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１．１ 结构动力学研究的基本内容
第１章 复杂结构动力学概述
１．１ 结构动力学研究的基本内容
穿过雷雨的高速飞机、在风暴巨浪中急驶的舰艇、沿轨道运动的高速车、高
层建筑、大型桥梁、海洋钻井平台、运载火箭、卫星、飞船、空间站和航天飞机等
等，这些庞大的复杂的工程结构，本书称之为复杂结构．它们在运动时都承受各
种动态载荷，为了保持这些结构的高性能低成本，为了确保这些结构的可靠性与
安全性，必须进行大量的结构动力学分析与试验，以便准确地确定结构对动态载
荷的响应．
一个幅值为犘０的静载荷作用于结构时，可能不至于使它产生破坏，但同样
幅值的动态载荷作用于同样的结构就有可能使其破坏，即使不造成结构的破坏，
由于动载引起的结构振动也可能会影响结构的正常工作．比如１９５８年发射的美
国第一颗人造地球卫星探险家一号（犈狓狆犾狅狉犲狉１）入轨后，由于悬在星体外面的四
根天线的弹性振动，造成系统的内能耗散，最后导致卫星姿态失稳而翻滚．又如
１９８２年日本发射的技术实验卫星，由于挠性太阳帆板的微小振动干扰了姿态控
制系统，使卫星无法正常工作．参考文献［１５０］介绍了美国航天器结构动力学的
需求和发展趋势．据有关统计表明，在飞行器所发生的许多重大事故中，有４０％
的事故和振动有关［１５，２９］．为了保证复杂结构在恶劣环境下，能够可靠而安全地
正常工作，需要有准确的响应预测方法．研究结构在动态载荷作用下所表现的动
态特性与动态响应就是结构动力学的基本任务．
结构动力学的三要素是输入（激励）、系统（结构）和输出（响应），如图１．１所
示．已知激励和系统，问题归结为响应预测，这是正问题．也就是已经知道系统的
图１．１ 结构动力学的三要素
２ 第１章 复杂结构动力学概述
结构动力学方程和输入的激励载荷，求解结构的动态特性（包括固有频率、振型
和阻尼）和动态响应（包括时域响应与频域响应）．同时，工程中经常还会遇到需
要解决两类逆问题：已知系统与响应，问题归结为激励识别；已知激励与响应，
则问题归结为系统识别．
计算结构动力学研究的主要任务是进行复杂结构的动态特性与动态响应预
测．包括如下内容：确定外激励的动态载荷，包括载荷性质、大小与变化规律、激
励位置；将复杂结构简化为物理模型；将物理模型化为很大自由度微分方程组的
数学模型；采用合理的方法与程序进行动态特性分析与动态响应分析，在计算机
上求解，给出复杂结构的动态特性与动态响应的计算结果；进而通过一定类型的
试验来验证所得到的计算结果的正确性；将可靠的计算结果用于结构动态优化
设计．
以航天器结构为例，航天器结构基本上是杆梁板壳组合的壳体组合结构．对
于这样的连续体组合结构的物理模型，动力学求解的困难首先来自解偏微分方
程的困难．对于复杂结构，有了物理模型还无法求解，本书的主要内容就是介绍
如何将复杂的物理模型化为非常大自由度的离散化的数学模型，如何在计算机
上进行大自由度，以及非常大自由度数学模型的动特性分析、动响应分析的理论
与方法，及其在航天工程中的应用．
图１．２是一个结构动力学研究的典型流程框图，三个主要流程是设计、分
析与试验，也可能只有一个或两个主流程是需要的．例如水利工程师要完成水
坝的动力学分析，并通过水坝模型动力学试验进行验证，分析与试验结果导出
在该地区地震激励下不产生破坏、确保安全的最大水深度．汽车工程师完成大
量的分析和试验，可以确定新设计的汽车动态特性．分析与试验的结果可以验
图１．２ 动力学研究流程图
１．１ 结构动力学研究的基本内容 ３
证结构设计的合理性．这些结果经常会指出结构某些部位或者整个结构设计
的不合理性，导致结构设计的一些修改，从而不断提高结构设计的质量和经
济性．
结构动力学问题有两个重要特点不同于静力问题．第一是动态载荷是随时
间变化的，结构的响应也是随时间变化的．很显然动力学问题不像静力问题那样
简单，分析者要相应于响应历程所有感兴趣的时间内求得响应解，因而动力学问
题要比静力问题更加复杂，求解要更加费时间．第二个更为重要的特点是加速度
所起的重要作用，这可以由图１．３所示的悬臂梁来说明．如图１．３（犪）所示，悬臂
梁承受静态载荷犉，梁的内力矩、剪力和挠度可以直接由给定静载犉计算出来；
如图１．３（犫）所示，在动态载荷犉（狋）作用下，悬臂梁产生的挠度伴随着加速度产
生，加速度引起结构的分布惯性力，于是梁的内力矩和剪力不仅与外作用力平
衡，而且还要和梁的加速度引起的分布惯性力平衡．因而在某种意义下，减小结
构加速的惯性力是结构动力学问题更为重要更为明显的特征．通常惯性力表示
为与结构内弹性力相平衡的总载荷的一个重要组成部分，因而在求解动力学问
题时，必须考虑惯性力的作用，只有在结构运动非常缓慢、运动惯性力非常小时
才可忽略不计．
图１．３ 悬臂梁（犪）静态加载；（犫）动态加载
以犳＝犳０犲犻ω狋 的简谐力激励的振动作为结构动力学问题的例子，进行简谐
振动问题和静力平衡问题的比较．从平衡方程的解析解，从能量原理各种公
式，从遵守能量原理的各种近似解法看，简谐振动问题和静力平衡问题之间有
一组简单的对应关系，最基本的四个对应关系见表１．１，对应的核心是刚度 犓
和动刚度 （犓－λ犕）相对应，λ犕 ＝ω２犕 反应了质量 犕 的惯性力影响．或者
改用能量的观点，静力平衡问题里结构中所贮存的势能（应变能）Π 和简谐振
动问题里结构所贮存的动势能Π犱（应变能与动能）相对应．对应中也有不对应
的方面．这就是在静力平衡问题里的刚度 犓 是非负的，并且势能Π 通常是正
定的，因而势能原理和余能原理都是极小值原理．但是在简谐振动问题里动刚
度 （犓－λ犕）经常是可正可负的．因而对应的势能原理和余能原理一般只是
驻值原理．
４ 第１章 复杂结构动力学概述
表１．１ 静动问题的对应关系
问题类型 平衡问题 简谐振动问题
对应的核心
刚度犓 动刚度 （犓－λ犕）
势能
Π ＝１
２狓犜犓狓
动势能
Π犱 ＝Π－λ犜＝１
２狓犜（犓－λ犕）狓
方 程 犓狓＝犳 （犓－λ犕）狓＝犳
能量守恒 Π ＝１
２犳犜狓 Π犱 ＝
１
２犳犜狓
虚位移原理 δ狓犜犓狓＝δ狓犜犳 δ狓犜 犓－λ（ ）犕 狓＝δ狓犜犳
势能原理 δ１
２狓犜犓狓－犳
犜（ ）狓 ＝０ δ１
２狓犜（犓－λ犕）狓－犳
犜［ ］狓 ＝０
１．２ 动 态 载 荷
一个航天器从地面运行到空中飞行的过程将遇到大量的外界扰动，诸如地
面运输振动，竖立风激振动，阵风响应、绕流抖振、声致振动、犘狅犌狅振动等各种干
扰，从发射到入轨过程的各级发动机点火、燃烧终止、级间分离、整流罩分离、入
轨等过程航天器承受着各种动态载荷．动态这个术语意味着随时间的变化，动态
载荷是一类幅值、方向和作用点随时间变化的载荷．如果载荷是已知的时间函数
称之为确定性载荷，对承受确定性载荷的特定结构系统进行的分析称之为确定
性分析．如果加载的时间历程不完全知道，但在统计意义下知道，这种载荷称之
为非确定性载荷，即是随机载荷．这本书主要处理确定性载荷．
从分析的观点看，通常可以把确定性载荷分为周期和非周期的．确定性载荷
的一些形式如图１．４所示，图１．４（犪）与１．４（犫）是周期性重复载荷，最简单的周
期载荷是图１．４（犪）所示的正弦变化的简谐载荷，例如旋转机械不平衡质量的惯
性力．舰艇尾部螺旋桨产生水动压力是图１．４（犫）所示的另一种形式周期载荷．
借助于傅里叶分析，可以把任何形式的周期载荷表示为简谐分量级数和，因此原
则上各种周期载荷响应分析过程都一样．短时间持续的冲击载荷和长时间持续
的一般形式载荷都是非周期载荷．图１．４（犮）表示一次爆炸产生的典型冲击载荷，
１．３ 数 学 模 型 ５
对于短时间持续载荷而言，可以进行一些简化分析．图１．４（犱）表示地震产生的
长时间持续的一般载荷，需要用一般的结构动力学分析过程来处理．
图１．４ 动态载荷（犪）简谐；（犫）周期；（犮）冲击；（犱）长时间持续
１．３ 数 学 模 型
结构动力学分析中最重要的一环是建立结构的数学模型，这一过程在图
１２中由２犪与２犫两个流程说明．在２犪流程中，经过观察与研究绘出结构系统的
理想化模型，也就是做了一系列假设把实际结构系统简化为物理模型，并提供一
套相应于物理模型的参数（尺寸、材料等等）数据．从本质上看，它应与实际结构
系统（它可能是样机或者仅有计划设计的数据）很逼近．但是它已经做了一些简
化，在数学上已经可以进行分析．结构的物理模型可以分为三种类型：（１）连续
的物理模型，例如杆、板、壳与块体组合结构模型；（２）离散的物理模型，质点系
统属于离散的物理模型；（３）部分连续、部分离散的物理模型．对于离散的物理
６ 第１章 复杂结构动力学概述
模型可以应用达朗贝尔原理、虚功原理、拉格朗日方程等方法去获得描述离散的
物理模型动力学特性的微分方程组；对于连续的物理模型就可以应用变形体力
学（例如应变与位移关系、应力与应变关系等等）原理和离散化的方法，用数学语
言去获得描述连续的物理模型动力学特性的微分方程组．本书以后把数学模型
窄义地定义为多自由度微分方程组的模型．把连续系统的偏微分方程（组）的模
型归入物理模型，以示区别．
对于简单构件，可以直接由连续的物理模型求解偏微分方程给出计算结果．
但是，对于大型的复杂结构，连续的物理模型的求解非常困难，必须进一步将其
离散化为便于在计算机上求解的多自由度微分方程组的数学模型．这些就是框
图１．２中的２犫流程的内容．
图１．５（犪）表示一个悬臂梁连续模型，有连续偏微分方程的物理模型．图１．５（犫）
和图１．５（犮）介绍有限自由度系统的离散化的数学模型，称之为集中质量模型，因
为这里假设少数质点集中质量可以用来模拟系统质量．为了表示所有惯性力的
影响，必须考虑的全部待求位移量的数目，称之为系统的自由度数（犇犗犉）．连续
的物理模型是具有无限多自由度的系统，而离散的数学模型是具有有限多自由
度的系统．
图１．５ 悬臂梁分析模型（犪）连续模型；（犫）一个自由度模型；（犮）三自由度模型
实际上建立物理模型和数学模型的整个过程统称为数学建模，它的任务是
简化结构系统与提供关于尺寸、材料、载荷和边界条件等等输入数据．当建立了
物理模型之后，计算机的图形功能还可以帮助你建立离散化的数学模型．图
１６（犪）绘出实际汽车车体的理想化物理模型，图１．６（犫）就是计算机生成的有限
元数学模型．因而，计算机图形功能成为建立结构数学模型的有力工具．
简化的数学模型可以很简单，也可以很复杂，模型的复杂程度取决于分析者
进行动力学分析的目的、要求的计算精度、各个部件在结构振动中的贡献．例如
图１７介绍了用来研究阿波罗土星犞运载火箭结构动力学特性的４个不同分析
模型，３０个自由度的工程梁模型用于初步研究和确定对实尺试验的要求，３００个
１．３ 数 学 模 型 ７
图１．６ 汽车车体（犪）分析模型；（犫）有限元数学模型
自由度的三维模型主要为了给出飞行敏感元件安装位置运动的描述．有了结构
的数学模型，根据动力学方程就可以进行结构动力学分析．以往主要采用解析法
求解，效率较低．现在随着计算机的速度发展，促进了计算力学与计算数学的发
展，已提出许多动力学问题的计算策略和数值算法（例如有限元法，加权残值法
与边界元法等等）并已编成通用的大型计算机程序，设计工程师可以方便地运用
这些程序去完成结构动力学分析．
图１．７ 研究阿波罗土星Ｖ运载火箭分析说明（犪）阿波罗土星犞；（犫）工程梁模型；（犮）梁 １／４壳模型；（犱）１／４壳模
型；（犲）三维模型
８ 第１章 复杂结构动力学概述
１．４ 结构动力学试验
结构动力学试验的主要目的之一是验证结构的数学模型．动态试验包括模
态试验与振动台试验．模态试验提供模态参数；振动台响应试验提供时域响应曲
线与频率响应曲线．通过实验和数据处理来识别实际结构的动力学模型，是近三
十年来结构动态试验研究方面的重要发展．实验模态分析与计算模态分析方法
以及振动台响应试验与振动台响应分析方法，已成为解决现代复杂结构动力学
设计的相辅相成的重要手段，随着计算机的发展和动态试验技术的提高，用结构
动态试验数据来验证数学模型的方法已经得到普遍的应用．
模态试验的主要目的是通过试验测得数据的识别，给出结构的模态参数以
验证数学模型．经典的基于适调的多点正弦激振的相位共振模态试验技术，随着
计算机的广泛应用，以犉犉犜为核心的动态信号分析技术、基于多点随机激振的
相位分离技术、基于多点步进正弦激振的相位分离技术和直接激振力适调技术
的发展与应用，大大提高模态试验数据识别给出的模态参数的可信度，用结构模
态试验来验证数学模型方法已得到普遍应用．但由于航天器结构越来越复杂，薄
壳结构与轻型柔性结构广泛应用，使结构动力学特性非常复杂．例如，低频高密
模态、局部模态、对结构性能微小变化敏感模态，耦合的三维振型（非直观的），特
别是复模态、非线性、非平稳等因素，对模态试验识别技术提出非常高的要求．
图１．８介绍火箭头部在大振动台上进行振动试验．图１．９介绍进行犆犣 ２犈
全箭振动试验的振动塔，图１．１０可以看到悬吊犆犣 ２犈产品进塔的情况，图
１１１介绍犆犣 ２犈全箭振动试验．
图１．８ 振动台振动试验
图１．９ 进行ＣＺ ２Ｅ全箭振动试验的１４０＃振动塔
１．５ 航天器动态设计方法 ９
图１．１０ ＣＺ ２Ｅ运载火箭分段吊进塔内
图１．１１ 在１４０＃振动塔内的ＣＺ
２Ｅ全箭振动试验
１．５ 航天器动态设计方法
随着科学技术的发展，对各种复杂结构的产品质量要求越来越高，为了使其
达到性能高、结构轻、安全可靠、效费比高，结构设计已从静态设计转为静、动态
设计［３５］，因而结构动力学分析是产品设计中不可缺少的一环．例如，随着运载火
箭性能的提高，它所承受的动态载荷和动力学环境愈来愈复杂，结构本身越轻
巧，它的柔度越大，分析精度的提高使火箭本身的强度可靠性安全系数减小，若
