0a6cap 19 Calculo Integral, Aplicaciones

7/31/2019 0a6cap 19 Calculo Integral, Aplicaciones

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Cálculo integral:

aplicaciones19.1 INTEGRALES DEFINIDAS

19.2 INTEGRALES DEFINIDAS Y ÁREAS

19.3 MÉTODOS DE APROXIMACIÓN

19.4 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL19.5 CÁLCULO INTEGRAL Y PROBABILIDAD (OPCIONAL)

Términos y conceptos claveFórmulas importantesEjercicios adicionalesEvaluación del capítulo

Minicaso: El dilema de la seguridad social: un problema de solvencia

C A P T U L O 1 9



Este capítulo se centra en la aplicación del cálculo integral. En particular, se explicará laintegral definida, el uso de las integrales definidas en el cálculo de áreas debajo y entre las

curvas, diversas aplicaciones que se valen del cálculo integral y su aplicación a la teoría dela probabilidad.

Integrales definidas

En la presente sección se explicará la integral definida, que constituye el fundamento demuchas aplicaciones del cálculo integral.

La integral definida

La integral definida puede interpretarse como un área y como un límite. Examínese atenta-mente la gráfica de la función f ( x ) ϭ x 2, x Ն 0, que aparece en la figura 19.1. Supóngaseque se desea determinar el área sombreada A debajo de la curva comprendida entre x ϭ 1 y x ϭ 3. Un procedimiento consiste en aproximar el área calculando las superficies de un conjunto de rectángulos que están contenidos en la región sombreada. En la figura 19.2 se hantrazado dos rectángulos dentro del área de interés. El ancho de cada uno es 1, y sus alturas

respectivas son f (1) y f (2). Si se usa la suma de las áreas de los dos rectángulos para apro-ximar la que se desea conocer, se tendrá

donde A* es el área aproximada. Nótese que en esta aproximación se subestima el área real.El error introducido se representa con las zonas sombreadas más ligeramente.

En la figura 19.3 se han trazado cuatro rectángulos dentro del área de interés. Su an-cho es de 1

-2 , y la superficie total de los cuatro rectángulos se calcula mediante la ecuación

A* f (1) (0.5) f (1.5) (0.5) f (2) (0.5) f (2.5) (0.5)(1)3 (0.5) (1.5)2 (0.5) (2)2 (0.5) (2.5)2 (0.5)(1)(0.5) (2.25)(0.5) (4)(0.5) (6.25)(0.5)0.5 1.125 2.0 3.125 6.75

A* f (1) (1) f (2) (1)(1)2 (1) (2)2 (1)(1)(1) (4)(1) 5

ESCENARIO DEMOTIVACIÓN:Administración delbanco de sangre

El banco de sangre de un hospital lleva a cabo una campaña de donación desangre para reponer sus reservas. El hospital estima que la sangre se donará auna tasa de d (t ) unidades o “pintas” por día (1 pinta equivale a 0.47 litros enEstados Unidos y a 0.57 litros en el Reino Unido; N. del T.), donde

d (t ) = 500e-0.4t

y la t representa la duración de la campaña en días. Si el objetivo de la cam- paña de donación de sangre es obtener 1 000 unidades (“pintas”), los admi-

nistradores del hospital desean saber cuánto les tomará alcanzar esa meta

(ejemplo 24).

19.1



En comparación con la figura 19.2, el empleo de cuatro rectángulos en vez de dos da unamejor aproximación del área real. El área sombreada más ligeramente es menor en la fi-gura 19.3.

En la figura 19.4 se trazaron ocho rectángulos, cada uno con un ancho igual a 0.25. Su

superficie se calcula mediante la ecuación

Obsérvese que esta aproximación es mejor que las otras. De hecho, si se sigue subdi-vidiendo el intervalo entre x ϭ 1 y x ϭ 3, haciendo cada vez más pequeña la base de cadarectángulo, la aproximación se acercará más y más al área real (que, según se determinará,es de 82

-3).A continuación se estudiará este proceso desde una perspectiva más amplia. Tómese,

por ejemplo, la función de la figura 19.5. Supóngase que se desea determinar el área debajode la curva, pero por arriba del eje de las x entre x ϭ a y x ϭ b. Supóngase, además, que elintervalo se haya subdividido en n rectángulos. Asimismo, que el ancho del rectángulo i es⌬ x i y que su altura es f ( x i). No es necesario dar por hecho que el ancho de cada rectángulo

A* f (1) (0.25) f (1.25) (0.25) f (2.75) (0.25)(1)2 (0.25) (1.25)2 (0.25) (2.75)2 (0.25)(1)(0.25) (1.5625)(0.25) (7.5625)(0.25) 7.6781

f ( x)

f ( x) = x

x

2

1

1

2

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

A

f ( x)

f (2)

f (1)

x

f ( x) = x2

1

1

2

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

Aproximacióndel área A

Error en laaproximación

Figura 19.1

Figura 19.2

Aproximaciónmediante dosrectángulos.



f ( x)

f ( x) = x

f (1)

f (1.5)

f (2)

f (2.5)

x

2

1

1

2

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

Aproximación

del área A

Error en la

aproximación

x1 = a x2 x3 x4 x5 xn–2 xn–1 xnb

f ( x2)

f ( x3)

f ( x4)

f ( xn–2)

f ( xn–1)

f ( xn)f

f ( x1)

x

f ( x)

Aproximación

del área A

Error en la

aproximación

f ( x)

f (2.25)

f (2.5)

f (2.75)

f (1)

f (1.25)

f (1.75)

f (1.5)

x

f ( x) = x2

1

1

2

2

3

3

4

5

6

7

8

9

10

Aproximación

del área A

Error en la

aproximación

f (2.0)

Figura 19.3

Aproximaciónmediante cuatrorectángulos.

Figura 19.5 Aproximacióncon n rectángulos.

Figura 19.4

Aproximacióncon ochorectángulos.



sea igual. Se puede aproximar el área de interés sumando las áreas de n rectángulos, esdecir,

Como se dijo en cuanto a la función f ( x ) ϭ x 2, la aproximación siempre se vuelve másexacta al irse reduciendo el ancho de los rectángulos y, por lo tanto, conforme el númerode rectángulos se torna simultáneamente más grande. Esta observación puede formalizarseal afirmar que cuando existe el límite,

(19.1)

Es decir, el área real bajo la curva A es el valor límite de la suma de las áreas de los n rec-tángulos inscritos, a medida que el número de rectángulos se acerca al infinito (y el ancho⌬ x i de cada uno se aproxima a 0).

Del mismo modo que el signo de la sumatoria ⌺ se aplica cuando se desea sumar ele-mentos discretos, también la integral definida implica la suma de funciones continuas.

n

i 1

ϭ Ané ϱ

f ( xlím i) xi

A* f ( x1 ) x1 f ( x2 ) x2 f ( xn ) xn

n

i 1

f ( xi ) xi

Definición: Integral definida

Si f es una función acotada en el intervalo [a, b], se definirá la integral definida de f

en los siguientes términos:

(19.2)

a condición de que exista este límite, a medida que el tamaño de todos los intervalosde la subdivisión tienda a cero y, por lo tanto, el número de intervalos n se aproximeal infinito.

b

a

f ( x) dx límné

n

i 1

f ( xi) xi A

El lado izquierdo de la ecuación (19.2) muestra la notación de la integral definida. Losvalores a y b que aparecen, respectivamente, debajo y arriba del signo de la integral se lla-man límites de integración. El límite inferior de integración es a, y el límite superior de

integración es b. La notación puede describirse como “la integral definida de

f entre un límite inferior x ϭ a y un límite superior x ϭ b”, o más simple, “la integral de f entre a y b”.

Evaluación de las integrales definidas

La evaluación de las integrales definidas se facilita con el siguiente teorema de gran im-portancia.

b

a

f ( x) dx



Conforme al teorema fundamental del cálculo integral, la integral definida puede eva-luarse ya sea: 1) determinando la integral indefinida F ( x ) ϩ C , y 2) calculando F (b) Ϫ F (a) ,algunas veces denotada con F ( x )]b

a. Como se verá en el siguiente ejemplo, no hay necesidadde incluir la constante de integración al evaluar las integrales definidas.

Para evaluar , la integral indefinida es

Ahora bien,

❏

Cuando se evalúan integrales definidas, siempre se resta el valor de la integral indefinida

en el límite inferior de integración, al valor del límite superior de integración. La constante

de integración invariablemente desaparece en este cálculo, como sucedió en el ejemplo. Por lo tanto, no se necesita incluir la constante al evaluar las integrales definidas.

Para evaluar

Por lo tanto,

F ( x) (2 x2 4 x 5) dx

2 x 3

3

4 x2

25 x

2 x 3

32 x 2 5 x

4

1

(2 x 2 4 x 5) dx,

3

0

x 2 dxx 3

3C

3

0

33

3C

03

3C

9 C C

9

F ( x) x 2 dx

x 3

3C

3

0

x 2 dx

Teorema fundamental del cálculo integral

Si una función f es continua sobre un intervalo y F es cualquier antiderivada de f , en-tonces para cualquier punto x ϭ a y x ϭ b en el intervalo, donde a Յ b,

(19.3)b

a

f ( x) dx F (b) F (a)

Ejemplo 1

Ejemplo 2



❏

4

1

(2 x 2 4 x 5) dx2 x 3

32 x 2 5 x

4

1

2(4)3

32(4)2 5(4)

2(1)3

32(1)2 5(1)

(1283

32 20) ( 2 5) 302

332

3272

Para evaluar

Por consiguiente,

o, según la tabla 1, e1 Ϫ e

Ϫ2 ϭ 2.7183 Ϫ 0.1353

ϭ 2.5830

Para evaluar

y de acuerdo con la regla 9,

En consecuencia,

Según la tabla 2,

❑

4

2

x dx

x 2 1(2.7081) (1.0986)

1.35405 0.5493 0.80475

1

2

1

2

1

2

4

2

x dx

x

2

1

ln( x 2 1)4

2

1

2ln(42 1) 1

2ln(22 1)

1

2ln 15 1

2ln 3

F ( x) 1

2ln( x2 1)

F ( x) x dx x 2 1

2 x dx

x 2 11

2

4

2

x dx

x 2 1,

1

2

e x dx e x

1

2

e1

e2

F ( x) e x dx

e x

1

2

e x dx,

Evalúe Respuesta: 12.3

1

( x 3 2 x) dx.

Ejercicio de práctica

Ejemplo 3

Ejemplo 4



Propiedades de las integrales definidasExisten diversas propiedades que pueden ser de ayuda al evaluar las integrales definidas.Se incluyen a continuación, junto con ejemplos que las explican.

Considere la función f ( x ) ϭ 4 x 3.

