Baitap Thetich KhoiDaDien KhoiCau KhoiTru KhoiNon

http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến

PHẦN 1THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. LÝ THUYẾT

1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)

2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện

a) Thể tích khối hộp chữ nhậtV = abc với a, b, c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhậtb) Thể tích của khối chóp

V= 3

1 Sđáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp

c) Thể tích của khối lăng trụV= Sđáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP


DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:+Áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính được+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để được 1 khối đa diện có thể tính thể

tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính được thể tích.

*Các bài tập

1)Về thể tích của khối chóp

+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và

áp dụng công thức :V= 3

1 Sđáy . h

Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60o

b) AB = a, SA = lc) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ỏ

GIẢI:a) Gọi O là tâm ∆ABC đều

⇒ SO ⊥(ABC)

SABC =2

1 a2

3a =4

32a

∆ABC có SA = SB; ABC = 60o

⇒ SA = AB = SB = aC

S

A

B

Oa

SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:

SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (3

2 a2

3 )2 = 22

2

3

2

3a

aa

⇒ SO = a3

2

Vậy VSABC = S∆ABC . SO = 31 .

432a . a 3

2 .3

2 2al b) Tương tự câu a đáp số:


VSABC = 31

.4

32a.

32 2al

c) Gọi O là tâm ∆ABCGọi A’ là trung điểm BCDễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = ỏTam giác vuông SOA có:

SO2 = l2 - OA2 = l2 - 94

AA’2

Tam giác vuông SOA’ có: sin'.sin 3

1'

31 AASO

AASO (2)

Từ (1) (2) ta có:

2

942

91 sin'.sin' lAAAA

O

B

A'

A C

a

AA’2(sin2 ỏ + 4) = 9l2

4sin

32

'

lAA

S∆ABC = )4(sin233

4sin3

3

4sin

321

21

2

2

22..'.

lllBCAA

4sin

sin.

4sin

331

22sin..

llSO

⇒VSABC = 31

S∆ABC . SO = 4sin).4(sin

sin33

22

2

.

l

Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC

theo a?GIẢI.

-Gọi H là trung điểm BC

⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)

-Ta có S∆ABC = 3. 221

21 aACAB

-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AHTam giác vuông A’HA có:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - 41

.(a2 + 3a2)

hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a 3

B CH

2a

a a 3

C'

A'


⇒VA’ABC = 31

S∆ABC .A’H = 22

21

31 2

3.3. aaa

Bài 3. Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a. ∆ABC vuông cân cóAB = BC =a. B’ là trung điểm SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC

a) tính VSABC

b) Chứng minh rằng AB ⊥ (AB’C’). Tính VSAB’C’

GIẢIa)S∆ABC = 2

21

21 . aBCBA ; SA =a

⇒ VSABC = 31

S∆ABC .SA = 61

a3

a

CA

a

a

B'

C'

B

b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân tại A ⇒ AB’ ⊥ SBB’S = B’B

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’

BC⊥ SA

⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)

AC’ ⊥ SC Cách 1

2

221

21 2' aaSBAB

Vì AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = aACSA 322

3

2

' aSCSASC

B’C’2 = SB’2 - SC’2 = 66 ''2 aa CB

⇒S∆AB’C’ = 346221

21 2

..'''. aaaCBAB

⇒V∆AB’C’ = 3632431 32

.. aaa Cách 2


3' '1 12 33

a

S B S CS B S C a

3' ' 33' ' ' 1 1 1

' ' '6 6 6 3 63S A B C

S A B C

aV S A S B S C a

S A B CV S A S B S C aV a

Bài 4 Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = ỏ; (SB, (SAD)) = õ. Tính VSABC.

GIẢIDễ thấy (SB, (ABC)) = ỏ = SBA(SB, (SAD)) = õ = BSD

∆ABC cân ⇒ AD ⊥ BCDB = DC

∆SAB có cos ỏ = SBAB

(1)

BC ⊥ AD

BC ⊥ SA (vì SA⊥ (ABC)

⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥SD

a

B

A C

D

S

Tam giác vuông SB có sinõ = SBBD

(2)

Từ (1) (2) ⇒ sinsincos

22 aABBDAB ⇒ sincos

22

2

2 aABAB

⇒ AB2(sin2 õ – cos2 ỏ) = -a2cos2 ỏ ⇒ AB =

cos2

sincos1

22 a

S∆SAB =BD.AD = 22

2 2 2 2

sin sincoscos cos cos sin cos sin

. .Sin aaAD AB

SA = AB. tan ỏ =

22 sincos

sin

a

⇒ VSABC = 31

SA.S∆ABC =

22 sincos

sin31

a

22

2

sincos

sin

a=

22

3

sincos3

cossin

a

Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC.

