Upload
others
View
20
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
1
BÖLÜM 2
Fonksiyonlar
2.1. Fonksiyon Nedir
2.2. Fonksiyonların Grafikleri
2.3. Bir Fonksiyonun Grafiğinden Bilgi Edinmek
2.4. Bir Fonksiyonun Ortalama Değişim Oranı
2.5. Fonksiyonların Birleştirilmesi
2.6. Birebir Fonksiyonlar ve Tersleri
Modellemeye Odaklanmak – Fonksiyonlar ile Modelleme
Gerçek dünyayı modellemek için kullanılabilecek muhtemelen en kullanışlı fikir “fonksiyon”
kavramıdır. Şu örneği inceleyelim: Bir dağcı bir taşı yüksek bir tepeden aşağı bıraktığında taşın
düşeceğini biliriz. Ancak bu genel tarif bize taşın ne zaman yere düşeceğini açıklamaz. Bunu
açıklayabilmek için taşın düştüğü mesafe d ile düşme süresini ilişkilendirecek bir kurala ihtiyaç vardır.
Bu kuralı ilk bulan Gailileo idi. t saniyede taş 16t2 kadar düşer. Bu kurala bir “fonksiyon” denir. Bu
fonksiyonu şu şekilde yazarız d(t)=16t2 . Bu fonskiyon modelini kullanarak taşın ne zaman yere
düşeceğini kestirimleyebiliriz. Kitabın bu bölümünde fonksiyonların özelliklerini ve fonksiyon
medellerinin bize modellenen “şey” ve “süreç”ler ile ilgili kesin bilgi sağlamada nasıl yardımcı olacağı
ile ilgileneceğiz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
2
2.1 Fonksiyon Nedir
Etfarımızdaki Fonksiyonlar Fonksiyonun Tanımı Bir Fonksiyonun Değerlendirilmesi
Fonksiyonun Tanım Kümesi Bir Fonksiyonu Göstermenin Dört Yolu
Etrafımızdaki Fonksiyonlar
Neredeyse tüm fiziksel olaylarda bir büyüklüğün başka bir büyüklüğe bağlı olduğunu gözlemleriz.
Örneğin boyunuz yaşınıza bağlıdır, sıcaklık tarihe, postaladığınız bir paketin posta maliyeti ise
ağırlığına bağlıdır (Bknz şekil 1). Bir büyüklük ile diğer bir büyüklük arasındaki bağımlılığı açıklamak
için “fonksiyon” terimini kullanırız. Buna dayanarak şunları söyleyebiliriz:
- Boy yaşın bir fonksiyonudur
- Sıcaklık tarihin bir fonksiyonudur.
- Bir paketin posta maliyeti ağırlığının bir fonksiyonudur
Amerikan Posta Ofisi ağırlığı göz önüne alarak posta maliyeti hesaplamada oldukça basit bir kural
belirlemiştir. Ancak yaş ile boy arasında veya sıcaklık ile tarih arasındaki ilişki ile ilgili kuralı belirlemek
pek de kolay değildir.
Başka fonksiyonlar düşünmeyi deneyin, işte birkaç örnek:
-Bir dairenin alanı çemberin yarıçapının fonksiyonudur.
-Bir kültürdeki bakteri sayısı zamanın bir fonksiyonudur.
-Bir astronotun ağırlığı rakımın bir fonksiyonudur
-Bir malın fiyatı o mala olan talebin bir fonksiyonudur.
Bir dairenin alanı A ‘nın ile o dairenin yarıçapına nasıl bağlı olduğunu gösteren kural
A=πr2 formülü ile verilir.
Bir fonksiyonu tanımlamak için kesin bir kural veya formül mevcut olmasa bile fonksiyonu grafik ile
tanımlayabiliriz. Örneğin bir sıcak su vanasını açtığımızda suyun sıcaklığı suyu ne kadar süre önce
açtığımıza bağlıdır. Bu durum şu şekilde ifade edilebilir:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
3
Musluktan akan suyun sıcaklığı suyu ne kadar süre önce açtığımızın bir fonksiyonudur.
Şekil 2 bir sıcak su vanası açıldıktan sonra geçen zamanın (t) fonksiyonu olarak musluktan akan suyun
sıcaklığı (T) nın kaba grafiğini göstermektedir. Grafiğe göre başlangıçta suyun sıcaklığı oda sıcaklığına
çok yakındır. Su, sıcak su tankından musluğa ulaştığında suyun sıcaklığı T hızla yükselir.
Sonraki safhada suyun sıcaklığı tankın içindeki suyun sıcaklığına eşittir. Tanktaki su bittiğinde su
sıcaklığı sistemden ulaşan soğuk suyun sıcaklığına düşer.
Fonksiyonun Tanımı
Fonksiyon bir kuraldır. Bir fonksiyondan söz edebilmek için ona bir isim vermek gerekir. Bir
fonksiyonu anlatırken f,g,h gibi harfleri kullanacağız. Örneğin aşağıdaki gibi bir kuralı gösterebilmek
için f harfini kullanacağız.
“f” ile ilgili kural şudur: “sayının karesini al”
f(2) yazdığımızda “f kuralını 2 sayısına uygula anlamına gelmektedir. Kural uygulandığında
f(2)=22 =4 sonucunu verir. Buna benzer olarak f(3) =33 =9, f(4) =42 =16 yazılabilir. Eğer
genelleştirilirse: f(x)=x2 yazılabilir.
Bir Fonksiyonun Tanımı: Bir f fonksiyonu A gibi bir küme içindeki her bir x elemanını , B kümesinde
f(x) şeklindeki tek bir elemanla eşleştiren bir kuraldır.
Genellikle ele aldığımız fonksiyonlarda A ve B kümeleri gerçel sayılardan oluşmaktadır. f(x) sembolu
Türkçede f x fonksiyonu olarak telaffuz edilir ve f in x teki değerini ifade eder. Başka bir deyişle x in f
teki görüntüsünü ifade eder. A kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir. x değerlerinin değişimine
bağlı olarak f(x) in alabileceği tüm mümkün değerleri gösteren kümeye f in değer kümesi denir.
𝑓 in değer kümesi olarak yazılabilir.
𝑓 fonksiyonunun tanım kümesindeki keyfi bir sayıyı gösteren sembole “bağımsız değişken” denir. 𝑓 in
değer kümesindeki bir sayıyı gösteren sembole “bağımlı değişken” denir.
Böylece y=f(x) yazarsak bu durumda x bağımsız değişkeni y ise bağımlı değişkeni gösterir.
Fonksiyonu bir makine olarak düşünmek oldukça yararlı olacaktır. (Bknz. Şekil 3.) Eğer x, f
fonksiyonunun tanım kümesinde ise x makineye giren bir girdi olarak düşünülebilir ve makine de f(x)
fonksiyonunun ortaya koyduğu kurala bağlı olarak bir çıktı üretir. Böylece tanım kümesini mümkün
olan tüm girdileri ve değer kümesi de mümkün olan tüm çıktıları gösterir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
4
Bir fonksiyonu göstermenin diğer bir yolu da şekil 4. te örneği bulunan ok diyagramıdır. Her ok A nın
bir elemanını B nin bir elemanı ile birleştirir. Ok f(x) in x ile bağlantılı olduğunu f(a) nın a ile bağlantılı
olduğunu vb. gösterir.
ÖRNEK 1 Bir Fonksiyonun Analiz Edilmesi
Bir f fonksiyonu şu formülle tanımlanmıştır
a) f fonksiyonunun x girdisinden f(x) çıktısını nasıl ürettiğini kelimeler ile ifade ediniz
b) f(3) , f(-1) , ve f(√5) i değerlendirin
c) f in tanım ve değer kümesini bulun
d) f için bir makine diyagramı çizin
ÇÖZÜM
a) formül bize x girdisinin önce karesini almamız gerektiğini sonra ise bunun sonucuna 4 değerini
eklememizi söylüyor. Yani f fonksiyonu
“Kare al sonra 4 ekle” şeklindedir
b) f değerleri formülünde x in yerine verilen değerleri yazarak bulunur.
c) f in tanım kümesi f in mümkün bütün girdilerinden oluşur. formülünü tüm x reel
sayıları için değerlendirebileceğimizden f in tanım kümesi tüm R reel sayılar kümesinden oluşur.