Por consiguiente, ❏

1

2 4 x3

dx

2

1 4 x3

dx

1

24 x 3 dx

4 x 4

4

1

2 x 4

1

2

(1)4 ( 2)4 1 16 15

2

1

4 x 3 dx4 x 4

4

2

1

x 4

2

1

( 2)4 (1)4 16 1 15

❏

10

10

e x dx e x

10

10

e 10 e 10

0

Evalúe: a) y b) Respuesta: a) 27.23135, b) 1.6946.3

1

4 x

x 2 5dx.

2

1

e 2 x dx


Propiedad 2

(19.5)a

a

f ( x) dx 0

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Propiedad 1

Si f está definida y es continua en el intervalo (a, b),

(19.4)b

a

f ( x) dxa

b

f ( x) dx



Demuestre que

SOLUCIÓN

Por lo tanto,

o bien 64 ϭ 64 ❏

4

0

3 x 2 dx2

0

3 x 2 dx4

2

3 x 2 dx

4

0

3 x 2 dx3 x 3

3

4

0

x 3

4

0

(4)3 (0)3 64

2

0

3 x 2 dx4

2

3 x 2 dx x 3

2

0

x 3

4

2

[(2)3 (0)3 ] [(4)3 (2)3 ]

(8 0) (64 8) 64

4

0

3 x 2 dx2

0

3 x 2 dx4

2

3 x 2 dx

Propiedad 3

Si f es continua en el intervalo (a, c) y a Ͻ b Ͻ c,

(19.6)b

a

f ( x) dxc

b

f ( x) dxc

a

f ( x) dx

Ejemplo 7

Demuestre que

4

0

3 x 2 dx1

0

3 x 2 dx4

1

3 x 2 dx


Propiedad 4

(19.7)

donde c es constante.

b

a

cf ( x) dx cb

a

f ( x) dx



Propiedad 5

Si existen,

(19.8)b

a

[ f ( x) g( x)] dxb

a

f ( x) dxb

a

g( x) dx

b

a

f ( x) dx yb

a

g( x) dx

Demuestre que para la función del ejemplo 7,

SOLUCIÓN

En el ejemplo 7 se probó que es igual a 64. Se necesita evaluar 3

❏

34

0

x 2 dx 3x 3

3

4

3(4)3

3

(0)3

33

64

364

4

0

x 2 dx.4

0

3 x 2 dx

4

0

3 x 2 dx 34

0

x 2 dx

Suponga que se desea evaluar

Debido a que los límites de la integración son los mismos, la ecuación (19.8) indica que los integran-dos pueden combinarse algebraicamente con una integral definida, es decir,

❏

4

2

(4 x 5) dx4

2

(5 6 x) dx4

2

[(4 x 5) (5 6 x)] dx

4

2

( 2 x) dx

x 24

2

[ (4)2 ] [ (2)2 ]16 4 12

4

2

(4 x 5) dx4

2

(5 6 x) dx

Ejemplo 8

Ejemplo 9



Sección 19.1 Ejercicios de seguimientoEvalúe las siguientes integrales definidas.

Evalúe

utilizando las dos integrales definidas y verifique que la suma sea igual a Ϫ12.

4

2

(4 x 5) dx4

2

(5 6 x ) dx


1.

3

0

x dx 2.

4

2

( x 2) dx

3.

5

1

dx 4.

2

2

8 dx

5.

3

1

2 x dx 6.

1

1

8 x dx

7.

2

0

( x 2 4 x) dx 8.

4

0

(4 x 3 3 x 2 ) dx

9.

49

0

√ x dx

10.

2

2 2 e x

dx

11.

6

4

(dx / x) 12.

9

4

(4 dx / x)

13.

0

3

(2 x) e x2 dx 14.

0

1

(3 x 2 ) e x3 dx

15.

1

1

5 x dx 16.

1

2

2 x 3 dx

17.

b

b6 x 2 dx 18.

c

c4 x 3 dx

19.

4

0

(2 x 5) dx 20.

4

2

3 x 2 dx

21.

12

6

10 dx 22.

3

0

4 x 3 dx

23.

2

0

( x 3)2 dx 24.

16

9

√ x dx

25.

2

1

( x 2 4 x 6) dx 26.

4

1

3 x 5 dx

27.

3

2

9 x 2 dx 28.

4

2

3 e x dx

29.

4

0

e x dx 30.

2

0

2 xe x2 dx





Integrales definidas y áreasUna de las aplicaciones prácticas del cálculo integral es el hecho de que las integrales de-finidas pueden emplearse para determinar áreas. Puede tratarse de superficies que estánacotadas por curvas, las cuales representan funciones, los ejes de coordenadas, o ambos. Enla sección 19.4 se estudiarán situaciones donde esas áreas tienen un significado especial enel problema en que se usan.

Áreas entre una función y el eje de las x

Las integrales definidas pueden servir para obtener el área situada entre la curva que repre-senta una función y el eje de las x. Se pueden presentar diversos casos. Su tratamiento esvariable y se explicará en seguida.

En la figura 19.6 se describe esta situación.

Figura 19.6 Determinaciónde áreas sobre el eje de las x .

Encuentre el área debajo de f ( x ) ϭ x 2 y por arriba del eje de las x , entre x ϭ 1 y x ϭ 3.

SOLUCIÓN

Esta área se indicó antes en la figura 19.1. Se calcula así

19.2

Caso 1: (f

( x

) > 0)Cuando el valor de una función f continua es positivo en el intervalo a Յ x Յ b (esdecir, que la gráfica de f se encuentre por arriba del eje de las x ), el área que está aco-tada por f , el eje de las x , x ϭ a y x ϭ b se determina mediante

b

a

f ( x) dx

Ejemplo 10

f ( x)

xa b

f

A = f ( x ) dxa

b



El área (exacta) es 82-3 unidades cuadradas.

Determine el área indicada en la figura 19.7.

SOLUCIÓN

Demos por anticipado la respuesta usando fórmulas muy conocidas con las cuales se obtienen las áreasde un rectángulo y de un triángulo. Como se advierte en la figura 19.8, el área de interés puede consi-derarse compuesta por un rectángulo de superficie A2 y un triángulo de superficie A1. Por lo tanto,

A3

1

x 2 dx

x 3

3

3

1

33

3

13

39 1

3 823

Ejemplo 11

Figura 19.7

Figura 19.8

f ( x)

f ( x) = x + 5

x

5–5

5

10–10

10

f ( x)

x

53–5 –2

5

10–10

10

A1

1 2

A2

f ( x) = x + 5

f (3)– f (–2) = 8 – 3 = 5

f (–2) = 3

A = A + A



Al emplear la integral definida,

Calcule el área indicada en la figura 19.9.

SOLUCIÓN

Dado que f es una función negativa,

A3.5

2.5

x 3

2dx

A A1 A2

12 bh lw12 (5)(5) (5)(3) 12.5 15 27.5 unidades cuadradas

A

3

2( x 5) dx

x 2

25 x

3

2

(3)2

25(3)

( 2)2

25( 2)

(92 15) (2 10) 19.5 ( 8) 27.5 unidades cuadradas ❏

Para la función en la figura 19.7, determine el área entre la curva y el eje de las x , la cualse encuentra acotada a la izquierda por x ϭ 2 y a la derecha por x ϭ 6. Respuesta: 36.


Caso 2: ( f ( x ) < 0)

Cuando el valor de una función continua f es negativo en el intervalo a Յ x Յ b (esdecir, la gráfica de f se halla por debajo del eje de las x ), el área que está acotada por f , el eje de las x , x ϭ a y x ϭ b se determina mediante

Sin embargo, la integral definida evalúa el área como negativa si se encuentra debajodel eje de las x . Puesto que el área es absoluta (o positiva) , se calculará como

b

a

f ( x) dx

b

a

f ( x) dx

Ejemplo 12



Figura 19.9

❏

x

4

8

3.5

2.5

(3.5)4

8

(2.5)4

8

[ 18.7578 ( 4.8828)] [ 13.875] 13.875 unidades cuadradas

f ( x)

f ( x) = – ––

x543

–5

2

2.5

2.5

3.5

3.5

1

–10

–15

–20 x

2

3

A = – – – – x23 dx

A

Evalúe para calcular el área neta, la cual se muestra en la figura 19.10.

SOLUCIÓN

Una vez más, se puede anticipar la respuesta aplicando la fórmula con que se mide la superficie deun triángulo. Recuérdese que el área debajo del eje de las x ( A1) se evaluará como negativa cuandose haga la integración; entonces se tendrá

15

0

( x 5) dx

En la figura 19.9 encuentre el área entre f y el eje de las x , acotada a la izquierda y a laderecha por x ϭ 2 y por x ϭ 5, respectivamente. Respuesta: 609/8, o bien 761

-8.


Caso 3: ( f ( x ) < 0 y f ( x ) > 0)

Cuando el valor de una función continua f es positivo en la parte del intervalo a Յ x

Յ b y negativo en el resto del mismo (parte del área comprendida entre f y el eje de

las x se halla arriba del eje de las x y parte debajo de él), entonces calcule

el área neta. En otras palabras, las áreas situadas por arriba del eje de las x se evalúancomo positivas y las que están debajo como negativas. Se combinan algebraicamentepara obtener el valor neto.

b

a

f ( x) dx

Ejemplo 13

f ( )



Figura 19.10

Al evaluar la integral definida,

❏

Obtención de áreas entre curvas

En los siguientes ejemplos se describen los procedimientos con que se calculan las áreascomprendidas entre curvas.

Determine el área sombreada entre f y g indicada en la figura 19.11.

SOLUCIÓNA fin de determinar el área A, es preciso examinar su composición. No es posible calcularla integran-do sólo una de las funciones. Una manera de calcularla se advierte en la figura 19.12. Si g se integraentre x ϭ 0 y x ϭ 3, el área resultante incluye A pero también una superficie adicional que no formaparte de A. Por haber sobreestimado A, habrá que restar el excedente. Esta área resulta ser la que seencuentra debajo de f , entre x ϭ 0 y x ϭ 3. En consecuencia, A puede determinarse como

A15

0

( x 5) dx

x 2

25 x

15

0

(15)2

25(15)

02

25(0)

(112.5 75) 037.5 unidades cuadradas

A A1 A2

12 (5)(5) 1

2 (10)(10)12.5 50

37.5 unidades cuadradas

f ( x)

f ( x) = x – 5

x

–5

–10

–15

5

5

10

10

15

15 20 A1

A2

Ejemplo 14

f(x)



o bien

Si se aplica la propiedad 5,

A3

0

( 3 x 2 27) dx

x 3 27 x3

0

[ (3)3 27(3)] [ (0)3 27(0)] 27 81 0 54 unidades cuadradas

A3

0

( 2 x 27) dx3

0

x 2 dx

A3

0

g( x) dx3

0

f ( x) dx

f ( x)

x

5

5

10

10

15

20

25

30

(3, 9)

g ( x) ϭ Ϫ2 x2 ϩ 27

f ( x) ϭ x2

A g( x)dx Ϫ f ( x)dx

3 3

00 A

ϭ

30

25

20

15

10

5

5

A

10

ϭ

x

f ( x)

30

25

20

15

10

5

5 10

x

f ( x)

f ( x) ϭ x2

g( x) ϭ Ϫ2 x2 ϩ 27

Ϫ

30

25

20

15

10

5

5

Excedente

10

x

f ( x)

f ( x) ϭ x2

g( x) ϭ Ϫ2 x2 ϩ 27

ϭ Ϫ A

3

0

g ( x ) dx

3

0

f ( x) dx

Figura 19.11

Figura 19.12

y



Figura 19.13

De acuerdo con la figura 19.13, determine la combinación de integrales definidas que calcularían eltamaño de: a) área A, b) área B, c) área C .