GIẢI


Gọi I là giao điểm của AC và BD

Ta có BD ⊥ AC (vì ABCD là hình vuông)

(Ax, Cy) ⊥ (ABCD)

⇒ BD ⊥ (AMNC)

⇒ BI ⊥ (AMNC)

BI = 22

2aBD

x

n

A

D Cm

B

M

N

Diện tích hình thang AMNC là S = 22)(

2)( . anmCNAM AC

VAMNC = )(... 622

22)(

31

31 2

nmBIS aaanmAMNC

*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao trên đáy.

Ta có một số nhận xét sau:

-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.

-Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ song song hoặc nằm trờn với đường thẳng đó.

-Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.

*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.

Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = ỏ, các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc ỏ. Tính VSABC

GIẢI


A

S

C B

Ha

- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

- Ta có: ∆ABC = sin..21 ACAB

mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos ỏ = 2AB2(1-cos ỏ) = a2 ⇒ AB = 2cos1 a

⇒ S∆ABC = 24cos1sin

2212

21 cossin

22 aaAB

HA = R = sin2sin2aBC

Tan giác vuông có tan ỏ = AHSH⇒ SH = cos2sin2 tan aa

⇒VSABC =

cos24

cot

cos22431

31 2

32

.cot..aaa

ABC SHS

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đường chéo = 60o. các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45o. Tính VSABCD

GIẢI

A B

C

O

D

-Hạ SO ⊥ (ABCD)


- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. ⇒ O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD- Đặt AC = BD =x.

Ta có ShcnABCD = 21

AC.BD.sin60o = 3. 243

232

21 xx ⇒ x=3

- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC vuông cân

tại S ⇒ SO = 121 AC ⇒ VSABCD = 3

331 1.3

Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o.a) Chứng minh rằng ∆ABC vuôngb) Tính VSABC

GIẢIa)

H

B

A

S

C

a

oASB

SBSA

60⇒ AB = a

-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2

-∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- 21

) =3a2

-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2⇒∆ABC vuông tại B

b) Hạ SH ⊥ (ABC)Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ H là trung điểm AC

∆ABC vuông tại B

Tam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = 24

2 aa SH

BH = 23

2aAC

(Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đều ⇒ SH = 22aSA )

⇒VSABC = 12261

21

31

31 23

.2..... aaABC aaSHBCABSHS


Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 .

Tính thể tích khối chóp SABCD.

Đáp số: VSABCD = 46

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a,

BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD

GIẢI

2a3a

CD

HK

- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H là tâm đường tròn nội tiếp đáy- Gọi K là hình chiếu của H lên AD

- Ta có HK = aAD 2

- Tam giác vuông SHK có HK = a

SK = 32 23 aa (vì ∆SAD đều)

⇒SH = 23 22 aaa Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a

⇒SABCD = 222.5

2).( 5aaaADCDAB

⇒VSABCD = 352

31

31 23

2.5. aABCD aaSHS

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3 , (SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN

GIẢI


S

H

15a

8aA D

CB

S

A D

C

H

B

M

N

∆SAB hạ SH b AB ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)(SAB) b (ABCD)

S∆CDN = S∆MDA = 41

S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 21

S⋄ABCD = 21

2a.2a = 2a2

∆SAB có AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông tại S

⇒ 222222 34

311111

aaaSBSASH ⇒ SH = 2

3a

⇒VSBMDN = 31

S⋄BMDN.SH = 23

232

31 3

.2 aaa

Bài 12: SABCD có ⋄ABCD là hình thang với AB = BC = CD = 21

AD. ∆SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a.

Tính VSABCD

GIẢI

-Trong ∆SBD kẻ SH b BDVì (SBD) b (ABCD)⇒SH b (ABCD)

-Tam giác vuông SBD có 222111

SDSHSH

hay 222 2251

6411

aaSH

hay aaSH 17120

28914400 .

-Vì hình thang có AB = BC = CD = 21

AD ⇒ DA ˆˆ = 60o, B = C = 120o

-∆SBD có BD2 = SB2 +SD2 =289a2⇒ BD = 17a

∆CBD có BD2 =2BC2(1+ 21

) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = a3

17

S∆BCD = 123289

232

3289

212

21 2

..120sin ao aBC


S

A D

C

K

B

H

S⋄ABCD = 3S∆BCD = 123289 2a

⇒VSABCD = 31

S⋄ABCD.SH = 17120

123289

31 .

