probabilidades conceptos

8/6/2019 probabilidades conceptos

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Probabilidad: Introduccin

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece

un resultado determinado cuando se realiza un

experimento.

Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos

saber cual es la probabilidad de que salga un2, o que salga un nmero par, o que salga un

nmero menor que 4.

El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que

pueden presentarse diversos resultados, dentro de un

conjunto posible de soluciones, y esto an realizando

el experimento en las mismas condiciones. Por lo

tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se

va a presentar:

Ejemplos: lanzamos una moneda al aire: el

resultado puede ser cara o cruz, pero no

sabemos de antemano cual de ellos va asalir.

En la Lotera de Navidad, el "Gordo" (en

Espaa se llama "Gordo" al primer premio)

puede ser cualquier nmero entre el 1 y el

100.000, pero no sabemos a priori cual va a


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Antes de calcular las probabilidades de un

experimento aleaotorio hay que definir una serie deconceptos:

Suceso elemental: hace referencia a cada una de las

posibles soluciones que se pueden presentar.

Ejemplo: al lanzar una moneda al aire, los

sucesos elementales son la cara y la cruz. Al

lanzar un dado, los sucesos elementales son

el 1, el 2, .., hasta el 6.

Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos

elementales.

Ejemplo: lanzamos un dado y queremos que

salga un nmero par. El suceso "numero par"

es un suceso compuesto, integrado por 3

sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6

O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y

queremos que salga "menor o igual que 18".

Este es un suceso compuesto formado por 18


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sucesos elementales (todos los nmeros que

van del 1 al 18).

Al conjunto de todos los posibles sucesos elementales

lo denominamos espacio muestral. Cada experimento

aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir,

un conjunto con todas las soluciones posibles).

Ejemplo: si tiramos una moneda al are una

sola vez, el espacio muestral ser cara o cruz.

Si el experimento consiste en lanzar una

moneda al aire dos veces, entonces el

espacio muestral estara formado por (cara-

cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).


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Probabilidad: Relacin entre sucesos

Entre los sucesos compuestos se pueden establecer

distintas relaciones:

a) Un suceso puede estar contenido en otro: las

posibles soluciones del primer suceso tambin lo son

del segundo, pero este segundo suceso tiene ademsotras soluciones suyas propias.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos

sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que

salga un nmero par. Vemos que el suceso a)

est contenido en el suceso b).

Siempre que se da el suceso a) se da el

suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo,

si el resultado fuera el 2, se cumplira el

suceso b), pero no el el a).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre

cuando siempre que se cumple uno de ellos secumple obligatoriamente el otro y viceversa.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y

analizamos dos sucesos: a) que salga nmero


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par, y b) que salga mltiplo de 2. Vemos que

las soluciones coinciden en ambos casos.

c) Unin de dos o ms sucesos: la unin ser otro

suceso formado por todos los elementos de los

sucesos que se unen.



par y b) que el resultado sea mayor que 3. El

suceso unin estara formado por los

siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6

d) Interseccin de sucesos: es aquel suceso

compuesto por los elementos comunes de dos o ms

sucesos que se intersectan.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire, y


par, y b) que sea mayor que 4. La

interseccin de estos dos sucesos tiene un

slo elemento, el nmero 6 (es el nico

resultado comn a ambos sucesos: es mayorque 4 y es nmero par).

e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se

pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen


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elementos comunes (su intereseccin es el conjunto

vacio).


analizamos dos sucesos: a) que salga un

nmero menor que 3, y b) que salga el

nmero 6. Es evidente que ambos no se

pueden dar al mismo tiempo.

f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no

se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.


analizamos dos sucesos: a) que salga un

nmero par, y b) que salga un nmero impar.

Vemos que si no se da el primero se tieneque dar el segundo (y viceversa).


