baitieuluan hóa lượng tử

Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: Thầy Trần Viết Điền

SVTH: Trương Ngọc Quê i

Lời cảm ơn

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS

Trương Minh Đức cùng Thầy giáo Trần Viết Điền, người đã tận tình hướng dẫn

cho em trong quá trình thực hiện bài tiểu luận.

Em xin chân thành cám ơn các Thầy cô giáo đã giảng dạy, đóng góp ý kiến

trong suốt thời gian học tập và thực hiện bài tiểu luận của em tại Khoa Vật Lý.

Em xin cảm ơn các bạn đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời

gian vừa qua.

Em xin chân thành cám ơn các cán bộ của Trung Tâm Thông Tin Trường

Đại Học Sư Phạm đã tạo điều kiện cho em trong quá trình tìm kiếm tài liệu.

Sinh viên

Trương Ngọc Quê


SVTH: Trương Ngọc Quê ii

Mục Lục

Lời cảm ơn ............................................................................................................. i

PHẦN I : MỞ ĐẦU .............................................................................................. 3

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. ................................................................................. 3

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. ........................................................................ 4

III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU. ........................................................................... 4

IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. ........................................................................ 4

V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. ............................................................... 4

VI. BỐ CỤC TIỂU LUẬN. ................................................................................. 4

PHẦN II: NỘI DUNG .......................................................................................... 5

Chương 1: Cở sở lý thuyết .................................................................................... 5

1.1. Đại lượng động lực là gì? .............................................................................. 5

1.2. Đạo hàm của toán tử theo thời gian. ............................................................. 6

1.3. Phương trình chuyển động trong cơ học lượng tử. ....................................... 7

1.4. Tích phân chuyển động. ................................................................................ 9

1.5. Tính đối xứng của không gian, thời gian và các định luật bảo toàn. .......... 10

1.5.1. Định luật bảo toàn xung lượng .................................................................. 10

1.5.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng .................................................... 11

1.5.3. Định luật bảo toàn năng lượng .................................................................. 12

1.5.4. Định luật bảo toàn chẵn lẻ ......................................................................... 13

Chương 2: Ví dụ và bài tập ................................................................................. 14

2.1. Các ví dụ...................................................................................................... 14

2.1.1. Ví dụ 1 (Ví dụ cho mục 1.2): .................................................................... 14

2.1.2. Ví dụ 2 (Ví dụ mục 1.3) ............................................................................ 16

2.1.3. Ví dụ 3 (Ví dụ mục 1.4) ............................................................................ 17

2.1.4. Ví dụ 4 (cơ sở áp dụng cho một số bài tập tiếp theo) ............................... 18

2.1.5. Ví dụ 5 ....................................................................................................... 20

2.2. Bài tập ......................................................................................................... 22

2.2.1. Bài tập1: .................................................................................................... 22


SVTH: Trương Ngọc Quê iii

2.2.2. Bài tập 2: ................................................................................................... 22

2.2.3. Bài tập 3: ................................................................................................... 23

2.2.4. Bài tập 4: ................................................................................................... 24

2.2.5. Bài tập 5: ................................................................................................... 25

2.2.6. Bài tập 6: ................................................................................................... 26

2.2.7. Bài tập 7: ................................................................................................... 28

2.2.8. Bài tập 8. ................................................................................................... 30

Phần III: Kết Luận ............................................................................................... 33

Tài Liệu Tham Khảo ........................................................................................... 34


SVTH: Trương Ngọc Quê 3

PHẦN I : MỞ ĐẦU

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học chúng ta có thể dần

khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những

ngành khoa học ngày càng phát triển đó là vật lý. Trong ngành vật lý học có rất

nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải những vấn đề của thế giới mà các

ngành khoa học khác không thể giải thích rõ ràng được. Một trong các công cụ

chủ yếu của vật lý học là thuyết lượng tử mà cơ bản nhất là cơ học lượng tử.

Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck,

Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born,

John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và một số người khác tạo nên.

Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết này vẫn được nghiên cứu cho đến ngày nay.

Cơ học lượng tử là một bộ phận trong cơ học lý thuyết.

Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết

vật lý. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà khoa học vật lý xây

dựng các thuyết vật lý.

Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh

vực, một phạm vi vật lý nhất định. Dựa trên một mô hình vật lý tưởng tượng,

các nhà vật lý lý thuyếtbằng phưong pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán

học đã đề ra một hệ thống các qui tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng

làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả năng

tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn.

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, nó

mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton. Cơ học lượng tử nghiên

cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như

năng lượng và xung lượng của các vật có kích thước nhỏ bé, ở đó có sự thể hiện

rõ rệt của lưỡng tính sóng hạt. Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ

bản của vật chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học

Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng

vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được.

Chính vì vậy sự ra đời của cơ học lượng tử giúp chúng ta giải quyết được

những khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc.

