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原 著 Richard Wolfson總審訂 蔡仲尼譯 者 蔡仲尼 林誠孝 羅煜聘 洪耀正
蔡振凱 楊勝州 吳添全 劉育松
歐亞書局
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CH 27電磁感應
271 感應電流
272 法拉第定律
273 感應與能量
274 電感
275 磁能
276 感應電場
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271 感應電流
1 （圖271）在接上安培計的線圈前面移動一支磁棒導線
沒有接電池也沒有與其它可產生電動勢的源頭相接只要
磁棒保持靜止則導線沒有電流出現一旦磁棒開始移動
安培計會顯示有電流產生我們稱這種電流為感應電流
（induced current）如果磁棒移動得愈快感應電流就會
愈大如果運動的方向反轉感應電流的方向也會反轉
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
2 （圖272）移動一個線圈靠近一支靜止的磁棒則類似的
感應電流也會產生因此不管是磁鐵還是線圈移動都有
相同的效應產生重點是磁鐵與線圈之間有相對運動
3 （圖273）將磁棒換成連接電池並有穩定電流的第二線圈
此線圈產生的磁場就如同磁棒一樣因此不令人意外的
其結果與實驗1 以及2 相同也就是當兩線圈做相對運動
時感應電流在原線圈中產生
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
4 （圖274）讓兩個線圈保持靜止此時沒有感應電流將
與電池連接之左線圈的開關打開則上面的電流會迅速地
降為零在這短暫的時間中右線圈的安培計會記錄到電
流當左線圈的電流保持為零時感應電流不會出現如果
現在將開關閉合當左線圈的電流在短時間內增加時右
線圈的安培計又會記錄到感應電流而且感應電流的方向
與開關打開時的方向相反一旦左邊線圈的電流達到穩定
值右線圈的感應電流又消失了
P465
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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CH 27電磁感應
271 感應電流
272 法拉第定律
273 感應與能量
274 電感
275 磁能
276 感應電場
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271 感應電流
1 （圖271）在接上安培計的線圈前面移動一支磁棒導線
沒有接電池也沒有與其它可產生電動勢的源頭相接只要
磁棒保持靜止則導線沒有電流出現一旦磁棒開始移動
安培計會顯示有電流產生我們稱這種電流為感應電流
（induced current）如果磁棒移動得愈快感應電流就會
愈大如果運動的方向反轉感應電流的方向也會反轉
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
2 （圖272）移動一個線圈靠近一支靜止的磁棒則類似的
感應電流也會產生因此不管是磁鐵還是線圈移動都有
相同的效應產生重點是磁鐵與線圈之間有相對運動
3 （圖273）將磁棒換成連接電池並有穩定電流的第二線圈
此線圈產生的磁場就如同磁棒一樣因此不令人意外的
其結果與實驗1 以及2 相同也就是當兩線圈做相對運動
時感應電流在原線圈中產生
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
4 （圖274）讓兩個線圈保持靜止此時沒有感應電流將
與電池連接之左線圈的開關打開則上面的電流會迅速地
降為零在這短暫的時間中右線圈的安培計會記錄到電
流當左線圈的電流保持為零時感應電流不會出現如果
現在將開關閉合當左線圈的電流在短時間內增加時右
線圈的安培計又會記錄到感應電流而且感應電流的方向
與開關打開時的方向相反一旦左邊線圈的電流達到穩定
值右線圈的感應電流又消失了
P465
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
歐亞書局
273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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271 感應電流
1 （圖271）在接上安培計的線圈前面移動一支磁棒導線
沒有接電池也沒有與其它可產生電動勢的源頭相接只要
磁棒保持靜止則導線沒有電流出現一旦磁棒開始移動
安培計會顯示有電流產生我們稱這種電流為感應電流
（induced current）如果磁棒移動得愈快感應電流就會
愈大如果運動的方向反轉感應電流的方向也會反轉
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
2 （圖272）移動一個線圈靠近一支靜止的磁棒則類似的
感應電流也會產生因此不管是磁鐵還是線圈移動都有
相同的效應產生重點是磁鐵與線圈之間有相對運動
3 （圖273）將磁棒換成連接電池並有穩定電流的第二線圈
此線圈產生的磁場就如同磁棒一樣因此不令人意外的
其結果與實驗1 以及2 相同也就是當兩線圈做相對運動
時感應電流在原線圈中產生
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
4 （圖274）讓兩個線圈保持靜止此時沒有感應電流將
與電池連接之左線圈的開關打開則上面的電流會迅速地
降為零在這短暫的時間中右線圈的安培計會記錄到電
流當左線圈的電流保持為零時感應電流不會出現如果
現在將開關閉合當左線圈的電流在短時間內增加時右
線圈的安培計又會記錄到感應電流而且感應電流的方向
與開關打開時的方向相反一旦左邊線圈的電流達到穩定
值右線圈的感應電流又消失了
P465
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
2 （圖272）移動一個線圈靠近一支靜止的磁棒則類似的
感應電流也會產生因此不管是磁鐵還是線圈移動都有
相同的效應產生重點是磁鐵與線圈之間有相對運動
3 （圖273）將磁棒換成連接電池並有穩定電流的第二線圈
此線圈產生的磁場就如同磁棒一樣因此不令人意外的
其結果與實驗1 以及2 相同也就是當兩線圈做相對運動
時感應電流在原線圈中產生
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
4 （圖274）讓兩個線圈保持靜止此時沒有感應電流將
與電池連接之左線圈的開關打開則上面的電流會迅速地
降為零在這短暫的時間中右線圈的安培計會記錄到電
流當左線圈的電流保持為零時感應電流不會出現如果
現在將開關閉合當左線圈的電流在短時間內增加時右
線圈的安培計又會記錄到感應電流而且感應電流的方向
與開關打開時的方向相反一旦左邊線圈的電流達到穩定
值右線圈的感應電流又消失了
P465
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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271 感應電流
2 （圖272）移動一個線圈靠近一支靜止的磁棒則類似的
感應電流也會產生因此不管是磁鐵還是線圈移動都有
相同的效應產生重點是磁鐵與線圈之間有相對運動
3 （圖273）將磁棒換成連接電池並有穩定電流的第二線圈
此線圈產生的磁場就如同磁棒一樣因此不令人意外的
其結果與實驗1 以及2 相同也就是當兩線圈做相對運動
時感應電流在原線圈中產生
P464
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
4 （圖274）讓兩個線圈保持靜止此時沒有感應電流將
與電池連接之左線圈的開關打開則上面的電流會迅速地
降為零在這短暫的時間中右線圈的安培計會記錄到電
流當左線圈的電流保持為零時感應電流不會出現如果
現在將開關閉合當左線圈的電流在短時間內增加時右
線圈的安培計又會記錄到感應電流而且感應電流的方向