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Clculo de probabilidades

Probabilidad

Como hemos comentado anteriormente, la

probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de

que se d un determinado resultado (suceso) cuando

se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o

expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso

imposible: lanzamos un dado al aire y la

probabilidad de que salga el nmero 7 escero (al menos, si es un dado certificado por

la OMD, "Organizacin Mundial de Dados").

El valor uno corresponde al suceso seguro:

lanzamos un dado al aire y la probabilidad de

que salga cualquier nmero del 1 al 6 es igual

a uno (100%).

El resto de sucesos tendr probabilidades

entre cero y uno: que ser tanto mayor

cuanto ms probable sea que dicho suceso

tenga lugar.


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Cmo se mide la probabilidad?

Uno de los mtodos ms utilizados es aplicando laRegla de Laplace: define la probabilidad de un suceso

como el cociente entre casos favorables y casos

posibles.

P(A) = Casos favorables / casos posibles


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Veamos algunos ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dadosalga el nmero 2: el caso favorable es tan

slo uno (que salga el dos), mientras que los

casos posibles son seis (puede salir cualquier

nmero del uno al seis). Por lo tanto:

P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo,

16,6%)

b) Probabilidad de que al lanzar un dado

salga un nmero par: en este caso los casos

favorables son tres (que salga el dos, el

cuatro o el seis), mientras que los casos

posibles siguen siendo seis. Por lo tanto:

P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo,

50%)

c) Probabilidad de que al lanzar un dado

salga un nmero menor que 5: en este caso

tenemos cuatro casos favorables (que salgael uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los

seis casos posibles. Por lo tanto:

P(A) = 4 / 6 = 0,666

(o lo que es lo mismo, 66,6%)


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d) Probabilidad de que nos toque el

"Gordo" de Navidad: tan slo un caso

favorable, el nmero que jugamos (qu

triste...), frente a 100.000 casos posibles.

Por lo tanto:

P(A) = 1 / 100.000 = 0,00001

(o lo que es lo mismo, 0,001%)

Merece la pena ...... Por cierto, tiene la

misma probabilidad el nmero 45.264, que el

nmero 00001, pero cul de los dos

compraras?

Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento

aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:

a) El nmero de resultados posibles

(sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera

infinitos resultados, al aplicar la regla "casos

favorables / casos posibles" el cociente

siempre sera cero.b) Todos los sucesos tienen que tener la

misma probabilidad. Si al lanzar un dado,

algunas caras tuvieran mayor probabilidad

de salir que otras, no podramos aplicar esta

regla.


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A la regla de Laplace tambin se le denomina

"probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que

conocer antes de realizar el experimento cuales son

los posibles resultados y saber que todos tienen las

mismas probabilidades.


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Y si el experimento aleatorio no cumple los dos

requisitos indicados, qu hacemos?, ponemos una

denuncia?

No, no va a ser necesario denunciar a nadie, ya que

en este caso podemos acudir a otro modelo de

clculo de probabilidades que se basa en la

experiencia (modelo frecuentista):

Cuando se realiza un experimento aleatorio

un nmero muy elevado de veces, las

probabilidades de los diversos posibles

sucesos empiezan a converger hacia valores

determinados, que son sus respectivas

probabilidades.

Ejemplo: si lanzo una vez una moneda al aire

y sale "cara", quiere decir que el suceso

"cara" ha aparecido el 100% de las veces y el

suceso "cruz" el 0%.

Si lanzo diez veces la moneda al aire, es

posible que el suceso "cara" salga 7 veces yel suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso,

la probabilidad del suceso "cara" ya no sera

del 100%, sino que se habra reducido al

70%.


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Si repito este experimento un nmero

elevado de veces, lo normal es que las

probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz"

se vayan aproximando al 50% cada una. Este

50% ser la probabilidad de estos sucesos

segn el modelo frecuentista.

En este modelo ya no ser necesario que el nmero

de soluciones sea finito, ni que todos los sucesostengan la misma probabilidad.