X yerine 3 yazın
X yerine -2 yazın
X yerine kök5 yazın
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
5
f in değer kümesi f in mümkün tüm çıktılarından oluşur. Tüm x reel sayıları için olduğundan
dolayı olacaktır. Böylece f in tüm çıktıları için olur diyebiliriz.Bu yüzden f in
değer kümesi olur.
d) f için bir makine diyagramı şekil 5 te gösterilmiştir.
Şimdi egzersiz 9, 13, 17 ve 43 ü deneyin
Bir Fonksiyonu Değerlendirmek
Fonksiyonun tanımında bağımsız değişken x bir yer tutucu olarak davranır. Örneğin,
fonksiyonu şeklinde düşünülebilir.
ÖRNEK 2
fonksiyonu verilsin. Aşağıdaki fonksiyonları değerlendirin.
ÇÖZÜM
f i bir sayı için değerlendirmek için f in tanımındaki x in yerine sayıyı yerleştiririz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
6
ÖRNEK 3
Parçalı Tanımlı Fonksiyon
Bir cep telefonu tarifesi aylık 39$ maliyetlidir. Bu plan 400 dk. konuşma dahildir. Bunu aşan her ekstra
dakika 20c ek maliyet yaratmaktadır. Aylık telefon faturası kullanılan dakikaların bir fonksiyonudur ve
şu şekilde gösterilebilir:
C(100), C(400) ve C(480) i bulunuz.
ÇÖZÜM
Fonksiyonun bir kural olduğunu hatırlayın. Bu fonksiyon için kuralı şu şekilde uyguluyoruz.
Önce x girdisinin değerine bakalım. Eğer ise C(x) in değeri 39 +0.20(x-400) olur.
100≤400 olduğunda C(100) =39
400≤400 olduğunda C(400) = 39
480>400 olduğunda C(480) = 39+0.20(480-400) = 55
Böylelikle tarifeye göre 100 dk için 39$ , 400 dk. İçin 39$ ve 480 dk. için 55$ maliyet oluşur.
Şimdi egzersiz 27 yi deneyin
ÖRNEK 4
Fonksiyonun değerlendirilmesi.
Eğer aşağıdakileri değerlendirin.
ÇÖZÜM
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
7
(d) c ve a d aki çözümleri kullanarak
yazılabilir.
Şimdi egzersiz 35 i deneyin
Örnek 5
Bir Astronotun Ağırlığı
Eğer bir astronot dünyanın yüzeyinde 130 pound çekiyorsa , dünya yüzeyinden h mil kadar yüksekte
bulunduğunda ağırlığı şu fonksiyon ile hesaplanır.
a) Dünya yüzeyinden 100 mil yüksekte iken astronotun ağırlığı ne olur
b) 0 ile 500 mil yükseklikler arasında astronotun ağırlık değerlerini verecek bir w fonksiyonu için bir
değerler tablosu oluşturun.
ÇÖZÜM
a) h=100 olduğunda w fonksiyonun değerini istiyoruz, yani w(100) değerini bulmak istiyoruz.
,
Böylece 100 mil yükseklikte astronot 124 lb dir.
b) Tablo astronotun ağırlığını 100 millik artışlar ile ve en yakın pound değerine yuvarlatılmış haliye
vermektedir. Tablodaki değerler a şıkkındakine benzer olarak hesaplanmıştır.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
8
Tablo bize astronotun yükseklere çıktıkça daha hafif olduğunu göstermektedir.
Şimdi egzersiz 71 i deneyin
Bir Fonksiyonun Tanım Kümesi
Bir fonksiyonun tanım kümesinin, fonksiyon için tüm girdilerin oluşturduğu küme olduğunu
hatırlayalım. Bir fonksiyonun tanım kümesi açık bir şekilde ifade edilebilir. Örneğin :
Yazdığımızda tanım kümesi aralığındaki tüm x reel sayılar kümesidir. Eğer fonksiyon
cebirsel bir ifade ile verilirse ve tanım kümesi açık olarak verilmezse; fonksiyonun tanım kümesi
cebirsel ifadenin tanım kümesidir, öyle ki: bu küme ifadenin reel sayı olarak tanımlı olduğu tüm reel
sayılar kümesidir. Örneğin şu fonksiyonu ele alalım:
f fonksiyonu x=4 noktasında tanımlı değildir, bu durumda tanım kümesi olur.
G fonksiyonu negative x ler için tanımlı değildir, bu yüzden tanım kümesi olur.
ÖRNEK 6
Fonksiyonların tanım bölgelerinin bulunması
Aşağıdaki her fonksiyonun tanım kümesini bulun
ÇÖZÜM
a) Rasyonel bir ifade paydası sıfıra eşit olduğunda tanımsızdır.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
9
yazıldığında f(x) 0 ve 1 noktalarında tanımsız olur. Böylece f in tanım kümesi
olarak ifade edilir.
Tanım kümesi aralık notasyonu kullanılarak şu şekilde de yazılabilir:
b) Negatif bir sayının karekökü alınamaz bu yüzden olması gerekir. Kısım 1.7 deki metodu
kullanarak bu eşitliği çözebiliriz ve sonucunu elde ederiz. Buradan g nin görüntü
kümesi
Olur
c) Negatif bir sayının karekökü alınamaz ve sayı 0 a bölünemez bu yüzden olmalıdır böylece
elde edilir. Böylece h nin tanım kümesi
olur
Şimdi egzersiz 47 ve 51 i yanıtlayın.
Bir Fonksiyonu İfade Etmenin 4 Yolu
Bir fonksiyonun ne olduğunu anlamak için makine ve ok diyagramını kullandık. Belirli bir fonksiyonu
tanımlamak için aşağıdaki 4 metodu kullanabiliriz.
-Sözle (Kelimelerle ifade ederek)
-Cebirsel olarak (Açık bir formül ile)
-Görsel olarak (Grafik yardımı ile)
- Sayısal olarak (Değerler Tablosu ile)
Bir fonksiyon tüm bu 4 form ile ifade edilebilir ve fonksiyonla ilgili görüş edinmek için bir gösterimden
diğerine geçmek faydalı olur.
Ancak bazı fonksiyonları belli bir metotla tanımlamak daha doğal olacaktır. Örneğin sıcaklık ölçeklerini
dönüştürmek için kullanılan bir fonksiyonunun sözel ifadesi:
“Celsius derecenin fahrenheit karşılığını bulmak için celsius sıcaklığı 9/5 ile çarpıp 32 ekleriz.”
Şeklindedir
Örnek 7 de bu sözlü kural cebirsel, grafiksel ve sayısal olarak ifade edilmiştir.
Bir dairenin alanının yarıçapın bir fonksiyonu olarak cebirsel gösterimi oldukça yararlı olacaktır:
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
10
Bir sismograf tarafından üretilen grafik (Sonraki sayfada gösterilmekte) deprem sırasında yerin dikey
ivmelenme fonksiyonunun görsel bir ifadesidir.
Son bir örnek olarak sözel bir ifade ile; w ağırlığa sahip birinci sınıf bir mektubun posta maliyetini
gösteren C(w) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonu göstermenin en iyi yolu sayısal ifade etmek
yani tablo ile göstermektir.
Kitapta tüm bu 4 gösterim de kullanılacaktır. Bunlar aşağıdaki kutuda özetlenmiştir.
Sözel
Celsius derecenin fahrenheit karşılığını bulmak için celsius sıcaklığı 9/5 ile çarpıp 32 ekleriz.