與開關打開時的方向相反一旦左邊線圈的電流達到穩定
值右線圈的感應電流又消失了
P465
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
4 （圖274）讓兩個線圈保持靜止此時沒有感應電流將
與電池連接之左線圈的開關打開則上面的電流會迅速地
降為零在這短暫的時間中右線圈的安培計會記錄到電
流當左線圈的電流保持為零時感應電流不會出現如果
現在將開關閉合當左線圈的電流在短時間內增加時右
線圈的安培計又會記錄到感應電流而且感應電流的方向
與開關打開時的方向相反一旦左邊線圈的電流達到穩定
值右線圈的感應電流又消失了
P465
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271 感應電流
P465
歐亞書局
271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
歐亞書局
272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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271 感應電流
4 （圖274）讓兩個線圈保持靜止此時沒有感應電流將
與電池連接之左線圈的開關打開則上面的電流會迅速地
降為零在這短暫的時間中右線圈的安培計會記錄到電
流當左線圈的電流保持為零時感應電流不會出現如果
現在將開關閉合當左線圈的電流在短時間內增加時右
線圈的安培計又會記錄到感應電流而且感應電流的方向
與開關打開時的方向相反一旦左邊線圈的電流達到穩定
值右線圈的感應電流又消失了
P465
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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271 感應電流
P465
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
歐亞書局
273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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271 感應電流
在這些實驗中的共同特徵為變化的磁場不管磁場的改變
是由於磁鐵或電路的移動或由於電流造成了磁場的變化
上面每個例子皆顯示出感應電流之所以出現是因為有變
化的磁場這是新的現象稱為電磁感應（electromagnetic
induction）其中電效應的出現來自於磁場的變化
P465
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 271 磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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272 法拉第定律
對感應電流來說雖然沒有電池但電路裡依然有電動勢存在
這個感應電動勢（induced emf）通常分散在整個構成電
路的導體中
磁通量
通過開放面的磁通量此磁通量不必為零（圖275）就像
在21 章所定義的電通量磁通量為磁場對某個面的積分
P465
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 271 磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
歐亞書局
273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
歐亞書局
274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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272 法拉第定律
P465
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
歐亞書局
273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
歐亞書局
273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
歐亞書局
274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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272 法拉第定律
為了學習電磁感應先討論磁場通過由電路所形成之封閉
面以圖275 中的迴路來說該封閉面乃由迴路所圍成之
圓面較廣泛地來說它可以是迴路所形成之任意封閉面
對位於均勻磁場中的平坦面而言方程式271a 可簡化為
其中θ 為磁場與面積法線間的夾角如果磁場和面積相垂
直如下一個例題的情形方程式271b 還可進一步簡化為
P465‐466
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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例題 271
一個橫截面半徑為R 之圓柱形螺線管由每單位長
度為n 匝的線圈所組成其中帶有電流I求通過
螺線管每一匝線圈的磁通量
磁通量螺線管
P466
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例題 271 磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 271 磁通量螺線管
P466
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
歐亞書局
例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
歐亞書局
例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
歐亞書局
274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 271
思考 磁場與螺線管的線圈垂直 如簡圖276所示 因
此均勻磁場垂直於面積 故磁通量為ΦB = BA 螺線管內
部的磁場為方程式B = μ0nI（2620）圓面積為πR 2
解答ΦB = BA = μ0nIπR2
磁通量螺線管
P466
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
歐亞書局
273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
歐亞書局
274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 272
一條長直導線帶有I 的電流在包含導線的平面上
有寬與長各為w 與l 的矩形導線迴路矩形的長條
方向與導線平行靠近導線的一邊與導線的距離
為a求通過此迴路的磁通量
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 272 磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 272
思考圖277 為相關的簡圖磁力線環繞長直導線因此
在矩形迴路之位置磁場的方向進入紙面並與矩形面積垂
直故方程式 （271a）變成B dA另外方程式
2617 為磁場強度B = μ0I2πr由於磁場隨著與導線的
距離而改變我們必須用積分來計算我們將矩形分成寬
度為dr 的細長條其面積為dA = l dr將已知的B 和dA 代
入方程式271a 並對所有通過長條的通量做積分
磁通量非均勻磁場
P466
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 272
解答
