Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
I. BÖLÜMKÜMELER VE SAYILAR
1.1 Kümeler
Küme ve eleman terimleri, matematikte tanımlanmadan kabul edilen terimlerdir. Bunları,
dilimizdeki başka terimlerle anlatmak istersek; “Küme, nesneler topluluğudur.“ biçiminde
ifade edebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelerin her birine kümenin elamanları denir ve
genel olarak kümeler A,B,X,Y, … gibi büyük harflerle, elamanları ise a,b,x,y, … gibi küçük
harflerle ifade edilir.
Elemanları a,b,c olan kümeyi biçiminde gösteririz. Kümenin elemanları, kapalı
bir çizgi içine alınarak Venn şeması ile de gösterilebilir.
.d
Burada , , ve ’dır.
Tanım.1.1.1: A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesi
içindedir ya da B kümesi A’yı kapsar denir. Bu ifade ya da ile gösterilir. A’ya
B’nin alt kümesi denir. Buna göre
için olur.
Örneğin çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin bir alt kümesidir.
Tanım.1.1.2: A=B ve olmasıdır. Bu tanıma göre A ve B eşit kümeler aynı
elemanlardan meydana gelmiştir. Eğer fakat ise A’ya B’nin bir özalt kümesi
adı verilir.
n elemanlı bir kümenin özalt küme sayısı dir.
Tanım.1.1.3: Elemanları olmayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. Boş küme her
kümenin alt kümesidir.
1
.a .b .c
Tanım.1.1.4: Küme teorisinin herhangi bir uygulamasında uğraştığımız tüm kümeleri sabit
bir kümenin alt kümeleri olarak düşünebiliriz. Bu kümeye evrensel küme denir ve genelde E
ile gösterilir. Şunu belirtelim ki her şeyi içine alan mutlak bir evrensel küme yoktur.
Tanım.1.1.5: Bir A kümesinin alt kümelerinin kümesine A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A)
ile gösterilir.
Kuvvet kümesinin elemen sayısı = (n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
küme sayısı) olmak üzere
S(P(A))= biçiminde hesaplanır.
Tanım.1.1.6: A ve B kümelerinden en az birine ait olan elemanlardan meydana gelen kümeye
A ile B’nin birleşimi denir ve biçiminde yazılır. Buna göre
olur.
Sonlu çokluktaki , ,…, kümelerinin birleşimi
ve sayılabilir çokluktaki (k=1,2,…) kümelerinin birleşimi ise
Tanım.1.1.7: A ve B kümelerinin ortak elemanlarından meydana gelen kümeye A ile B’nin
ara kesiti veya kesişimi denir ve biçiminde yazılır. Buna göre
olur.
ise A ve B kümelerine ayrıktır denir.
Ve sayılabilir çokluktaki , ,…, ,… kümelerinin kesişimi ise
Tanım.1.1.8: A kümesinin B kümesine ait olmayan elemanlarından oluşan kümeye A ile
B’nin farkı denir ve A\B biçiminde yazılır. Buna göre
A\B=
2
kümesine ise A’nın tümleyeni adı verilir. Tümleyen tanımından A kümesi için
, ‘dır.
De Morgan kuralı kümelerle ilgili aşağıdaki eşitlikleri içerir.
Teorem.1.1.1:A ile B iki küme olsun. Bu takdirde
dir.
İspat: (i)
Bu ise ve , yani (ii)’nin sağlanması demektir.
Tanım.1.1.9:A ve B kümelerinden birine ait olup da diğerine ait olmayan elemanların
kümesine A ile B’nin simetrik farkı denir ve şeklinde yazılır. Buna göre
= (A\B) olur.
Kümelerle ilgili bazı örnekleri ele alalım.
Örnek.1.1.1: A ve B iki küme olmak üzere olduğunu gösteriniz.
Örnek.1.1.2: De Morgan kuralını kullanarak kümesini sadeleştiriniz.
Çözüm:
Zira olduğundan
1.2 Sayılar
1.2.1 Sayı Türleri
Doğal sayılar kümesi: Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir ve dir.
Tam sayılar kümesi: Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir ve Z= dir.
3
Rasyonel sayılar kümesi: Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir ve Q=
‘ dır. Burada paydanın sıfır olamayacağına dikkat edilmelidir.
Asal sayılar: 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara veya başka bir ifade ile sadece
iki tam böleni olan sayılara denir ve A ile gösterilir. A= pozitif asal sayılardır.
olmak üzere çift sayılar 2n, tek sayılar 2n+1 ile gösterilebilir. Ancak asal sayıları
temsil edecek şekilde bir formül henüz geliştirilememiştir.
İrrasyonel sayılar: Rasyonel olmayan sayılara yani olmak üzere şeklinde
yazılamayan sayılara denir.
Örneğin gibi sayılardır ve bu sayılar genelde I ile gösterilir.
Reel sayılar: Reel sayılar kısaca I olarak yani yukarıdaki sayıların hepsini kapsayan
sayılar olarak tanımlanabilir. Sayı ekseni üzerindeki her bir nokta ile reel sayılar arasında bire
bir eşleme yapmak mümkündür.
Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi: İleride detaylı olarak verilecektir
1.2.2 Lineer Nokta Kümeleri
Elemanları reel sayılar olan kümelere lineer nokta kümeleri denir.
Aralıklar
1) (a,b); a,b açık aralığı olarak okunur ve biçiminde
tanımlanır.
2) [a,b]; a,b kapalı aralığı olarak okunur ve biçiminde
tanımlanır.
3) (a,b]; a’ dan açık, b’ den kapalı (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve
biçiminde tanımlanır.
4) [a,b); a’ dan kapalı, b’ den açık (yarı kapalı aralık) olarak okunur ve
biçiminde tanımlanır.
1.2.3 Reel Sayıların Mutlak Değeri
Tanım.1.2.1: a bir reel sayı olmak üzere negatif olmayan ve biçiminde
tanımlanan sayısına a reel sayısının mutlak değeri veya modülü denir.
= ifadesine mutlak değerin cebirsel tanımı denir.
4
1.2.4 Mutlak değerin özellikleri
x,y olmak üzere
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
özellikler mevcuttur.
Teorem.1.2.1: olmak üzere
Tanım.1.2.2: eşitsizliğini sağlayan tüm x noktalarının kümesine noktasının
- civarı (komşuluğu) denir.
eşitsizliğini yukarıdaki teoremden biçiminde yazarsak
’ın -civarı açık aralığı olur. Özel olarak =0 alınırsa 0’ın -
komşuluğu açık aralığı olur.
Örnek.1.2.1: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Örnek.1.2.2: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
5
(1)
(2)
(3)
1.2.5 Reel Sayının Tam Değeri
Bir a reel sayısından büyük olmayan tam sayıların en büyüğüne a sayısının tam değeri
denir ve ile gösterilir. Bu tanıma göre her a reel sayısı onun tam kısmı ile
özelliğini sağlayan kesir kısmının toplamı olarak yazılabilir, yani
dir. O halde
olacaktır.
Özellik: olmak üzere
Özellik: m bir tamsayı ve için dır.
Her k tamsayısı ve a reel sayısı için eşitliği genelde doğru değildir.
Örnek.1.2.3: eşitsizliğini çözünüz.
Çözüm: Tam kısmı 3 veya 3 ’den küçük olan sayılar 4 ‘den küçük olan sayılardır. O halde
6
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak yeterli olacaktır. Bu eşitsizlik
çözüldüğünde Ç= bulunur.
Örnek.1.2.4: denklemini çözünüz.
Çözüm: dır.
olduğundan çözüm kümesi olarak Ç= elde edilir.
Komleks Sayılar (Karmaşık Sayılar) Kümesi
Olmak üzere bu sayı x ve y gibi reel sayılardan oluşan sıralı ikililer olarak z=(x,y)
biçiminde gösterilir.
(x,0) çiftine x reel sayısı gözüyle bakılacak ve dolayısıyla (x,0)=x olarak yazılacaktır.
(0,y) biçimindeki kompleks sayılara sırf imajıner sayılar denir. x ve y sayılarına sırasıyla
z=(x,y) ‘nin reel (gerçel) ve sanal (imajiner) bileşenleri denir.
