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1PROPIEDADES MAGNTICAS DE LA MATERIAAntonio J. BarberoDpto. Fsica Aplicada UCLMC.A. UNED AlbaceteRESUMEN FUNDAMENTOSPROBLEMAS RESUELTOSTEMA 2. ECUACIONES DE MAXWELL (2 parte)PROBLEMA 0. VECTOR DE POYNTING CONDENSADORTEMA 3. PROPIEDADES MAGNTICAS DE LA MATERIAPROBLEMA 1. CABLE COAXIALPROBLEMA 2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNTICOPROBLEMA 3. IMN PERMANENTEPROBLEMA 4. CLCULO INDUCTANCIAPROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNTICO2RESUMEN FUNDAMENTOS

Potencial magntico vector debido a corrientes de imanacinImanacin (magnetizacin)

S.I. Am2S.I. Am-1Momento magntico (corriente I)S.I. Wbm-1

S.I. T (= Wbm-2)

Material imanado3RESUMEN FUNDAMENTOS / 2Corrientes de imanacin

VolumtricaSuperficialS.I. Am-2S.I. Am-1Potencial magntico vector en funcin de densidades de corrientes de imanacin

S.I. Wbm-1

Corrientes libresCorrientes de imanacinEcuaciones de la magnetosttica en medios materialesCampo HS.I. Am-1

Densidad de carga magntica

Corrientes libres

Condiciones en los lmitescampo B: sus componentes normales son continuas

Medio 1Medio 2Condiciones en los lmites campo H: Si no hay corrientes superficiales sus componentes tangenciales son continuas

Medio 1Medio 2Si hay corrientes superficiales K

Medio 1Medio 2

4RESUMEN FUNDAMENTOS / 3MEDIOS MAGNTICOS LINEALESLa imanacin M es proporcional al campo H

Susceptibilidad magntica (adimensional)El campo B tambin:

Permeabilidad magntica del medioPermeabilidad relativaMEDIOS DIAMAGNTICOSEn casi todos ellos

Susceptibilidad negativa

MEDIOS PARAMAGNTICOSEn muchos casos

Susceptibilidad positiva

INDUCTANCIA

El flujo magntico debido a la corriente que circula por un circuito es proporcional al valor de dicha corriente

Coeficiente de proporcionalidad entre flujo y corriente L autoinduccinUnidades S.I. HSi se trata del flujo magntico inducido en un circuito (1) por la corriente que circula por otro circuito (2) induccin mutua

Unidades S.I. H5RESUMEN FUNDAMENTOS / 4ENERGA CAMPOS ELCTRICOS La energa del campo elctrico se encuentra distribuida de forma continua a travs del espacio con una densidad de energa dada por

Energa campo elctrico

ENERGA CAMPOS MAGNTICOS La energa magntica se encuentra distribuida de forma continua a travs del espacio con una densidad de energa que viene dada por

Energa magntica total

VECTOR DE POYNTINGEl vector de Poynting representa la densidad de potencia asociada con el campo electromagntico.

Teorema de Poynting: el flujo del vector de Poynting a travs de una superficie cerrada es igual a la potencia que sale del volumen encerrado por la misma.

Flujo

densidad de potencia hmicaDensidad energaElctricaMagntica6HMCampo magntico aplicadoImanacin del materialMaterial imanado hasta saturacin por alineacin de dominiosCurva de primera imanacin cuando el material ferromagntico se imana desde campo ceroEl ciclo de histresis muestra que la imanacin de un material ferromagntico depende de su historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturacin el campo aplicado H puede ser reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanacin (recuerda su historia). Cuando el campo magntico aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para almacenamiento magntico de datos)El campo magntico aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado campo coercitivo para que la imanacin vuelva a ser nulaSaturacin en sentido opuestoMATERIALES FERROMAGNTICOS. CICLO DE HISTRESISEn el eje de ordenadas puede representarse bien la imanacin M o bien el campo BRESUMEN FUNDAMENTOS / 57RESUMEN FUNDAMENTOS / 6CIRCUITOS MAGNTICOSCuando la permeabilidad de los materiales que intervienen es alta, puede suponerse que las lneas de campo magntico permanecen confinadas dentro del material, y que el flujo magntico no se dispersa. En esas condiciones el flujo desempea un papel anlogo al de la intensidad de corriente y puede procederse por analoga con un circuito elctrico y resolver el problema considerando las equivalencias entre magnitudes elctricas y magnticas que se indican a continuacin.