SOLUCIÓN

Este ejemplo no contiene números reales. Se trata más bien de un ejercicio de la lógica en que sefunda la formulación de combinaciones de integrales definidas para determinar las áreas.a) El límite superior de A se determina mediante f. Si f se integra entre x ϭ 0 y x ϭ a, el resultado

será un área que contenga a1 y comprende A y un área excedente a2. Esta última puede obtenerse in-tegrando g entre x ϭ 0 y x ϭ a. Por lo tanto,

Esto se muestra gráficamente en la figura 19.14a.

b) B puede visualizarse como compuesto de dos subáreas, b1 y b2. El límite superior de B está deter-

minado por g hasta x ϭ

a y por f cuando aՅ

x Յ

b. Si se integra g entre x ϭ

0 y x ϭ

a, el área resul-tante será una parte de B. La parte restante de B puede determinarse integrando a f entre x ϭ a y x ϭ

b. Así pues,

Esto se muestra gráficamente en la figura 19.14b.

c) El límite superior de C se calcula por completo mediante g. Si se integra g entre x ϭ

a y x ϭ

c, elárea resultante c1 comprende C y un área excedente c2. Esta última puede calcularse integrando a f

entre x ϭ a y x ϭ b. Por lo tanto,

C c1 c2

c

a

g( x) dxb

a

f ( x) dx

B b1 b2

a

0

g ( x) dxb

a

f ( x) dx

A a1 a2

a

0

f ( x) dxa

0

g ( x) dx

y

A

B

C

D E

0

[a, f (a)]

(b, 0) (c, 0)

f

g

x(d, 0)

Ejemplo 15

y y y



Esto se indica gráficamente en la figura 19.14c. ❏

x

A

f

[a, f (a)]

x

ϭ Ϫ[a, f (a)]

a1

g

x

[a, f (a)]

a2

y

x

ϭ ϩ[a, f (a)]

(b, 0)

g

x

ϩ[a, f (a)]

y

x

[a, f (a)]

(b, 0)

b2b1 B f

ϭ Ϫ A ϭ a1 Ϫa2

a

0

f ( x)dx

a

0

g ( x)dx

a)

ϭ ϩ B ϭ b1 ϩb2

a

0

g ( x)dx

b

a

f ( x)dx

b)

C = c1 – c2

c

a g ( x)dx

b

a f ( x)dx

c)

= –

y

x

C

[a, f (a)]

(b, 0) (c, 0)

y

x

g

ϭ Ϫc

1

[a, f (a)]

(c, 0)

y

x

f c

2

[a, f (a)]

(b, 0)

Figura 19.14




La figura 19.15 es una representación gráfica de esta propiedad.

Figura 19.15 Áreaentre dos curvas.

Esta propiedad es en realidad una formalización del fundamento lógico del que nos he-mos valido antes. Por ejemplo, se utilizó al definir el área A en el ejemplo 14; de maneraanáloga, se usó en el cálculo de A en el ejemplo 15. Conviene señalar que la propiedad esválida para las funciones que se hallan debajo del eje de las x. Para dar una aplicación exa-mínese el siguiente ejemplo.

Ponga, por ejemplo, las funciones f ( x ) y g( x ) que aparecen en la figura 19.16. Suponga que se quie-re calcular el área situada entre ambas funciones en el intervalo 0 Յ x Յ 4. Al aplicar la fórmula dela superficie de un triángulo, puede calcularse el área total como la suma de las áreas del triángulosituado sobre el eje de las x y el que se encuentra debajo del eje de las x .

a b

f ( x)

A = [ f ( x) – g ( x)] dx

b

a

x

g ( x)

En la figura 19.13 determine la combinación de integrales definidas que calculen: a) el

área D y b) el área E . Respuesta: a)

c

b

f ( x) dx, b)

d

c

g( x) dx.


Área entre dos curvas

Si la función y ϭ f ( x ) se encuentra arriba de la función y ϭ g( x ) en el intervalo a Յ x

Յ b, el área entre las dos funciones situadas en el intervalo será

b

a

[ f ( x) g( x)] dx

Ejemplo 16



Otra opción consiste en aplicar la propiedad formulada en páginas anteriores, de manera que

❏

A4

0

[ x ( x)] dx

4

0

2 x dx

x 2 ]40

(4)2 (0)2

16

A 12 (4)(4) 1

2 (4)(4)8 8 16

Sección 19.2 Ejercicios de seguimientoEn los ejercicios 1 a 20: a) grafique f y b) determine el tamaño del área acotada entre f y el eje de las x en el intervalo señalado.

1. f ( x) 2 x 8, entre x 1 y x 42. f ( x) 16 2 x, entre x 2 y x 63. f ( x) x 2, entre x 2 y x 84. f ( x) 10 x 2, entre x 1 y x 15. f ( x) 3 x 3, entre x 2 y x 46. f ( x) 2 x 3, entre x 0 y x 3

f ( x) = x

g ( x) = – x

A = [ f ( x) – g ( x)] dx

4

0

–5

–5

5

5

Figura 19.16

NOTA Una sugerencia para el uso de las integrales definidas para el cálcu-lo de áreas es siempre trazar un dibujo de las funciones implica-

das. Al tener una representación gráfica de las áreas de interés sehace más fácil identificar los límites pertinentes y comprender la ló-gica requerida para definir las áreas.

7. f ( x) 8 x 2, entre x 2 y x 38 f ( ) 2 entre 2 2



21. En relación con la figura 19.17, determine las combinaciones de integrales definidas que calcu-len el área de: a) A, b) B, c) C y d ) D.

22. De acuerdo con la figura 19.18, determine las combinaciones de integrales definidas que calcu-len el área de: a) A, b) B, c) C , d ) D.

Figura 19.17

Figura 19.18

A

B D

C0

(b, 0)

(a, 0)

f

g

[c, f (c)]

x

A

B D

C

0(c, 0)

(a, 0)

f

g

h

[b, f (b)]

x

8. f ( x) x 2, entre x 2 y x 29. f ( x) 10 x 2, entre x 2 y x 3

10. f ( x) 4 x 2, entre x 5 y x 211. f ( x) e x, entre x 1 y x 312. f ( x) e x, entre x 1 y x 313. f ( x) x 2 1, entre x 0 y x 314. f ( x) 5 x 4 5, entre x 1 y x 2

15. f ( x) 40 x x 2, entre x 10 y x 2016. f ( x) 10 x x 2, entre x 5 y x 517. f ( x) xe x2, entre x 2 y x 418. f ( x) 4 xe x2, entre x 1 y x 319. f ( x) (1/ x), entre x 5 y x 1020. f ( x) (5/ x), entre x 2 y x 5

[d, f (d)]



23. A partir de la figura 19.19, determine las combinaciones de las integrales definidas que calculenel área de: a) A, b) B, c) C , d ) D, e) E y f ) F .

24. Según la figura 19.20, determine las combinaciones de las integrales definidas que calculen elárea de: a) A, b) B, c) C , d ) D, e) E , f ) F , g) G y h) H.

25. Dada f ( x ) ϭ 2 x 2 y g( x ) ϭ 27 Ϫ x 2: a) grafique las dos funciones; b) cuando x Ն 0, determine elárea acotada por las dos funciones y el eje de las y.

26. Si se tiene f ( x ) ϭ x 2 y g( x ) ϭ 64 Ϫ x 2: a) grafique las dos funciones; b) para x Ն 0, determine

el área acotada por las dos funciones y el eje de las y.27. Dadas f ( x ) ϭ 2 x y g( x ) ϭ 12 Ϫ x: a) grafique las dos funciones; b) si x Ն 0, determine el área

acotada por las dos funciones y el eje de las y.

28. Si se tienen f ( x ) ϭ 3 x ϩ 2 y g( x ) ϭ 20 Ϫ 6 x: a) grafique las dos funciones; b) con x Ն 0, deter-mine el área acotada por las dos funciones y el eje de las y.

29. Dadas f ( x ) ϭ x 2 Ϫ 10 x y g( x ) ϭ Ϫ x 2 ϩ 10 x: a) grafique las dos funciones; b) determine el áreaacotada por las dos funciones entre x ϭ 0 y x ϭ 10.

A

B D

E

F

C

0

(c, 0)(a, 0)

f

g

h

[b, f (b)]

A

B D

E

G

H

F

C0

(d, 0) ( f , 0)

f

g

h

[a, f (a)]

[ e , g ( e)]

[c, g (c)]

[b, f (b)]

Figura 19.19

Figura 19.20

30. Si se conocen f ( x ) ϭ x 2 y g( x ) ϭ 2 x ϩ 8, cuando x Ն 0 determine el área acotada en tres ladospor las dos funciones y el eje de las y



por las dos funciones y el eje de las y.31. Obtenga el área entre f ( x ) ϭ 2 x 2 Ϫ 4 x ϩ 6 y g( x ) ϭ Ϫ x 2 ϩ 2 x en el intervalo 0 Յ x Յ 2.32. Calcule el área entre f ( x ) ϭ x ϩ 2 y g( x ) ϭ 1 Ϫ 2 x en el intervalo 0 Յ x Յ 5.33. Encuentre el área entre f ( x ) ϭ x 2 Ϫ 2 x y g( x ) ϭ Ϫ x Ϫ 4 en el intervalo Ϫ1 Յ x Յ 3.34. Determine el área entre f ( x ) ϭ x 2 y g( x ) ϭ Ϫ x 2 Ϫ 2 en el intervalo Ϫ2 Յ x Յ 2.35. Calcule el área entre f ( x ) ϭ x 2 ϩ 2 y g( x ) ϭ Ϫe x en el intervalo Ϫ1 Յ x Յ 4.36. Encuentre el área entre f ( x ) ϭ 2 x 2 Ϫ 2 x ϩ 10 y g( x ) ϭ Ϫ x 2 ϩ x ϩ 4 en el intervalo 1 Յ x Յ 5.

