Upload
lee-tjtj
View
7
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Biến đổi Fourier
Citation preview
Chương 3: Chuỗi Fourier và ph ép biếnđổi Fourier liên tục
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
4-1
Tín hiệu mũ
� Tín hiệu mũ và tín hiệu sin là lớp những tín hiệu đặc biệt quantrọng, chúng tạo thành cơ sở cho những tín hiệu khác.
� Tín hiệu mũ phức có dạng tổng quát
trong đó C và a là những số phức
�Tín hiệu mũ thực (khi C và a là những số thực)
Tăng theo hàm mũ Giảm theo hàm mũ
0
0
>>
C
a
0
0
><
C
a
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-2
Tín hiệu sin
� Tín hiệu sin phức (khi a là số thuần ảo)
� Khi C là số phức có dạng
( ) ( )φωφω
φω
+++== +
tCjtC
eCtx tj
00
)(
sincos
)( 0
� Khi C là số thực
tjCtCtx00
sincos)( ωω += Công thức Euler
12sin2cos20 =±== ± πππω jee jTj
� Tín hiệu sin phức là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ
( ) )()( 0000 txCeeCeCeTtx tjTjtjTtj ====+ + ωωωωvì0
2ωπ=T
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-3
Tín hiệu sin
� Tín hiệu sin thực
)cos()(0
φω += tCtx
trong đó C là số thực, có thể đượcbiểu diễn theo tín hiệu sin phức
{ }
( ))()(
)(
00
0
2
Re)(
φωφω
φω
+−+
+
+=
=
tjtj
tj
eeC
Cetx
Tương tự
{ }
( ))()(
)(
0
00
0
2
Im)sin(
φωφω
φωφω+−+
+
−=
=+
tjtj
tj
eeC
CetC
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-4
Tín hiệu mũ phức
� Khi C và a là những số phức
=)(tx
)(tx
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-5
Hàm mũst
� Hàm mũ e
− trong đó s là tần số phức ωσ js +=
� Do đó
� và
Công thức Euler
� So sánh với công thức Euler
là một tổng quát hóa của hàm trong đó biến tần số
được tổng quát hóa thành biến phức
� Nếu (liên hợp phức) thì
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-6
� Các trường hợp đặc biệt
Hàm mũ
Hằng số
Hàm mũ đơn điệu
Hàm sin
Hàm sin thay đổi theo hàm mũ
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-7
Chương 3: Chuỗi Fourier và ph ép biếnđổi Fourier
3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức
3.2 Chuỗi Fourier liên tục
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
• Ý tưởng xuất phát:Tính chất xếp chồng của hệ LTI
• Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
• Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)
• Điều kiện Dirichlet
• Các tính chất chuỗi Fourier (liên tục)
4-8
Ý tưởng xuất ph át: Tính xếp chồng của hệ LTI
Các hàm mũ phức là cáchàm riêng của bất kỳ hệ
LTI nào
giá trị riêng hàm riêng
đúng với tất cả
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-9
Chuỗi Fourier cho tín hi ệu tuần ho àn
( ) ( )x t x t T= + với mọi t
– T nhỏ nhất đgl chu kỳ
Ví dụ: 0( ) cos( )x t A tω θ= + A thực0( ) j tx t Ae ω= A phức 0
2
Tπ
ω=
0( ) jk tkx t Ae ω= k nguyên
0
2 kT
k
πω
=
Xét 0 ( ) j tk
k
x t a e ω∞
=−∞= ∑ Chuỗi Fourier
– tuần hoàn với chu kỳ T – { }ka là các hệ số chuỗi Fourier
– k = 0 thành phần một chiều (DC)
– k = ±1 thành phần cơ bản
– k = ±2 hài thứ hai, …
Chu kỳ cơ bản
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-10
Ví dụ 1: Tín hi ệu sin th ực
0( ) sinx t tω= có thể viết thành 0 01
( ) ( )2
j t j tx t e ej
ω ω−= −
Do đó các hệ số của chuỗi Fourier của nó là
1 11 1
, , 0 12 2 ka a a k
j j−= = − = ≠ ±
� Đồ thị biên độ và góc pha
�
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-11
Ví dụ 2: Tổng các hàm sin th ực
� Xét chuỗi các hàm sin có tần số cơ bản là ω0