Re(z)=x Im(z)=y biçiminde yazılır. (0,1) çiftini i ile göstereceğiz. Buna sanal birim denir.
iki kompleks sayı olsun.
biçiminde yazılır. Çarpım tanımı kullanarak olduğu görülebilir yani
dir.
Geometrik Yorum
z=x+iy kompleks sayısını düzlemde bir nokta olarak düşünmek doğaldır. Aynı zamanda z
sayısını başlangıç noktasından (x,y) noktasına giden yönlendirilmiş doğru parçası veya
vektör olarak da düşünmek mümkündür. z ‘nin modülü
7
arasındaki uzaklık biçiminde hesaplanır.
Ayrıca merkezi , yarıçapı R olan çemberi ifade eder.
Örnek.1.2.5: yarıçapı 6 merkezi (2,-3) olan çemberi ifade eder.
z=(x,y) için ’ye z sayısının eşleneği denir.
Eşlenik ile ilgili özellikler:
dır.
Kutupsal Gösterim
Sıfırdan farklı z=x+iy sayısına olduğu için z ’yi kutupsal formda
biçiminde ifade edilir. Burada z ‘nin argumanıdır ve eşitliği
ile hesaplanır. Genel olarak bu durum için
n=0,1,2,… dır.
Ayrıca
biçiminde yazılabilir.
Örnek.1.2.6: sayısını kutupsal formda yazalım.
8
Çözüm: buradan bulacağımız açı II.
bölgede bir açı olmalı. Bunun için önce tanjantı eden birinci bölgedeki açıyı buluruz. Bu
açı olur. İkinci bölgedeki açısını biçiminde buluruz.
O halde z ‘ nin kutupsal formda yazılışı
olur.
Not: ve olsun. Bu takdirde
olur.
De Moivre formülü denir.
olduğundan ‘dır.
Köklerin Alınması
) eşitliğinden köklerini bulmak mümkündür. Bu kökler
formülünden hesaplanır.
Örnek.1.2.7: karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz.
Çözüm:
Üstel Form
Argumanı modülü r olan z=x+iy kompleks sayısı veya üstel
formda yazılır.
Euler Formülünü kullanarak
9
yazılabilir.
Örnek.1.2.8: karmaşık sayısını kutupsal gösterimden yararlanarak x+iy
formunda yazınız.
Çözüm: ve
ve
10
II. BÖLÜM
FONKSİYONLAR
Tanım.2.1: iki küme olsun. A’ nın her bir elemanını B’nin bir ve yalnız bir
elemanına eşleyen her f bağıntısına A’dan B’ye bir fonksiyon denir ve bu durum
veya y=f (x) şeklinde gösterilir.
Burada x değişkenine bağımsız değişken veya arguman, y değişkenine bağımlı değişken veya
fonksiyon adı verilir.
kümesine tanım kümesi, kümesine de A
kümesinin görüntü kümesi denir.
Örnek.2.2: fonksiyonu ile tanımlıdır. f fonksiyonunun değer
kümesini bulalım.
Çözüm: ‘dir.Yani f ‘ nin değer kümesi ‘dır.
11
Örnek.2.3: olmak üzere ile tanımlı fonksiyonu
veriliyor. R içindeki en geniş A tanım kümesini bulalım.
Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için ve olmalıdır.
Bunun için ve olduğu da dikkate alınırsa tanım kümesi ‘dır.
Tanım.2.2: Koordinat başlangıcına göre simetrik aralıkta tanımlanmış olan f fonksiyonu için
koşulu sağlanırsa bu fonksiyona çift fonksiyon koşulu
sağlanırsa bu fonksiyona tek fonksiyon denir.
Örnek.2.4: ile tanımlı fonksiyonu veriliyor.
a) ile tanımlı fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu
gösteriniz.
b) ile tanımlı fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu
gösteriniz.
Çözüm:
a) olduğundan, g fonksiyonu tek
fonksiyondur.
b) olduğundan, h fonksiyonu çift fonksiyondur.
Örnek.2.5: fonksiyonu
olduğundan tek fonksiyondur.
Tanım.2.3: bir fonksiyon olsun. koşulunu sağlayan her noktası
için oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da artan (azalmayan)
fonksiyon denir.
Tanım.2.4: bir fonksiyon olsun. koşulunu sağlayan her noktası
için oluyorsa f fonksiyonuna A ‘da azalan(artmayan)
fonksiyon denir.
12
aralığında fonksiyon artan , aralığında fonksiyon azalandır.
Tanım.2.5: olmak üzere A’dan alınan tüm x’ler için olacak şekilde
M>0 reel sayısı varsa f fonksiyonuna A’da sınırlı fonksiyon denir.
Tanım.2.6: fonksiyonu için f (A) , B kümesinin özalt kümesi ise f ’ye A’dan B’ye
içine fonksiyon denir.
Tanım.2.7: fonksiyon olsun. için önermesi
doğru ise f fonksiyonuna birebir fonksiyon denir. biçiminde gösterilir.
Tanım.2.8: fonksiyon olsun. için olacak şekilde bir
varsa f fonksiyonuna örten (üzerine) fonksiyon denir. (f(A)=B ise f örtendir)
Tanım.2.9: ve fonksiyonları verilmiş olsun. (
için) olacak biçimde verilen fonksiyonuna, f ile g ‘nin bileşkesi denir.
Örnek.2.6: ise ve
şeklindedir.
Örnek.2.7: ve olduğuna göre f fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: yazılabilir. g(x) yerine
x alınırsa elde edilir.
Tanım.2.10: ile tanımlanan fonksiyonlara kapalı fonksiyon, şeklinde
tanımlanan fonksiyonlara da açık fonksiyon denir. Örneğin
kapalı fonksiyon; açık fonksiyon
Tanım.2.11: Belli bir X kümesinde tanımlanmış fonksiyonunu göz önüne
alalım ve onun değerlerinin Y kümesini oluşturduğunu varsayalım. Eğer eşitliğinden x’ i
13
y değişkeni cinsinden tek değerli olarak hesaplamak mümkünse yani Y kümesinde
varsa fonksiyonuna fonksiyonunun ters fonksiyonu denir.
Not: ’ in ters fonksiyonu olması için gerek ve yeter şart f ‘nin birebir ve örten
olmasıdır.
Örnek.2.8: tanımlı ile verilen fonksiyonun varsa tersini bulunuz.
Çözüm: Verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.
olur. O halde bulunur.
Örnek.2.9: ve olmak üzere fonksiyonlarının tersi yoktur.
Zira ne birebir ne de örtendir.
Örnek.2.10: tanımlı ile verilen fonksiyonun tersini bulunuz.
Çözüm: ile verilen fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır. olur.
O halde bulunur.
2.1 Üstel Fonksiyonlar
olmak üzere şelindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. için x ‘in her bir
değerine y ‘nin bir tek değeri karşılık gelir.
14
tanımlı fonksiyonu biçiminde gösterilip grafiği
için gibidir.
2.2 Logaritma Fonksiyonu
ifadesinde a ‘nın x. kuvveti b ‘yi versin. Bu eşitliği sağlayan x sayısına b sayısının a
tabanına göre logaritması denir ve olarak gösterilir. Üstel fonksiyonla bu fonksiyon
arasında olacak şekilde bir ilişki vardır.
Sonuçlar:
1) Negatif sayıların sıfırın logaritması yoktur. Fakat şekilden de görüleceği üzere
için olarak alınacaktır.
2) a ‘nın 0 veya 1 olması durumunda logaritma tanımı mümkün değildir.
3) Taban ne olursa olsun 1 ‘in logaritması 0 ‘dır.
4) ‘in grafiği ‘in grafiğinin doğrusuna göre simetriğidir.
Tanım.2.12: ile tanımlanan logaritmaya bayağı logaritma ve
ile tanımlanan logaritmaya ise doğal logaritma denir.
Logaritmayla ilgili özellikler:
15
1) olmak üzere
2)
3) ve ‘dir.
4) ise ‘dir.
5) ise ‘dir.
6) Logaritma fonksiyonu birebir ve örtendir.
7) ‘dır.
8)
Örnek.2.11: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm: Fonksiyonun tanımlı olması için gerek ve yeter şart
ve olmasıdır. Eşitlik çözülürse
bulunur.
