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固体電子工学
第7回 自由電子モデル
金属固体
原子の最外殻電子 ! 固体中に広がった方がエネルギー的に得
金属結合
自由電子モデル
結晶の細かい構造を無視、結晶を平均化した媒体として取り扱う 金属固体の電子的性質を理解する第一歩
不確定性関係
電子の存在領域
電子は立方体 Lx x Ly x Lz の中に存在
原子
電子の受けるポテンシャル
原子核の電荷は電子により遮蔽される。このため、原子核のポテンシャルの影響は小さいと考える。 原子核のポテンシャルを平均化して V0 と置く。
V0
電子の受けるポテンシャル
V(x, y, z) =
自由電子近似
V0
" それ以外
シュレディンガー方程式
境界条件 ! = 0 at , ,
( , , )
( , , )
周期的境界条件
固体の中の性質 : 固体の境界の影響は小さい
計算が最も簡単になる波動関数の境界条件 = 周期的境界条件
固体
固体を周期的に並べた無限大の空間を電子が動いているとする
もとの領域で見ると左の飛跡は上のようになる
状態の数
シュレディンガー方程式
周期的境界条件
nx, ny, nz = ... -1, 0, 1, ....
量子状態 量子数: kx, ky, kz ! =±1/2
の格子上に2つの状態がある
k 空間において ( , , )間隔
kx~ kx+" kx, ky ~ ky+" ky, kz ~ kz+" kz の領域に
の状態数がある ( V = LxLyLz )
kx
ky
kz エネルギー
状態の数 状態密度 D(E)
D(E) "E = 単位体積当り、電子のエネルギー E ~ E+"E の状態数
D(E)
EV0
0
エネルギー
状態密度
分布関数
カノニカル分布
E : エネルギー N : 粒子数 µ #:ケミカル・ポテンシャル Z :分配関数
相互作用の無い粒子が N 個存在するとき E = N $#
分布関数 f(#): エネルギー $ をとる粒子数(占有数)の期待値
フェルミ粒子 : 半整数スピン
パウリの排他律 : フェルミ粒子は同じ量子状態を1個しかとれない
ボーズ粒子 : 整数スピン
フェルミ分布関数
ボーズ分布関数
ボーズ粒子は同じ量子状態に複数個とれる
分布関数
分布関数 f(#): エネルギー $ をとる粒子数(占有数)の期待値
フェルミ粒子 : フェルミ分布関数
ボーズ粒子 : ボーズ分布関数
高エネルギー($-µ >> kBT) ではどちらもボルツマン分布関数になる。
電子:フェルミ分布関数
4kBT
µ#$#0
1 f($)
µ : 化学ポテンシャル フェルミ準位とも呼び、EF $F とも書く
µ をフェルミ・エネルギーと呼ぶこともあるが、絶対零度(T =0)の化学ポテンシャルをフェルミ・エネルギーと呼ぶ場合もあるので避けた方が良い。
のとき、電子は縮退していると言う
電子密度
状態密度
フェルミ分布関数
EF 0
1 f (E)
V0 E 0
D(E)
0 V0
積分量=電子密度
E
f (E) D(E)
EF E
電子密度(単位体積あたりの電子数)は状態密度とフェルミ分布関数の積
T = 0 で評価
例) Li n = 4.62 x 1028 m-3
~ 7.45x10-19 J ~ 4.65 eV ~ 54000 K
EF >> kBT
電子密度
フェルミ波数
kx
ky
kz
0 T = 0 で、電子は波数空間で半径 kF の球の中の状態を占める
(通常の金属では、室温で電子は縮退している)
内部エネルギー
(古典電子気体の内部エネルギー)
等分配則 熱エネルギー(粒子の運動エネルギー) =kBT/2 (1自由度当たり) 単位体積当たりの内部エネルギー U = 3nkBT/2
電子1個あたりの平均エネルギー =
単位体積あたりのエネルギー
古典気体
比熱
4kBT
EF E 0
1
f(E)
ラフな評価: 温度で変化するのはフェルミ・エネルギー EF のまわりの ~4kBT の領域
古典気体のエネルギー
絶対温度の1次に比例
電気伝導
熱平衡では電子はあらゆる方向に運動
電場が加わると電子の平均速度が変化
% : 緩和時間
しかし、熱平衡にかなり近い
散乱 自由走行:電場で加速
散乱:電子の走る向きが全方向に
電気伝導
定常状態
移動度 µ#
電気伝導度 !#
% : 緩和時間
電流密度: 単位面積を単位時間に通過する電荷量
単位面積の面A
:単位時間に面Aを通過する電子の領域
ドゥルーデ(Drude)の式
定義
熱伝導
温度勾配
熱流 & : 熱伝導率
熱流:単位面積を単位時間に通過するエネルギー
x x
x-lx x+lx
T+"T T-"T
:平均自由行程
ヴィーデマン-フランツの法則
& : 熱伝導率 ! :電気伝導率 T :絶対温度 L :ローレンツ数
自由電子モデル
T = 273K
自由電子モデル
溝口 正「物質化学の基礎 物性物理学」裳華房より抜粋
単体金属