本積分為自然對數的積分故
磁通量非均勻磁場
P466
int intint++
===Φwa
a
wa
aB rdrIlldr
rIBdA
πμ
πμ
2200
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==Φ+
awaIlrIl wa
aB ln
2ln
200
πμ
πμ
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
歐亞書局
272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
歐亞書局
例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
歐亞書局
273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
歐亞書局
274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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272 法拉第定律
磁通量與感應電動勢
在建立了磁通量的觀念後我們現在可以把電磁學四個基
本定律之一的法拉第感應定律（Faradayrsquos law of induction）
敘述如下
P467
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
歐亞書局
273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
歐亞書局
274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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272 法拉第定律
感應電動勢總是要反抗磁通量的變化我們會用273 節來
討論這個重要的性質因此在SI 制中感應電動勢與磁通
量時變率之間的比例為ndash 1所以法拉第定律為
其中 ε為電路中的感應電動勢ΦB為通過由電路所圍成
的任意表面
P467
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
歐亞書局
273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
歐亞書局
274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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272 法拉第定律
法拉第定律把感應電動勢連結到磁通量的變化這不代表
磁場或磁通量會造成感應電動勢而是其變化才會均勻
磁場的通量可由方程式271b 得到亦即
因此我們可以藉由改變磁場的強度B面積A 或面積與磁
場間的夾角θ 來改變磁通量
P467
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
歐亞書局
273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
歐亞書局
274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 273
一個半徑10 cm 且電阻20 Ω 的導線迴路其平面
與均勻磁場 垂直磁場以010 Ts 的速率增加
求迴路中感應電流的大小
B
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 273 感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
歐亞書局
273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
歐亞書局
例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
例題 273
思考圖278 顯示迴路在垂直進入紙面之磁場中
的簡圖由於磁場為均勻並且與迴路面積垂直
故ΦB = BA = Bπr2已知磁場的時變率為dBdt
因此可以計算導數dΦB dt
感應電流變化的磁場
P468
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
歐亞書局
例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
歐亞書局
273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
歐亞書局
273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
歐亞書局
273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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例題 273
解答磁通量的時變率為
因為半徑固定所以
已知dBdt = 010 Tsr = 10 cm從 = ndash dΦB dt 可以得到
感應電動勢為314 mV接著從歐姆定律我們計算的電流
為I = ε R = 314 mV20 Ω = 16 mA
感應電流變化的磁場
P468
( )2rBdtd
dtd B π=Φ
dtdBr
dtd B 2π=Φ
歐亞書局
例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
歐亞書局
例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
歐亞書局
273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
歐亞書局
273 感應與能量
P469
歐亞書局
273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
歐亞書局
273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 274
兩平行導體軌道相距l軌道的一端以電阻R 相連
接可以自由滑動的導體桿跨接在軌道上構成一
封閉迴路整個迴路與均勻磁場 垂直如圖279
所示若以等速率v 向右拉動導體桿求迴路的
感應電流
B
感應電流面積的變化
P468
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 274 感應電流面積的變化
P468
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 274
解答將磁通量相對於時間微分可得
其中dxdt 為導電桿的速度v從法拉第定律可知Blv 為感
應電動勢的大小因此感應電流為
感應電流面積的變化
P468
BlvdtdxBl
dtd B ==Φ
RBlv
RI ==
ε
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
朝環形迴路移動一支磁棒如圖2710 所示則感應電流出現
它流動時會使迴路變熱因而造成能量的損耗這個能量
是從哪裡來的呢它來自於你移動磁棒對它所做的功
通常以等速率移動時並不需要做功然而感應電流使迴路
成為一個磁偶極其方向與接近中的磁棒相反如圖2710
所示因此你必須做正功以克服所產生的排斥力而且必
須是這樣否則你不能平白得到電流也沒有提供加熱迴
路的能源
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
對圖2710 而言就是此電流會使迴路成為N 極朝左的磁鐵
而排斥靠近的磁棒從右手定則可得如圖所示之感應電流
的方向在迴路的頂端垂直進入紙面底端則垂直離開
如果反過來你使磁棒遠離迴路則感應電流會以相反的方
向流動也就是使迴路的S 極朝左以吸引磁棒因此移動磁