Thông qua việc học tập và nghiên cứu cơ học lượng tử mà nhất là các đối

tượng của nó là không thể thiếu và cần thiết đối với những ai nghiên cứu vật lý

đặc biệt là với sinh viên khoa Vật Lý.

http://vi.wikipedia.org/wiki/Th%E1%BA%BF_k%E1%BB%B7_20

http://vi.wikipedia.org/wiki/Max_Planck

http://vi.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

http://vi.wikipedia.org/wiki/Niels_Bohr

http://vi.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg

http://vi.wikipedia.org/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger

http://vi.wikipedia.org/wiki/Max_Born

http://vi.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

http://vi.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac

http://vi.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Ernst_Pauli

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Thuy%E1%BA%BFt_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Thuy%E1%BA%BFt_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%B4_h%C3%ACnh_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Hi%E1%BB%83u_bi%E1%BA%BFt_t%E1%BB%95ng_qu%C3%A1t&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/Lo%C3%A0i_ng%C6%B0%E1%BB%9Di

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C4%A9nh_v%E1%BB%B1c&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=L%C4%A9nh_v%E1%BB%B1c&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ph%E1%BA%A1m_vi_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Nh%C3%A0_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD_l%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ph%C6%B0ong_ph%C3%A1p_suy_di%E1%BB%85n&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_suy_lu%E1%BA%ADn_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_ph%C3%A1p_suy_lu%E1%BA%ADn_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Qui_t%E1%BA%AFc&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_lu%E1%BA%ADt_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Nguy%C3%AAn_l%C3%BD_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/Hi%E1%BB%87n_t%C6%B0%E1%BB%A3ng

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=S%E1%BB%B1_ki%E1%BB%87n_v%E1%BA%ADt_l%C3%BD&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=%C4%90%E1%BB%9Di_s%E1%BB%91ng_th%E1%BB%B1c_ti%E1%BB%85n&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/V%E1%BA%ADt_ch%E1%BA%A5t



Việc học tập là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên để hoàn thành tốt chương

trình học tập của ngành cũng như của khoa đề ra. Với mỗi môn học đều có hệ

thống kiến thức chuyên biệt và cơ học lượng tử cũng vậy. Do đó nhằm giúp cho

mỗi sinh viên học tập tốt học phần cơ học lượng tử cần có hệ thống kiến thức và

hệ thống bài tập cơ bản phục vụ. Nhằm đáp ứng một phần nhỏ mục đích trên thì

em xin chọn vấn đề “xây dựng hệ thống bài tập hỗ trợ cho việc học tập chương

Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” làm đề tài nghiên cứu.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

- Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết.

- Xây dựng được các ví dụ bài tập minh họa cho từng phần cơ bản trong

chương “sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian”.

- Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải bài tập,

phương pháp nghiên cứu khoa học.

III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

Chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian”.

IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

Xây dựng được một số ví dụ và bài tập liên quan minh họa cho từng phần

cơ bản trong chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian”.

V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Phương pháp chủ yếu là phương pháp lý thuyết.

VI. BỐ CỤC TIỂU LUẬN.

Tiểu luận gồm 3 phần:

- Phần 1: Phần mở đầu:

Gồm: Lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nhiệm

vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu.

- Phần 2: Phần nội dung:

Gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết.

Chương 2: Ví dụ và bài tập.

- Phần 3: Phần kết luận.



PHẦN II: NỘI DUNG

Chương 1: Cở sở lý thuyết

1.1. Đại lượng động lực là gì?

Để hiểu rõ khái niệm đại lượng động lực trong cơ học lượng tử ta cần phải

thông qua tiên đề cơ bản của nó chính là tiên đề II, sau đây chúng ta đi vào tìm

hiểu tiên đề cơ bản này.

Trong cơ học cổ điển đại lượng động lực A chỉ đơn giản là một biến số

động lực có thể đo được (observable). Phép đo một đại lượng động lực A được

hiểu là một tác động vật lý đặt lên hệ để thu được một số thực được gọi là “giá

trị của A”. Để đơn giản ta xét phép đo không sai số (theo cách thông thường

trong thực nghiệm, nghĩa là sai số của phép đo do dụng cụ đo và chủ quan người

đọc). Ta biết trong cơ học cổ điển không có sự phân biệt giữa biểu diễn toán học

của đại lượng và giá trị đo được của đại lượng đó. Trong lúc đó, trong cơ học

lượng tử có sự phân biệt này là cơ bản. Tiên đề II sẽ đề cập đến sự biểu diễn

toán học của một đại lượng động lực A cùng với các giá trị khả dĩ của nó và

được phát biểu như sau:

Tương ứng với một đại lượng động lực A là một toán tử tuyến tính và

hermite tác dụng trong không gian Hilbert các hàm trạng thái. Các kết quả đo

được về đại lượng A chỉ có thể là trị riêng của toán tử .

Từ tiên đề II chúng ta chú ý các điểm sau:

Phép đo đại lượng động lực A có thể được biểu diễn bằng cách tác dụng

toán tử lên trạng thái | ⟩. Kết quả thu được của một phép đo chính là một

trong các trị riêng (phổ trị riêng) của toán tử . Phổ trị riêng này có thể gián

đoạn hoặc liên tục. điều này sẽ tương ứng với hay phương trình trị riêng của

toán tử như sau:

| ⟩, đối với trường hợp phổ trị riêng gián đoạn,

| ⟩, đối với trường hợp phổ trị riêng liên tục,

trong đó | ⟩ hoặc | ⟩ là các hàm riêng trực chuẩn của toán tử .