Cebirsel
Alan formülü
Sayısal
Posta maliyetleri için sayı tablosu
Örnek 7
Bir fonksiyonu sözel , cebirsel, grafiksel ve sayısal ifade etmek
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
11
F(C) , C, Celsicus sıcaklığına karşı F, Fahrenheit sıcaklığını göstersin. Yani F(C) Celsius girdiyi
Fahrenheit çıktıya dönüştüren fonksiyondur. Yukarıdaki kutuda bu fonksiyonun sözel ifadesi
mevcuttur. Bu fonksiyonu göstermenin başka yollaını bulunuz.
a) Cebirsel
b) Sayısal
c) Görsel
Çözüm:
Çözüm
a) Sözel ifade bize Celsius derecenin fahrenheit karşılığını bulmak için celsius sıcaklığı 9/5 ile çarpıp 32
eklememizi söyler bu durumda
olur
b) Önceki şıktaki F fonksiyonunu kullanarak tablo oluşturulabilir.
c) Önceki şıktaki tabloyu grafik çizmekte kullanarak şu grafik elde edilebilir.
2.2 Fonksiyonların Grafikleri
Bir fonksiyonu görselleştirmedeki en önemli yol grafik çizmektir. Bu bölümde fonksiyonların grafikle
gösterimini ele alacağız.
Noktaları işaretleyerek fonksiyonun grafiğinin çizilmesi
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
12
F Fonksiyonunun graiğini çizmek için fonksiyonun gösterdiği (x,f(x)) noktalarını koordinat sistemi
üzerinde işaretleriz. Başka bir ifade ile x koordinatı girdi ve y koordinatı buna karşı gelen çıktı olacak
şekilde (x,y) noktalarını işaretleriz.
Bir f fonksiyonunun grafiği bir fonksiyonun “hayat tarihi” nin bir resmini sunar.
f(x) in değerini grafikten fonksiyonun x in üzerindeki yüksekliği olarak okuyabiliriz. (Şekil 1.)
formundaki bir fonksiyon doğrusal bir fonksiyondur çünkü
denkleminin grafiği m eğime ve y-kesiminin b de olduğu bir doğru teşkil eder.
m=0 olduğunda doğrusal fonksiyonun özel bir hali ortaya çıkar. f(x)=b fonksiyonu bir sabit
fonksiyondur çünkü tüm değerleri b gibi sabit bir sayıya eşit olur. Grafiği ise yatay y=b doğrusudur.
Şekil 2 sabit fonksiyon f(x) =3 ve doğrusal fonksiyon f(x) = 2x+1 in grafiklerini göstermektedir.
Bir Fonksiyonun Grafiği
Eğer f, A tanım kümeli bir fonksiyon ise f in grafiği aşağıda
gösterilen sıralı ikililerin tamamının oluşturduğu noktalar
kümesidir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
13
Örnek 1 Noktaları İşaretleyerek Grafik Çizimi
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz
Çözüm
Öncelikle değerler için tablo oluştururuz. Daha sonra tablodaki noktaları düzgün bir eğri teşkil edecek
şekilde birleştiririz. Grafikler Şekil 3 te verilmiştir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
14
Örnek 2
Kuvvet fonksiyonları ailesi
a) fonksiyonun grafiğini n=2,4,6 için [-2,2] ve [-1,3] dikdörtgeninin görüntüsü içine çizin
b) fonksiyonun grafiğini n=1,3,5 için [-2,2] ve [-2,2] dikdörtgeninin görüntüsü içine çizin
c) Bu grafiklerden hangi sonuçları elde edebilirsiniz.
Çözüm
fonksiyonunu çizebilmek için denkleminin grafiğini çiziyoruz. a ve b için grafikler
şekil 5 te verilmiştir.
Şekil 5
c için dikkat edilirse nin grafiğinin şekli n sayısının tek veya çift olmasına bağlıdır.
n çift ise in grafiği x2 parabolune benzerdir
n tek ise in grafiği x3 parabolüne benzerdir.
Şekil 5 incelenirse n arttığında nin grafiği 0 civarında düzleşirken de dik hale gelir.
aralığında x in düşük kuvvetleri “daha büyük” fonksiyonlardır.
olduğunda ise x in yüksek kuvvetleri baskın fonksiyonlardır.
Parçalı Tanımlı Fonksiyonların Grafiği
Parçalı tanımlı bir fonksiyon tanım aralığının farklı bölgelerinde farklı formüllerle tanımlanır. Bu
yüzden de grafikleri ayrık parçalardan oluşur.
Örnek 4
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
15
Fonksiyonunun grafiğini çizin
Çözüm
Eğer ise olur grafiğin x=1 in solunda kalan kısmı nin şekil 3 te çizilen
grafiğine benzer. ise olur. Grafiğin x=1 in solunda kalan kısmı
doğrusuna benzer, bu da şekil 2 de çizilmişti. Bu bilgilerle şekil 6 daki grafik
oluşturulabilir. (1,1) noktasındaki koyu renkli nokta bu noktanın grafiğe dahil olduğunu
belirtmektedir. (1,3) teki içi boş nokta ise bu noktanın grafiğe dahil olmadığını göstermektedir.
Örnek 5
Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği
mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizin.
Çözüm
Hatırlanacak olursa
Örnek 4 teki metodu kullanarak y ekseninin sağında fonksiyonun y=x doğrusuna eşit olduğunu
görürüz ve y ekseninin solunda ise fonksiyon y=-x şeklindedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
16
En büyük tamsayı fonksiyonu
= x eşit veya x ten daha küçük en büyük tamsayı
Şeklinde tanımlanır.
Örnek 6
En büyük tamsayı fonksiyonu nun grafiği
fonksiyonunun grafiğini çiziniz
Çözüm:
Tablo x in bazı değerleri için f değerlerini göstermektedir. Dikkat edilirse f(x) in ardık tamsayılar
arasında sabit olduğu görülür, bu yüzden de grafik şekil 8 deki gibi bölümlenmiş yatay çizgilerden
oluşur.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
17
En büyük tamsayı fonksiyonu “basamak fonksiyonu” na örnek teşkil eder.
Örnek 7
Toronto –Kanadadan, Mumbai-Hindistana uzun mesafe telefon görüşmesinin maliyeti ilk dakika için
69 sent sonraki her ek dakika için 58 sent şeklinde gerçekleşmektedir. Zamanın (t) bir fonksiyonu
olarak maliyetin (C) grafiğini çiziniz.
Çözüm
C(t) , t dakika için maliyeti göstersin olduğundan dolayı fonksiyonun tanım kümesi
olur. Bu bilgi ile:
Yazılabilir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
18
Bir fonksiyonun grafiğinde bir kesiklik veya boş nokta yoksa bu fonksiyona “süreklidir” denir.
1,2,3,5 no lu örnekler sürekli fonksiyonları içerirken; 4,6,7 süreksizdir.
Düşey Doğru Testi
Bir fonksiyonun xy düzlemindeki grafiği eğridir. Bu, akla şu soruyu getirmektedir. xy düzlemindeki
hangi grafikler bir fonksiyonun grafiğidir. Bu sorunun cevabını şu test verir.
D üşey Doğru Testi:
Bir eğri ancak ve ancak hiç bir düşey doğru grafiği tek bir seferden fazla kesmiyorsa bir fonksiyona
aittir denilebilir.
Şekil 10 incelenirse testin doğruluğu anlaşılabilir. Eğer her x=a düşey doğrusu eğriyi tek bir (a,b)
noktasnda kesiyorsa ifadesi ile tek bir fonksiyonel değer belirlenir. Eğer
x=a doğrusu eğriyi (a,b) ve (a,c) gibi iki noktada keserse eğri bir fonksiyonu temsil edemez çünkü bir
fonksiyon a ya iki farklı değer atayamaz.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
19
Örnek 8
Düşey doğru testi
Düşey doğru testi ile b ve c nin bir fonksiyonu temsil ettiğini a ve nin ise etmediğini görürüz.
Fonksiyon Tanımlayan Denklemler
x ve y değişkenlerini içeren her bir denklem bu değişkenlerin ilişkisini tanımlar.