Métodos de aproximaciónHay situaciones donde tal vez no se cuente con una regla de integración para evaluar deter-minado integrando, aun utilizando las tablas de las reglas de integración. Si se necesita eva-luar una integral definida para la función, se dispone de métodos para aproximar su valor.En la presente sección examinaremos tres métodos numéricos de aproximación que pueden

utilizarse para evaluar

Regla de los rectángulos

Si se quiere evaluar la integral definida en términos del cálculo del área debajo de una cur-

va, un método consiste en dividir el intervalo a Յ x Յ b en n subintervalos iguales, cadauno con un ancho de (b Ϫ a) /n. Si x i se define como el punto medio del intervalo i, puedeconstruirse un conjunto de n rectángulos que tengan un ancho (b Ϫ a) /n y altura iguales a f ( x i), según se observa en la figura 19.21. Para aproximar el valor de la integral definida,se suman las áreas de los n rectángulos.

Si se denota como el ancho de cada intervalo. . . ( b Ϫ a) /n. . . como ⌬ x , puede expre-sarse la regla de los rectángulos como

b

a

f ( x) dx

y

x

y ϭ f ( x)

a x1 x2 x3 xnϪ1 xn b

Figura 19.21 Reglade los rectángulos.

19.3

b

f (x) dx f (x1 ) x f (x2 ) x f (x ) x



A continuación se da un ejemplo del uso de esta regla en una función relativamente simple f ( x ) ϭ x 3.

Supóngase que se desea evaluar . Se aplicará la regla de los rectángulos, dividiendo el

intervalo en cuatro subintervalos iguales que tienen un ancho de 1. Como se ve en la figura 19.22,los valores del punto medio en los cuatro subintervalos son 0.5, 1.5, 2.5 y 3.5. Al aplicar la regla delos rectángulos, la aproximación numérica de la integral definida es

Confirme por su cuenta que el valor verdadero de la integral definida sea 64. La aproximación nu-mérica lograda mediante la regla de los rectángulos subestimó en 2 el valor real de la integral definida.

4

0

x 3 dx f (0.5)(1) f (1.5)(1) f (2.5)(1) f (3.5)(1)

(0.5)3 (1.5)3 (2.5)3 (3.5)3

0.125 3.375 15.625 42.87562.0

4

0

x 3 dx

a

f ( x) dx f ( x1 ) x f ( x2 ) x f ( xn ) x

x [ f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )]

para una n suf icientemente grande

(19.9)

Ejemplo 17

Figura 19.22 Aproximaciónnumérica utilizando la reglade los rectángulos. 0.5

150

100

50

1.5 2.5 3.51 2 3 4 5

x

f ( x)

f ( x)= x3

❏

Regla de los trapecios



Otro método de aproximación numérica para integrales definidas es la regla de los trape-

cios. Como ocurre con la regla de los rectángulos, el intervalo a Յ x Յ b se divide en n su-bintervalos del mismo ancho. Como se advierte en la figura 19.23, la aproximación consisteen sumar las áreas de n trapecios definidas por los subintervalos. Las alturas de n trapeciosestán definidas por los puntos finales de los subintervalos.

En un trapecio como el que se muestra en la figura 19.24, el área del mismo se definecomo el producto de la base del trapecio con su altura promedio, es decir,

A ϭ ⌬ x[( y1 ϩ y2)/2]*

De este modo, si se emplean las áreas de n trapecios en la figura 19.23 para aproximar laintegral definida, esta última se evalúa como

o bien

b

a

f ( x) dx [(b a)/ n][( y0 y1 )/2] [(b a)/ n][( y1 y2 )/2]

[(b a)/ n][( y2 y3 )/2]

[(b a)/ n][( yn 1 yn )/2]

Figura 19.23 Regla delos trapecios.

y

a ϭ x0

x1

x2

x3

y1 ϭ f ( x

1)

y2 ϭ f ( x

2)

y3 ϭ f ( x

3) f ( x)

ynϪ2

ϭ f ( xnϪ2

)

ynϪ1

ϭ f ( xnϪ1

)

xnϪ2

xnϪ1

xn

ϭ bx

yn ϭ f ( x

n)

y0 ϭ f ( x

0)

* Una definición más convencional establece que el área del trapecio con lados paralelos a y b, y una altura h,es igual a 1

-2 (a ϩ b)/ h.

y



(19.10)

En seguida se explicará el uso de la regla de los trapecios en la evaluación de la misma in-tegral definida del ejemplo 17.

Haciendo uso de las mismas definiciones de los subintervalos que en el ejemplo 17, los puntos fi-nales son 0, 1, 2, 3, 4. Por lo tanto, y0 ϭ f (0) ϭ 0, y1 ϭ f (1) ϭ 1, y2 ϭ f (2) ϭ 8, y3 ϭ f (3) ϭ 27 y y4 ϭ f (4) ϭ 64. Utilizando la ecuación (19.10),

Verifique que la aproximación lograda con la regla de los trapecios sobreestime en 4 el valor real dela integral definida. ❏

Regla de SimpsonEl tercer método de aproximación numérica se denomina regla de Simpson. A diferenciadel uso de rectángulos o trapecios para aproximar el valor de una integral definida, la reglade Simpson se basa en la estimación parabólica. De manera gráfica, el intervalo a Յ x Յ b

se divide en un número par de n subintervalos que son de idéntica anchura.

4

0 x 3 dx [(4 0)/2(4)][0 2(1) 2(8) 2(27) 64]

(1/2)(0 2 16 54 64)(1/2)(136)68

b

a

f ( x) dxb a

2n( y0 2 y1 2 y2 2 yn 1 yn)

para una n suficientemente grande

y2

A ϭ ⌬ x

y1

y1 ϩ y

2

2[ ]

⌬ x x

Figura 19.24 Área detrapecios.

Ejemplo 18

y



Entonces, una serie de parábolas son idóneas para graficarse, una para cada par de subin-tervalos. Esto se ilustra en la figura 19.25. ¿Recuerda que tres puntos de datos definen unafunción cuadrática de la forma f ( x ) ϭ ax 2 ϩ bx ϩ c? Con la regla de Simpson, una pará-bola se ajusta a los puntos de datos ( x 0, y0), ( x 1, y1) y ( x 2, y2) en los dos primeros subinter-

valos y otra se ajusta a los tres puntos de datos ( x 2, y2) ( x 3, y3) y ( x 4, y4) en los segundosdos subintervalos de la figura 19.25. Estas parábolas sirven para aproximar la función f ( x )en el intervalo a Յ x Յ b. El área bajo f ( x ) en este intervalo se aproxima entonces hallan-do las áreas bajo las dos parábolas.

Dado el caso donde x 1 Ϫ x 0 ϭ x 2 Ϫ x 1, existe una fórmula con la cual determinar elárea bajo una parábola que pasa por ( x 0, y0), ( x 1, y1) y ( x 2, y2). La fórmula no requiere laobtención de la función cuadrática que pase por dichos puntos. Si x 1 Ϫ x 0 ϭ x 2 Ϫ x 1 ϭ w,entonces

Con el fin de aproximar la integral definida, w ϭ (b – a) /n. De esta manera, si f ( x ) escontinua en el intervalo a Յ x Յ b y el número de subintervalos n es par,

o bien

b

a

f ( x) dxb a

3n

( y0 4 y1 y2 )b a

3n

( y2 4 y3 y4 )

b a

3n( yn 2 4 yn 1 yn )

(ax 2 bx c) dxw

3( y0 4 y1 y2 )

x x = a10

x2

x3

x = b4

4

2

2

f ( x)

1

4

f ( x) f ( x)

( x , y )

33( x , y )

22( x , y )

11( x , y )

00( x , y )

x

Figura 19.25 Aproximaciónparabólica de f ( x ) utilizando f 1 y f 2.

b

f ( x) dxb a

3n( y0 4 y1 2 y2 4 y3 2 y4



(19.11)

Nos serviremos de la regla de Simpson para aproximar la integral definida en los dos últimos ejemplos.Dado que los subintervalos se definen como iguales, ( x 0, y0) ϭ (0, 0), ( x 1, y1) ϭ (1, 1), ( x 2, y2) ϭ (2, 8),( x 3, y3) ϭ (3, 27) y ( x 4, y4) ϭ (4, 64). Con a ϭ 0 y b ϭ 4, la integral definida se estima así

que es precisamente el valor de

En términos generales, se espera que la regla de Simpson sea más exacta que la de los rectán-

gulos o la de los trapecios en la obtención de determinado valor de n.

A continuación se explicará el empleo de estas aproximaciones en un caso en que no se cuente conun método para calcular la integral indefinida. Supóngase que se desea evaluar

Esta integral definida se aproxima recurriendo a tres métodos y subdividiendo en cuatro subinterva-los que tengan un ancho de 0.5. La figura 19.26 contiene la definición de los puntos finales de los in-tervalos, lo mismo que los puntos intermedios.

2

0

1

x 2 1dx

4

0

x 3 dx.

4

0

x 3 dx4 0

3(4)[0 4(1) 2(8) 4(27) 64]

1

3(192)

64

a 3n

2 yn 2 4 yn 1 yn )

para n seleccionada suficientemente grande (n par).

Ejemplo 19

Ejemplo 20

Figura 19.26 Puntosextremos y puntos mediosde subintervalos.

x0 0.5

0.25 0.75 1.25 1.75

1.0 1.5 2.0 Puntos extremos del subintervalo

Puntos medios del subintervalo

Regla de los rectángulos

Al aplicar la ecuación (19.9),

2

0

1

x 2 1dx (0.5)[ f (0.25) f (0.75) f (1.25) f (1.75)]



En los siguientes ejercicios: a) evalúe la integral definida aplicando la regla de los trapecios (n ϭ 4),b) evalúe el valor exacto mediante las reglas explícitas de integración y c) calcule el error de la aproxi-

ió



mación.

11.

5

1

(5 x 2) dx 12.

6

2

(20 4 x) dx

13.

3

1

(4 x 2 x) dx 14.

5

3

(2 x 3 x 2 ) dx

15.

4

0

2 e x dx 16.

5

1

e x dx

17.

4

0

(8 x)(4 x 2 5)3 dx 18.

4

0

(3 x 2 )( x 3 5)3 dx

19.

2

0

2 xe x2 dx 20.

2

0

xe 2 x2 dx

31.

2

0

10 dx 32.

4

0

5 dx

33.

6

2

( x 2 5) dx 34.

8

4

(10 x x 2 ) dx

35.

2

0

4 x 3 dx 36.

4

2

8 x 3 dx

37.

6

4

10 e x dx 38.

4

2

5 e x dx

39.

4

0

4 x 3( x 4 1)3 dx 40.

2

0

6 x 2( x 3 6)4 dx

21.

2

0

(5 x 8) dx 22.

4

0

(4 2 x) dx

23.

5

1

(4 x 2 5 x) dx 24.

6

2

( x 3 10) dx

25.

2

0

(5 x 4 x) dx 26.

4

2

(2 x x 3 ) dx

27.

4

0

5 e x dx 28.

8

4

4 e x dx

29.