2 aa= 170 3 a3

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng (ABCD). ∆SAB có SA = a, ASB = 2 ỏ và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc ỏ. Tính thể tích khối chóp SABCD

GIẢI

Trong ∆SCD hạ SH CDVì ∆SCD cân tại S

⇒ H là trung điểm CD.SH CD(SCD) (ABCD

⇒ SH (ABCD)Gọi K là trung điểm AB Ta có HK ABAB SH (vì SH (ABD))⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB cân tại S

Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = ỏ∆SAB có SK = acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosỏ = acos2 ỏKH = SKsinỏ = asinỏcosỏ. SABCD =AB.BC = 2asinỏ.asinỏcosỏ

= 2a2sin2ỏcosỏ ⇒VSABCD = 2332

.31 sinaS ABCDSH ỏ

Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60o, BC = a, SA = a 3 , M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC

GIẢI

H

CA

B

a

M

Cách 1. SA b (ABC)Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒MH b (ABC)


Vì M trung điểm SB H- trung điểm

MH= 23

21 aSA

S∆ABC = 3.60tan.. 221

21

21 aaaBCAB o

VMABC = 4232

21

31

31 3

.3.. aaABC aMHS

Cách 2.

21 SB

SMVV

ASABC

MABC

VMABC = SABCV21

mà VSABC = 31 SA.S∆ABC = 63.3 3

212

21

31 aaa

⇒VMABC = 3

41 a

Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD),

AB = a, SA = a 2 . H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.

GIẢI

A

C

O

H

K a

a

NFE

B

D

a 2

S

y

x

AH SB (gt) (1)BC AB (vì ABCD là hình vuông)BC SA (vì SA (ABCD))

⇒BC (SAB) BC AH (2)Từ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3)Chứng minh tương tự ta có: SC AK (4)Từ (3) (4) ⇒ SC (AKH)

Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AFKéo dài AF cắt SC tại N

Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE (AHK)


Vì OA = OC; OE//CN OE = 21

CN

Tam giác vuông SAD có 222111

ADASAK ⇒ AK = 3

2

3

.2.222

aa

aa

ADAS

ADAS

Dễ thấy AH = 32a

∆AKH cân tại A

Dễ thấy ∆SBD có BDKH

SDSK mà SK = 2 2 2 2 22

3 32 aSA AK a a

SD = a 3

⇒ SOSF

aa

BDKH 3

233

2

HK = 32 BD = 23

2 a

OF = 31 SO ⇒ 2

1SFOF

∆SAC có : OA = OC

⇒2

1

SF

OF

SN

OE ⇒OE =2

1 SN = 2

1 a

S∆AHK =2

1 KH.4

22 HK

AK = 9

22 2a

⇒ V = AHK.3

1SOE

27

22 3a

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau:Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:

A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a 2 ) , O(2

a ,2

a , 0)

∆SKA � ∆ SAD ⇒SD

SA

SA

SK ⇒ SK=

3

2a

⇒K(0, 2

3a , 2

3

a )

∆ABS có SHSBAS .2 ⇒ SH=3

2a

⇒H( 2

3a ,0, 2

3

a )

Ta có )3

2,0,

3

2(

aaAH

)3

2,

3

2,0(

aaAK

,0)2

,2

(aa

AO

[ AKAH , ] =(9

4,

9

22,

9

22 222 aaa )


a

K

O

C

DA a 2

aN

I

B

⇒ VOAHK=6

1 |[ AKAH , ]. AO |= 3

27

2a

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.

GIẢI

SA (ABCD)Gọi {O} = AC ∩ BDTrong ∆SAC có ON // SA

⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB)Ta có NO = 22

1 aSA Tính S∆AIB = ?

ABD só I là trọng tâm

⇒S∆ABI = 32

S∆ABO = 41

32 . S⋄ABCD = 3

2a.a 2 = 6

22a

⇒ SANIB = 31 NO.S∆AIB = 36

26

223

1 32

.. aaa

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(SAD) (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD.

Tính thể tích hình chóp CMNPGIẢI

A

C

N

aD

P

B

M

FE

S

y

x

z

- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD(SAD) (ABCD)

⇒SE (ABCD)- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB


Ta có MF = 21 SE = 4

32

321 . aa

S∆CNP = 2

81

81

41 aSS ABCDCBD

VCMNP = 21 S∆NCP.MF = 96

34

3281

31 3

. aaa Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .

0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ESBài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB

GIẢI

B

A

A'O'

O

HD

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên A’D.Ta có BH A’D BH A’A ⇒ BH (AOO’A’) ⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’

SAOO’ =2

2a , A’B = 3'22 aAAAB

∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a

∆O’BD đều ⇒ BH=2

3a⇒VBAOO’

= .3

1BH SAOO’ = 12

32a

Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;

SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. Điểm M thuộc cạnh SA, AM = 33a .

(BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMNGIẢI


S

AD

CB

NM

H

Ta có SAB=600

∆SAB vuông tại A có AM = 3

3a , AB = a ⇒ ABM = 300

Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMNta có SH=SB sin 300 = a

BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ AD

MN

SA

SM ⇒MN =

3

4. a

SA

SMAD

⇒SBCMN =33

10).(

2

1 2aBMBCMN

⇒VSBCMN = .3

1SH SBCMN = 27

310 3a

Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM

GIẢI

A D

SH

M N


Ta có BC//AD ,BC= AD2

1 ,MN//AD , MN= AD2

1⇒BC = MN , BC// MN (1)

BC ⊥AB

BC ⊥SA

⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật

Kẻ SH ⊥BM thỡ SH⊥ (BCNM)

⇒VSBCNM=3

1 SBCNM.SH=3

1 BC.NM.SH=3

3a

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

Hướng dẫn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = 1223a

+Có thể dùng cả phương pháp toạ độ

Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. a.Tính thể tích tứ diện theo x.b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACDc. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

GIẢI

a.

H

C

B

C

D

Cách 1:


Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB

S∆ABC = xxxABCC x .4.4'. 241

421

21 2

HC = R∆ABC = 2

4

2

222 4

1

1.4cossin4sin2 x

xxC

x

xxCC

⇒Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 2

2

2 43

411

xx

x

⇒ HD = 2

2

43

xx

⇒VABCD =

2

2

2 231 1 13 3 4 124

. . 4 . . 3x xABC x

S HD x x x

Cách 2:

B

A

D

M

C'

Gọi M là trung điểm CD ⇒ CD ABM

Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 23

VABCD = 2VCBMA = 2. 31 CM.S∆ABC = ABMS.2

132

S∆ABM = 21

MC’.AB = 24

22

223

21 3)()(. xx xx

VABCD = xxxx .33 21212

431

b)

SACD=4

3⇒ d(B,(ACD))=

ACD

ABCD

S

V3= xx .3

3

1 2

c)

VABCD =2 22 31 1 1

12 12 2 83 . . x xx x

Dấu “=” xảy ra ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = 23 và thể tích lớn nhất là

8

1

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất.

GIẢI


C

A

S

MD

B

H

Ta có BM SH (gt)BM SA (Vì SA ( ABCD)

⇒BM AH

SABM = 2

1 SABCD =2

1 a2

Mà SABM =2

1 AH.BM ⇒ AH=22

22

xa

a

BM

a

∆SAH vuông ở A có SH=22

2222

xa

ahAHSA

∆BAH vuông ở H có BH=2222

4222

xa

ax

xa

aaAHAB

SABH =2

1 AH.BH =2

122

3

xa

xa

VSABH =22

3

.6

1.

3

1

xa

xhaSAS ABH

ha

ax

xha 23

12

1

26

1

Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D. Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng Hạ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHCb)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện

SAKI.Đáp số

a)Vmax= 12

3a b)VSAKI = )sin1(24

2sin2

3

a


CÓ THỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NHỜ VIỆC CHIA THÀNHCÁC KHỐI NHỎ HOẶC BỔ SUNG THÊM

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c

Tính thể tích ABCDGIẢI

H

C

P

Q

R

B

+Dựng ∆PQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm PQ, QR, PR.

+S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB = 41

S∆PQR

⇒ S∆BCD = 41

S∆PQR

AD = BC = PRD là trung điểm PR⇒AR APTương tự AP b AQ, AQ b AR

VAPQR = 41

S∆PQRAR

Bài 26: VABCD = 6

1 AD.BC.MN.Sin ỏ. Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài của

đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, ỏ =(AD, BC)Hướng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp tứ diện này.

Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng ỏ. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC

GIẢI


CA

B

S

E

F

a

-Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C-Gọi E là trung điểm AB ⇒ AB b SE

AB b CE⇒AB b (SCE)

⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 31 S∆SEC.(AE+BE) = 3

1 S∆SEC.ABTính S∆SEC = ?

∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g))Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF b SC∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB (g.c.g))

FS = FC

⇒FBC = 3

Tam giác vuông EBC có CE = tan2

Tam giác vuông FBC có BC = 22 EBCE 2cos cos 2cos( )

a

aEB

Sin 2

= BCFC⇒ FC = BC sin 2

= 2cos2 sin.

a

Tam giác vuông EFC có

EF2 = EC2 - FC2 = 222

cos1

4cos4

sin24 sin(sintan 2

2

22

222

aaa

S∆SEC = 21

EF.SC = EF.FC = 2cos2222

cos2 sin..sinsin

aa

= 222

2cos2sinsin.sin.2

2

a

VSABC = 222

2cos123 sinsin.sin.2

a


MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ THỂ GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ VỚI VIỆC CHỌN HỆ TOẠ ĐỘ DỄ DÀNG

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD tại O SO (ABCD), SA = 2 2 . Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN

GIẢI

Cách 1:

B

O

C

DA

S

M

N

Ta có AB // CD (gt)(ABM) (SCD) = MN⇒MN // CD ⇒ N là trung điểm SD

VSABCD = 21

SABCD.SO = 21

AC.BD.SO = 2822.2.421

21 SD

SNVV

SABD

SABN⇒ VSABN = 2

1SSABD = 2

2821 . = 2 2

41

21

21 .. SD

SNSCSM

VV

SBCD

SBMN⇒ VSBMN = 4

1SSBCD = 2

2841 . = 2

⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3 2

Cách 2: Sử dụng phương pháp toạ độ


O

S

A

CD

NM

B

z

xy

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OSDễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; 2 )

Do (ABM) ∩ (SCD) = MNAB // CD

⇒MN//CD⇒N là trung điểm SD

⇒N(0; - 21 ; 2 )

SA = (2; 0; -2 2 ); SM = (-1; 0; - 2 ); SB = (0; 1; -2 2 ); SN = (0; - 21

; - 2 )

[ SA , SM ] = (0; 4 2 ; 0)

VSABM = 61

[ SA , SM ].SB = 322

VSAMN = 61

[ SA , SM ].SN = 32

VSABMN = VSABM + VSAMN = 2

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= ca)Tính thể tích A’C’BDb)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD.

GIẢI


C

B'

D' C'

A'

A

D

B x

y

a

b

c

M

a) Cách 1:Thể tích của khối hộp ABCDA’B’C’D’ là V = abc

VC’CDB = 6

1

6

1

2

1.

3

1'.

3

1 abcabcSCC BCD V

Tương tự ta có: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ = 6

1 V

⇒VA’C’DB = V - 4. 6

1 V = 3

1 V= 3

1 abc

Cách 2: dùng phương pháp toạ độChọn hệ toạ độ Axyz như hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)DB = (a; -b; 0); 'DC = (a; 0; c); 'DA = (0; -b;c); [ DB , 'DC ] = (-bc; -ac; ab)

VA’C’DB = 6

1 |[ DB , 'DC ]. 'DA | = 3

1 abc

b) Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c)

M là trung điểm CC’ nên M(a;b;2

c )

)0;;( baBD , )2

;;0(c

bBM , );0;(' caBA

[ BMBD, ]= );2

;2

( abacbc

VBDA’M = 6

1 |[ BD , BM ]. 'BA | = 4

1

2

3

6

1abc abc

2) Về thể tích khối lăng trụTa thường áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính

hoặc bổ sung thêm


Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’.

GIẢI

B

A

C

C'B'

A'

Oa

Gọi O là tâm ABC⇒ OA = OB = OCA’A = A’B = A’C (gt)⇒A’O⊥ (ABC)(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600

A’O ⊥OA (vì A’O⊥ (ABC) Trong tam giác vuông A’OA có OA’ = OA tan 600 = a

Vì ∆ABC đều cạnh a nên S∆ABC = 4

3 2a⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =

4

33a

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o. (BC’,(AA’C’C)) = 30o. Tính thể tích của khối lăng trụ

GIẢI

C

C'A'

A

B

B'

b

b'

Dễ thấy AB (ACC’A’) nên (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300

∆ABC vuông tại A có C =600, AC=b nên BC=2b và AB= 3 b.


vì AB (ACC’A’) nên AB b AC’

∆ABC’ vuông tại A có AC’ = bAB

330tan 0

∆ACC’ vuông tại C có (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2

⇒CC’ = 2 2 b =AA’. S∆ABC = 21

CA.CBsin6oo = 23 2b

⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = 6 b3


DẠNG 2 : TỈ SỐ THỂ TÍCH

A/. Phương pháp: Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể tích là V1

và V2. Để tính k = 2

1

VV

ta có thể:

-Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức ⇒ k-Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc

V1) ⇒ kTa có các kết quả sau:

+Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng.

+Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy.

+ ''.'...

''' SCSBSASCSBSA

VV

CBSA

SABC

CA

B

B'

C'A'

(chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện))B. Các bài tậpBài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

GIẢI

C

B

O

A

S

D

M

B'

I

D'


-Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM⇒ I ∈ (P) BD ⊂ (SBD) BD // (P)

⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD

92

32

32

21

21'' ......'' SO

SISOSI

SDSD

CSBSB

SCSM

VV

SCBD

DSMB

(vì I là trọng tâm ∆SAC)

92

32

32''' ..1..'' SD

SDSBSB

SASA

VV

SCBD

DSMB

mà VSABD = VSCBD = 2

1 VSABCD

21

31

32

94

92

''

''''

21

''

21

'' MBABCDD

MDSAB

SABCD

MDSABDSABDSMB

VV

VV

V

V

V

V

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông, SA (ABCD). (SC, (SAB)) = ỏ. Mắp phẳng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

GIẢI

Kí hiệu K1 = VSMAQN

V2 = V - V1

Gọi O = AC ∩ BD∆SAC kẻ AN SCE = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P)vì (P) SCmà BD SC BD AC BD SA BD (SAC) BD ⊂ (SAC)

S

D

C

O

B

A

N

M

Q

E

⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BDCB AB (gt)CB SA (vì SA (ABCD))⇒CB (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = ỏV1 = 2VSANQ, V = 2VSACB

SBSQ

SCSN

V

V

VV

SACB

SANQ .1

Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = SC

SA2


Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ ⇒ SQ = SB

SA2

2. )(.

2

2

2

2

21

SCSBSA

SBSA

SCSA

VV

BC AB (gt)BC SA (vì SA (ABCD))⇒BC SB

Tam giác vuông SBC: cos ỏ = SC

SB⇒ SC =

cos

SB

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanỏ

2sin1)sin(cos)( 22

.

)tan1(

cos

21

SASB

SBVV

2sin2sin1

)2sin11()2sin1(

1

11

VV

VVV

VV

Bài 3: SABCD là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h. Mặt phẳng qua AB (SDC) chia chóp làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a. M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’. Tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương.

GIẢI

D

AB

Q

M

C'

B'

D'

A'

P

E

C

Gợi ý:Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có:

V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)

Để ý: ED’ = a, FC =3

a , PD’ =3

2a , CQ = 4

a


Tính được V1 = 144

55 3a

V2 = V- V1 = a3 -144

55 3a = 144

89 3a

89

55

2

1 V

V

Bài 5: Cho tứ diện SABC lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho2

1

MA

SM , 2NB

SN . Mặt

phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.GIẢI

A'

C

A

BE

MN

F

Dễ thấy thiết diện là hình thang MNEF (với MF // NE)Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE

92

32

31 .. CB

CECACF

VVSCEF

31. SA

SMSASE

SESM

VV

SFEA

SFME

94.. CB

CECAFA

SS

SS

SS

VV

ABC

CEA

CEA

FEA

ABC

FEASFEA

⇒ VVVSFME

274

94

31 .

92. SB

SNSASM

VV

SABE

SMNE

31.. CB

CECEEB

SS

SS

SS

VV

ABC

CEA

CEA

ABE

ABC

ABESABE

⇒VSABE = 272

V ⇒ V1 = 92

V + 274

V + 272

V = 94

V 54

2

1 VV

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra.

GIẢI


B'

C'

C

B

A

A' E

M

N

A'

I

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFIGọi V1, V2 tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta cóV1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF

V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI

So sánh từng phần tương ứng ta có V1 = V2 2

1

VV

= 1

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a. {O} = AC BD, ox (ABCD). Lấy S Ox, S O. Mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.


DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤTĐẲNG THỨC,KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG

DỰA VÀO THỂ TÍCH.Bài 1: SABC có SA = 3a, SA (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o

Tính D(A,(SBC)).GIẢI

B

A

S

C

M

3a

2a

S∆ABC = 21

AB.BC.sin120o = 43.2.2 aa

= a3 3

SSABC = 31

S∆ABC .SA= 333.2 aa

= a3 3

Kẻ SM BCBC SA (vì SA (ABC))

⇒BC AM ⇒ AM = a 3

∆SAM vuông tại A có SM = 2 3 aS∆SBC = SM.BC = 2 3 a2

d(A, (SBC)) = 23

32

3332

3

a

aSV

SBC

SABCa

Bài 2: SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 , SA (ABC), SA =2a. `Tính d(A, (SBC))

GIẢI


B

A

S

C

Ma 3

2a

S∆ABC = 21 oaa 60sin.3.3 = 4

3323

23 22 aa

VSABC = 31

SA.S∆ABC = 23 3a . Gọi M là trung điểm BC

AM BCBC SA ⇒BC SM

AM = 23

23.3 aa

∆SAM vuông tại A có SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 + 49 a2 = 4

25 a2⇒ SM = 25 a

S∆SBC = 21 SM.BC = 2

35a2

d(A, (SBC)) = 53

.

..332

235

323

a

a

SV

SBC

SABCa

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = 5. Tính d(A, (BCD)) ?

GIẢI

CA

B

D

4

53

M

5


Dễ thấy ∆ABC vuông tại A .S∆ABC = 21

AB.AC = 6. VDABC = 31

S∆ABC.DA = 8

∆DAC có DC = 4 2 . ∆DAB có DB = 5∆DBC có BC = BD = 5 ⇒ ∆DBC cân tại B, gọi M là trung điểm DC ⇒BM DC

BM = 17825 . S∆DBC = 21

BM.DC = 21

. 17 .4 2 = 2 34

d(A, (DBC)) = 34123

DBC

DABC

SV

a

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c. Tính d(A, (BCD))

GIẢI

A

N

B

C

D

M

a

∆ACD = ∆BCD. Gọi M là trung điểm CD ⇒AM = BM, DC (ABM)Gọi N là trung điểm AB ⇒MN AB

MN2 = BM2 - BN2 = c2 + 44

44

22222 abcab

S∆AMN = 222

424

2 4.222

abcaabca

VABCD = 2 VBCMA = 2. 31 CM.S(∆ABM) = 222

12222

4232 44.. abcabc abab

V∆BCD = BM.CD = 42

21 2bc .b = 4

b 224 bc

d(A, (BCD)) = 22

222

224

2224

44

4.

43

bcabc

bc

abc

SV a

b

ab

BCD

ABCB

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1.a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo xb)Tính d(A, (BCD))

Tương tự bài 4

Đáp số: VABCD = 6

2x


d(A, (BCD)) = x 224

24

4

x

xx

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120o. Gọi m là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh rằng MB MA1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

GIẢI

B

A

C

2a

y

x

z

M

C1

A1

B1

Đưa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc như hình vẽ: gốc toạ độ A1. trục A1Z hướng theo AA1

Trục A1y hướng theo 11CA Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong MP (A1B1C1).

Toạ độ các điểm:

A1(0 ; 0; 0), B1( )0;; 223 aa , C1(0; 2a; 0)

A(0 ; 0; 2a 5 ), B( )52a;; 223 aa , C(0; 2a; 2a 5 )

M(0; 2a; a 5 )

BM ( ;; 25

23 aa -a 5 )

MA1 (0; 2a; a 5 ), AB ( ;; 223 aa 0)

MABM 1. = 0+5a2 - 5a2 = 0 (BM MA1 )

Thể tích khối chóp AA1BM bằng V = 61

| AB [ MABM 1, ]|

MABM 1. = 52a -a 5 3

2

a -a 5 3

2

a 5

2a

2a a 5 ; 0 a 5 ; 0 2a


= 3;; 22

152

59 22

aaa

⇒VAA1BM = 315

215

2259

23

61 222

0.. aaaaa

S∆BMA1 = 61

. MABM 1. = 3a2 3 ⇒ Khoảng cách từ A tới (BMA1) bằng

h = 353 a

SV

Bài 7: Cho tứ diện OABC. Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua M // với OA, OB. OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A1, B1, C1.

Chứng minh rằng: 1111 OCMC

OBMB

OAMA

GIẢI

H

B

CA

O

K

A1

M

Nối M với các đỉnh O,A,B,C. Khi đóVOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA

1= OABC

MOCA

OABC

MOBC

OABC

MOAB

VV

VV

VV

Xét OABC

MOAB

VV

Kẻ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK

∆OAH ∾ A1MK ⇒ MKAH

MAOA

1

OAMA

AHMK

VV

OABC

MOBC 1

Tương tự ta có OCMC

VV

OABC

MOAB 1

OBMB

VV

OABC

MOCA 1

Vậy 1111 OCMC

OBMB

OAMA


S

A B

CD

C1D1

A1

B1

M

H K A1

A

B

C

D

Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1.

Chứng minh rằng 11

1

1

1

1

1

1

1 DDMD

CCMC

BBMB

AAMA

GIẢI

Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có:V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC

1= VV

VV

VV

VV MABCMABDMACDMBCD

Xét VVMBCD

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒MK//AH ⇒1

1

AAMA

AHMK

1

1

AAMA

AHMK

VVMBCD

Tương tự: 1

1

BBMB

VVMACD ;

1

1

CCMC

VVMABD ;

1

1

DDMD

VVMABC

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1,

B1, C1 sao cho 321 SA

SA; 2

11 SBSB

; 311 SC

SC

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng 521 SD

SD

GIẢI

Ta có VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = 2V

91111111 .. SC

SCSBSB

SASA

VSABC

V CBSA

(1)

SDSD

SCSC

SDSD

SASA

VSADC

V CDSA 1111111 ... 92 (2)

Cộng vế với vế (1) và (2) ta được

SDSD

V

V DCBSA 1

21

1111 .92

91

Tương tự: SDSD

SDSD

SBSB

SASA

VSABD

V DBSA 1111111 ... 31 (4)

SDSD

SDSD

SCSC

SBSB

VSBCD

V DCSB 1111111 ... 61 (5)

Cộng vế với vế (4) và (5) ta được

SDSD

V

V DCBSA 1

21

1111 .21

Từ (3) và (6) ta có SDSD

SDSD 11 .. 9

291

21 ⇒ 5

21 SDSD


PHẦN 2THỂ TÍCH KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN

A. LÝ THUYẾT1.Định nghĩa:

-Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44)-Thể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50)-Thể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56)

2.Các công thức:

a)Thể tích khối cầu V = 3

34 R , R: bán kính mặt cầu

b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)Thể tích khối nón V = 31 Sđáy.h , h: chiều cao

B. CÁC DẠNG BÀI TẬPỞ đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thức

trên.