Örnek.2.12: denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
‘dır.
Bu kökler denklemi sağladığında olur.
Örnek.2.13: reel sayılardaki çözümünü bulunuz.
Çözüm: Eşitliğin her iki tarafının logaritması alınırsa
16
ve
ve ve bulunur.
Ancak bunlardan ve denklemi sağlar.
Örnek.2.14: eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: olup aralığıdır.
2.3 Trigonometrik Fonksiyonlar
Tanım.2.13: , fonksiyonunda için ve
koşullarını gerçekleyen sıfırdan farklı bir T reel sayısı varsa, f fonksiyonuna periyodik
fonksiyon denir. eşitliğini gerçekleyen pozitif T reel sayısının en küçüğüne
f fonksiyonunun esas periyodu denir.
Örnek.2.15: ile tanımlı fonksiyonunun periyodu 6 ‘dır.
ile tanımlı fonksiyonunun periyodu;
g ‘nin periyodu T olsun. Bu durumda
olsun.
bulunur ki bu da f ‘nin periyodunun 3T olduğunu belirtir. Oysa f ‘nin periyodu 6 idi. O halde
bulunur.
Tanım.2.14: Yarıçapı 1 ‘e eşit olan çembere birim çember denir. Bunun çevresinin uzunluğu
‘dir. Şimdi aşağıdaki çember üzerindeki fonksiyonu tanımlayalım.
17
ve ‘dir.
Tanım.2.15: P noktasının y- ekseni üzerine izdüşümünü , x- ekseni üzerine
izdüşümünü ile gösterelim. O halde
‘dir.
P noktasının bu fonksiyonlara göre izdüşümleri
ile ifade edeceğiz. ‘dir.
Tanım.2.16: fonksiyonuna sinüs fonksiyonu, fonksiyonuna da
kosünüs fonksiyonu denir. Bunlar ile tanımlı
fonksiyonlardır.
Tanım.2.17: ’e bağlı olarak
şeklinde tanımlanır.
Birim Çember
18
Trigonometrik Eşitlikler
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
fonksiyonunun grafiği
fonksiyonunun grafiği
19
fonksiyonunun grafiği
fonksiyonunun grafiği
2.4 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
20
fonksiyonu birebir ve örten ise bunun ters fonksiyonundan bahsedilebilir ve
biçiminde ifade edilir. fonksiyonları
birebir olmadıklarından, bunların ters fonksiyonlarından söz edilemez. Ancak, tanım
kümelerinin bir alt kümesinde, birebir ve örten olan kısıtlanmışlarının ters fonksiyonlarından
söz edilebilir.
Yukarıdaki biçimde tanımlanan trigonometrik fonksiyonların tersleri vardır ve bu
fonksiyonların tersleri şeklinde veya sırasıyla şeklinde
gösterilir. Tanım bölgelerindeki bu ifadelerin anlamı;
, vb’ dir.
da olduğu gibidir.
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
;
21
22
Tanım.2.18: çok terimliler olmak üzere;
denklemini sağlayan fonksiyonuna
cebirsel fonksiyon denir.
En basit cebirsel fonksiyonlar;
‘dir.
Tanım.2.19:Kesir rasyonel kuvvet bulunduran cebirsel fonksiyona irrasyonel fonksiyon
denir.
gibi
Tanım.2.20: Cebirsel olmayan elementer fonksiyonlara transandant fonksiyonlar denir.
Örneğin; üstel, logaritmik trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik fonksiyonlar gibi.
Örnek.2.16: olduğuna göre n ‘nin m türünden değerini bulunuz.
23
Çözüm:
bulunur.
Örnek.2.17: olduğunu gösteriniz.
Çözüm: olduğundan
bulunur.
Örnek.2.18: ve fonksiyonlarının tanım ve değer
kümelerini bulunuz.
Çözüm: f ’nin tanım kümesi R ‘ dir. Değer kümesi ise
olduğundan
aralığıdır.
g’nin tanımlı olması için olmalıdır. Böylece tanım
kümesi noktalarının kümesi ve dolayısıyla değer kümesi olur.
2.5 Hiperbolik Fonksiyonlar
Simetrik bir küme üzerinde tanımlı her f fonksiyonu, biri çift biri de tek olan iki fonksiyonun
toplamı şeklinde yazılabilir. Zira her f fonksiyonu için
yazılabilir.
alınırsa
yazılabilir. ‘in çift ve tek parçalarına sırasıyla x ‘in hiperbolik
kosünüsü ve hiperbolik sinüsü denir. Buna göre
olur.
Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdaki gibidir.
24
y=coshx y=sinhx
Diğer hiperbolik fonksiyonlar trigonometrik fonksiyonlarda olduğu gibi
tanımlanır ve grafikleri
y=tanhx ‘in grafiği y=cothx ‘in grafiği
y=cosechx ‘in grafiği y=sechx ’in grafiği
25
u=coshx ve v=sinhx için olduğu kolayca gösterilebilir. Bu denklem uv-dik
koordinat sisteminde ikizkenar hiperbol denklemi olduğundan bu fonksiyonlara hiperbolik
fonksiyonlar adı verilir.
Bu fonksiyonlarla ilgili özellikler
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Örnek.2.19: fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm: Fonksiyon birebir ve örten olduğundan tersi vardır.
Denklem çözülürse bulunur.
verildiğine göre ‘ dır.
Örnek.2.20: ifadesini sadeleştiriniz.
Çözüm: olduğunda
bulunur.
Örnek.2.21: ifadesinin x türünden değerini bulunuz.
Çözüm: ifadelerinden u yerine konulursa
26
elde edilir.
Örnek.2.22: olduğunu gösteriniz.
Çözüm: bulunur.
Örnek.2.23: denkleminin tanım kümesini bulunuz.
Çözüm: dersek
olduğundan
bulunur.
2.6 Parametrik Fonksiyonlar
Bir fonksiyonunun açık şekliyle verilen kuralı başka şekillerde de
verilebilir. şeklinde olduğu gibi.
Belli başlı bazı fonksiyonlar veya denklemlerin standart parametrik gösterimleri vardır.
Çember, elips, doğru vb.
Örnek.2.24: Merkezi orjin yarıçapı olan çemberin kartezyen denklemi olup
bunun parametrik gösterimi
’dır.
Örnek.2.25: Bir doğru üzerinde yuvarlanan yarıçaplı bir çemberi göz önüne alalım.
Çember üzerinde alınan bir noktasının geometrik yeri olan eğrinin (sikloid) parametrik
denklemini yazalım.
27
yayının uzunluğunu uzunluğuna eşit olup bu da ’dir. noktasının
koordinatları
olarak bulunur.
Örnek.2.26: eğrisinin kartezyen formda yazalım. ’nin her
iki tarafının karesini alıp ve iki denklemi taraf tarafa toplarsak
olur. Bu da parabol denklemidir.
Örnek.2.27: denklemi ile verilen astroidin kartezyen
formda gösterimini bulunuz.
Çözüm:
olarak düzenlenip taraf tarafa toplanırsa elde edilir.
Denklemi bu olan eğrinin grafiği aşağıdaki şekildedir.
28
2.7 Mutlak Değer Fonksiyonu
biçiminde tanımlıdır.
Örnek.2.28: ile tanımlı fonksiyonunu önce parçalı yazıp
sonra grafiğini çizelim.
Örnek.2.29: ile tanımlı fonksiyonunu önce parçalı yazıp sonra
grafiğini çizelim.
29
Örnek.2.30: fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak ’in grafiğini çizelim.
Örnek.2.31: fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak ‘in grafiğini çizelim.
çift fonksiyon olup fonsiyonunun grafiğine bunun y-eksenine göre
simetriği ilave edilir. Yani
Örnek.2.32: fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak ’in grafiğini
çizelim.
2.8 İşaret Fonksiyonu
30
ile tanımlı fonksiyonuna işaret fonksiyonu
(signum fonksiyonu) denir.
Örnek.2.33: olduğuna göre, fonksiyonunu bulup
grafiğini çiziniz.
Çözüm: Önce ’nin işaretini incelemek için denklemini çözelim. Bu
denklemin kökleri ve ’dir. Dolayısıyla
ve ’nin grafiği;
2.9 Tam Değer Fonksiyon
olmak üzere , ile tanımlı
fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir.
