calculo probabilidades

7/21/2019 calculo probabilidades

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2º BACHILLERATO CCSS

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Carmen Soguero IES Valle del Jiloca Calamocha -Teruel



1. EXPERIENCIAS ALEATORIAS

Experiencia determinista

Conocemos de antemano el resultado.Suceso determinista (ocurre

seguro)

Ej: Movimiento de un coche a cierta

velocidad durante determinadotiempo.

Experiencia aleatoria

El resultado depende del azar.Suceso aleatorio (ocurre o no

dependiendo del azar)

Ej: Lanzamiento de un dado

Sucesos que, de forma individual sondeterministas, si te toman muchos

resultados, se comportan comoaleatorios.



Espacio muestral : Conjunto de todoslos posibles resultados de una

experiencia aleatoria. Se designa por ESuceso: cualquier subconjunto de E

Suceso elemental : cualquier elemento de E.También se llaman sucesos individuales

o casos.Suceso imposible: es el vacío (no se daningún caso del espacio)

Suceso seguro: es el propio E (se cualquierade los casos del espacio)

Sucesos incompatibles: los que no tienenelementos comunes. Ø

Conjunto de todos los sucesos: S

Si E tiene n elementos, el número de

sucesos en total es 2n

Exp.: Lanzar un dado

Espacio muestral:

E={1,2,3,4,5,6}

Suceso: {2,3} (que salga 2 ó 3)

Suceso elemental: {5}

Sucesos imposible: {Ø} (no sale ni

1, ni 2,… ni 6}

Suceso seguro: E (sale 1 ó 2 ó,… ó

6)

Sucesos incompatibles: S1={sale

par} y S2 ={sale impar}

Conjunto de todos los sucesos:como E tiene 6 elementos, hay

26

= 64 sucesos: {1}, {par}, …

Conceptos básicos

B A



A A’

Operaciones con sucesos

UNIÓN:

INTERSECCIÓN:

COMPLEMENTARIO:También se representa por

DIFERENCIA:

Se verifica cuando ocurre Ao B o ambos. Etá formado

por todos los elementos deA y todos los de B

Se verifica cuando ocurre Ay B. Está formado por los

elementos de A que a la vezlo son de BSe verifica cuando ocurre Apero no B. Está formado

por los elementos de A queno son de B

Se verifica cuando nose verifica A. A vecesleeremos “no A”



Propiedades de las operaciones con sucesos

Si =>

Leyes deMorgan:

A B

B A B A

B A

B A B A

B B A

A B A

Imágenes tomadas de la web:http://132.248.48.14:3003/lmendez/uapa_cab/conjuntos_05_1.ht

ml

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2. PROBABILIDAD

Supongamos que repetimos un experimento N veces, y que estudiamossi se da un suceso S:

Frecuencia absoluta de S: nº de veces que ocurre S f(S)

Frecuencia relativa de S: proporción de veces que ocurre S en el totalde N: fr(S)= f(S)/N

Probabilidad de que ocurra S: Número al que se acerca fr(S) cuando N

se hace muy grande P[S]

Ver una simulación de lanzamiento de un dado en el applet Ley de los Grandes números enGeogebraTube de José Luis Muñoz Casado

Definición

Ley de los grandes números

http://tube.geogebra.org/student/m40246

http://tube.geogebra.org/student/m40246



Axiomas de las probabilidades

Axioma 1: Para cualquier suceso S,Ya que la frecuencia relativa del suceso siempre es

positiva.

Axioma 2: Si A y B son sucesos incompatibles,(es decir, Ø ) =>

Axioma 3:

0][

S P

B A

B P A P B A P

1][ E P

Ej.: Experimento: lanzar un dadoAx.1:S={sacar un 1} P[S]=1/6S={no sacar ninguno}=0

Ax.2:A={Sacar par} B={Sacar impar}AUB={Sacar paro o impar}P[A] = 3/6 P[B] = 3/6P[A] +P[B] = 3/6 + 3/6 =6/6P[AUB] =6/6

Ax.3:P[E]=P[sacar 1 ó 2 ó … ó 6] =1



Teoremas de las probabilidades

T 1:

T 2: P[ Ø ] = 0

T 3: Si

T 4: Si

T 5:Si A1… Ak son incompatibles =>P[unión]=P[A1 ]+…+P[ Ak ]

T 6:T 7: Si E es finito y S={x1, … xk} =>P[S]=P[x1]+…+P[x2]

A P A P 1][

A B P A P B P B A

B P A P B A

B A P B P A P B A P



Ley de Laplace

Si E{x1, x2, … xn} y P[x1] = P[x2] = … =P[xn] =>

Instrumento de Laplace: el que produce experimentos consucesos elementales equiprobables:

NO se puede usar la Ley de Laplace:• Instrumentos irregulares: Calculamos la probabilidadexperimentalmente midiendo fr • Sucesos no equiprobables: Cambiamos el enfoque de

la experiencia para que lo sean.

n Nº casos posiblesNº casos favorablesNº elementos de SP[S] = =



Si A y C son sucesos, la probabilidad de A condicionada a C

es la proporción de veces que ocurre A de entre las que ocurre C:

Podríamos leerlo como:“Probabilidad de que ocurra A habiendo ocurrido C” =

“Probabilidad de que ocurran A y C” / “Probabilidad de que ocurra C”

A y C son sucesos independientes si se cumple que

En ese caso:

3. PROBABILIDAD CONDICIONADA

C A P C P C A P C P

C A P C A P /·/

A P C A P / C P AC P /y

C P A P C A P ·



Ejemplo 1: 8

7

321

6

4

5

3

1

8

38

1

/

v P

verde par P v par P

Probabilidad de que, siendo verde, sea par

(= probabilidad de que sea par condicionadaa que sea verde)

Probabilidad de que, siendo par , sea verde (=

probabilidad de que sea verde condicionada a quesea par )

4

1

84

8

1

/

par P

par verde P par v P

Probabilidad de que, siendo negra, sea par

(= probabilidad de que sea par condicionada aque sea negra)

1

8

18

1

/

n P

n par P n par P

Probabilidad de que, siendo roja, sea par (= probabilidadde que sea par condicionada a que sea roja)

2

1

8

48

2

/

r P

r par P r par P

OBSERVA: par y r son sucesos independientes porque

par y v son sucesos dependientes porque

2

1/ par P r par P

2

1;3

1/ par P v par P

2

1

8

4 par P

8

3v P

2

1

8

4r P

8

1n P



La resolución de estos ejercicios es más sencilla si creamos una tabla decontingencia que refleje claramente todos los datos:

Par Impar TotalVerde 1 2 3

Rojo 2 2 4

Negro 1 0 1

Total 4 4 8

8

7

321

6

4

5

2

1

8

4r P

4

1

84

8

1

/

par P

par verde P par v P

Por ejemplo:

Las tablas de contingencia son útiles cuando el conjunto de elementosresponde a dos criterios, y en cada uno hay dos o más posibilidadesexcluyentes entre sí (color (r, v, n) y paridad (par, impar))



En una experiencia compuesta se pueden distinguir dos o más

pruebas (partes).Lanzar varios dados, extraer varias cartas, extraer bolas de varias urnas…

(Si las partes son simultáneas, podemos “verlas” como consecutivas)

4. EXPERIENCIAS COMPUESTAS

Experiencias independientes

Exp. compuestas en las que elresultado de una parte NOinfluye en la probabilidad delresultado de la otra parte.Ej.: Lanzar dos dados. Lanzar un dado y sacar

una carta.

Experiencias dependientes

Exp. compuestas en las que el resultadode una parte SÍ influye en laprobabilidad del resultado de la otraparte.Ej.: Lanzar un dado y extraer bolas de una urna u

otra dependendo del resultado. Sacar dos cartasconsecutivas mirando la 1ª antes de sacar la 2ª



Experiencias independientes

Si dos pruebas son independientes, los sucesos de una son independientesde los sucesos de la otra. En este caso, la probabilidad de que ocurra unsuceso dado en cada una de ellas es el producto de las probabilidades deque ocurran por separado.

P[S1 en la 1ª y S2 en la 2ª] = P[S1] · P[S2]

Ej: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados?

0046,0216

1

6

1

6

1

6

14444,4,4 P P P P

En estos casos puede ser interesante usar diagramas de árbol:

Ej: Si lanzamos un dado y una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y tres?

083,012

1

6

1

2

133, P C P C P



Dado Moneda

1/61/2 P[3,C] = 1/6 · 1/2 = 1/12 = 0,083



Experiencias dependientes

Si dos pruebas son dependientes, la probabilidad de los sucesos de lasegunda depende del resultado de la primera.

P[S1 en la 1ª y S2 en la 2ª] = P[S1] · P[S2/S1 ]Para calcular estas probabilidades suele ser interesante usar diagramas de árbol:

De una urna que contiene 3 bolas rojas y 5 blancas,

extraemos tres bolas, sin devolver a la urna la bola extraída.¿Son experiencias dependientes o independientes?

Calcular la probabilidad de que las 3 bolas extraídas sean:

a) Las tres rojas

b) Las dos primeras rojas y la 3ª blanca

c) La 1ª roja y las otras dos blancas

d) 3 blancas

1ª Ext. 2ª Ext. 3ª Ext.

56

1

6

1

7

2

8

3 RRR P

56

5

6

5

7

2

8

3 RRB P

28

5

56

10

6

4

7

5

8

3 RBB P

28

5

56

10

6

3

7

4

8

5 BBB P



Urna I Urna II

10



Probabilidad total

Dados n sucesos incompatibles entre sí, tales que su unión es el espacio

muestral completo, para cualquier suceso S de dicho espacio se cumple que:

P[S] = P[A1]·P[S/A1] + P[A2]·P[S/A2] + … + P[An]·P[S/An]

A esta expresión de P[S] en función de los sucesos A1, … An (que cumplen

las condiciones indicadas se le llama PROBABILIDAD TOTAL de S.

Si pensamos en términos de diagrama en árbol, la probabilidad total de quese dé un suceso es la suma de las probabilidades de todos los

“caminos” por los que puede suceder.





Probabilidad “a posteriori”

Supongamos una experiencia compuesta en la que A es un suceso de la 1ª y S un suceso de la 2ª.Hasta ahora, hemos considerado P[S/A], es decir la probabilidad de que en la 2º salga S,

suponiendo que en la 1ª haya salido A.P[A/S] es la probabilidad de que en la 1ª salga A, habiendo salido S en la 2ª. Es decir, laprobabilidad de que el resultado final sea S, pero pasando por el “camino” de A en la

primera prueba.Se le llama probabilidad a posteriori.

Aplicando la probabilidad total, nos queda la fórmula de Bayes:

En la práctica, con un diagrama en árbol, podemos decir:P[“llegar a S pasando por el camino de A”]

P[A/S] =P total de S (suma de las probabilidades por todos los caminos)

S P

S A P S A P /

AnS P An P AS P A P

AiS P Ai P S Ai P

/...1/1

/]/[





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