Örneğin
denklemi y ile x arasındaki ilişkiyi açıklar. Bu denklem y yi x in bir fonksiyonu olarak tanımlar mı? Bunu
bulabilmek için denklemi çözüp
Elde edilir.
Buradan görmekteyiz ki denklem her bir x değerine tek bir y değeri atayan bir kursl tanımlamaktadır.
Bu kuralsı fonksiyon notasyonu ile
Şeklinde yazabiliriz.
Ancak her denklem y yi x in bir fonksiyonu olarak tanımlamaz. Sonraki örnek bununla ilgilidir.
Örnek 9
Fonksiyon Tanımlayan Denklemler
Denklemler y yi x in fonksiyonu olarak tanımlamakta mıdır?
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
20
Çözüm
a) x cinsinden y nin çözümü ile
Elde edilir.
Son denklem her x için y ye tek bir değer verir. Buradan y nin x in bir fonksiyonu olarak tanımlandığını
görürüz.
Fonksiyonu
şeklinde yazarız.
b) y yi x cinsinden çözdüğümüzde
Son denklem x in bir değeri için 2 farklı y değeri vermektedir. Bu yüzden y x in bir fonksiyonunu
tanımlamaz.
Örnek 9 daki örneklerin grafikleri şekil 12 de gösterilmiştir. Düşey doğru testi a daki denklemin
fonksiyon olduğunu ancak b dekinin olmadığını göstermektedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
21
Aşağıdaki tabloda bu kitapta sıklıkla karşımıza çıkacak bazı fonksiyonların grafikleri gösterilmiştir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
22
2.3 Bir Fonksiyonun Grafiğinden Bilgi Almak
Bir fonksiyonun pek çok özelliği fonksiyonu tanımlayan kural veya formülden ziyade fonksiyonun
grafiği incelenerek elde edilir. Bu bölümde bir fonksiyonun grafiğinin fonksiyonun artıyor mu azalıyor
mu olduğunu ve hangi noktada maksimum ve minimum olduğunu nasıl anlattığını inceleyeceğiz.
Bir Fonksiyonun Değerleri, Tanım Ve Görüntü Kümeleri
Bir fonksiyonun tam bir grafiği fonksiyonla ilgili tüm bilgileri verir çünkü grafik bize hangi girdilerin
hangi çıktılara karşılık geldiğini gösterir. Bir fonksiyonun grafiğini analiz ederken aklımızda tutmamız
gereken eğrinin yüksekliğinin fonksiyonun değerine eşit olduğudur. Böylece fonksiyonun değerlerini
grafikten okuyabiliriz.
Örnek 1
Bir fonksiyonun değerini grafiğinden okumak
Şekil 1 de grafiği gösterilen T fonksiyonu bir merkezdeki öğlen ile akşamüstü 6 arasındaki sıcaklıkları
vermektedir.
a) değerlerini bulun
b) T(2) mi T(4) mü daha büyüktür.
c) için x değerlerini bulun
d) için x değerlerini bulun
Çözüm
a) T(1) öğleden sonra saat 1:00 deki sıcaklıktır. x=1 noktasında grafiğin yüksekliği ile gösterilir.
Böylece olur.
b) Grafik x=2 de x=4 den daha yüksektir bu yüzden T(2) de T(4) den daha büyüktür.
c) x=1 iken ve x=4 iken grafiğin yüksekliği 25 tir. Başka bir deyişle öğleden sonra saat 1:00 de ve saat
4:00 de sıcaklık 25 derecedir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
23
d) x, 1:00 ve 4:00 arasındayken grafik 25 ten daha yüksektir. Başka bir deyişle saat 1:00 ve 4:00 arasında
sıcaklık 25 ten yüksektir.
Şekil 2 de görülfdüğü gibi, bir fonksiyonun grafiği bize fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini x ve
y eksenleri üzerinde göstermemize yardım eder.
Örnek 2
Grafikten tanım ve görüntü kümesini bulmak
Grafiği aşağıda verilen fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini bulun
Şekilden tanım kümesi görüntü kümesi ise şeklinde olduğu görülmekte.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun grafiğinin nerede yükselip nerede alçaldığını bilmek oldukça faydalıdır. Şekil 4 de
gösterilen grafik artmakta azalmakta ve sonra tekrar artmaktadır.A dan B ye artmakta B den C ye
azalmakta ve C den D ye tekrar artmaktadır.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
24
Artan ve Azalan Fonksiyonların Tanımı :
l aralığında iken eğer ise l gibi bir aralıkta f artmakta
l aralığında iken eğer ise l gibi bir aralıkta f azalmaktadır.
Örnek 3
Bir fonksiyonun arttığı ve azaldığı aralıklar
Şekil 5 teki grafik x yaşında bir kişinin W ağırlığını göstermektedir. W nun arttığı ve azaldığı aralıkları
belirleyin
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
25
Çözüm
W fonksiyonu {0,25] ve [35,40] aralığında artmakta ve [40,50] aralığında azalmaktadır. Fonksiyon
[25,30] ve [50,80] aralığında sabittir (Yani ne artmakta ne azalmaktadır) . Bu da kişinin 25 yaşına
kadar kilo aldığını sonra da 35 , 40 yaş arasında tekrar kilo aldığını ve 40 yaşından 50 yaşına kadar kilo
verdiğini göstermektedir.
Örnek 4
Fonksiyonun arttığı ve azaldığı aralıkları bulmak
a) fonksiyonunun grafiğini hesap makinesi kullanarak çizin
b) Fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini bulun
c) f in arttığı ve azaldığı aralıkları bulun
Çözüm
a) Hesap makinesi yardımı ile:
b) Grafikten tanım kümesinin ve görüntü kümesinin olduğunu görmekteyiz
c) F aralığında azalmakta ve aralığında artmaktadır.
Bir Fonksiyonun Yerel Maksimum ve Yerel Minimum Değerleri
Pek çok uygulamada fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin bulunması çok önemlidir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
26
Örneğin bir fonksiyon geliri veya karı belirtiyorsa maksimum değeri ile ilgileniriz. Fonksiyon maliyeti
gösteriyorsa minimum noktası ile ilgileniriz. Bu değerleri fonksiyonun grafiğinden bulabiliriz. Önce
yerel maksimum ve yerel minimumu tanımlayaralım:
a) Eğer x a ya yakın iken ise fonksiyonun f(a) değeri lokal maksimumdur.
Bu şu anlama gelmektedir: a yı içeren açık aralıklarda tüm x değerleri için olur.
Bu durumda f fonksiyonu x=a da yerel maksimuma sahiptir
b) Eğer x a ya yakın iken ise fonksiyonun f(a) değeri lokal minimumdur.
Bu şu anlama gelmektedir: a yı içeren açık aralıklarda tüm x değerleri için olur.
Bu durumda f fonksiyonu x=a da yerel minimuma sahiptir
f in grafiğinde inceledğimiz bölge için en yüksek nokta ise f in yerel maksimumudur.
Dikkat edilirse a ya yakın tüm noktalarda olur.
Benzer olarak f in grafiğinde inceledğimiz bölge için enalçak nokta ise f in yerel
minimumudur. Dikkat edilirse a ya yakın tüm noktalarda olur
2.4 Fonksiyonun Ortalama Değişim Oranı
Fonksiyonlar sıklıkla, değişen mikarları modellemek için kullanılırlar.
Bu kısımda girdi değişkenleri değiştikçe fonksiyonun değerlerinin değişim oranının nasıl bulunacağını
öğreneceğiz.
Ortalama Değişim Oranı
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
27
Hepimiz hız kavramına aşinayızdır. Eğer bir aracı 2 saatte 120 mil sürerseniz ortalama hızınız veya
seyahat oranınız olur. Diyelim bir araba yolculuğuna çıktınız ve birkaç dakika da bir
kat ettiğiniz mesafeyi kaydettiniz. s seyahat mesafesi t zamanın bir fonksiyonudur.
s fonksiyonunu şekil 1 deki gibi çizebiliriz. Grafik 1 saat sonunda 50 mil, 2 saat sonunda 75 mil ve 3
saat sonunda 140 mil kat ettiğinizi göstermektedir. Yolculuktaki herhangi iki nokta arasında ortalama
hızı bulmak için kat edilen mesafeyi geçen zamana böleriz.