仅进行静态设计，当用结构动力学校核时，则往往出现火箭某些部件结构设计不
合格、通不过，从而造成设计返工甚至要对设计方案做大的修改，若飞行前不加
弥补，则会产生火箭飞行失败的危险．这就是静态设计和动态校核所造成的先天
不足后天失调的严重局面．因此，火箭的结构设计不能再停留在静态设计水平
上，而必须采用以结构动力学分析与试验为基础的动态设计技术和动态优化设
计技术．
运载火箭与飞船静、动态设计过程，首先由对相似的运载火箭结构过去经验
为基础的一个初始载荷估计开始．这些初始设计载荷因子用来确定承受载荷的
结构尺寸．一经初步设计并完成相应图纸，就能用来产生一个数学模型，例如有
限元模型．这个模型包括结构的动态数学模型和内部载荷的恢复方程．根据建立
的动态数学模型，进行发射到入轨过程的各级发动机点火、燃烧终止、级间分离、
气动加载、整流罩分离、入轨等运载火箭动态响应分析．进而按照内部载荷恢复
１０ 第１章 复杂结构动力学概述
方程计算给出部件设计载荷、应力和变形，并进行结构安全余度评估．根据分析
给出的设计结构安全余度评估，修改部件结构尺寸，形成新的结构方案．初始载
荷估计是几个载荷循环中的第一次 ．重复上述过程，每个运载火箭必须进行几
次载荷循环．对于每次载荷循环，飞船模型与相应运载火箭模型耦合，运载火箭
与飞船的动态特性融合形成系统级特性，形成耦合运载系统模型，如图１．１２所
示［３６］，可以进行船箭耦合分析．设计承受这些载荷的运载火箭与飞船是复杂的
过程，需要许多组织机构和各种专业协作才能完成．结构载荷是整个运载火箭、
飞船系统动力学特性的函数，但是，由于运载火箭和飞船不仅尺寸大而且复杂，
在飞行前无法进行整个系统的试验．而且，每个子结构都对总体系统动特性都有
影响，所以，某一元件设计变动都会导致所有元件的载荷变化，一个部位的建模
误差可以导致其他元件载荷预报的误差．使设计载荷多次荷循环收敛后，进行结
构初样设计，运载火箭与飞船初样一经制造，施加发射前分析给出的载荷进行很
多的测试试验，以验证系统的可飞性．来自这些测试的数据用来调整有限元模
型，用试验测得的模态参数修改数学模型，使修改后的数学模型计算给出的模态
参数、响应参数和试验结果一致．然后用修改好的动态数学模型进行各种动态载
荷的响应分析，给出部件设计载荷，作为结构设计和试验的标准文件．按标准文
件的设计载荷进行静、动力检验性试验和飞行验证发射．
图１．１２ 耦合运载系统模型
１．５ 航天器动态设计方法 １１
图１．１３ 海盗航天器简图
参考文献［３６］介绍宇航公司已
经研制成用于宇宙神Ⅱ、Ⅴ，德尔塔
Ⅱ、Ⅳ，大力神Ⅱ、Ⅳ型运载火箭族
的载荷分析方法、过程与计算机程
序．参考文献［３７］介绍了美国大力
神 Ⅲ犈／半 人 马 座 犇１／海 盗 飞 船
（犜犻狋犪狀Ⅲ犈／犆犲狀狋犪狌狉犇１／犞犻犽犻狀犵）运
载火箭系统载荷分析过程．图１１３
为大力神Ⅲ犈／半人马座犇１／海盗飞
船的结构简图，图１．１４给出飞行载
荷与环境，图１１５给出运载火箭动
态载荷分析流程图．在流程图中可
以看到主要流程是：
图１．１４ 海盗飞行载荷和环境
１２ 第１章 复杂结构动力学概述
图１．１５ 海盗瞬态载荷分析流程图
１）运载火箭分析准备；２）海盗载荷循环准备；３）第一次载荷循环；４）第二
次载荷循环；５）第三次载荷循环；６）结构初步确定之后，加工初样进行子结构试
验、轨道展开试验和振动特性试验；７）进行分析与试验的相关性分析和数学模
型修改；８）给出基于振动特性试验的最终数学模型，然后进行最终的载荷分析
循环，给出设计载荷；９）进行静、动力检验性试验和飞行验证发射．流程图中进
行了三次载荷分析循环，在进行子结构试验、轨道展开试验和模态试验之后进行
分析与试验的相关性分析和数学模型修改，给出基于动态试验的最终数学模型，
然后进行第四次即最终的载荷分析循环，给出设计载荷，进行静力检验性试验和
飞行验证发射．通过载荷分析循环达到结构设计优化．
１．６ 航天器结构振动与控制系统的耦合
为了控制火箭按预定的轨道飞行，控制系统设计时必须在两个方面考虑火
１．６ 航天器结构振动与控制系统的耦合 １３
箭结构振动的影响．
首先，控制系统设计时不能采用刚体动力学方程，而必须考虑火箭弹性振动
的影响，将弹性振动模态参数列入控制系统方程，因而运载火箭结构模态是控制
系统设计的非常关键参数．国内外航天器动力学研究、发展与应用表明，即使某
些早期简单的航天器也是不允许将其作为刚体来处理．１９５８年发射的美国第一
颗人造地球卫星探险家一号（犈狓狆犾狅狉犲狉１）采用自旋稳定，卫星呈细长体，由于星
上四根长的鞭状天线结构柔性的影响，导致了卫星章动运动发散而使自旋稳定
失稳，最后导致卫星姿态失稳而翻滚．从而第一次揭示了柔性结构振动对航天器
姿态稳定性的影响．中国第一颗人造卫星“东方红一号”也采用了自旋稳定，星上
也装有四根鞭状天线．由于动力学设计时已考虑天线结构的柔性影响，采用最大
惯性准则，从而保证了卫星的章动稳定性，使我国第一颗人造卫星“东方红一号”
运行良好［３８］．综上所述，航天器动力学分析设计，即使对于简单的航天器也是非
常重要的．
现代复杂航天器规模庞大，构形复杂，不但带有多个大型柔性附件和大型充
液贮箱，而且通过空间交会对接还可增长为大型轨道复合体．这类复杂航天器大
多采用对地定向或惯性定向三轴稳定，而且大多是典型的多体、柔性与充液结
构，更不允许将其作为刚性来处理［３８］．
第二，要防止控制系统的固有模态频率与火箭结构振动固有模态频率的耦
合，为此要求控制系统的固有频率远离结构低阶模态频率．但随着运载火箭的发
展，结构一阶模态频率越来越小，特别对于大型飞船和空间站，由于在轨展开的
太阳帆板与天线的轻而柔软结构，导致非常低的稠密模态（估计空间站一阶模态
频率为０．１犎狕量级），这样控制系统频率将落在结构低频范围内，因而控制系统
与结构振动产生动态耦合，彼此相互影响互相作用．
第２章 多自由度系统运动方程
第２章 多自由度系统运动方程
计算结构动力学中最重要的一环是建立结构的数学模型．根据研究的目的，
可以引进一系列假设，将复杂工程结构进行合理的简化与处理，形成动力学分析
的物理模型．当确定结构动力学物理模型之后，正确地建立系统的数学模型就成
为首要的任务．用于动力学分析的物理模型可以是连续系统，也可以是离散系
统，或者是部分连续、部分离散的系统．下面针对离散的与连续的物理模型介绍
建立多自由度数学模型的方法．
对于离散系统，本章首先讨论直接用结构动力学基本定理的方法即直接法，
建立多自由度运动微分方程的方法，这种方法概念清楚，但要引进一些未知的约
束力．对于复杂的离散系统，采用直接法建立方程要进行繁杂的推导，不太适用，
在这里介绍了用分析力学的方法，即用哈密顿原理与拉格朗日方程导出多自由
度系统运动微分方程．
许多复杂的工程结构，例如各种航天器、飞机、舰船、高层建筑与桥梁等等，
它们的动力学物理模型基本上是杆梁板壳组合的壳体、板梁组合结构．这样的连
续体组合结构的单个部件可以是一个块体、壳体、梁与杆等简单构件．对于这样
的简单连续体系统，附录犅虽然导出了偏微分型运动方程，但仅能对很少一些简
单区域、简单边界条件的问题能给出解析解；对于复杂结构导出的是偏微分型运
动方程组，求得这样问题的解析解是我们的愿望，因为这样的解可以通过比较形
象化的模态去更深入地理解系统的特性．然而，对于绝大部分问题是无法给出解
析解，必须采用离散化方法，化为多自由度系统进行求解．建立离散化的多自由
度系统的方程也是本章的主要内容．将复杂的连续体离散化的本质是将描述动
力学问题的偏微分方程组变换为一组联立的常微分方程或者代数方程进行求
解，离散化的主要方法是里茨法、有限元法和加权残数法．正如米罗维奇［２］指出
“里茨法基于变分原理，该法适用于自伴问题．反之加权残数法的适用范围比较
广泛，它不需要变分原理，既适用于自伴问题，也适用于非自伴问题．”
对于初值边值混合问题可以将时域与空间域同时离散，也可以先在空间域
第２章 多自由度系统运动方程 １５
离散，然后再在时域离散．对于复杂结构而言，本书侧重介绍采用空间域半离散
化方法形成多自由度系统，然后用统一方法求解多自由度方程组，也就是将连续
域的偏微分方程化为离散的微分方程组求解．本章介绍了假设模态里茨法、有限
元素法、加权残值法及差分法等离散化方法．
假设模态里茨法仅是作为推导空间离散化微分方程的工具，不是结构动力
学能量泛函变分原理的直接解法．因为，这种方法只能直接导出微分方程本身，
由瞬时最小势能变分原理无法导出初值条件，由哈密顿原理导出的方程只适用
于时间边界条件的情况．由于这种方法无法导出广义坐标的初值条件，一般多用
于求解特征值问题．因而这种方法在应用上都受到一些限制．这是这种方法的不
足之处．
解决假设模态里茨法不足之处的途径之一是采用加权残值法之一的伽辽金
法．由结构动力学方差泛函零极小值原理，可以导出广义伽辽金变分原理．不论
广义坐标是有物理意义的参数，如有限元法的节点物理量，还是无物理意义的参
数，由假设模态伽辽金变分方程不仅可以导出多自由度微分方程，还可以同时导
出相应于微分方程的初值、边界条件．这样，采用假设模态伽辽金法就是伽辽金
变分原理的直接解法．
解决假设模态里茨法不足之处的另一条途径是采用有限元法，它是分块的
假设模态里茨法．与静力问题一样采用统一位移模式，结构动力学问题只要在静
力有限元基础上增加质量矩阵，就可以导出多自由度的运动方程．这种有限元法
具有方法统一、适宜于计算机求解特点，具有广泛的通用性．和假设模态里茨法
一样，应用各种能量原理虽然可以导出多自由度微分方程，但不能导出微分方程
的初值条件．然而有限元是以结点处的物理量作为广义坐标，如结点位移、结点
挠度、结点转角等等，虽然方法本身不能导出这些广义坐标的初值条件．但是，这
些物理量本身的初值条件自然成为这些有限元结点广义坐标物理量的初值条
件．这样，有限元法导出的微分方程加上广义坐标的初值条件形成了多自由度系
统的方程与边值、初值条件，这就是结构动力学有限元法优于假设模态里茨法的
一个突出优点．因而结构动力学有限元法虽然不是能量泛函的直接解法，从理论
上讲还有很大的缺点，但这种方法仍然是一种解决工程问题空间离散化的实用
的有效的方法．进一步，如果采用分块的假设模态伽辽金法构造有限元法，要求
形函数在单元边界上既保证位移协调又保证应变协调，就是伽辽金原理的直接
解法．
这些离散化方法都是数学离散化方法，还有一种离散化方法是把连续的物
理模型，将质量集聚在有限质点上把连续的物理模型化为离散的物理模型，然后
用直接法与拉格朗日法建立离散系统的数学模型，例如传递矩阵法等等．
通过上面介绍的方法，不管是连续系统还是离散系统，不管采用哪一种方法
建立的离散化方程，都归结为一组多自由度运动微分方程组．对于任何复杂结构
１６ 第２章 多自由度系统运动方程
系统，都可以组装成很大自由度的运动微分方程组，从而可以采用本书后面介绍
的方法统一处理，统一求解给出复杂结构系统的动力学响应．
２．１ 直 接 法
直接用结构动力学基本定理建立动力学方程的方法称之为直接法．
２．１．１ 达朗贝尔原理的应用
达朗贝尔原理其实质仍是用牛顿定律（牛顿第二定理或达朗贝尔原理）建立
微分方程的方法．达朗贝尔原理引入了惯性力的概念，将动力学问题中建立微分
方程变为像静力学中列“平衡方程”的方法，这对建立多自由度系统的运动方程
是比较直观的．
例２．１ 图２．１是一个双质量弹簧系统，质量 犿１与 犿２用刚度分别为犽１、
犽２及犽３的三个弹簧联结于支承上，两个质量只作水平方向的运动，并分别受到
激振力犉１（狋）及犉２（狋）的作用，不计摩擦和其他形式的阻尼，试建立系统的运动
微分方程．
图２．１ 双质量弹簧系统
解 这是一个两自由度的系统，可以用原点分别取在 犿１、犿２的静平衡位置
上的两个坐标狓１及狓２来描述系统的运动．设某一瞬时质量 犿１与 犿２分别有位
移狓１及狓２、加速度狓．．１及狓
．．２，由隔离体受力分析和达朗贝尔原理得到下列两个方程
犿１狓．．１＋犽１狓１＋犽２（狓１－狓２）＝犉１（狋）
犿２狓．．２＋犽２（狓２－狓１）＋犽３狓２＝犉２（狋
烅烄
烆 ）
２．１ 直 接 法 １７
经整理，得
犿１狓．．１＋（犽１＋犽２）狓１－犽２狓２＝犉１（狋）
犿２狓．．２－犽２狓１＋（犽２＋犽３）狓２＝犉２（狋
烅烄
烆 ）
上面的方程组即系统的运动微分方程，方程中每一项的量纲都是力，上述方程组
可以用矩阵简洁地表示为
犿１ ０
０ 犿
熿
燀
燄
燅２
狓．．１
狓．．
熿
燀
燄
燅２＋犽１＋犽２ －犽２
－犽２ 犽２＋犽
熿
燀
燄
燅３
狓１
狓
熿
燀
燄
燅２＝犉１（狋）
犉２（狋
熿
燀
燄
燅）
上式左端第二个方矩阵中的非对角项正是方程组内坐标间的耦合项．
例２．２ 建立图２．２所示的三自由度系统的运动微分方程
图２．２ 三自由度系数
解 图２．２所示三自由度系统，在质量 犿１，犿２，犿３ 上作用力为犉１（狋），
犉２（狋），犉３（狋），对每个质量加上惯性力－犿１狓．．１，－犿２狓
．．２，－犿３狓
．．３．根据达朗贝
尔原理可建立微分方程
－犿１狓．．１－犽１狓１－犽２（狓１－狓２）－犮１狓
．１－犮２（狓
．１－狓２）＋犉１（狋）＝０
－犿２狓．．２－犽２（狓２－狓１）－犮２（狓
．２－狓
．１）－犽３（狓２－狓３）－犮３（狓
．２－狓
．３）＋犉２（狋）＝０
－犿３狓．．３－犽３（狓３－狓２）－犮３（狓
．３－狓
．２）－犽４狓３－犮４狓
．３＋犉３（狋）＝
烅
烄
烆 ０
（１）
整理（１）式得
犿１狓．．１＋（犽１＋犽２）狓１＋（犮１＋犮２）狓
．１－犽２狓２－犮２狓
．２＝犉１（狋）
犿２狓．．２－犽２狓１＋（犽２＋犽３）狓２－犮２狓
．１＋（犮２＋犮３）狓
．２－犽３狓３－犮３狓
．３＝犉２（狋）
犿３狓．．３－犽３狓２－犮３狓
．２＋（犽３＋犽４）狓３＋（犮３＋犮４）狓
．３＝犉３（狋
烅
烄
烆 ）
（２）
将上式写成矩阵的形式
犕狓．．＋犆狓
．＋犓狓＝犳（狋） （３）
其中，质量矩阵
犕 ＝
犿１ ０ ０
０ 犿２ ０
０ ０ 犿
熿
燀
燄
燅３
（４）
阻尼矩阵
１８ 第２章 多自由度系统运动方程
犆 ＝
犮１＋犮２ －犮２ ０
－犮２ 犮２＋犮３ －犮３
０ －犮３ 犮３＋犮
熿
燀
燄
燅４
（５）
刚度矩阵
犓 ＝
犽１＋犽２ －犽２ ０
－犽２ 犽２＋犽３ －犽３
０ －犽３ 犽３＋犽
熿
燀
燄
燅４
（６）
位移列阵（向量）
狓＝ ［狓１ 狓２ 狓３］犜
载荷列阵（向量）
犳（狋）＝ ［犉１（狋） 犉２（狋） 犉３（狋）］犜
矩阵 犕 只有主对角线上的元素不为零，其他非对角元素全部为零，此对角
矩阵表示没有惯性耦合．而矩阵犓 不是对角矩阵，表示刚度有耦合．犓 是对称矩
阵，即有犽犻犼 ＝犽犼犻，这一点可从功的互等定理直接推导出来．
上面两个例子的运动微分方程可以统一表示为下面的矩阵形式
犕狓．．＋犆狓
．＋犓狓＝犳（狋） （２．１．１）
方程（２．１．１）称为作用力方程，其中，列向量狓、狓．、狓．．及犳（狋）分别是位移向量、
速度向量、加速度向量及激振力向量，方矩阵 犕、犆、犓 分别称为质量矩阵、阻尼
矩阵及刚度矩阵．
如果系统具有狀 个自由度，其作用力方程仍是式（２．１．１）的形式，但矩阵
犕、犆、犓 都是狀阶方阵，狓、狓．、狓．．及犳（狋）为狀维向量．对于无阻尼系统将作用
力方程具体写出，有
犿１１ 犿１２ … 犿１狀
犿２１ 犿２２ … 犿２狀
犿狀１ 犿狀２ … 犿
熿
燀
燄
燅狀狀
狓．．１
狓．．２
狓．．
熿
燀
燄
燅狀
＋
犽１１ 犽１２ … 犽１狀
犽２１ 犽２２ … 犽２狀
犽狀１ 犽狀２ … 犽
熿
燀
燄
燅狀狀
狓１
狓２
狓
熿
燀
燄
燅狀
＝
犉１（狋）
犉２（狋）
犉狀（狋
熿
燀
燄
燅）
（２．１．２）
２．１．２ 影响系数法
刚度矩阵的元素犽犻犼和质量矩阵的元素犿犻犼都有着明确的物理意义．先假设
外力是以准静态方式施加于系统的，这时没有加速度，即狓．．＝０，式（２．１．２）成为
犓狓＝犳 （２．１．３）
假定作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第犼个坐标上产生单位位
移，而在其他各个坐标上都不产生位移，即产生如下的位移向量
２．１ 直 接 法 １９
狓＝ ［狓１ … 狓犼－１ 狓犼 狓犼＋１ … 狓狀］犜 ＝ ［０ … ０ １ ０ … ０］犜
其中，上标犜表示向量或矩阵的转置，将上式代入（２．１．３）得
犉 ＝
犽１１ … 犽１犼 … 犽１狀
犽２１ … 犽２犼 … 犽２狀
犽犻１ … 犽犻犼 … 犽犻狀
犽狀１ … 犽狀犼 … 犽
熿
燀
燄
燅狀狀
０
０
１
０
熿
燀
燄
燅０
＝
犽１犼
犽２犼
犽犻犼
犽狀
熿
燀
燄
燅犼
可见所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵犓 的第犼列，其中，犽犻犼（犻＝１，… ，
狀）是在第犻个坐标上施加的力．由此得到结论：刚度矩阵 犓 中的元素犽犻犼是使
系统仅在第犼个坐标上产生单位位移而相应于第犻个坐标上所需施加的力．
现在假设系统受到外力作用的瞬间，只产生加速度而不产生任何位移，即
狓＝０，这时式（２．１．２）成为
犕狓．．＝犳 （２．１．４）
类同上述的讨论容易得知，使系统只在第犼个坐标上产生单位加速度，而在其他
各坐标上都不产生加速度所需施加的一组外力，正是质量矩阵 犕 的第犼列．因
此，质量矩阵 犕 中的元素犿犻犼是使系统仅在第犼个坐标上产生单位加速度而在
第犻个坐标上所需施加的力．
犿犻犼、犽犻犼又分别称为质量影响系数及刚度影响系数，根据它们的物理意义
可以直接写出矩阵 犕 及犓，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法．
下面通过几个例子来说明．
例２．３ 写出图２．３（犪）的三自由度系统的刚度矩阵与质量矩阵以及系统的
运动微分方程．
解 建立如图２．３（犪）所示的坐标系，记位移向量狓＝ ［狓１狓２狓３］犜．先只考
虑静态，令狓＝［１００］犜，由图２．３（犫）的受力分析得知，为维持这种位移状态，在
各个坐标上施加的力（图中箭杆上画有斜线的力）应当是
犽１１＝犽１＋犽２，犽２１＝－犽２，犽３１＝０
同样地，令狓＝ ［０１０］犜，由图２．３（犮）得到
犽１２＝－犽２，犽２２＝犽２＋犽３，犽３２＝－犽３
最后令狓＝ ［００１］犜，由图２．３（犱）得到
犽１３＝０，犽２３＝－犽３，犽３３＝犽３因此刚度矩阵为
犓 ＝
犽１＋犽２ －犽２ ０
－犽２ 犽２＋犽３ －犽３
０ －犽３ 犽
熿
燀
燄
燅３
２０ 第２章 多自由度系统运动方程
图２．３ 三自由度系统
现在只考虑动态，令加速度向量为狓．．＝ ［１００］犜，见图２．３（犲）（为了直观，加速
度的值以位移的形式画了出来）．由受力分析得知，为维持这种加速度状态，在各
个坐标上施加的力（图中箭杆上画有斜线的力）应当是
犿１１＝ 犿１，犿２１＝０，犿３１＝０
令狓．．＝ ［０１０］犜，由图２．３（犳）得到
犿１２＝０，犿２２＝ 犿２，犿３２＝０
最后，令狓．．＝ ［００１］犜，由图２．３（犵）得到
犿１３＝０，犿２３＝０，犿３３＝ 犿３
所以质量矩阵为
犕 ＝
犿１ ０ ０
０ 犿２ ０
０ ０ 犿
熿
燀
燄
燅３
２．１ 直 接 法 ２１
系统的各个质量上没有外力作用，所以得到自由振动的运动微分方程为
犿１ ０ ０
０ 犿２ ０
０ ０ 犿
熿
燀
燄
燅３
狓．．１
狓．．２
狓．．
熿
燀
燄
燅３
＋
犽１＋犽２ －犽２ ０
－犽２ 犽２＋犽３ －犽３
０ －犽３ 犽
熿
燀
燄
燅３
狓１
狓２
狓
熿
燀
燄
燅３
＝
熿
燀
燄
燅
０
０
０
对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用
力方程来得更方便些．柔度定义为弹性元件在单位力作用下产生的变形，它的物
理意义及量纲与刚度恰好相反．下面以图２．４（犪）所示的两自由度简支梁来说明
位移方程的建立．
图示的这种无质量的弹性梁上具有若干个集中质量的多自由度系统，是从
质量连续分布的弹性梁简化过来的．假设犉１、犉２ 是常力，并且以准静态方式作
用到梁上，这时梁只产生位移（即挠度），不产生加速度．取质量 犿１、犿２ 的静平
衡位置为坐标狓１、狓２的原点，设外力为犉１＝１，犉２＝０时，两个质量的位移为
狓１＝α１１，狓２＝α２１，如图２．４（犫）所示；又设外力为犉１＝０，犉２＝１时，两个质
量的位移为狓１＝α１２，狓２＝α２２．如图２．４（犮）所示．对于线性弹性体，两个质量
同时受到犉１、犉２大小的外力作用时，它们的位移可由叠加原理得到为
狓１＝α１１犉１＋α１２犉２
狓２＝α２１犉１＋α２２犉２
上面两式可写成下列矩阵形式
狓＝α犳 （２．１．５）
其中
α＝α１１ α１２
α２１ α
熿
燀
燄
燅２２，狓＝
狓１
狓
熿
燀
燄
燅２，犳＝
犉１
犉［ ］２
（２．１．６）
图２．４ 两自由度简支梁
矩阵α称为系统的柔度矩阵，显然，元素α犻犼 的意义是系统仅在第犼个坐标上受
２２ 第２章 多自由度系统运动方程
到单位力作用时相应于第犻个坐标上产生的位移，α犻犼 称为柔度影响系数．梁的
柔度矩阵可以用材料力学计算梁挠度的各种方法求得．
当外力犉１、犉２是动载荷时，必然使梁产生加速度，即集中质量上有惯性力
存在，见图２．４（犱），因此式（２．１．５）成为
狓１
狓
熿
燀
燄
燅２＝α１１ α１２
α２１ α
熿
燀
燄
燅２２
犉１－犿１狓．．１
犉２－犿２狓．．
熿
燀
燄
燅２
将质量、加速度也写成矩阵形式，上式成为
狓１
狓
熿
燀
燄
燅２＝α１１ α１２
α２１ α
熿
燀
燄
燅２２
犉１（狋）
犉２（狋
熿
燀
燄
燅）－犿１ ０
０ 犿
熿
燀
燄
燅２
狓．．１
狓．．
熿
燀
燄
燅
熿
燀
燄
燅２
或简写成
狓＝α（犳－犕狓．．） （２．１．７）
式（２．１．７）称为位移方程．狀自由度系统的位移方程也是上面的形式，其中，柔度
矩阵α为狀阶方矩阵，位移方程（２．１．７）还可以写为下面的形式
α犕狓．．＋狓＝α犳 （２．１．８）
为比较作用力方程与位移方程，将式（２．１．２）改写为
犓狓＝犳－犕狓．．
如果犓 阵是非奇异的，即犓 的逆矩阵犓－１存在（上标－１表示求逆运算），对上
式两端左乘犓－１，得
狓＝犓－１（犳－犕狓．．） （２．１．９）
比较式（２．１．９）与（２．１．７）得出
α＝犓－１ （２．１．１０）
上式即柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系．对于允许刚体运动产生的系统（即具有
图２．５ 存在刚体运动的系统
刚体自由度的系统），例如图２．５的
系统，柔度矩阵是不存在的，这是因
为在任意一个坐标上施加单位力，
系统将产生刚体运动而无法计算各
个坐标上的位移．可以证明图２．５
中两个系统的刚度矩阵犓 都是奇异
的，所以位移方程不适用于具有刚
体自由度的系统．
例２．４ 写出图２．６（犪）中两自由度简支梁作横向振动的位移方程．已知集
中质量为 犿１、犿２，它们与两端距离都是犾／３，并且作用有激振力犉１、犉２，梁的
抗弯刚度为犈犑．
解 由材料力学知道，对图２．６（犫）的简支梁，当犅点作用单位力时犃 点的
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理 ２３
图２．６ 两个自由度简支梁
挠度为
α犃犅 ＝犪犫
６犈犑犾（犾２－犪２－犫２）
由上式计算出下列柔度影响系数
α１１＝α２２＝８α， α２１＝α１２＝７α
其中，α＝犾３／４８６犈犑，于是柔度矩阵为
α＝８α ７α
７α ８［ ］
α
由式（２．１．７），梁作横向振动的位移方程为
狓１
狓
熿
燀
燄
燅２＝８α ７α
７α ８
熿
燀
燄
燅α
犉１
犉
熿
燀
燄
燅２－犿１ ０
０ 犿
熿
燀
燄
燅２
狓．．１
狓．．
熿
燀
燄
燅
熿
燀
燄
燅２
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理
２．２．１ 一般情况拉格朗日方程
从分析力学中知道，对于狀个自由度的非保守系统的动力学方程可写成如
下的拉格朗日方程的形式
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻－犔
狇犻＋犇
狇．犻
＝犙犻， 犻＝１，２，… ，狀 （２．２．１犪）
或
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻－犜
狇犻＋犝
狇犻＋犇
狇．犻
＝犙犻， 犻＝１，２，… ，狀 （２．２．１犫）
２４ 第２章 多自由度系统运动方程
初始条件为
狇．犻 狋＝０＝狇
．犻０， 狇犻 狋＝０＝狇犻０ （２．２．２）
其中，犔＝犜－犝 称为拉格朗日函数，犙犻为对应广义坐标狇犻的广义力，犇 为散
逸函数，犜与犝 分别是系统的动能和势能．
这样犖 个自由度的非保守系统动力学问题归结为求解由方程（２２１）、
（２２２）所确定的微分方程组初值问题．
下面就分别讨论动能犜、势能犝、散逸函数犇 和广义力犙犻．
由犖 个质点组成的犖 个自由度的完整系统，其动能犜的表达式为
犜＝１
２∑犖
犽＝１
犿犽狘狉．犽狘
２＝１
２∑犖
犽＝１
犿犽狉．犽狉．犽 （２．２．３）
其中，质点 犿犽 的矢径狉犽 可以表示为狀个广义坐标（狇１，狇２，… ，狇狀）和时间狋
的函数，即
狉犽 ＝狉犽（狇１，狇２，… ，狇狀，狋）， 犽＝１，２，… ，犖 （２．２．４）
则
狉．犽 ＝∑
狀
犻＝１
狉犽
狇犻
狇犻
狋＋狉犽
狋（２．２．５）
将式（２．２．５）代入式（２．２．３）得
犜＝１
２∑犖
犽
犿犽 ∑狀
犻＝１
狉犽
狇犻狇．犻＋狉犽
（ ）狋 ∑
狀
犼＝１
狉犽
狇犼狇．犼＋狉犽
（ ）狋
＝犜０＋犜１＋犜２ （２．２．６）
其中
犜２＝１
２∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犿犻犼狇．犻狇．犼
（２．２．７）
犜１＝∑狀
犼＝１
犳犼狇．犼
（２．２．８）
犜０＝１
２∑犖
犽＝１
犿犽狉犽
（ ）狋
２
（２．２．９）
犿犻犼 ＝∑犖
犽＝１
犿犽狉犽
狇犻
狉犽
狇犼（２．２．１０）
犳犼 ＝∑犖
犽＝１
犿犽狉犽
狇犼
狉犽
狋（２．２．１１）
犜２是广义速度狇．犻的二次型，犜１是广义速度狇
．犻 的线性函数，犜０与广义速度无
关．一般而言，系数 犿犻犼与犳犻和函数犜０是广义坐标狇犻 和时间狋的函数．能将动
能写成式（２．２．６）的系统称为非自然型系统，这种系统在研究旋转运动的物体时
常常会遇到．犜０项的特征与势能一样，产生离心力．犜１ 项是哥氏力产生的，犜１
项有时（但非唯一的）与旋转体的旋转现象有关，这种动能与广义速度呈线性关
系的项称为陀螺项，人们注意到这种陀螺项也出现在含有流体的振动导管中．
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理 ２５
势能：弹性恢复力，重力等可以从势能函数中导出．势能 犝 只是坐标的函
数，当然也就是狀个广义坐标的函数，即
犝 ＝犝（狇１，狇２，…，狇狀） （２．２．１２）
散逸函数：作用在系统上的另一类力是黏性阻尼力，它与广义速度有关，并
可以从二次函数犇
犇 ＝１
２∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犮犻犼狇．犻狇．犼
（２．２．１３）
中导出．式（２．２．１３）中的犇 称为散逸函数，系数犮犻犼称为黏性阻尼系数．一般情
况下是常数，而且是对称的．
对于系统中未能包含在上述各类中的力，可以用广义力犙犻 表示，它可以从
虚功表达式
δ犠犙＝∑狀
犻＝１
犙犻δ狇犻 （２．２．１４）
导出．一般说来，广义力犙犻与时间有关，而与广义坐标及广义速度无关．
拉格朗日方程（２．２．１）的推导过程介绍如下：
虚功原理是在静力平衡的基础上建立起来的．达朗贝尔进一步推证了质量
为犿犽 的质点，在合力犉犽 的作用下和惯性力（－犿犽狉．．犽）构成平衡的达朗贝尔原
理．对于质点犽的动力学方程，可以按照达朗贝尔原理，写出作用于质点犽上的
合力犚犽 为零的平衡方程式，表示如下
犚犽 ＝犉犽－犿犽狉．．犽 ＝犳犽＋犘犽－犿犽狉
．．犽 ＝０ （２．２．１５）
其中，犉犽 为主动力犳犽 和约束力犘犽 之和．应用达朗贝尔原理可以把虚位移原理
推广到动力学问题上．质点系在若干力作用下，若处于平衡状态，则作用在系统
的任一质点犽上的合力犚犽＝０，因此它在该点虚位移δ狉犽 上所做的虚功也等于
零，即
犚犽δ狉犽 ＝０ （２．２．１６）
然后，对全部犖 个质点求和，得系统的虚功δ犠 为
δ犠 ＝∑犖
犽＝１
犚犽δ狉犽 ＝∑犖
犽＝１
（犳犽＋犘犽－犿犽狉．．犽）δ狉犽
＝δ犠犳＋δ犠狆＋δ犠犿 ＝０ （２．２．１７）
其中主动力虚功，约束力虚功和惯性力虚功分别为
δ犠犳 ＝∑犖
犽＝１
犳犽δ狉犽 （２．２．１８）
δ犠狆 ＝∑犖
犽＝１
狆犽δ狉犽 （２．２．１９）
δ犠犿 ＝∑犖
犽＝１
（－犿犽狉．．犽）δ狉犽 （２．２．２０）
我们讨论理想约束情况，即约束反力不做功的情况，此时约束反力的虚功δ犠狆
２６ 第２章 多自由度系统运动方程
等于零．因此式（２．２．１７）化为
δ犠 ＝δ犠犳＋δ犠犿 ＝∑犖
犽＝１
（犳犽－犿狉狉．．犽）δ狉犽 ＝０ （２．２．２１）
上式称之为动力学普遍方程，它比静力学的虚功方程增加了一项惯性力虚功
δ犠犿．动力学普遍方程表明，作用在理想约束的系统上所有的主动力和惯性力
在任意瞬时的虚位移上的虚功之和为零．故也称之为瞬时虚位移原理．
下面把动力学普遍方程通过狀个广义坐标和广义力来表示．由于虚位移只
是坐标的微小改变量，与时间狋无关．因此各点的虚位移δ狉犽可以表示为狀个广
义坐标虚位移δ狇狉 的线性组合，即
δ狉犽 ＝∑狀
犻＝１
狉犽
狇犻δ狇犻 （２．２．２２）
代入主动力虚功δ犠犳方程（２．２．１８）得
δ犠犳 ＝∑犖
犽＝１∑狀
犻＝１
犳犽狉犽
狇犻δ狇犻 ＝∑
狀
犻＝１∑犖
犽＝１
犳犽狉犽
狇（ ）
犻δ狇犻 ＝∑
狀
犻＝１
珚犙犻δ狇犻
（２．２．２３）
其中，珚犙犻称为对应于广义坐标狇犻的广义力，为
珚犙犻 ＝∑犖
犽＝１
犳犽狉犽
狇犻（２．２．２４）
由式（２．２．４）有
狉．犽 ＝∑
狀
犼＝１
狉犽
狇犼狇．犼＋狉犽
狋（２．２．２５）
则有
狉．犽
狇．犼
＝狉犽
狇犼（２．２．２６）
狉．犽
狇犻＝∑
狀
犼＝１
２狉犽
狇犻狇犼狇．犼＋２狉犽
狇犻狋（２．２．２７）
同时有
犱
犱狋
狉犽
狇（ ）
犻＝∑
狀
犼＝１
２狉犽
狇犻狇犼狇．犼＋２狉犽
狋狇犻（２．２．２８）
比较（２．２．２７）与（２．２．２８）两式，可得
狉．犽
狇犻＝犱
犱狋
狉犽
狇（ ）
犻
（２．２．２９）
那么惯性力虚功δ犠犿 为
δ犠犿 ＝∑犖
犽＝１
（－犿犽狉．．犽）δ狉犽 ＝－∑
狀
犻＝１∑犖
犽＝１
犿犽狉．．犽狉犽
狇犻δ狇犻
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理 ２７
＝∑狀
犻＝１∑犖
犽＝１
－犱
犱狋犿犽狉
．犽狉犽
狇（ ）
犻＋犿犽狉
．犽犱
犱狋
狉犽
狇（ ）［ ］
犻δ狇犻 （２．２．３０）
将式（２．２．２６）与（２．２．２９）代入式（２．２．３０）得
δ犠犿 ＝∑狀
犻＝１∑犖
犽＝１
－犱
犱狋犿犽狉
．犽狉．犽
狇．（ ）犻＋犿犽狉
．犽狉．犽
狇［ ］
犻δ狇犻
＝∑狀
犻＝１∑犖
犽＝１
－犱
犱狋
狇．犻
＋
狇（ ）犻
１
２犿犽狉
．犽狉．（ ）犽 δ狇犻
＝∑狀
犻＝１
－犱
犱狋
狇．犻
＋
狇（ ）犻∑犖
犽＝１
１
２犿犽狉
．犽狉．（ ）犽 δ狇犻
＝∑狀
犻＝１
－犱
犱狋犜
狇．犻
＋犜
狇（ ）犻δ狇犻 （２．２．３１）
其中，犜为式（２．２．３）称之为系统的动能．
将式（２．２．２３）和（２．２．３１）代入式（２．２．２１）得
δ犠 ＝－∑狀
犻＝１
犱
犱狋犜
狇．犻
－犜
狇犻－珚犙（ ）犻 δ狇犻 ＝０ （２．２．３２）
各虚位移δ狇犻都是彼此独立的，因而可以任意选取．于是可得拉格朗日方程为
犱
犱狋犜
狇．犻
－犜
狇犻－珚犙犻 ＝０， 犻＝１，２，… ，狀 （２．２．３３）
令广义力珚犙犻为
珚犙犻 ＝－犝
狇犻＋犙
犻 ＝－
犝
狇犻－犇
狇．犻
＋犙犻 （２．２．３４）
其中，犝 为主动力势能，见式（２．２．１２）；犇 为散逸函数，见式（２．２．１３）；犙 为未
包含在上面各类中的力．
将式（２．２．３４）代入式（２．２．３３）即得拉格朗日方程（２．２．１）．
２．２．２ 微幅振动情况
我们知道，微幅振动是围绕平衡位置的微小振动，这就意味着对运动方程进
行线性化处理，也就是相当于在拉格朗日算子中只保留对广义坐标与广义速度
的二次偏导数项．作为线性化的结果，在犜２中的系数犿犻犼成为常数．因为一般情
况下 犿犻犼是广义坐标的函数，即
犿犻犼 ＝ 犿犻犼（狇犻，狇２，… ，狇狀） （２．２．３５）
将 犿犻犼作泰勒级数展开（在平衡位置），得到：
犿犻犼 ＝ （犿犻犼）０＋∑狀
犻＝１
犿犻犼狇（ ）
犻 ０狇犻＋… （２．２．３６）
由于在式（２．２．７）中，狇．犻狇．犼已是二阶微量，所以犿犻犼的表达式（２．２．３６）中只能保
２８ 第２章 多自由度系统运动方程
留常数项，即
犿犻犼 ＝ 犿犼犻 ＝２犜２
狇．犻狇．（ ）犼 狇＝狇
．＝０
＝２犜２
狇．犼狇．（ ）犻 狇＝狇
．＝０
（２．２．３７）
这就是系数 犿犻犼在平衡位置（狇＝０）的值．称为质量系数或刚度系数．
在线性化处理时，犜１中的系数犳犼与广义坐标呈线性关系：
犳犼 ＝∑狀
犻＝１
犳犻犼狇犻， 犼＝１，２，… ，狀 （２．２．３８）
其中
犳犻犼 ＝犳犼狇犻 狇＝０
， 犻，犼＝１，２，… ，狀 （２．２．３９）
犳犻犼是常数．将式（２．２．３８）代入式（２．２．８）得到
犜１＝∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犳犻犼狇犻狇．犼
（２．２．４０）
将势能犝 作泰勒级数展开（在平衡位置），并写成
犝（狇１，狇２，… ，狇狀）＝犝（０，０，… ，０）＋∑狀
犻＝１
犝
狇犻 狇＝０狇犻
＋１
２∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
２犝
狇犻狇犼 狇＝０狇犻狇犼＋… （２．２．４１）
注意到犝（０，０，… ，０）是常数，因而不影响运动方程．且由于系统围绕平衡位置
作微幅振动，因而有
犝
狇犻 狇＝０＝０ （２．２．４２）
因此，我们得到动力势函数最低阶项的确是广义坐标的二次型．
犝（狇１，狇２，… ，狇狀）＝· １
２∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犓犻犼狇犻狇犼 （２．２．４３）
其中
犓犻犼 ＝犓犼犻 ＝２犝
狇犻狇犼 狇＝０＝２犝
狇犼狇犻 狇＝０
（２．２．４４）
称为刚度系数．它可以由各种类型组成，最重要的是弹性刚度系数及几何刚度
系数．前者来自弹性位能或应变能，后者来自离心力，它可从动能 犜０ 项中
导出．
现在可将式（２．２．７）—（２．２．１０）、（２．２．１４）、（２．２．３５）、（２．２．３７）和（２．２．４０）
代入拉格朗日方程（２．２．１），求出系统作微幅振动的运动方程
∑狀
犼＝１
［犿犻犼狇．．犼＋（犵犻犼＋犮犻犼）狇
．犼＋犽犻犼狇犼］＝犙犻， 犻＝１，２，… ，狀
（２．２．４５）
其中，阻尼系数犮犻犼见式（２．２．５２），系数犵犻犼是反对称系数，即
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理 ２９
犵犻犼 ＝犳犻犼－犳犼犻 ＝－犵犼犻 （２．２．４６）
它是与陀螺效应有关的系数．
此外，还有一类重要的力没有包含在式（２．２．４５）中，这类力也是与广义坐标
有关的．但是，它不可能从势能中导出，这些力具有犺犻犼狇犼形式，其中，系数犺犻犼是
反对称的，即
犺犻犼 ＝－犺犼犻 （２．２．４７）
犺犻犼狇犼项常出现在诸如曲柄、轴、滑轮等功率传递装置中．因而它被称为循环力．
同时它们也在含有内阻尼的双旋转卫星上出现过，并称之为约束阻尼力，见式
（２．２．５２）．如存在循环力则式（２．２．４５）可写成
∑狀
犼＝１
犿犻犼狇．．犼＋（犵犻犼＋犮犻犼）狇
．犼＋（犽犻犼＋犺犻犼）狇［ ］
犼 ＝犙犻， 犻＝１，２，… ，狀
（２．２．４８）
方程（２．２．４８）构成一组带有常系数的线性常微分方程组，它描述系统在平衡位
置附近的微幅运动．引用矩阵符号，上式改写为矩阵形式的运动方程为
犕狇．．＋（犌＋犆）狇
．＋（犓＋犎）狇＝犙 （２．２．４９）
这里狀个自由度广义坐标狇犻 表示为向量狇，并引入相应的广义力向量犙．再引
进二维矩阵
犕 ＝ ［犿犻犼］，犌 ＝ ［狇犻犼］，犆 ＝ ［犮犻犼］，犓 ＝ ［犽犻犼］，犎 ＝ ［犺犻犼］
（２．２．５０）
犕 为质量矩阵，犆 为阻尼矩阵，犓 为刚度矩阵，而
犌 ＝犉犜－犉＝－犌犜，犎 ＝－犎犜，犉＝ ［犳犻犼］ （２．２．５１）
犌 为回转矩阵，犎 为循环矩阵．如引进广义散逸函数犇
犇 ＝１
２∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犮犻犼狇．犻狇．犼＋∑
狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犺犻犼狇．犻狇犼
＝１
２狇．犜犆狇
．＋狇．犜犎狇 （２．２．５２）
则可将拉格朗日方程（２．２．１）改写为
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻－犔
狇犻＋犇
狇．犻
＝犙犻， 犻＝１，２，… ，狀 （２．２．５３）
下面通过例题来说明拉格朗日方程的应用．
例２．５ 图２．７是研究汽车上下振动及俯仰振动的动力学模型．假设车体的
刚性杆犃犅的质量为犿，杆绕质心犆 的转动惯量为犐犆，悬挂弹簧和前后轮胎的
弹性用刚度为犽１及犽２的两个弹簧来表示，杆的质心犆 与犃、犅 端的距离分别
是犾１、犾２，杆全长犾．设杆上犇 点与犃、犅端的距离分别为犪１、犪２，选犇 点的垂直
位移狓犇 及杆绕犇 点的角位移θ犇 为广义坐标，写出车体微振动的微分方程．
３０ 第２章 多自由度系统运动方程
图２．７ 汽车动力学模型
设犆犇＝犲，车体所受外力可以向犇 点简化为合力犘犇 与合力矩犕犇，由于考
虑微振动，杆质心的垂直位移狓犆 及杆绕质心的角位移θ犆 可表示为
狓犆 ＝狓犇 ＋犲θ犇， θ犆 ＝θ犇 （１）
有
犜＝１
２犿狓．２犆 ＋
１
２犐犆θ
．２犆 ＝
１
２犿（狓
．犇 ＋犲θ
．犇）２＋
１
２犐犆θ
．２犇 （２）
犝 ＝１
２犽１（狓犇 －犪１θ犇）
２＋１
２犽２（狓犇 ＋犪２θ犇）
２ （３）
经运算得到
犱
犱狋
犔
狓．（ ）犇＝ 犿狓
．．犇 ＋犿犲θ
．．犇 （４）
－犔
狓犇＝ （犽１＋犽２）狓犇 ＋（犽２犪２－犽１犪１）θ犇 （５）
犱
犱狋（犔θ．犇
）＝ 犿犲狓．．犇 ＋（犐犆 ＋犿犲２）θ．．犇 （６）
－犔
θ犇＝ （犽２犪２－犽１犪１）狓犇 ＋（犽１犪
２１＋犽２犪
２２）θ犇 （７）
为计算广义力犙１、犙２，设坐标狓犇 上有虚位移δ狓犇，非有势力做功为δ犠 ＝
犘犇·δ狓犇，因此 犙１ ＝犘犇；再设坐标θ犇 上有虚位移δθ犇，非有势力做功为
δ犠 ＝犕犇·δθ犇，所以犙２＝ 犕犇．将上面各式代入式（２．２．１），得到
犿狓．．犇 ＋犿犲θ
．．犇 ＋（犽１＋犽２）狓犇 ＋（犽２犪２－犽１犪１）θ犇 ＝犘犇
犿犲狓．．犇 ＋（犐犆 ＋犿犲
２）θ．．犇 ＋（犽２犪２－犽１犪１）狓犇 ＋（犽１犪
２１＋犓２犪
２２）θ犇 ＝ 犕
烅
烄
烆 犇
（８）
这就是系统的运动微分方程，它的矩阵形式为
犿 犿犲
犿犲 犐犆 ＋犿犲［ ］２
狓．．犇
θ．．
熿
燀
燄
燅犇
＋犽１＋犽２ 犽２犪２－犽１犪１
犽２犪２－犽１犪１ 犽１犪２１＋犽２犪
熿
燀
燄
燅２２
狓犇
θ
熿
燀
燄
燅犇＝犘犇
犕
熿
燀
燄
燅犇
（９）
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理 ３１
２．２．３ 哈密顿原理
哈密顿原理是分析力学的一个基本变分原理．此原理可以叙述如下：
对有势力作用下的完整质点系而言，在所有由状态犃（狋１）到状态犅（狋２）的
可能运动中，唯有真实运动使哈密顿作用量具有稳定值，即
δ犎 ＝δ∫狋２
狋１
犔犱狋＝０ （２．２．５４）
其中，犔为拉格朗日函数．在计算变分δ犎 时应注意，所有的可能运动都通过
犃（狋１）与犅（狋２）状态，所以在这两点有δ狇犻 狋＝狋１＝０，δ狇犻 狋＝狋
２＝０，犻＝
１，２，… ，狀．也就是说这里研究的是固定边界条件下的泛函变分问题．下面对
原理进行证明．因为
犔＝犜－犝 ＝犔（狋，狇１，狇２，…，狇狀，狇．１，狇
．２，… ，狇
．狀）
所以
δ犎 ＝∫狋２
狋１
δ犔犱狋＝∫狋２
狋１
∑狀
犻＝１
犔
狇犻δ狇犻＋
犔
狇．犻
δ狇．（ ）犻 犱狋 （２．２．５５）
由分部积分关系并考虑固定点犃、犅的变分δ狇犻为零，有
∫狋２
狋１
犔
狇．犻
δ狇．犻犱狋＝∫
狋２
狋１
犱
犱狋
犔
狇．犻δ狇（ ）犻 犱狋－∫
狋２
狋１
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻δ狇犻犱狋
＝犔
狇．犻δ狇（ ）犻
狋２
－犔
狇．犻δ狇（ ）犻
狋１
－∫狋２
狋１
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻δ狇犻犱狋
＝－∫狋２
狋１
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻δ狇犻犱狋 （２．２．５６）
代入式（２．２．５５）得
δ犎 ＝－∫狋２
狋１
∑狀
犻＝１
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻－犔
狇［ ］
犻δ狇犻犱狋＝０
根据变分原理有欧拉方程为
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻－犔
狇犻＝０ （２．２．５７）
式（２．２．５７）就是有势力作用下的拉格朗日方程，即式（２．２．１）中当 犙犻 ＝
犇／狇．犻 ＝０的情况．在对积分极限加上一些限制条件，使真实运动的作用量的
二阶变分δ２犎 为正值时，真实运动作用是犎 取极小值，此原理称为哈密顿最小
作用量原理．因而拉格朗日方程（２．２．５７）是哈密顿原理的充要条件．
当完整质点系所受主动力中包含有势力和非有势力两部分时，哈密顿原理
有如下形式
３２ 第２章 多自由度系统运动方程
δ犎 ＝δ∫狋２
狋１
犔犱狋＋∫狋２
狋１
∑狀
犻＝１
犙犻δ狇犻犱狋＝０ （２．２．５８）
式中，∑狀
犻＝１
犙犻δ狇犻为非有势力犙
犻 的虚功之和，式（２．２．５８）与一般形式的拉格朗
日方程
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻－犔
狇犻＝犙
犻 ， 犻＝１，２，… ，狀 （２．２．５９）
是等价的．当犙犻 为
犙犻 ＝犙犻－
犇
狇．＝犙犻－∑
狀
犼＝１
犮犻犼狇．犼
（２．２．６０）
时，式（２．２．５９）即是式（２．２．１）．
当犙犻 为
犙犻 ＝犙犻－
犇
狇． ＝犙犻－∑
狀
犼＝１
犮犻犼狇．犼－∑
１
犼＝１
犺犻犼狇犼 （２．２．６１）
时，式（２．２．５９）即是式（２．２．５３）．
下面通过例题来说明如何应用哈密顿原理建立多自由度系统运动方程．
例２．６ 应用哈密顿原理建立例２．５中的简化车体模型的微振动微分方程．
解 由例２．５有
犜 ＝１
２犿 狓
．２犇 ＋犲θ
．（ ）犇
２＋１
２犐犆θ
．２犇
（１）
犝 ＝１
２犽１ 狓犇 －犪１θ（ ）犇
２＋１
２犽２ 狓犇 ＋犪２θ（ ）犇
２ （２）
犙１ ＝ 犙１＝犘０ （３）
犙２ ＝ 犙２＝ 犕犇
将犜、犝、犙１ 、犙２ 代入哈密顿变分方程（２．２．５８），得
δ犎 ＝δ∫狋２
狋１
（犜－犝）犱狋＋∫狋２
狋１
（犙１δ狓犇 ＋犙２δθ犇）
＝∫狋２
狋１
犿（狓．犇 ＋犲θ
．犇［ ）δ狓
．犇 ＋犲δθ
．（ ）犇 ＋犐犆θ犇δθ
．犇
－犽１（狓犇 －犪１θ犇）δ狓犇 －犪１δθ（ ）犇
－犽２（狓犇 ＋犪２θ犇）（δ狓犇 ＋犪２δθ犇）＋犘犇δ狓犇 ＋犕犇δθ犇］犱狋
＝∫狋２
狋１
｛（犿狓．犇 ＋犿犲θ
．犇）δ狓
．犇 ＋（犿犲狓
．犇 ＋犿犲
２θ．犇 ＋犐犆θ
．犇）δθ
．犇
－［（犽１＋犽２）狓犇 ＋（犽２犪２－犽１犪１）θ犇 －犘犇］δ狓犇
－［（犽２犪２－犽１犪１）狓犇 ＋（犽１犪２１＋犽２犪
２２）θ犇 －犕犇］δθ犇｝犱狋 （４）
将上式第一项分部积分得
∫狋２
狋１
（犿狓．犇 ＋犿犲θ
．犇）δ狓
．犇犱狋
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理 ３３
＝∫狋２
狋１
犱
犱狋［（犿狓
．犇 ＋犿犲θ
．犇）δ狓犇］犱狋－∫
狋２
狋１
（犿狓．．犇 ＋犿犲θ
．．犇）δ狓犇犱狋
＝［（犿狓．犇 ＋犿犲θ
．犇）δ狓犇］
狋２狋１－∫
狋２
狋１
（犿狓．．犇 ＋犿犲θ
．．犇）δ狓犇犱狋 （５）
由于哈密顿变分方程是考虑固定边界条件下的泛函变分问题，有
δ狓犇 狋＝狋１＝０
δ狓犇 狋＝狋２＝０
则上式化为
∫狋２
狋１
（犿狓．犇 ＋犿犲
２θ．犇）δ狓
．犇犱狋＝－∫
狋２
狋１
（犿狓．．犇 ＋犿犲θ
．．犇）δ狓犇犱狋 （６）
同样的方法，（４）式中的第二项化为
∫狋２
狋１
（犿犲狓．犇 ＋犿犲
２θ．犇 ＋犐犆θ
．犇）δθ
．犇犱狋
＝∫狋２
狋１
犱
犱狋［（犿犲狓
．犇 ＋犿犲
２θ．犇 ＋犐犆θ
．犇）］犱狋
－∫狋２
狋１
（犿犲狓．．犇 ＋犿犲
２θ．．犇 ＋犐犆θ
．．犇）δθ犇犱狋
＝－∫狋２
狋１
（犿犲狓．．犇 ＋犿犲
２θ．．犇 ＋犐犆θ
．．犇）δθ犇犱狋 （７）
则变分方程（４）化为
δ犎 ＝ －∫狋２
狋１
｛［犿狓．．犇 ＋犿犲θ
．．犇 ＋（犽１＋犽２）狓犇
＋（犽２犪２－犽１犪１）θ犇 －犘犇］δ狓犇
＋［犿犲狓．．犇 ＋犿犲
２θ．．犇 ＋犐犆θ
．．犇 ＋（犽２犪２－犽１犪１）狓犇
＋（犽１犪２１＋犽２犪
２２）θ犇 －犕犇］δθ犇｝犱狋
＝０ （８）
由于δ狓犇 和δθ犇 是独立变量的变分，由上式可得欧拉方程为
犿狓．．犇 ＋犿犲θ
．．犇 ＋（犽１＋犽２）狓犇 ＋（犽２犪２－犽１犪１）θ犇 ＝犘犇
犿犲狓．．犇 ＋犿犲
２θ．．犇 ＋犐犆θ
．．犇 ＋（犽２犪２－犽１犪１）狓犇 ＋（犽１犪
２１＋犽２犪
２２）θ犇 ＝ 犕犇
（９）
很显然式（９）与例２．５中的式（８）完全相同．由此可见用拉格朗日方程（２．２．１）和
哈密顿变分方程（２．２．５８）建立的运动微分方程是一样的．
２．２．４ 能量原理
对于一般的拉格朗日系统，引进广义能量犈，它定义为
３４ 第２章 多自由度系统运动方程
犈 ＝∑狀
犻＝１
犔
狇．犻狇．犻－犔 ＝犈
（狇１，狇２，… ，狇狀，狇．１，狇
．２，… ，狇
．狀，狋）
（２．２．６２）
它的时间全导数为
犱犈
犱狋＝ ∑
狀
犻＝１
狇．犻犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻＋∑
狀
犻＝１
狇．．犻犔
狇．（ ）犻
－ ∑狀
犻＝１
狇．．犻犔
狇．犻
＋∑狀
犻＝１
狇．犻犔
狇犻＋犔
（ ）狋＝∑
狀
犻＝１
犱
犱狋
犔
狇．（ ）犻－犔
狇（ ）
犻狇．犻－犔
狋
对于有势力系统，满足拉格朗日方程（２．２．５７），代入上式得
犱犈
犱狋＝－犔
狋（２．２．６３）
由此可见，对于拉格朗日系统，如果有
犔
狋＝０
亦即犔函数不显含时间狋，则系统有广义能量犈守恒，即
犈 ＝∑狀
犻＝１
犔
狇．犻狇．犻－犔 ＝犺＝ 常数 （２．２．６４）
此时系统被称之为“广义保守系统”．由式（２．２．６）和（２．２．１２）有
犜
狋＝０，
犝
狋＝０
即犔／狋＝０，则有式（２．２．６４）．
将式（２．２．６）和（２．２．１２）代入式（２．２．６４）得
犈 ＝∑狀
犻＝１
（犜２＋犜１＋犜０－犝）
狇．犻
狇．犻－（犜２＋犜１＋犜０－犝）
＝犜２－犜０＋犝 （２．２．６５）
线性化之后有犜０＝０，则广义能量犈为
犈 ＝犜２＋犝 （２．２．６６）
将式（２．２．４９）前乘狇．犜，考虑 犕 与犓 是对称的，犌 是反对称的．可得
狇．犜犕狇
．．＋狇．犜（犌 ＋犆）狇
．＋狇．犜（犓 ＋犎）狇－狇
．犜犙
＝犱
犱狋
１
２狇．犜犕狇
．＋１
２狇犜犓（ ）狇 ＋狇
．犜 犆狇．＋犎狇－（ ）犙
＝犱犈
犱狋－狇．犜犙 ＝０
有
２．２ 离散系统的拉格朗日方程与哈密顿原理 ３５
犱犈
犱狋＝狇．犜犙 （２．２．６７）
式（２．２．６７）表明广义能量犈的变化等于狇．犜犙．当广义散逸函数犇和其他
力犙 为零时，有式（２．２．６４），因而从广义能量守恒这一意义来讲，一个无阻尼旋
转系统是广义的保守系统．
如果一个力学系统是理想、定常、有势的，动能 犜 只有二次项，即 犜１ ＝
犜０＝０，则广义能量等于机械能，即有
犈 ＝犈＝犜２＋犝 ＝犜＋犝 ＝犺＝ 常数 （２．２．６８）
则广义能量犈守恒就化为机械能守恒，这种系统为保守系统．
对保守系统的自由振动，运动方程（２．２．４９）化为
犕狇．．＋犓狇
．＝０ （２．２．６９）
当求系统的固有振动时，假设广义位移狇作同相振动
狇＝狌狊犻狀（ω狋＋φ） （２．２．７０）
亦即各广义位移同时通过平衡位置和同时达到位移的最大值．由于各广义位移
作简谐振动，故当系统通过它的平衡位置时，势能为零而动能取最大值犜犿犪狓；当
广义位移达到最大值时，动能为零而势能取最大值 犝犿犪狓．由机械能守恒原理
（２２６８）得
犜犿犪狓＝犝犿犪狓＝犺 （２．２．７１）
保守系统的动能犜和势能犝 的一般表达式为
犜＝１
２狇．犜犕狇
． （２．２．７２）
犝 ＝１
２狇犜犓狇 （２．２．７３）
将式（２．２．７０）代入上面两式，得
犜犿犪狓＝１
２ω２狌犜犕狌 （２．２．７４）
犝犿犪狓＝１
２狌犜犓狌 （２．２．７５）
将上面两式代入式（２．２．７１）得
ω２＝狌犜犓狌
狌犜犕狌（２．２．７６）
当 犕 为正定矩阵，狌为非零向量时，上式右端的分母不等于零．式（２２７６）说
明，当把精确的第犻阶固有振型狌代入式（２．２．７６）的右端后，就给出第犻阶固有
频率平方的精确值．
对于给定系统，如果考虑任意可能位移振型狌，代入式（２．２．７６）右端，则式
（２．２．７６）表示ω２ 是可能位移振型狌 的函数，这就是瑞利函数或瑞利商，并表
示为
３６ 第２章 多自由度系统运动方程
犚（狌）＝狌犜犓狌
狌犜犕狌（２．２．７７）
它的性质和应用将在第３章介绍．
例２．７ 应用保守系统能量守恒原理，对例２．５的简化车体模型，给出固有
频率的表达式．
解 由例２．５有简化车体模型的运动方程为
犕狇．．＋犓狇＝犳 （１）
其中
犕 ＝犿 犿犲
犿犲 犐犆 ＋犿犲［ ］２ （２）
犓 ＝犽１＋犽２ 犽２犪２－犽１犪１
犽２犪２－犽１犪１ 犽１犪２１＋犽２犪
熿
燀
燄
燅２２
（３）
狇＝狓犇
θ［ ］犇
， 犳＝犘犇
犕［ ］
犇
（４）
当求系统的固有频率时，系统作同相振动，有
狓犇 ＝ 犡犇狊犻狀（ω狋＋φ）， θ犇 ＝Θ犇狊犻狀（ω狋＋φ） （５）
则有广义位移向量狇为
狇＝狌狊犻狀（ω狋＋φ） （６）
其中，振型向量狌为
狌＝犡犇
Θ［ ］犇
（７）
将式（２）、（３）、（７）代入式（２．２．７６）得固有频率表达式为
ω２＝犡犇犿狓犇 ＋２Θ犇犿犲狓犇 ＋Θ犇（犐犆 ＋犿犲
２）Θ犇
犡犇（犽１＋犽２）犡犇 ＋２Θ犇（犽２犪２－犽１犪１）犡犇 ＋Θ犇（犽１犪２１＋犽２犪
２２）Θ犇
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法
２．３．１ 以位移表示的弹性动力学方程
附录犅．５．１节研究三维弹性动力学初值边值问题，现在以这个问题为例介
绍变分原理及其近似计算方法．为了便于说明，考虑以位移表示的弹性动力学初
值边值问题的动态平衡方程
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ３７
犚０＝犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）狌］＋犳－ρ２狌
狋２＝０， 狓∈犞 （２．３．１）
相应的位移边界条件
犚狌 ＝狌—
－狌＝０， 狓∈犛狌 （２．３．２犪）
相应的应力边界条件
犚σ ＝珚犘－犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌＝０， 狓∈犛σ （２．３．２犫）
相应的初始条件
狌 狋＝０＝狌—
０， 狓∈犞
狌
狋 狋＝０＝狌
—
１０， 狓∈犞 （２．３．３）
这里，连续位移矢量狌＝ ［狌 狏 狑］犜存在二阶导数才能满足（犅．５．１）平衡方程．
犳＝犳犃 ＋犳， 珚犘 ＝珚犘犃 ＋珚犘
（２．３．４）
其中，犳犃 与珚犘犃 为有势力，犳与珚犘 为无势力．
对于连续系统，动态平衡方程（２．３．１）不仅要求位移连续，还要求它的二阶
导数也连续．
２．３．２ 瞬时虚位移原理
凡是满足位移边界条件（２．３．２犪）的位移狌△，我们称之为可能位移．对于三
维弹性动力学初值边值问题描述的三维连续系统，不仅要求可能位移连续，还要
求它的导数也连续．显然，真实位移总是可以看作是一种可能位移，但可能位移
不一定是真实位移，只有满足动态平衡方程（２．３．１）和力的边界条件（２．３．２犫）的
一种可能位移，才是真实位移．因此，我们可以把可能位移狌△ 表示为
狌△ ＝狌＋δ狌， δ狌狘狊狌＝０ （２．３．５）
其中，δ狌为真实位移狌邻近的任意可能位移，称为虚位移．因而虚位移δ狌满足
可能位移条件（２．３．５），但与真实位移狌无关．那么我们可以把质点系的动力学
普遍方程（２．２．２１）推广到无穷多质点系统，也就是连续系统．这时只要把式
（２２２１）中的无穷多质点求和计算改为弹性体区域积分即可，可以将连续系统
的动力学普遍方程写为
∫犞δ狌犜犚０犱犞＋∫犛
σ
δ狌犜犚σ犱犛
＝∫犞δ狌犜｛犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）狌］＋犳－ρ２狌
狋２｝犱犞
＋∫犛σ
δ狌犜［珚犘－犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌］犱犛＝０ （２．３．６）
根据高斯积分定理把上式第一项化为
３８ 第２章 多自由度系统运动方程
∫犞δ狌犜犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）狌］犱犞
＝∫犛δ狌犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌犱犛
－∫犞［犈犜（
Δ
）δ狌］犜犪犈犜（
Δ
）狌犱犞 （２．３．７犪）
将式（２．３．５）代入上式得
∫犞δ狌犜犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）狌］犱犞
＝∫犛σ
δ狌犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌犱犛
－∫犞［犈犜（
Δ
）δ狌］犜犪犈犜（
Δ
）狌犱犞 （２．３．７犫）
这里，由于可能位移连续，它的应变也连续，因而可以完成分部积分的运算．
将式（２．３．７犫）代入式（２．３．６）得
δ犠１＋δ犠２＝δ犝 （２．３．８）
其中，δ犠１为外力在虚位移上所做的虚功
δ犠１＝∫犞δ狌犜犳犱犞＋∫犛
σ
δ狌犜珚犘犱犛 （２．３．９）
δ犠２为惯性力 －ρ２狌
狋（ ）２ 在虚位移上所做的虚功
δ犠２＝∫犞δ狌犜 －ρ
２狌
狋（ ）２ 犱犞 （２．３．１０）
δ犝 为弹性体虚应变能
δ犝 ＝∫犞［犈犜（
Δ
）δ狌］犜犪犈犜（
Δ
）狌犱犞 （２．３．１１）
由式（２．３．８）可知，弹性体处于运动状态的任一瞬时，外力及惯性力在虚位移中
所做的虚功之和 δ犠１＋δ犠（ ）２ 等于弹性体所接受的虚应变能δ犝，这个结论称
为虚位移原理．式（２．３．８）是连续系统动力学普遍方程（２．３．６）的变化形式，称为
虚位移方程．很显然，方程（２．３．８）与方程（２．３．６）相同，由此可见瞬时虚位移原
理等价于动态平衡方程（２．３．１）与力的边界条件（２．３．２犫）．
２．３．３ 瞬时最小势能原理
由于虚位移δ狌是可能位移，当然它与真实位移狌无关，因而可以假设在任
一瞬时的虚位移过程中，外力犳与惯性力 －ρ２狌
狋（ ）２ 保持不变．同时，虚位移δ狌
在数学表示形式上就是位移狌的变分，因而可以按变分运算规则，交换变分与积
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ３９
分运算的次序．于是式（２．３．９）、（２．３．１０）、（２．３．１１）可以改写为
δ犠１＝∫犞δ狌犜犳犱犞＋∫犛
σ
δ狌犜珚犘犱犛
＝δ∫犞狌犜犳犱犞＋∫犛
σ
狌犜珚犘犱（ ）犛 （２．３．１２）
δ犠２＝∫犞δ狌犜 －ρ
２狌
狋（ ）２ 犱犞
＝δ∫犞狌犜 －ρ
２狌
狋（ ）２ 犱犞 （２．３．１３）
δ犝 ＝∫犞［犈犜（
Δ
）δ狌］犜犪［犈犜（
Δ
）狌］犱犞
＝δ１
２∫犞［犈犜（
Δ
）狌］犜犪［犈犜（
Δ
）狌（ ）］犱犞 （２．３．１４）
其中，犠１为外力功
犠１＝∫犞狌犜犳犱犞＋∫犛
σ
狌犜珚犘犱犛 （２．３．１５）
犠２为惯性力功
犠２＝∫犞狌犜 －ρ
２狌
狋（ ）２ 犱犞 （２．３．１６）
犝 为以位移表示的弹性体应变能
犝 ＝１
２∫犞［犈犜（
Δ
）狌］犜犪［犈犜（
Δ
）狌］犱犞 （２．３．１７）
将式（２．３．１２）、（２．３．１３）、（２．３．１４）代入（２．３．８）得
δΠ ＝δ犝－δ犠１－δ犠２＝δ（犝－犠１－犠２）＝０ （２．３．１８）
其中，系统总势能Π 为
Π ＝犝－犠１－犠２
＝犝－∫犞狌犜犳犱犞－∫犛
σ
狌犜珚犘犱犛＋∫犞狌犜ρ２狌
狋２犱犞 （２．３．１９）
我们将式（２．３．５）表示的可能位移狌△ 代入（２．３．１９）得
Π△ ＝犝（狌＋δ狌）－犠１（狌＋δ狌）－犠２（狌＋δ狌） （２．３．２０）
由式（２．３．１７）有
犝（狌＋δ狌）＝１
２∫犞［犈犜（
Δ
）（狌＋δ狌）］犜犪［犈犜（
Δ
）（狌＋δ狌）］犱犞
＝１
２∫犞［犈犜（
Δ
）（ ）狌 ＋犈犜（
Δ
）δ（ ）狌 ］犜犪［犈犜（
Δ
）（ ）狌
＋犈犜（
Δ
）δ（ ）狌 ］［犈犜（
Δ
）（狌＋δ狌）］犱犞
＝犝（狌）＋δ犝（狌）＋δ２犝（狌） （２．３．２１）
其中，犝（狌）见式（２．３．１７），δ犝（狌）见式（２．３．１４），δ２犝 为
４０ 第２章 多自由度系统运动方程
δ２犝 ＝１
２∫犞［犈犜（
Δ
）δ狌］犜犪［犈犜（
Δ
）δ狌］δ犞 ＝犝 δ（ ）狌 （２．３．２２）
考虑变分过程外力与惯性力保持不变，则由式（２．３．１５）、（２．３．１６）有
犠１（狌＋δ狌）＝ 犠１（狌）＋δ犠１（狌） （２．３．２３）
犠２（狌＋δ狌）＝ 犠２（狌）＋δ犠２（狌） （２．３．２４）
将式（２．３．２１）、（２．３．２３）、（２．３．２４）代入式（２．３．２０）得
Π△ ＝犝＋δ犝＋δ２犝－犠１－δ犠１－犠２－δ犠２
＝Π＋δΠ＋δ２犝 （２．３．２５犪）
将式（２．３．１８）代入上式得
Π△ －Π ＝δ２犝 ＝犝（δ狌） （２．３．２５犫）
由于犝（狌）是正定的，由式（２．３．２２）可知，犝（δ狌）也是恒正的数，因而由上式得
Π△ ＞Π （２．３．２５犮）
这样，我们就证明了瞬时最小势能原理：弹性体在运动状态中的任意瞬时，在所
有可能位移中真实位移使系统总势能取极小值．值得说明的是，上面从虚功原理
出发推证最小势能原理，实际上采用了两个补充条件：（１）要求外力（包括阻尼
力）在变分过程保持不变；（２）要求惯性力在变分过程保持不变．只有在上述两
个条件下瞬时最小势能原理才能成立，因而瞬时最小势能原理是虚位移原理的
特殊形式，而虚位移原理没有这些限制，可以适用于更一般情况．在应用瞬时最
小势能原理进行变分运算时要特别注意主动力犳和惯性力在变分过程中保持
不变．
同样的方法可以导出最简单的单变量瞬时广义势能原理为：
我们考虑既不满足应力边界条件（２．３．２犫），又不满足位移边界条件
（２３２犪）的可能位移，弹性体在运动状态中的任一瞬时，真实位移使系统的广义
势能取驻值，即有
δΠ ＝δ（犝－珨犠１－犠２）＝０ （２．３．２６）
其中，犝 与δ犝仍为式（２．３．１７）与式（２．３．１４），犠２与δ犠２仍为式（２．３．１６）与式
（２．３．１３）．珨犠１与δ珨犠１为
珨犠１＝∫犞狌犜犳犱犞＋∫犛
σ
狌犜珚犘犱犛＋∫犛狌
（狌－狌—）犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌犱犛
（２．３．２７犪）
δ珨犠１＝∫犞δ狌犜犳犱犞＋∫犛
σ
δ狌犜珚犘犱犛＋∫犛狌
［δ狌犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌
＋（狌－狌—）犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）δ狌］犱犛 （２．３．２７犫）
将式（２．３．１４）、（２．３．１３）、（２．３．２７犫）代入式（２．３．２６），并利用式（２．３．７犪）的关
系，得
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ４１
δΠ ＝ －∫犞δ狌犜 犈（
Δ
）犪犈犜（
Δ
）狌＋犳－ρ２狌
狋［ ］２ 犱犞
＋∫犛δ狌犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌犱犛－∫犛σ
δ狌犜珚犘犱犛
－∫犛狌
［δ狌犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌］犱犛
－∫犛狌
（狌－狌—）犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）δ狌犱犛
＝ －∫犞δ狌犜犚０犱犞－∫犛
σ
δ狌犜犚σ犱犛
－∫犛狌
犚犜狌犈（ν）犪犈犜（
Δ
）δ狌犱犛 ＝０
由δ狌的任意性，上述变分方程给出的欧拉方程及其边界条件就是方程（２．３．１）、
（２．３．２犪）、（２．３．２犫），由此可见瞬时广义势能原理（２．３．２６）等价于初值边值混合
问题方程（２．３．１）、（２．３．２犪）、（２．３．２犫）．
２．３．４ 哈密顿原理
上述瞬时虚位移原理、瞬时势能原理和瞬时广义势能原理都没有考虑初值
条件（２．３．３），因而这些原理都无法用于初值问题．
哈密顿原理不是考虑弹性动力学的初值问题，而是考虑时间上的边值问题，
即不用初值条件（２．３．３），而用时间边值条件
狌狘狋＝０＝狌０， 狌狘狋＝狋１＝狌１ （２．３．２８）
以位移表示的动态平衡方程（２．３．１），位移边界条件（２．３．２犪）和力的边界条件
（２．３．２犫）仍保留不变．在这个修改后的问题中，满足式（２．３．２犪）与（２３２８）的位
移称为可能位移．哈密顿原理指出：在所有可能位移中，真实位移使哈密顿作用
量犎 取驻值，即
δ犎 ＝０ （２．３．２９）
其中哈密顿作用量为拉格朗日函数的积分，即
犎 ＝∫狋１
０犔犱狋 （２．３．３０）
拉格朗日函数犔等于系统动能犜减去弹性体应变能犝 和外力势能犃，即
犔＝犜－犝－犌 （２．３．３１）
犌 ＝－∫犞狌犜犳犌犱犞－∫犛
σ
狌犜珚犘犌犱犛 （２．３．３２）
犜＝１
２∫犞ρ狌
狋狌
狋犱犞 （２．３．３３）
４２ 第２章 多自由度系统运动方程
如果系统除了受有势力犳犃 与珚犘犃 的作用外，还作用无势力犳 与珚犘 如阻尼力
等等，则式（２．３．２９）的一般形式为
δ犎 ＝∫狋１
０∫犞δ狌犜犳犱犞＋∫
狋１
０∫犛σ
δ狌犜珚犘犱犛＝∫狋１
０δ犠
１犱狋 （２．３．３４）
下面说明哈密顿原理与虚位移原理的关系．将虚位移方程（２．３．８）在 ［０，狋１］区
间积分得
∫狋１
０δ犝犱狋＝∫
狋１
０δ犠１犱狋＋∫
狋１
０δ犠２犱狋 （２．３．３５）
交换体积积分与时间积分，经过分部积分后有
∫狋１
０δ犠２犱狋＝∫
狋１
０δ∫犞δ狌
犜 －ρ２狌
狋（ ）２ 犱犞犱狋
＝∫犞∫狋１
０δ狌犜 －ρ
２狌
狋（ ）２ 犱［ ］狋犱犞
＝∫犞烅烄
烆
δ狌犜ρ
狌
［ ］狋 狋＝狋１
－δ狌犜ρ狌
狋 狋＝０烍烌
烎
犱犞
＋∫犞∫狋
０ρδ狌犜
狋狌
狋犱狋犱犞 （２．３．３６）
由式（２．３．２８）有
δ狌 狋＝０＝０， δ狌 狋＝狋１＝０ （２．３．３７）
并定义系统动能犜为
犜＝１
２∫犞ρ狌犜
狋狌
狋犱犞 （２．３．３８）
将式（２．３．３７）与（２．３．３８）代入式（２．３．３６）得
∫狋１
０δ犠２犱狋＝∫
狋１
０δ犜犱狋 （２．３．３９）
将式（２．３．４）代入式（２．３．１２）得
∫狋１
０δ犠１犱狋＝∫
狋１
０∫犞δ狌犜犳犱犞犱狋＋∫
狋１
０∫犛σ
δ狌犜珚犘犱犛犱狋
＝∫狋１
０∫犞δ狌犜犳犌犱犞犱狋＋∫
狋１
０∫犛σ
δ狌犜珚犘犌犱犛犱狋
＋∫狋
０∫犞δ狌犜犳犱犞犱狋＋∫
狋
０∫犛σ
δ狌犜珚犘犱犛犱狋
＝－∫狋１
０δ犌犱狋－∫
狋１
０δ犠
１犱狋 （２．３．４０）
其中有势力的势能δ犌 与无势力的虚功δ犠１ 分别为
δ犌 ＝ －∫犞δ狌犜犳犌犱犞－∫犛
σ
δ狌犜珚犘犌犱犛 （２．３．４１）
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ４３
δ犠１ ＝－∫犞δ狌
犜犳犱犞－∫犛
σ
δ狌犜珚犘犱犛 （２．３．４２）
将式（２．３．３９）与（２．３．４０）代入式（２．３．３５）得
∫狋１
０
（δ犜－δ犝－δ犌）犱狋＝∫狋１
０δ犠
１犱狋
将式（２．３．３１）、（２．３．３０）代入上式得式（２．３．３４）
δ犎 ＝∫狋１
０δ犠
１犱狋＝－∫犞狌犜犳犱犞－∫犛
σ
狌犜珚犘犱犛 （２．３．４３）
当无势力犳与珚犘 为零时，上式化为式（２．３．２９）．
由此可见哈密顿原理是虚位移原理的另一种表达形式．在这里虽然对变分
运算没有限制，即不像瞬时最小势能原理那样，要求外力与惯性力在变分过程保
持不变．但它把初值问题简化为时间上的边值问题来处理，使其应用范围受到限
制．也就是说不能用它来求解具体工程的初值与边值混合问题．但是利用这个原
理可以比较方便地推导出具体问题的拉格朗日方程，即系统的运动方程与力边
界条件，同时也可以方便地推出连续系统离散化的多自由度系统的运动微分
方程．
２．３．５ 连续系统的拉格朗日方程
依据哈密顿原理，当无势力犳 与珚犘 为零时对弹性动力学问题有
δ犎 ＝∫狋１
０
（δ犜－δ犝－δ犌）犱狋＝０
其中
δ犜＝∫犞δ狌犜 －ρ
２狌
狋（ ）２ 犱犞， δ犌 ＝－∫犞δ狌犜犳犱犞－∫犛
σ
δ狌犜珚犘犱犛
δ犝 ＝∫犞［犈犜（
Δ
）δ狌］犜犪犈犜（
Δ
）狌犱犞
＝∫犛σ
δ狌犜犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌犱犛－∫犞δ狌犜犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）狌］犱犞
则有
δ犎 ＝∫狋１
０∫犞δ狌犜 犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）狌］＋犳－ρ２狌
狋｛ ｝２ 犱犞犱狋
＋∫狋１
０∫犛σ
δ狌犜［珚犘－犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌］犱犛犱狋＝０ （２．３．４４）
由δ狌犜 的任意性，可以导出拉格朗日方程为
犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）狌］＋犳－ρ２狌
狋２＝０， 狓∈Ω （２．３．４５）
４４ 第２章 多自由度系统运动方程
珚犘－犈（ν）犪犈犜（
Δ
）狌＝０， 狓∈犛σ （２．３．４６）
由此可见，对于弹性动力学问题，应用哈密顿原理导出的拉格朗日方程
（２．３．４５）、（２．３．４６）就是弹性动力学的动态平衡方程（２．３．１）和力的边界条件
（２．３．２犫）．
