Modus Ponens 2. Modus Tollens 3. Kaidah Silogisme

p -q p → q p → q p → q q → r q -p p → r

Jika argumen [H1 H2 H3 … Hn] → K sah,

maka [H1 H2 H3 … Hn] → K disebut suatu implikasi logik

dan dilambangkan [H1 H2 H3 … Hn] K

15

Contoh: Periksa kesahan argumen berikut dengan menggunakan aturan inferensia.

1. p r p → q -r q

2. Saya tidak akan gagal dalam ujian Matematika, jika saya belajar. Tidak menonton TV adalah syarat cukup agar saya belajar. Kenyataannya saya gagal dalam ujian Matematika. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa saya menonton TV.

Metode Pohon Kegunaan: untuk menentukan kesahan suatu argumen

Konsep dasar:

1. Suatu argumen berbentuk implikasi p → q.2. -(p → q) = p -q.3. p → q adalah tautologi jika p -q adalah kontradiksi.4. Susun suatu pohon dari konjungsi premis (p) dan negasi kesimpulan (-q).5. Bila semua cabang pohon membentuk kontradiksi maka argumen sah.6. Bila ada cabang yang tidak membentuk suatu

kontradiksi, maka argumen tidak sah.

16

Prosedur:

1. Daftarkan semua premis dan negasi kesimpulannya2. Tuliskan semua proposisi bersyarat dan proposisi

dwisyarat dalam bentuk konjungsi () dan disjungsi ().

3. Turunkan salah satu premis atau negasi kesimpulannya. Perangkai : ditulis ke bawah membentuk batang.

Perangkai : ditulis ke samping membentuk cabang.

4. Jika ada cabang yang memuat suatu proposisi dan negasinya (kontradiksi), maka cabang tersebut

tertutup dan beri tanda (x).

5. Lanjutkan langkah 3 bila masih ada cabang yang belum tertutup dan belum semua proposisi pada langkah 1 diturunkan.

6. Hentikan proses bila semua cabang sudah tertutup atau semua proposisi pada langkah 1 sudah diturunkan.

7. Argumen sah jika semua cabang tertutup.8. Argumen tidak sah jika terdapat sekurang-kurangnya

satu cabang yang tidak tertutup.

Contoh: Dengan menggunakan metode pohon, periksa kesahan argumen berikut.

1. p → q 2. p r q p → q p -r

q

17

Reductio ad absurdum

Kegunaan: untuk membuktikan bahwa suatu proposisi benar, secara tidak langsung.

Konsep dasar:

1. Kaidah reductio ad absurdum:-p → o p

adalah argumen yang sah.

2. Jika -p mengakibatkan suatu kontradiksi adalah benar, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa p benar.

Prosedur:

1. Misalkan proposisi yang akan dibuktikan adalah p (kesimpulan pada kaidah reductio ad absurdum).

2. Andaikan negasi p, yaitu -p benar.

3. Lakukan analisis pada -p, sehingga diperoleh suatu

kontradiksi, yaitu pernyataan q -q = o.

4. Menurut kaidah reductio ad absurdum terbukti p benar.

Contoh: Jika diketahui x dan y adalah bilangan bulat, buktikan pernyataan berikut.

1. Jika x + y ganjil dan x genap, maka y ganjil.

2. Jika x2 ganjil, maka x ganjil.

18

1.7 Latihan:

1. Periksa kesahan argumen berikut menggunakan dalil kesetaraan, aturan inferensia atau metode pohon.

a. p b. p q e. m k p q -p m → -u

q uc. p d. p q k

q p p q

f. Bayi tidak lapar atau dia menangis. Bayi tertawa atau dia tidak menangis. Jika bayi tertawa, maka mukanya merah. Jadi jika bayi lapar, maka mukanya merah.

g. Jika saya diterima di IPB dan belajar setidaknya 6 jam setiap hari, maka saya akan lulus dari IPB. Saya belajar 6 jam setiap hari. Jadi saya akan lulus dari IPB.

h. Jika suatu bilangan bulat n habis dibagi 2 dan 3, maka n habis dibagi 6. Syarat perlu dan cukup agar suatu bilangan bulat n habis dibagi 6 adalah pembagian tersebut meninggalkan sisa 0 jika dibagi 6. Diberikan suatu bilangan bulat n yang habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 2. Kesimpulannya n tidak meninggalkan sisa 0 jika dibagi 6.

2. Jika n adalah bilangan bulat, buktikan penyataan berikut menggunakan reductio ad absurdum.

a. Jika n2 bilangan genap, maka n bilangan genap.b. Jika n - 2 habis dibagi 4, maka n2 - 4 habis dibagi 16.