6

4

6 x 2( x 3 1)3 dx 30.

4

2

4 x( x 2 3)3 dx

En los siguientes ejercicios: a) evalúe la integral definida mediante la regla de Simpson (se subdivi-de en cuatro intervalos), b) evalúe el valor exacto con las reglas explícitas de integración y c) calculeel error de la aproximación.

En los siguientes ejercicios: a) evalúe el valor de la integral definida con las reglas explícitas de in-tegración; b) aproxime la integral definida mediante la regla de los rectángulos, la regla de los trape-cios y la regla de Simpson (con subdivisión en cuatro intervalos), y c) determine el método deaproximación más preciso.

En los siguientes ejercicios, la integral definida no puede evaluarse con las reglas de integración.Aproxime dicha integral haciendo uso de los tres métodos de aproximación (con n ϭ 4).



41.

2

0

4

2 x 2 1dx 42.

4

0

10

x 2 4dx

43.

4

0

2

x 3 1dx 44.

2

0

x

x 3 2dx

45.

6

2

11 e x

dx 46.

4

0

52 e x

dx

47.

2

0

√2 x 3 dx 48.

4

0

√10 x 3 dx

Aplicaciones del cálculo integralLos siguientes ejemplos son aplicaciones del cálculo integral.

(Ingreso) En el capítulo 18 se analizó cómo obtener la función de ingreso total integrando la funciónde ingreso marginal. A manera de simple ampliación de ese concepto, supóngase que el precio de unproducto es constante a un valor de $10 por unidad, esto es, la función de ingreso marginal es

donde x es el número de unidades vendidas. El ingreso total conseguido con la venta de x unidadespuede determinarse al integrar la función de ingreso marginal entre 0 y x. Por ejemplo, el ingreso totallogrado con la venta de 1 500 unidades se calcularía como

Se trata de un procedimiento bastante complejo para el cálculo del ingreso total, puesto que bastaríahaber multiplicado el precio por la cantidad vendida para haber conseguido así el mismo resultado.No obstante, el procedimiento ejemplifica la manera de interpretar como ingreso total o incrementalel área debajo de la función del ingreso marginal (fig. 19.27). El ingreso adicional relacionado con unincremento de 1 500 a 1 800 unidades en las ventas se calculará así

(Gastos de mantenimiento) Un fabricante de automóviles estima que la tasa anual de gastos r (t ) paradar mantenimiento a uno de sus modelos está representada por la función

1800

150010 dx 10 x

1800

1500

$18000 Ϫ $15000$3000

1500

0

10 dx 10 x1500

0

10(1500)

$15000

MR f ( x)10

19.4

Ejemplo 21

Ejemplo 22

P



donde t es la edad del automóvil expresada en años y r (t ) se mide en dólares por año. Esta función indi-ca que cuando el automóvil tenga un año de uso, los gastos de mantenimiento se harán a una tasa de

Cuando tenga tres años de uso, estarán realizándose a una tasa de

Como cabe suponer, cuanto más viejo sea el automóvil, más mantenimiento requerirá. La figura 19.28ilustra la gráfica de la tasa de la función de costos.

r(3) 100 10(3)2

$190 por año

r(1) 100 10(1)2

$110 por año

r(t) 100 10t 2

MR ϭ f ( x) ϭ 10

P r e c i o , e n d ó l a r e s

Unidades vendidas

Ingreso total

15

10

5

500 1 000 1 500 2 000 2 500

5 10

500

1000

T a s a d e g a s t o s d e m a n t e n i m i e n t o ,

e n d ó l a r e s p o r a ñ o

Antigüedad del automóvil, por año

r(t) ϭ 100 ϩ 10 t2

r(t)

t

Figura 19.27

Figura 19.28 Tasa de lafunción de gasto.

El área bajo esta curva entre dos valores cualesquiera de t es una medida del costo esperado

de mantenimiento durante ese intervalo. Los gastos esperados de mantenimiento durante los prime-ros cinco años de vida del automóvil se calculan como sigue

5

0

(100 10t 2 ) dt 100t10t 3

3

5

0

10(5)3



De estos gastos, los que se espera hacer durante el quinto año se estiman como

(Recaudación de fondos) Una organización cívica estatal está efectuando su campaña anual de fon-dos que se destinan a un programa de campamento de verano para minusválidos. Los gastos de lacampaña se realizarán a una tasa de $10 000 diarios. Por experiencias anteriores se sabe que las apor-taciones serán altas en las primeras fases de la campaña y tenderán a disminuir con el paso del tiem-po. La función que describe la tasa a que se reciben los donativos es

c(t) ϭ Ϫ100t2 ϩ 20 000

donde t representa el día de la campaña y c(t ) es igual a la tasa a la que se reciben las contribucio-

nes, medidas en dólares por día. La organización desea maximizar las utilidades netas de la campaña.a) Determine cuánto debería durar la campaña a fin de maximizar las utilidades netas.b) ¿Cuáles se espera que sean los gastos totales de la campaña?c) ¿Cuáles se espera que sean las aportaciones totales?d ) ¿Cuáles se espera que sean las utilidades netas (aportaciones totales menos los gastos totales)?

SOLUCIÓN

a) La función que describe la tasa a que se realizan los gastos e(t ) es

e(t) ϭ 10 000

La figura 19.29 muestra las dos funciones. Cuanto más exceda la tasa a la que se hacen los donativosa la de los gastos de campaña, las utilidades netas serán positivas. Consulte la figura 19.29. Las uti-lidades netas serán positivas hasta que las gráficas de las dos funciones se intersequen. Más allá deeste punto, la tasa de gastos excede la tasa de las aportaciones. Es decir, los donativos se recibirán auna tasa de menos de $10 000 por día.

Las gráficas de las dos funciones se intersecan cuando

c(t) ϭ e(t)

o cuando Ϫ100t2 ϩ 20 000 ϭ 10 000

5

4

(100 10t 2 ) dt 100t10t 3

3

5

4

100(5)10(5)3

3100(4)

10(4)3

3

916.67 (400 213.33)$303.34

100(5)10(5)3

3500 416.67 $916.67

Ejemplo 23

25000



(Raíz negativa sin sentido.)b) Los gastos totales de la campaña están representados por el área bajo e entre t ϭ 0 y t ϭ 10. Es-

to podría obtenerse al integrar e entre estos límites o, más simple, multiplicando:

E ϭ ($10 000 por día)(10 días)ϭ $100 000

c) Las aportaciones totales durante 10 días están representadas por el área bajo c entre t ϭ 0 yt ϭ 10, o

d ) Las utilidades netas serán, según las previsiones,

C E $166666.67 $100000$66666.67

C10

0

( 100t 2 20000) dt

100t 3

320000t

10

0

100(10)3

320000(10)

33 333.33 200000 $166666.67

100t2 10000

t2 100

t 10 días

c (t) = –100t ϩ 20 000 (tasa de contribución)

e(t) ϭ 10 000 (tasa de gasto)

5000

10000

15000

20000

155 10

D ó l a r e s p o r d í a

Día de campaña

t

2

A

Figura 19.29 Contribucionespara el aumento derecaudación de fondosy funciones de gasto.

(Administración del banco de sangre; escenario de motivación) El banco de sangre de un hospitalrealiza una campaña de donación de sangre para reponer su inventario. El hospital estima que sedonará sangre a una tasa de d (t ) pintas por día, donde

Ejemplo 24



d(t) ϭ 500 eϪ0.4t

y t indica la duración de la campaña de sangre en días . Si la meta de la campaña es obtener 1 000

pintas, ¿cuándo habrá alcanzado esa meta el hospital?

SOLUCIÓN

En este problema, el área entre la gráfica de d y el eje de las t representa los donativos totales de san-gre, en pintas. A diferencia de las aplicaciones anteriores, el área deseada ya se conoce; la incógnitaes el límite superior de integración, como se observa en la figura 19.30. El hospital alcanzará su metacuando

Al reescribir el integrado

o bien

Al evaluar la integral definida y resolviendo para t*,

t*

0

1 250( 0.4) e 0.4t dt 1000

1250

t*

0 0.4 e0.4t

dt 1000

t*

0

500 e 0.4t dt 1000

500

T a s a d e d o n a c i o n e s d e s a n g r e , e n p i n t a s p o

r d í a

Duración de la campaña de donación de sangre, en días

d(t)

d(t) ϭ 500 eϪ0.4t

t

t* ϭ ?

A ϭ 1000

Figura 19.30 Determinación dellímite superior de integración.

1250[ e 0.4t]0t* 1000

1250[ e 0.4t* e

0.4(0)] 1000



Si se toma el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación (usando la tabla 2),

o

Así pues, el hospital alcanzará su meta en cuatro días, aproximadamente.

(Energía nuclear) Una compañía eléctrica ha propuesto construir una planta de energía nuclear enlas afueras de una gran área metropolitana. Como cabe suponer, la opinión pública está dividida al

respecto y se han suscitado acaloradas discusiones. Un grupo que se opone a la construcción de laplanta ha ofrecido algunos datos discutibles sobre las consecuencias de un accidente catastrófico quepudiera ocurrir en la planta. Este grupo estima que la tasa a la que se producirían las muertes en lazona metropolitana por precipitación radiactiva se describe con la función

r(t) ϭ 200 000 eϪ0.1t

donde r (t ) representa la tasa de fallecimientos por día, y t representa el tiempo transcurrido desde el

accidente, medido en días. ( Nota: ¡Aunque la controversia en este ejemplo es muy real, los datos son

ficticios!) La población del área metropolitana es de 1.5 millones de personas.a) Determine el número esperado de muertes un día después de un gran accidente.b) ¿Cuánto tardarán todos los habitantes de esa zona en sucumbir ante los efectos de la radiactivi-

dad?

SOLUCIÓN

a) La figura 19.31 ofrece una gráfica de r . El área debajo de esta función entre dos puntos cuales-quiera t 1 y t 2 es una medida del número esperado de fallecimientos durante ese intervalo de tiempo.

Así pues, el número de muertes esperadas en el primer día se calcularía como

1

0

200000 e 0.1t dt1

0

2 000 000( 0.1) e 0.1t dt

20000001

0

( 0.1) e 0.1t dt

0.4t* 1.6094

t* 1.60940.4

t* 4.0235

1250[ e 0.4t* 1] 1000

1250 e0.4t* 1250 1000

1250 e0.4t* 250

e0.4t*

250

1250

e0.4t* 0.2

Ejemplo 25

r(t)

250000r a



b) Por terrible que parezca, la población entera sucumbiría al cabo de t* días, donde

o cuando

Despejando t * se obtiene

Si se calcula el logaritmo natural (tabla 2) en ambos lados de la ecuación,

Ϫ0.1t* ϭ Ϫ1.3863o bien t* ϭ 13.863 días

(Superávit del consumidor) Una manera de medir el valor o utilidad que un producto tiene para elconsumidor es el precio que está dispuesto a pagar por él. Los economistas sostienen que los consu-midores en realidad reciben un valor de superávit en los productos que adquieren, atendiendo al modode funcionar el mercado.

