C1_mat021_2013-1_pauta

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Matematica I (MAT021), 1er Semestre 2013

Pauta Certamen 1: 16 de Abril

1.- (25 puntos) Resuelva en R la inecuacion

(3x2 + x + 1)|x 3|2x 1(x2 1)(x 2) 0

y determine (si es que existen), el conjunto de las Cotas Superiores, el conjunto de las cotas Inferiores, Supre-

mo e Infimo del conjunto solucion.

Desarrollo:

1) Restricciones:

x2 1= 0 , x 2= 0 y 2x 10

x= 1 , x=1 , x= 2 y x12

por lo tanto

x [ 12

, [ {1, 2}

2) Observemos que:

i) 3x2 + x + 1 > 0x R ya que = 1 4 3 1< 0 y a= 3> 0

ii)|x 3| 0x R

iii)

2x 10x[ 12

, [

Por lo tanto

3x2 + x + 1

|x 3|2x 1(x2 1)(x 2) 0 (x

2 1)(x 2)< 0 x 3 = 0 2x 1 = 0

(x + 1)(x 1)(x 2)< 0 x= 3 x= 12

x] , 1[ ]1 , 2[ {1

2 , 3}

Pero x[ 12

, [ {1, 2} por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es:( ] , 1[ ]1 , 2[ ) ( [ 1

2, [ {1, 2}) =]1, 2[ { 1

2, 3}

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3)

Conjunto de cotas superiores : [3, [Conjunto Cotas inferiores :] ,1

2]

Supremo : 3

infimo :1

2

2.- (25 puntos) Considere la funcion f(x) =

2 sin(2x) 2 cos(2x).

i.- Escriba f(x) en la forma A sin(wx + ) senalando la amplitud, periodo y angulo de fase.

ii.- Grafique la funcionfen el dominio [0, 2], indicando los puntos de interseccion con los ejes coordenados.

Desarrollo:

i) f(x) =

2 sin(2x)

2 cos(2x)

f(x) =

2

2

2 sin(2x)

2 cos(2x)

f(x) = 2

12

sin(2x) 12

cos(2x)

f(x) = 2

cos

4

sin(2x) sin

4

cos(2x)

f(x) = 2sin

2x 4

Por lo tanto se tiene que:

Amplitud =|A|= 2Periodo =

2

|B| =

Angulo de Fase =C

B =

8

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3.- Un observador se encuentra en la parte superior de un edificio de A metros de altura; la parte superior

de otro edificio que esta en el mismo plano horizontal que el edificio anterior, se observa con un angulo de

elevacion de , ademas el angulo de elevacion desde la base del segundo edificio a la cuspide del primero mide

. Determine la altura del edificio mas alto en funcion de ,, y A

Desarrollo:

De acuerdo a la grafica se tiene que:

tan() = A

x x= A

tan() Ec(1)

tan() = y

x y= x tan() Ec(2)

Por lo tanto :

H=A + y H= A + x tan() H= A + A

tan() tan() (Ec1)

H= A

1 +tan()

tan()

(Ec2)

H= A

tan() + tan()

tan()

La altura del edificio mas alto en funcion de ,, y A es A

tan() + tan()

tan()

metros.

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4. (25 puntos) Un rectangulo tiene un vertice en el primer cuadrante sobre

la grafica de y = 1 2x , el otro en el origen de coordenadas,un tercer vertice en el eje xy el cuarto vertice en el lado positivo del eje y .

i.- Defina la funcion A de la superficie del rectangulo en funcion de su base x indicando claramente su

dominio.

ii.- Es A estrictamente creciente? Fundamente.

iii.- Grafique la funcion A.

Puede usted concluir que existe un rectangulo con superficie maxima?

Justifique claramente su respuesta.

Desarrollo:

i)

A = base

altura

= x y , pero y = 1 2x= x (1 2x)

Por lo tanto la funcion pedida es A(x) = x (1 2x) con x[0 , 12

]

ii) La funcion definida anteriormente no es creciente.

Para justificar esta afirmacion damos un contraejemplo:

3

8 > 1

8, A( 3

8) = A( 1

8)

iii)

A(x) = x (1 2x) A(x) =2x2 + x A(x) =2(x 1

4)2 +

1

8

A(x) 18

=2(x 14

)2

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Corresponde a una parabola de vertice (1

4, A(

1

4)) = (

1

4,1

8)

Por lo tanto, si existe un rectangulo de area maxima de dimensiones 1

4 por

1

8

1

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