19

1.8 Predikat

Definisi: [Predikat dan Semesta]Predikat atau proposisi terbuka adalah suatu pernyataan yang melibatkan peubah yang nilainya tidak ditentukan. Himpunan nilai-nilai yang mungkin menggantikan peubah dalam suatu predikat disebut semesta bagi peubah tersebut. Contoh: Jelaskan mengapa pernyataan berikut merupakan predikat, kemudian tentukan semestanya,

1. x + 1 < 8.2. Mahasiswa IPB diwajibkan mengikuti upacara 17 Agustus. 3. Setiap orang harus menghargai orang lain.4. x – y = 3.

1 &2: predikat 1 peubah3 &4: predikat 2 peubah

Notasi: Predikat: huruf besar P, Q, R, S, … Peubah: huruf kecil x, y, z, … Predikat 1 peubah:

P(x): “pernyataan yang memuat x” Predikat 2 peubah:

P(x,y): “pernyataan yang memuat x dan y”

Catatan :

1. Jika P(x) predikat dengan semesta S, maka P(a), untuk suatu a S adalah suatu proposisi. 2. Hal yang serupa dengan di atas berlaku pula untuk predikat

dengan 2 peubah.

20

Contoh: Lambangkan predikat berikut dan tentukan semestanya.

1. Mahluk hidup memerlukan air dan udara2. n bilangan genap jika dan hanya jika n habis dibagi 2.3. Jika x < y, maka x2 < y2.4. Yang muda harus menghormati yang tua.

Predikat berkuantifikasi

Suku pengkuantifikasi

Suku pengkuantifikasi umum: setiap, semua ( )

Suku pengkuantifikasi khusus: ada, beberapa ( ) ada tepat satu ( ! )

Notasi:(x) P(x) dibaca untuk semua x berlaku P(x) (x) P(x) dibaca untuk ada x sehingga berlaku P(x)

Contoh: Dengan menggunakan suku pengkuantifikasi dan semesta yang diberikan, lambangkan predikat berikut.

1. Semua mahasiswa pandai. a. Semesta S = himpunan mahasiswa. b. Semesta S = himpunan manusia.

2. Beberapa segi empat adalah bujursangkar. a. Semesta S = himpunan segi empat. b. Semesta S = himpunan bidang datar.

+ Perangkai: ● Predikat

P

Q

Predikat baru-, , , ,

Umum

Khusus

21

3. Ada bilangan asli yang tidak genap. a. Semesta S = himpunan bilangan asli. b. Semesta S = himpunan bilangan bulat.

Ingkaran predikat berkuantifikasi

- (x) P(x) = (x) - P(x) - (x) P(x) = (x) - P(x)

Contoh: Lambangkan proposisi berikut, kemudian tentukan negasinya dan nyatakan secara verbal.

1. Semua mahasiswa TPB mendapat nilai A untuk Matematika.

2. Ada segitiga yang sudutnya lebih besar dari 180°.3. Tidak ada ikan yang hidupnya tidak di air.

Proposisi dengan dua suku pengkuantifikasi

Biasanya muncul pada predikat yang mengandung lebih dari satu peubah, misalnya:

1. (x) ( y) P(x,y) 2. (x) ( y) P(x,y)

Ingkaran proposisi dengan dua suku pengkuantifikasi

1. -(x) ( y) P(x,y) = (x) ( y)-P(x,y) 2. -(x) ( y) P(x,y) = (x) ( y) -P(x,y)

Contoh: Lambangkan predikat berikut, kemudian tentukan

negasinya.

“Untuk setiap bilangan real x, ada bilangan real y sehingga x2 = y”.

22

1.9 Induksi Matematik

Kegunaan: untuk membuktikan kebenaran predikat(n) P(n) dengan semesta S, di mana S = (himpunan bilangan asli). Prinsip Induksi Matematik (PIM):

Jika 1. P(1) benar2. P(k) P(k+1) benar untuk setiap k 1

maka benar berlaku (n) P(n), dengan n .

Langkah pembuktian:

1. Basis induksi Tunjukkan P(1) benar.

2. Hipotesis induksi Anggap P(k) benar untuk k 1.

3. Langkah induksi Tunjukkan P(k+1) benar.

Contoh: Dengan prinsip induksi matematik buktikan pernyataan berikut.

1. Untuk setiap bilangan asli n, berlaku12 + 22 + 32 + … + n2 = 1/6 n (n+1)(2n+1).

2. Untuk setiap bilangan asli n, berlaku12 + 22 + 32 + … + (n-1)2 < 1/3 n3.

3. Untuk setiap bilangan asli n, 15n- 6n habis dibagi 9.

4. Untuk setiap bilangan asli n 10, berlaku 2n > n3.