Örnek.2.34: ve verilsin. grafiğini çizelim.
çift fonksiyondur. eksenine göre simetrik olduğundan fonksiyonunun
grafiğini aralığında çizip eksenine göre simetriğini almak yeterlidir.
olup ifadesi değerlerini alır.
31
Örnek.2.35: ve grafiğini çizelim.
Çözüm:
Örnek.2.36: ve fonksiyonunun en geniş tanım
kümesini bularak grafiğini çizelim.
Çözüm: veya
veya
için ve için olur.
32
Örnek.2.37: ile tanımlı fonksiyon veriliyor. fonksiyonu-
nun grafiğini çizelim.
Çözüm:
için
için
için
için
için
Örnek.2.38: ’in grafiğini aralığında çizelim.
33
Çözüm:
Örnek.2.39: denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
dersek;
o halde bulunur.
34
III. BÖLÜMLİMİT
3.1 Limit Kavramı
bir aralığında tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Özel olarak bu aralığın
noktasında tanımlanmamış olabilir. değişkeni bu aralıkta değerine yaklaştığında
bir sayısına yaklaşıyorsa için ’in limiti ’dir denir. Bu durum
biçiminde gösterilir.
Limit tanımında değişkeni değerine yaklaşmakla birlikte ona eşit değildir. Yani
’dır. Ayrıca ’nin olduğuda söylenemez. değişkeni değerine yaklaştığında ,
fonksiyonunun buna karşılık olarak aldığı değerler herhangi bir sayıya yaklaşabilir
veya herhangi bir sayıya yaklaşmayabilir.
3.2 Sağdan ve Soldan Limit
Limit tanımında x değişkeninin değerine sağdan ve soldan yaklaşması gerektiği anlaşılır.
Her iki yaklaşma halinde de ‘nin aynı bir sayısına yaklaşması şart koşulmuştur. Sağdan
ve soldan yaklaşmalar sırasıyla gösterilip limiti var olması
için gerek ve yeter şart olmasıdır.
Yukarıdaki limitler olmak üzere dönüşümü uygulanırsa için
olur ve olarak da gösterilir.
Örnek.3.1: ile tanımlı fonksiyon için
tanımlı değildir. Ancak bu durum fonksiyonun için limitini araştırmaya engel değildir.
’in sayısına sağdan ve soldan yaklaşması halinde fonksiyonunun değerini inceleyelim.
35
olduğundan bulunur.
Örnek.3.2: fonksiyonunun için limitini hesaplayalım.
Çözüm: Fonksiyonu parçalı biçimde yazmak gerekirse
olup ve olduğu görülür. O halde
fonksiyonunun için limiti mevcut değildir.
Bundan sonra limitin mevcut olduğu ifade edildiğinde sağ ve sol limitlerin var ve birbirine
eşit olduğu anlaşılacaktır.
3.3 Limit Kuralları
ve noktasında limiti mevcut iki fonksiyon olsun.
1.
2.
3. ve ise
4. için
5.
6. olmak üzere
7. ve ’nın komşuluğunda ise
8. olmak üzere için ’dır.
3.4 Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
için ise
ve ’dir.
36
Örnek.3.3: ve ’dir.
Örnek.3.4:
’dir.
Örnek.3.5: dır.
Örnek.3.6: yarım açı formüllerinden
‘dir.
3.5 Değişkenin sonsuza gitmesi halinde limit
Bazı durumlarda değişkenin sınırsız artması (veya sınırsız azalması) halinde değişkene
karşılık gelen fonksiyon değeri belli bir tek sayıya yaklaşabilir. Böyle durumlarda fonksiyon
( veya ) için limit söz konusudur.
Örnek.3.7: , fonksiyonunun ve için limitlerini
inceleyelim.
37
3.6 Sonsuz Limitler
Örnek.3.8: , fonksiyonunun için limitini hesaplayınız.
ve ayrıca
bulunur.
’nin grafiği
Örnek.3.9: fonksiyonu için;
38
Örnek.3.10: fonksiyonu için;
3.7 Uygulamalar
1. limitini hesaplayınız.
ve limitlerini hesaplayalım.
için
için
olduğundan limiti yoktur.
2. limitini hesaplayınız.
için olup
’dır.
3. limitini hesaplayınız.
39
için olup ’dır. ( için )
4. limitini hesaplayınız.
ve olduğundan ’dır.
5. limitini hesaplayınız.
için olup
için olup
olduğundan limiti yoktur.
6. limitini hesaplayınız.
için ve olup
için ve olup ’dır.
O halde bulunur.
7. limitini hesaplayınız.
için olup
için olup ’dır.
O halde limiti yoktur.
40
8. fonksiyonunun noktasındaki limitini hesaplayınız.
O halde limiti yoktur.
9. limitini hesaplayınız.
bulunur.
10. olduğunu gösteriniz.
olur.
3.8 Limit Hesaplamalarında Belirsizlikler
belirsizliklerini inceleyeceğiz.
3.9 Uygulamalar
1. limitini hesaplayınız.
Limit hesap edilirse belirsizliği ortaya çıkar. Bu belirsizlikten aşağıdaki düşünce ile
kurtulabiliriz.
2. limitini hesaplayınız.
41
Bu limitte belirsizliği vardır. Belirsizlikten kurtulmak için kesrin pay ve paydası
çarpanlarına ayrılırsa
bulunur.
3. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır. Kesrin pay ve paydası çarpanına göre yazılırsa
bulunur.
4. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır. eşitliği kullanılarak
bulunur.
5. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır. Bu durumda ve özdeşlikleri
kullanılarak.
42
6. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır.
bulunur.
7. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır.
bulunur.
8. limitini hesaplayınız.
için verilen ifadede belirsizliği vardır. O halde için
belirsizliği vardır. O halde için olduğundan dönüşümünü yapalım.
bulunur.
9. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır.
43
bulunur.
10. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır. dönüşümünü uygularsak için olur. O halde
bulunur.
11. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır.
bulunur.
12. ve ; ve ’dir. için
ifadesinin limitini bulunuz.
, ‘dir.
bulunur. Aynı yoldan elde edilir.
44
‘dir. Aynı yoldan elde edilir. Buna göre
‘dır.
Öyleyse çok terimlisi ile tam bölünebilir olduğundan
bulunur.
13. limitini hesaplayınız.
için belirsizliği vardır.
bulunur.
14. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır.
dönüşümünü uygularsak için olup
45
bulunur.
15. limitini hesaplayınız.
belirsizliği vardır.
belirsizliğine dönüşür.
bulunur.
3.10 e sayısı ile ilgili limitler
eşitliğinden yararlanıp diğer bazı limitleri hesaplayacağız.
Örnek.3.11: olduğunu gösterelim.
Bu limit şeklindeki belirsizliğin açılımıdır. Burada alırsak, iken olur
ve olur.
Örnek.3.12: olduğunu gösterelim.
( için)
Bu limitten yararlanıp,
46
olduğu gösterilir.
Örnek.3.13: olduğunu gösteriniz.
Bu limit şeklindeki belirsizliğin açılımıdır. dönüşümünü kullanırsak;
olduğunda olduğu açıktır. ‘den yazıp, buradan bulunan
‘yı ve dönüşümü limitte yazarsak
bulunur.
Örnek.3.14: limitin hesaplayalım.
bulunur.
Örnek.3.15: limitini hesaplayalım.
belirsizliği vardır.
dönüşümünü kullanırsak için olup
bulunur.
Örnek.3.16: limitini hesaplayalım.
belirsizliği vardır.
bulunur.
Örnek.3.17: limitini hesaplayalım.
47
Örnek.3.18: limitini hesaplayalım.
yani denirse için olacağından
bulunur.
IV. BÖLÜMSÜREKLİLİK
4.1 Süreklilik Kavramı
Tanım.4.1: bir fonksiyon ve olsun. ise
fonksiyonu noktasında süreklidir. Eğer fonksiyonu kümesinin her noktasında sürekli
ise fonksiyon üzerinde süreklidir denir.