下面再以图２．８所示的梁弯曲问题为例应用哈密顿原理推导有阻尼梁弯曲
问题的振动方程．梁的应变能犝 和动能犜分别为
犝 ＝１
２∫犾
０犈犐２狔
狓（ ）２
２
犱狓 （２．３．４７）
犜＝１
２∫狋１
０ρ犃
狔（ ）狋
２
犱狓 （２．３．４８）
图２．８ 梁的弯曲振动
外力势能犌 为
犌 ＝－∫犾
０犳犌狔犱狓－犙０狔０＋犙犾狔犾＋犕０
狔（ ）狓 ０
－犕犾狔（ ）狓 犾
（２．３．４９）
哈密顿原理一般形式为
δ犎 ＝∫狋１
０
（δ犜－δ犝－δ犌）犱狋＝∫狋１
０δ犠
１犱狋 （２．３．５０）
其中各项积分分别为
∫狋１
０δ犠
１犱狋＝∫狋１
０∫犾
０犆狔
狋δ狔犱狓犱狋 （２．３．５１）
∫狋１
０δ犝犱狋＝∫
狋１
０∫犾
０犈犐２狔
狓２２δ狔
狓２犱狓犱狋
＝∫狋１
０犈犐２狔
狓２δ狔
［ ］狓
狋
０
犱狋－∫狋１
０∫犾
０
狓（犈犐２狔
狓２）δ狔（ ）狓 犱狓犱狋
＝∫狋１
０犈犐２狔
狓２δ狔
［ ］狓
狋
０
犱狋－∫狋１
０
狓（犈犐２狔
狓２）δ熿
燀
燄
燅狔
犾
０
犱狋
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ４５
＋∫狋１
０∫犾
０
２
狓２（犈犐
２狔
狓２）δ狔犱狓犱狋 （２．３．５２）
∫狋１
０δ犌犱狋＝－∫
狋１
０∫犾
０犳犌δ狔犱狓犱狋－∫
狋１
０犙０δ狔０－犙犾δ狔［ 犾
－犕０δ狔
（ ）狓 ０＋犕犾δ
狔
（ ）狓 ］犾
犱狋 （２．３．５３）
∫狋１
０δ犜犱狋＝∫
狋１
０∫犾
０ρ犃狔
狋
δ狔
狋犱狓犱狋
＝∫犾
０ρ犃狔
狋δ（ ）狔
狋１
０
犱狓－∫狋１
０∫犾
０ρ犃２狔
狋２δ狔犱狓犱狋
＝－∫狋１
０∫犾
０ρ犃２狔
狋２δ狔犱狓犱狋 （２．３．５４）
则（２．３．５０）化为
－∫狋１
０∫犾
０ （犈犐２狔
狓２）＋犆狔狋＋ρ狊
２狔
狋２－
熿
燀
燄
燅犳δ狔犱狓犱狋
－∫狋１
０ （犈犐２狔
狓２－犕）δ狔（ ）熿
燀
燄
燅狓
犾
０
犱狋
＋∫狋１
０
狓（犈犐２狔
狓２）－熿
燀
燄
燅犙 δ烅
烄
烆烍烌
烎狔
犾
０
犱狋＝０
由于δ狔是任意变分，则由上式可得拉格朗日方程为
２
狓２（犈犐
２狔
狓２）＋犆狔狋＋ρ犃
２狔
狋２－犳＝０， 狓∈Ω （２．３．５５）
（犈犐２狔
狓２－犕）δ狔（ ）狓 ＝０， 狓＝０，犾 （２．３．５６）
狓（犈犐２狔
狓２）－熿
燀
燄
燅犙 δ狔＝０， 狓＝０，犾 （２．３．５７）
式（２．３．５５）就是有阻尼梁的运动微分方程，式（２．３．５６）与（２．３．５７）表示梁的力
的边界条件．根据实际情况边界条件有不同的组合．如果在边界上挠度已给定，
有δ狔＝０，则没有弯矩边界条件；只有在挠度没有给定的边界上，由δ狔的任意
性，式（２．３．５６）才给出相应的弯矩边界条件，为
犈犐２狔
狓２＝ 犕 （２．３．５８）
如果在边界上转角狔／狓已给定，有δ（狔／狓）＝０，则没有剪力边界条件；只
在转角没有给定的边界上，由δ（狔／狓）的任意性，式（２．３．５７）才给出相应的剪
力边界条件，为
４６ 第２章 多自由度系统运动方程
狓犈犐狔
（ ）狓 ＝犙 （２．３．５９）
因而梁的横向振动的各种边界条件可由挠度与转角的位移边界条件和式
（２．３．５８）、（２．３．５９）的力边界条件组合而成．例如狓＝０端固定和狓＝犾端自由
的边界条件为
狔＝０，狔
狓＝０， 狓＝０ （２．３．６０）
犈犐２狔
狓２＝０，
狓犈犐２狔
（ ）狓 ＝０， 狓＝犾 （２．３．６１）
２．３．６ 特征值变分式的一般性质
附录犃介绍了杆、梁、板与三维弹性体振动问题，这些线性振动的特征值问
题可以用微分算子犓 与犕 统一表示为
犓犠（狓）－ω２犕犠（狓）＝０， 狓∈Ω （２．３．６２）
犅狌犠（狓）＝０， 狓∈犛狌 （２．３．６３）
犅σ犠（狓）＝０， 狓∈犛σ （２．３．６４）
这里，犓 与犕 为微分算子，犅狌 与犅σ 为边界微分算子．
对于杆的纵向振动，由式（犅．２．２）有
犠（狓）＝狌（狓），犓 ＝犱
犱狓犈犃
犱
犱（ ）狓 ，犕 ＝ρ犃 （２．３．６５）
对于梁的横向振动，由式（犅．３．３）有
犠（狓）＝狔（狓），犓 ＝犱２
犱狓２犈犑犱２
犱狓
烄
烆
烌
烎２，犕 ＝ρ犃 （２．３．６６）
对于板的横向振动，狓为二维坐标，由式（犅．４．１）有
犠（狓）＝狑，犓 ＝犇０
Δ
４，犕 ＝ρ犺 （２．３．６７）
对于三维弹性体动力学问题，狓为三维坐标，由式（犅．５．１９）有
犠（狓）＝狌，犓 ＝犈（
Δ
）［犪犈犜（
Δ
）］，犕 ＝ρ （２．３．６８）
很显然对于这些问题，上述微分算子犓 与犕 有如下性质：
（１）微分算子犓 与犕 的对称性，有
∫Ω犠（狓）犓犝（狓）犱狓＝∫Ω犝（狓）犓犠（狓）犱狓 （２．３．６９）
∫Ω犠（狓）犕犝（狓）犱狓＝∫Ω犝（狓）犕犠（狓）犱狓 （２．３．７０）
这里犝 与犠 都是满足位移边界条件的可能位移．当微分算子 犓 与犕 满足式
（２．３．６９）、（２．３．７０）时微分方程（２．３．６２）称为自伴方程，这个系统称为自伴系
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ４７
统．其力学意义就是服从功的互等定理；
（２）微分算子犓 为非负算子，微分算子 犕 为正算子，即
∫Ω犠（狓）犓犠（狓）犱狓≥０， ∫Ω犠（狓）犕犠（狓）犱狓＞０ （２．３．７１）
更严格的说法是算子犓 是对称正定的，算子 犓 使应变能有界的位移集在动能
为模的空间中是紧致集．根据算子特征值理论，具有这样性质的算子特征值问题
（２．３．６２）、（２．３．６３）、（２．３．６４），其特征值ω２是可数的无穷集合，并且是非负的，
以无穷大为极限点，特征值的平方根就是系统的固有频率，相应的特征函数就是
固有振型．
这里考虑的是保守系统，对于保守的杆、梁、板、壳、平面和三维弹性体系统，
由式（２．２．６８）机械能守恒原理，有
犜＋犝 ＝犺＝ 常数 （２．２．７２）
对保守系统的自由振动，运动方程为式（２．３．６２）．结构的振动位移狑（狓，
狋）为
狑（狓，狋）＝ 犠（狓）狊犻狀（ω狋＋φ） （２．３．７３）
当系统通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值犜犿犪狓，有
犜犿犪狓＝ω２
∫Ω犠犻（狓）犕犠犻（狓）犱狓＝ω２犜０
犜０＝∫Ω犠犻（狓）犕犠犻（狓）犱烅
烄
烆狓
（２．３．７４）
当位移达到最大值时，动能为零，势能达到最大值犝犿犪狓，有
犝犿犪狓＝∫Ω犠犻（狓）犓犠犻（狓）犱狓 （２．３．７５）
由机械能守恒得到
犜犿犪狓＝犝犿犪狓
则有特征值ω２犻的瑞利商表达式为
ω２犻 ＝∫犠犻（狓）犓犠犻（狓）犱狓
∫犠犻（狓）犕犠犻（狓）犱狓＝犝犿犪狓
犜０（２．３．７６犪）
对于满足位移边界条件（２．３．７３）的位移 犠（狓）有固有频率变分式
ω２＝狊狋∫Ω犠（狓）犓犠（狓）犱狓
∫Ω犠（狓）犕犠（狓）犱狓（２．３．７６犫）
可以证明式（２．３．７６）等价于方程（２．３．６２）和力边界条件（２．３．６４）．对于梁的横
向振动问题见式（犅．３．５４）的证明，对板的振动问题见式（犅．４．２２）的证明，对于
三维弹性体动力学问题见式（犅．５．２８）的证明．
４８ 第２章 多自由度系统运动方程
固有频率变分式（２．３．７６）说明：对于保守系统，瑞利商在主模态附近取驻
定值．因而固有频率变分式也称为瑞利驻值原理．
由固有频率变分式（２．３．７６）可以导出如下性质：
（１）设ω１是最小的一个固有频率（对于具有刚体自由度的结构，ω１＝０）．
ω１有时也称为基本固有频率．因为ω２１是最小的驻值，所以有
ω２１＝犿犻狀∫Ω犠（狓）犓犠（狓）犱狓
∫Ω犠（狓）犕犠（狓）犱狓（２．３．７７）
这个算式也可以写成另一种形式
∫Ω犠（狓）犓犠（狓）犱狓≥ω２１∫Ω犠（狓）犕犠（狓）犱狓 （２．３．７８）
等号只在ω等于基本固有频率ω１，也就是 犠（狓）与第一阶固有振型 犠１相
同时才成立，即式（２．３．７６犪）中的犻＝１；
（２）从式（２．３．７６）很容易导出固有振型的正交性质．附录犃．３节导出梁的
固有振型的正交性，附录犃．４节导出板的固有振型的正交性，附录犃５节导出
三维弹性体固有振型的正交性；
（３）对于基本固有频率已得到不等式（２．３．７７）、（２．３．７８），对于其他固有频
率也有类似的不等式．
设固有频率按从小到大的次序排列为ω１，ω２，…．相应的归一化固有振型
排列为１，２，…．如果在变分式（２．３．７６犫）中对自变函数 犠（狓）附加狀个约束
条件
∫Ω犻犕犠（狓）犱狓＝０， 犻＝１，２，… ，狀 （２．３．７９）
那么变分式中前狀个驻值就被消去，而ω２狀＋１变成新条件下的最小的驻值，所以
在式（２．３．７９）约束下，有
ω２狀＋１＝犿犻狀∫Ω犠（狓）犓犠（狓）犱狓
∫Ω犠（狓）犕犠（狓）犱狓（２．３．８０）
∫Ω犠（狓）犓犠（狓）犱狓≥ω２狀＋１∫犠（狓）犕犠（狓）犱狓 （２．３．８１）
（４）任意一个满足位移边界条件的可能位移 犠（狓），可以展成收敛的固有
振型级数，即
犠（狓）＝∑∞
犻＝１
狇犻犻 （２．３．８２）
其中，犻为归一化固有振型，而常系数狇犻为
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ４９
狇犻 ＝∫Ω犻犕犠（狓）犱狓 （２．３．８３）
固有振型犻形成一个完备的模态空间，这就是模态空间的展开定理．
下面以梁的横向振动问题为例证明级数（２．３．８２）收敛于 犠（狓）．其他振动
问题的收敛性证明与此类似．
不论级数（２．３．８２）是否收敛，命残差犚狀 为
犚狀 ＝ 犠（狓）－∑狀
犼＝１
狇犼犼 （２．３．８４）
先证明犚狀 有如下性质：
（犪）由于 犠（狓）与犻（狓）都满足位移边界条件（２．３．６３），则残差犚狀 也是一
种可能位移，由式（２．３．６３）、（２．３．６６）、（２．３．８０）有
ω２狀＋１≤∫犾
０犚狀
犱２
犱狓２（犈犑犱
２犚狀
犱狓２）犱狓
∫犾
０ρ犃犚２狀犱狓
（２．３．８５）
利用分部积分，有
∫犾
０犚狀
犱２
犱狓２（犈犑犱
２犚狀
犱狓２）犱狓＝∫
犾
０犈犑（犱
２犚狀
犱狓２）２
犱狓 （２．３．８６）
则由式（２．３．８５）有
∫犾
０ρ犃犚２狀犱狓≤
１
ω２狀＋１∫犾
０犈犑（犱
２犚狀
犱狓２）２
犱狓 （２．３．８７）
（犫）在式（２．３．８４）两边同乘以ρ犃犻，利用正交性得
∫犾
０犻ρ犃犚狀犱狓＝∫
犾
０犻ρ犃犠（狓）犱狓－∑
∞
犼＝１
狇犻∫犾
０犻ρ犃犼犱狓 （２．３．８８）
振型归一化条件为
∫犾
０ρ犃２犻犱狓＝１ （２．３．８９）
对于梁的问题（２．３．８３）化为
狇犻 ＝∫犾
０犻ρ犃犠（狓）犱狓 （２．３．９０）
将式（２．３．８９）与（２．３．９０）代入式（２．３．８８），则式（２．３．８８）化为
∫犾
０犻ρ犃犚狀犱狓＝∫
犾
０犻ρ犃犠（狓）犱狓－狇犻∫
犾
０ρ犃２犻犱狓
＝狇犻－狇犻 ＝０ （２．３．９１）
（犮）将式（２．３．８４）微分两次，然后两边乘以犈犑犱２犻
犱狓２，并对狓积分，得
５０ 第２章 多自由度系统运动方程
∫犾
０犈犑犱２犻
犱狓２
犱２犚狀
犱狓２犱狓＝∫
犾
０犈犑犱２犻
犱狓２犱２犠（狓）
犱狓２犱狓－狇犻∫
犾
０犈犑（犱
２犻
犱狓２）２
犱狓
（２．３．９２）
将此式右端两项分部积分后，利用 犠（狓）与满足的边界条件，有
∫犾
０犈犑犱２犻
犱狓２
犱２犚狀
犱狓２犱狓＝∫
犾
０犠（狓）
犱２
犱狓２（犈犑犱
２犻
犱狓２）犱狓－狇犻∫
犾
０犻犱２
犱狓２（犈犑犱
２犻
犱狓２）犱狓
（２．３．９３）
因固有振型满足平衡方程，有
犱２
犱狓２（犈犑犱
２犻
犱狓２）＝ω２犻ρ犛犻
代入上式得
∫犾
０犈犑犱２犻
犱狓２
犱２犚狀
犱狓２犱狓＝∫
犾
０ω２犻ρ犃犻犠（狓）犱狓－ω
２犻狇犻∫
犾
０ρ犃２犻犱狓
＝ω２犻∫犾
０ρ犃犻犠（狓）犱狓－狇（ ）犻
＝０ （２．３．９４）
式（２．３．８７）、（２．３．９１）与（２．３．９４）为犚狀 的三个性质．现在把式（２．３．８４）改写为
犠（狓）＝∑狀
犻＝１
狇犻犻＋犚狀 （２．３．９５）
利用正交性条件和式（２．３．９４）有
∫犾
０犈犑（犱
２犠（狓）
犱狓２）２
犱狓＝∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１∫犾
０狇犻狇犼犈犑
犱２犻
犱狓２
犱２犼
犱狓２犱狓＋∫
犾
０犈犑（犱
２犚狀
犱狓２）２
犱狓
＋２∑狀
犻＝１∫犾
０狇犻犈犑
犱２犻
犱狓２
犱２犚狀
犱狓２犱狓
＝∑狀
犻＝１
狇２犻∫犾
０犈犑（犱
２犻
犱狓２）２
犱狓＋∫犾
０犈犑（犱
２犚狀
犱狓２）２
犱狓
由此得到
∫犾
０犈犑（犱
２犚狀
犱狓２）２
犱狓≤∫犾
０犈犑（犱
２犠（狓）
犱狓２）２
犱狓
将式（２．３．８７）代入上式得
∫犾
０ρ犃犚２狀犱狓≤
１
ω２狀＋１∫犾
０犈犑（犱
２犠（狓）
犱狓２）２
犱狓 （２．３．９６）
此式右端的积分是一个有限量，而当狀→ ∞ 时，有ω狀＋１→ ∞，因而有
犾犻犿狀→∞∫
犾
０ρ犃犚２狀犱狓＝０ （２．３．９７）
则得
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ５１
犾犻犿狀→∞犚狀 ＝０ （２．３．９８）
于是固有振型级数（２．３．８２）收敛于 犠（狓）．
上面采用微分算子统一描述了杆、梁、板和三维弹性体振动的变分式普遍性
质．还有很多其他的复杂弹性结构如各种壳体结构或各种组合弹性结构的振动
是否也都具备上述的普遍性质？当然我们可以一个结构一个结构地去研究．
１９８２年王大钧、胡海昌［５９６２］对各种弹性结构理论的微分算子的性质作了统一
的证明，从而也进一步证明了这些结构都具有上述普遍性质．他们在三维弹性体
结构的基础上以弹性结构理论与三维弹性力学的力学联系为背景，也就是说注
意到各种结构理论的变形和应力关系是通过三维弹性力学作适当假设简化而得
来的这一事实，依据弹性结构理论和三维弹性力学之间的位移的联系、应变能和
动能的联系，将弹性结构理论的微分算子的正定性和能量嵌入算子的紧致性作
了统一证明，从而不仅可以更好地理解三维弹性力学和各种弹性结构的振动理
论，都可以把它们的特征值问题统一用式（２．３．６２）、（２．３．６３）、（２．３．６４）来描述，
都可以用式（２．３．７６犫）的变分式来等价描述，从而都具备上述介绍的振动问题的
普遍性质．同时更重要的是在证明中不涉及弹性结构理论的具体几何关系与方
程，对于相当广泛边界条件的各种壳体和组合结构的复杂情况以及其他可能提
出的结构理论都可以用算子统一地给予描述并得到普遍的性质，从而为各种复
杂结构的动力分析提供了统一的理论基础．
２．３．７ 固有频率近似解法
从上一节我们已经知道，求解连续系统的固有频率与固有振型问题在数学
上可以统一归结为解式（２．３．６２）、（２．３．６３）、（２．３．６４）偏微分方程的特征值问
题，只有对于个别特别简单的问题才能获得精确解．甚至对于最简单的连续系
统，例如杆的纵向振动、梁的横向振动，当质量与刚度分布不均匀时，一般来说都
难以求得封闭形式的解答．当连续系统特征值问题的封闭解不存在或求解非常
复杂而不可行的情况下，寻求它的近似解就是唯一可行的方法．因此，从工程应
用的角度看，掌握各种有效的近似方法是更为重要的．但是，我们不能因为精确
解的实用价值不大而对它持否定态度．精确解除了能清楚地看出各种参数之间
定性的关系外，在近似计算中将能发挥重要作用，一方面它可以用来检验各种近
似方法的计算精度，另一方面特殊系统的固有振型往往可以用作一般系统近似
方法的基函数，即将一般系统的固有振型表达成特殊系统固有振型的有限项级
数形式，从而使连续系统转变为有限自由度系统．由于固有振型的完备性，采用
固有振型作为基函数，当固有振型的数目无限增多时，如式（２．３．９８）所示，一定
能收敛到精确值．
５２ 第２章 多自由度系统运动方程
（１）瑞利法
根据瑞利驻值原理（２．３．７６犫），对于保守系统，瑞利商在主模态附近取驻定
值．对于一个特定的模态振型，式（２．３．７６犪）给出固有频率的精确值．如果假设一
个合理的可能位移，使其满足所有的位移边界条件，然后代入式（２．３．７６犪），我们
将得到固有频率的较好近似值．这样求固有频率的方法称之为瑞利法，通常用于
求第一阶固有频率（基本频率）．因此，应用瑞利法求系统的基本频率，它的准确
度依赖于所假设的可能位移近似于真实模态振型的程度，或者说依赖于所选取
的试探函数．而且，用瑞利法所得到的基本频率的近似值总是略高于精确值．要
想获得好的近似结果，必须有一定的经验选取好可能位移．假设的可能位移必须
满足位移边界条件，应尽量接近实际振型，最好是既能满足位移边界条件又能满
足力的边界条件，这样可以得到更好的近似值．但至少要满足几何边界条件，否
则，会使计算所得的结果误差过大，甚至毫无意义．瑞利法的优点是能够简便迅
速地得到系统的基本频率的近似值．一般说来，这样求得的近似值不十分准确，
但已能满足许多工程上的要求．在结构设计过程中，需要快速估计各种结构方案
的基本频率，在这种情况下采用瑞利法是适宜的．
例２．８ 考察一锥形杆的纵向振动，试计算该系统的基本频率．
杆在狓＝０的一端固定，狓＝犾的一端自由，杆的刚度与质量分布为
犈犃（狓）＝犈犃 １－１
２
狓（ ）犾［ ］２
， 犿（狓）＝ 犿 １－１
２
狓（ ）犾［ ］２
（１）
解 取试探函数
狏（狓）＝狊犻狀π狓
２犾（２）
此为均匀杆在相同边界条件下的基本振型，显然满足边界条件
狏（０）＝０， 犱狏
犱狓 狓＝１＝０ （３）
将（１）、（２）两式代入能量表达式，得到
犞犿犪狓＝∫犾
０
１
２犈犃（狓）
犱狏
犱（ ）狓２
犱狓＝π２犈犃
８犾２∫犾
０１－
１
２
狓（ ）犾［ ］２
犮狅狊２π狓
２犾犱狓
＝１
９６
犈犃
犾（５π２＋６） （４）
犜０＝∫犾
０
１
２犿（狓）狏２犱狓＝
犿
２∫犾
２１－
１
２
狓（ ）犾［ ］２
狊犻狀２π狓
２犾犱狓
＝犿犾
２４π２（５π２－６） （５）
所以
ω２＝犞犿犪狓
犜０＝犈犃π２（５π２＋６）
４犿犾２（５π２－６）＝３．１５０４４５
犈犃
犿犾２（６）
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ５３
给出系统的基本频率为
ω＝１．７７５犈犃
犿犾槡２（７）
例２．９ 单位厚度的楔形悬臂梁如图２．９所示，求梁在狓狕平面内弯曲振动
的基本频率．
解 从图示知道，梁的高度犺（狓）＝２犫狓
犾，设材料密度为ρ，质量分布为
图２．９ 楔形悬臂梁
犿（狓）＝ 犿０狓
犾（１′）
式中，犿０＝２犫ρ为梁在固定端处单位长
度的质量．
截面惯性矩为
犑（狓）＝犺３
１２＝犑０
狓３
犾３（２′）
式中，犑０＝２犫３
３为梁的固定端截面的惯性矩．
梁的边界条件为
犈犑犱２狏
犱狓２ 狓＝０
＝０， 犱
犱狓（犈犑犱２狏
犱狓２）狓＝０
＝０ （３′）
狏（犾）＝０， 犱狏
犱狓 狓＝犾＝０ （４′）
取试探函数
狏（狓）＝ １－狓（ ）犾
２
（５′）
它满足位移边界条件（４′）．由于在狓＝０处，犑与犱犑
犱狓均为零，因此应力边界条件
（３′）也得到满足．
犞犿犪狓＝∫犾
０
１
２犈犑（犱
２狏
犱狓２）犱狓＝狓∫
犾
０
１
２犈犑０
狓３
犾３４
犾４犱狓＝
犈犑０
２犾３（６′）
犜０＝∫犾
０
１
２ρ犃狏２犱狓＝∫
犾
０ρ犃０
狓
犾１－
狓（ ）犾４
犱狓＝ρ犃０犾
６０（７′）
ω２＝犞犿犪狓
犜０＝３０犈犑０
ρ犃０犾４
（８′）
ω＝５．３１５犫
犾２
犈犑０
ρ犃槡 ０
（９′）
５４ 第２章 多自由度系统运动方程
此问题基本频率的精确值为
ω１＝５．３１５犫
犾２
犈犑０
ρ犃槡 ０
（１０′）
近似值较精确值高３．１％．
例２．１０ 求四边固定的方形薄膜的基本频率．设薄膜张力为犜，单位面积
的质量为ρ，边长为２犪．
图２．１０ 方形薄膜
解 取直角坐标犗狓狔如图２．１０所示，取试探函数
犠 ＝ （犪２－狓２）（犪２－狔２） （１″）
显然，它满足边界约束条件，考虑到 犠 的对称性，
薄膜的最大势能可表示为
犞犿犪狓＝２犜∫犪
０∫犪
０
犠
（ ）狓２
＋犠
（ ）狔［ ］２
犱狓犱狔＝１２８
４５犜犪８
（２″）
动能系数为
犜０＝２ρ∫犪
０∫犪
０犠２犱狓犱狔＝
１２８
２２５ρ犪１０ （３″）
从而得到
ω２＝犞犿犪狓
犜０＝５犜
犪２ρ， ω＝
２．２３６
犪
犜
槡ρ（４″）
精确解为ω＝２．２２１
犪
犜
槡ρ，近似值约比精确值高０．７％．
图２．１１ 四边固定矩形板
例２．１１ 用瑞利法计算图２．１１所示的四边
固定矩形薄板的基频．
解 取一项基函数为
１（狓，狔）＝ （狓２－犪２）２（狔
２－犫２）２
可以验证１满足位移边界条件，有
犞犿犪狓＝Ω犇０（
Δ
２１）２犱狓犱狔
＝２∫犪
０２∫犫
０犇０（
Δ
２１）２犱狓犱狔
＝２１５犇０
３２×５２×７犪４＋犫４＋
４
７犪２犫（ ）２ 犪５犫５
犜０＝Ωρ犺犠２犱狓犱狔＝Ωρ犺
２１犱狓犱狔＝２∫
犪
０２∫犫
０ρ犺２１犱狓犱狔
＝２１６ρ犺
３４×５２×７２犪９犫９
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ５５
于是由式（２．３．７６）得到
ω２＝６３犇０
２犪４犫４ρ犺犪４＋犫４＋
４
７犪２犫（ ）２
基频为
ω＝
６３
２（１＋４犪２
７犫２＋犪４
犫４槡 ）犪２
犇０
ρ槡犺令犪＝犫，得到正方形薄板的基频为
ω＝９．００
犪２
犇０
ρ槡犺
与精确解８．９９７
犪２
犇０
ρ槡犺相当接近．
（２）里茨法
求系统固有频率的里茨法是在瑞利法基础上作了改进，是一种关于固有频
率的变分式（２．３．７３）的直接解法．
弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题式（２．３．６２）、
（２．３．６３）、（２．３．６４），另一种是泛函的驻值问题（２．３．７６犫）．从精确解的角度看，
两者完全等价，但从近似解的角度看，求泛函驻值的近似解要比求微分方程的近
似解来得容易．下面以梁的横向振动为例来介绍里茨法．
重写梁的固有频率变分式（犅．３．５４）如下：
ω２＝狊狋∫犾
０犈犑（犢″）２犱狓
∫犾
０ρ犃犢２犱狓
（２．３．９９）
其中，要求满足位移边界条件的自变函数犢（狓）称为可能位移．这样的可能位移
犢（狓）是无限多的，也就是说可供选择的自变函数的范围未免太大了，得想办法
将选择的范围缩小．在里茨法中，首先选择狀个连续、二阶可导并且满足位移边
界条件的已知函数犻（狓）（犻＝１，２，… ，狀），这里犻（狓）称为基函数，然后将
自变函数犢（狓）按狀个基函数展开，即
犢（狓）＝∑狀
犻＝１
犪犻犻（狓）＝犪１１（狓）＋犪２２（狓）＋…＋犪狀狀（狓）
（２．３．１００）
其中，犪１，犪２，… ，犪狀 是参变数．上式的意义是，自变函数犢（狓）不再是在所有
满足位移边界条件的函数集内选择，而是在仅包括狀个参数犪犻、由狀个基函数
犻（狓）所组成的函数集内选择，里茨法的基本思想是在函数集（２．３．１００）中求瑞
５６ 第２章 多自由度系统运动方程
利商的驻定值，以代替在全体可能位移中求驻定值，把无穷维的问题化为有限的
狀维问题．很显然，函数集（２．３．１００）的范围要比可能位移集的范围小得多，因而
泛函（２．３．９９）基于（２．３．１００）的自变函数所取得的驻值是近似的，记为ω—２．由式
（２．３．１００），泛函（２．３．９９）的分子及分母可写为
∫犾
０犈犑（犢″）２犱狓＝∫
犾
０犈犑 ∑
狀
犻＝１
犪犻″（ ）犻 ∑狀
犼＝１
犪犼″（ ）犼 犱狓
＝∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犽犻犼犪犻犪犼 ＝犪犜犓犪 （２．３．１０１）
∫犾
０ρ犃犢２犱狓＝∫
犾
０ρ犃 ∑
狀
犻＝１
犪犻（ ）犻 ∑狀
犼＝１
犪犼（ ）犼 犱狓
＝∑狀
犻＝１∑狀
犼＝１
犿犻犼犪犻犪犼 ＝犪犜犕犪 （２．３．１０２）
其中，刚度矩阵犓 与质量矩阵犕 为
犓 ＝
犽１１ 犽１２ … 犽１狀
犽２１ 犽２２ … 犽２狀
犽狀１ 犽狀２ … 犽
熿
燀
燄
燅狀狀
， 犕 ＝
犿１１ 犿１２ … 犿１狀
犿２１ 犿２２ … 犿２狀
犿狀１ 犿狀２ … 犿
熿
燀
燄
燅狀狀
犪 ＝ ［犪１ … 犪狀］犜， 犽犻犼 ＝∫
犾
０犈犑″犻″犼犱狓
犿犻犼 ＝∫犾
０ρ犃犻犼犱狓， 犻，犼＝１，２，… ，狀 （２．３．１０３）
狀×狀阶矩阵犓 及 犕 显然是对称矩阵，将（２．３．１０１）、（２．３．１０２）代入（２．３．９９），得
ω—２＝狊狋
犪犜犓犪
犪犜犕犪（２．３．１０４）
由δω—（ ）２ ＝０得到
犓－ω—２（ ）犕 犪＝０ （２．３．１０５）
这样就将无限多自由度系统转换为狀自由度系统．由上面的矩阵特征值问题可
解出狀个特征值ω—２犻（犻＝１，２，… ，狀）及相应的特征向量犪犻（犻＝１，２，… ，
狀），梁的第犻阶固有频率ω犻 近似地取为ω—
犻，将特征向量犪犻 的各元素代入式
（２３１００），梁的第犻阶主振型珚犢犻（狓）近似地取为
珚犢犻（狓）＝∑狀
犼＝１
犪犻犼犼（狓）， 犻＝１，２，… ，狀 （２．３．１０６）
上述方法求出的近似主振型同样关于分布质量及分布刚度相互正交．实际上，由
式（２．３．１０５）得到的特征向量有下列正交性
犪犜犻犕犪犼 ＝０， 犪犜犻犓犪犼 ＝０， 犻＝／犼
记列向量为
＝ ［１（狓） ２（狓） … 狀（狓）］
２．３ 连续系统能量泛函变分原理及其近似方法 ５７
由式（２．３．１０６）、（２．３．１０３），珚犢犻（狓）及矩阵 犕、犓 可写成
珚犢犻（狓）＝犪犻，犕 ＝∫犾
０ρ犃犜犱狓，犓 ＝∫
犾
０犈犑（″）犜″犱狓
于是有
∫犾
０ρ犃珚犢犻珚犢犼犱狓＝∫
犾
０ρ犃犪犜犻
犜犪犼犱狓＝犪犜犻∫
犾
０ρ犃犜犱［ ］狓犪犼
＝犪犜犻犕犪犼 ＝０， 犻＝／犼 （２．３．１０７）
同样可证明
∫犾
０犈犑犢″犻犢″犼犱狓＝犪
犜犻犓犪犼 ＝０， 犻＝／犼 （２．３．１０８）
由式（２．３．１０５）求出的ω—２１ 是泛函（２．３．１０４）最小的驻值，真实基频的平方
ω２１则是泛函（２．３．９９）最小的驻值，由于瑞利．里茨法是在缩小了范围的函数集
内求泛函的驻值，小范围内求得的最小值自然不可能比在大范围内求出的最小
值来得更小，所以有
ω２１≤ω—２１ （２．３．１０９）
上式也可以从物理上解释，式（２．３．１００）只是对真实主振型的一种近似，相当于
对梁的变形引进许多约束，从而增加了梁的弯曲刚度，使固有频率提高．
如果在式（２．３．１０６）的级数中只取一项，即
犢（狓）＝犪１１（狓）
则式（２．３．１０５）成为
（犽１１－ω—２犿１１）犪１＝０
由上式得到
ω—２１＝
犽１１
犿１１＝∫犾
０犈犑（″１）
２犱狓
∫犾
０ρ犃２１犱狓
（２．３．１１０）
这样求固有频率的方法就是前面介绍的瑞利法，通常用于求第一阶固有频率的
近似值，根据经验，将１（狓）取成静挠度曲线就可以得到精度较好的基频．
假若梁上有附加质量或弹性支承，则只要在计算梁的动能和势能时计入附
加质量的动能和弹性支承的势能，然后仿照式（２．３．１０３）就可以写出相应的矩阵
犕 和犓 了．
薄板振动固有频率变分式（犅．４．２２）重写如下
ω２＝狊狋Ω犇０犽
犜犇１犽犱狓犱狔
Ωρ犺犠２犱狓犱狔
（２．３．１１１）
将自变函数 犠（狓，狔）按基函数展开为