Ejemplo: si la moneda que utilizamos en el

ejemplo anterior fuera defectuosa (o

estuviera trucada), es posible que al repetir

dicho experimento un nmero elevado de

veces, la "cara" saliera con una frecuencia,por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%.

Estos valores seran las probabilidades de

estos dos sucesos segn el modelo

frecuentista.

A esta definicin de la probabilidad se le denomina

probabilidad a posteriori, ya que tan slo repitiendo

un experimento un nmero elevado de veces

podremos saber cual es la probabilidad de cada

suceso.


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Probabilidad de sucesos

Probabilidad de sucesos

Al definir los sucesos hablamos de las diferentes

relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s,

as como de las posibles relaciones que se pueden

establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cmose refleja esto en el clculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro:

entonces, la probabilidad del primer suceso ser

menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos:a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero

par. Dijimos que el suceso a) est contenido en el

suceso b).

P(A) = 1/6 = 0,166

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del

suceso contenido, suceso a), es menor que la

probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).


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b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las

probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos

sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga

mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos

casos.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Interseccin de sucesos: es aquel suceso

compuesto por los elementos comunes de los dos o

ms sucesos que se intersectan. La probabilidad ser

igual a la probabilidad de los elemntos comunes.


sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor

que 3. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos

elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad ser por tanto:

P(A B) = 2 / 6 = 0,33

d) Unin de dos o ms sucesos: la probabilidad de la

unin de dos sucesos es igual a la suma de las

probabilidades individuales de los dos sucesos que se

unen, menos la probabilidad del suceso interseccin


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sucesos: a) que salga nmero par, y b) que el

resultado sea mayor que 3. El suceso unin estara

formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y

el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,

P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unin

de dos sucesos incompatibles ser igual a la suma de

las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que

su interseccin es el conjunto vacio y por lo tanto no

hay que restarle nada).


sucesos: a) que salga un nmero menor que 3, y b)que salga el nmero 6.

La probabilidad del suceso unin de estos dos sucesos

ser igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333


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P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto,

P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un

suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 -

P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es

que salga un nmero par, luego su complementario,

suceso (B), es que salga un nmero impar.

La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos

favorables / casos posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unin de sucesos complementarios: la

probabilidad de la unin de dos sucesos

complementarios es igual a 1.


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Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior:

a) que salga un nmero par, y b) que salga un

nmero impar. La probabilidad del suceso

unin de estos dos sucesos ser igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto,

P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1


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Combinaciones, Variaciones y Permutaciones (I)

Para aplicar la Regla de Laplace, el clculo de los

sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces

no plantea ningn problema, ya que son un nmero

reducido y se pueden calcular con facilidad:

Por ejemplo: Probabilidad de que al lanzarun dado salga el nmero 2. Tan slo hay un

caso favorable, mientras que los casos

posibles son seis.

Probabilidad de acertar al primer intento el

horscopo de una persona. Hay un caso

favorable y 12 casos posibles.

Sin embargo, a veces calcular el nmero de casos

favorables y casos posibles es complejo y hay que

aplicar reglas matemticas:

Por ejemplo: 5 matrimonios se sientan

aleatoriamente a cenar y queremos calcularla probabilidad de que al menos los

miembros de un matrimonio se sienten

junto. En este caso, determinar el nmero de

casos favorables y de casos posibles es

complejo.


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Las reglas matemticas que nos pueden ayudar son el

clculo de combinaciones, el clculo de variaciones y

el clculo de permutaciones.


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a) Combinaciones:

Determina el nmero de subgrupos de 1, 2, 3, etc.elementos que se pueden formar con los "n"

elementos de una nuestra. Cada subgrupo se

diferencia del resto en los elementos que lo

componen, sin que influya el orden.

Por ejemplo, calcular las posibles

combinaciones de 2 elementos que se

pueden formar con los nmeros 1, 2 y 3.