Yukarıdaki tanıma göre bir fonksiyonunun bir noktasında sürekli olması için:
a) fonksiyonu noktasında tanımlı olmalıdır.
b) fonksiyonunun noktasında limiti olmalıdır.
c) Fonksiyonun noktasındaki limiti noktasındaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır.
Örnek.4.1: şeklinde tanımlanan fonksiyonu tam sayılarda sürekli
değildir. Çünkü bu noktalarda limit yoktur.
Örnek.4.2: a) fonksiyonu ile tanımlıdır.
b) fonksiyonu ile tanımlıdır.
ve fonksiyonlarının, olmak üzere ‘da sürekli olduğunu gösterelim.
Çözüm: a)
b)
48
olduğundan ve fonksiyonları için süreklidir.
Tanım.4.2: ve olsun.
a) noktasında sağdan sürekli olması için gerek ve yeter şart
olmasıdır.
b) noktasında soldan sürekli olması için gerek ve yeter şart
olmasıdır.
Bir fonksiyonunun noktasında sürekli olması için gerek ve yeter şart noktasında
sağdan ve soldan sürekli olmasıdır.
Fonksiyon noktasında Fonksiyonunun noktasında limiti
tanımlı olmadığından bu mevcut değildir. Sağ ve sol limitler
noktada süreksizdir. birbirinden farklıdır. O halde sürekli
değildir.
Fonksiyonunun noktasında limiti
mevcut değildir. O halde sürekli değildir.
49
Örnek.4.3: biçiminde tanımlı fonksiyonunun
noktasındaki sürekliliğini araştırınız.
Çözüm: ‘nin noktasındaki sağdan ve soldan limitine bakalım. Bunun için sırasıyla
ve düşünülerek
bulunur. O halde ‘da sağdan süreklidir fakat soldan sürekli değildir. Dolayısıyla
fonksiyon bu noktada sürekli değildir.
Örnek.4.4: fonksiyonunun noktasındaki süreklilik
durumunu araştırınız.
Çözüm: ‘nin noktasındaki sağ ve sol limitleri
ve
olduğundan fonksiyonun bu noktadaki limiti ‘dir. Ayrıca olduğuna
göre fonksiyonu ‘de süreklidir.
Örnek.4.5: fonksiyonunun her ‘de sürekli olabilmesi için
ve ’de sürekli olması için
olduğundan olmalıdır.
‘de sürekli olması için
50
olduğundan olmalıdır.
ve ‘de sürekli olması için iki denklemden ve olmalıdır.
Örnek.4.6: fonksiyonu noktasında sürekli değildir. Çünkü sağ
ve sol limitler farklıdır. Ancak noktasında fonksiyon soldan süreklidir.
Örnek.4.7: fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.
noktasında fonksiyonun sol taraftan ve sağ taraftan limitleri birbirine eşit
olmadığından fonksiyonunun limiti yoktur. Sonuç olarak fonksiyonu sürekli değildir.
Örnek.4.8: şeklinde tanımlanan fonksiyonun sürekli olup olmadığını
inceleyelim.
olduğundan ve olduğundan ‘da sürekli
değildir.
Örnek.4.9: fonksiyonu noktasında sürekli olup olmadığını inceleyelim.
olup olduğundan fonksiyonu noktasında süreklidir.
Örnek.4.10: için olsun. fonksiyonunun tüm ekseni boyunca
sürekli olmasını sağlayacak bir fonksiyonu var mıdır?
51
olduğundan noktasında limiti yoktur. Dolayısıyla noktasında sürekli değildir.
Yani öyle bir fonksiyonu yoktur.
Teorem.4.1: Tüm elementer fonksiyonlar kendi tanım aralıklarında süreklidirler.
Örnek.4.11: ve fonksiyonlarının sürekli olduğu aralıklar;
Her iki fonksiyon elementer fonksiyon olduğundan onların tanım bölgesi aynı zamanda
sürekli olduğu bölgedir. Bu nedenle fonksiyonu ve aralığında,
fonksiyonu ise tüm aralıklarında süreklidir.
Teorem.4.2: (Bolzana Teoremi)
fonksiyonu aralığında sürekli ve ve ters işaretli ise aralığında
öyle bir vardır ki ‘dır.
Örnek.4.12: aralığında denkleminin kökü var mıdır ?
fonksiyonu aralığında sürekli ve ve olup
ters işaretlidirler. O halde olacak şekilde aralığında çözümü vardır.
Tanım.4.3: bir fonksiyon ve olsun
1. Eğer mevcut ve bu limit değeri değerinden farklı veya
mevcut değilse fonksiyonuna noktasında kaldırılabilir süreksizliğe sahiptir denir.
Bu durumda ‘nin ‘daki değeri limit değeri olarak tanımlanarak fonksiyon bu
noktada sürekli yapılabilir.
2. Eğer ‘nin noktasındaki sağ ve sol limitleri mevcut, fakat farklı ise
fonksiyonuna ‘da sıçrama süreksizliğine sahiptir denir.
3. Eğer ‘nin noktasındaki sağ veya sol limitlerinden en az biri veya veya
mevcut değilse, fonksiyonuna ‘da sonsuz süreksizliğe sahiptir denir.
Bu fonksiyon sınıflarının birer örneğini grafik ile gösterelim.
52
Örnek.4.13: Aşağıdaki fonksiyonların süreksizlik noktalarını bulup çeşitlerini belirtiniz.
a) b) c)
Çözüm:
a) fonksiyonu noktasında tanımsız olduğundan süreksizdir ve veya
olması nedeniyle de bu noktada sonsuz sürekliğe sahiptir.
b) fonksiyonu noktasında tanımsız olduğundan bu noktada süreksizdir. Arıca
olduğuna göre ‘de kaldırılabilir
süreksizliğe sahiptir.
c) fonksiyonu ‘de tanımsız olduğundan bu noktada süreksizdir. Ayrıca
ve sol ve sağ
limitler mevcut fakat farklı olduğuna göre fonksiyonu ‘de sıçrama süreksizliğe
sahiptir.
Örnek.4.14: Aşağıdaki fonksiyonların süreksizlik noktalarını bulup çeşidini belirtiniz.
a) b)
Çözüm:
a) olsun. Eğer ‘dir. Buna göre bir tam sayı ise
ve
53
olur, yani sol ve sağ limitleri mevcut olup farklıdır. Ayrıca eğer tam sayı değil ise ‘nin
yeterince küçük komşuluğunda sabit olduğundan bu noktada süreklidir. Şu halde
fonksiyonu tam sayılarda sıçrama süreksizliğine sahiptir.
b) ‘in tanımı nedeniyle ‘dır. ‘nin için sürekli olduğu
açıktır. Ayrıca olduğundan fonksiyonu ‘da kaldırılabilir
süreksizliğe sahiptir.
Tanım.4.4: bir fonksiyon ve olsun. şartını sağlayan
her için olacak şekilde bir varsa fonksiyonu noktasında yerel
(lokal) maksimuma sahiptir denir.
olsun. şartını sağlayan her için olacak şekilde bir
varsa fonksiyonu noktasında yerel (lokal) minimuma sahiptir denir.
Yerel maksimum ve yerel minimum noktalara extramum noktalar denir.
Teorem.4.3: fonksiyonu sürekli ise fonksiyonunun bu aralıkta bir
maksimum bir de minimum değeri vardır.
4.2 Uygulamalar
1. fonksiyonunun reel sayılardaki sürekliliğini
inceleyiniz.
Çözüm: Fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlıdır. Ancak noktasında limit var mıdır ve
bu noktadaki değerine eşit midir diye bakmak gerekir. O halde
olup olduğundan bu noktada süreklidir.
54
2. fonksiyonunun sürekli olmadığı noktaları bulup bu noktalardaki
süreksizliklerinin kaldırılıp kaldırılamayacağını inceleyiniz.
Çözüm: olduğuna göre olup ve olarak tanımlanırsa
noktasında sürekli olmayan fonksiyon sürekli yapılmış olur. Ancak noktasında
olup yeni limit mevcut olmadığından sürekli yapılamaz.
3. fonksiyonunun noktasındaki süreklilik
durumunu inceleyiniz.
4. Çözüm:
ve
olup fonksiyon noktasında sürekli değildir.
5. fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim.
Çözüm: için tanımlı değildir. Diğer taraftan ve olup
için fonksiyon süreksizdir.
6. fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
Çözüm: denklemini sağlayan noktalarda tanımsızdır ve dolayısıyla da
süreksizdir.
ve ‘dir.
‘de tanımlıdır.
55
Bu fonksiyon ‘yi bulundurduğu için ve için değişik biçimde tanımlanır.
ve tanım cümlesinde olmadığından
veya
biçiminde yeniden tanımlanır.
‘deki durum;
olduğundan ‘de süreksizdir.
Limitleri sonlu olmadığından ‘da süreksizdir.
7. şeklinde tanımlı fonksiyonunun ‘de
sürekli olması için ne olmalıdır?
Çözüm: ‘de sürekli olması için olmalıdır. Buna göre
ve
ve
56
aralığında bulunur.
8. fonksiyonunun noktasındaki süreksizliğini kaldırınız.
Çözüm:
( dönüşümü yapılırsa)
olup tanımlanırsa sürekli olur.
9. fonksiyonu ’de sürekli olması için ne olmalıdır?
Çözüm:
‘dir.
Süreklilik tanımından bulunur.
10. şeklinde tanımlanan fonksiyonunun
süreklilik durumunu inceleyiniz.
Çözüm: olduğu açıktır.
bulunur.
ve olduğuna göre noktasında
süreksizdir.
11. fonksiyonu ile tanımlıdır. Bu
fonksiyonun noktasında sürekli olması için ne olmalıdır?
57
Çözüm: olmalıdır.
‘dir. Çünkü için ‘dır.
olur. ‘den bulunur.
V. BÖLÜMTÜREV
5.1 Türev Kavramı
Tanım.5.1: , bir fonksiyon ve olsun. Eğer
limiti veya bununla eşdeğer olan limiti mevcut ise bu takdirde
fonksiyonuna noktasında türevlenebilirdir denir. Bu limit değerine ‘nin ‘daki türevi
adı verilir ve , sembollerinden biri ile ifade edilir.
Bu tanımda kullanılan limit yerine sağ ve sol limit kullanılarak sağ ve sol türev kavramları
tanımlanabilir.
Tanım.5.2: , bir fonksiyon ve olsun. Eğer
veya limiti mevcut ise bu takdirde
fonksiyonuna noktasında sağdan türevlenebilirdir denir. Bu limit değerine
fonksiyonunun noktasındaki sağ türevi adı verilir. Benzer olarak fonksiyonunun
noktasındaki sol türevi
şeklinde tanımlanır.
58
Açıktır ki biçiminde bir fonksiyon verildiğinde, fonksiyonunun uç
noktalarında sırasıyla sadece sağ ve sol türevlerinden söz edilebilir.
Bir noktasında türevinin mevcut olması için gerek ve yeter şart sağ ve sol
türevlerinin mevcut ve birbirine eşit olmasıdır.
Örnek.5.1: Türevin tanımını kullanarak
fonksiyonunun her noktada türevlenebilir olduğunu gösterip türevini bulunuz.
Çözüm: için
için olduğundan her noktada türevlenebilir ve ‘dir.
Örnek.5.2: olduğuna göre fonksiyonunun
noktasındaki türevini inceleyiniz.
Çözüm: limiti mevcut olmadığından,
‘nin türevi yoktur.
Örnek.5.3: ile verilmiştir. ‘nin ‘daki türevini
bulunuz.
Çözüm:
bulunur.
Örnek.5.4: fonksiyonun noktasındaki türevini inceleyiniz.
Çözüm:
‘dir.
Fonksiyonun sağdan türevi , soldan türevi olup birbirine eşit olmadığından ‘da
türev mevcut değildir.
59
5.2 Türev ile Süreklilik Arasındaki İlişki
Bir noktada sürekli olan fonksiyon o noktada türevlenebilir olmak zorunda değildir. Bu
durumda herhangi bir noktada türevlenebilen fonksiyonun sürekli olup olmadığını sormak
doğaldır. Aşağıdaki teorem bu soruyla doğrudan ilgilidir.
Teorem.5.1: bir fonksiyon ve olsun. Eğer fonksiyonu
noktasında türevlenebiliyorsa, aynı zamanda bu noktada süreklidir.
İspat: olmak üzere olduğuna göre
ve dolayısıyla
bulunur. Böylece , ‘da
süreklidir.
5.3 Türevin Geometrik Anlamı
denklemi ile belirtilen fonksiyonunun eğrisi , ‘nin
noktasındaki teğeti ve normali olsun. teğetinin eğimi ‘dır.
olduğundan ‘nin eğimi ‘dir. Öyleyse ‘nin denklemi bir noktası ve
60
eğimi bilinen doğru denkleminden olup ‘nin denklemi
bulunur.
Teğet uzunluğu=
Normal uzunluğu=
Teğet altı uzunluğu=
Normalaltı uzunluğu=
ve
‘dan
yukarıdaki eşitlikler düzenlenebilir.
Örnek.5.5: eğrisine çizilen teğetin eğimi olduğuna göre teğet ve normalin
denklemini bulunuz.
Çözüm:
Buradan bulunur. Bu nokta eğimi olan teğetin
eğri üzerinden geçtiği noktadır. Bu değerleri fonksiyonda yerine koyarak
bulunur.
Teğetlerin denklemi;
‘dir.
Normalin eğimi;
olup normallerin denklemi;
61
‘dır.
Örnek.5.6: Denklemi olan çembere noktasından çizilen teğetin
denklemini bulunuz.
Çözüm:
O halde teğet denklemi;
olur.
Örnek.5.7: eğrisine noktasından çizilen teğetin denklemini bularak
ekseni ile yaptığı açıyı hesaplayınız.
Çözüm: olduğundan eğrinin noktasındaki teğetinin eğimi
‘dir. Şu halde teğetin denklemi
ve bu teğetin ekeseni ile yaptığı açı ise
olur.
5.4 Türevin Fiziksel Anlamı
Hareket eden bir cismin zamanda aldığı yolu ile gösterelim. Bu durumda cismin
zaman arakığında aldığı yol ile gösterilirse,
olacağından cismin zaman aralığındaki ortalama hızı
olur. Fakat cismin değişken hızlarla hareket etmesi durumunda ortalama hızı herhangi bir
anındaki hızı ifade etmez. Ancak zaman aralığı çok küçük alınırsa ortalama hız anındaki
hıza çok yakın olur ve hatta için ortalama hız anındaki hıza dönüşür. Buna göre
cismin anındaki hızı ile ifade edilirse,
62
elde edilir. Yani hareket eden bir cismin hızı aldığı yolun zaman göre türevidir.
Benzer olarak cismin zaman aralığındaki ortalama ivmesi
ve herhangi bir anındaki ivmesi ise
olur. Demekki hareket eden bir cismin ivmesi ortalama hızın zaman göre türevidir.
Örnek.5.8: Bir cismin ekseni boyunca her için fonksiyonuna
uygun biçimde hareket ediyor. Bu cismin ve arasında aldığı yolu . saniyenin
sonundaki hızını ve ivmesini bulunuz.
Çözüm: Cisim birim yol alırken
olur.
5.5 Toplamın, çarpımın ve bölümün türevi
Bu kısımda türevlenebilen fonksiyonların toplamı, çarpımı ve bölümünün türevini
hesaplamak için çok kullanılan kuralları vereceğiz.
Teorem.5.2: fonksiyonları için türevlenebilir olsun. Bu
takdirde için ve fonksiyonları noktasında türevlenebilir
ve
a) için
b)
c)
İspat: a) ve mevcut olduğundan, limitin özelliklerinden
63
elde edilir.
b)
yazılabilir. Öte yandan ve fonksiyonları noktasında türevlenebilir olduğunda
süreklidir. Dolayısıyla ve ‘dir. Böylece limitin
özelliklerinden dolayı
bulunur.
c)
yazılabilir. fonksiyonu noktasında türevlenebilir olduğundan bu noktada süreklidir.
Dolayısıyla olduğuna göre yeterince küçük için ve
‘dir. Böylece limitin özelliklerinden
64
sonucuna ulaşılır.
5.6 Sabit, Kuvvet ve Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
1) Sabit fonksiyonunun türevi sıfırdır.