Saat 1:00 ile 4:00 arasındaki ortalama hızı hesaplayalım. Geçen süre 4-1= 3 saattir. Yolculuk
mesafesini hesaplamak için saat 4:00 teki mesafeden saat 1:00 deki mesafeyi çıkartırız yani 200-50=
150 mil . Yani ortalama hız
Ortalama Hız=
Hesaplanan ortalama hız fonksiyon notasyonu ile şöyle gösterilebilir:
Ortalama Hız olur.
Dikkat edilirse farklı zaman aralıklarında ortalama hız farklıdır. Örneğin 2:00 ile 3:00 arasında:
Ortalama Hız
Pek çok durumda ortalama değişim oranının bulunması oldukça önemlidir. Örneğin bir fırtına
yaklaşırken hava sıcaklığının hangi hızla düştüğünü veya yeni bir ürünün satışından gelirlerin hangi
hızla arttığını bilmek isteriz. Böylece bu miktarları modelleyen fonksiyonlardaki ortalama değişim
oranını bulmamız gerekir. Aslında ortalama değişim oranı kavramı tüm fonksiyonlar için
tanımlanabilir.
Ortalama Değişim Oranı
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
28
x=a ile x=b arasında f(x) fonksiyonunun ortalama değişim oranı
Ortalama Değişim Oranı
Ortalama Değişim Oranı f in grafiği üzerinde x=a ile x=b arasında kalan sekant çizgisinin eğimidir.
Yani ve arasında kalan çizgi.
Örnek 1
Ortalama değişim oranının hesaplanması
Şekil 2 de gösterilen fonksiyonu için aşağıdaki noktalar için ortalama değişim
oranını bulunuz.
Çözüm
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
29
a) Ortalama Değişim Oranı =
Örnek 2
Düşen Bir Cismin Ortalama Hızı
Eğer bir cisim yüksek bir tepeden veya binadan düşmeye bırakılırsa t saniyede düştüğü mesafe
fonksiyonu ile gösterilir. Aşağıdaki zaman aralıklarında ortalama hızı (Ortalama değişim
oranı) bulun
Çözüm:
Ortalama Değişim Oranı =
Ortalama Değişim Oranı =
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
30
Örnek 2 b) de hesaplanan ortalama değişim oranına “fark bölümü” denir
Kalkülüste fark bölümü anlık değişim oranlarını bulmakta kullanılır.
Anlık değişim oranına bir örnek olarak otomobilinizdeki takometrede görünen hızı gösterebiliriz. Bu
değer otmobilin hızı değiştikçe bir andan diğerine hep değişir.
Şekil 3 teki grafik bize bir fonksiyon belli bir aralıkta artıyorsa, herhangi iki nokta arasında ortalama
değişim hızının pozitif, fonksiyon belli bir aralıkta azalıyorsa herhangi iki nokta arasında ortalama
değişim hızının negatif olduğunu göstermektedir.
b) Ortalama Değişim Oranı
a) Ortalama Değişim Oranı
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
31
Örnek 3
Ortalama sıcaklık değişim oranı
Aşağıdaki tablo bir fen öğrencisinin bir bahar günü gözlediği dış hava sıcaklıklarını göstermektedir.
Verilerin grafiği çiziniz ve aşağıdaki zaman aralıkları için sıcaklıkların ortalama değişim oranını bulun.
Çözüm:
Sıcaklık verisinin grafiği şekil 4 te gösterilmiştir. t gece yarısınıdan sonra saat cinsinden zamanı
(Örneğin 2:00 pm için t=14) göstersin.
F Fonksiyonu Şöyle tanımlansın
F(t) = t zamanında sıcaklık
Ortalama değişim saatte 2 fahrenheittır
Ortalama Değişim Oranı =
8 A.M. Deki Sıcaklık 9 A.M. Deki Sıcaklık
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
32
Ortalama değişim oranı saatte 2,5 Fahrenheittır.
Bu aralıkta değişim oranı saatte olur. Eksi işaret sıcaklığın düştüğünü gösterir.
Doğrusal Fonksiyonların Sabit Değişim Oranları Vardır
doğrusal fonsiyonu için herhangi iki nokta arasında ortalama değişim oranı m
sabitine eşittir. Bu kısım 1.10 da öğrendiğimiz gibi uygun olarak doğrusunun eğiminin y
nin x e göre ortalama değişim oranına eşit olduğunu gösterir. Diğer taraftan f fonksiyonunu sabit
ortalama değişim oranına sabitse doğrusaldır denebilir.
Örnek 4
Doğrusal Fonksiyonların Sabit Değişim Oranları Vardır
verilmiş iken aşağıdaki noktalar arasındaki ortalama değişim oranını bulun
Yanıtlardan hangi sonuçları çıkarabilirsiniz.
Çözüm
4P.M. Deki Sıcaklık
1P.M. Deki Sıcaklık b)Ortalama Değişim Oranı
b)Ortalama Değişim Oranı
7 P.M. Deki Sıcaklık
3 P.M. Deki Sıcaklık
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
33
Görülmektedir ki bu fonksiyon için ortalama değişim oranı hep 3 tür. Aslında c şıkkı ortalama değişim
oranının x=a ve x=a+h arasında hep 3 olduğunu ispat etmektedir.
2.5 Fonksiyonların Dönüşümleri
Bu kısımda bir fonksiyonun dönüşümlerinin fonksiyonun grafiğine nasıl etki ettiğini inceleyeceğiz.
Bu bize fonksiyonları nasıl grafiklendireceğimizle ilgili bir anlayış sağlayacaktır.
İlgileneceğimiz dönüşümler kayma, yansıma ve esnemedir.
Düşey Kayma
Bir fonksiyona bir sabit eklemek grafiğini düşey olarak kaydırır. Kayma sabit pozitifse yukarıya doğru
negatifse aşağı doğrudur.
Diyelim in grafiğini biliyor olalım. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini nasıl elde ederiz?
fonksiyonunun grafiğinin üzerindeki her noktanın y-koordinatı
fonksiyonunda buna karşılık gelen noktanın y koordinatının c kadar yukarısındadır. Böylelikle
in grafiğini basitçe in grafiğini c birim yukarı kaydırarak elde ederiz.
Buna benzer olarak in grafiğini de in grafiğini c birim aşağı kaydırarak elde
ederiz.
Grafiklerin Düşey Kaymaları
c>0 olduğunu varsayalım
b)Ortalama Değişim Oranı
a)Ortalama Değişim Oranı
b)Ortalama Değişim Oranı
c)Ortalama Değişim Oranı
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
34
içizmek için c birim yukarı kaydırılır
içizmek için c birim yukarı kaydırılır
Grafiklerin Düşey Kaymaları
Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çizmek için nin grafiğini kullanın.
Çözüm
fonksiyonu Kısım 2.2 de örnek 1 de çizilmişti. Şekil 1 de tekrar çizilmiştir.
Dikkat edilirse şeklindedir. g nin grafiğinin f in grafiği üzerinde
buna karşılık gelen noktanın 3 birim üzerindedir. Yani g nin grafiğini çizmek için f in grafiğini şekil
1 deki gibi 3 birim yukarı kaydırırız. Benzer şekilde h nin grafiğini çizmek için f in grafiğini şekil 1
deki gibi 2 birim aşağı kaydırırız.
Yatay Kayma
Diyelim in grafiğini biliyor olalım. Aşağıdaki grafikleri çizmek için bu bilgiyi nasıl kullanırız.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
35
nin x teki değeri in deki değerine eşittir. x-c x’in c birim solunda
olduğundan nin grafiği in sağa c birim kaymış halidir. Benzer bir akıl
yürütmeyle nin grafiğinin de in grafiğinin c birim sola kaymış halidir.
Örnek 2
Grafiklerin yatay kaymaları
Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini fonksiyonunun grafiğini kullanarak çiziniz.