Se pueden establecer 3 parejas diferentes:

(1,2), (1,3) y (2,3). En el clculo de

combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se

consideran idnticas, por lo que slo secuentan una vez.


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b) Variaciones:

Calcula el nmero de subgrupos de 1, 2, 3,etc.elementos que se pueden establecer con los "n"

elementos de una muestra. Cada subgrupo se

diferencia del resto en los elementos que lo

componen o en el orden de dichos elementos (es lo

que le diferencia de las combinaciones).

Por ejemplo, calcular las posibles variaciones

de 2 elementos que se pueden establecer

con los nmero 1, 2 y 3.

Ahora tendramos 6 posibles parejas: (1,2),

(1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este caso

los subgrupos (1,2) y (2,1) se considerandistintos.


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c) Permutaciones:

Clcula las posibles agrupaciones que se puedenestablecer con todos los elementos de un grupo, por

lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto

es el orden de los elementos.

Por ejemplo, calcular las posibles formas en

que se pueden ordenar los nmero 1, 2 y 3.

Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3,

2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)


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Combinacion

Cmo se calcul

a) Combinacion

Para calcular el

siguiente frmu

El termino " n !

multiplicacin d

"n" hasta 1.

Por ejempl

La expresin "C

"m" elementos,

elementos.

Ejemplo: C

elementos

elementos:

s, Variaciones y Permuta

an?

es:

mero de combinaciones

la:

se denomina "factorial d

e todos los nmeros que v

: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

,n" representa las combi

formando subgrupos de "

0,4 son las combinaciones

grupndolos en subgrupo

iones (II)

se aplica la

n" y es la

n desde

aciones de

"

de 10

de 4


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Es decir, po

diferentes

elementos.

b) Variaciones:

Para calcular el

siguiente frmu

La expresin "V

"m" elementos,elementos. En e

anterior, un sub

por los element

de dichos elem

Ejemplo: V

elementoselementos:

dramos formar 210 subgr

e 4 elementos, a partir de

mero de variaciones se

la:

,n" representa las variaci

formando subgrupos de "ste caso, como vimos en la

grupo se diferenciar del r

s que lo forman, o bien p

ntos.

0,4 son las variaciones de

grupndolos en subgrupo

pos

los 10

plica la

ones de

"leccin

sto, bien

r el orden

10

de 4


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Combinacion

Vamos a analiza

las combinacion

permutaciones

subgrupos los el

Por ejempldiferentes

los que pud

todas las b

mismo colo

utilizar las f

anterior.

a) Combinacion

Para calcular el

repeticin se ap

Ejemplo: C'

elementos

subgrupos

elementos

s, Variaciones y Permuta

r ahora que ocurrira con e

es, de las variaciones o de

n el supuesto de que al fo

ementos pudieran repetir

: tenemos bolas de 6 coloqueremos formar subgru

iera darse el caso de que 2

las del subgrupo tuvieran

r. En este caso no podram

rmulas que vimos en la le

es con repeticin:

mero de combinaciones

lica la siguiente frmula:

10,4 son las combinacione

on repeticin, agrupndol

e 4, en los que 2, 3 o los 4

odran estar repetidos:

iones (III)

l clculo de

las

rmar los

se.

resos en

, 3, 4 o

l

os

ccin

con

de 10

os en


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Es decir, po

diferentes

b) Variaciones c

Para calcular el

se aplica la sigui

Ejemplo: V'

elementos

subgrupos

Es decir, po

diferentes

c) Permutacion

Para calcular elrepeticin se ap

dramos formar 715 subgr

e 4 elementos.

on repeticin:

mero de variaciones con

ente frmula:

10,4 son las variaciones de

on repeticin, agrupndol

e 4 elementos:

dramos formar 10.000 su

e 4 elementos.

s con repeticin:

mero de permutacioneslica la siguiente frmula:

pos

repeticin

10

os en

grupos

con


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Son permutacio

de ellos se repit

hasta uno que s

Ejemplo: C

elementos,

en 2 ocasio

ocasiones:

Es decir, te

diferentes

nes de "m" elementos, en l

" x1 " veces, otro " x2 " v

repite " xk " veces.

lcular las permutaciones d

en los que uno de ellos se

es y otro se repite en 3

dramos 302,400 formas

e agrupar estos 10 eleme

os que uno

ces y as ...

e 10

repite

tos.


