• Juan Marcos Femat Guerrero• Fernanda Michelle Guerra Espinosa

• María Del Rocío Gómez Ramos• Melissa Berenice Mojarro

• Rocío Viridiana Ortiz De Loera • Cynthia Guadalupe R. Esparza

Vázquez • Mónica Triana Rodríguez

• Claudia Verónica Vázquez Vivero

Históricamente la idea de la integral se halla unida al calculo de áreas a través del teorema fundamental del calculo, del que nos ocuparemos posteriormente. Puede decirse que la integral contiene información de tipo general mientras que la derivada la contiene de tipo local.

El concepto operativo integral aquí desarrollado se basa en la idea de << operación contraria a la derivada>>, es decir, la antiderivada. Planteadas así las cosas, se establece el calculo de la integrales a través de la tabla de derivadas, de forma que todo lo que no sea una derivada al revés, no podrá ser hallado.

Una superficie de revolución se forma cuando una curva se hace girar alrededor de una línea.

Queremos definir el área de una superficie de revolución de tal manera que corresponde a nuestra intuición. Si la superficie es, podemos imaginar que la pintura de la superficie se requieren la misma cantidad de pintura como lo hace una región plana con área.

¿Qué pasa con las superficies más complicadas de la revolución? Si seguimos la estrategia que utiliza con la longitud de arco, podemos aproximar la curva original de un polígono. Cuando este polígono se hace girar alrededor de un eje, se crea una superficie más sencilla cuya superficie se aproxima a la área superficial real. Al adoptar un límite, podemos determinar la superficie exacta.

Algunos tipos de superficies generadas: • Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio. • Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono. • Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera. • Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Área de una superficie de revolución

El área de una superficie de revolución es aquella superficie obtenida mediante la rotación de una curva definida C alrededor de un eje.

Si tenemos una función f : [a, b] −→ R derivable con continuidad en (a, b), el área de la superficie que genera cuando gira 360° alrededor del eje horizontal, viene dado por la integral:

2π ∫ba|f(x)|√1+[f (x)]2dx

El trabajo con Máxima se reduce a calcular la integral que aparece. Pero aquí hay quehacer un estudio del signo de f, pues aparece un valor absoluto en la integral.

NOTA:Si lo que gira es una región limitada por dos curvas, tanto en el volumen como en el área, debemos considerar la diferencia de los volúmenes o la suma áreas que genera cada función.

Ejemplo 1Dada la funcion  en los puntos (1,1) y

(2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el area de la superficie generada.

tenemos:

Cambio a y b por la funcion dentro de la longitud de arco,  y 

Ejemplo 2El arco de la parabola:  se hace girar en

torno del eje de (1,1) a (2,4). Calcule el area de la superficie resultante.

Solución: Empleamos: 

&

Debido a que gira entorno del eje el area de superficie esta dada por: En este caso:

Proponemos:

&

sustituimos:

EJEMPLO 3

La curva   ,  , es un arco del círculo . 

Calcular el área de la superficie al girar el arco alrededor del eje "X". 

entonces, sabemos que y' sería; 

 

entonces nos queda que; 

 

EJEMPLO 4Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X.

=>

Entonces:

Hacemos las respectivas sustituciones:

y

Simplificamos;

Y, finalmente, nuestro resultado aproximado sería:

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones.

Rotación paralela al eje de abscisas (eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, un recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula .

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar 360º con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.

En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.

CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un sólido de revolución:

El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la

siguiente manera: Primero: se determina el volumen del

sólido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial

representativo en torno al eje indicado.

Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se

rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este

caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su

volumen está dado por:

Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los

volúmenes de las particiones, es decir:

CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que

se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera

un sólido de revolución de la siguiente forma:

Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO

El volumen del sólido diferencial estaría dado por:

Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana alrededor del eje "x", estaría dado por:

Ejemplo 1:La base de cierto sólido es la parábola

Las secciones transversales perpendiculares al eje son triángulos equiláteros; encontrarel volumen del sólido.

La base del triángulo será Por ser el triángulo equilátero

El área de un triángulo es y la sección transversal tiene un volumen

para lo cual va de 0 a 4 , con lo cual

Ejemplo 2: Calcular el volumen de una pirámide de base rectangular de dimensiones 2a

y a y de altura h.

Se podría tomar el origen del sistema en el centro del rectángulo, la altura se mide sobre el eje y con lo cual las secciones tranversales perpendiculares esta vez al eje y son rectángulos de lados 2x y x el volumen de una tajada tomada así es Para poder expresar x en términos de y se usa semejanza de triangulos donde:

que corresponde a la fórmula geométrica

Area de la base)(altura) También se pude tomar el vértice de la

pirámide en el origen , la altura medida sobre el eje x , el centro de los rectángulos queda sobre el eje x y las secciones perpendiculares al eje x sonrectángulos de lados 2y y y el volumen de una sección transversal es

Para expresar en términos de y , x se usan triángulos semejantes con lo cual

Ejemplo 3: Las secciones transversales de cierto sólido por planos perpendiculares al eje y son semicírculos con diámetros que van desde la curva hasta la curva el sólido está entre los puntos de intersección de las dos curvas; encontrar el volumen.

Puntos de intersección : los puntos son (4,2)y (4,-2) Como las

secciones transversales son perpendiculares al eje y un elemento de volumen estará dado por

El diámetro de cada semicírculo será el radio entoncesCon lo cual