1. Chươn g 5 . Đêm cac phân tư

1. Môt phiêu trăc nghiêm đa lưa chon gôm 10 câu hoi. Môi câu hoi co 4 phương an tra lơi.a) Co bao nhiêu cach điên môt phiêu trăc nghiêm nêu moi câu hoi đêu đươc tra lơi?b) Co bao nhiêu cach điên môt phiêu trăc nghiêm nêu co thê bo trông?Giải a) Nêu moi câu hoi đêu đươc tra lơi thì môi câu hoi co 4 kha năng tra lơi. Do đo theo qui tăc nhân thì sô cach điên môt phiêu trăc nghiêm gôm 10 câu hoi là 410.a) Nêu cac câu hoi co thê tra lơi hoặc không thì môi câu hoi co 5 kha năng tra lơi. Do đo theo qui tăc nhân thì sô cach điên môt phiêu trăc nghiêm gôm 10 câu hoi là 510.

2. Co bao nhiêu tên ho của ngươi Anh co thê viêt tăt băng ba chư cai khac nhau, trong đo chư cai đâu tiên là chư A?Giải Do chư cai đâu là A nên chư cai thứ hai co 25 cach chon và chư cai thứ ba co 24 cach chon. Như vậy co tất ca 25.24 = 600 tên ho của ngươi Anh co thê viêt tăt băng ba chư cai khac nhau, trong đo chư cai đâu tiên là chư A.

3. Co bao nhiêu biên đăng ky xe nêu môi biên sô gôm hai chư tiêp sau là bôn chư cai hoặc hai chư cai theo sau là bôn chư sô?GiảiTrương hơp 1: môi biên sô xe co hai chư tiêp sau là 4 chư cai. Co tất ca 266 biên sô.Trương hơp 2: môi biên sô xe co hai chư tiêp sau là 4 chư sô. Co tất ca 262.104 biên sô.Vậy co tất ca 10^2.266 + 262.104 biên sô.4. Co bao nhiêu biên đăng ky xe môi biên sô gôm hai hoặc ba chư cai tiêp sau bơi hai hoặc ba chư sô?Giải

1

Trương hơp 1: môi biên sô xe co hai chư tiêp sau là 2 chư sô. Co tất ca 262.102 biên sô.Trương hơp 2: môi biên sô xe co hai chư tiêp sau là 3 chư sô. Co tất ca 262.103 biên sô.Trương hơp 3: môi biên sô xe co ba chư tiêp sau là 2 chư sô. Co tất ca 263.102 biên sô.Trương hơp 4: môi biên sô xe co ba chư tiêp sau là 3 chư sô. Co tất ca 263.103 biên sô.Vậy co tất ca 262.102(1 + 10 + 26 + 26.10) = 29700.262 biên sô.5. Xâu thuận nghich đôc là môt xâu mà khi viêt theo thứ tư ngươc lai cung thành chinh no. Hay tinh sô xâu nhi phân co đô dài băng n là thuận nghich đôc.GiảiNêu n chẵn thì đê co xâu thuận nghich đôc ta chon tùy y môt xâu nhi phân co đô dài n/2. Sau đo viêt tiêp xâu theo thứ tư ngươc lai vào xâu ban đâu. Do đo tất ca co thê co 2n/2 xâu nhi phân co đô dài băng n là thuận nghich đôc.Nêu n lẻ thì tai vi tri (n+1)/2 co thê đặt tùy y 0 hoặc 1, còn lai tao xâu tương tư trương hơp trên với đô dài n-1. Do đo co thê co 2. 2(n-1)/2 = 2 (n+1)/2 xâu nhi phân co đô dài băng n là thuận nghich đôc.6. Cô dâu và chu rê mơi 4 ngươi ban đứng thành môt hàng đê chup anh cùng với mình. Hoi co bao nhiêu cach săp hàng nêu cô dâu không đứng canh chu rê?GiảiCo tất ca 6 ngươi đứng đê chup anh. Sô cach đê cô dâu đứng canh chu rê là 2.5.4! = 240.Sô cach săp hàng đê cô dâu không đứng canh chu rê là 6! - 240 = 720 - 240 = 4807. Co bao nhiêu xâu nhi phân co đô dài băng 8 và co ba sô 0 liên nhau hoặc bôn sô 1 liên nhau?(163)GiảiGoi an là sô cac xâu nhi phân co đô dài băng n và co ba sô 0 liên nhau. Co a1 = 0; a2 = 0; a3 = 1. Với n > 3 co an = an-1 + an-2 + an-3 + 2n-3. Do đo a4 = 3; a5 = 8; a6 = 20; a7 = 47; a8 = 107. Như vậy co 107 xâu nhi phân đô dài băng 8 và co ba sô 0 liên nhau.Goi an là sô cac xâu nhi phân co đô dài băng n và co bôn sô 1 liên nhau. Co a1 = 0; a2 = 0; a3 = 0; a4 =

2

1. Với n > 4 co an = an-1 + an-2 + an-3 + an-4 + 2n-4. Do đo a5 = 3; a6 = 8; a7 = 20; a8 = 48. Như vậy co 64 xâu nhi phân đô dài băng 8 và co bôn sô 1 liên nhau.Sô cac xâu đô dài 8 co 3 sô 0 liên nhau và 4 sô 1 liên nhau là 2x4 = 8.Sô cach chon cac xâu nhi phân đô dài 8 co ba sô 0 liên nhau hoặc bôn sô 1 liên nhau là107 + 48 - 8 = 147.

8. Co bao nhiêu sô nguyên dương không lớn hơn 100 chia hêt cho 4 hoặc cho 6?GiảiTrong cac sô nguyên dương 100 co tất ca [100/4] = 25 sô chia hêt cho 4, [100/6] = 16 sô chia hêt cho 6 và [100/12] = 8 sô chia hêt cho ca 4 và 6. Theo nguyên ly bù trừ co tất ca 25 + 16 - 8 = 33 sô chia hêt cho 4 hoặc 6.

9. Gia sư răng trong tương lai moi may điên thoai trên thê giới đươc gan môt con sô (sô điên thoai) gôm ma quôc gia dài từ 1 tới 3 chư sô, tức là no co dang X, XX, hoặc XXX; tiêp theo là sô điên thoai 10 chư sô dang NXX-NXX-XXXX, trong đo N co thê nhận gia tri từ 2 đên 9, X biêu thi môt chư sô từ 0 đên 9. Theo cach đanh sô này, se co bao nhiêu sô điên thoai khac nhau co thê dùng đươc trên toàn câu?GiảiSô cac sô điên thoai 10 chư sô dang NXX-NXX-XXXX là 64.108.Trương hơp 1: ma quôc gia là 1 chư sô. Co tất ca 10 kha năng.Trương hơp 2: ma quôc gia là 2 chư sô. Co tất ca 102 kha năng.Trương hơp 3: ma quôc gia là 3 chư sô. Co tất ca 103 kha năng.Vậy co tất ca 64.108(10 + 102 + 103) = 7.104.000.000 sô điên thoai.

3

10. Dùng biêu đô cây tìm sô xâu nhi phân đô dài 4 không co 3 sô 0 liên nhau.GiảiCo tất ca 6 + 7 = 13 xâu nhi phân đô dài 4 không co 3 sô 0 liên nhau.

11. Co bao nhiêu cach săp xêp cac chư a,b,c và d sao cho chư b không đi liên sau chư a?GiảiSô cac cach săp xêp 4 chư cai a, b, c, d là 4! = 24. Sô cac cach săp xêp 4 chư cai a, b, c, d sao cho b đi liên sau a là 3*2! = 6. Do đo sô cac cach săp xêp cac chư a,b,c và d sao cho chư b không đi liên sau chư a là 24 - 6 = 18.

12. Dùng biêu đô cây hay xac đinh sô cac tập con của tập {3,7,9,11,24} sao cho tông gia tri cac phân tư của tập con nho hơn 28?Giải- Tập con không phân tư : 1 thoa man tông cac phân tư 28- Tập con 1 phân tư: 5 thoa man tông cac phân tư 28- Tập con 2 phân tư: 4 + 2 + 1 = 7 thoa man tông cac phân tư 28- Tập con 3 phân tư: 4 thoa man tông cac phân tư 28- Tập con 4 phân tư: 0 thoa man tông cac phân tư 28Theo qui tăc công co tất ca 17 tập con thoa man tông cac phân tư 2813. Dùng quy tăc nhân hay chứng to răng co bang chân ly khac nhau đôi với cac mênh đê đươc lập từ n biên.GiảiTừ n biên co thê lập đươc 2n biêu thức mênh đê.Với môt mênh đê n biên, môi biên nhận môt trong 2 gia tri đung hoặc sai nên co tất ca bang chân ly khac nhau.

4

14. Cho n là môt sô nguyên dương. Chứng to răng trong moi tập n sô nguyên liên tiêp co đung môt sô chia hêt cho n.GiảiKhi chia môt sô nguyên x cho n ta đươc môt sô dư trong cac sô từ 0 đên n-1. Do n sô nguyên liên tiêp x, x+1, …, x+n-1 khi chia cho n co cac sô dư khac nhau nên co đung 1 sô chia cho n dư 0, tức là chia hêt cho n.15. Trong môt trương đai hoc co 38 ca hoc phân cho cac lớp. Nêu co 677 lớp khac nhau thì cân co it nhất bao nhiêu phòng hoc? (18).GiảiSô phòng hoc cân là x [677/38] + 1 = 18. Do đo sô phòng hoc cân it nhất là 18.

16. Môt mang may tinh gôm co 6 may. Môi may nôi trưc tiêp hoặc không nôi với cac may khac. Chi ra răng co it nhất hai may mà sô may khac nôi với chung là băng nhau.GiảiMôt may co thê nôi trưc tiêp từ 0 đên 5 may. Nêu co môt may co nôi đên 5 may thì không co may nào đươc nôi với 0 mày. Do đo sô cac may nôi đên môt may nhận 1 trong 5 gia tri. Co 6 may nên phai co 2 may co gia tri như nhau, tức là co it nhất hai may mà sô may khac nôi với chung là băng nhau.

17. Môt tập hơp 100 phân tư co bao nhiêu tập con co nhiêu hơn hai phân tư?GiảiSô tập con co nhiêu hơn hai phân tư của tập hơp gôm 100 phân tư băng sô tất ca cac tập con trừ đi sô lương cac tập con 0 phân tư và 1 phân tư.Sô cac tập con 0 phân tư là 1.Sô cac tập con 1 phân tư là C(100, 1) = 100.

5

Sô lương cac tập con co sô phân tư 2 phân tư là 2100 -101 - 4950 = 2100 - 5051.

18. Gia sư môt tô bô môn co 10 nam và 15 nư. Co bao nhiêu cach chon môt hôi đông gôm 6 ủy viên trong đo sô ủy viên nam băng sô ủy viên nư?GiảiTrong hôi đông gôm 6 ủy viên với sô ủy viên nam băng sô ủy viên nư co 3 nam và 3 nư.Sô cach chon 3 ủy viên nư là C(15, 3) = 455.Sô cach chon 3 ủy viên nư là C(10,3) = 120.Tông sô cach chon hôi đông là C(10,3).C(15,3) = 120.455 = 54.600.

19. Từ tập cac sô nguyên dương không vươt qua 100, co thê tao đươc bao nhiêu chinh hơp chập 4 chứa 3 sô nguyên liên tiêpa) Theo trật tư thông thương và co thê bi phân cach bơi cac sô khac của chinh hơp.b) Tai nhưng vi tri liên tiêp của chinh hơp?Giảia) Trước hêt chon cac bô 3 sô nguyên liên tiêp: co tất ca 98 bô. Tiêp theo chon sô nguyên thứ tư khac cac sô trong bô 3 đa chon: co 97 kha năng. Sô nguyên thứ tư co thê đứng tai môt vi tri bất kỳ trong 4 vi tri. Như vậy co tất ca 98.97.4 = 37.624 chinh hơp.Trong sô cac chinh hơp trên đa tinh thừa cac bô chứa 4 sô nguyên liên tiêp: sô lương là 96. Vậy co tất ca 37.528 chinh hơp thoa man.b) Chon cac bô 3 sô nguyên liên tiêp: co tất ca 98 bô. Tiêp theo chon sô nguyên thứ tư khac cac sô trong bô 3 đa chon: co 97 kha năng. Như vậy co 98.97.2 = 18.812.Đa tinh thừa cac bô chứa 4 sô nguyên liên tiêp là 96. Vậy co tất ca 18.716 chinh hơp thoa man.

6

20. Co bao nhiêu xâu nhi phân đô dài 10 chứa it nhất 3 sô 0 và it nhất ba sô 1? (912)Giải- Xâu nhi phân đô dài 10 chứa 3 sô 0: C(10, 3) = 120- Xâu nhi phân đô dài 10 chứa 4 sô 0: C(10, 4) = 210- Xâu nhi phân đô dài 10 chứa 5 sô 0: C(10, 5) = 252- Xâu nhi phân đô dài 10 chứa 6 sô 0: C(10, 6) = 210- Xâu nhi phân đô dài 10 chứa 7 sô 0: C(10, 7) = 120Vậy tông công co 912 xâu nhi phân đô dài 10 chứa it nhất 3 sô 0 và it nhất ba sô 1.

21. Gia sư S là môt tập cho trước. Chứng minh răng sô cac tập con của S co sô phân tư là lẻ cung băng sô cac tập con co sô phân tư là chẵn.Giải- Sô cac tập con của S co sô phân tư là lẻ băng L = C(n,1) + C(n, 3) + …- Sô cac tập con của S co sô phân tư là chẵn băng C = C(n,0) + C(n, 2) + …Suy từ tinh chất của cac hê sô trong khai triên nhi thức Niuton: L = C.

22. Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 =17 co bao nhiêu nghiêm nguyên không âm?Giải

Môi nghiêm của phương trình tương ứng với môt cach chon 17 phân tư từ môt tập co 3 loai, sao cho co x1 phân tư loai 1, x2 phân tư loai 2, x3 phân tư loai 3 và x4 phân tư loai 4 đươc chon. Vì vậy sô nghiêm băng sô tô hơp lặp chập 17 từ tập co 4 phân tư. Sô đo băng:

C(4+17 -1,17) = (20.19.18)/(1.2.3) = 1140.23. Co bao nhiêu sô nguyên dương nho hơn 1 000 000 co tông cac chư sô của no băng 19? (30492)Giải

7

Goi sô cac sô nguyên dương co k chư sô và tông cac chư sô băng n là f(k, n). Khi đo co:f(k,n) = f(k-1, n) + f(k-1, n-1) + … + f(k-1,n-i) với k > 1, i 9 sao cho n-i 0.Sô lương cac sô thoa man điêu kiên bài ra là f(6, 19) tương ứng k = 6 và n = 19.Cac gia tri f(1, n), 1 n 19 đươc tinh trưc tiêp.Qua trình tinh toan cho trong bang sau đây:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 171 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 02 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 23 1 3 6 10 15 21 28 36 45 54 61 66 69 70 69 66 614 1 4 10 20 35 56 84 120 165 219 279 342 405 465 519 564 5975 1 5 15 35 70 126 210 330 495 714 992 1330 1725 2170 2654 3162 3675

6 1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2001 2992 4317 6027 8162 10746 13782 17247

Như vậy, tất ca cac sô < 1.000.000 co tông cac chư sô 19 se là 25212 sô.

24. Co bao nhiêu cach săp xêp n cuôn sach lên k gia sach khac nhau nêu:a) Cac cuôn sach là cac ban chup của cùng môt đâu sach.b) Không co hai cuôn cùng đâu sach, và co kê tới vi tri của cac cuôn sach trên gia.Giảia) Sô cach săp xêp n cuôn sach là cac ban chup của cùng môt đâu sach lên k gia sach băng sô nghiêm

8

nguyên không âm của phương trình x1 + … + xk = n. Do đo sô cach săp xêp băng tô hơp chập k co lặp của n phân tư là C(k + n - 1, n) = (k+n-1)!/(n!(k-1)!).b) Trong trương hơp không co hai cuôn cùng đâu sach, và co kê tới vi tri của cac cuôn sach trên gia thì sô cach săp xêp là:

25. Tìm hoan vi liên sau theo thứ tư từ điên của môi hoan vi sau đây:1432, 54123, 6714235, 31528764Giải

1432 2134; 54123 54213; 6714235 6714253; 31528764 31542678

9