Çözüm
g nin grafiğini çizmek için f i 4 birim sola kaydırın
h nin grafiğini çizmek için f i 2 birim sağa kaydırın
g ve h nin grafiğini şekil 2 de gösteriliştir
Örnek 3
Yatay ve düşey kaymaların birleştirilmesi
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
36
nin grafiğini çiziniz.
Çözüm
nin grafiği ile başlayıp ( Kısım 2.2 örnek 1 c, de gösterilmişti.) bunu 3 birim sağa
kaydıracağız. Böylece elde edilir. Bu grafiği de 4 birim yukarı kaydırarak
elde edilir.(Şekil 3.)
Grafiklerin Yansıması
Diyelim in grafiğni bilmekteyiz bununla in ve in grafikleri nasıl
çizilebilir? in y koordinatlarındaki her nokta in grafiğinde buna karşılık gelen
noktanın tam negatifidir. Yani çizilmesi istenen grafik in x eksenine göre yansımasıdır.
Diğer yandan in değeri in –x teki değerine eşittir böylece istenen grafik
in y eksenine göre simetriğidir.
Örnek 4
Grafiklerin yansıması
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
37
Aşağıdaki grafikleri çiziniz.
Çözüm
a) İşe ni grafiğiyle başlıyoruz. in grafiği nin x eksenine göre
yansımasıdır( Şekil 4).
b) in grafiği ile başlıyoruz. in grafiği in y eksenine göre
simetriğidir. (Şekil 5)
Dikkat edilirse in tanım kümesi dir.
Düşey Gerilme ve Büzülme
in grafiği biliniyor olsun , acaba in grafiği bu bilgiyle nasıl çizilir?
in y koordinatı te buna karşılık gelen y koordinatının c katıdır.
Y koordinatlarını c ile çarpmak grafiği c faktörünün etkisi kadar germek veya büzmek
anlamına gelir.
in grafiğini çizmek için :
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
38
-Eğer c>1 ise in grafiği c faktörü kadar gerilir
-Eğer 0<c<1 ise in grafiği c faktörü kadar büzülür.
Örnek 5
Grafiklerin düşey gerilme ve büzülmesi
Aşağıdaki grafikleri çizmek için i kullanınız.
Çözüm
a) g nin grafiği f in grafiğindeki tüm noktaları 3 ile çarpılarak elde edilir. Yani g y ilde etmek
için f nin grafiğini 3 faktörü kadar gereriz. Yanıt şekil 6 da daha dar parabol ile verilmiştir.
b) h nin grafiği f in grafiğindeki her noktanın y koordinatını 1/3 ile çarparak elde edilir. Yani
h nin grafiğini elde etmek için f in grafiğini 1/3 faktörü kadar büzeriz. Sonuç şekil 6 daki
daha geniş parabol olur.
Örnek 6
Kayma, Yansıma ve esneme nin birleştirilmesi
nin grafiğini çiziniz
Çözüm
nin grafiğinden başlayarak önce grafiği 3 birim sağa kaydırarak nin
grafiğini elde ederiz. Daha sonra x ekseninde 2 faktörü kadar yansıma ve germe yaparız
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
39
ve grafiğini elde ederiz. Son olarak grafiği 1 birim yukarı kaydırarak
şekil 7 deki gibi
Yatay Germe Ve Büzme
in grafiğini biliyorsak in grafiği bununla nasıl ilişkilidir? in x
teki y koordinatı in cx teki y koordinatı ile aynıdır. in grafiğindeki x
koordinatları in grafiğindeki x koordinatlarına yani 3 le çarpımına karşılık gelir.
Eğer buna tersten bakacak olursak in grafiğindeki x koordinatları in
koordinatlarının 1/3 ü ile çarpılmış halidir. Başka bir ifade ile in grafiğini
e dönüştürmek için grafiği yatay olarak 1/3 kadar büzmek (veya germek) gerekir.
Bu durum aşağıda özetlenmiştir.
in grafiğini çizmek için
Eğer c>1 ise in grafiğini 1/c faktörü kadar büzeriz
Eğer 0<c<1 ise in grafiğini 1/c faktörü kadar gereriz
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
40
Örnek 7
Grafiklerin Yatay Gerilmesi Ve Büzülmesi
in grafiği şekil 8 de verilmiştir. Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çiziniz.
Çözüm
Önceki bilgilere dayalı olarak şekil 9 ve 10 daki grafikler elde edilir.
Çift ve Tek Fonksiyonlar
Eğer bir f fonksiyonu tanım kümesindeki tüm değerler için koşulunu
sağlıyorsa f fonksiyonuna çift fonksiyon denir. Örneğin fonksiyonu çifttir çünkü
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
41
Bir çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir (Şekil 11). Bu şu anlama gelmektedir
eğer f in grafiğini için çizersek çizdiğimiz kısmı y eksenine göre yansıttığımızda
grafiğin tamamını elde ederiz.
Eğer x in tanım kümesindeki tüm değerleri için koşulu sağlanıyorsa f
fonksiyonuna tek fonksiyon denir. Örneğin fonksiyonu tektir çünkü,
Tek fonksiyonun grafiği orijin etrafında simetriktir (Şekil 12). Eğer için f i çizecek
olursak bu kısmı orijin etrafında 180 derece yansıtarak grafiğin tamamını elde edebiliriz.
(Bu da önce x ekseninde sonra da y ekseninde yansıtmaya denktir)
Örnek 8
Tek ve Çift Fonksiyonlar
Aşağıdaki fonksiyonların, tek , çift veya ne tek ne de çift olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
42
Bu yüzden f tektir
Bu yüzden g çifttir
olduğundan g ne tek ne de çifttir.
Örnek 8 deki fonksiyonların grafikleri şekil 13 te görülmektedir. f in orijin etrafında ve g nin y ekseni
etrafında simetrik olduğu h nin ise her ikisine göre de simetrik olmadığı görülmektedir.
2.6 Fonksiyonları Birleştirmek
Toplam Fark Çarpım ve Bölüm
F ve g gibi iki fonksiyon veya şeklinde birleştirilerek yeni fonksiyonlar
oluştururlar. Bunu tıpkı reel sayıları toplar, çıkarır, böler veya çarpar gibi yaparız. Örneğin
fonksiyonunu
şeklinde tanımlayalım.
şeklindeki yeni fonksiyon f ve g fonksiyonlarının toplamıdır ve x noktasındaki değeri
dir. Tabi ki eşitliğin sağ tarafı ancak hem f(x) hem de g(x) tanımlıysa, yani x hem f in
hem de g nin tanım kümesinde var ise anlamlıdır. Böylece f in tanım kümesi A ve g ninki B ise
nin tanım kümesi ikisinin kesişimidir yani Buna benzer olarak f ve g
fonskiyonlarının f-g farkı fg çarpımını ve f/g bölümünün fonksiyonlarını tanımlayabiliriz. Bunların
tanım kümesi ancak f/g için paydanın sıfır olamayacağı unutulmamalıdır.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
43
Fonksiyonların Cebri
f ve g tanım kümeleri A ve B olan iki fonksiyon olsun bu durumda f+g , f-g, fg, f/g şu şekilde
tanımlanır
Fonksiyonların birleştirilmesi ve bunların tanım kümeleri
ve olsun
a) f+g , f-g, fg, f/g fonksiyonlarını ve bunların tanım kümelerini bulun
b) ve de yi bulun.
Çözüm
a) f in tanım kümesi ve de g nin tanım kümesi ve de f ve g nin
kesişimlerinin tanım kümesi
Böylelikle
Tanım kümesi
Tanım kümesi
Tanım kümesi
Tanım kümesi
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
44
elde edilir.
Yalnız f/g nin tanım kümesinde 0 çıkarılmalıdır, çünkü g(0)=0 olduğunda tanımsızlık yaratır.
b) x=4 tüm fonksiyonların tanım kümesindedir bu yüzden aranan tüm mevcuttur.
f+g fonksiyonunun grafiği f ve g nin grafiklerinin grafiksel olarak eklenmesi ile elde edilir. Bu karşılık
gelen y koordinatlarını toplamak anlamına gelir ve nasıl olacağı sonraki örnekte gösterilmiştir.
