Bài giảng LÝ THUYẾT X SUẤT V THỐNG KÊ TON

Bài giảngLÝ THUYẾT XÁC SUẤTVÀ THỐNG KÊ TOÁN

ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂNKHOA TOÁN KINH TẾ

BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ

1

www.mfe.edu.vn

8 / 2017

http://www.mfe.edu.vn/

Thông tin học phần

▪ Tiếng Anh: Probability and Mathematical Statistics

▪ Số tín chỉ: 3 Thời lượng: 45 tiết

▪ Đánh giá:

• Điểm do giảng viên đánh giá: 10%

• Điểm kiểm tra giữa kỳ / bài tập lớn: 20%

• Điểm kiểm tra cuối kỳ (90 phút): 70%

▪ Không tham gia quá 20% số tiết không được thi

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 2

Thông tin học phần

▪ Thông tin chi tiết về Giảng dạy và học tập học phần:

▪ www.mfe.edu.vn Văn bản quan trọng “Hướng

dẫn giảng dạy học tập học phần Lý thuyết xác suất

và Thống kê toán”

• Đề cương chi tiết

• Hướng dẫn thực hành Excel

• Bảng số và công thức cơ bản

• Một số bài tập bổ sung

• Nội dung giảng dạy học tập cụ thể


http://www.mfe.edu.vn/

Thông tin giảng viên

▪ Học vị. Họ tên giảng viên

▪ Giảng viên Bộ môn Toán kinh tế - Khoa Toán kinh tế

- ĐH Kinh tế quốc dân

▪ Email: (giangvien)@neu.edu.vn

▪ Trang web: www.mfe.edu.vn/(họ tên GV)


mailto:[email protected]

Tài liệu

▪ [1] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ

(2015), Giáo trình Lý thuyết xác suất và Thống kê

toán, NXB ĐHKTQD.

▪ [2] Bùi Dương Hải (2016), Tài liệu hướng dẫn thực

hành Excel, Lưu hành hội bộ.

▪ [3] Paul Newbold, William L. Carlson, Betty Thorne

(2010), Statistics for Business and Economics, 7th

edition, Pearson.

▪ Website: www.mfe.edu.vn

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – Bui Duong Hai – NEU –

www.mfe.edu.vn/buiduonghai5

Các nhà khoa học

▪ Thế kỉ 16: Galilei O Galile (Italia)

▪ Thế kỉ 17: Blaise Pascal, Piere de Fermat (Pháp), Christian Huygens (Hà Lan), Jakob Bernoulli (Thụy Sĩ)

▪ Thế kỉ 18: Nicolaus Bernoulli (Thụy Sĩ), Thomas Bayes (Anh), Pierre Simon Laplace (Pháp)

▪ Thế kỉ 19: Carl Friedrich Gauss (Đức), Simeon Denis Poisson (Pháp), Pafuni Chebyshev (Nga), Francis Galton, Karl Pearson (Anh)

▪ Thế kỉ 20: Charles Spearman, Royal Aylmer Fisher (Anh), Andrei Kolmogorov (Nga)


NỘI DUNG

Phần 1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

▪ Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

▪ Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

▪ Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

▪ Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

▪ Chương 5. Các định lý giới hạn

Phần 2. THỐNG KÊ TOÁN

▪ Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu

▪ Chương 7. Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên

▪ Chương 8. Kiểm định giả thuyết thống kêLÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 7

Phần 1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

▪ Là môn toán học xác lập những quy luật tất nhiên sau

những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên; từ đó cho phép

dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên sẽ xảy ra thế nào

Gồm 5 chương:

▪ Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

▪ Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

▪ Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

▪ Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

▪ Chương 5. Các định lý giới hạn


Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN & XÁC SUẤT

▪ Giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác

suất: phép thử, biến cố, kết cục

▪ Khái niệm về xác suất và một số cách tính xác suất

theo cách cổ điển, theo thống kê

▪ Cách phân chia các biến cố phức tạp thành các biến

cố đơn giản hơn và tổng hợp thông tin để tính xác

suất biến cố phức tạp

▪ Một số định lý, công thức và áp dụng trong các bài

toán


Chương 1

NỘI DUNG CHƯƠNG 1

▪ 1.1. Phép thử và các loại biến cố

▪ 1.2. Xác suất của biến cố

▪ 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất

▪ 1.4. Định nghĩa thống kê về xác suất

▪ 1.5. Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ

▪ 1.6. Định lý nhân xác suất

▪ 1.7. Định lý cộng xác suất

▪ 1.8. Công thức Bernoulli

▪ 1.9. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes


Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

1.1. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ

▪ Định nghĩa 1.1. Thực hiện một nhóm các điều kiện

cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có thể xảy

ra hay không gọi là một phép thử (experiment)

▪ Hiện tượng có thể xảy ra biến cố (event)

▪ Phân loại:

• Biến cố chắc chắn (certain): kí hiệu U hay

• Biến cố không thể có (impossible): kí hiệu V hay

• Biến cố ngẫu nhiên (random): kí hiệu A, B,… hay

A1, A2,…


Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.1

1.2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

▪ Định nghĩa 1.2. Xác suất (probability) của một

biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách

quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện một phép

thử.

▪ Nhận xét:

• Khả năng khách quan, không phải chủ quan

• Là con số xác định

• Cần xây dựng các định nghĩa và định lý để tính



1.3. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT

▪ (Classical definition of Probability)

▪ Ví dụ: Gieo con xúc sắc đối xứng đồng chất, quan

tâm biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

▪ Định nghĩa 1.3. Xác suất xuất hiện biến cố A trong

một phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A

và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có

thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó


( )Am

Pn


Tính chất của xác suất

▪ Xác suất của biến cố bất kỳ nằm trong đoạn [0, 1]

0 P(Biến cố) 1

▪ Xác suất của biến cố chắc chắn: P(U) = 1

▪ Xác suất của biến cố không thể có: P(V) = 0

▪ Xác suất của biến cố ngẫu nhiên A: 0 < P(A) < 1

▪ Còn ký hiệu biến cố chắc chắn là , biến cố không

thể có là


Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.3. Định nghĩa cổ điển về xác suất

Các ví dụ

▪ Ví dụ 1.1: Lớp có 40 sinh viên nữ, 20 sinh viên nam.

Chọn ngẫu nhiên một người, tính xác suất được nữ.

▪ Ví dụ 1.2: Giả sử xác suất sinh con gái và trai là như

nhau. Tìm xác suất gia đình có 3 con thì

• (a) có đúng 2 con gái

• (b) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là gái

• (c) có đúng 2 con gái nếu con đầu lòng là trai



Các ví dụ

▪ Ví dụ 1.3: Cơ quan có 50 người, trong đó 25 người

học đại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10

người học cả hai, còn lại không ai học đại học.

▪ Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đó

• (a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành

• (b) Học ĐH ít nhất 1 ngành

• (c) Học 2 ngành nếu người đó có học đại học



Các ví dụ

▪ Ví dụ 1.4: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6

chính phẩm và 4 phế phẩm.

▪ (a) Tính m và n và xác suất để lấy 2 sản phẩm thì

được 2 chính phẩm, theo 3 cách sau:

• Lần lượt có hoàn lại

• Lần lượt không hoàn lại

• Cùng một lúc

▪ (b) Nếu lấy cùng lúc 3 sản phẩm, tính xác suất được

2 chính phẩm và 1 phế phẩm



Ưu nhược điểm của định nghĩa cổ điển

▪ Ưu điểm:

• Không cần tiến hành phép thử

• Cho phép tính chính xác giá trị của xác suất

▪ Nhược điểm:

• Số cục duy nhất đồng khả năng có thể vô hạn

• Kết quả phép thử không phải các kết cục duy

nhất đồng khả năng



1.4. ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT

▪ (Statistical definition)

▪ Định nghĩa 1.4. Tần suất (relative frequency) xuất

hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép

thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử

được thực hiện


( )Ak

fn


Định nghĩa

▪ Định nghĩa 1.5: Xác suất xuất hiện biến cố A trong

một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f

xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động

rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn

▪ Ví dụ 1.5:

• Số liệu của 10000 công nhân công nghiệp thấy có

1200 người có bệnh về phổi. Tần suất là 0,12 và

xác suất được coi là xấp xỉ 0,12


( ) ( )A Ap P f

Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4. Định nghĩa thống kê

Ưu nhược điểm của định nghĩa thống kê

▪ Ưu điểm:

• Không đòi hỏi những điều kiện như ĐN cổ điển

• Dựa trên các quan sát thực tế

▪ Nhược điểm:

• Chỉ áp dụng với hiện tượng ngẫu nhiên mà tần

suất ổn định

• Phải thực hiện một số đủ lớn các phép thử

▪ Có thể khắc phục bằng cách mô phỏng kết quả


Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.4. Định nghĩa thống kê

1.5. NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NHỎ

▪ “Nguyên lý thực tế chắc chắn xảy ra của các biến cố

có xác suất lớn”: Nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất

gần bằng 1 thì thực tế có thể biến cố đó sẽ xảy ra

trong một phép thử.

▪ “Nguyên lý thực tế không thể có của các biến cố có

xác suất nhỏ”: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ

thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến

cố đó sẽ không xảy ra.


Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.5.

1.6. ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT

▪ Định nghĩa 1.6. Biến cố C là tích (intersection) củahai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả haibiến cố A và B cùng đồng thời xảy ra.

• Ký hiệu C = A.B


A B

Ω

A.B

▪ Ví dụ 1.6. Hộp 6 chínhphẩm 4 phế phẩm, lấy lầnlượt 2 sản phẩm.

• A = “lần 1 được CF”

• B = “lần 2 được CF”

• A.B = ?


Xác suất có điều kiện

▪ Định nghĩa 1.7. Xác suất của biến cố A được tính với

điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều

kiện của A, hay xác suất của A trong điều kiện B

• Ký hiệu: P(A | B)

▪ Ví dụ 1.7: Hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, lấy lần

lượt 2 sản phẩm. A, B là lần 1, 2 được chính phẩm.

▪ Xác định P(B | A) khi:

• Lấy lần lượt có hoàn lại

• Lấy lần lượt không hoàn lại


Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.6. Định lý nhân xác suất

Tính độc lập

▪ Định nghĩa 1.8. Hai biến cố A và B được gọi là độc

lập (independent) với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác

suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại.

▪ Hai biến cố không độc lập với nhau còn gọi là phụ

thuộc (dependent).

▪ Nếu A và B độc lập thì

P(A | B) = P(A)

và P(B | A) = P(B)



Định lý nhân xác suất

▪ Định lý: Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng

tích xác suất của một trong hai biến cố đó với xác

suất có điều kiện của biến cố còn lại

P(A.B) = P(A).P(B | A)

= P(B).P(A | B)

▪ Định lý: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng

tích của các xác suất thành phần

P(A.B) = P(A ).P(B)



Hệ quả

▪ Hệ quả: Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với

điều kiện biến cố B đã xảy ra bằng:

▪ Hệ quả: Nếu A và B độc lập thì:


A.B

A | BB

PP

P

( )( )

( )

A.B A.B

A BB A

P PP P

P P

( ) ( )( ) & ( )

( ) ( )


Ví dụ 1.8

▪ Hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, lấy lần lượt 2 sản

phẩm từ hộp.

▪ Tính xác suất “được hai chính phẩm” và xác suất

“lần 1 là chính phẩm trong điều kiện lần 2 là chính

phẩm” khi:

• (a) Lấy lần lượt không hoàn lại

• (b) Lấy lần lượt có hoàn lại



Biến cố xung khắc

▪ Định nghĩa 1.9. Hai biến cố A và B gọi là xung khắc

(mutually exclusive) với nhau nếu chúng không thể

đồng thời xảy ra trong một phép thử.

▪ Ngược lại, hai biến cố gọi là không xung khắc.

▪ Nếu A, B xung khắc thì: P(A.B) = 0


A B

Ω


Mở rộng

▪ Định nghĩa 1.10. Biến cố A được gọi là tích của n

biến cố A1, A2,…, An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n

biến cố đó cùng đồng thời xảy ra.

• Ký hiệu:


i1

A An

i

A1

A2

Ω

A1A2A3

A3


Mở rộng

▪ Định nghĩa 1.11. Các biến cố A1, A2,…, An gọi là độc

lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến

cố đó độc lập nhau.

▪ Định nghĩa 1.12. Các biến cố A1, A2,…, An gọi là độc

lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc lập với mọi tổ

hợp bất kỳ của các biến cố còn lại.



Mở rộng

▪ Hệ quả: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn

phần bằng tích các xác suất biến cố thành phần

▪ Hệ quả: Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc:

P(A1.A2…An) = P(A1).P(A2 | A1)…P(An | A1A2…An–1)

▪ Ví dụ 1.9: Từ hộp 6 chính phẩm 4 phế phẩm, tính

xác suất lấy 4 sản phẩm lần lượt đều là chính phẩm,

khi có hoàn lại và không hoàn lại.


1 1

( )i i

A An n

i i

P P


Mở rộng

▪ Định nghĩa 1.13. Nhóm n biến cố A1, A2,…, An được

gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố

nào trong nhóm này cũng xung khắc với nhau.

▪ Ví dụ 1.10: Tổ có 3 sinh viên, chỉ ra nhóm biến cố

xung khắc từng đôi trong số sau:

A1 = “có đúng 1 nam”, A2 = “có đúng 2 nam”

A3 = “tất cả là nam”, A4 = “có ít nhất 1 nam”

A5 = “có cả nam và nữ”



1.7. ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT

▪ Định nghĩa 1.14. Biến cố C được gọi là tổng (union)

của hai biến cố A và B, nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất

một trong hai biến cố A và B xảy ra.