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1.- Ejercicio

Calcular la prob

quiniela:

Solucin:Se aplica la Regl

posibles). El cas

los 14 signos). L

variaciones con

tomados de 14

rellenar).

Son variaciones

influye: no es lo

repeticin, ya q

puede repetir h

Por lo tanto, los

Y la probabilida

Ejercicios

bilidad de acertar los 14 s

a de Laplace (casos favora

favorable es tan slo un

s casos posibles se calcula

repeticin de 3 elementos

n 14 (los signos que hay q

y no combinaciones ya qu

mismo (1,1,X) que (1, X, 1)

e cualquiera de los signos

sta 14 veces.

casos posibles son:

de acertar los 14 resultad

gnos de la

les / casos

(acertar

n como

(1, X y 2),

ue

el orden

. Y son con

(1, X y 2) se

os es:


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No demasiado e

consigue.

levada....pero el que la sig e la


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2.- Ejercicio

Y la probabilida

Solucin:

Aplicamos nuev

caso los casos f

combinaciones

de esta maneraalternativas de

equivale a acert

combinaciones

importa (da lo

3)

Los casos posibl

Por lo que la pr

Por lo tanto, te

12 resultados q

menos?).

de acertar 12 signos de la

mente la Regla de Laplac

vorables se calculan com

e 14 elementos tomados

obtenemos todas las posiallar 2 resultados de 14 (lo

ar 12 resultados). Utilizam

no variaciones ya que el

ismo fallar el 3 y el 6, q

es siguen siendo los mism

babilidad de acertar 12 re

emos ms probabilidades

e 14 (ser por eso por lo

quiniela:

. En este

e 2 en 2,

lesque

s

rden no

e el 6 y el

s:

ultados es:

de acertar

que pagan


35/58


36/58

3.- Ejercicio

Calcular la probcaballos, acerta

importar cual d

cual tercero).

Solucin:

Se aplica la Reglslo uno: los 3 c

Los casos posibl

de 12 elemento

determinamos t

caballos que pu

posiciones). Cocaballos no imp

lugar de variaci

Por lo tanto, los

Por lo que la pr

ganadores es:

bilidad de, en una carreralos 3 que quedan primero

ellos queda primero, cual

a de Laplace. El caso favoraballos que entran en pri

es se calculan como combi

tomados de 3 en 3 (es de

odos las posibles alternati

den entrar en las 3 prime

o el orden de estos 3 prirta, utilizamos combinaci

nes.

casos posibles son:

babilidad de acertar los 3

de 12s (sin

segundo y

able es taner lugar.

naciones

cir,

as de 3

as

erosnes en

aballos


37/58

Algo mayor que en las quinielas.... Eso s, se paga

menos.


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4.- Ejercicio

Y si hubiera queganan, sino el o

Solucin:

El caso favorabl

entran en prime

correspondient

Los casos posibl

(ya que el orden

3 en 3 (calculam

los 12 caballos

posiciones.