2000000 e0.1t*

2 000 000 1 500 000

2000000 e 0.1t* 500000

e 0.1t* 0.25

t*

0

200000 e 0.1t dt 1500000

2000000 e 0.1t

t*

0

1500000

2000000 e0.1t

1

0

2000000 e 0.1 2000000 e 0

2000000( e 0.1 e 0 )2000000(0.9048 1)2 000 000( 0.0952) 190 400 personas

200000

150000

100000

50000 M

u e r t e s p o r h o r

Horas transcurridas

t

r(t) = 200000 e –0.1t

5 10 15 20 25Figura 19.31 Tasa demortalidad.

Ejemplo 26

q

400



La figura 19.32 describe las funciones de oferta y demanda para un producto. El equilibrio se dacuando se cobra un precio de $10 y la demanda es de 100 unidades. Si se emplean dólares para repre-sentar el valor que este producto tiene para los consumidores, según las prácticas contables modernasel ingreso total ($10 и 100 unidades ϭ $1 000) es una medida del valor económico del producto. Estamedida de valor está representada por el área del rectángulo ABCE .

Sin embargo, si se tiene presente la naturaleza de la función de demanda, habría habido unademanda del producto a precios mayores que $10. En otras palabras, habría habido consumidoresdispuestos a pagar casi $20 por el producto. Y otros habrían sido atraídos al mercado con precios que

oscilen entre $10 y $20. Si se supone que el precio que estarían dispuestos a pagar es una medida dela utilidad que el producto tiene para ellos, en realidad recibirán un bono cuando el precio de mercadosea $10. Consulte de nuevo la figura 19.32. Los economistas afirmarían que una medida de la utilidadreal del producto es el área ABCDE . Y cuando el mercado está en equilibrio, la utilidad adicionalrecibida por los consumidores, denominada el superávit del consumidor , se representa con el áreasombreada CDE . Esta área se puede calcular como

Nuestros métodos contables modernos valuarían la utilidad del producto en $1 000. Los economistasafirmarían que la utilidad real es de $1 333.34, o sea que el superávit del consumidor es de $333.34.

Esta medida de utilidad adicional, o bono, se aplica en particular a los consumidores que estaríandispuestos a pagar más de $10.

(Volumen de un sólido de revolución) Considere la función f en la figura 19.33. Si el medio planoacotado por f , el eje de las x y las líneas x ϭ a y x ϭ b se gira en torno al eje de las x una revolucióncompleta, se formará una superficie de revolución.

20

10

( p 2 40 p 400) dpp3

320 p2 400 p

20

10

(20)3

320(20)2 400(20)

(10)3

320(10)2 400(10)

2 666.67 2 333.33 $333.34

A p

B C

E D

400

300

200

100

5 10 15 20 25

(10, 100)

qd ϭ p2 Ϫ 40 p ϩ 400

Superávit del consumidor

q s ϭ 10 p

Figura 19.32 Superávitdel consumidor.

Ejemplo 27

f ( x)



Cada punto de f describe una trayectoria circular. La trayectoria compuesta de todos los puntos f en el intervalo a Յ x Յ b es la superficie de revolución que se muestra en la figura 19.34.

A la superficie de revolución corresponde un sólido de revolución. Éste es el volumen que des-

cribe el plano a medida que la gráfica de f es girada alrededor del eje de las x . Supóngase que se de-sea obtener el volumen del sólido de revolución. Podría estimarse el volumen formando un sólidoaproximado de revolución integrado por cilindros circulares rectos como los que se observan en la fi-gura 19.35. En esta figura, el intervalo a Յ x Յ b ha sido subdividido en subintervalos iguales de an-cho ⌬ x . La altura de cada cilindro recto es ⌬ x . Y su radio es f ( x i), donde x i es el valor izquierdo de x

para el subintervalo i.Como se aprecia en la figura 19.36, el volumen del cilindro derecho que tiene un radio r y una

altura h es

V ϭ r2h

donde (pi) ϭ 3.14. . . . Para cada cilindro recto de la figura 19.35, el volumen será

V i ϭ [ f ( xi)]2 ⌬ x

x

f

a bFigura 19.33

f ( x)

x

f

a b

Figura 19.34 Superficiede revolución.

f ( x)

fx



Si el intervalo a Յ x Յ b se ha subdividido en n subintervalos iguales, el volumen estimadodel sólido de revolución es

La estimación será más exacta a medida que el intervalo a Յ x Յ b se subdivide en un núme-ro mayor de subintervalos, aproximándose ⌬ x a 0.

V n

i 1

V i

n

i 1

[ f ( xi )]2 x

f ( x )

x

f

a b x

i

x

i

Figura 19.35

r

h

Volumen = r h2

Figura 19.36 Cilindro

circular de altura h yradio r .

Definición: Volumen de un sólido de revoluciónEn una función f que es continua en un intervalo a Յ x Յ b, el volumen del sólido de revolu-ción generado a medida que la función se gira una revolución alrededor del eje de las x se de-fine con

V límné

n

i 1

[ f ( xi )]2 x

f ( x)

5



Cuando existe el límite, puede probarse que

(19.12)

Dada la función f ( x ) ϭ x , suponga que se desea calcular el volumen del sólido de revolución

generado a medida que la gráfica de f , entre x ϭ 0 y x ϭ 3, se gira alrededor del eje de las x . Estesólido de revolución se ilustra en la figura 19.37. El volumen es

❑

Sección 19.4 Ejercicios de seguimiento

1. La función del ingreso marginal del producto de una firma es

MR ϭ Ϫ0.04 x ϩ 10

donde x es el número de unidades vendidas.a) Determine el ingreso total conseguido con la venta de 200 unidades del producto.b) ¿Cuál es el ingreso agregado que se logra con un incremento de 100 a 200 unidades en la

venta?

V 3

0

( x)2 dx

( x)3

3

3

0

(3)3

3

(0)3

3928.26 unidades cúbicas

V b

a

[ f ( x)]2 dx

f ( x) = x

x

3 5

Figura 19.37

2. Un fabricante de motores de aviones de propulsión estima que la tasa a la que se hacen los cos-tos de mantenimiento de los motores es una función de las horas de operación. En el caso de unmotor empleado en un avión comercial, la función es



r( x) ϭ 60 ϩ 0.040 x2

donde x es el número de horas de operación y r ( x ) indica la tasa a la que se efectúan los costosde reparación (en dólares) por hora de operación.a) Determine la tasa a la que estarán efectuándose los costos al cabo de 100 horas de operación.b) ¿Cuáles se espera que sean los costos de mantenimiento durante las primeras 100 horas de

operación?3. Una compañía que está especializándose en las ventas por correo emprende una campaña

promocional. Los gastos de publicidad le costarán $5 950 por día. Los especialistas enmercadotecnia estiman que la tasa a la que se generarán las utilidades (sin contar los costosde publicidad) con la campaña promocional disminuye con la duración de esta última. Enconcreto, la tasa r (t ) de esta campaña se estima mediante la función

r(t) ϭ Ϫ50t2 ϩ 10 000

donde t representa el día de la campaña y r (t ) se mide en dólares por día. Con objeto de maxi-mizar la utilidad neta, la empresa debería realizar la campaña mientras r (t ) sea mayor que el cos-to diario de la publicidad.a) Grafique la función r (t ) y la función c(t ) ϭ 5 950, que describe la tasa a que se hacen los gas-

tos de publicidad.

b) ¿Cuánto tiempo debería durar la campaña?c) ¿Cuáles se espera que sean los gastos de publicidad totales de la campaña?d ) ¿Cuál se espera que sea la utilidad neta?

4. Vuelva a resolver el ejemplo 23, suponiendo que los gastos de la campaña se hayan realizado auna tasa de $5 000 diarios y que

c(t) ϭ Ϫ10t2 ϩ 9 000

5. Resuelva otra vez el ejemplo 25, suponiendo que r (t ) ϭ 200 000eϪ0.05t .6. Resuelva de nuevo el ejemplo 25, suponiendo que la población sea 800 000 y r (t ) ϭ

100 000eϪ0.1t .7. Al lector se le da la función de demanda

qd ϭ p2 Ϫ 30 p ϩ 200

y la función de oferta

q s ϭ 5 p

donde p se expresa en dólares, qd y qs se dan en unidades y 0 Յ p Յ 9.a) Grafique las dos funciones.b) Determine la cantidad y el precio de equilibrio.c) Calcule el valor del superávit del consumidor si el mercado está en equilibrio.

8. Conservación de la energía Una pequeña empresa estudia la compra de un aparato de ahorrode energía que reducirá el consumo de combustible. El aparato costará $32 000. El departamen-to de ingeniería estima que los ahorros logrados se realizarán a la tasa de s(t ) dólares por año,donde



s(t) ϭ 20 000e–05t

Y t denota el tiempo medido en años. Determine cuánto tardará la empresa en recuperar el cos-

to del aparato (es decir, cuándo los ahorros acumulados de combustible equivaldrán al costo decompra).9. Administración del banco de sangre El banco de sangre de un hospital lleva a cabo una cam-

paña anual de donación de sangre con el propósito de reponer sus existencias. El hospital esti-ma que la sangre será donada a una tasa de d (t ) pintas por día, donde

d(t) ϭ 300 e–0.1t

y t es la duración de la sangre (en días) de la campaña. Si la meta es reunir 2 000 pintas, ¿cuán-

do la habrá alcanzado el hospital?10. Administración de bosques La demanda de madera forestal comercial ha ido creciendo rápi-

damente en las últimas tres o cuatro décadas. He aquí la función que describe la tasa de la de-manda de madera

d(t) ϭ 20 ϩ 0.003t2

donde d (t ) se expresa en miles de millones de pies cúbicos por año y t es el tiempo en años(t ϭ 0 corresponde al 1 de enero de 1990).

a) Determine la tasa de demanda al inicio de 1995.b) Determine la tasa de demanda al inicio del año 2010.c) Determine la demanda total de la madera durante el periodo comprendido desde 1990 hasta

2009. [Sugerencia: Integre d (t ) entre t ϭ 0 y t ϭ 20.]11. Administración de desechos sólidos La tasa w(t ) en que los desechos sólidos se generan en

una ciudad de Estados Unidos se describe por la función

w(t) ϭ 0.5 e0.025t

donde w(t )se expresa en miles de millones de toneladas por año y t el tiempo medido en años(t ϭ 0 corresponde al 1 de enero de 1990).a) Determine la tasa en que se espera que los desechos sólidos se generen a principios del año

2000.b) ¿Qué tonelaje total se espera que se genere durante el periodo del año 20 desde 1990 hasta

2009?12. Control de epidemias Un centro de investigación de la salud se especializa en el estudio de las

epidemias. Estima que para un tipo particular de epidemia que sucede en una región de la ciu-

dad, la tasa en que nuevas personas fueron afectadas se describe por la funciónr(t) ϭ 50 e0.25t – 40

donde r (t ) son los nuevos afectados, medida en personas por día, y t es el tiempo desde el co-mienzo de la epidemia, medida en días. a) ¿Cuántas personas fueron afectadas durante los pri-meros 10 días? b) ¿Durante los primeros 20 días?

13. Curvas de aprendizaje Las personas en la industria manufacturera han observado en muchasocasiones que los empleados asignados a un nuevo trabajo o prueba resultaron más eficientesconforme a la experiencia. Esto es, a medida que el empleado repite la prueba se vuelve más afíncon las operaciones, movimientos y equipos requeridos para ejecutar el trabajo. Algunas com-



pañías tienen suficientes experiencias con entrenamiento de trabajo que pueden proyectar quétan rápido un empleado aprenderá un trabajo. Muy seguido una curva de aprendizaje puedeconstruirse estimando la rapidez con que se realiza un trabajo en función de las veces que la ha

ejecutado un empleado.La curva de aprendizaje de un trabajo en particular ha sido definida en los siguientes términos

donde h( x ) denota la tasa de producción medida en horas por unidad y x la unidad producida.a) Determine la tasa de producción h( x ) en el tiempo de la décima unidad ( x ϭ 10).b) La integración de la curva de aprendizaje en un intervalo especificado ofrece una estimación

del número total de horas de producción requeridas en el nivel correspondiente de produc-

ción. Determine el número total de horas que, según se espera, se tardará en producir las pri-meras 20 unidades al integrar h( x ) entre x ϭ 1 y x ϭ 20.

c) Grafique h.d ) ¿Hay un límite que indique la eficiencia que alcanzará un empleado en este trabajo?

14. Superávit del productor El ejemplo 26 explica el concepto de superávit de consumidores, elcual representa lo que en opinión de los economistas constituye una medida de la utilidad adi-cional que reciben los consumidores cuando el mercado está en equilibrio. Los economistas se-ñalan, asimismo, que los productores obtienen un bono o utilidad agregada cuando el mercado

está en equilibrio. La figura 19.38 repite las funciones de oferta y demanda incluidas en el ejem-plo 26.

Si el lector se centra en la función de oferta qs, ésta le indicará que algunos proveedores es-

tarían dispuestos a ofrecer unidades a precios menores que el precio de equilibrio: $10. Cuandoel precio del mercado es $10, ganarían más de lo que habrían ganado en caso contrario. Si cadauno vende al precio al que está dispuesto a hacerlo, el ingreso total lo representaría el área ABC .

h( x)20

x4, x 0

q

q = 10 p

400

300

200

100

p

5 10 15 20 25 A

BC

D

s

q = p – 40 p + 400d2

(10, 100)

Superávitdel productor

Figura 19.38

Dado que el ingreso total en estado de equilibrio está representado por ABCD, el área sombrea-da denota una medida del valor agregado de los proveedores. A ese valor se le da el nombre desuperávit del productor .a) Determine el superávit del productor en el ejemplo 26.b) C l l l á it d l d t l f i d it l j i i 7



b) Calcule el superávit del productor para las funciones descritas en el ejercicio 7.15. En la función f ( x ) ϭ Ϫ x 2 ϩ 9, encuentre el volumen del sólido de revolución entre x ϭ 0 y x ϭ 3

si f se gira alrededor del eje de las x .16. En la función f ( x ) ϭ Ϫ x Ϫ 2, calcule el volumen del sólido de revolución entre x ϭ Ϫ2 y x ϭ 5

si f se gira alrededor del eje de las x .

Cálculo integral y probabilidad (opcional)Una función matemática que determina la probabilidad de cada posible resultado de unexperimento recibe el nombre de función de densidad de probabilidad ( probability density

function, pdf). En comparación con las distribuciones de probabilidad que muestran cadaresultado y su probabilidad, estas funciones pueden ser concebidas como las funciones

matemáticas con las que se calcula la probabilidad. Si x es una variable aleatoria continua,su función de densidad f habrá de satisfacer dos condiciones

1. f ( x ) Ն 0 para toda x, y

2. el área bajo la gráfica de f es igual a 1.

La primera condición prohíbe las probabilidades negativas de cualquier evento y la segundagarantiza que los eventos sean mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

La probabilidad de que una variable aleatoria x adopte un valor en el intervalo com-

prendido entre a y b, donde a Ͻ b, es el área bajo la función de densidad entre x ϭ a y x ϭ b.Al aplicar la integral definida, la probabilidad de que x asuma un valor entre x ϭ a y x ϭ b

es igual a

Desde el punto de vista técnico, si quisiéramos determinar la probabilidad de que unavariable x normalmente distribuida, con una media m y una desviación estándar s , adopte unvalor comprendido entre x ϭ a y x ϭ b, a Ͻ b, podría obtenerse la probabilidad mediante laintegración de la función de densidad, o

Por fortuna, la conversión equivalente a la distribución normal estándar y la existencia detablas, como la 14.25, hacen innecesario efectuar lo que parece ser una integración com-pleja.

Considere la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria x

P(a x b)b

a

1

√2 e 1/2[( x )/ ]2 dx

P(a x b)b

a

f ( x) dx

b

a

f ( x ) dx , o

19.5

Ejemplo 28

Determine la probabilidad de que x adopte un valor entre 2 y 5.

f ( x)2 x

300 x 6



SOLUCIÓN

La función de densidad y el área de interés se dan en la figura 19.39. La probabilidad se calculacomo

P (2 x 5)5

2

2 x

30dx

x

15

x 2

60

5

2

5

15

52

60

2

15

22

60

5

15

25

60

2

15

4

60

20 25 8 4

60

33

60 0.55

f(x)ϭ2 ϩ x

300 Յ x Յ 6,

f(x)

x

1

0.30

0.250.20

0.15

0.10

0.05

2 3 4 5 6

Figura 19.39 Función dedensidad de probabilidad.

Se aplica un examen de tres horas de duración a todos los candidatos a vendedores en una cadenanacional minorista. Se ha descubierto que el tiempo x en horas necesario para efectuar el examen esaleatorio y tiene una función de densidad

Determine la probabilidad de que alguien termine la prueba en una hora o en menos tiempo.

SOLUCIÓN

En la figura 19.40 se dan la función de densidad y el área de interés. La probabilidad se calculacomo

f ( x)x 2 10 x

360 x 3

Ejemplo 29

P(0 x 1)1

0

x 2 10 x

36dx

x 3

108

10 x 2

72

1

0



❑

0

(1)3

108

10(1)2

72

1

108

10

720.009 0.139 0.13

f ( x)

f ( x) ϭ0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

1 2 3

x

Ϫ x 2 ϩ10 x

360 Յ x Յ 3,

Figura 19.40 Función dedensidad de probabilidad.

Sección 19.5 Ejercicios de seguimiento

1. He aquí la función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua x

¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria adopte un valor mayor que 3? ¿Y menorque 2?

2. La función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua x es

Calcule la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor mayor que 2. Menor que 1.

3. La función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua x es

Determine la probabilidad de que la variable aleatoria continua adopte un valor entre 2 y 4.

f ( x)1 2 x

362 x 6

f ( x)x 2 10 x 25

390 x 3

f ( x)5 x

4.52 x 5

❑ TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE

función de densidad de probabilidad957

integral definida 915

regla de los rectángulos 940regla de los trapecios 941regla de Simpson 938



glímites (superior e inferior) de

integración 915

g pteorema fundamental del cálculo

integral 916

❑ FÓRMULAS IMPORTANTES b

a

f ( x) dx F ( b) F ( a)

b

a

f ( x) dx a

b

f ( x) dx

a

a

f ( x) dx 0

b

a

f ( x) dx c

b

f ( x) dx c

a

f ( x) dx

b

a

cf ( x) dx c b

a

f ( x) dx

b

a

[ f ( x) g( x)] dx b

a

f ( x) dx b

a

g( x) dx

b

a

f ( x) dx x [ f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x n

)]

b

a

f ( x) dxb a

3n( y0 4 y

1 2 y2 4 y

3 2 y4

2 yn 2 4 y

n 1yn ), n par

b

a

f ( x) dx b a

2 n( y

02 y

12 y

22 y

n 1 y

n)

Regla de los rectángulos (19.9)

Regla de Simpson (19.11)

Regla de los trapecios (19.10)

(19.3)

(19.4)

(19.5)

(19.6)

(19.7)

(19.8)



SECCIÓN 19.2

En los ejercicios 31 a 36: a) grafique f y b) determine el tamaño del área entre f y el eje de las x en el intervalo señalado.



31. f ( x) 5 2 x, entre x 3 y x 5

32. f ( x) e2 x, entre x 0 y x 2.5

33. f ( x) x2

, entre x 2 y x 4

34. f ( x) ln( x), entre x 4 y x 8

35. f ( x) e x, entre x 1 y x 4

36. f ( x) 4 x 3, entre x 2 y x 4

37. En f ( x ) ϭ x 2 ϩ 4 y g( x ) ϭ x ϩ 6, cuando x Ն 0, calcule el tamaño del área acotada en lostres lados por las dos funciones y por el eje de las y.

38. En f ( x ) ϭ x 2 y g( x ) ϭ Ϫ x 2 ϩ 8, determine el tamaño del área finita que está acotada por las

dos funciones (ayudaría mucho hacer una gráfica).39. En f ( x ) ϭ 10 Ϫ x 2 y g( x ) ϭ x 2 Ϫ 22, si x Ն 0, determine el tamaño del área acotada en los

tres lados por las dos funciones y por el eje de las y.40. En f ( x ) ϭ 18 Ϫ x y g( x ) ϭ 3 x ϩ 2, determine el tamaño del área acotada en los tres lados

por las dos funciones y por el eje de las y.41. En las funciones de la figura 19.41, obtenga las combinaciones de las integrales defini-

das que se necesitan para determinar el tamaño de: a) A, b) B, c) C , d ) D, e) E , f ) F , g)G y h) H .

42.

En las funciones de la figura 19.42, obtenga las combinaciones de las integrales definidasque se requieren para calcular el tamaño de: a) A, b) B, c) C , d ) D, e) E , f ) F y g) G.

x

A

B D

E

F G

H

C

[a, 0] [c, 0]

[d, 0]

[ f , 0] [h, 0]

[b, f (b)]

[ e , g ( e)]

[ g, h( g)] [i, h(i)]

f ( x) g ( x)

h( x)

Figura 19.41

C

u( x)



SECCIÓN 19.3

En los siguientes ejercicios: a) evalúe la integral definida mediante las reglas explícitas de inte-gración; b) aproxime la integral definida con la regla de los rectángulos, de los trapecios y deSimpson (subdividiendo en cuatro intervalos), y c) determine el método de aproximación másexacto.

x

A

B

D

E F

G

(a, 0)

(c, 0)

(d, 0)

(b, 0)

[ e , v( e )]

v( x)

w ( x)

Figura 19.42

43.