▪ Ký hiệu C = A + B


A B

ΩA + B


Định lý cộng xác suất

▪ Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng xác

suất hai biến cố trừ đi xác suất của tích hai biến cố

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

▪ Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc

bằng tổng xác suất của các biến cố đó

P(A + B) = P(A) + P(B)


Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.7. Định lý cộng xác suất

Mở rộng

▪ Định nghĩa 1.15. Biến cố A được gọi là tổng của n

biến cố A1, A2,…, An nếu A xảy ra khi có ít nhất một

trong n biến cố ấy xảy ra.

• Ký hiệu:

▪ Hệ quả: Xác suất của tổng các biến cố xung khắc

từng đôi A1, A2,…, An bằng tổng xác suất của các biến

cố đó:


i1

A An

i

1 1

( )A An n

i ii i

P P


Ví dụ 1.11

▪ Một dự án cần qua hai vòng thẩm định độc lập nhau,

xác suất dự án bị trượt ở hai vòng lần lượt là 0,3 và

0,4. Dự án bị loại nếu có vòng đánh trượt.

▪ (a) Tính xác suất dự án bị loại

▪ (b) Xác suất dự án được thông qua bằng bao nhiêu?



Nhóm đầy đủ

▪ Định nghĩa 1.16. Các biến cố A1, A2,…, An được gọi

là một nhóm đầy đủ (universal set, partitions) các

biến cố nếu trong kết quả phép thử sẽ xảy ra một và

chỉ một trong các biến cố đó

▪ Hệ quả: Nếu các biến cố A1, A2,…, An tạo nên một

nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúng

bằng 1


1

( ) 1i

An

i

P


Biến cố đối lập

▪ Định nghĩa 1.17. Hai biến cố A và Ā gọi là đối lập

(complement) nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ

các biến cố

▪ Hệ quả: Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau

bằng 1:

P(A) + P(Ā) = 1



Ví dụ 1.12

▪ Một người đi bán hàng ở hai nơi độc lập nhau. Xácsuất bán được hàng lần lượt là 0,6 và 0,8.

▪ Đặt A1 và A2 tương ứng với biến cố bán được hàng ở nơi 1 và 2.

▪ Viết biến cố và tính xác suất người đó

• (a) Bán được hàng ở cả hai nơi

• (b) Bán được hàng ở ít nhất một nơi

• (c) Bán được hàng ở đúng một nơi

• (d) Không bán được hàng



Ví dụ 1.12 (tiếp)

▪ Bảng xác suất của các biến cố

▪ P(A1 + A2) = 0,6 + 0,8 – 0,48

cũng = 0,32 + 0,48 + 0,12


A2 Ā2

A1 P(A1A2) = 0,48 P(A1Ā2) = 0,12 P(A1) = 0,6

Ā1 P(Ā1A2) = 0,32 P(Ā1Ā2) = 0,08 P(Ā1) = 0,4

P(A2) = 0,8 P(Ā2) = 0,2 1


Ví dụ 1.13

▪ Một người đấu thầu hai dự án. Xác suất trúng thầudự án thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,5 và 0,4; xácsuất trúng thầu cả hai là 0,1.

▪ Viết biến cố, lập bảng, và tính xác suất:

• (a) Trúng thầu ở ít nhất một dự án

• (b) Trúng thầu ở đúng một dự án

• (c) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng trúngthầu dự án thứ nhất

• (d) Trúng thầu dự án thứ hai, biết rằng khôngtrúng thầu ở dự án thứ nhất



Ví dụ 1.14

▪ Một người làm hai bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúngbài thứ nhất là 0,6. Nếu làm đúng bài thứ nhất thìkhả năng làm đúng bài thứ hai là 0,9 nhưng nếu làmsai bài thứ nhất thì khả năng đúng bài thứ hai còn0,3. Tính xác suất:

• (a) Làm đúng ít nhất một bài

• (b) Làm đúng chỉ 1 bài

• (c) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2

• (d) Làm đúng cả hai, biết rằng có làm đúng ítnhất một bài



1.8. CÔNG THỨC BERNOULLI

▪ Ví dụ 1.15: Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập,

xác suất bán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8. Tính xác

suất người đó:

▪ (a) Bán được ở đúng 1 nơi

▪ (b) Bán được ở đúng 2 nơi

▪ (c) Bán được ở ít nhất 1 nơi



Công thức Bernoulli

▪ Thực hiện n phép thử độc lập; trong mỗi phép thử

biến cố A hoặc Ā xảy ra với xác suất tương ứng là p

và 1 – p, được lược đồ (trial) Bernoulli.

▪ Kí hiệu B(n, p)

▪ Xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng

x lần, kí hiệu: Pn(x) hay P(x | n, p)

▪ Công thức


x x n xnP x n p C p p( | , ) (1 )

Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.8. Công thức Bernoulli

1.9. CÔNG THỨC XS ĐẦY ĐỦ - BAYES

▪ Ví dụ 1.16: Có hai hộp giống nhau: Hộp loại I chứa 6

chính phẩm và 4 phế phẩm; hộp loại II chứa 8 chính

phẩm và 2 phế phẩm.

▪ (a) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó chọn 1 sản

phẩm. Tính xác suất để đó là chính phẩm

▪ (b) Nếu chọn được chính phẩm, xác suất để hộp

được chọn là hộp I bằng bao nhiêu?

▪ (c) Nếu có 5 hộp, 2 hộp loại I và 3 hộp loại II, thì các

câu (a), (b) kết quả bao nhiêu?



Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes

▪ Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các

biến cố H1, H2,…, Hn. Nhóm H1, H2,…, Hn là nhóm đầy

đủ các biến cố. Khi đó xác suất đầy đủ:

▪ Công thức Bayes


1

( ) ( ). ( )i i

A H A | Hn

i

P P P

1

( ). ( )( | )

( ). ( )

i ii

i i

H A | HH A

H A | Hn

i

P PP

P P

Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. Công thức XS đầy đủ - Bayes

Công thức XS đầy đủ - công thức Bayes

▪ Giải ví dụ 1.16 bằng lập bảng

▪ Tiếp ví dụ 1.16: Nếu có hai hộp loại I (6 Chính

phẩm 4 phế phẩm), ba hộp loại II (8 chính phẩm 2

phế phẩm) và năm hộp loại III (5 chính phẩm 5 phế

phẩm) thì kết quả thế nào?


P(Hi) P(A | Hi) P(A.Hi) P(Hi | A)

H1 0,5 0,6 0,5×0,6 = 0,3 0,3 / 0,7

H2 0,5 0,8 0,5×0,8 = 0,4 0,4 / 0,7

1 0,7 1

Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất 1.9. Công thức XS đầy đủ - Bayes

TÓM TẮT CHƯƠNG 1

▪ Phép thử, biến cố ngẫu nhiên, xác suất P(A)

▪ Định nghĩa cổ điển: phương pháp liệt kê, sơ đồ, đạisố tổ hợp

▪ Định nghĩa thống kê

▪ Nguyên lý xác suất lớn và nhỏ

▪ Các quan hệ: tổng, tích, xung khắc, độc lập, nhómđầy đủ, đối lập, có điều kiện

▪ Các định lý: xác suất tổng, tích, đối lập, có điều kiện

▪ Công thức Bernoulli, xác suất đầy đủ, Bayes



Bài tập cơ bản trong Giáo trình

▪ Trang 14: 1.3, 1.5, 1.15

▪ Trang 20: 1.20, 1.21

▪ Trang 23: 1.24, 1.26, 1.28, 1.30a

▪ Trang 47: 1.37, 1.42, 1.46, 1.47, 1.51

▪ Trang 53: 1.58, 1.60, 1.61

▪ Trang 59: 1.62, 1.63, 1.68, 1.70

▪ Trang 67: 1.74, .175, 1.79, 1.84

▪ Trang 69: 1.93, 1.94, 1.97, 1.100, 1.102, 1.105a



Chương 2. BIẾN NGẪU NHIÊN &QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

▪ Biến ngẫu nhiên là khái niệm trung tâm của lý

thuyết xác suất

▪ Hiểu được khái niệm và cách phản ánh quy luật của

biến ngẫu nhiên, thông qua quy luật phân phối xác

suất

▪ Khái niệm về các tham số đặc trưng cho đại lượng

ngẫu nhiên trong kinh tế - kinh doanh



▪ 2.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên

▪ 2.2. Quy luật phân phối xác suất

• Bảng phân phối xác suất

• Hàm phân phối xác suất

• Hàm mật độ xác suất

▪ 2.3. Tham số đặc trưng

• Kỳ vọng

• Phương sai, độ lệch chuẩn


Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật…

2.1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN

▪ Định nghĩa 2.1. Biến số gọi là biến ngẫu nhiên

(random variable) nếu trong kết quả của phép thử

nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có

của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố

ngẫu nhiên.

▪ Viết tắt là BNN

▪ Ký hiệu: X, Y, Z hoặc X1, X2,…

▪ Giá trị có thể có của X là x1, x2,….

▪ (X = x1), (X = x2) là các biến cố


Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.1.

Phân loại biến ngẫu nhiên

▪ Biến ngẫu nhiên là rời rạc (discrete) nếu các giá trị

có thể có của nó lập thành một tập hợp hữu hạn

hoặc đếm được

• Ví dụ: Điểm số, Số người vào cửa hàng

• X = {x1, x2,…, xn}; n có thể =

▪ Biến ngẫu nhiên là liên tục (continuous) nếu các giá

trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số

• Ví dụ: Thời gian, Khoảng cách, Năng suất

• X = (a, b)


Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.1. Định nghĩa biến ngẫu nhiên

2.2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

▪ Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là

sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các

xác suất tương ứng với các giá trị đó

▪ Ba cách thể hiện thông thường:

• Bảng phân phối xác suất (chỉ cho BNN rời rạc)

• Hàm phân phối xác suất (hàm tích lũy xác suất)

• Hàm mật độ xác suất (chỉ cho BNN liên tục)



Bảng phân phối xác suất

▪ Hay hàm khối lượng xác suất (mass probability)

▪ X rời rạc, X = {x1, x2,…, xn} ; n có thể bằng

▪ Xác suất: pi = P(X = xi), i = 1 n

▪ Tính chất:


X x1 x2 … xn

P p1 p2 … pn

1

0 1 & 1n

i ii

p p

Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.2. Quy luật phân phối xác suất

Hàm phân bố xác suất F(x)

▪ Còn gọi là hàm tích lũy xác suất (cumulative

probability function)

▪ Định nghĩa 2.2. Hàm phân bố xác suất của X, ký

hiệu là F(x), x ℝ, được tính bởi công thức:

F(x) = P(X < x)

▪ Nếu X rời rạc: F(x) =


i

ix x

p


Ví dụ 2.1

▪ BNN X rời rạc có:

▪ Hàm F(x) sẽ là:


X 1 2 3

P 0,3 0,5 0,2

0 1

0 3 1 2

0 8 2 3

1 3

:

, :( )

, :

:

x

xF x

x

x x

x

1 2 3

0,8

0,3

1

0,3

0,5

0,2


Tính chất của F(x)

▪ F(x) thuộc đoạn [0, 1]

▪ F(x) là hàm không giảm: x1 < x2 thì F(x1) F(x2)

• Hệ quả: P(a X < b) = F(b) – F(a)

• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(X = x) = 0

• Hệ quả: Nếu X liên tục: P(a X b) = P(a X < b)= P(a < X b) = P(a < X < b)

▪ F(–) = 0 và F(+) = 1

• Hệ quả: Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì F(x)= 0 với x a và F(x) = 1 với x > b



Hàm mật độ xác suất f(x)

▪ Biến ngẫu nhiên X liên tục

thì hàm F(x) liên tục

▪ Định nghĩa 2.3. Hàm mật

độ xác suất (probability

density function: PDF) của

BNN liên tục X, ký hiệu là

f(x), x ℝ, là đạo hàm của

hàm F(x):

f(x) = F (x)


x

x

F(x)

f(x)


Tính chất của f(x)

▪ Tính chất 1: f(x) 0 x

▪ Tính chất 2:

▪ Tính chất 3:

▪ Tính chất 4:


( ) ( )b

a

P a X b f x dx

( ) 1f x dx

( ) ( )x

F x f x dx


Ví dụ 2.2

▪ Thời gian chờ của khách hàng (giờ) ở một cửa hàng

có hàm mật độ:

▪ (a) Tính xác suất một khách chờ hơn nửa giờ

▪ (b) Tính xác suất một khách chờ từ 20 đến 40 phút

▪ (c) Tìm mức thời gian mà 20% số khách chờ lâu

hơn mức đó


: [ , ]( )

: [ , ]

0 0 1

2 0 1

xf x

x x


Ví dụ 2.2

▪ Minh họa ví dụ

▪ Hàm F(x) có dạng


x

x

f(x)

:

( ) :

:

x

F x x x

x

2

0 0

0 1

1 11/3 2/3 1

F(x)

4/9

1/9


2.3. CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

▪ Các tham số đặc trưng xu thế trung tâm: Kỳ vọng

toán, trung vị, mốt

▪ Các tham số đặc trưng độ phân tán: Phương sai, độ

lệch chuẩn, hệ số biến thiên

▪ Các tham số đặc trưng khác: Giá trị tới hạn, Hệ số

nhọn, hệ số bất đối xứng

▪ Tại đây tập trung: Kỳ vọng, Phương sai, Độ lệch

chuẩn, Giá trị tới hạn



Kỳ vọng toán

▪ Định nghĩa 2.4. Kỳ vọng toán (expected value) củaBNN X, ký hiệu là E(X), được tính :

• Nếu X rời rạc:

• Nếu X liên tục:

▪ Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là số xác định

▪ Kỳ vọng có cùng đơn vị với X

▪ Kỳ vọng đo độ lớn về mặt trung bình


1

( )n

i ii

E X x p

( ) ( )E X x f x dx

Chương 2. Biến ngẫu nhiên – Quy luật… 2.3. Các tham số của biến ngẫu nhiên

Tính chất của kỳ vọng toán

▪ Nếu C là hằng số; X, Y là biến ngẫu nhiên

▪ Tính chất 1: E(C) = C

▪ Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X)

▪ Tính chất 3: E(X + Y) = E(X) + E(Y)

• Hệ quả: 𝐸 σ𝑖=1𝑛 𝑋𝑖 = σ𝑖=1

𝑛 𝐸(𝑋𝑖)

▪ Tính chất 4: Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = E(X).E(Y)

• Hệ quả: Nếu các Xi độc lập:

𝐸 ς𝑖=1𝑛 𝑋𝑖 = ς𝑖=1

𝑛 𝐸(𝑋𝑖)



Phương sai

▪ Định nghĩa 2.5. Phương sai (variance) của BNN X,

ký hiệu V(X) được tính theo công thức:

V(X) = E( X – E(X))2

▪ Chứng minh được: V(X) = E(X2) – (E(X))2

• X rời rạc:

• X liên tục:


2 21

( )n

i iiE X x p

2 2( ) ( )E X x f x dx


Phương sai

▪ Phương sai đo độ dao động của các giá trị của X

quanh kỳ vọng toán

▪ Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của X

▪ Nếu X, Y cùng đơn vị, cùng ý nghĩa, V(X) > V(Y) thì:

• X biến động, dao động, phân tán hơn Y

• Y ổn định, đồng đều hơn X



Tính chất của phương sai

▪ Với C là hằng số; X, Y là biến ngẫu nhiên

▪ Tính chất 1: V(C) = 0

▪ Tính chất 2: V(C.X) = C2V(X)

▪ Tính chất 3: Nếu X, Y độc lập: V(X + Y) = V(X) + V(Y)

• Hệ quả: Nếu các Xi độc lập:

• Hệ quả: V(C + X) = V(X)

• Hệ quả: V(X – Y) = V(X) + V(Y)


1 1

( )n n

i ii iV X V X


Độ lệch chuẩn

▪ Định nghĩa 2.6. Độ lệch chuẩn (standard deviation) của BNN X, ký hiệu σX là căn bậc hai củaphương sai

▪ Độ lệch chuẩn cũng đo mức độ dao động, phân táncủa X tương tự ý nghĩa phương sai, nhưng:

▪ Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với X

▪ Phương sai, độ lệch chuẩn đo độ biến động tuyệt đối


σ ( )X

V X


Ví dụ 2.3

▪ Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn của X:

▪ (a) Với X là số lần bán được hàng trong ngày, có

bảng phân phối xác suất:

▪ (b) Với X là thời gian chờ đợi ở cửa hàng (giờ), có

hàm mật độ


X 1 2 3

P 0,3 0,5 0,2

: [ , ]( )

: [ , ]

0 0 1

2 0 1

xf x

x x


Ví dụ 2.4

Một người chơi trò chơi phải bỏ tiền. Nếu thắng sẽ

được nhận 70 lần số tiền bỏ ra, nếu thua sẽ mất toàn

bộ số tiền. Xác suất thắng bằng 1%.

Tính kì vọng, phương sai của lợi ích về tiền khi:

▪ (a) Chơi một lần, bỏ ra 1 triệu đồng

▪ (b) Chơi một lần, bỏ ra 10 triệu đồng

▪ (c) So sánh khi chơi 1 lần 10 triệu và chơi 10 lần -

mỗi lần 1 triệu, biết các lần chơi là độc lập nhau



Hệ số biến thiên

▪ Định nghĩa 2.7. Hệ số biến thiên (coefficient of

variation) của X ký hiệu là CV được tính theo công

thức:

▪ Hệ số biến thiên đơn vị là %

▪ Hệ số biến thiên đo độ phân tán tương đối

▪ Có thể so sánh hệ số biến thiên của nhiều BNN khác

nhau, không cần cùng đơn vị, ý nghĩa.


σ 100%

| ( )|XCV

E X


Trung vị

▪ Định nghĩa 2.8. Trung vị (median) của BNN X ký

hiệu là md là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác

suất

▪ Nếu X rời rạc: md = xi thỏa mãn: F(xi) 0,5 < F(xi+1)

▪ Nếu X liên tục: md thỏa mãn:


( ) 0,5d

m

f x dx


Mốt (mode)

▪ Định nghĩa 2.9. Mốt (mode) của BNN X, ký hiệu m0

là giá trị - nếu có - ứng với xác suất lớn nhất (X rời

rạc) hoặc hàm mật độ f(x) lớn nhất (X liên tục)

▪ BNN có thể không có mốt, có 1 mốt, hoặc nhiều mốt



Giá trị tới hạn

▪ Định nghĩa 2.10. Với X liên tục, giá trị tới hạn

(cutoff point, critical value) mức (0 1) ký

hiệu là x là số thực sao cho:

P(X > x) =

▪ Ngoài ra còn Hệ số bất đối xứng (Skewness) và Hệ số

nhọn (Kurtosis): tự đọc




▪ Biến ngẫu nhiên và giá trị có thể có

▪ BNN rời rạc và liên tục

▪ Quy luật phân phối xác suất: Bảng phân phối xác

suất, hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất

▪ Các tham số và ý nghĩa: kỳ vọng, phương sai, độ lệch

chuẩn




▪ Trang 84: 2.1, 2.2

▪ Trang 91: 2.7

▪ Trang 98: 2.9, 2.12

▪ Trang 113: 2.19, 2.22, 2.23

▪ Trang 123: 2.30, 2.34, 2.36, 2.41, 2.42

▪ Trang 133: 2.50, 2.51, 2.53

▪ Trang 136: 2.65, 2.67, 2.74, 2.76, 2.77, 2.83, 2.85,

2.86



Chương 3. MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

▪ Giới thiệu một số quy luật phân phối xác suất thông

dụng nhất trong kinh tế, gồm hai nhóm:

▪ Các quy luật rời rạc: Không-một, Nhị thức, Poisson

▪ Các quy luật liên tục: Đều, Chuẩn, Khi-bình phương,

Student, Fisher

▪ Các ứng dụng của các quy luật trong kinh tế


Chương 3.


▪ 3.1. Quy luật Không-một – A(p)

▪ 3.2. Quy luật Nhị thức – B(n, p)

▪ 3.3. Quy luật Poisson – P()

▪ 3.4. Quy luật Đều – U(a, b)

▪ 3.5. Quy luật Chuẩn – N(, σ2)

▪ 3.6. Quy luật Khi bình phương – 2(n)

▪ 3.7. Quy luật Student – T(n)

▪ 3.8. Quy luật Fisher Snedecor – F(n1, n2)


Chương 3. Một số quy luật thông dụng

3.1. QUY LUẬT KHÔNG-MỘT – A(p)

▪ Còn gọi là quy luật Bernoulli

▪ X rời rạc chỉ nhận hai giá trị 0, 1

▪ P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 – p

▪ Hay:

▪ X gọi là phân phối theo quy luật Không-một vớitham số p

▪ Ký hiệu X ~ A(p)

▪ Tham số đặc trưng

E(X) = p ; V(X) = p(1 – p) ; 𝜎𝑋 = 𝑝(1 − 𝑝)


1( ) (1 ) ; 0,1x xP X x p p x

Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.1

Ví dụ 3.1

▪ Có 4 người bắn vào bia độc lập nhau, mỗi người bắn

1 viên đạn. Xác suất trúng của mỗi người lần lượt là

0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9.

▪ (a) Số viên đạn trúng bia của mỗi người có quy luật

phân phối thế nào?

▪ (b) Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số viên đạn

trúng bia

▪ (c) Nếu có n người và xác suất trúng của mỗi người

đều là 0,6 thì câu (b) có kết quả thế nào?


Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.1. Quy luật Không-một

3.2. QUY LUẬT NHỊ THỨC – B(n, p)

▪ Biến ngẫu nhiên X rời rạc có giá trị có giá trị có thể

có là X = {0, 1, 2,…, n}

▪ Công thức tính xác suất

▪ X gọi là phân phối theo quy luật Nhị thức

(Binomial) với hai tham số n và p

▪ Ký hiệu X ~ B(n, p)

▪ Có thể tra giá trị xác suất qua Phụ lục 1 (trang 939)


( ) (1 ) ; 0,1,2,...,x x n xn

P X x C p p x n

Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2.

Tham số đặc trưng của quy luật B(n, p)

▪ Nếu X ~ B(n, p) thì X = X1 + X2 + … + Xn với mỗi Xi

đều phân phối Không-một: Xi ~ A(p)

▪ Kỳ vọng: E(X) = np

▪ Phương sai: V(X) = np(1 – p)

▪ Độ lệch chuẩn: 𝝈𝑿 = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)

▪ Mốt m0 thỏa mãn: (n + 1)p – 1 m0 (n + 1)p


Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.2. Quy luật Nhị thức

Quy luật phân phối của tần suất

▪ X ~ B(n, p) thì tần suất là f :

▪ Tần suất f phân phối theo quy luật Nhị thức tỷ lệ



X

fn

σ

(1 ) (1 )

( ) ; ( ) ;f

p p p pE f p V f

n n


Ví dụ 3.2

▪ Một đề thi trắc nghiệm gồm 60 câu hỏi, mỗi câu có 4

lựa chọn, chỉ có 1 lựa chọn đúng. Một thí sinh làm

tất cả bằng cách chọn ngẫu nhiên, độc lập.

▪ (a) Quy luật phân phối xác suất của số câu đúng như

thế nào?

▪ (b) Tính kỳ vọng, phương sai của số câu đúng

▪ (c) Số câu đúng có khả năng xảy ra nhiều nhất?

▪ (d) Tỷ lệ đúng phân phối thế nào, kỳ vọng và

phương sai bằng bao nhiêu?



3.3. QUY LUẬT POISSON – P()

▪ BNN rời rạc X có giá trị có thể có: 0, 1, 2,… và xác

suất được tính bởi công thức:

▪ X gọi là phân phối theo quy luật Poisson với tham

số , ký hiệu X ~ P()

▪ Tham số đặc trưng: E(X) = ; V(X) = ; – 1 m0

▪ X ~ B(n, p) với n lớn, p nhỏ thì X xấp xỉ ~ P( = np)


, , ,...( ) ;

!

λλ

λ

0 1 2

0

x xeP X x

x


3.4. QUY LUẬT ĐỀU – U(a, b)

▪ BNN X liên tục nhận giá trị trong khoảng (a, b)

▪ X gọi là phân phối theo quy luật Đều (Uniform) với

hai tham số a và b, ký hiệu: X ~ U(a, b)



2( )( ) ; ( )

2 12

a b b aE X V X

1: ( , )

( )

0 : ( , )

x a bf x b a

x a b


3.5. QUY LUẬT CHUẨN – N(, σ2)

▪ BNN liên tục X nhận giá trị trong khoảng (-, +) có

hàm mật độ:

▪ gọi là phân phối theo quy luật Chuẩn (Normal) với

hai tham số và σ2

▪ Ký hiệu: X ~ N(, σ2)

▪ Hàm phân phối xác suất:


( )

( )

μ

σ

σ π

2

221

2

x

f x e

( ) ( )

xF x f x dx


Tính chất f(x) và F(x)

▪ Hàm mật độ f(x)

• Hình quả chuông, đối xứng trục qua x =

• Đỉnh cao 1/(𝜎 2𝜋) tại x =

• Tiệm cận ngang với trục hoành

• Điểm uốn tại x = σ

▪ Hàm phân phối F(x)

• Tiệm cận trái Ox, tiệm cận phải đường y = 1

• Đối xứng tâm tại ( , ½)


Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.5. Quy luật Chuẩn

Tham số đặc trưng

▪ X ~ N(, σ2) thì:

▪ Kỳ vọng: E(X) =

▪ Phương sai: V(X) = σ2

▪ Độ lệch chuẩn: σX = σ

▪ tăng thì f(x), F(x)

dịch sang phải

▪ σ tăng thì f(x) thấp

xuống và rộng ra


f(x)

F(x)

μ μ’1

½

1

σ 2π


Phân phối Chuẩn hóa – N(0,1)

▪ X ~ N(, σ2), đặt

▪ BNN U có hàm mật độ:

▪ Hàm phân phối xác suất:

▪ Khi đó U là biến ngẫu nhiên Chuẩn hóa, U ~ N(0,1)

▪ Và X = + σ.U


φπ

2

21

( )2

u

u e

φ

( ) ( )u

u u du

μ

σ

XU


Phân phối Chuẩn hóa – N(0,1)

▪ Hàm (u): Hình chuông, đối xứng qua trục tung

▪ Đặt 0(u) = (u) – 0,5 = P(0 < U < u)

▪ Tính chất:

• 0(–u) = –0(u)

• 0(u : u 4) 0,5

▪ Giá trị cho trong Bảng phụ lục 5

• P(0 < U < 1,5) = 0(1,5)

• P(–1,5 < U < 0) = P(0 < U < 1,5)

• P(–1,5 < U < 1,5) = 2P(0 < U < 1,5)



Bảng giá trị hàm 0(u)

▪ Bảng chi tiết tại phụ lục 5 giáo trình (trang 951)

▪ Bảng giản lược


u 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 .0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159

1 .3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713

2 .4772 .4821 .4861 .4893 .4918 .4938 .4953 .4965 .4974 .4981

3 .4987 .4990 .4993 .4995 .4997 .4998 .4998 .4999 .4999 .5000


Công thức tính xác suất

▪ X ~ N(, σ2) thì:


μ μ

σ σ

( )

a bP a X b P U

μ μ

σ σ

b a μ μ

σ σ

0 0

b a

μ μ

σ σ

a aP a X 0( ) 1 0,5

μ μ

σ σ

b bP X b 0( ) 0,5


Ví dụ 3.3

▪ Khối lượng của sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân

phối chuẩn với trung bình là 100g, phương sai là

25g2. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm, Tính xác suất:

▪ (a) Sản phẩm nặng hơn 105g

▪ (b) Sản phẩm nhẹ hơn 110g

▪ (c) Sản phẩm nặng trong khoảng 97g đến 102g

▪ (d) Khối lượng của sản phẩm sai lệch với trung bình

không quá 4g



Xác suất “sai lệch với kỳ vọng”

▪ X ~ N(, σ2), xác suất X sai lệch với kỳ vọng một

khoảng không quá là:

P(|X – | < ) = 20( / σ)

▪ Ba trường hợp riêng

• Quy tắc 1-sigma: P(|X – | < σ) = 0,6826

• Quy tắc 2-sigma: P(|X – | < 2σ) = 0,9544

• Quy tắc 3-sigma: P(|X – | < 3σ) = 0,9974



Tổ hợp các biến phân phối Chuẩn

▪ X1, X2,…, Xn độc lập, phân phối Chuẩn

▪ Xi ~ N(i , σi2), i = 1 n

▪ Tổng là BNN:

▪ Thì Y phân phối Chuẩn: Y ~ N(Y , σY2)

với

▪ Tương tự với Z:


1

n

iiY X

μ μ

1

n

Y ii σ σ

2 2

1

n

Y ii

1

n

i iiZ Xα


Hội tụ về quy luật Chuẩn

▪ Khi n đủ lớn thì quy luật Nhị thức hội tụ về quy luật

Chuẩn

▪ X ~ B(n, p)

• Khi n 100 thì X ~ N(, σ2)

• Với = np và σ2 = np(1 – p)

▪ Ví dụ: Đề thi gồm 100 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu

có 4 lựa chọn, trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng. Một

thí sinh trả lời toàn bộ bằng cách chọn bừa, tính xác

suất thí sinh đó đúng trên 30 câu.



