CALCOLODIFFERENZIALE

PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 2.

Formula di Taylor per funzioni Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Differenziali di più variabili. Differenziali successivi.successivi.

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Massimi e minimi liberi.Massimi e minimi liberi.

FORMULA DI TAYLORFORMULA DI TAYLORPER FUNZIONI DI PIÙPER FUNZIONI DI PIÙ

VARIABILIVARIABILI

Ricordiamo la formula di Taylor,con il resto alla Lagrange,per le funzioni di una variabile:

Se f : U R R, è una funzione n+1volte derivabile in un intorno U delpunto x0 , allora esiste un solo polinomio Tn(x), detto di Taylor, digrado ≤ n, tale che

f(x)= Tn(x)+ rn(x)

con rn(x)= ((Dn+1f)()/(n+1)! )(x-x0)n+1 , compreso tra x e x0.

k!Tn(x)=k=0

n(Dkf)(x0)_______(x-x0)k

Vediamo come questa formula ci permetta di ottenerne una simileper le funzioni di più variabili.Iniziamo dal caso di due variabili.

rn(x)= (x)(x-x0)n , con (x)0 per x x0 , ossia rn(x)= o((x-x0)n)

Teorema(di Taylor, per funzioni R2 R )

Se f : A R2 R, ha derivate continue

fino all’ordine n+1, allora

f(x,y)= Tn(x,y)+ rn(x,y), con rn(x,y)= o(|(x,y)T-(x0,y0 )T|n)

Siano h e k, le due componenti di un vettore “incremento” di (x0,y0)T

in R2. v = (h,k)T, (x,y)T = (x0,y0)T + v.L’equazione del segmento che va da (x0,y0)T a (x,y)T è: (x(t),y(t))T = (x0 + th,y0 + tk)T, 0 ≤ t ≤ 1.

F(t) = f (x0 + th,y0 + tk) = F(0) + F’(0)t +

Prendendo come punto base t0=0, si trova:

+ t2 + … + _____F’’(0)2!

F (n)(0)______n! tn +

F (n+1)()________(n+1)!tn+1

Con compreso tra 0 e t.

In particolare, prendendo t=1 :

F(1) = f(x0 + h,y0 + k) = F(0) + F’(0) +

Si tratta ora di calcolare, utilizzandola formula di derivazione di funzione composta, i vari contributi presentinella formula di Taylor-Lagrange.

+ + … + _____F’’(0)2!

F (n)(0)______n! +

F (n+1)()________(n+1)!

, (0<<1)

F(0) = f(x0,y0),

F’(0) = Dt(f x(t),y(t))(0) = (D1f)(x0)h+(D2f)(x0)k,

F’’(0)= Dt2 (f x(t),y(t))(0)=( D11f)

(x0)h2++(D21f)(x0) kh +(D12f)(x0)hk +(D22f)(x0)k2=

=(D11f)(x0)h2 +2(D21f)(x0) kh +(D22f)(x0)k2

Nell’ultima formula abbiamo utilizzatoil Teorema di Schwarz.

In generale se, v1=h e v2=k:

2

F(p)(0) = i1, i2,…, ip = 1

(Di1i2…ip f)(x0,y0) vi1vi2 vip

Sappiamo che F’(0) = df (x0,y0)

(v).Definiamo d2f(x0,y0)(v,v) = F’’(0) =

= (Di1i2 f )(x0,y0)vi1vi2. i1, i2= 1

2

Definiamo in generale

2

F(p)(0) = i1, i2,…, ip = 1

(Di1i2…ip f)(x0,y0)vi1vi2 vip

dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =

Usando la notazione dei differenzialisuccessivi, la formula di Taylor-Lagrange diviene

f(x0 + v) = f (x0) + df(x0,y0)( v) +(1/2!) d2f(x0,y0)(v,v) + … + (1/n!)dnf(x0,y0)(v,v,..,v) ++ (1/(n+1)!)dn+1f(x0,y0)+ vT (v,v,..,v,v)