6

2

( x 3 6 x 2 4 x) dx 44.

8

0

(8 x 2 6 x 2 ) dx

45.

2

0

(10 3 x 2 ) dx 46.

4

0

(5 2 x 3 x 2 ) dx

47.

4

2

6 xe x2 1 dx 48.

4

0

4 xe 2 x2 dx

49.

6

2

(4 x 12 x 2 )( x 2 2 x 3 )4 dx 50.

10

2

3 x 2( x 3 1)3 dx

51.

3

1

(8 x 3 6 x 2 ) dx 52.

5

1

(2 x 6 x 2 4 x 3 ) dx

53.

8

0

x 2 dx, regla de los rectángulos 54.

4

0

x3 dx, regla de los rectángulos

55.

4

0

(3 x 2 4 x3 ) dx, regla de los trapecios 56.

6

2

(10 x 4 x 3 ) dx, regla de los trapecios

57.

8

0

(8 x 3 4 x) dx, regla de Simpson 58.

4

0

( 8 x3 6 x2 ) dx, regla de Simpson

En las siguientes integrales definidas, analice el efecto que se tiene en el error de aproximación,a medida que el número de los intervalos se incrementa desde n ϭ 2 hasta n ϭ 4 y luego an ϭ 8. Aplique las reglas estándar de integración para calcular el valor real de la integral defi-nida y luego efectúe la aproximación sirviéndose del método citado.

SECCIÓN 19.4

59. La función del ingreso marginal del producto de una firma es

MR ϭ f ( x) ϭ 17.5

donde x es el número de unidades vendidas. Con una integral definida obtenga el ingreso to-



donde x es el número de unidades vendidas. Con una integral definida obtenga el ingreso total conseguido con la venta de 500 unidades.

60. La función del ingreso marginal del producto de la firma es

MR ϭ Ϫ0.04 x ϩ 10

donde x indica el número de unidades vendidas. ¿Cuál será el ingreso adicional en caso deque las ventas se incrementen de 100 a 200 unidades?

61. El fabricante de un equipo industrial especial estima que la tasa anual de gastos r (t ) de man-tenimiento está representada por la función

r(t) ϭ 1 000 ϩ 25t2

donde t es la edad de la máquina en años y r (t ) está medida en dólares por año.a) Determine la tasa a la que se están realizando los costos de mantenimiento cuando la má-quina tenga dos años de uso.

b) ¿Cuáles son los costos de mantenimiento esperados para los tres primeros años?62. Consumo de gasolina En 1991, el consumo de gasolina en una región de Estados Unidos

fue de 5 000 millones de barriles. La demanda estaba creciendo a una tasa exponencial de10% al año. La función que describe ese índice de consumo c(t ) en el tiempo t es

c(t) ϭ 5 e0.10t

donde t se mide en años; t ϭ 0 corresponde al 1 de enero de 1991, y c(t ) se mide en milesde millones de barriles por año. Si la demanda de petróleo sigue incrementándose a esa tasa,¿qué cantidad de petróleo se espera que se consuma en el periodo de 20 años comprendidoentre el 1 de enero de 1991 y el 1 de enero del año 2011?

*63. Velocidad y aceleración Dada la función s(t ) que describe la posición de un objeto en mo-vimiento en términos del tiempo t , la función de velocidad es v(t ) ϭ sЈ(t ) y la función deaceleración es a(t ) ϭ vЈ(t ) ϭ sЉ(t ).

Un objeto en caída libre presenta una aceleración constante hacia abajo de 32 pies por

segundo cuadrado. La función de aceleración de un objeto determinado es a(t ) ϭ Ϫ32. Lavelocidad inicial del objeto arrojado desde el nivel del suelo es de 80 pies por segundo.a) Determine la función v(t ) que describe la velocidad del objeto en el tiempo t.

b) Determine la velocidad cuando t ϭ 2.c) Determine la función s(t ) que describe la altura del objeto en el tiempo t.

d ) ¿Cuál es la altura con t ϭ 1?64. La demanda de un producto ha ido decreciendo a una tasa exponencial. La tasa anual de la

demanda d (t ) es

d(t) ϭ 250 000 eϪ0.15t

donde t ϭ 0 corresponde al 1 de enero de 1992. Si la demanda sigue disminuyendo a la mis-ma tasa,a) Determine la tasa anual de demanda cuando t ϭ 4.

b) ¿Cuántas unidades totales se espera que se demanden en el intervalo de tiempo compren-dido entre 1992 y 2001 (t ϭ 0 a t ϭ 10)?

65. Compensación por desempleo Un estado ha proyectado que el costo de la compensaciónpor desempleo tendrá una tasa de 5e0.05t millones de dólares por año, en t años a contar delmomento actual.) C l l l ió d l l á l ó i i



a) Calcule la compensación por desempleo total que se pagará en los próximos cinco.b) ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes que los beneficios totales pagados sean de $200 millo-

nes?66. Dada la función f (t ) ϭ 2e0.5t , encuentre el volumen del sólido de revolución entre t ϭ 0 y

t ϭ 5. Grafique el sólido de revolución.67. Un fabricante de microcomputadoras estima que las ventas de sus sistemas de microcompu-

tación tendrán una tasa de mil unidades por año en t años a partir de hoy.a) ¿A qué tasa se espera que estén las ventas al cabo de 10 años?b) ¿Cuáles se esperan que sean las ventas en los 10 próximos años?

SECCIÓN 19.5

68. La función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua es

Determine la probabilidad de que la variable aleatoria adopte un valor menor que 2. Mayorque 1.5.

69. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua x es

¿Qué probabilidad hay de que la variable aleatoria asuma un valor entre 2 y 4?70. He aquí la función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria continua

Calcule la probabilidad de que la variable aleatoria adopte un valor entre 3 y 6.

❑ EVALUACIÓN DEL CAPÍTULO

1. Evalúe: a) y b)

2.

En las funciones f ( x )ϭ

x 2

y g( x )ϭ

8ϩ

2 x: a) grafique las dos funciones; b) cuando x Ն

0,obtenga el área acotada por las dos funciones y el eje de las y.3. Un fabricante de automóviles estima que la tasa anual de gastos de mantenimiento r (t ) de uno

de sus modelos está representada por la función

r(t) ϭ 120 ϩ 8t2

e4

2

x/2dx.4

0

( x 2 3 x 1) dx

f ( x)1 2 x

362 x 6

f ( x)x 3 80

2560 x 4

f ( x) 34 (4 x x 2 3) 1 x 3

√1.2t 10

donde t es la edad del automóvil expresada en años y r (t ) se mide en dólares por año.a) ¿A qué tasa anual se hacen los gastos de mantenimiento cuando el automóvil tiene cua-

tro años de uso?b) ¿Cuáles se espera que sean los gastos totales de mantenimiento durante los tres primeros

años?4 La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es



4. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua es

Calcule la probabilidad de que x asuma un valor mayor que 2.5. Dada la integral definida

a) Evalúela mediante las reglas explícitas de integración.b) Aproxime el valor mediante la regla de los rectángulos, de los trapecios y de Simpson

(subdividiendo en cuatro intervalos).c) Determine el método de aproximación más exacto.

8

0

3 x 2 dx

f ( x)

2 x

30 0 x 6

MINICASO

EL DILEMA DE LA SEGURIDAD SOCIAL:UN PROBLEMA DE SOLVENCIA

A fi d l d i d 1970 l bi d id l i d d d í (



A fines del decenio de 1970, el gobierno estadounidense y los ciudadanos de ese país (so-bre todo los de mayor edad) empezaron a externar una honda preocupación por el progra-

ma de la seguridad social y su supervivencia. El problema más grave era el crecimiento dela población elegible para recibir los beneficios. Los gastos hechos por el fondo fiduciariode la seguridad social llegaron a un nivel que crecía a un ritmo mayor que el de los ingre-sos. El fondo guardaba un equilibrio aproximado de $24000 millones a principios de 1980.

Los economistas confirmaron que la tasa de gastos realizados en los beneficios estabacreciendo de manera lineal. Un grupo de genios de las finanzas predijo que los gastos al-canzarían una tasa anual de $122.5 mil millones al comenzar 1980. A principios de 1985ese grupo estimó que los gastos mostrarían una tasa anual de $230 000 millones. Confir-mó asimismo que la tasa de generación de ingresos estaba aumentando en forma lineal.

Según sus proyecciones, se generarían ingresos a una tasa anual de $117.5 mil millonesa principios de 1980 y de $222.5 mil millones a comienzos de 1985.

Se pide:

1. Formular la función lineal que estime la tasa de gastos en términos del tiempo. Ex-presar la función lineal que calcule la tasa de la generación de ingresos en términosdel tiempo. Graficar ambas funciones.

2. Suponiendo que sean válidos los pronósticos de los economistas, determine cuándose agotará el fondo fiduciario (esto es, cuándo se terminará el saldo de $24 000 mi-llones). Suponga que la cifra anterior haya sido normalizada para incluir el ingresoobtenido por concepto de intereses en el saldo del fondo fiduciario, así como los in-gresos provenientes de las cuotas de la seguridad social.

3. Si son válidas las suposiciones hechas por los economistas, ¿cuál fue el déficit pro-yectado que se espera tener a principios de 1985?

4. Se han propuesto varias medidas correctivas. Un senador recomendó transferir anual-mente $5 000 millones de dólares por año del fondo fiduciario del programa Medica-

re con el fin de posponer la quiebra. ¿Cuánto tardará el fondo en agotarse en caso de

que se logre la transferencia?5. Otra propuesta establece una reducción drástica de los beneficios a quienes se jubilena los 62 años de edad. Si este plan se pone en práctica, según las proyecciones de loseconomistas, los gastos a principios de 1985 disminuirán a una tasa anual de $217.5mil millones (todavía se supone que haya una tendencia lineal). Suponiendo que la ta-sa de generación de ingresos permanezca inalterada, ¿cuándo será igual a esta tasa lade generación de ingresos? ¿Se agotará el fondo si se implanta esta propuesta?

6. Una última propuesta aconseja incrementar la tasa tributaria de la seguridad social,lo cual vendría a mejorar los ingresos del fondo fiduciario. En caso de que se aprue-

be el monto propuesto, los economistas estimaron que la tasa de generación de ingre-sos sería una tasa anual de $230 000 millones a principios de 1985 (se supone todavíala existencia de una tendencia lineal). Suponiendo que la tasa de gastos permanezcainalterada como se estimó inicialmente, ¿cuándo será igual a la tasa de generación deingresos? ¿Se agotará el fondo fiduciario al aplicar esta propuesta?

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0a6cap 19 Calculo Integral, Aplicaciones