Çünkü bir sabit olmak üzere ile tanımlı herhangi bir sabit fonksiyon için
bulunur.
Buna göre sabit çarpanı türev işaretinin dışına çıkarılabilir, yani ‘dir.
2) Her doğal sayısı için ile tanımlanan fonksiyonu her
noktada türevlenebilirdir ve ‘dir.
Gerçekten, Newton binom formülünden
elde edilir.
3) Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
a) fonksiyonu her noktada türevlenebilir ve ‘dir.
Çünkü
65
b) Benzer şekilde elde edilir
c) olmak üzere ‘dir. Çünkü
d) olmak üzere ‘dir. Çünkü
5.7 Ters Fonksiyonların Türevi
Teorem.5.3: fonksiyonu bire bir ve örten olsun. Eğer fonksiyonu
noktasında türevlenebilir ve ise bu takdirde ters fonksiyonu
noktasında türevlenebilirdir ve
‘dır.
İspat: denirse ve olduğuna göre olur. Bu
durumda olması nedeniyle yeterince küçük bir komşulugunda
olacağından
66
yazılabilir. fonksiyonu ‘da
sürekli olduğundan için olur.
Böylece elde edilir.
Örnek.5.9: olduğuna göre ters fonksiyonunun türevini ve
hesap ediniz.
Çözüm: olduğu açıktır.
bulunur. Ayrıca olduğundan
‘dir.
5.8 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
1) ile tanımlı fonksiyonun türevini hesaplayınız.
Çözüm: fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğuna göre ters
fonksiyonların türevi nedeniyle için
‘dir.
Fakat aralığında pozitif olduğundan bulunur.
2) Benzer olarak fonksiyonunun için
‘dir.
3) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.
Çözüm: ‘in ters fonksiyonu olduğuna göre ters fonksiyonun
türevi nedeniyle her için
67
bulunur.
4) Benzer olarak fonksiyonunun türevi
‘dir.
5.9 Bileşke Fonksiyonun Türevi
Bileşke fonksiyonun türevi bütünüyle aşağıdaki teoreme dayanır.
Teorem.5.4: Eğer fonksiyonu noktasında ve fonksiyonu noktasında
türevlenebilir ise bu takdirde bileşke fonksiyonu noktasında türevlenebilirdir ve
‘dir.
İspat: olduğunu göstermek yeterlidir.
Önce yardımıyla tanımlanan
fonksiyonunu göz önüne alalım. fonksiyonu noktasında türevlenebilir olduğundan
olur, yani fonksiyonu
noktasında süreklidir. Öte yandan için
Yazılabilir. Çünkü ise eşitliğin her iki tarafı sıfır ve ise ‘nin
tanımından bulunur. Bu da ifadesinin doğru olduğunu
gösterir. Şimdi fonksiyonu fonksiyonu da noktasında sürekli olduğundan
bileşke fonksiyonu noktasında süreklidir ve dolayısıyla
bulunur. Bu ise ile birlikte
eşitliğini verir. Böylece ispat tamamlanmış olur.
68
eşitliği şeklinde de ifade edilebilir. Buna göre fonksiyonunun türevini
hesap etmek için önce ‘nin ‘ye göre türevini alıp sonra bunu ’nin türevi ile
çarpmak yeterlidir. Bileşke fonksiyonunun bu türev alma kuralına zincir kuralı adı verilir.
Zincir kuralı ikiden fazla bileşik fonksiyonlar için de kullanılır. Örneğin bileşik fonksiyon
biçiminde verilmişse bu durumda olur.
Örnek.5.10: Aşağıdaki bileşik fonksiyonlarının türevlerini bulunuz.
a) b)
c) d)
Çözüm:
a) dersek olur. Zincir kuralından
bulunur.
b) denirse olacağından zincir kuralından
olur.
c) denirse olacağından, zincir kuralından
d) alınırsa olacağından, zincir kuralından
elde edilir.
5.10 Logaritma Fonksiyonunun Türevi
69
ve olmak üzere ile tanımlanan fonksiyonu
için türevlenebilir ve ‘dir.
İspat: Logaritmik fonksiyonun sürekliliğinden
yazılabilir.
denirse , olacağına göre
elde edilir.
Bununla birlikte bileşik fonksiyonların zincir kuralı göz önüne alınarak;
eşitliği bulunur.
5.11 Üstel Fonksiyonun Türevi
ve olmak üzere üstel fonksiyonu için
türevlenebilirdir ve ‘dır. Gerçekten fonksiyonu logaritma
fonksiyonunun ters fonksiyonu olduğundan ‘dir. Ters fonksiyonun
türevi ve eşitliği nedeniyle
olur. Özel olarak ‘dir ve bileşik
fonksiyonların türevinden de ve olduğu açıktır.
Örnek.5.11: herhangi bir sabit olmak üzere için olduğunu gösteriniz.
Çözüm: dersek olduğundan bulunur. Böylece yukarıdaki
açıklama nedeniyle
70
elde edilir.
5.12 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi
5.13 Logaritmik Türev
Kabul edelim ki ve fonksiyonları türevlenebilir olsun. Bu durumda
biçiminde tanımlanan bir fonksiyonun türevi önce önce eşitliğin her iki
tarafının türevi, logaritma, bileşke fonksiyonların türevleri kullanılarak hesaplanır. Sonra
eşitlikten türevi çekilerek türev alma işlemi tamamlanır;
Örnek.5.12: fonksiyonunun türevini hesaplayınız.
Çözüm: Önce dersek logaritmik türev nedeniyle
bulunur. Tekrar aynı kural
fonksiyonuna uygulanırsa
elde edilir.
5.14 Parametrik Fonksiyon Türevi
71
Kabul edelim ki fonksiyonu parametrik denklemi ile verilmiş olsun.
Biliyoruz ki ve denklemlerinden parametrisi yok edilerek
elde edilebilir. Bu durumda parametrik fonksiyonun türevi aşağıdaki teoremle ifade edilir.
Teorem.5.5: ve fonksiyonları noktasının bir komşuluğunda
türevlenebilir olsunlar. Eğer bu komşulukta veya ise
fonksiyonu noktasında türevlenebilir ve ‘dir.
İspat: fonksiyonunun söz konusu komşulukta tersi vardır. Bu ters fonksiyon ile
gösterilirse, ve ters fonksiyonun türevinden yazılabilir.
Bileşke fonksiyonun türevi nedeniyle
bulunur.
Örnek.5.13: fonksiyonu ile tanımlandığına göre türevini
hesap ediniz.
Çözüm:
Örnek.5.14: fonksiyonu ile tanımlandığına göre
türevini hesap ediniz.
Çözüm: için
5.15 Kapalı Fonksiyonların Türevi
Diyelim ki ‘in fonksiyonu denklemi ile verilmiş olsun. Bu durumda
denkleminden değişkenlerden herhangi birini çekmek her zaman mümkün
olmayabilir. Böyle durumlarda kapalı türevler son derece faydalıdır. Bu metod , ‘nin ‘in
bir fonksiyonu olduğu göz önüne alınarak zincir kuralını uygulamaktan ibarettir. Yani
72
denkleminin her iki tarafının ‘e göre türevi alınıp elde edilen denklemden
türevi çekilir.
Örnek.5.15: fonksiyonu denklemi ile verildiğine göre
türevini hesap ediniz.
Çözüm: Denkleminin her iki tarafının ‘e göre türevi alınır ve çekilirse
bulunur.
Örnek.5.16: olduğuna göre türevini hesap ediniz.
Çözüm: Önce denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım. Sonra ‘i , ‘nin
fonksiyonu olarak düşünerek her iki tarafın ‘e göre türevini alırsak
bulunur.
Örnek.5.17: fonksiyonu ile verildiğine göre
noktasındaki türevini bulunuz.
Çözüm: Denkleminin her iki tarafının ‘e göre türevi alınır ve çekilirse
bulunur. eğri üzerinde olduğundan denklemi sağlar. Bu durumda
olur. Yani , için türevinin iki değeri vardır. Bu değerler
ve ‘dır.