Por lo que la pr

ganadores es:

Menor que en e

caballos entran

que acertar el o

acertar, no slo los 3 cabaden de su entrada en met

e sigue siendo uno: los 3 c

r lugar, colocados en su or

.

es se calculan ahora como

influye) de 12 elementos

os todas las posibles man

odran ocupar las 3 prime

babilidad de acertar los 3

l ejemplo 3. Ya no vale ac

en primer lugar, sino que t

den de su entrada.

llos que.

ballos que

den

variaciones

omados de

ras en que

as

aballos

rtar que 3

nemos


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Pr

Las probabilida

que se ha incor

situacin de par

Ejemplo: se

probabilida(probabilid

nueva infor

dice que el

entonces la

sea el 2 ya

Las probabilida

aplicando la sig

Donde:

P (B/A) es l

suceso B co

suceso A.

babilidad condicionada

es condicionadas se calcu

orado informacin adicio

tida:

tira un dado y sabemos q

de que salga un 2 es 1/6d a priori). Si incorporamo

macin (por ejemplo, algui

resultado ha sido un nme

probabilidad de que el res

o es 1/6.

es condicionadas se calcul

iente frmula:

probabilidad de que se d

ndicionada a que se haya

lan una vez

al a la

e la

s

en nos

ro par)

ultado

an

el

ado el


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P (B A) es la probabilidad del suceso

simultneo de A y de B

P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

En el ejemplo que hemos visto:

P (B/A) es la probabilidad de que salga el

nmero 2 (suceso B) condicionada a que

haya salido un nmero par (suceso A).

P (B A) es la probabilidad de que salga el

dos y nmero par.

P (A) es la probabilidad a priori de que salga

un nmero par.

Por lo tanto:

P (B A) = 1/6

P (A) = 1/2

P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

Luego, la probabilidad de que salga el nmero 2, si ya

sabemos que ha salido un nmero par, es de 1/3

(mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

2 ejemplo:


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En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusin

de que la probabilidad de que una persona sufra

problemas coronarios (suceso B) es el 0,10

(probabilidad a priori).

Adems, la probabilidad de que una persona sufra

problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la

probabilidad de que una persona sufra a la vez

problemas de obesidad y coronarios (sucesointerseccin de A y B) es del 0,05.

Calcular la probabilidad de que una persona sufra

problemas coronarios si est obesa (probabilidad

condicionada P(B/A)).

P (B A) = 0,05

P (A) = 0,25

P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20

Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior

a la probabilidad a priori. No siempre esto es as, a

veces la probabilidad condicionada es igual a laprobabilidad a priori o menor.

Por ejemplo: probabilidad de que al tirar un dado

salga el nmero 2, condicionada a que haya salido un

nmero impar.


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La probabilidad condicionada es en este caso cero,

frente a una probabilidad a priori de 1/6.


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P

La probabilidad

de probabilidad

condicionada:

La probabili

simultneaintersecci

probabilida

multiplicad

condiciona

La frmula para

es:

Ejemplo 1 : Est

varones mayore

(varones mayor

obtenemos la si

Un 35% de l

estn casad

robabilidad compuesta

compuesta (o regla de mu

s) se deriva de la probabil

dad de que se den

ente dos sucesos (sucesode A y B) es igual a la

a priori del suceso A

por la probabilidad del su

a al cumplimiento del suc

calcular esta probabilidad

udiamos el suceso A (porc

s de 40 aos casados) y el

s de 40 aos con ms de

uiente informacin:

os varones mayores de 40

os.

ltiplicacin

idad

ceso B

so A.

compuesta

ntaje de

uceso B

hijos) y

aos


44/58

De los varones mayores de 40 aos y

casados, un 30% tienen ms de 2 hijos

(suceso B condicionado al suceso A).

Calcular la probabilidad de que un varn mayor de

40 aos est casado y tenga ms de 2 hijos (suceso

interseccin de A y B).

Por lo tanto:

P (A) = 0,35

P (B/A) = 0,30

P (A B) = 0,35 * 0,30 = 0,105

Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 aos

estn casados y tienen ms de 2 hijos.

2 ejemplo: Estudiamos el suceso A (alumnos que

hablan ingls) y el suceso B (alumnos que hablan

alemn) y obtenemos la siguiente informacin:

Un 50% de los alumnos hablan ingls.

De los alumnos que hablan ingls, un 20%

hablan tambin alemn (suceso B

condicionado al suceso A).