Örnek 2
Grafiksel Eklemenin Kullanılması
f ve g nin grafikleri şekil 1 de verilmiştir. Ekleme metodunu kullanarak f+g nin grafiğini çiziniz.
Çözüm
f(x) ve g(x) değerlerini grafiksel olarak toplayarak f+g nin grafiğini elde ederiz (şekil2).
Bu da f+g nin grafiğinde S noktasının elde edilmesi için PQ doğru segmentini PR nin üzerine ekleyerek
yapılır.
TanımKümesi
TanımKümesi
TanımKümesi
TanımKümesi
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
45
Fonskiyonların Bileşkesi
Şimdi iki fonksiyonu birleştirip yeni bir fonksiyon elde ederken kullanılan çok önemli bir yolu ele
alacağız. Diyelim ve olsun. Yeni bir fonksiyon olan h şu şekilde
tanımlanabilir.
Bu yeni h fonksiyonu f ve g fonksiyonlarının ilginç bir şekilde birleştirilmesi ile elde edilir. Bir x
sayısına önce g fonksiyonunu uygular daha sonra sonuca f fonksiyonunu uygularız. Bu durumda f
kuralı karekök al şeklinde g kuralı ise kare al , bir ekle şeklindedir. Yani h kuralını elde etmek için önce
g kuralını sonra f kuralını uygularız. Şekil 3 h için makine diyagramını göstermektedir.
Genel olarak f ve g gibi iki fonksiyon verildiğinde g nin tanım kümesinde bir x ile başlarız ve g(x)
görüntüsünü buluruz. Eğer bu g(x) sayısı f in tanım kümesinde ise değerini hesaplayabiliriz.
Sonuç g yi f e yazarak elde edilen yeni bir fonksiyon olan dır. Buna f ve g g nin
bileşke fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir. (f g ile bileşkedir)
Özetle f ve g gibi iki fonksiyon mevcut iken bileşke fonksiyonu
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
46
Şeklinde tanımlanır.
un tanım kümesi , g(x), f’in tanım kümesinde iken g nin tanım kümesindeki tüm x lerin
oluşturduğu kümedir. Başka bir ifade ile ancak g(x) ve f(g(x) tanımlı iken tanımlıdır.
ok diyagramı ile aşağıdaki gibi gösterileblir:
Örnek 3
Fonksiyonların bileşkelerini bulmak
ve olsun
a) ve fonksiyonlarını ve tanım kümelerini bulunuz.
b) ve yi bulunuz.
Çözüm
a)
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
47
Her ikisinin çözüm kümesi ℝ dir.
b)
Örnek 3 ten görüldüğü üzere genel olarak Unutmayınız ki notasyonuna
göre önce g sonra ise f uygulanır.
Örnek 4
Fonksiyonların bileşkelerini bulmak
Eğer ve aşağıdaki fonksiyonları ve tanım kümelerini bulunuz.
Çözüm
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
48
un tanım kümesi
in tanımlı olabilmesi için olmalıdır. in tanımlı olması için
olmalıdır yani veya Böylelikle elde ederiz.
Böylece un tanım kümesi kapalı aralığı olur.
un tanım kümesi olur.
Bu ifade hem hem de olduğunda tanımlı olur. İlk eşitsizlik
anlamına gelir ikincisi ise ye denktir veya veya
Böylece olur yani un tanım kümesi dir.
Üç veya daha fazla sayıda fonksiyonun bileşkesini almak mümkündür. Örneğin
fonksiyonu önce h sonra g sonra da f yi uygulayarak elde edilir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
49
,
Örnek 5
Üç fonksiyonun bileşkesi
ve de iken u bulun.
Çözüm
Bu kısma kadar basit fonksiyonlardan karmaşık fonksiyonlar inşa etmek için bileşkelemeyi kullandık.
Ancak kalkülüste bazen karmaşık fonksiyonların daha basit formlara parçalanması istenebilir.
Aşağıdaki örnekte bu durum incelenebilir.
Örnek 6
Bir bileşke fonksiyonun tanınması
verili iken olacak şekilde f yi ve g yi bulun.
Çözüm
F in formülü önce 9 ekleyin sonra dördüncü kökü alın şeklinde olduğuna göre
ve
Böylece
Örnek 7
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
50
Bileşke fonksiyonların bir uygulaması
Bir gemi saatte 20 mil hızla sahile paralel olarak ilerlemektedir. Gemi kıyıdan 5 mil uzakta
bulunmaktadır. Öğlen bir deniz fenerinden geçmektedir.
a) Fener ile gemi arasındaki s mesafesini geminin öğleden sonra gittiği yol d nin fonksiyonu
olarak ifade edin. Yani olacak şekilde f i bulun
b) d yi öğleden sonra geçen süre t nin bir fonksiyonu olarak ifade edin yani olacak
şekilde g yi bulun.
c) u bulun. Bu fonksiyon neyi temsil etmektedir.
Çözüm
a) s ve d mesafelerini Pisagor teoremi yardımıyla ilişkilendirebiliriz. Böylece s, d nin
fonksiyonu olarak şu şekilde ifade edilebilir:
b) Gemi saatte 20 mil gittiğine göre t nin fonksiyonu olarak d seyahat mesafesi
olur
c)
fonksiyonu geminin fenerden mesafesini zamanın fonksiyonu olarak verir.
2. 7. Bir-e-Bir ve Ters Fonksiyonlar
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
51
Bir fonksiyonun tersi, fonksiyonun çıktısını üzerine etki eder ve bu çıktıya karşılık bir girdi
üreten kuraldır. Dolayısıyla, ters, fonksiyonun yaptıklarını "geri alır" veya tersine çevirir. Tüm
fonksiyonların tersleri mevcut değildir; Tüm bunları yapanlar bir-e-bir olarak adlandırılır.
Ok diyagramları Şekil 1'de gösterilen 𝑓 ve 𝑔 fonksiyonlarını karşılaştıralım. 𝑓′nin iki kez aynı
değere sahip olmadığına dikkat edin (A'daki her iki sayının farklı görüntülere sahip olduğu) ancak
𝑔′nin aynı değeri iki kez aldığını unutmayın (hem 2 hem de 3 aynı görüntüye sahip, 4) Sembollerle
gösterilirse; 𝑔(2) = 𝑔(3) = 4 fakat 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) iken 𝑥1 ≠ 𝑥2’dir. Bu satırda yazılan özelliğe sahip
fonksiyonlara bir-e-bir fonksiyonlar denir.
Bir-e-Bir Fonksiyon Tanımı
Bir 𝐴 kümesinde tanımlı 𝑓 fonksiyonu için 𝐴 kümesinde aynı olmayan iki elemanın görüntüleri
de aynı değilse 𝑓 fonksiyonu bir-e-bir fonksiyon olarak adlandırılır Yani;
𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2) 𝑖𝑘𝑒𝑛 𝑥1 ≠ 𝑥2
Yukarıda yazılan bu ifadeye denk bir ifade de;
Eğer 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 𝑖𝑠𝑒 𝑜 𝑧𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑥1 = 𝑥2’dir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
52
Eğer yatay bir doğru 𝑓 fonksiyonunun grafiğini birden fazla noktada kesiyorsa şekil -2 ‘den
anlaşılacağı üzere 𝑥1 ≠ 𝑥2 için 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) olur. Bunun anlamı f bir-e-bir değildir. Böylece bir
fonksiyonun bir-e-bir olup olmadığına karar vermek için aşağıdaki geometrik metodu yazabiliriz.
Yatay Doğru Testi
Bir fonksiyon yatay bir doğru ile ancak ve ancak bir noktada kesişiyorsa bu fonksiyon bir-e-birdir.
Örnek 1: Fonksiyonun Bir-e-Bir Olup Olmadığına Karar Verme
𝑓(𝑥) = 𝑥3 bir-e-birmidir?