5.16 Yüksek Mertebeden Türevler
kümesi üzerinde tanımlı türevlenebilir fonksiyonu verildiğinde yeni bir fonksiyon
tanımlar. Eğer bu fonksiyonu noktasında türevlenebilir, yani
limiti mevcut ise bu durumda ‘ye noktasında ikinci mertebeden türevlenebilirdir ve
değerine de ikinci mertebeden türevi adı verilir. İkinci mertebeden türev
73
sembollerinden biri ile ifade edilir. Bu düşünce tekrar edilerek fonksiyonunun
mertebeden türevi tanımlanabilir.
Tanım.5.3: fonksiyonu noktasında mertebeden türevlenebilir olsun.
Eğer
limiti mevcut ise bu limit değerine ‘nin noktasındaki mertebeden türevi denir ve
ile gösterilir. Burada olduğu açıktır.
Örnek.5.18: fonksiyonunun noktasında mertebeden türevlenebilir olup
olmadığını inceleyeniz.
Çözüm: Açıktır ki
Öte yandan türevin tanımından
olduğuna göre her için bulunur. Ayrıca
fakat
mevcut değildir. Dolayısıyla verilen fonksiyon noktasında türevlenebilirdir olmasına
karşın fonksiyonu türevlenebilir değildir. Bu örnek gösteriyor ki
fonksiyonun birinci mertebeden türevinin mevcut olması yüksek mertebeden türevlerin
mevcut olmasını gerektirmez.
Örnek.5.19: Aşağıdaki fonksiyonların mertebeden hesap ediniz.
a)
b)
74
c)
Çözüm:
a) , , … ,
Özel olarak , ve ise için ve
için olur.
b)
Özel olarak , ise ‘dir.
c)
Benzer olarak bulunur.
Örnek.5.20: Parametrik denklemi , olan fonksiyonunun
türevini hesap ediniz.
Çözüm:
Teorem.5.6: ( Leibnitz Teoremi )
Eğer bir kümesinde ve fonksiyonları mertebeden türevlenebilirse bu
takdirde fonksiyonu mertebeden türevlenebilir ve ve olmak üzere
‘dır.
Örnek.5.21: fonksiyonunun mertebeden türevini hesap
ediniz.
Çözüm: ve denirse , , ve
olduğundan Leibnitz teoreminden
75
bulunur.
Örnek.5.22: fonksiyonunun için mertebeden türevini bulunuz.
Çözüm: ve denirse ve
olur. Böylece Leibnitz teoreminden
elde edilir.
5.17 Diferansiyel
Kabul edelim ki ile tanımlı fonksiyonu kümesinde türevlenebilir olsun. ‘e
artması verildiğinde ‘nin aldığı artma miktarını ile gösterelim. Bu durumda
olur. fonksiyonu noktasında türevlenebilir olduğundan
olmak üzere
veya
eşitliği yazılabilir. Böylece aşağıdaki tanım verilebilir.
Tanım.5.4: ifadesindeki terimine fonksiyonun sabit noktasına ve
değişken artmasına göre diferansiyeli denir ve
veya
ile ifade edilir.
Bu tanıma göre fonksiyonun diferansiyeli hesap edilirse olduğundan
yani bulunur. Şu halde olur.
76
Görüldüğü üzere türevi sadece ‘e bağlı olmasına rağmen
diferansiyeli ve ‘e bağlıdır.
Örnek.5.23: ile tanımlı fonksiyonunun noktasındaki
diferansiyelini bulunuz.
Çözüm: eşitliğinde yerine konularak ,
bulunur.
Örnek.5.24: Bir küpün bir ayrıtının uzunluğunu ölçen kimse , cm hata ile ölçtüğünü
söylemektedir. Küpün bir kenarı cm olduğuna göre, küpün hacminde yapılan hata ne olur?
Çözüm: Küpün bir kenarının uzunluğu cm olursa hacmi , olur. Hacimde
yapılan hatayı , ile gösterelim. olduğundan, yazılır.
cm , cm değerleri göz önüne alınırsa , elde edilir.
5.18 Limitlerde Belirsiz Şekiller
Fonksiyonların limitleri hesap edilirken belirsiz şekiller denilen
ifadeleri ile karşı karşıya gelinir. Bu belirsizlik durumları önce veya biçimine
dönüştürülür sonra aşağıda ifade edilen L ‘Hospital Kuralı uygulanarak, limit kolayca hesap
edilir.
a) ve Belirsizlik Durumları
Bu durumda aşağıdaki teorem uygulanabilir.
Teorem: (L ‘Hospital Kuralı )
Kabul edelim ki ve bir noktasının komşuluğunda ( a ‘da tanımlı olmak zorunda değil)
tanımlanmış türevlenebilen fonksiyonlar olsun. Ayrıca bu komşuluktaki her için
bulunsun.
a) Eğer ve limiti mevcut ise bu takdirde
77
b) Eğer ve limiti mevcut ise bu takdirde
Uyarı: L ‘Hospital Kuralı limite ulaşılıncaya kadar birden fazla uygulanabilir. Örneğin
limiti hesap edildiğinde veya belirsizliği elde ediliyorsa bir kez daha
uygulanabilir ve bu belirsizlik durumlarından kurtuluncaya kadar devam edilebilir.
Uyarı: L ‘Hospital Kuralı sadece için değil aynı zamanda ve
olduğunda da geçerlidir. Örnek olarak için ispat edelim. dönüşümü yapılırsa
için olacağından
,
bulunur. Bu durumda belirsizliği ortaya çıktığından L ‘Hospital Kuralı nedeniyle
elde edilir.
Örnek: limitini hesap ediniz.
Çözüm: için belirsizliği vardır. L ‘Hospital Kuralından
bulunur.
Örnek: limitini hesap ediniz.
Çözüm: için belirsizliği vardır. L ‘Hospital Kuralından
bulunur.
Örnek: limitini hesap ediniz.
78
Çözüm: için belirsizliği vardır. L ‘Hospital Kuralından
bulunur.
Örnek: limitini hesap ediniz.
Çözüm: belirsizliği vardır. L ‘Hospital Kuralı defa uygulanarak
bulunur.
b) Belirsizlik Durumu
Bu belirsizlik durumu
ve
Eşitlikleri yardımıyla sırasıyla ve belirsizliklerine dönüştürülür.
Örnek: limitini hesap ediniz.
Çözüm: belirsizliği vardır. Verilen ifade
Şeklinde yazılırsa belirsizliği ortaya çıkar. L ‘Hospital Kuralı 2 kez uygulanarak
elde edilir.
Örnek: limitini hesap ediniz.
79
Çözüm: belirsizliği vardır. Bu belirsizlik biçimine getirilip L‘Hospital Kuralı
uygulanırsa
‘dır.
c) Belirsizlik Durumu
Bu belirsizlik veya eşitlikleri yardımıyla sırasıyla veya
belirsizlik biçimine dönüştürülüp L ‘Hospital kuralı uygulanır.
Örnek: limitini hesaplayınız.
Çözüm: belirsizliği vardır. Verilen ifadeyi biçimine dönüştürelim.
Örnek: limitini hesaplayınız.
Çözüm: belirsizliği vardır. Buna göre
d) ve Belirsizlik Durumları
Bu belirsizlik durumları biçimine getirilebilir. Örneğin , için ve
ise bu takdirde fonksiyonunda belirsizlik durumu ortaya
çıkar. Bu eşitliğin her iki tarafının logaritması alınırsa
80
bulunur. Bu durumda ifadesindeki belirsizlik belirsizliği olur. Dolayısıyla
c-) de olduğu gibi limiti hesap edilir ve sonra
Eşitliğinden istenen limit elde edilir.
Örnek: limitini hesaplayınız.
Çözüm: belirsizliği vardır. denirse, olur.
yazılabilir. Diğer taraftan
olduğuna göre
sonucuna ulaşılır.
Örnek: limitini hesaplayınız.
Çözüm: belirsizliği vardır. denirse, olacağına göre
81
bulunur.
Örnek: limitini hesaplayınız.
Çözüm: belirsizliği vardır.
sonucuna ulaşılır.
KAYNAKLAR1. Aydın S., Analize Giriş, Cilt-I, Hacettepe Üniversitesi, Beta Basım, İstanbul-1999
2. Sarıgöl M.A., Jafarov S., Analiz-I, Ekin Basım, Ankara–2007
3. Çakan H., Genel Matematik Ders Notları Cilt-I.
82