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ

GIẢI

a

C

C'

O

O'

A1

A1'

B'

B

I

A'

-Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của các đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’

-Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

-Bán kính mặt cầu là R = IA

Tam giác vuông AOI có: AO = 33

23

32

132 aaAA


OI = 221

21 '' bAAOO

⇒AI2 = OA2+OI2 = 127

43

222 aba ⇒ AI = 32

7a

V= 54.21

37

187

37

7228.

37

37

8343

34 3333

. aaaaR

AI2 = RAI baba 3234

1234 2222

V= 3 3

3 2 2 2 24 4 1 12 23 3 8.3 3 18 3

(4 3 ) .(4 3 )R a b a b

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

GIẢI

a

O

S

M

DC

BA

I

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có SO b (ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gọi M là trung điểm SATrung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SOSASM .

Với AO = 22a

, AS = 32

22

32

30cosaaAO

o , SO = SA sin30o = 6a

⇒SI = 6

32

6a

a a

= a 32

⇒ VMcầu = 3

32

98

32

323

34 aa

Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp,nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi thêm thể tích mặt cầu


A

J

B

M'

C'

D

O'

O

A'

B'

B

A

D

C

Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o. Tính thể tích khối trụ

GIẢI

DCDA

DCAD

' ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) và đáy

Do đó: ADA’ = 60o

∆OAD vuông cân nên AD = OA 2 = R 2

∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60o = R 6

V = R2h = R3 6

Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o. Tính thể tích khối trụ.

GIẢI

Gọi I, J là trung điểm của AB và CDTa có: OI AB; IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’ MIO = 45o là góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó:

O’I = 22a

; R = 83

48

222 aaa

h = 2OM = 2

a

Vậy V = R2h = 33 3. . 23

8 162. aa a

Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6. Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất.

GIẢI

STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R2 = 3 V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R


V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R = 1Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax⇔R = 1 và h = 2

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung ỏ và (P) tạo với đáy một góc õ. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón.

GIẢI

O

A

E

B

S

M

Gọi E là trung điểm AB ta có OES= õ ; AOB= ỏVẽ OM (SAB) thì SOM= ta có:

SO=cos

a và OE=sin

a

Bán kính đáy R=OA=

2cossin

2cos

aOE

Thể tích khối nón là:V=3

2

2

1 .

3 3sin .cos .cos2

aR h

Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C).

1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).2.Tìm x để thể tích này lớn nhát

GIẢI


S

(C) M

O

Ta có )('''

xhh

RR

R

R

h

xh

R

R

SO

SM

Thể tích khối nón V= )2(3

1.)(

3

1.

3

1 2232

22

2

22' xhhxx

h

Rxxh

h

RSMR

V’= ,433

1 222

2

hhxxh

R

V’ = 0 ⇔

hx

x h3

x= h (loại)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x = 3h

Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2 .Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.

GIẢI

Ta có Stp=Sxq+2Sđ= )(222 22 xxyxxy Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2)=2

⇔xy+x2 =1 ⇔ y =x

x 21 .Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x2> 0 ⇔0 < x < 1

Khi đó V = x2y = x(1-x2) = -x3+x

Khảo sát hàm số trên với x (0,1) ta được giá trị lớn nhất của V=3

1

33

2 x

Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= ỏ ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng õ và khoảng cách tư O đến (SAM) bằng a.

Tính thể tích khối nón theo a, ỏ, õ.GIẢI


Gọi I là trung điểm AM∆SAM cân nên SI AM∆OAM cân nên OI AM(SOI) AM nên SOI là góc phẳng nhị diện cạnh AM ⇒ SIO = õKẻ OH (SAM)(SOI) (SAM)⇒ H ∈ SI và OH = a

Ta có OI=

cos

tan;sin

2cos

2cos

;sinsin

aIOSO

aOIOM

aOH

V=2 3

2

2 2 2 2

1 .. . . .

3 3 cos cos .sin 3sin .cos .cos2 2

a a aSO OM

Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).

+Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). +Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.

GIẢI

B

O

I

F

E

Gọi EFlà 1 đường kính cua (C) ta có :IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = )2( hRh

Thể tích cần tính là:V= )2(33

1 22 hr

hhr

với 0 < h < 2R

V’ = 234(

3hRh

, V’ = 0 4

3

Rh

Vmax3

4Rh hay AI =

3

4R

Documents

Baitap Thetich KhoiDaDien KhoiCau KhoiTru KhoiNon