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-12
Ví dụ 3: Đáp ứng của hệ LTI
� Hệ LTI có đáp ứng xung
( ) ( ), 0th t e u tαα α−= >
với tín hiệu vào
0
0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
jkk
k
jk
y t a H jk e
H jk h e d
ω
ω τ
ω
ω τ τ
∞
=−∞∞
−
−∞
=
=
∑
∫
0 0 0( ) ( )0
0 000 0
( ) .jk jk jkH jk e e d e ejk jk
ω τ α ω τ α ω τατ α αω α τ αα ω α ω
∞ ∞ ∞− − + − +−= = = − =
+ +∫ ∫
� Ta có
� Tín hiệu ra
0
2
2
( ) ,jk tk
k
y t c e ω
=−= ∑
trong đó
0( )k kc a H jkω=
0
1 10 0
2 20 0
1,
1 1( ) ( )2 2,
2 2( ) ( )4 4, 2 2
c
j jc c
j j
j jc c
j j
α α α αα ω α ω
α α α αα ω α ω
−
−
=
− += =
+ +
+ −= =
+ +
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-13
Chuỗi Fourier cho tín hi ệu thực
� Với tín hiệu thực, ta luôn có k ka a∗− =
do đó có thể viết
( ) ( )0 0 0 00 0
1 1
( ) jk t jk t jk t jk tk k k k
k k
x t a a e a e a a e a eω ω ω ω∞ ∞
− −∗−
= == + + = + +∑ ∑
(Để chứng minh, tìm liên hợp phức của x(t), ký hiệu là x*(t), với chú ý rằng x(t)=x*(t))
kjk ka A e θ= 0 0
1
( ) 2 cos( ) k kk
x t a A k tω θ∞
== + +∑
k k ka B jC= + 0 0 01
( ) 2 ( cos sin )k kk
x t a B k t C k tω ω∞
== + −∑
� Một số cách biểu diễn khác
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-14
Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực� Ví dụ
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-15
Xác định các hệ số chuỗi Fourier
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
1) nhân với
2) tích phân trong chu kỳ
Ở đây chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ)
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-16
⇓
(Phương trìnhtổng hợp)
(Phương trìnhphân tích)
Cặp chuỗi Fourier liên tục
⇓Tiếp tục …
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-17
Ví dụ 1: Tín hi ệu sin th ực
� Các hệ số chuỗi Fourier được xác định như sau
0
0 0
0
(1 ) ( 1 )
1(sin )
1 1
2 2
jk tk T
j k t j k t
T T
a t eT
e dt e dtjT jT
ω
ω ω
ω
− − −
=
= −
∫
∫ ∫
� Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1
Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1
Do đó ta có
1 11 1
, , 0 12 2 ka a a k
j j−= = − = ≠ ±
0 ( ) sin x t tω=
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-18
Ví dụ 2: Sóng vuông tuần ho àn
Với k = 0
Với k ≠ 0
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-19
Một số chuỗi Furier có ích
0 0
00
1 ( ) , ( ) jk t jk t
k k Tk
x t C e C x t e dtT
ω ω∞
−
=−∞= =∑ ∫
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-20
Một số chuỗi Furier có ích
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-21
Điều kiện Dirichlet
Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối trong một chu kỳ
Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gianhữu hạn, x(t) có hữu hạncác cực đại và cực tiểu
Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãnđiều kiện 2
Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gianhữu hạn, x(t) có hữu hạncác điểm không liên tục
Ví dụ. Ví dụ không thỏa mãnđiều kiện 3
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-22
Các tính chất của chuỗi Fourier
� Dịch thời gian
� Nhân
� F.S. của dãy xung
� Quan hệ Parseval
� Đáp ứng ở chế độ xác lập của các hệ LTI với các tín hiệu tuần hoàn
− Hàm truyền
− Các hệ số chuỗi Fourier đầu ra của hệ LTI
là
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-23
Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 4-24