棒離開時會受到阻礙（如圖2711）
P469
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
P469
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
歐亞書局
273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
歐亞書局
274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
上面的討論就是關於電磁感應的能量守恆冷次定律
（Lenzrsquos law）將我們所發現的做了總結
在數學上冷次定律以法拉第定律中的負號來表示但通
常使用法拉第定律來求感應電動勢的大小會比較容易然
後再按照能量守恆推斷出其方向
P470
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
運動電動勢與冷次定律
當導體在磁場中運動時我們可以從磁力作用在電荷載子
來瞭解感應電動勢的起源就運動電動勢（motional emf）而言我們可以清楚地證明冷次定律遵守能量守恆
考慮一個邊長為l 且電阻為R 的方形導體迴路如果將它以
等速率v拉離開均勻磁場的區域 （如圖2712）則通過此
迴路的磁通量在改變因此有驅動電荷流動的感應電動勢
存在能量以熱能的方式損耗所以如同我們前面所討論
的拉動迴路者必然需要做功
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
向右拉動迴路時也同時移動了導體內的自由電子穿過磁場作用
於這些自由電子的磁力為 且方向朝下如圖2712 所示（
由於電子帶負電磁力方向與 相反）負電電子運動的結
果在迴路左側形成向上的電流因此在迴路中沿著順時針方向
流動
長度l 的載流導體在磁場中所受的磁力為 將此應用到
導電迴路由於其右側 因此該部分不受磁力的作用而
且迴路上下兩部分的磁力相互抵消（圖2713）所以磁力只作
用在迴路左側的部分該磁力大小為IlB且從右手定則可知磁
力的方向朝左向左的磁力抵消了向右的作用力因此作用於迴
路的淨力為零牛頓運動定律告訴我們迴路以等速度運動
P470
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
P470
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
為了計算感應電流我們首先求感應電動勢由於磁場與
迴路垂直而且在有磁場的區域皆為均勻因此磁通量為磁
場強度與包含磁場之迴路面積的乘積即ΦB = Blx這裡的
x 代表迴路左端與磁場區域右端之間的距離雖然磁場的大
小固定可是當迴路移動時距離x 的時變率下降為dxdt =
ndash v方程式中的負號代表減小所以磁通量的變化率為
P470‐471
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
因此法拉第定律現在為
感應電動勢在迴路中所驅動的感應電流I 為 I = ε R =
BlvR而能量在迴路的耗損功率為感應電動勢與電流的乘
積
（方程式247）
P471
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
我們已知作用於迴路的磁力大小為F = IlB由於迴路以等
速度移動因此這也是外力的大小外力所提供的功率為
方程式 （619）在這裡 和 的方向相同因此
我們有
這與耗損在迴路中的電功率相同因此拉動迴路者所做的
功都變成迴路電阻的熱損耗所以我們清楚地證明了能量
確實為守恆
P471
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 275
一台發電機由直徑為50 cm 匝數為100 的圓形線圈
所組成它以f = 60 revs 的頻率轉動產生整個
北美洲所使用之標準的60 Hz 交流電如果發電
機電壓的輸出峰值為170 V（此為標準家用配線
120 V 的實際峰值）求所需的磁強度
電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
歐亞書局
例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 275 電磁感應設計一台發電機
P472
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 275
解答法拉第定律令感應電動勢等於磁通量的時變率
當正弦sine 為1 時 感應電動勢有最大值 故εpeak =
2π2r2 NBf令此值等於170 V將r = 25 cmN = 100 匝
以及f = 60 revs 代入可得B = 23 mT
電磁感應設計一台發電機
P472
( )[ ] ( )[ ]ftfrNBftdtdrNB
dtd B πππππε 2sin22cos 22 minusminus=minus=Φ
minus=
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
歐亞書局
274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
電磁感應也是磁性記錄的基礎磁性記錄曾經是儲存音訊
影像以及電腦資訊的主要方法但現在更常見於信用卡
與類似的應用在你信用卡上的磁帶為鐵磁材料它利用
不同的磁化區域來儲存資訊當你刷卡時會在線圈中感應
出電流線圈就以電的訊號來讀取儲存的資訊（圖2715）
早期電腦的磁碟也是以相同的原理來運作但今日的硬
碟就不一樣當硬碟轉動時其磁場會造成讀取頭中的電
阻產生變化因而可以讀取資料
P472
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
P472
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
渦電流
感應電流不僅限於導電迴路或電路當固態的導體有磁通
量變化時感應電流也會出現固態導體的電阻較小因此
會導致較大的感應電流與顯著的能量耗損這會使導電材
料在進入或離開磁場時變得困難因為此時它牽涉到磁通
量的變化結果就是一種會損耗能量的磁阻在另一方面
來說這個效應可以提供摩擦剎車另一種選擇例如可以
藉由啟動在高速轉動之電鋸或火車鋼輪附近的電磁鐵而
很快地讓它們停止下來這是因為導體中的渦電流會將轉
動動能給消耗掉
P472‐473
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
通路與斷路
圖2716 為一個封閉導電迴路置於垂直進入紙面的磁場中
假設磁場的強度在增加中則為了反抗此變化感應電流
的方向會在反抗此增加的方向上也就是在迴路內之感應
磁場的方向必須是垂直紙面離開從右手定則可知感應電
流的方向為逆時針感應磁場並非一定與外加磁場反向
而是感應磁場要反抗外加磁場的變化如果圖2716 中的磁
場在減少中則感應電流會「試圖」強化磁場而產生順時
針方向的感應電流因為這樣可以產生額外的磁場進入紙
面P473
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
P473
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
如果迴路改為斷開的電路那會如何呢就像有個小間隙在
導電迴路上如圖2717 所示這樣一來就不會有反抗磁場變
化的感應電流出現但我們可以從完整的迴路如圖2716 來
想像這個狀況首先我們有逆時針方向的感應電流現在
將迴路斷開則電流會使正電荷堆積在間隙的上端同時
負電荷則堆積在間隙的下端電荷會持續堆積直到間隙的
電位差足以反抗使電荷移動的感應電動勢為止這樣的結
果形成間隙電壓與感應電動勢相等的穩定狀態
P473
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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273 感應與能量
P473