Fuerza electromotriz (fem)Ley de OhmL = longitud media del circuito (lnea discontinua)mr = permeabilidad relativa del material del circuitoCircuito elctricoCircuito magnticoCircuito magntico equivalente

Fuerza magnetomotriz (fmm)Reluctancia (Av/Wb)S = rea de la seccin recta del circuitoLa reluctancia magntica de un medio depende de su permeabilidad mrm0, su longitud L y del rea de su seccin recta S.

La resistencia elctrica de un conductor depende de su conductividad s, su longitud L y del rea de su seccin recta S.fmm femflujo magntico intensidad Ireluctancia resistencia

Equivalente ley de Ohm para circuitos magnticosEquivalencias8PROBLEMAS RESUELTOS99Un condensador plano consta de dos placas circulares paralelas de radio R = 10 cm colocadas a una distancia d = 0.2 cm. El medio entre las placas es aire. Hay una intensidad de corriente I que entra por la placa inferior y sale por la placa superior, tal y como muestra el esquema. Suponiendo que los efectos de bordes son despreciables, se pide:(a) Calcular la energa total almacenada en el campo elctrico del condensador y su tasa de variacin con el tiempo.(b) Calcular el campo magntico B a una distancia genrica r del eje central del condensador (r R).(c) Calcular el vector de Poynting S a una distancia genrica r del eje central del condensador (r R).(d) Determinar el flujo de energa a travs de la superficie cilndrica de radio R si I = 4.8710-7 A y la carga almacenada Q = 7.1310-10 C.0 = 8.8510-12 Fm-1

(a) Si se ignoran los efectos de bordes, el campo elctrico entre las armaduras del condensador es proporcional a la densidad de carga superficial en las placas y se puede calcular por el teorema de Gauss:

Energa total almacenada en el campo elc- trico, siendo Q la carga que hay en la placa positiva en un momento determinado:

Tasa de variacin de la energa almacenada:Carga almacenada En funcin de la intensidad de corriente:

P0. VECTOR DE POYNTING CONDENSADOR10

(b) A medida que la corriente fluye a travs del condensador mientras dura su proceso de carga no hay corriente de conduccin a travs del mismo, sino corriente de desplazamiento, la cual es originada por la variacin temporal del campo elctrico. Para calcular el campo magntico usaremos la ley de Ampre generalizada.Circulacin del campo magntico a travs de una lnea cerrada L que rodea la superficie ACorriente conduccin a travs de la superficie ACorriente desplazamiento a travs de la superficie A=+

=

La corriente de desplazamiento se debe aqu a la variacin del campo elctrico que atraviesa la superficie abierta A (radio r)+

La corriente de conduccin a travs del condensador es cero

Circunferencia de radio r

Igualando

Direccin y sentido

Campo magntico a la distancia r del eje del condensador

rea del crculo de radio r

P0. Vector Poynting condensador/ 211(c) Clculo del vector de Poynting

rea del crculo de radio r

El vector de Poynting apunta hacia el eje del cilindro, su sentido es hacia adentro (ver la ampliacin en el diagrama inferior)

El significado fsico del resultado (mdulo de S) es la densidad de potencia (Wm-2) que atraviesa la superficie cilndrica de radio r; el signo negativo significa que dicha densidad de potencia es entrante: ntese que esto cuantifica cuntos julios entran por segundo y por metro cuadrado dentro del volumen delimitado por el cilindro de radio r. Si hacemos r = R, tendremos la densidad de potencia que atraviesa el contorno externo del condensador, y si multiplicamos dicho valor por la superficie lateral tendremosVase apartado siguiente