Osserviamo che

dn+1f(x0,y0)+ vT(v,v,…,v,v) =

f)(x0+h, y0+k)vi1vi2 vinvin+1

2

= i1, i2,…, in , in+1= 1

(Di1i2… in , in+1

Ma su una sfera chiusa e limitata dicentro (x0,y0) e raggio |v|le derivate d’ordine n+1 sono tutte limitate da unacostante M e v = |v| , con versore.

f)(x0+h, y0+k)vi1vi2 vinvin+1 =

2

i1, i2,…, in , in+1= 1

(Di1i2… in , in+1

f)((x0,y0)+vT)i1i2i

nin+1

2

=|v|n+1 i1, i2,…, in , in+1= 1

(Di1i2… in , in+1

Perciò

|dn+ 1fx0+ vT (v,v,…,v,v)|≤

|i1, i2,…, in , in+1= 1

2M i1 i2 in in+1 |≤

≤|v|n+1

≤ M 22(n+1)(n+1) |v|n+1 = o(|(x,y)T-(x0,y0)T|n).

Infatti v = (x,y)T-(x0,y0)T.

Se f : A Rm R, è una funzione di classe Cn+1(A), allora vale un teoremaanalogo al precedente per funzioni delle m variabili x1, x2, … , xm.

Non lo enunciamo per brevità.

2

F(p)(0) = i1, i2,…, ip = 1

(Di1i2…ip f)(x0 ,y0)vi1vi2 vip

dpf(x0,y0)(v,v,…,v) =

Abbiamo definito il differenziale p-esimo in (x0,y0)T valutato sull’incremento v= (h,k)T di (x0,y0)T:

Se la derivazione è fatta r volte rispetto a x e s volte rispetto a y,(r+ s = p), tenendo presente chedx(h,k) = h e dy(h,k) = k e ricordandoil Teorema di Schwarz, si può verificare che:

dpf(x0,y0) =r+s=p

p!_____r! s!

∂pf______∂xr ∂ys

(x0,y0) dxr dys

In particolare, per il differenziale secondo si ha:

d2f(x0,y0)

=

____∂x2

∂2f (x0,y0) dx2 + 2

____∂2f

∂x ∂y(x0,y0) dx dy

+∂2f____∂y2

(x0,y0) dy2

Per funzioni di m variabili:

d2fx0 =i,j =1

m ∂2f______∂xi

∂ xj

(x10,x2

0,.. ,xm0) dxi dxj

MASSIMI E MINIMIMASSIMI E MINIMILIBERILIBERI

Ricordiamo che, data una funzionef : A Rm R , A aperto, un puntox0 A si dice che x0 è punto di massimo relativo per f se esiste un intorno U del punto (per es. una sfera aperta di centro x0) tale cheper ogni x U vale

f(x) ≤ f(x0)

Se per ogni x U vale invecef(x) ≥ f(x0)

x0 si dice punto di minimo relativo per f

Si dice che x0 è punto di massimo (minimo) assoluto per f : A Rm R ,se per ogni x A vale f(x) ≤ f(x0) ( rispettivamente f(x) ≥ f(x0) )

Vale il seguente

Teorema(di Fermat)

Sia f : A Rm R, A aperto. Sia x0 A

punto di massimo o di minimo relativo

e sia f derivabile in x0. Allora

f(x0)= 0 .

Basta ricordare che la funzione

g1(t) = f(t,x20,..,xm

0)

ha max o min relativo in x10 e quindi

g1’ (x10) = 0 = D1f (x1

0,x20,..,xm

0) .

Analogamente

g2(t)=f(x10,t,..,xm

0), … , gm(t)=f(x10,x2

0,..,t)

hanno max o min relativo in x20 ,..,xm

0

e quindi

g2’ (x20) = 0 = D2f (x1

0,x20,..,xm

0)

…...

gm’ (xm0) = 0 = Dmf (x1

0,x20,..,xm

0)

Dunque

f(x0)= 0 .

I punti x0 A , nei quali f(x0)= 0 si dicono punti critici o stazionari di A.

I punti di massimo o minimo relativo di una funzione definita su un aperto A Rm sono da ricercarsi, se f è differenziabile in A, per esempio se f C1(A), tra quelli che soddisfano le m equazioni

Dkf (x1,x2,..,xm)=0, k = 1,…,m .