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
我們已經知道有很多方式可以改變磁通量從而可以感應
出電動勢與電流我們可以移動磁鐵移動或轉動電路
或者如圖274 以及圖2718所顯示的方法也就是藉著改變
電路的電流來改變它所產生的磁場這樣的情形就是我們
所稱之電路的電感（inductance）
P474
歐亞書局
274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
歐亞書局
274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
歐亞書局
274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
歐亞書局
274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
互感
圖2718 為兩相鄰的線圈如果我們讓變化的電流進入左側
的線圈則它會產生變化的磁場而使右側的線圈有磁通量
變化因此右側的線圈有感應電動勢產生如果其為完整
的電路則感應電流也會出現圖2718 的兩線圈具有互感
（mutual inductance）亦即其中一個線圈的變化電流會
使另一個線圈有變化的磁通量於是感應出電動勢
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
歐亞書局
274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
歐亞書局
274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
歐亞書局
274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
P474
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
這個效應的強度決定於線圈本身的構造及彼此的相對方位
如果要有最大的互感則兩線圈擺放的位置應使任一線
圈的磁通量大部分通過另一個線圈通常會將線圈纏繞在
鐵心上以集中磁通量來增加互感
互感為變壓器的基礎變壓器則使用於交流電路中來改變
電壓的大小
P474
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
歐亞書局
274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
歐亞書局
274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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274 電感
自感
電感並不限於兩個線圈的系統來自於單一線圈或電路之
電流所產生的磁通量會通過電路本身（圖2719）當此電
流改變時磁通量也會改變因此感應出電動勢而此感
應電動勢會反抗使它出現的變化電流例如當圖2719 中
電路的電流增加時則感應電動勢的方向會與電流增加的
方向相反也就是在順時針方向它與圖2719 中的電流方
向相反因此感應電動是會使增加電流變得較為困難
P474
歐亞書局
274 電感
P474
歐亞書局
274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
歐亞書局
274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
歐亞書局
例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
歐亞書局
274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
P474
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
此種電路本身之磁場反抗電路電流變化的性質稱為自感
（selfinductance）所有的電路皆有自感但影響最大者為
電路圍繞著本身有大量的磁通量時或是當電路的電流變
化相當快速時
電感器（inductor）是專門設計來表現自感的儀器電感器
在電路上有許多的用途包含建立無線電發送機的頻率
與幫助「引導」高頻和低頻訊號至高音和低音揚聲器系統
P475
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
當電流改變時變化的磁通量會感應出反抗電流變化的電
動勢電流改變得愈快磁通量的變化率就愈大因此所
感應的電動勢也愈大感應電動勢也與電感器所圍繞之磁
通量的大小有關所以我們定義自感L 為通過電感器之磁
通量與電流的比值
方程式273顯示自感的單位為T∙m2A此單位稱為亨利
（henry H）在一般電路上電感的範圍介於微亨利（
μH）和幾個亨利（H）之間
P475
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 276
一個截面積為A 長為l 的長螺線管它每單位長度有n 匝的
線圈求其自感為何
解答由於每單位長度的線圈有n 匝因此螺線管的總匝
數為nl 匝故通過螺線管的總磁通量為
方程式273 的自感為磁通量與電流的比值亦即
（螺線管的自感） （274）
計算電感螺線管
P475
( )( ) AlInAnInlnlBAB2
00 μμ ===Φ
AlnI
L B 20μ=
Φ=
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
電感器的感應電動勢可以由法拉第定律來求得因為法拉
第定律將電動勢與磁通量的變化率做連結
如果對方程式273 亦即電感的定義變微分我們有
因此法拉第定律變為
P476
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
此方程式說當電感器內的電流變化率為dIdt 時電感L 之
電感器的電動勢為 ε其中的負號再度告訴我們電動勢的
方向在反抗電流的變化由於這樣電感器的電動勢通常
稱為反電動勢（back emf）其作用為反抗外加電動勢所帶
來的改變圖2720 顯示了如何解釋方程式275 中的符號
P476
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274 電感
P476
歐亞書局
例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
P476
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 277
50 A的電流通過20 H的電感器電流在10 ms的
時間內穩定地下降為零求此時間內電感器之電
動勢的大小與方向
反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
例題 277 反電動勢危險的電感器
P476
歐亞書局
例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
歐亞書局
274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 277
解答
上面的答案為正值表示電動勢在電流的方向增加如圖
2721 所示
反電動勢危險的電感器
P476
( ) V 10000ms 10
A 50H 20 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ minusminus=minus=
dtdILLε
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
電路中的電感器
由於電感器之電動勢取決於電流的變化率而且無限大之
電動勢是不可能的因此通過電感器的電流無法立即改變
我們可以說如果將「電壓」換成「電流」則在電容器
所學到的大多可以應用到電感器上
P477
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