P0. Vector Poynting condensador/ 312(d) El flujo de energa a travs de una superficie de rea dada es igual a la potencia que atraviesa dicha superficie. Conocemos ya el vector de Poynting a travs de cualquier superficie cilndrica de radio r R. Lo que se nos pide aqu es el flujo P del vector de Poynting a travs de la superficie lateral del cilindro de radio R.

rea del crculo de radio r

Superficie lateral del cilindro de radio R

rea

Comprese este resultado con el obtenido en (a) para la tasa de variacin con el tiempo de la energa total almacenada en el campo elctrico.Significado fsico de la igualdad

La potencia que fluye a travs de la superficie del cilindro se almacena en el campo elctrico.Clculo numricoI = 4.8710-7 A; Q = 7.1310-10 C.

P0. Vector Poynting condensador/ 41313El modelo de cable coaxial consiste en un conductor cilndrico no magntico infinitamente largo, de radio a, rodeado por una funda exterior conductora de radio b > a y grosor infinitesimal, la cual lleva la corriente de retorno. Entre ambos conductores hay un material magntico no conductor, homogneo y lineal de susceptibilidad m. Por el conductor interior circula una densidad de corriente uniforme J0 Am-2.P1. CABLE COAXIALExplicar cmo est distribuida la corriente de retorno en el conductor exterior y calcular los valores de los vectores magnticos H, M y B en todos los puntos del espacio.

Densidad de corrienteIntensidad = flujo densidad de corrienteLa corriente de retorno transporta la misma intensidad distribuida en una pelcula muy fina sobre la superficie del conductor exterior: se trata de una densidad superficial de corriente cuyo sentido es contrario al del vector J del conductor interno.

Material magntico no conductor

Conductor interior no magnticoConductor exterior (funda de grosor infinitesimal)

14Conductor interno

Ley de Ampre:

C1 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r1 e I es la corriente encerrada por C1.

Vista desde arriba, eje Z salienteConductor interno

Densidad de corriente

La corriente libre I genera un campo que slo tiene componente

ya que

slo tiene componente Z.

Vlido enCampo

Campo

La susceptibilidad del conductor interior es (material no magntico)

Campos H, M, B

P1. Cable coaxial / 2151515Material magntico

Ley de Ampre:

C2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r2 e I es la corriente encerrada por C2.

Vlido enCampo

Campo

La susceptibilidad del material magntico es

Vista desde arriba, eje Z salienteMaterial magntico

Densidad de corriente

La corriente libre I genera un campo que slo tiene componente

ya que

slo tiene componente Z.

radio a

Material magntico lineal

Campos H, M, B

P1. Cable coaxial / 316Zona exterior

Campos H, M, B

Densidad de corrienteVista desde arriba, eje Z salienteMaterial magntico

radio a

Ley de Ampre:

C3 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r3 e I es la corriente encerrada por C3.Como la lnea C3 abraza la corriente I0 del conductor interno y la corriente I0 del conductor externo, la corriente neta que abarca es nula, y por tanto el campo H es igual a cero para r > rb. Adems, al estar fuera del material magntico, M tambin es igual a cero, y por tanto tambin B es igual a cero. Fuera del cable coaxial todos los campos son nulos. P1. Cable coaxial / 417