Giá trị tới hạn Chuẩn mức

▪ Ký hiệu là u : P(U > u ) =

▪ Tính chất: u1 = – ; u0 = + ; u0,5 = 0; u1– = – u

▪ Tra bảng phụ lục 6

▪ Hai giá trị quan trọng: u0,05 = 1,645; u0,025 = 1,96


u

1.645

0.05


3.6. QUY LUẬT KHI BÌNH PHƯƠNG - 2(n)

▪ BNN liên tục 𝜒2 tuân theo quy luật Khi bình phương

với n bậc tự do (degree of freedom: df)

▪ Ký hiệu: 𝜒2~𝜒2(𝑛)

▪ Tham số: 𝐸(𝜒2) = 𝑛; 𝑉 𝜒2 = 2𝑛

▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu 𝜒𝛼2(𝑛)

𝑃 𝜒2(𝑛) > 𝜒𝛼2(𝑛)

= 𝛼



Giá trị tới hạn mức

▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 7 giáo trình



α n

0.975 0.95 0.05 0.025α

n0.975 0.95 0.05 0.025

1 0.001 0.004 3.841 5.024 20 9.591 10.85 31.41 34.172 0.051 0.103 5.991 7.378 24 12.40 13.85 36.42 39.363 0.216 0.352 7.815 9.348 30 16.79 18.49 43.77 46.984 0.484 0.711 9.488 11.14 39 23.65 25.70 54.57 58.125 0.831 1.145 11.07 12.83 50 32.36 34.76 67.50 71.42

10 3.247 3.940 18.31 20.48 99 73.36 77.05 123.2 128.415 6.262 7.261 25.00 27.49 120 91.57 95.70 146.6 152.2

Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.6. Quy luật Khi bình phương

3.7. QUY LUẬT STUDENT – T(n)

▪ BNN liên tục T tuân theo quy luật Student với n bậctự do, ký hiệu: T ~ T(n)

▪ Tham số: E(T) = 0; V(T) = n / (n – 2)

▪ Giá trị tới hạn mức , kí hiệu: 𝑡𝛼(𝑛)

𝑃 𝑇(𝑛) > 𝑡𝛼(𝑛)

= 𝛼

▪ Tính chất:

• 𝑡0(𝑛)

= +∞; 𝑡1(𝑛)

= −∞; 𝑡1−𝛼𝑛

= −𝑡𝛼(𝑛)

• Với n > 30 thì có thể lấy 𝑡𝛼(𝑛)

≈ 𝑢𝛼




▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 8 giáo trình



α n

0.1 0.05 0.025α

n0.1 0.05 0.025

10 1.372 1.812 2.228 17 1.333 1.740 2.11011 1.363 1.796 2.201 18 1.330 1.734 2.10112 1.356 1.782 2.179 19 1.328 1.729 2.09313 1.350 1.771 2.160 20 1.325 1.725 2.08614 1.345 1.761 2.145 24 1.318 1.711 2.06415 1.341 1.753 2.131 30 1.310 1.697 2.04216 1.337 1.746 2.120 1.282 1.645 1.960

Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.7. Quy luật Student

3.8. QUY LUẬT FISHER – F(n1, n2)

▪ BNN liên tục F tuân theo quy luật Fisher-Snedecor

(gọi tắt là Fisher) với hai bậc tự do n1 và n2

▪ Ký hiệu: F ~ F(n1, n2)

▪ Giá trị tới hạn mức 𝛼, kí hiệu: 𝑓𝛼(𝑛1,𝑛2)

𝑃 𝐹 𝑛1, 𝑛2 > 𝑓𝛼(𝑛1,𝑛2) = 𝛼

▪ Tính chất:

𝑓1−𝛼(𝑛1,𝑛2) =

1

𝑓𝛼(𝑛2,𝑛1)




▪ Bảng đầy đủ: phụ lục 9 giáo trình; Bảng giản lược:


n2

n1

α24 39 59 99 120

240.025 2.27 2.15 2.08 2.03 2.010.05 1.98 1.90 1.84 1.80 1.79

390.025 2.02 1.89 1.82 1.75 1.740.05 1.80 1.70 1.65 1.60 1.58

490.025 1.94 1.81 1.73 1.66 1.650.05 1.74 1.64 1.58 1.53 1.52

590.025 1.89 1.75 1.67 1.60 1.590.05 1.70 1.60 1.54 1.49 1.47

990.025 1.79 1.65 1.56 1.49 1.460.05 1.63 1.52 1.45 1.39 1.38

Chương 3. Một số quy luật thông dụng 3.8. Quy luật Fisher


▪ Quy luật Không một: A(p)

▪ Quy luật Nhị thức: B(n, p)

▪ Quy luật Chuẩn và Chuẩn hóa, cách tính xác suất

▪ Các giá trị tới hạn Chuẩn, Khi bình phương, Student,

Fisher




▪ Trang 149: 3.3, 3.4

▪ Trang 156: 3.5, 3.7, 3.11, 3.17

▪ Trang 163: 3.20, 3.22, 3.25

▪ Trang 189: 3.39, 3.40, 3.43, 3.46

▪ Trang 201: 3.51, 3.60, 3.61, 3.65, 3.68

▪ Trang 204: 3.78, 3.80, 3.84, 3.87, 3.89, 3.90, 3.93



Sử dụng Microsoft Excel


Quy luật Giá trị Hàm

X ~ B(n,p) P(X x) = BINOMDIST(x,n,p,1)

X ~ B(n,p) P(X = x) = BINOMDIST(x,n,p,0)

X ~ P(λ) P(X x) = POISSON(x, λ,1)

X ~ P(λ) P(X = x) = POISSON(x, λ,0)

X ~ N(,2) P(X x) = F(x) = NORMDIST(x,μ,σ,1)

X ~ N(,2) Hàm mật độ f(x) = NORMDIST(x,μ,σ,0)

U ~ N(0,1) Phân vị mức α = NORMINV(α,0,1)




Quy luật Giá trị Hàm

U ~ N(0,1) Tới hạn uα = – NORMINV(α,0,1)

= NORMINV((1–α),0,1)

T ~ T(n) P(T c) = 1– TDIST(c,n,2)

T ~ T(n) Tới hạn 𝑡𝛼(𝑛) = TINV(2*α,n)

χ2 ~ χ2(n) P(χ2 c) = 1 – CHIDIST(c,n)

χ2 ~ χ2(n) Tới hạn χ𝛼2(𝑛) = CHIINV(α,n)

F ~ F(n1,n2) P(F c) = 1 – FDIST(c,n1,n2)

F ~ F(n1,n2) Tới hạn 𝑓𝛼(𝑛1,𝑛2) = FINV(α,n1,n2)


Chương 4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU

▪ Biến ngẫu nhiên xét trong các chương trước là 1

chiều: chỉ có 1 đại lượng

▪ Trong thực tế phải xét nhiều chiều cùng lúc, vì một

đối tượng cần phải xét trên nhiều góc độ.

▪ Ví dụ: Đánh giá một sản phẩm trên các chiều: kích

thước, trọng lượng, giá thành, giá bán.

▪ Ví dụ: Đánh giá một phương án kinh doanh qua các

chiều: lợi nhuận, doanh thu, tốc độ tăng trưởng…


Chương 4.


▪ 4.1. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

▪ 4.2. Bảng phân phối xác suất BNN hai chiều

▪ 4.3. Bảng phân phối xác suất có điều kiện

▪ 4.7. Tham số đặc trưng


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều

4.1. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

▪ Hệ gồm n biến ngẫu nhiên đồng thời (X1, X2,…, Xn) có

giá trị có thể có là (x1, x2,…, xn)

▪ Trường hợp đơn giản nhất: hai chiều (X, Y)

▪ Nếu X và Y liên tục thì có BNN hai chiều liên tục

▪ Nếu X và Y rời rạc thì có BNN hai chiều rời rạc

▪ (X, Y) với X = {x1, x2,…, xn} và Y = {y1, y2,…, ym}

▪ Chương này chỉ xét biến hai chiều rời rạc


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.1.

4.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2 CHIỀU

▪ Ví dụ 4.1: X là số người đi làm, Y là số người phụ

thuộc trong các hộ gia đình ở một khu vực


Y X

0 1 2

1 0,05 0,05 0,1 0,2

2 0,1 0,15 0,25 0,5

3 0,05 0,1 0,15 0,3

0,2 0,3 0,5 1


Bảng phân phối xác suất hai chiều

▪ Bảng phân phối xác suất (biên) của X và Y


X 1 2 3

P 0,2 0,5 0,3

Y 0 1 2

P 0,2 0,3 0,5

Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.2. Bảng phân phối xác suất hai chiều

Bảng phân phối xác suất hai chiều

▪ Tổng quát nếu X = {x1, x2,…, xn} và Y = {y1, y2,…, ym}

▪ pij = P(X = xi , Y = yj)


YX

y1 y2 … ym P(X)

x1 p11 p12 … p1m P(x1)

x2 p21 p22 … p2m P(x2)

… … … … … …

xn pn1 pn2 … pnm P(xn)

P(Y) P(y1) P(y2) … P(ym) 1


Bảng phân phối biên – tính độc lập

▪ Bảng phân phối xác suất biên (marginal) của X và Y

▪ X và Y độc lập P(X = xi).P(Y = yi) = pij i, j

▪ Tồn tại ít nhất một cặp (xi, yj) không thỏa mãn thì X, Y không độc lập (phụ thuộc)


X x1 x2 … xn

P(X) P(x1) P(x2) … P(xn)

Y y1 y2 … ym

P(Y) P(y1) P(y2) … P(ym)


4.3. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

▪ Ví dụ 4.1 (tiếp)

▪ (a) X và Y có độc lập với nhau không?

▪ (b) Tìm phân phối xác suất của số người phụ thuộc

trong số hộ có số người đi làm là 1.

▪ Hay phân phối của Y khi X = 1, ký hiệu (Y | X = 1)


(Y | X = 1) 0 1 2

P ,

,

,

0 05

0 2

0 25

,

,

,

0 05

0 2

0 25

,

,

,

0 1

0 2

0 5


Bảng phân phối xác suất có điều kiện

▪ Bảng phân phối của (X | Y = yj):

▪ Bảng phân phối của (Y | X = xi)


(X | Y = yj) x1 x2 … xn

P P(x1 | yj ) P(x2| yj) … P(xn | yj)

(Y | X = xi) y1 y2 … ym

P P(y1 | xi ) P(y2| xi ) … P(ym | xi )

( , )( | )

( )

i ji j

j

P x yP x y

P y


4.4. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG

▪ Tham số tính cho từng thành phần:

▪ Kỳ vọng: E(X), E(Y)

▪ Phương sai: V(X), V(Y)

▪ Hiệp phương sai (covariance): Cov(X, Y)


( , ) ( ) ( )

( , ) ( ). ( )

1 1

n m

i j i ji j

Cov X Y E X E X Y E Y

x y P x y E X E Y



▪ Tính chất của hiệp phương sai

• Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

• X, Y độc lập Cov(X, Y) = 0

• Cov(X, Y) > 0 thì X, Y có “tương quan dương”

• Cov(X, Y) < 0 thì X, Y có “tương quan âm”

▪ Phương sai tổng hiệu tổng quát

• V(X Y) = V(X) + V(Y) 2Cov(X, Y)


Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều 4.4. Các tham số đặc trưng


▪ Hệ số tương quan (correlation) của X và Y: X,Y :

▪ X,Y = Y,X

▪ –1 X,Y 1

▪ X,Y > 0: tương quan cùng chiều, X,Y < 0: ngược chiều

▪ X,Y = 0: không tương quan

▪ X, Y độc lập X,Y = 0

▪ X,Y = 1: X, Y có quan hệ hàm số bậc 1 với nhau


,

( , )

.ρ

σ σX Y

X Y

Cov X Y



▪ Dựa trên bảng phân phối xác suất có điều kiện

▪ Kỳ vọng có điều kiện

• E(Y | X = xi)

• E(X | Y = yj)

▪ Phương sai có điều kiện

• V(Y | X = xi)

• V(X | Y = yj)

▪ Đây là khái niệm cơ sở cho hồi quy và Kinh tế lượng




▪ Ví dụ 4.1 (tiếp)

▪ (c) Tính kỳ vọng và phương sai của tổng số người

trong hộ gia đình theo hai cách:

• Lập bảng phân phối xác suất của X + Y

• Theo công thức phương sai của tổng

▪ (d) X và Y có tương quan với nhau không? Hệ số

tương quan bằng bao nhiêu?

▪ (e) Tìm kì vọng và phương sai của số ăn theo trong

hộ gia đình có 1 người đi làm




▪ Biến ngẫu nhiên hai chiều, nhiều chiều

▪ Bảng phân phối xác suất hai chiều

▪ Bảng phân phối xác suất biên

▪ Bảng phân phối xác suất có điều kiện

▪ Kỳ vọng, phương sai

▪ Hiệp phương sai, hệ số tương quan

▪ Kỳ vọng có điều kiện




▪ Trang 213: 4.2, 4.3

▪ Trang 229: 4.12, 4.13

▪ Trang 236: 4.16, 4.17, 4.18

▪ Trang 240: 4.23

▪ Trang 258: 4.32, 4.35, 4.37

▪ Trang 261: 4.46, 4.49, 4.64, 4.65



Chương 5. CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

▪ Tập trung Định lý giới hạn trung tâm

▪ Bất đẳng thức Trebusep (Chebyshev)

▪ Định lý Trebusep

▪ Định lý Bernoulli

▪ Định lý giới hạn trung tâm


Chương 5.

Định lý giới hạn trung tâm

▪ Xét X1, X2,…, Xn là các BNN độc lập có cùng quy luật

phân phối xác suất, kỳ vọng và phương sai hữu hạn

▪ Đặt và

▪ Thì U sẽ hội tụ về quy luật N(0, 1) khi n

▪ Trong ứng dụng, n ≥ 30 được coi là đủ lớn để áp

dụng quy luật Chuẩn (dù biến ngẫu nhiên gốc không

phân phối chuẩn)


1

n

ii

Y X( )

( )

Y E YU

V Y

Chương 5. Các định lý giới hạn

Phần hai. THỐNG KÊ TOÁN

▪ Nghiên cứu các hiện tượng có tính chất số lớn

▪ Dùng thông tin đã biết từ một mẫu để suy đoán về

toàn bộ tổng thể, dựa trên cơ sở quy luật phân phối

xác suất

▪ NỘI DUNG:

• Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu

• Chương 7. Ước lượng tham số

• Chương 8. Kiểm định giả thuyết thống kê


Chương 6. CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẪU

▪ Giới thiệu phương pháp nghiên cứu phổ biến trong

thực tế là phương pháp lấy mẫu và phân tích trên

mẫu để suy đoán về thông tin của toàn bộ tổng thể

▪ Các đại lượng tính toán trên mẫu là các con số tổng

hợp quan trọng sử dụng trong phân tích, so sánh,

đánh giá các vấn đề kinh tế-xã hội, kinh doanh

▪ Kết hợp sử dụng phần mềm chuyên dụng như Excel,

SPSS, STATA, R


Chương 6.


▪ 6.1. Khái niệm phương pháp mẫu

▪ 6.2. Tổng thể nghiên cứu

▪ 6.3. Mẫu ngẫu nhiên

▪ 6.4. Thống kê

▪ 6.5. Mẫu hai chiều

▪ 6.6. Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê

▪ 6.7. Suy diễn về mẫu


Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu

6.1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG PHÁP MẪU

▪ Nghiên cứu một vấn đề thông qua các dấu hiệu

▪ Dấu hiệu có thể định tính hoặc định lượng

▪ Nghiên cứu toàn bộ: Tổng thể, gặp nhiều khó khăn:

• Chi phí lớn, có thể không khả thi

• Sai sót khi thu thập, có thể phá hủy tập hợp

▪ Do đó nghiên cứu một số phần tử đại diện: Mẫu

▪ Đại lượng tính trong tổng thể gọi là Tham số, tính

trong mẫu gọi là Thống kê.


Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu 6.1.

Biến trong thống kê

▪ Gồm Định tính và Định lượng

▪ Biến định tính (qualitative) gồm hai loại:

• Biến định danh (nominal): tên, địa danh, màu…

• Biến thứ bậc (ordinal): xếp hạng, học vấn, đánh

giá, cỡ

▪ Biến định lượng (quantitative), có thể phân chia

thành: rời rạc và liên tục; hoặc chia thành biến

khoảng và tỉ lệ.

▪ Thường xếp 3 loại: định danh, thứ bậc, định lượng


Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu 6.1. Khái niệm phương pháp mẫu

6.2. TỔNG THỂ NGHIÊN CỨU

▪ Toàn bộ tập hợp các phần tử đồng nhất theo một

dấu hiệu nghiên cứu nào đó được gọi là tổng thể

(population)

▪ Kích thước tổng thể (population size): N

▪ Dấu hiệu lượng hóa được: X

▪ X = {x1, x2, … , xN }



Mô tả tổng thể

▪ Nếu X chỉ gồm k giá trị khác nhau: x1, x2,…, xk

▪ Số lượng tương ứng là N1, N2,…, Nk

▪ Ni gọi là tần số tổng thể của xi

▪ Đặt pi = Ni / N gọi là tần suất tổng thể


Giá trị x1 x2 … xk

Tần số N1 N2 … Nk

Tần suất p1 p2 … pk

1

0 i

k

ii

N N

N N

1

0 1

1

i

k

ii

p

p

Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu 6.2. Tổng thể nghiên cứu

Tham số đặc trưng của tổng thể

▪ Trung bình tổng thể (population mean): m

• Chứng minh được: m = E(X)

▪ Phương sai tổng thể (population variance): σ2

• Chứng minh được: σ2 = V(X)


1

1

N

ii

m xN

( )2 2

1

1σ

N

ii

x mN


Tham số đặc trưng của tổng thể

▪ Độ lệch chuẩn tổng thể: σ

▪ Tần suất tổng thể (population proportion): p

• Số phần tử chứa dấu hiệu (hay biến cố) A là MA

• Dễ thấy: p = P(A)


σ σ 2

AMp

N


6.3. MẪU NGẪU NHIÊN

▪ Nghiên cứu qua mẫu (sample)

▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp của n biến

ngẫu nhiên độc lập X1, X2, …, Xn được thành lập từ

biến ngẫu nhiên trong tổng thể và có cùng quy luật

phân phối xác suất với X.

▪ Ký hiệu: W = (X1, X2, …, Xn)

▪ E(Xi) = E(X) = m

▪ V(Xi) = V(X) = σ2 i = 1, 2,…, n



Các phương pháp lấy mẫu

▪ Lấy mẫu giản đơn (simple sampling)

▪ Lấy mẫu hệ thống (systematic sampling)

▪ Lấy mẫu chùm (quote sampling)

▪ Lấy mẫu phân tổ (cluster sampling)

▪ Lấy mẫu nhiều cấp (stratiffed sampling)


Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu 6.3. Mẫu ngẫu nhiên

Mẫu cụ thể

▪ Gồm n quan sát (n con số): w = (x1, x2,…, xn)

▪ Nếu chỉ gồm k giá trị khác nhau: x1, x2,…, xk với số

lượng tương ứng: n1, n2,…, nk

▪ ni là tần số mẫu của xi (frequency)

▪ Đặt fi = ni / n : tần suất mẫu (sample proportion)


Giá trị x1 x2 … xk

Tần số n1 n2 … nk

Tần suất f1 f2 … fk

1

k

iin n

1

1k

iif


Mô tả mẫu cụ thể

▪ Có thể liệt kê giá trị, dùng bảng tần số, tần suất

▪ Dùng đồ thị: đồ thị tròn, đồ thị cột, đồ thị phân phối

giá trị, đồ thị radar,…

▪ Nếu số liệu theo khoảng (biến ngẫu nhiên gốc được

coi là liên tục) thì lấy giá trị chính giữa làm đại diện

▪ Ví dụ:


Khối lượng (g) 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30

Số sản phẩm 2 5 8 7 3


6.4. THỐNG KÊ

▪ Một hàm G của các giá trị trong mẫu là một thống kê

(statistic)

G = G(X1, X2,…, Xn)

▪ Vì mẫu ngẫu nhiên nên G là ngẫu nhiên

▪ Mẫu cụ thể: thống kê là số cụ thể, giá trị quan sát

Gqs = g = G(x1, x2, …, xn)

▪ Thống kê trong mẫu thường tương ứng với một

tham số trong tổng thể



Trung bình mẫu ( ഥ𝐗 )

▪ Trung bình mẫu ngẫu nhiên (sample mean)

▪ ത𝑋 là biến ngẫu nhiên:

▪ Kích thước mẫu càng lớn thì phương sai của trung

bình mẫu càng nhỏ


1

1 n

ii

X Xn

( ) ; ( ) ;σ σ

σ 2

XE X m V Xn n

Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu 6.4. Thống kê

Trung bình mẫu

▪ Với mẫu cụ thể

▪ Nếu mẫu phân thành k nhóm:


1

1 n

ii

x xn

i

k

i ix xnn 1

1


Trung vị - Mốt mẫu cụ thể

▪ Trung vị (median) me là giá trị chia mẫu làm hai

phần có số phần tử bằng nhau:

• Sắp xếp các phần tử mẫu theo giá trị tăng dần

• Nếu n lẻ thì me là giá trị phần tử chính giữa, nếu n

chẵn thì me là trung bình cộng cặp giữa

▪ Mốt (mode) m0 là giá trị có tần số xảy ra nhiều nhất.

Một mẫu có thể có 1 mốt, nhiều mốt, hoặc không có

mốt.


Ví dụ 6.1

▪ Cho hai mẫu là thu nhập (triệu đồng) của các hộ gia

đình từ hai khu vực A và B. Tìm trung bình, trung vị,

mốt của hai mẫu

▪ (A) 7, 6, 9, 10, 15, 12, 8, 9, 8

▪ (A) 7, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 7, 8, 60

▪ Có nhận xét gì về việc so sánh thu nhập qua Trung

bình và qua Trung vị?



Độ lệch bình phương trung bình (MS)

▪ Tổng bình phương sai lệch (sum of squares)

▪ Độ lệch bình phương trung bình (mean of squares)

▪ Khi đó:


( )

2

1

n

ii

SS X X

( )

2

1

1 n

ii

SSMS X X

n n

( ) σ

21nE MS

n


Phương sai mẫu – Độ lệch chuẩn mẫu

▪ Phương sai mẫu (sample variance) S2

▪ Hay:

▪ Suy ra: E(S2) = 2

▪ Độ lệch chuẩn mẫu: 𝑺 = 𝑺𝟐


( )

2 2

1

1

1 1

n

ii

SSS X X

n n

2

1

nS MS

n


Phương sai mẫu – độ lệch chuẩn mẫu

▪ Với mẫu cụ thể: Phương sai s2

▪ Hoặc:

với:

▪ Độ lệch chuẩn mẫu cụ thể: : 𝒔 = 𝒔𝟐


( )

n

ii

s x xn

2 2

1

1

1

( )

2 2 2

1 1

n ns ms x x

n n

2 2

1

1 n

ii

x xn


Phương sai mẫu – độ lệch chuẩn mẫu

▪ Nếu mẫu phân thành k nhóm với tần số tương ứng

trong mỗi nhóm là ni :

▪ Hoặc:

Với


( )

ii

s x xn

2 2

1

1

1

k

in

( )

ns x x

n2 2 2

1


ii

x xn

2 2

1

1 k

in

Hệ số biến thiên

▪ Hệ số biến thiên (coefficient of variation) của mẫu:

▪ Hệ số biến thiên có thể dùng để so sánh giữa tất cả

các mẫu.

▪ Ví dụ 6.1 (tiếp): Tính phương sai, độ lệch chuẩn, hệ

số biến thiên với hai mẫu trong ví dụ 6.1 trên


%| |

s

CVx

100


Phương sai S*2

▪ Trường hợp đặc biệt: Biết trung bình tổng thể m

▪ Có thể tính phương sai S*2

▪ Khi đó E(S*2) = σ2

▪ Với mẫu cụ thể


* ( )

2 2

1

1 n

ii

S X mn

* ( ) ( )2 2 2

1 1

1 1

n

i iii

k

i

s x m x mn

nn


Tần suất mẫu

▪ Trong mẫu kích thước n có XA phần tử có dấu hiệu

(biến cố) A

▪ Tần suất mẫu:

▪ Nếu P(A) = p thì:


AXf

n

( )

( )( )

( )σ

f

E f p

p pV f

n

p p

n

1

1


Ví dụ 6.2

▪ Cho kết quả cân thử một số sản phẩm như sau:

▪ (a) Kích thước mẫu bằng bao nhiêu?

▪ (b) Tính các thống kê: trung bình, phương sai, độ

lệch chuẩn, hệ số biến thiên của mẫu

▪ (c) Tỷ lệ sản phẩm nặng hơn 26g là bao nhiêu?


Khối lượng (g) 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30



Một số thống kê khác

▪ Bốn Tứ phân vị (Quartile): Q1, Q2, Q3 chia mẫu

thành 4 phần với số lượng phần tử bằng nhau.

• Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị

• Khoảng tứ phân vị: IQR = Q3 – Q1 cũng dùng để

đánh giá độ phân tán của mẫu

▪ Hệ số bất đối xứng (Skewness): a3 hay Sk

• a3=0: đối xứng; a3 > 0: lệch phải, a3 < 0: lệch trái

▪ Hệ số nhọn (Kurtosis) a4 ; khi mẫu gần phân phối

chuẩn thì a4 3



6.5. MẪU NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU

▪ Xét hai dấu hiệu (X, Y) cùng lúc, mẫu ngẫu nhiên hai

chiều kích thước n: W = {(X1, Y1), (X2, Y2),…, (Xn, Yn)}

▪ Mẫu cụ thể: w = {(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)}

▪ Trong các phần mềm quản lý dữ liệu:


Quan sát (i) X Y

1 x1 y1

2 x2 y2

… … …

n xn yn


Thống kê của mẫu hai chiều

▪ Trung bình mẫu thành phần: ത𝑋, ത𝑌

▪ Phương sai mẫu thành phần: 𝑆𝑋2, 𝑆𝑌

2

▪ Hiệp phương sai mẫu:

▪ Hệ số tương quan mẫu:


cov( , ) ( )( )

n

i ii

X Y X X Y Yn 1

1

1

cov( , )( , )

X Y

X Yr X Y

S S

Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu 6.5. Mẫu ngẫu nhiên hai chiều

6.6. QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

▪ Sử dụng thống kê trong mẫu để phản ánh về tham

số trong tổng thể.

▪ Cần có quy luật thể hiện mối liên hệ giữa các đại

lượng này.

▪ Quy luật liên hệ này phụ thuộc vào quy luật phân

phối xác suất của chính biến ngẫu nhiên X

▪ Dấu hiệu định lượng: thường dùng biến phân phối

Chuẩn N(, σ2)

▪ Dấu hiệu định tính: dùng biến Không một A(p)



Biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn

▪ X ~ N(, σ2)

▪ Khi đó

▪ Suy ra:


~ , ;σ

μ σ μ μ σ 2

2 2X X X XX N

n

( )~ ( , )

μ

σ

0 1

X nU N

( )~ ( )χ χ

σ

22 2

2

11

n Sn

( )~ ( )

μ 1

X nT T n

S

Chương 6. Cơ sở lý thuyết mẫu 6.6. Quy luật phân phối xác suất

Hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

▪ X1 ~ N(1, σ12) ; X2 ~ N(2, σ2

2)

▪ Mẫu n1, n2 > 30


( ) ( )~ ( , )

( / ) ( / )

μ μ

σ σ

1 2 1 2

2 21 1 2 2

0 1X X

U Nn n

( ) ( )( , )

( / ) ( / )

μ μ

1 2 1 2

2 21 1 2 2

0 1X X

T NS n S n

~ ( , ) 21

1 222

1 1S

F F n nS


Biến ngẫu nhiên phân phối A(p)

▪ X ~ A(p), mẫu kích thước n 100, tần suất f

▪ X1 ~ A(p1), mẫu kích thước n1 100, tần suất f1

▪ X2 ~ A(p2), mẫu kích thước n2 100, tần suất f2


( )~ ( , )

( )

0 1

1

f p nU N

p p

( ) ( )~ ( , )

( ) ( )

f f p pU N

p p p p

n n

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

0 11 1


6.7. SUY DIỄN VỀ MẪU

▪ Khi biết các tham số và quy luật phân phối xác suất

của tổng thể, với mức xác suất (1 − 𝛼) cho trước,

suy đoán về một số thống kê của mẫu ngẫu nhiên.

▪ Suy diễn về trung bình mẫu ത𝑋 rút ra từ tổng thể

phân phối chuẩn đã biết và σ2

▪ Suy diễn về phương sai mẫu S2 rút ra từ tổng thể

phân phối chuẩn đã biết và σ2

▪ Suy diễn về tần suất mẫu f rút ra từ tổng thể phân

phối Không-một đã biết p




▪ Tổng thể và mẫu

▪ Tham số tổng thể: trung bình, phương sai, tần suất

▪ Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể (quan sát)

▪ Thống kê cơ bản: trung bình, phương sai, tần suất

▪ Thống kê khác: trung vị, mốt, độ lệch chuẩn, hệ số

nhọn, hệ số bất đối xứng

▪ Quy luật phân phối xác suất thể mối liên hệ giữa

tham số và thống kê: T, N(0,1), 2, F



Tóm tắt chương

Đại lượngTổngthể

Mẫu ngẫunhiên

Mẫu cụthể

Quy luậtliên hệ

Trung bình ത𝑋 ҧ𝑥N(0,1)

T(n – 1)

Phương saiĐộ lệch chuẩn

σ2

σS2

Ss2

s2(n – 1)

Tần sốTần suất

MA

pXA

fxA

fN(0,1)




▪ Trang 304: 6.1

▪ Trang 343: 6.12, 6.13, 6.14, 6.15, 6.20, 6.25

▪ Trang 371: 6.31, 6.34, 6.40

▪ Trang 382: 6.43, 6.47, 6.54, 6.57

▪ Trang 384: 6.59, 6.64, 6.66





Thống kê Hàm

Trung bình = AVERAGE(số liệu)

Phương sai = VAR(số liệu)

Độ lệch chuẩn = STDEV(số liệu)

Tứ phân vị thứ j = QUARTILE(số liệu, j)

Hiệp phương sai = COVAR(số liệu 1, số liệu 2)

Hệ số tương quan = CORREL(số liệu 1, số liệu 2)

Hệ số bất đối xứng = SKEW(số liệu)

Hệ số nhọn = KURT(số liệu)




Mean 25.32 Skewness -0.15631

Standard Error 0.457238 Range 8

Median 25 Minimum 21

Mode 25 Maximum 29

Standard Deviation 2.28619 Sum 633

Sample Variance 5.226667 Count 25

Kurtosis -0.57901 Conf. Level (95.0%) 0.943693

▪ Data > Data Analysis > Descriptive Statistics


Chương 7. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

▪ Tham số tổng thể (cũng là tham số của biến ngẫu

nhiên) là chưa biết

▪ Có thông tin của mẫu, ước lượng các tham số tổng

thể bằng các phương pháp

▪ Ba tham số cơ bản:

• Trung bình tổng thể

• Tỷ lệ tổng thể

• Phương sai tổng thể


Chương 7.

NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG 7

▪ 7.1. Khái niệm

▪ 7.2. Phương pháp ước lượng điểm

▪ 7.3. Phương pháp ước lượng khoảng

▪ 7.4. Ước lượng tham số

▪ 7.5. Ước lượng tham số σ2

▪ 7.6. Ước lượng tham số p


Chương 7. Ước lượng tham số

7.1. KHÁI NIỆM

▪ Trong tổng thể biến ngẫu nhiên X được đặc trưng

bởi tham số

▪ Không biết đủ thông tin tổng thể, chưa biết, cần

ước lượng tham số (parameter estimate)

▪ Sử dụng thông tin từ mẫu

▪ Mẫu ngẫu nhiên: xây dựng ước lượng ngẫu nhiên

(estimator)

▪ Mẫu cụ thể: được ước lượng cụ thể (estimate), hay

giá trị quan sát (observed value)


Chương 7. Ước lượng tham số 7.1

7.2. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

▪ Dùng một giá trị መ𝜃 ước lượng cho tham số

▪ Sử dụng mẫu W = (X1, X2, …, Xn)

▪ Lập thống kê tương ứng với , là một hàm trên mẫu

መ𝜃 = G(X1, X2, …, Xn)

▪ Gọi là hàm ước lượng của

▪ Có nhiều hàm ước lượng có thể sử dụng, cần có tiêu

chí lựa chọn “tốt nhất”


Chương 7. Ước lượng tham số 7.2

Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng

▪ Tính không chệch (unbiased)

• መ𝜃 là ước lượng không chệch của E( መ𝜃) =

• Nếu E( መ𝜃) : ước lượng chệch

▪ Tính hiệu quả (efficient)

• መ𝜃1, መ𝜃2 là ước lượng không chệch

• 𝑉( መ𝜃1) < 𝑉( መ𝜃2) thì መ𝜃1 là ước lượng hiệu quả hơn መ𝜃2

• 𝑉( መ𝜃1) là nhỏ nhất thì መ𝜃1 là ước lượng hiệu quả nhất

▪ Ước lượng không chệch hiệu quả nhất: tốt nhất


Chương 7. Ước lượng tham số 7.2. Phương pháp ước lượng điểm

Bất đẳng thức Cramer-Rao

▪ Nếu BNN X có công thức tính xác suất hoặc hàm mật

độ là f(x, ) thì với mọi መ𝜃 là ước lượng không chệch

của , luôn có:

▪ Do đó nếu መ𝜃∗ là ước lượng không chệch và có

phương sai bằng vế phải thì nó là ước lượng hiệu

quả nhất


ˆ( )ln ( , )

2

1V

f xnE

θθ

θ


Tiêu chí lựa chọn hàm ước lượng

▪ Tính vững (consistent): khi kích thước mẫu tiến đến

vô cùng thì ước lượng hội tụ đến tham số (theo

nghĩa xác suất)

▪ Tính đủ (sufficient): ước lượng sử dụng toàn bộ các

thông tin trong mẫu



Ước lượng điểm

▪ Khi X ~ N( , σ2) thì

• ത𝑋 là ước lượng không chệch, hiệu quả của

• S*2 là ước lượng không chệch, hiệu quả của σ2

• S2 là ước lượng không chệch của σ2

• MS là ước lượng chệch của σ2

▪ Khi X ~ A(p) thì f là ước lượng không chệch, hiệu

quả của p.



Ví dụ 7.1

▪ Trung bình tổng thể là m, phương sai là 2

▪ Với mẫu kích thước n = 3, trong các thống kê sau,

đâu là ước lượng không chệch, hiệu quả cho m:


;

;

G X X X G X X X

G X X X G X X X

1 1 2 3 2 1 2 3

3 1 2 3 4 1 2 3

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 3 6

1 1 1 1 1 1

2 4 4 3 3 3


Ước lượng hợp lý tối đa

▪ Mẫu W = (X1, X2, …, Xn), tại giá trị cụ thể (x1, x2, …, xn)

▪ Hàm hợp lý:

L(x1, x2, …, xn, ) = f(x1, ). f(x2, )… f(xn, )

▪ L gọi là hàm hợp lý (likelihood function) của

▪ Giá trị መ𝜃 làm L đạt max gọi là ước lượng hợp lý tối

đa của (maximum likelihood estimator: MLE)

▪ Nếu hàm L không dễ tìm cực đại thì tính thông qua

hàm logarit của L (maximum log-likelihood)



Ví dụ 7.2

▪ (a) Xác suất sinh viên đi làm ngoài giờ p = 0,4. Trong

các mẫu sau, mẫu nào hợp lý nhất, giá trị 1 ứng với

có đi làm và 0 nếu ngược lại:

w1 = (1, 0, 0, 1, 1) w2 = (1, 0, 1, 1, 1)

w3 = (0, 1, 0, 0, 1) w4 = (1, 0, 1, 0, 0)

▪ (b) Có mẫu (0, 1, 1, 0, 1) rút từ biến A(p). Trong các

giá trị ước lượng cho p sau, giá trị nào hợp lý nhất?

Ƹ𝑝1 = 0,4 Ƹ𝑝2 = 0,5

Ƹ𝑝3 = 0,6 Ƹ𝑝4 = 0,7



Ước lượng hợp lý tối đa

▪ Khi X ~ N(, σ2) thì

• ത𝑋 là ước lượng hợp lý tối đa của

• Biết thì S*2 là ước lượng hợp lý tối đa của σ2

• Không biết và thay bởi ത𝑋 thì MS là ước lượng

hợp lý tối đa của σ2

▪ Khi X ~ A(p) thì f là ước lượng hợp lý tối đa của p.



7.3. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

▪ Còn gọi là ước lượng bằng khoảng tin cậy

▪ Với mẫu ngẫu nhiên, tìm khoảng ngẫu nhiên để khả

năng khoảng đó chứa bằng một mức cho trước

P(G1 < < G2) = 1 –

▪ Mức xác suất (1 – ) là độ tin cậy (confidence level)

▪ (G1, G2) là khoảng tin cậy (confidence interval)

▪ I = G2 – G1 là độ dài khoảng tin cậy


Chương 7. Ước lượng tham số 7.3.

Xây dựng khoảng tin cậy

▪ Xét thống kê G liên kết giữa tham số và thống kê

trong mẫu, G có quy luật phân phối xác suất xác

định

▪ Với độ tin cậy (1 − 𝛼),

▪ Hai giá trị 𝛼1 và 𝛼2 sao cho: 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼

▪ Hai giá trị tới hạn: 𝑔𝛼1và 𝑔𝛼2

▪ 𝑃 𝑔1−𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 = 1 − 𝛼

▪ Biến đổi sẽ thu được khoảng 𝐺1, 𝐺2


Chương 7. Ước lượng tham số 7.3. Phương pháp ước lượng khoảng

7.4. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

▪ Hay ước lượng trung bình tổng thể phân phối chuẩn

▪ X ~ N(, σ2)

▪ Ước lượng khoảng cho với độ tin cậy (1 − 𝛼)

▪ Mẫu W = (X1, X2, …, Xn)

▪ Chia hai trường hợp:

• Khi σ là đã biết dùng thống kê U

• Khi σ là chưa biết Sử dụng S để thay, và dùng

thống kê T



Ước lượng khi biết σ

▪ Do với α1 + α2 = α

▪ Có 3 khoảng tin cậy thông dụng tương ứng với:

• (1) 𝛼1 = 𝛼, 𝛼2 = 0

• (2) 𝛼1 = 0, 𝛼2 = 𝛼

• (3) 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼/2


~ ( , )/

μ

σ

0 1

XN

n

/α α

μα

σ

1 21 1

XP u u

n

α α

σ σμ α

P X u X u

n n2 11

Chương 7. Ước lượng tham số 7.4. Ước lượng tham số µ


▪ Khoảng tin cậy tối đa (phía trái: left-tail)

▪ Khoảng tin cậy tối thiểu (phía phải: right-tail)

▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng: two-tail)


α

σμ X u

n

α

σμ X u

n

/ /α α

σ σμ 2 2X u X u

n n



▪ Khoảng tin cậy đối xứng có dạng: ത𝑋 ± 𝜀 hay ത𝑋 ±𝑀𝐸

▪ 𝜀 là sai số biên (ME: marginal error): 𝜀 = 𝑢𝛼/2𝜎/ 𝑛

▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑢𝛼/2𝜎/ 𝑛

▪ Xác định kích thước mẫu khi có yêu cầu về sai số

hoặc độ dài khoảng tin cậy:


/

/

α

α

σε ε

ε

σ

un

uI I n

I

2 22

0 0 20

2 22

0 0 20

4


Ước lượng khi không biết σ

▪ Khoảng tin cậy tối đa

▪ Khoảng tin cậy tối thiểu

▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng)


( )1n SX t

nαμ

( )1n SX t

nα μ

( ) ( )/ /

1 12 2

n nS SX t X t

n nα αμ


Ước lượng khi không biết σ

▪ Khoảng tin cậy đối xứng: ത𝑋 ± 𝜀 hay : ത𝑋 ±𝑀𝐸

▪ Với 𝜀 = 𝑀𝐸 = 𝑡𝛼/2(𝑛−1)

𝑆/ 𝑛

▪ Độ dài khoảng tin cậy: I = 2𝜀 = 2𝑡𝛼/2(𝑛−1)

𝑆/ 𝑛

▪ Khi có yêu cầu về sai số hoặc độ dài khoảng tin cậy


( )/

( )/

( )

( )

α

α

ε εε

n

n

S tn

S tI I n

I

2 1 22

0 0 20

2 1 22

0 0 20

4


Ví dụ 7.3

▪ Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm khối lượng trung bình

là 25,32g và phương sai là 5,28g2 (từ ví dụ 6.1). Giả

sử khối lượng phân phối chuẩn. Với độ tin cậy 95%

▪ (a) Ước lượng khối lượng trung bình của tất cả các

sản phẩm bằng khoảng tin cậy tối đa

▪ (b) Tìm khoảng tin cậy đối xứng cho khối lượng

trung bình

▪ (c) Muốn sai số trong câu (b) còn không quá 0,5g thì

cần cân thử thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm?



7.5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ p

▪ Ước lượng tần suất tổng thể, ước lượng xác suất

▪ Tổng thể có dấu hiệu A (biến cố A), biến X = 1 khi A

xảy ra, X = 0 khi A không xảy ra, hay X ~ A(p)

▪ Ước lượng p cũng là ước lượng xác suất A xảy ra

▪ Trong mẫu kích thước n

▪ n ≥ 100 đủ lớn thì thay p trong căn bởi f


( ) ( )2 1 1 2

1 11

p p p pP f u p f u

n nα α α α


Ước lượng tham số p

▪ Với độ tin cậy (1 – α), khoảng tin cậy tối đa


▪ Khoảng tin cậy hai phía (đối xứng)


( )1f fp f u

nα

( )1f ff u p

nα

/ /

( ) ( )2 2

1 1f f f ff u p f u

n nα α

Chương 7. Ước lượng tham số 7.5. Ước lượng tham số p

Ước lượng tham số p

▪ Khoảng tin cậy đối xứng: f ME hay f

𝑀𝐸 = 𝜀 = 𝑢𝛼/2 𝑓(1 − 𝑓)/ 𝑛

▪ Độ dài khoảng tin cậy:

𝐼 = 2𝑀𝐸 = 2𝜀 = 2𝑢𝛼/2 𝑓(1 − 𝑓)/ 𝑛

▪ Suy ra:


/

/

( )

( )

α

α

ε εε

f f un

f f uI I n

I

22

0 0 20

22

0 0 20

1

4 1


Ví dụ 7.4

▪ Quan sát ngẫu nhiên 400 người vào cửa hàng thì có

144 người mua hàng. Với độ tin cậy 95%:

▪ (a) Ước lượng tỉ lệ khách mua hàng bằng khoảng tin

cậy đối xứng

▪ (b) Muốn độ dài khoảng tin cậy trong câu giảm

xuống còn một nửa thì cần quan sát tối thiểu bao

nhiêu người?

▪ (c) Nếu trong một ngày có 5000 người vào cửa hàng

thì có tối đa bao nhiêu người mua hàng?



7.6. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ σ2

▪ Ước lượng phương sai tổng thể phân phối chuẩn

▪ X ~ N(, σ2)

▪ Sử dụng quy luật Khi bình phương


( ) ( )( )1 2

22 1 2 11 2

11n nn S

P α αχ χ ασ

( ) ( )

( ) ( )

2 1

2 22

2 1 2 11

1 11

n n

n S n SP

α α

σ αχ χ


Ước lượng tham số σ2

▪ Khoảng tin cậy tối đa


▪ Khoảng tin cậy hai phía


( )

( ) 22

2 11

1n

n S

α

σχ

( )

( ) 22

2 1

1n

n S

α

σχ

( ) ( )/ /

( ) ( )2 22

2 1 2 12 1 2

1 1n n

n S n S

α α

σχ χ


Ví dụ 7.5


là 25,32g và phương sai là 5,28g2. Giả sử khối lượng

của sản phẩm phân phối chuẩn.

▪ Với độ tin cậy 95%

▪ (a) Độ dao động của khối lượng đo bởi phương sai

tối đa là bao nhiêu?

▪ (b) Tìm khoảng tin cậy cho độ lệch chuẩn của khối

lượng sản phẩm




▪ Ước lượng điểm và khoảng

▪ Tiêu chí ước lượng điểm: không chệch, hiệu quả

▪ Ước lượng hợp lý tối đa

▪ Ước lượng bằng khoảng tin cậy cho ba tham số:

trung bình, phương sai, tần suất

▪ Ba loại khoảng tin cậy: tối đa, tối thiểu, hai phía (đối

xứng)

▪ Xác định kích thước mẫu




▪ Trang 397: 7.4, 7.9, 7.10, 7.11

▪ Trang 402: 7.12

▪ Trang 417: 7.18, 7.20, 7.25, 7.27,

▪ Trang 437: 7.39, 7.44, 7.45

▪ Trang 445: 7.52, 7.53,

▪ Trang 458: 7.71, 7.72, 7.73, 7.74, 7.77, 7.79, 7.80,

7.83, 7.91





Mean 25.32

Standard Error 0.457238

Standard Deviation 2.28619

Sample Variance 5.226667

Count 25

Confidence Level (95.0%) 0.943693



Chương 8. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT

▪ Kiểm định tính Đúng / Sai của một mệnh đề về

thống kê

▪ Có kiểm định tham số và phi tham số

▪ Kiểm định tham số gồm ba tham số quan trọng:

Trung bình, tần suất, phương sai; với hai trường

hợp: 1 tham số và 2 tham số

▪ Kiểm định phi tham số gồm kiểm định tính phân

phối chuẩn và kiểm định tính độc lập của hai dấu

hiệu định tính


Chương 8.


▪ 8.1. Khái niệm cơ bản

▪ 8.2. Kiểm định tham số

▪ 8.3. Kiểm định hai tham số 1 và 2

▪ 8.4. Kiểm định tham số p

▪ 8.5. Kiểm định hai tham số p1 và p2

▪ 8.6. Kiểm định tham số σ2

▪ 8.7. Kiểm định hai tham số 𝜎12 và 𝜎2

2

▪ 8.8. Kiểm định phi tham số


Chương 8. Kiểm định giả thuyết

8.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

▪ Kiểm định tính Đúng / Sai của một mệnh đề về tham

số tổng thể: kiểm định tham số

▪ Ví dụ: Mệnh đề cần kiểm định:

• Thu nhập trung bình của người lao động là trên

2000 USD/năm

• Độ dao động của giá vàng trên thị trường tư

nhân trong năm qua là chưa đến 30 USD

• Tỷ lệ khách quay lại mua hàng lần hai là 50%


Chương 8. Kiểm định giả thuyết 8.1

Cặp giả thuyết

▪ Tham số chưa biết, kiểm định so sánh với giá trị 0

được đưa về 3 cặp giả thuyết

▪ Nếu 0 là con số: kiểm định 1 tham số

▪ Nếu 0 là tham số chưa biết: kiểm định 2 tham số


: : :( ) ( ) ( )

: : :

0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0

1 2 3H H H

H H H

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

Chương 8. Kiểm định giả thuyết 8.1. Khái niệm cơ bản

Tiêu chuẩn kiểm định – Miền bác bỏ

▪ Với mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, …, Xn)

▪ Tiêu chuẩn kiểm định G tính trên mẫu

▪ Xác định một miền W sao cho nếu H0 đúng thì xác

suất G thuộc miền đó là một mức đủ nhỏ

▪ P(G W | H0 đúng) =

▪ W gọi là miền bác bỏ (reject area)

▪ Mức gọi là mức ý nghĩa (significant level)

▪ Phân định W bởi giá trị tới hạn (critical value)



Quy tắc kiểm định

▪ Cặp giả thuyết cụ thể

▪ Mẫu cụ thể

▪ Tiêu chuẩn G là con số cụ thể: Gqs

▪ Mức ý nghĩa cho trước, tìm được miền bác bỏ W

▪ Nếu Gqs W : kết luận bác bỏ H0 (reject H0), H0 là

sai, H1 là đúng

▪ Nếu Gqs W : chưa (có cơ sở) bác bỏ H0 (not

reject H0), H0 là đúng, H1 là sai



Các loại sai lầm

▪ Sai lầm loại 1: bác bỏ một điều đúng (type 1 error)

▪ Sai lầm loại 2: chấp nhận một điều sai (type 2 error)


H0 đúng H0 sai

Bác bỏ H0

Sai lầm loại 1Xác suất =

Không sai lầmXác suất = 1 –

Chưa bác bỏ H0

Không sai lầmXác suất = 1 –

Sai lầm loại 2Xác suất =


Giá trị xác suất (P-value)

▪ Tiêu chuẩn G: với cho trước thì nhỏ nhất

▪ P-value là mức xác suất sao cho:

• Nếu P-value < thì bác bỏ H0

• Nếu P-value > thì chưa bác bỏ H0

▪ P-value là “mức xác suất thấp nhất để bác bỏ H0”

▪ P-value được tính qua các phần mềm chuyên dụng



8.2. KIỂM ĐỊNH THAM SỐ

▪ Tổng thể phân phối chuẩn X ~ N( , σ2)

▪ Tham số chưa biết, kiểm định so sánh với số 0

▪ Ba cặp giả thuyết

▪ Xét hai trường hợp:

• Phương sai tổng thể σ2 đã biết (lý thuyết)

• Phương sai tổng thể σ2 chưa biết (thực tế)


: : :( ) ( ) ( )

: : :

0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0

1 2 3H H H

H H H

μ μ μ μ μ μ

μ μ μ μ μ μ

Chương 8. Kiểm định giả thuyết 8.2.

Kiểm định khi biết σ2

▪ Tiêu chuẩn chung

▪ Với cặp giả thuyết

▪ Nếu H0 đúng:

▪ Miền bác bỏ:


:( )

:

0 0

1 0

1H

H

μ μ

μ μ

( )0X nU

μ

σ

( )~ ( , )0 1

X nU N

μ

σ

( )P U uα α

:W U U uα α

Chương 8. Kiểm định giả thuyết 8.2. Kiểm định tham số µ

Kiểm định khi biết σ2

▪ Tiêu chuẩn chung

▪ thì :

▪ thì :

▪ Tính so sánh và kết luận


:( )

:

0 0

1 0

2H

H

μ μ

μ μ

( )0X nU

μ

σ

:W U U uα α

:( )

:

0 0

1 0

3H

H

μ μ

μ μ/

/

:[ 2

2

U uW U

U uα

α

α

/: :| | 2hay W U U uα α

( )0qs

x nU

μ

σ


P-value

▪ Với cặp giả thuyết cho trước, mẫu cụ thể

▪ Giá trị quan sát: Uqs

▪ P-value của các cặp giả thuyết tính như sau:


:

( ):

0 0

1 0

1 qs

Hp P U U

H

μ μ

μ μ

:( ) ( )

:

0 0

1 0

2 qs

Hp P U U

H

μ μ

μ μ

:

( ) | |:

0 0

1 0

3 2 qs

Hp P U U

H

μ μ

μ μ


Ví dụ 8.1

▪ Biết kích thước sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân

phối chuẩn với phương sai là 36mm2.

▪ Đo ngẫu nhiên 50 sản phẩm thấy trung bình mẫu là

122mm. Với mức ý nghĩa 5%

▪ (a) Kiểm định giả thuyết kích thước trung bình là

trên 120mm

▪ (b)* Tìm P-value của cặp giả thuyết trong câu (a)

▪ (c) Kiểm định giả thuyết kích thước trung bình chưa

đến 123mm



Kiểm định khi chưa biết σ2


X ~ N( , σ2)Tiêu chuẩn

Cặpgiả thuyết

Miền bác bỏW

𝑇 =𝑋 − 𝜇0 𝑛

𝑆

H0: = 0

H1: > 0

𝑇: 𝑇 > 𝑡𝛼(𝑛−1)

H0: = 0

H1: < 0

𝑇: 𝑇 < −𝑡𝛼(𝑛−1)

H0: = 0

H1: 0

𝑇: |𝑇| > 𝑡𝛼/2(𝑛−1)


Ví dụ 8.2


là 25,32g và phương sai là 5,28g2. Giả sử khối lượng

phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5%

▪ (a) Kiểm định giả thuyết trung bình tổng thể lớn

hơn 24g

▪ (b) Có thể nói khối lượng trung bình là chưa đến

26g hay không? Nếu mức ý nghĩa là 10% thì sao?