Calcular la probabilidad de que un alumno hable

ingls y alemn (suceso interseccin de A y B).


45/58

Por lo tanto:

P (A) = 0,50

P (B/A) = 0,20

P (A B) = 0,50 * 0,20 = 0,10

Es decir, un 10% de los alumnos hablan ingls y

alemn.


46/58

Teor

El Teorema de l

calcular la prob

probabilidades

Ejemplo: su

probabilidax% y si hac

es y%. Este

es la proba

accidente si

que llueva

buen tiemp

La frmula para

Es decir, la prob

(en nuestro eje

igual a la sumaprobabilidades

diferentes suce

cuando llueve y

probabilidad de

ma de la probabilidad tot

probabilidad total nos p

bilidad de un suceso a par

ondicionadas:

pongamos que si llueve la

de que ocurra un accidebuen tiempo dicha proba

teorema nos permite ded

ilidad de que ocurra un

conocemos la probabilida

la probabilidad de que ha

o.

calcular esta probabilidad

abilidad de que ocurra el

plo, que ocurra un accide

e multiplicar cada una deondicionadas de este suc

os A (probabilidad de un a

cuando hace buen tiempo

cada suceso A.

l

rmite

ir de

tes esilidad

cir cul

d de

ga

es:

uceso B

nte) es

las

so con los

ccidente

por la


47/58

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta

cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema

completo, es decir, que contemplen todas

las posibilidades (la suma de sus

probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir

cara" y el suceso "salir cruz" forman un

sistema completo, no hay ms alternativas:

la suma de sus probabilidades es el 100%

Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2,

el 3, o el 4 no forman un sistema completo,

ya que no contempla todas las opciones(podra salir el 5 o el 6). En este caso no se

podra aplicar el teorema de la probabilidad

total.

Ejercicio 1: En un saquito hay papeletas de trescolores, con las siguientes probabilidades de ser

elegidas:

a) Amarilla: probabilidad del 50%.

b) Verde: probabilidad del 30%


48/58

c) Roja: pro

Segn el color dparticipar en dif

elegida es:

a) Amarilla:

probabilida

b) Verde: pprobabilida

c) Roja: par

una probab

Con esta inform

ganar el sorteo

1.- Las tres

completo: s

2.- Aplicam

Luego,

P (B) = (0,5

babilidad del 20%.

e la papeleta elegida, podrerentes sorteos. As, si la p

participas en un sorteo co

de ganar del 40%.

rticipas en otro sorteo code ganar del 60%

icipas en un tercer sorteo

ilidad de ganar del 80%.

acin, qu probabilidad t

en el que participes?:

apeletas forman un siste

us probabilidades suman

s la frmula:

0 * 0,40) + (0,30 * 0,60) +

0,80) = 0,54

sapeleta

n una

una

con

ienes de

a

00%

0,20 *


49/58

Por tanto, la probabilidad de que ganes el

sorteo es del 54%.

Ejercicio 2: Van a cambiar a tu jefe y se barajan

diversos candidatos:

a) Carlos, con una probabilidad del 60%

b) Juan, con una probabilidad del 30%

c) Luis, con una probabilidad del 10%

En funcin de quien sea tu prximo jefe, la

probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente:

a) Si sale Carlos: la probabilidad de que tesuban el sueldo es del 5%.

b) Si sale Juan: la probabilidad de que te

suban el sueldo es del 20%.

c) Si sale Luis: la probabilidad de que te

suban el sueldo es del 60%.

En definitiva, cual es la probabilidad de que te

suban el sueldo?:

1.- Los tres candidatos forman un sistema

completo


50/58

2.- Aplicamos la frmula:

P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 *0,60) = 0,15

Por tanto, la probabilidad de que te suban el

sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...


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El Teorema de

inverso al que h

probabilidad to

Teorema d

las probabilde que llue

deducimos

ocurra un a

Teorema d

ocurrido el

accidente)

suceso A (

tiempo?).