Nếu khi đo đại lượng động lực A ta được các giá trị a thì trạng thái của hệ

sẽ chuyển từ | ⟩ sang | ⟩ (phép đo làm nhiễu loạn trạng thái của hạt).

Tính chất tuyến tính cuẩ toán tử liên quan đến nguyên lý chồng chất các

trạng thái, trong lúc đó tính chất Hermite của liên quan đến tính thực của giá

trị đo dược của đại lượng động lực A.



1.2. Đạo hàm của toán tử theo thời gian.

Ta sẽ tìm đạo hàm theo thời gian của toán tử . Muốn vậy, ta chấp nhận

mệnh đề sau:

Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình của

đạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian, nghĩa là:

Trước hết ta tính đạo hàm theo thời gian của trị trung bình của A:

⟨ |

| ⟩ ⟨

| | ⟩

⟨ | |

⟩

Dùng phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian ta có thể viết:

Thay vào (1.2), ta được:

⟨ |

| ⟩

(⟨ | | ⟩ ⟨ | | ⟩)

Do tính chất Hermite của toán tử nên ta có thể biến đổi tích vô

hướng thứ hai trong (1.4) như sau:

⟨ |

| ⟩

(⟨ | | ⟩ ⟨ | | ⟩)

Hay:

⟨ |

| ⟩

Mặt khác, theo định nghĩa của trị trung bình, ta có:

⟨ |

| ⟩



So sánh (1.6) với (1.7) và sử dụng (1.1) ta được:

( )

Phương trình (1.8) chính là biểu thức đạo hàm theo thời gian của toán tử

. Phương trình này còn gọi là phương trình chuyển động Heisenberg. Đối với

số hạng thứ hai ta kí hiệu như sau:

( )

[ ] { }

và được gọi là móc Poisson lượng tử. Lúc đó (1.8) trở thành:

{ }

Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào

thời gian, nghĩa là thì đạo hàm của toán tử theo thời gian chỉ đơn giản bằng móc

Poison lượng tử của toán tử và , khi đó (1.9) có dạng đơn giản:

{ }

1.3. Phương trình chuyển động trong cơ học lượng tử.

Phương tình (1.11) có dạng tương tự như trong cơ học cổ điển.

[ ]

trong đó [H,A] là móc Poisson cổ điển và có dạng:

[ ] ∑(

)

Từ phương trình này ta có thể tìm được phương trình chuyển động trong

cơ học cổ điển. Thật vậy, cho A = x, ta được:

[ ] ∑(

)

Cho A=p ta được:

[ ] ∑(

)

Tương tự như trong cơ học cổ điển, phương trình (1.9) xác định sự biến

thiên theo thời gian của đại lượng động lực A tương ứng với toán tử . Nếu các

đại lượng động lực đang xét là toạ độ và xung lượng của hạt (không phụ thuộc



tường minh vào thời gian) thì ta sẽ được các phương trình chuyển động như

sau:

{ }

{ }

Từ hai phương trình này ta có thể tìm được các phương trình diễn tả sự

thay đổi theo thời gian của giá trị trung bình của tọa độ và xung lượng, thể hiện

bằng định lý Erenfest với nội dung như sau:

Các phương trình chuyển động trong cơ lượng tử có dạng như trong cơ cổ

điển trong đó ta thay đại lượng bằng trị trung bình, cụ thể như sau:

+ Trong cơ cổ điển:

+ Trong cơ lượng tử:

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý Erenfest. Theo (1.1) ta có:

⟨ |

| ⟩

⟨ |

| ⟩

Từ phương trình chuyển động Heisenberg, ta có dạng của

như sau:

{ }

[ ]

Tính giao hoán tử [ ]

⁄ hay

[

⁄ ] [

⁄ ] [ ] [

⁄ ]

[

⁄ ] (

⁄ ) ( ⁄ ) (

⁄ )

Thay vào phương trình (1.20), ta được:



Tương tự, ta có dạng của

như sau:

{ }

[ ]

Tính giao hoán tử [ ]

⁄ , ta được

[ ]

, thay vào (1.23), ta được:

Thay biểu thức đạo hàm của toán tử vào (1.19):

⟨ |

| ⟩

Tương tự, thay biểu thức đạo hàm của toán tử vào (1.20), ta được:

⟨ |

| ⟩ ⟨ |

| ⟩

Như vậy đạo hàm theo thời gian của trị trung bình của toạ độ bằng trị

trung bình của xung lượng chia cho khối lượng của hạt. Đạo hàm theo thời gian

của trị trung bình của xung lượng bằng trị trung bình của lực. Từ đó ta thấy

rằng trong cơ học lượng tử, các trị trung bình của toạ độ và xung lượng của hạt

cũng như lực tác dụng lên nó liên hệ với nhau bởi những phương trình tương tự

như trong cơ học cổ điển. Nói cách khác đối với một hạt chuyển động, các trị

trung bình của của các đại lượng trong cơ học lượng tử biến thiên như những

giá trị thực của chúng trong cơ cổ điển. Định lý Erenfest đã được chứng minh.