圖2722 為一個包含電池開關電阻器以及電感器的電路
當開關斷路時電路沒有電流（圖2722a）將開關閉合
的瞬間電路上的電流仍為零因為電感器的電流無法立即
改變既然沒有電流電阻器的端電壓亦為零因此電感
器必定是產生了反電動勢且其大小與電池的電動勢相等
（圖2722b）雖然此時電感器的電流為零但從非零的電
動勢L = ndashL(dIdt) 可知電流的變化率dIdt 並不為零
P477
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274 電感
P477
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
因此電感器的電流從零逐漸增大同時電阻的電流也一樣
地增加所以電阻的端電壓為IR由於電池的電動勢ε0 為
定值因此當IR 增加時電感器的電動勢大小會下降則
從方程式275 可知電流的變化率也下降最後全部的電路
達到穩定的狀態此時dIdt 與感應電動勢皆為零（圖
2722c）此刻電感器就如同一條導線而電阻就決定了
電流的大小I = ε0R圖2723 對上面RL 電路的分析做了
總結
P477
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274 電感
P477
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
274 電感
P477
歐亞書局
274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
歐亞書局
274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
我們可以利用迴路定律來對電路做定量的分析以順時針
方向來看我們在電池的位置有電壓增加ε0 在電阻器是
下降ndash IR在電感器則有變化量εL這個變化量其實是下
降但我們讓方程式275 來決定這個符號由迴路定律可
得 ε0 ndash IR + εL = 0電池的電動勢為定值因此對方程式
微分我們有
但從方程式275 可知dIdt = ndash εLL因此這
P478
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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274 電感
這看起來像RC 電路之方程式254只是將I 換成εL C 換
成L以及1R 換成R所以只要做適當的變換此微分方程
式的解與方程式254的解類似
此結果顯示電感器的電動勢由初始值ndash ε0（負代表電感器
之電動勢為反抗電池）隨著指數項衰減至零從原來沒有
微分之迴路方程式我們現在可以求得電流
P478
歐亞書局
274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
對於電容器來說我們用電容時間常數RC 來描述隨時間變
化之物理量的特性在這裡我們則用電感時間常數
（inductive time constant）LR 來描述但是與電容器狀況
不同的是電感時間常數與電阻成反比這是因為較小的
電阻意味著較大的穩態電流因此需要較長的時間才能達
到該狀況另外也可以看出電流無法在時間間隔遠小於LR時有顯著的改變而是要經過許多個時間常數後電路才
會趨近於穩定態讓εL = 0圖2724總結RL 電路物理量隨時
間變化的關係圖
P478
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274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
274 電感
P478
歐亞書局
例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 278
一個用來搬廢鐵的大型電磁鐵具有自感L = 56 H
它與固定電壓440 V 的電力源相連接整個電路
的電阻為28 Ω求需要多久時間才可以讓電流達
到最終值的75
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
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例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
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274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
例題 278
解答將方程式重新整理可得endashRtL = 025接著對等號兩
邊取自然對數並用ln ex = x 可得ndash RtL =ln(025)亦即
電感時間常數啟動電磁鐵
P478
( ) ( ) s 28025lnΩ 28H 56025ln =minus=minus=
RLt
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
274 電感
圖2725 為含有雙向開關的電路在扳動開關到A 時電流會
增加一如我們剛剛所描述的如果將開關移到B 時電
流仍會繼續流過電感器和電阻因為電感器的電流不能立
即改變我們不要使用數學來推導但這不難證明電流會
以指數的方式衰減其中的時間常數也是LR
這與前面電容器放電的結果是類似的
P479
歐亞書局
274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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274 電感
P479
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275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
275 磁能
在圖2725b 與2726d 中電流通過只包含電阻和電感器的
電路因此會由於加熱電阻而使能量損耗那麼此能量從
哪裡而來呢
由於電流在電感器內因此它具有磁場此磁場的變化會
產生驅動電流的電動勢當電流下降時磁場也下降到
了最後電路就變成沒有電流也沒有磁場的狀態只有一
個熱電阻存在那電阻的熱能來自於何處呢它來自於磁
場
P480
歐亞書局
275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
歐亞書局
275 磁能
P480
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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275 磁能
如同電場一樣磁場含有儲存的能量RL 電路的衰減類似
於RC 電路的放電其中電容器平板中的電場會因熱能出現
於電阻器中而消失磁與電的情形一樣磁能並不侷限於
電路中任何磁場都含有能量從磁場所釋放的能量驅動
許多實際的裝置同時也為宇宙間一些猛烈的事件提供動
力的來源（圖2728）
P480
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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275 磁能
P480
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275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
275 磁能
電感器中的磁能
可以藉著重新考慮電感器中電流增強的過程而求出儲存的
能量前面我們曾寫出在圖2722 中之電路的迴路定律如
果我們將該方程式乘以電流I我們有
再將方程式275 代入 中可得
此方程式中的三項皆有電壓乘以電流的單位這就是功率
P480
歐亞書局
275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
歐亞書局
275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
歐亞書局
例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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275 磁能
第一項為電池供給電路能量的功率 第二項ndash I 2R 為電
阻器損耗能量的功率其中的負號表示電阻器由電路獲得
能量由於電流在增加（dIdt gt 0）因此第三項也是負的
它代表電感器從電路中汲取能量但電感器不會耗損能
量反而是將能量儲存於磁場中因此電感器儲存能量的
功率為
假設我們在微小時間dt 內增加少量的電流dI 通過電感器
由於功率為能量的儲存效率因此在短時間內儲存的能量
為dU = P dt = LI dI
P480
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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275 磁能
我們可以將電感器中電流從零到最終值I 的許多能量dU 累
加起來亦即積分而獲得儲存於電感器的總能量
計算兩個積分的上下限可得到儲存的能量
這些能量會在磁場衰退時釋放出來
P480
歐亞書局
例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
歐亞書局
275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
歐亞書局
276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 279
在MRI 掃描器內的螺線管為超導電磁鐵它可以儲存大量
的磁能但如果儀器的冷卻劑喪失則可能會有危險因為
電流路徑上零電阻的狀態突然失去使得電流會很快地衰
減結果導致磁能以爆發的方式釋放出來考慮一個MRI
之螺線管帶有24 kA 的電流並具有053 H 的電感當它失
去超導性時其電阻突然上升到31 mΩ求 (a) 儲存的磁
能(b) 當超導性消失時能量的釋放功率
磁能MRI 災害
P481
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 279
解答
(a) 從方程式278 可得
在(b) 的部分我們有
磁能MRI 災害
P481
( )( ) MJ 15kA 24H 05321
21 22 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== LIU
( ) ( ) MW 018mΩ 31kA 24 22 === RIP
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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275 磁能
磁能密度
在例題276 中我們看到長l 截面積A 的螺線管其電感為L = μ0 n2Al從方程式279 我們可以計算儲存於螺線管內的磁
能
其中我們知道物理量μ0 nI 為螺線管內的磁場B（由方程式
2620）而Al則為包含此磁場的體積因此每單位體積的
能量亦即磁能密度（magneticenergydensity）為
P481
歐亞書局
275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
歐亞書局
276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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275 磁能
雖然這是從螺線管磁場所得的關係式但這實際上為局部
磁能密度的普遍關係式也就是只要某地方有磁場那裡
就有能量儲存
方程式2710 與電場的能量密度 （方程式237）
相類似兩者之能量密度皆與場強度的平方成正比且各
具有其適當的常數μ0 或 而這兩個常數一個位於分子另
一個位於分母這只是它們在SI 單位中定義的結果
P481
歐亞書局
276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
歐亞書局
276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
歐亞書局
276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
唯一能作用在靜止電荷者為電力而電力來自於電場因
此導電迴路中必定有電場存在我們稱此電場為感應電場
（induced electric field）這個場對電荷之效應與前面所談
的普通電場相同亦即它對電荷的電力為qErarr但感應場
並非源自於電荷本身而是由磁場變化（changing magnetic
field）所引起
P482
歐亞書局
276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
前面所提的法拉第定律以方程式272 表示它將感應電動
勢連結到變化的磁場由於感應電場更為基本又因為電
動勢只是代表電荷繞著電路或任何封閉迴路時對每單位電
荷所做的功所以我們可以將電動勢寫為 而
法拉第定律變成
在等號左邊的線積分為任何封閉迴路它不必與電路或導
體重合而等號的右邊為磁場的面積分這個面指的是由
左邊迴路所圍成的開放面
P482
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
法拉第定律告訴我們除了電荷之外還有一個電場的來
源那就是變化的磁場
這兩個場之間的直接交互作用為許多實際裝置的基礎就
如同我們會在第29 章看到的它是光之所以存在的根本
P482
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
法拉第定律與安培定律（方程式2616）相類似兩者在等
號左邊都涉及場的線積分在法拉第為電場 在安培為磁
場 而等號右邊為該場的源頭亦即變化的磁場產生電場
移動的電荷（電流）產生磁場 另外兩個場都將源頭
圍繞起來這說明了感應電場的結構與源自於電荷的電場
極為不同感應電場的電力線沒有起點或終點一般來說
它們乃圍繞在磁場變化區域的封閉迴路（圖2729）
P482
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
歐亞書局
例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
歐亞書局
276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P482
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
歐亞書局
例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
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2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
歐亞書局
276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
歐亞書局
276 感應電場
P483
歐亞書局
276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 2710
某長螺線管其圓形橫截面的半徑為R螺線管的
電流在增加因此螺線管內的磁場也在增加如
果磁場的強度為B = bt其中b 為常數求螺線管
外距離中心軸為r 的感應電場
求出螺線管的感應電場
P482
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
P484
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276 感應電場