La frmula del

Tratar de explic

galimatas, as q

ejemplo. De tod

ejercicio, record

que el suceso A

Teorema de Bayes

ayes viene a seguir el pro

emos visto en el Teorema

al:

la probabilidad total: a p

idades del suceso A (probaa o de que haga buen tie

la probabilidad del suceso

cidente).

Bayes: a partir de que ha

uceso B (ha ocurrido un

educimos las probabilida

staba lloviendo o haca b

eorema de Bayes es:

r estar frmula con palab

ue vamos a intentar explic

os modos, antes de entrar

ar que este teorema tamb

forme un sistema comple

eso

de la

rtir de

bilidadpo)

B (que

es del

en

as es un

rla con un

en el

n exige

o.


52/58


53/58

con el 60%,

10%).

Una vez qu

que ha ocu

probabilida

probabilida

denominan

Vamos a aplicar

a) Probabilidad

La probabilidad

lloviendo el da

posteriori) es db) Probabilidad

nieve con el 30% y niebla

incorporamos la informa

rido un accidente, las

es del suceso A cambian:

es condicionadas P (A/B),

"probabilidades a posteri

la frmula:

de que estuviera lloviend

de que efectivamente estu

el accidente (probabilida

l 71,4%.de que estuviera nevand

on el

in de

son

que se

ri".

:

viera

a

:


54/58

La probabilidad

21,4%.

c) Probabilidad

La probabilidad

In

Dos sucesos so

ocurrencia de u

ocurrencia del o

Ejemplo: el

de una clas

independie

menos alto

cabello, ni

Para que dos su

verificar al men

P (B/A) = P

de que se d

de que estuviera nevando

de que hubiera niebla:

de que hubiera niebla es d

ependencia de sucesos

independientes entre s,

o de ellos no afecta para

tro:

suceso estatura de los alu

y el color del pelo son

tes: el que un alumno sea

no va a influir en el color d

iceversa.

esos sean independientes

s una de las siguientes co

(B) es decir, que la probab

e el suceso B, condicionad

es del

el 7,1%.

i la

ada a la

nos

ms o

e su

tienen que

diciones:

lidad

a que


55/58

previamente se haya dado el suceso A, es

exactamente igual a la probabilidad de B.

Ejemplo: la probabilidad de que al

tirar una moneda salga cara (suceso

B), condicionada a que haga buen

tiempo (suceso A), es igual a la

propia probabilidad del suceso B.

P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad

de que se de el suceso A, condicionada a que

previamente se haya dado el suceso B, es

exactamente igual a la probabilidad de A.

Ejemplo: la probabilidad de que

haga buen tiempo (suceso A),condicionada a que al tirar una

moneda salga cara (suceso B), es

igual a la propia probabilidad del

suceso A.

P (A B) = P (A) * P (B) es decir, que la

probabilidad de que se de el suceso conjuntoA y B es exactamente igual a la probabilidad

del suceso A multiplicada por la

probabilidsad del suceso B.


56/58


57/58

P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133

(que no es igual a P (A))

P (A B) = 0,08 (que no es igual a P (A)

multiplicado por P (B))

Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres

condiciones sealadas por lo que estos dos sucesos

no son independientes, sino que existe algn grado

de dependencia entre ellos.

Ejemplo 2: analicemos dos sucesos:

Suceso A: la probabilidad de que haga buen

tiempo es del 0,4

Suceso B: la probabilidad de salir cara allanzar una moneda es del 0,5

Suceso interseccin: la probabilidad de que

haga buen tiempo y que salga cara es 0,2

Veamos si se cumple alguna de las condiciones

sealadas:

P (B/A) = P (A B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5

(igual que P (B))

P (A/B) = P (A B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4

(igual que P (A))


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P (A B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por

P (B))

Por lo tanto, estos dos sucesos s son

independientes.

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