▪ (c) Nhận xét ý kiến cho rằng khối lượng trung bình

là khác 26,5g



8.3. KIỂM ĐỊNH HAI THAM SỐ 1 VÀ 2

▪ Hai tổng thể phân phối chuẩn: 𝑋1~𝑁 𝜇1, 𝜎1

2 ; 𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎22)

▪ Các tham số đều chưa biết

▪ Với X1, lấy mẫu W1, kích thước n1, có ത𝑋1 và 𝑆12

▪ Với X2, lấy mẫu W2, kích thước n2, có ത𝑋2 và 𝑆22

▪ Với mức ý nghĩa , kiểm định so sánh 1 và 2

▪ Hai trường hợp:

• Giả sử 𝜎12 ≠ 𝜎2

2

• Giả sử 𝜎12 = 𝜎2

2 : tự đọc trong giáo trình



Kiểm định 1 và 2


𝑋1~𝑁 𝜇1, 𝜎12

𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎22)

Cặpgiả thuyết

Miền bác bỏW

𝑇 =ത𝑋1 − ത𝑋2

𝑆12

𝑛1+𝑆22

𝑛2

n1, n2 > 30

H0: 1 = 2

H1: 1 > 2

𝑇: 𝑇 > 𝑢𝛼

H0: 1 = 2

H1: 1 < 2

𝑇: 𝑇 < −𝑢𝛼

H0: 1 = 2

H1: 1 2

𝑇: |𝑇| > 𝑢𝛼/2

Chương 8. Kiểm định giả thuyết 8.3. Kiểm định tham số µ1 và µ2

Ví dụ 8.3

▪ Khảo sát ngẫu nhiên 40 khách hàng nam và 40

khách hàng nữ thấy khách nam chi trung bình là

230 nghìn và độ lệch chuẩn là 50 nghìn; khách nữ

chi trung bình là 205 nghìn và độ lệch chuẩn là 60

nghìn. Giả sử chi tiêu phân phối chuẩn.

▪ Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết mức chi

trung bình của nam nhiều hơn nữ


Chương 8. Kiểm định giả thuyết 8.3. Kiểm định tham số µ1 và µ2

8.4. KIỂM ĐỊNH THAM SỐ p


X ~ A(p)n ≥ 100

Cặpgiả thuyết

Miền bác bỏW

𝑈 =𝑓 − 𝑝0 𝑛

𝑝0(1 − 𝑝0)

H0: 𝑝 = 𝑝0H1: 𝑝 > 𝑝0

𝑈:𝑈 > 𝑢𝛼

H0: 𝑝 = 𝑝0H1: 𝑝 < 𝑝0

𝑈:𝑈 < −𝑢𝛼

H0: 𝑝 = 𝑝0H1: 𝑝 ≠ 𝑝0

𝑈: |𝑈| > 𝑢𝛼/2


8.5. KIỂM ĐỊNH HAI THAM SỐ p1 và p2


X1 ~ A(p1); X2 ~ A(p2)n1 , n2 ≥ 100

Cặpgiả thuyết

Miền bác bỏW

𝑈 =𝑓1 − 𝑓2

ҧ𝑓(1 − ҧ𝑓)1𝑛1

+1𝑛2

ҧ𝑓 =𝑛1𝑓1 + 𝑛2𝑓2𝑛1 + 𝑛2

H0: 𝑝1 = 𝑝2H1: 𝑝1 > 𝑝2

𝑈:𝑈 > 𝑢𝛼

H0: 𝑝1 = 𝑝2H1: 𝑝1 < 𝑝2

𝑈:𝑈 < −𝑢𝛼

H0: 𝑝1 = 𝑝2H1: 𝑝1 ≠ 𝑝2

𝑈: |𝑈| > 𝑢𝛼/2


Ví dụ 8.4

▪ Trong số 400 người vào cửa hàng thì có 224 nữ và

176 nam.

▪ Trong 224 nữ có 108 người mua hàng; trong 176

nam có 94 người mua hàng.

▪ Với mức ý nghĩa 5%:

▪ (a) Có thể nói nữ chiếm trên một nửa số người vào

cửa hàng hay không?

▪ (b) Có thể cho rằng tỷ lệ mua hàng của nữ là ít hơn

của nam hay không?



8.6. KIỂM ĐỊNH THAM SỐ σ2


X ~ N( , σ2)Tiêu chuẩn

Cặpgiả thuyết

Miền bác bỏW

2 =𝑛 − 1 𝑆2

𝜎02

H0: 𝜎2 = 𝜎02

H1: 𝜎2 > 𝜎02 2: 2 > 𝛼

2(𝑛−1)

H0: 𝜎2 = 𝜎02

H1: 𝜎2 < 𝜎02 2: 2 < 1−𝛼

2(𝑛−1)

H0: 𝜎2 = 𝜎02

H1: 𝜎2 ≠ 𝜎02 2: [

2 > 𝛼/22(𝑛−1)

2 < 1−𝛼/22(𝑛−1)


8.7. KIỂM ĐỊNH HAI THAM SỐ 𝝈𝟏𝟐 và 𝝈𝟐

𝟐


𝑋1~𝑁 𝜇1, 𝜎12

𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎22)

Cặpgiả thuyết

Miền bác bỏW

𝐹 =𝑆12

𝑆22

𝑓1−𝛼(𝑛1−1,𝑛2−1)

=1

𝑓𝛼(𝑛2−1,𝑛1−1)

H0: 𝜎12 = 𝜎2

2

H1: 𝜎12 > 𝜎2

2 𝐹: 𝐹 > 𝑓𝛼(𝑛1−1,𝑛2−1)

H0: 𝜎12 = 𝜎2

2

H1: 𝜎12 < 𝜎2

2 𝐹: 𝐹 < 𝑓1−𝛼(𝑛1−1,𝑛2−1)

H0: 𝜎12 = 𝜎2

2

H1: 𝜎12 ≠ 𝜎2

2 𝐹: [𝐹 > 𝑓𝛼/2

(𝑛1−1,𝑛2−1)

𝐹 < 𝑓1−𝛼/2(𝑛1−1,𝑛2−1)


Kiểm định hai tham số 𝝈𝟏𝟐 và 𝝈𝟐

𝟐


𝑋1~𝑁 𝜇1, 𝜎12

𝑋2~𝑁(𝜇2, 𝜎22)

Cặpgiả thuyết

Miền bác bỏW

𝑺𝟏𝟐 > 𝑺𝟐

𝟐

𝐹 =𝑆12

𝑆22

H0: 𝜎12 = 𝜎2

2

H1: 𝜎12 > 𝜎2

2 𝐹: 𝐹 > 𝑓𝛼(𝑛1−1,𝑛2−1)

H0: 𝜎12 = 𝜎2

2

H1: 𝜎12 ≠ 𝜎2

2 𝐹: 𝐹 > 𝑓𝛼/2(𝑛1−1,𝑛2−1)

▪ Giả thuyết 𝜎12 < 𝜎2

2 hoán vị thành 𝜎22 > 𝜎1

2

▪ Chỉ xét với 𝑆12 > 𝑆2

2 thì bảng quyết định:


Ví dụ 8.5

▪ Tiêu chuẩn cho độ dao động của khối lượng một loại

quả đóng hộp là không được vượt quá 5g.

▪ Kiểm tra ngẫu nhiên 50 quả thu hoạch tại vườn A

thấy phương sai mẫu là 30g2. Kiểm tra ngẫu nhiên

60 quả thu hoạch tại vườn B thấy phương sai mẫu là

18g2. Với mức ý nghĩa 5%

▪ (a) Mức dao động của quả ở vườn A có quá 5g?

▪ (b) Quả vườn B có đồng đều hơn ở vườn A không?



Ví dụ 8.6

▪ Cho kết quả sau về thu nhập người lao động, giả sửThu nhập phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 5%

▪ (a) Độ dao động của thu nhập nam và nữ có nhưnhau hay không?

▪ (b) Thu nhập trung bình của nam có cao hơn nữ?

▪ (c) Tỷ lệ làm 2 việc của nam và nữ có như nhau?


Số người Tr. bình Ph. sai Số làm 2 việc

Nam 100 240 325 34

Nữ 100 230 207 22




t-Test: Unequal VariancesMale Female

Mean 240 230Variance 325 207Observations 100 100Mean Difference 0df 193t Stat 4.336P(T<=t) one-tail 0.000t Critical one-tail 1.653P(T<=t) two-tail 0.000t Critical two-tail 1.972

F-Test for VariancesMale Female

Mean 240 230Variance 325 207Observations 100 100df 99 99F 1.570P(F<=f) one-tail 0.013F Critical one-tail 1.394


8.8. KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ

▪ Không kiểm định về tham số của biến ngẫu nhiên

▪ Có nhiều kiểm định phi tham số, về các quy luật của

biến ngẫu nhiên

▪ Giới thiệu hai kiểm định:

• (1) Kiểm định tính phân phối chuẩn

• (2) Tính độc lập của hai dấu hiệu định tính



Kiểm định tính phân phối Chuẩn

H0: Biến X phân phối chuẩn

H1: Biến X không phân phối chuẩn

▪ Hệ số bất đối xứng:

▪ Hệ số nhọn:

▪ Tiêu chuẩn:

▪ Miền bác bỏ:


( ) /31

3 3

nii

X X na

S

( ) /41

4 4

nii

X X na

S( )2 2

3 4 3

6 24

a aJB n

( ):α αχ W JB JB 2 2

Chương 8. Kiểm định giả thuyết 8.8. Kiểm định phi tham số

Ví dụ 8.7

▪ Với số liệu sau:

▪ Tính được: ҧ𝑥 = 25,32 và s = 2,286

▪ σ𝑖=125 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)3= −38,56 ; σ𝑖=1

25 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)4= 568,63

▪ Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định giả thuyết khối

lượng sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối

chuẩn.


Khối lượng (g) 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30



Ví dụ 5.7 (Excel)


Mean 25.32

Standard Error 0.457238

Standard Deviation 2.28619

Sample Variance 5.226667

Kurtosis (a4 – 3) -0.57901

Skewness (a3) -0.15631

Count 25

Conf. Level (95.0%) 0.943693

▪ P-value của kiểm định

tính phân phối chuẩn

thuộc khoảng nào?

• A. 0% - 2,5%

• B. 2,5% - 5%

• C. 5% - 95%

• D. 95% - 100%



Kiểm định tính độc lập của hai dấu hiệu

▪ Hai dấu hiệu định tính A và B và bảng tiếp liên

• A gồm h phạm trù: A1, A2,…, Ah

• B gồm k phạm trù: B1, B2,…, Bk


B1 B2 … Bk

A1 n11 n12 … n1k n1

A2 n21 n22 … n2k n2

… … … … …

Ah nh1 nh2 … nhk nh

m1 m2 … mk n


Kiểm định tính độc lập của hai dấu hiệu

▪ Kiểm định giả thuyết

• H0: A và B độc lập

• H1: A và B không độc lập

▪ Tiêu chuẩn

▪ Miền bác bỏ: 2: 2 > 𝛼2((ℎ−1)×(𝑘−1))


22

1 1

1h k

ij

i j i j

nn

n mχ


Ví dụ 8.8

▪ Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định tính độc lập giới

tính và loại tốt nghiệp của các cử nhân


LoạiTN

Giới

Trungbình

Khá Giỏi ∑

Nữ 90 150 40

Nam 100 100 20

∑



▪ Trang 487: 8.2, 8.6, 8.10,

▪ Trang 508: 8.16, 8.18, 8.20

▪ Trang 518: 8.29, 8.34,

▪ Trang 523: 8.38, 8.41

▪ Trang 526: 8.44, 8. 47

▪ Trang 530: 8.49, 8.51, 8.52

▪ Trang 542: 8.62, 8.65, 8.70,8.74, 8.76, 8.77, 8.79 8.81, 8.83

▪ Trang 555: 9.1, 9.2, 9.5



TỔNG KẾT HỌC PHẦN

▪ Chương 1: Các cách tính xác suất, xác suất tích,

tổng, đầy đủ, Bayes

▪ Chương 2: Biến ngẫu nhiên, bảng xác suất và hàm

mật độ, các tham số kì vọng, phương sai

▪ Chương 3: Quy luật A(p), B(n, p), N(µ, 2) và các

ứng dụng trong kinh tế

▪ Chương 4: Bảng xác suất hai chiều, các tham số, hệ

số tương quan



▪ Chương 6: Khái niệm mẫu, các thống kê đặc trưng

mẫu: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn,…

▪ Chương 7: Ước lượng điểm không chệch, hiệu quả;

ước lượng khoảng của ba tham số trung bình,

phương sai, tần suất

▪ Chương 8: Kiểm định giả thuyết về ba tham số

trung bình, phương sai, tần suất; một tổng thể và

hai tổng thể; kiểm định phi tham số



▪ Thi hết học phần:

▪ Được sử dụng máy tính bấm tay (calculator)

▪ Đề thi có sẵn bảng số và công thức cơ bản

▪ Cấu trúc:

• Lý thuyết xác suất: 4 - 5 điểm

• Thống kê toán: 5 - 6 điểm

• Có 2 – 3 điểm phần tự đọc, có phần sử dụng kết

quả tính từ Excel


CHÚC CÁC BẠN HỌC TẬP TỐT

VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO


Documents

Bài giảng LÝ THUYẾT X SUẤT V THỐNG KÊ TON