P484
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276 感應電場
P484
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例題 2710 求出螺線管的感應電場
P483
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
rbRE
2
2
minus=
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
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276 感應電場
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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276 感應電場
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276 感應電場
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例題 2710
解答法拉第定律左邊的狀況與例題268 相同我們只需
要將方程式中的 換成 所以 可立即算出來為
2πrE接著在方程式的右邊則要將電流換成變化磁通量
ndash dΦB dt我們的迴路在螺線管的外面因此它圍繞整個
磁通量亦即磁通量為ΦB = BA = btπR2所以法拉第定
律右邊之磁通量變化率為dΦB dt = πR2b將結果代入法
拉第定律左右兩邊可得2πrE = ndash πR2b亦即
求出螺線管的感應電場
P483
B E int sdot rdE
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2
2
minus=
歐亞書局
276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
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P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
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276 感應電場
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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276 感應電場
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276 感應電場
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276 感應電場
保守與非保守電場
從靜止電荷分布起始與終止的靜電場為保守場這表示在
兩點間移動電荷時所做的功與路徑無關也就是在靜電場
內沿著封閉路徑移動電荷一圈時並不需要做功數學上我
們將此特性寫為
P483
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276 感應電場
相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
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超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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相反的感應電場通常形成封閉迴路在這裡法拉第定律
明確地證明電場沿著封閉路徑的線積分不為零這表示沿
著封閉路徑移動一個電荷時感應電場對電荷做了功而
且在兩點間移動電荷電場所做的功與路徑有關（圖2731）
因此感應電場為非保守場
P483
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276 感應電場
P483
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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276 感應電場
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276 感應電場
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276 感應電場
反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
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276 感應電場
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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276 感應電場
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276 感應電場
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反磁性
我們在第26 章介紹過反磁性（diamagnetism）但當時無
法做解釋因為它涉及了感應電場圖2732 顯示一個極其
簡化的模型其中原子中兩個電子各具有大小相同方向相
反的磁矩雖然要正確地處理反磁性需要用到量子力學
但此模型可以定性地顯示反磁性是如何顯現出來
P484
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276 感應電場
在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
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276 感應電場
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276 感應電場
超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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在圖2732a 中的兩個磁偶極矩相互抵消因此相關的原子
並無磁矩但如果施加一個垂直進入紙面的磁場（圖2732b
）例如使磁棒的N 極朝紙面移動則會如何變化的磁場
會產生一個電場並改變電子的速率為了反抗所施加的磁
場右邊電子的速率增加它垂直紙面離開的磁矩也增加
並反抗磁棒的磁場同時左邊電子的磁矩減少所以現在
原子具有垂直紙面離開的淨磁矩並反抗靠近的磁鐵所產
生的排斥力即為反磁性的特徵
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超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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超導體具有完美的反磁性這表示從感應電流所產生的磁
場會將任何外加的磁場完全抵消由於這些感應電流在超
導的零電阻下會持續存在因此這樣的材質可將磁場完全
排除在外此現象稱為麥士納效應（Meissner effect）（圖
2733）永久磁鐵之磁矩與鄰近超導體之間的排斥力就是
已被廣為宣傳的磁浮現象（圖2734）
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