1.4. Tích phân chuyển động.

Tương tự như cơ học trong cơ học lượng tử đại lượng động lực A được gọi

là tích phân chuyển động hay đại lượng bảo toàn nếu , hay:

Ta tìm điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động. Ta sử

dụng hệ thức:

⟨ |

| ⟩

Điều kiện (1.27) cho ta

.



Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta có:

[ ]

Để (1.28) được nghiệm đúng thì:

[ ]

Như vậy, điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động là

đại lượng động lực đó không phụ thuộc tường minh vào thời gian và toán tử

tương ứng giao hoán với toán tử Hamilton. Ta sẽ chứng minh tính chất sau của

tích phân chuyển động.

Nếu A là một tích phân chuyển động thì xác suất ứng với một giá

trị nào đó tại thời điểm không phụ thuộc thời gian.

Thật vậy, vì hai toán tử giao hoán với nhau nên chúng có chung hàm riêng.

Gọi là hàm riêng này, ta viết phương trình trị riêng của như sau:

Khai triển một trạng thái bất kỳ theo các hàm riêng ta được:

∑

∑

Xác suất đo giá trị là: | | | |

.

Điều đó có nghĩa là xác suất không phụ thuộc thời gian.

1.5. Tính đối xứng của không gian, thời gian và các định luật bảo toàn.

Cơ học lượng tử cũng có tất cả các định luật bảo toàn như cơ học cổ điển.

Ngoài ra, nó còn bao gồm cả các định luật bảo toàn không có tiền lệ trong cơ

học cổ điển như: bảo toàn chẵn lẻ, bảo toàn tính đối xứng, bảo toàn spin... Khi

một đại lượng động lực là tích phân chuyển động thì nó tuân theo định luật bảo

toàn. Ta sẽ lần lượt xét các định luật sau:

1.5.1. Định luật bảo toàn xung lượng

Định luật này liên quan đến tính đồng nhất của không gian. Vì không gian

là đồng nhất nên tính chất vật lý của một hệ kín không thay đổi qua một phép

biến đổi tịnh tiến hệ coi như một tổng thể. Vì tính chất của hệ lượng tử được xác

định bởi toán tử Hamilton của nó, nên tính đồng nhất của không gian thể hiện ở

chỗ toán tử Hamilton bất biến đối với mọi phép biến đổi tịnh tiến. Nếu ta xét



một phép biến đổi tịnh tiến một khoảng rất nhỏ và gọi là toán tử tịnh tiến thì toán tử

sẽ giao hoán với toán tử , nghĩa là: [ ] .

Dạng của toán tử có thể được xác định như sau: Theo định nghĩa của toán tử

tịnh tiến thì:

(1.33)

Khai triển hàm sóng ở vế phải của (1.33)

∑

( ∑

)

Vậy:

∑

Thay dạng của toán tử vào giao hoán tử [ ] , ta được:

[ ∑

] [ ∑

]

Vì toán tử xung lượng của hệ có dạng:

∑

∑

Nên hệ thức (1.35) trở thành [ ] . Toán tử giao hoán với toán tử

Hamilton nên xung lượng của hệ bảo toàn.

Vậy ta kết luận rằng tính đồng nhất của không gian liên quan đến sự bảo

toàn xung lượng.

1.5.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng

Định luật này liên quan đến tính đẳng hướng của không gian. Vì không

gian là đẳng hướng nên tính chất vật lý của một hệ không đổi theo mọi phương.

Về mặt vật lý, điều đó có nghĩa là Hamil- tonian của hệ giao hoán với toán tử

quay một góc nhỏ .



Gọi là toán tử quay thì:

( ) (1.37)

Khai triển hàm sóng ở vế phải của (1.37)

∑

( ∑

)

Vì , nên:

( ∑

) ∑

[ ] [ ∑

]

Vì toán tử mômen xung lượng của hệ có dạng:

∑

∑

nên [ ] . Toán tử giao hoán với toán tử Hamilton nên mômen xung

lượng của hệ bảo toàn. Từ đó ta kết luận rằng tính đẳng hướng của không gian

liên quan đến sự bảo toàn mômen xung lượng.

1.5.3. Định luật bảo toàn năng lượng

Định luật này liên quan đến tính đồng nhất của thời gian. Điều này có

nghĩa là các định luật chuyển động của hệ không phụ thuộc vào việc chọn gốc

thời gian. Ta gọi là toán tử tịnh tiến thời gian một khoảng bé và được xác định bởi

hệ thức:

Thực hiện khai triển:

. Từ đó, toán tử

có dạng:

(

)



Vì toán tử phải giao hoán với toán tử Hamilton, nên ta tìm được ⁄ .

Mặt khác vì toán tử năng lượng giao hoán với chính nó nên ta suy ra

⁄ . Như vậy năng lượng được bảo toàn.

1.5.4. Định luật bảo toàn chẵn lẻ

Định luật bảo toàn chẵn lẻ liên quan đến tính nghịch đảo của không gian.

Đây là phép biến đổi làm thay đổi dấu của toạ độ không gian của hạt:

Như vậy trong phép biến đổi không gian thì hệ toạ độ phải biến thành hệ

tọa độ trái. Nếu gọi toán tử nghịch đảo là thì ta có:

Toán tử Hamilton của một hệ kín bất kỳ là bất biến đối với phép biến đổi

nghịch đảo. Tính bất biến này cũng đúng cho một hệ ở trong trường ngoài đối

xứng xuyên tâm, nếu tâm đối xứng là tâm của trường. Như vậy ta có:

[ ]

Ta xác định trị riêng của toán tử nghịch đảo. Muốn vậy, ta hãy tác dụng

toán tử lên cả 2 vế của phương trình (1.41):

Theo phương trình trị riêng:

ta thấy toán tử có trị riêng là I 1 .Như vậy khi tác dụng toán tử I lên hàm

sóng thì ta có thể có hai trường hợp:

hoặc

Ta gọi hàm sóng trong trường hợp đầu là hàm chẵn và trường hợp sau là

hàm lẻ.Từ hệ thức [ ] , ta đi đến kết luận là tính chẵn lẻ của hàm sóng là

một tích phân chuyển động. Định luật bảo toàn chẵn lẻ có thể phát biểu như sau:

Khi một hệ kín có số chẵn lẻ xác định thì số chẵn lẻ đó không đổi theo thời

gian.



Chương 2: Ví dụ và bài tập

Trong chương này khi làm bài tập chúng ta có thể áp dụng một số tính chất

và các giao hoán tử sau để dễ dàng tính toán:

(1) Phản đối xứng: [ ] [ ],

(2) Giao hoán với một số vô hướng a: [ ] ,

(3) Phân phối đối với phép cộng: [ ] [ ] [ ],

(4) Phân phối đối với phép nhân: [ ] [ ] [ ],

(5) Đồng nhất Jacobi: [ [ ]] [ [ ]] [ [ ]]

Các hệ thức giao hoán sau đây:

(a) [ ]

(b) [ ]

(c) [ ] ( {

)

(d) [ ]

(e) [ ]

(f) [ ]

(g) [ ]

(h) [ ]

{

2.1. Các ví dụ

2.1.1. Ví dụ 1 (Ví dụ cho mục 1.2):

Chứng minh rằng đạo hàm theo thời gian của tổng và tích của hai toán tử

cũng tuân theo quy luật giống như đạo hàm của tổng và tích của hai số thông

thường.

Lời giải:

Sử dụng hệ thức đạo hàm của tổng hai toán tử theo thời gian, ta có:

( )

( )

[ ]

Ta cần chứng minh rằng:

( )



Sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian của hai toán tử và , ta

có:

[ ]

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[ ]

Cách khác là từ (1), ta có:

Áp dụng tích chất của toán tử ta được:

( )

[ ]

[ ]

[ ]

Từ (1) và (2) (hoặc (3)) ta có thể suy ra hệ thức cần chứng minh là:

( )

+Chứng minh đạo hàm của tích hai toán tử theo thời gian.

Sử dụng hệ thức đạo hàm của tích hai toán tử theo thời gian, ta có:

( )

( )

[ ]

Ta cần chứng minh rằng:

( )

Ta có:

Từ (4), ta được:

( )

[ ] (

[ ]) (

[ ])

Cách khác là đi từ:



[ ]

[ ]

( )

( )

( )

( )

[ ]

Từ (4) và (5) (hoặc (6)) ta có thể suy ra hệ thức cần chứng minh là:

( )

2.1.2. Ví dụ 2 (Ví dụ mục 1.3)

Một hạt dao động điều hòa có điện tích q > 0 và khối lượng m, đặt trong

một điện trường .

a) Tính ⁄ và ⁄ .

b) Giải phương trình cho ⁄ , từ đó tìm khi biết

Lời giải:

Ta có:

⟨ |

| ⟩

a)Sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg:

[ ],và các hệ

thức giao hoán,ta có: trong đó Hamiltonian có dạng:

⁄

⁄

Do đó:

[

]

[

]

[ ] [ ]

Ta tính được:

⟨ | | ⟩

và



[ ]

b) Đạo hàm theo thời gian biểu thức ⁄ và sử dụng biểu thức ⁄ ,

ta được:

Phương trình này cho nghiệm là:

(√

)

,

với A là hằng số được xác định từ điều kiện đầu, Vì nên ta được

, từ đó :

(√

)

2.1.3. Ví dụ 3 (Ví dụ mục 1.4)

Đối với hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x, các đại lượng nào sau

đây là các tích phân chuyển động: năng lượng, xung lượng, hình chiếu momen

xung lượng lên trục x ?

Lời giải:

Vì các đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên để chứng minh

chúng là các tích phân chuyển động ta chỉ cần chứng minh toán tử tương ứng giao hoán với

toán tử Hamilton, nghĩa là:

[ ] [ ] [ ]

Với

⁄

Ta có:

[ ]

[

]

[

] [ ]

[ ]

[ ] , nên năng lượng là tích phân chuyển động.

[ ]

[

]

[ ] [ ] , suy ra xung

lượng là tích phân chuyển động.

[ ]

[

]

[

] [ ]

Tính [ ] [

] , [ ] [

] , ta được



[ ] . Do đó là tích phân chuyển động.

2.1.4. Ví dụ 4 (cơ sở áp dụng cho một số bài tập tiếp theo)

Cho toán tử hamilton của một hạt có dạng:

(

)

hãy xét đối với bình phương momen xung lượn có phải là một đại lượng bảo

toàn hay không?

Lời giải:

Một đại lượng độnglực A được gọi là bảo toàn khi thỏa mãn điều kiện sau

đây:

[ ]

Ta đang xét đến bình phương momen xung lượng nên ta thấy rằng nó

không phụ thuộc tường ming vào thời gian. Do đó, ta chỉ cần tính giao hoán tử

của toán tử tương ứng với toán tử hamilton là nó có phải là đại lượng bảo toàn

không.

Bình phương momen xung lượng có toán tử tương ứng là:

Ta có:

[ ] [

(

) ]

([

] [ ] [

]) [ ]

Trước hết, ta lần lượt đi tính:

[ ] [

] [

] [

] [

]

Ta lần lượt xét các giao hoán sau:

[

] [ ] [

]

[

] [ ] [

] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )



[

] [ ] [

] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )

Do đó:

[ ] ( )

Tương tự ta cũng tính và được các kết quả sau:

[ ] [

] [

] [

] [

]

( )

[ ] [

] [

] [

] [

]

( )

Suy ra:

[ ]

[ ] [

]

[ ] [

] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

(

)

[ ] (

)

[ ] (

)

[ ] ( {

} {

} {

} {

} {

} {

} )



Từ (2.1), (2.2), (2.3), (2.7) ta thấy rằng: [ ] , vậy bình phương

momen xung lượng không bảo toàn.

2.1.5. Ví dụ 5

Hạt chuyển động trong một trường thế năng phụ thuộc vào x hay hãy tìm trong các đại lượng động lực sau đại lượng nào là tích phân chuyển

động: năng lượng, các hình chiếu của xung lượng, các hình chiếu của momen

xung lượng và bình phương momen xung lượng.

Lời giải:

Do các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên

ta chỉ cần tính các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử Hamilton là

được.

Cụ thể cần tính các giao hoán tử sau đây: [ ], [ ], [ ],

[ ], [ ], [ ], [ ], [ ]

Toán tử Hamilton có dạng như sau:

Áp dụng các tính chất của toán tử và các hệ thức giao hoán, ta có:

[ ] , do đó năng lượng là tích phân chuyển động.

Ta đi tính các giao hoán tử giữa các toán tử của các hình chiếu xung lượng

lên các trục, ta có:

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

Đối với các hình chiếu của momen xung lượng lên các trụng có các toán tử

tương ứng là:

Tính cho , thì:

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

( [ ] [ ] ) [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]



Đối với , ta có:

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

( [ ] [ ] ) [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Còn với , tính như sau:

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

( [ ] [ ] ) [ ]

( ) [ ] [ ]

[ ] [ ]

Còn đối với bình phương momen xung lượng thì toán tử tưowng ứng là:

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

Từ (2.7) ví dụ 4 ta được:

[ ] ( )

[ ] ( {

} {

}

{

} {

}

{

} {

} )

Do đó, ta thấy rằng : [ ] Như vậy, các đại lượng sau là tích phân chuyển động: năng lượng, hình

chiếu của xung lượng lên trục y, lên trục z, và hình chiếu momen xung lượng lên



trục x.

2.2. Bài tập

2.2.1. Bài tập1:

Chứng minh trị trung bình của đạo hàm theo thời gian của một đại lượng

vật lý không phụ thuộc tường minh vào thời gian trong trạng thái dừng của phổ

gián đoạn thì bằng 0.

Lời giải:

Gọi A là đại lượng vật lý đang xét, ta có trị trung bình của đạo hàm theo

thời gian của A là:

⟨ |

⟩

⟨ |[ ] ⟩

Khai triển móc ta có:

[ ]

Áp dụng tính chất hermite của toán tử rồi áp dụng phương trình trị riêng

của toán tử : , ta được:

⟨ | ⟩

(⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩)

(⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩)

2.2.2. Bài tập 2:

Hạt chuyển động trong trường thế . Hãy chứng minh các hệ thức sau:

( ) ⁄

⁄

(

)

Lời giải: a)Áp dụng công thức phương trình chuyển động Heisenberg, ta có:

( ) { }

[ ]

Với toán tử Hamilton có dạng:

Do đó:



[ ] [

]

[

] [ ]

[

]

[

]

( [

] [

] )

Như vậy:

( ) ⁄

b)Ta có:

{ }

[ ]

[

]

(

[

] [ ])

(

[

] [ ] [ ])

[ ]

[ ]

⁄

c)Ta có:

{

}

[

]

[

]

[

]

[

]

[ ] [ ]

(

)

2.2.3. Bài tập 3:

Với điều kiện nào thì là những tích phân chuyển động?

Bài giải:

Vì được biểu diễn qua tọa độ và xung lượng nên chúng không phụ

thuộc tường minh vào thời gian. Vì vậy, để chứng minh chúng là tích phân

chuyển động ta chỉ cần chứng minh [ ] [ ] . Ta sẽ sử dụng

tọa độ cầu, trong đó các toán tử có dạng:



với toán tử động năng là:

{

(

)

}

Phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu có dạng:

[

(

)

]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

Muốn cho giao hoán tử trên bằng không thì thế năng phải không phụ thuộc

, nghĩa là

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

Muốn cho giao hoán tử này bằng không thì thế năng phải không phụ thuộc

vào , nghĩa là

Như vậy, hạt chuyển động trong trường xuyên tâm thì là những

tích phân chuyển động.

2.2.4. Bài tập 4:

Toán tử Hamilton của hạt mang điện chuyển động trong từ trường có dạng:

trong đó là thế vecto, m là khối lượng của hạt.

(a) Tìm toán tử vận tốc của hạt.

(b) Thiết lập hệ thức giao hoán giữa các toán tử thành phần.

Lời giải:

Toán tử Hamilton của hạt mang điện chuyển động trong từ trường có dạng:

(a) Thay toán tử Hamilton vào công thức tính toán tử vận tốc ta được như

sau:



[ ]

[

]

([

(

)

] [ ])

[(

)

]

((

) [(

) ] [(

) ] (

))

(

)

(b) tính hệ thức giao hoán giữa các thành phần vận tốc bởi các công thức

sau:

[ ]

[(

) (

)]

([ ] [

] [

] [

])

(

)

[ ]

[(

) (

)]

([ ] [

] [

] [

])

(

)

[ ]

[(

) (

)]

([ ] [

] [

] [

])

(

)

2.2.5. Bài tập 5:

Dùng phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, hãy chứng tỏ rằng

trị trung bình của xung lượng của hạt ở trạng thái dừng thì bằng không.

Lời giải:

Trị trung bình của xung lượng của hạt ở trạng thái dừng được xác định bởi

công thức sau:

⟨ | ⟩

Từ phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, ta có:

[ ]

( )

Thay (2) vào (1), ta được:



⟨ |

( ) ⟩

{⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩}

Áp dụng tính chất hermite của toán tử , ta có:

{⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩}

{⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩}

Sử dụng phương trình trị riêng của toán tử là: , thì:

{⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩} .

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

2.2.6. Bài tập 6:

Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa một chiều có dạng;

,

hãy kiểm tra trong các đại lượng sau, đại lượng nào là tích phân chuyển động:

a) Năng lượng.

b) Các hình chiếu của xung lượng.

c) Các hình chiếu momen xung lượng.

d) Bình phương momen xung lượng.

Lời giải: Áp dụng điều kiện để một đại lượng động lực A là tích phân chuyển động

dựa vào công thức sau:

[ ]

Với là hàm hamilton.

Vì các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên

đạo hàm theo thời gian của các đại lượng đó bằng không. Do đó, ta chỉ cần tính

các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử hamilton là được.

a) Năng lượng tương ứng với toán tử hamilton, ta có:

[ ] [

]

[

]

[

] [ ]

[ ]

[

] [ ] [

] [ ]

Do đó, năng lượng là một tích phân chuyển động.



b) Các hình chiếu xung lượng tương ứng với các toán tử: , , .

[ ]

[

]

[

]

[ ]

[ ]

[

]

[

]

[ ]

[ ]

[

]

[

]

[ ]

Như vậy, hình chiếu xung lượng lên trục x không phải là tích phân chuyển

động, còn hình chiếu xung lượng lên trục y và z là tích phân chuyển động.

c) Các hình chiếu momen xung lượng tương ứng với các toán tử: ,

, .

[ ]

[

]

[

]

[ ]

( [ ] [ ] )

[ ]

([ ] [ ] [ ] [ ])

[ ]

[

]

[

]

[ ]

( [ ] [ ] )

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[

]

[

]

[ ]

( [ ] [ ] )

[ ]

( )

([ ] [ ])

( [ ] [ ])

Do đó, hình chiếu momen xung lượng lên trục x là tích phân chuyển động,

còn lên các trục y và z không phải.



d) Bình phương momen xung lượng có toán tử tương ứng là .

[ ] [

⁄ ]

[

] [ ]

Áp dụng ví dụ 4, ta có:

[ ] ( )

[ ] (

)

(

)

Từ đó, ta được kết quả: [ ]

Do đó, bình phương momen xung lượng không phải là tích phân chuyển

động.

2.2.7. Bài tập 7:

Những đại lượng động lực nào sau đây: năng lượng, các hình chiếu của

xung lượng, các hình chiếu của momen xung lượng được bảo toàn khi hạt

chuyển động trong trường thế biến thiên .

Lời giải:

Muốn biết được đại lượng động lực A có phải là đại lượng bảo toàn ta phải

áp dụng công thức sau:

[ ]

Trước hết ta xét toán tử Hamilton có dạng:

(

)

Ta có:

(

)

[ ]

[

]

[

]

[

]

[

]

[ ]

[ ] [ ]

[

] [ ]



Do đó, năng lượng không phải là đại lượng bảo toàn.

Đối với các đại lượng động lực khác thì nó không phụ thuộc tường minh

vào thời gian do đó ta chỉ cần tính giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán

tử hamilton.

Đối với các hình chiếu của momen xung lượng lên các trục có các toán tử

tương ứng là: , .

Ta có:

[ ] [

(

) ]

[

] [ ]

[

] [ ] [

] [ ]

[ ] [

(

) ]

[

] [ ]

[

] [ ] [

] [ ]

[ ] [

(

) ]

[

] [ ]

([

] [ ] [

]) [ ]

Đối với các hình chiếu của momen xung lượng lên các trục có các toán tử

tương ứng là: , .

Ta có:

[ ] [

(

) ]

[

] [ ]

([

] [ ] [

]) [ ]

( [ ] [ ] [ ] [ ])

( )



[ ] [

(

) ]

[

] [ ]

([

] [ ] [

]) [ ]

( [ ] [ ] [ ] [ ])

[ ] [

(

) ]

[

] [ ]

([

] [ ] [

]) [ ]

( [ ] [ ] [ ] [ ])

( )

Như vậy, các đại lượng được bảo toàn là: hình chiếu của xung lượng lên

trục x, và lên trục y, hình chiếu momen xung lượng lên trục z.

2.2.8. Bài tập 8.

Những đại lượng động lực nào sau đây: năng lượng, các hình chiếu của

xung lượng, các hình chiếu của momen xung lượng và bình phương momen

cung lượng được bảo toàn khi hạt chuyển động trong trường đối xứng xuyên

tâm.

Lời giải:

Vì các đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên ta chỉ cần

tính các giao hoán tử tương ứng của các đại lượng với toán tử hamilton.

Dạng của toán tử Hamilton trong trường thế xuyên tâm là:

{

(

)

}

trong đó: phần góc của toán tử laplace có dạng:

(

(

)

)



Toán tử tương ứng của hình chiếu xung lượng lên các trục là:

(

)

(

)

(

)

Các toán tử tương ứng của hình chiếu momen xung lượng lên các trục là:

{

}

{

}

Ta lần lượt đi tính các giao hoán tử của các toán tử tương ứng với toán tử

hamilton.

Trước hết ta tính cho năng lượng có toán tử tương ứng là: , ta có:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Thay dạng của toán tử năng lượng vào phương trình trên, ta được:

[ ]

(

)

(

)

Như vậy năng lượng là một đại lượng bảo toàn.

Đối với các hình chiếu của xung lượng lên các trục, ta có:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ (

)]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ (

)]



[ ] [ ] [ ] [ ]

[ (

)]

Như vậy, các hình chiếu của xung lượng lên các trục là đại lượng không

bảo toàn.

Đối với các hình chiếu momen xung lượng lên các trục, ta có:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ {

}]

{

}

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ {

}]

{

}

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [

]

Do đó, các hình chiếu momen xung lượng lên các trục là đại lượng bảo

toàn.

Đối với bình phương momen xung lượng thì ta có:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[

(

(

)

)]

(

(

)

)

Vậy bình phương momen xung lượng là đại lượng bảo toàn.



Phần III: Kết Luận

Dựa vào mục đích nghiên cứu của đề tài chúng ta đã giải quyết được một

số vấn đề cơ bản sau đây:

- Hệ thống hóa được kiến thức cơ bản của chương “sự thay đổi đại lượng

động lực theo thời gian”.

- Xây dựng được hệ thống bài tập cơ bản nhất của chương, chủ yếu là phần

tích phân chuyển động hay là sự bảo toàn của một đại lượng.

- Trình bày được cách giải bài tập hỗ trợ cho việc học tập tốt chương này

trong hệ thống bài tập môn cơ học lượng tử.

- Sử dụng nhuần nhuyễn cách tính các giao hoán tử giữa các toán tử với

toán tử Hamilton.

Nhìn chung chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” tương

đối ít bài tập. Tuy nhiên, nó là chương góp phần giúp ta hiểu rõ hơn về vấn đề

của một đại lượng động lực. Qua bài tiểu luận, em thấy kiến thức của bản thân

còn nhiều hạn chế, việc giải bài tập chưa được nhuần nhuyễn và còn nhiều

vướng mắc cần phải cố gắng hơn nữa.

Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai sót, do đó mong GVHD

thông cảm và góp ý thêm cho bài làm được hoàn chỉnh.Thông qua bài tiểu luận

này, theo em trong giảng dạy vật lý phải xây dựng các ví dụ cụ thể cho mỗi phần

lý thuyết để dễ dàng hệ thống hóa được kiến thức một cách sâu sắc hơn.



Tài Liệu Tham Khảo

1. Giáo trình Cơ Học Lượng Tử (Lê Đình – Trần Công Phong), NXB

ĐH Huế, năm 2012.

2. Bài tập Vật lý lý thuyết – tập 2 (Ngyễn Hữu Mình (cb) – Tạ Duy Lợi –

Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Trường), NXB Giáo Dục – 2007.

3. Cơ học lượng tử (Phạm Quý Tư – Đỗ Đình Thanh), NXB ĐHQG Hà

Nội.

4. Bài tập cơ lượng tử (Vũ Văn Hùng), NXB ĐH Quốc Gia – 2006.

5. Bài tập cơ học lượng tử (Hoàng Dũng), NXB Đại Học Quốc Gia

Thành phố Hồ Chí Minh – 2002.

Documents

baitieuluan hóa lượng tử