Çözüm 1: 𝑥1 ≠ 𝑥2 olduğunda 𝑥13 ≠ 𝑥2
3 ‘dir. (iki farklı sayının küpü aynı olamaz). 𝑓(𝑥) = 𝑥3
fonksiyonu bir-e-birdir.
Çözüm 2: Şekil -3 ‘den yatay doğru ile bu fonksiyon sadece bir noktada
kesişmektedir.
Örnek 1’de 𝑓 fonksiyonunun artan ve ayrıca bir-e-bir olduğuna dikkat
edin. Aslında, artan her fonksiyon ve azalan her fonksiyonun bir-e-bir
olduğu kanıtlanabilir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
53
Örnek 2: Fonksiyonun Bir-e-Bir Olup Olmadığına Karar Verme
𝑔(𝑥) = 𝑥2 fonksiyonu bir-e-bir midir?
Çözüm 1: Bu fonksiyon bir-e-bir değildir çünkü;
𝑔(1) = 1 ve 𝑔(−1) = 1
Yani farklı değerlerin görüntüleri aynıdır.
Çözüm 2:
𝑔 fonksiyonu bir-e-bir olmamasına rağmen tanım kümesinde yapılacak bir kısıtlama ile bir-e-bir
fonksiyon haline getirilebilir. Eğer;
ℎ(𝑥) = 𝑥2 𝑥 ≥ 0
biçiminde bir fonksiyon tanımlanırsa şekil-5 de yatay doğru testinden ℎ(𝑥) fonksiyonunun bir-e-bir
fonksiyon olduğu görülür.
Şekil-4 te bulunan yatay doğrular 𝑔
fonksiyonunu iki yerde kesmektedir. Bu
yüzden 𝑔 fonksiyonu bir-e-bir değildir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
54
Örnek 3: Bir-e-Bir Fonksiyon Olduğunu Gösterme
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4 fonksiyonunun bir-e-bir olduğunu gösteriniz.
Çözüm : 𝑥1 𝑣𝑒 𝑥2 sayıları için 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) olduğunu varsayalım 𝑥1 = 𝑥2 olduğunu
göstermeliyiz.
Bir-e-bir fonksiyonlar çok önemlidirler. Çünkü onlar aşağıda tanımı verilen ters fonksiyon işlemini
yerine getirebilen fonksiyonlardır.
Bir Fonksiyonun Tersinin Tanımı
Bir 𝐴 tanım kümesinden 𝐵 kümesine tanımlı 𝑓 fonksiyonu mevcut olsun. Bu durumda f
fonksiyonunun tersi, 𝑓−1 fonksiyonunun tanım kümesi 𝐵 ve görüntü kümesi 𝐴 olup aşağıdaki
biçimde tanımlanır: her 𝑦 ∈ 𝐵 için
𝑓−1(𝑦) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 𝑦
Bu tanım nedeniyle 𝑓 , 𝑥 değerini 𝑦 değerine götürürken, 𝑓−1 𝑦 değerini 𝑥 değerine geri
götürmektedir. Eğer 𝑓 bir-e-bir değilse, 𝑓−1 tek bir biçimde tanımlanamaz. Şekil-6’da ok diyagramı ile
𝑓 ve 𝑓−1 arasında ilişki gösterilmiştir. Bu tanımdan
𝑓−1 in görüntü kümesi=𝑓 ’nin tanım kümesidir. 𝑓−1 in tanım kümesi=𝑓 ’nin görüntü kümesidir.
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
55
DİKKAT!!! 𝑓−1(𝑥) demek 1
𝑓(𝑥) anlamına gelmez!!!
Örnek 4: Özel değerler için 𝑓−1 değerini bulma
Eğer 𝑓(1) = 5, 𝑓(3) = 7 𝑣𝑒 𝑓(8) = −10 ise 𝑓−1(5), 𝑓−1(7) 𝑣𝑒𝑓−1(−10) =?
TERS FONKSİYON ÖZELLİĞİ
𝑓 bir 𝐴 tanım kümesinden 𝐵 kümesine tanımlı bir-e-bir fonksiyon olsun. 𝑓−1 fonksiyonu aşağıdaki
özellikleri sağlar.
𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 , ℎ𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐴
𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 , ℎ𝑒𝑟 𝑥 ∈ 𝐵
Örnek 5: İki Fonksiyonun birbirinin tersi olduğunun doğrulanması
𝑓(𝑥) = 𝑥3 ve 𝑔(𝑥) = 𝑥1/3 fonksiyonlarının birbirlerinin tersi olduğunu gösteriniz.
Çözüm: 𝑓 ve 𝑔 fonksiyonlarının tanm kümesinin ℝ olduğuna dikkat edilirse, Ters fonksiyon
özelliğinden;
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
56
elde edilir.
Şimdi ters fonksiyonun nasıl hesaplanacağını açıklayalım. Ters fonksiyon tanımından
𝑦 = 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑓−1(𝑦) = 𝑥
olduğunu biliyoruz. 𝑦 = 𝑓(𝑥) denklemi 𝑥 için çözülürse 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) elde edilir. Bu son denklemde
𝑥 𝑣𝑒 𝑦’nin yerleri değiştirilirse istenilen ters fonksiyon 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) bulunur.
TERS FONKSİYON NASIL BULUNUR
1. 𝑦 = 𝑓(𝑥)’i yaz
2. Mümkünse bu denklemi x için çöz (y cinsinden elde et).
3. 𝑥 𝑣𝑒 𝑦’nin yerlerini değiştir. Son denklem 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) dir.
Örnek 6: Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunması
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm:
Örnek 7: Bir Fonksiyonun Tersinin Bulunması
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
57
Çözüm:
Örnek 8: Rasyonel Bir Fonksiyonun Tersini Bulma
𝑓(𝑥) =2𝑥+3
𝑥−1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm: 𝑦 = 2𝑥 + 3/𝑥 − 1 yaz ve 𝑥 için çöz.
Ters fonksiyonu bulmak için 𝑥 ve 𝑦’nin yer değiştirme ilkesi bize ayrıca 𝑓 ‘nin grafiğinden 𝑓−1’ in
grafiğini elde etmek için bir metot vermektedir. Eğer 𝑓(𝑎) = 𝑏 ise o zaman 𝑓−1(𝑏) = 𝑎’dır.
Bu yüzden 𝑓 ‘nin grafiği üzerindeki bir (𝑎, 𝑏) noktası ise bu durumda (𝑏, 𝑎) noktası anacak ve ancak
𝑓−1 grafiğinin üzerindeki yer alır. Ancak (𝑏, 𝑎) noktasını (𝑎, 𝑏)’den elde etmek için 𝑦 = 𝑥 doğrusuna
göre simetriğini(yansımasını) alırız. Şekil 8 ve şekil 9 da bu durumlar gösterilmiştir. Böylece aşağıdaki
ifade doğrudur;
𝑓−1 in grafiği 𝑓’nin 𝑦 = 𝑥 doğrusuna göre simetriğidir(yansımasıdır).
Kaynak: Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. (2012). Precalculus Mathematics for Calculus, Brooks/Cole, Cengage Learning.
58
Örnek 9: Bir Fonksiyonun Tersinin Grafiği
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 fonksiyonunun grafiğini çizin
b) 𝑓 nin grafiğini kullanarak 𝑓−1 i çizin.
c) 𝑓−1 in denklemini bulun.
Çözüm: a) Bölüm 2.5 kullanılırsa 𝑦 = √𝑥 fonksiyonu baz alınıp x- yönünde iki birim sağa ötelenerek
çizilir(Bölüm 2.2 örnek 1)
b) 𝑓−1 in grafiğini elde etmek için 𝑎 seçeneğindeki 𝑓 fonksiyonunun garfiğinin y=x
doğrusuna göre simetrisi alınır(Şekil 10).
c) 𝑦 = √𝑥 − 2 𝑦 ≥ 0 yazılıp 𝑥 için çözülürse