Grficas campos H, M, B

No hay discontinuidad en H porque en la superficie del conductor interior r = a no hay densidad superficial de corriente libre.La densidad de corriente libre superficial K en r = b es la causa de la discontinuidad de H.Las densidades de corrientes superficiales de imanacin Kms son la causa de la discontinuidad de M en r = a y en r = b.El campo B slo tiene componentes tangentes, aparecen discontinuidades en r = a y en r = b.Clculo de corrientes de imanacin en transparencia siguienteP1. Cable coaxial / 518

dirigido desde dentro del material magntico hacia fuera

Corriente superficial de imanacin

Densidades corriente superficialLibre:De imanacin:CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACINP1. Cable coaxial / 61919Un toroide de material ferromagntico de espesor muy pequeo comparado con su dimetro tiene un entrehierro d = 2 mm. Sobre l se enrollan N = 517 espiras por las que se hace pasar una corriente I = 2 A. La circunferencia completa de la seccin central del toroide mide L = 942 mm (lnea discontinua en la figura). La grfica es la curva de primera imanacin del material ferromagntico. Determinar el campo magntico en el entrehierro. Cul es la permeabilidad de este material ferromagntico en las condiciones de operacin indicadas?

Solucin: Ley de Ampre aplicada a lo largo de la lnea discontinua:

Continuidad componente normal de B:

Subndices: f, ferromag; 0, entrehierro

Permeabilidad del material

P2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNTICO20Determinar el campo magntico en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanacin constante es Representar grficamente.

(0,0,z)

XYZ

El cilindro imanado se comporta como una lmina cilndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo mdulo es M0 (A/m)

Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magntico.

El campo magntico de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje esAnlogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz esP3. IMAN PERMANENTE

21Representacin grfica del mdulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L

P3. IMAN PERMANENTE / 222Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magntico H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanacin constante es: Representar grficamente para R/L = 0.25

Dentro del imn 0 z/L 1Fuera del imn

Fuera del imn H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario.

P3bis. IMAN PERMANENTE / 323P4. CLCULO INDUCTANCIA

Vista en perspectiva

Zona donde hay que calcular el flujo magntico

Campo total:Flujo:

Relacin flujo / autoinduccin

Coeficiente de autoinduccin por unidad de longitud:

Calcular la inductancia por unidad de longitud de una lnea bifilar de cables paralelos de radio a cuyos centros estn separados en el vaco una distancia d (d >> a).Campo magntico creado por cada conductor a la distancia x de su respectivo centro (ley de Ampre) 24P5. RESOLUCIN CIRCUITO MAGNTICO

El contorno exterior del doble cuadro de la figura est formado por un material de permeabilidad relativa 5024 cuya longitud media (lnea discontinua abcdefa) es 40 cm. El material del separador central tiene una permeabilidad relativa de 3024, y su longitud es 5 cm. El arrollamiento de la parte izquierda est formado por 100 espiras, por las que se hace circular una corriente de 1.2 A. Determinar el flujo magntico , el campo B y el campo H en las tres ramas del doble cuadro. (Pueden despreciarse las prdidas de flujo).Datos: Permeabilidad magntica del vaco: m0 = 4p10-7 H/m. El rea de seccin recta del doble cuadro es S = 10 cm2. Solucin. Veamos el circuito magntico equivalente

Rama Longitud Propiedades magnticas

Reluctancias del circuito magntico

Rama 1Rama 3Rama 225P5. RESOLUCIN CIRCUITO MAGNTICO /2

Reluctancias del circuito magntico

Asociacin de reluctancias en paralelo R2//R3

Reluctancia equivalente del circuito: serie + paralelo R1 + (R2//R3)Fuerza magnetomotriz:Ecuacin del circuito:

Flujo en el bobinado:Clculos de flujo en ramas 2 y 3: hay un divisor de flujo similar al divisor de corriente en un circuito elctrico.

26

Clculos de campos B

Campos B en el interiorClculos de campos H

Comprobacin de Ampre bucle izquierdo, camino efabe

(hay fmm)

Comprobacin de Ampre bucle derecho, camino bcdeb

(no hay fmm)Comprobacin de Ampre bucle exterior, camino efabcde

(hay fmm)

P5. RESOLUCIN CIRCUITO MAGNTICO /3BIBLIOGRAFALIBROS1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3 edicin. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill2. Wangsness R.K. Campos electromagnticos. Cap. 20. Limusa.3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniera. Cap. 5. Addison-Wesley.4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm RECURSOS EN LA REDhttp://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html 27http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos