Cap 3 Aplicaciones de La Integral

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 3 Aplicaciones de la Integral

79

3

3.1. ÁREAS DE REGIONES PLANAS 3.2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

3.3. LONGITUD DE UNA CURVA PLANA

3.4. VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN 3.5. INTEGRALES IMPROPIAS.

Objetivo:

Calcular áreas de regiones planas generales,

volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una

curva plana.

Evaluar integrales de funciones no acotadas


80

3.1 AREAS DE REGIONES PLANAS

3.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA

Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida.

Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será: dxxfhdxdA )(

Por tanto, el área de la región plana está dada por: b

a

dxxfA )(

Ejemplo 1

Hallar el área bajo la curva 2xy en 3,1

SOLUCIÓN: Primero, hacemos un dibujo de la región:

El área bajo la curva estará dada por:

1 3

2y x

x

y

Fig. 3.1

Fig. 3.2


81

33

3 3 32

11

3 1 27 1 26

3 3 3 3 3 3

xA x dx

Ejemplo 2

Calcular el área de la región limitada por

0

6

y

xy

xy

SOLUCIÓN:

Primero se dibuja en el mismo plano xy y 6 xy

Luego, identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. El área está dado por:

3

22

24836183

16

462

466

2

604

62

6

22

23

32

6

4

24

0

23

32

6

4

4

0

A

xx

x

dxxdxxA

Para regiones generales, la metodología sería debe ser algo análoga a la anterior.

49

049

03613

3612

6

6

2

2

22

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

Fig. 3.3


82

3.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS

Si la región plana tuviera la siguiente forma:

La idea sería básicamente la misma, hacer particiones de la región (se obtienen también rectángulos) y sumar las áreas de las particiones.

Siendo breve, el área del elemento diferencial será:

( ) ( )dA hdx f x g x dx

Entonces el área de la región plana está dada por: ( ) ( )

b

a

A f x g x dx

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región

plana, siga los siguientes pasos:

1. Dibuje las curvas dadas.

2. Identifique la región plana. Aquí se definen los

límites de integración.

3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento

representativo.

4. Defina la integral o las integrales para él área.

5. Evalúe la integral definida.

Fig. 3.4


83

Ejemplo 1

Calcular el valor del área de la región limitada por

2

4

2xy

xy

SOLUCIÓN:

PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4 xy y 22 xy

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:

3

2

2 24 dxxxA

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

6

5

1223

818

2

99

262

2

3

2)3(6

2

3

3

3

623

624

2323

3

2

23

3

2

2

3

2

2

A

xxx

dxxxdxxxA

23

0)2(3

06

24

2

2

xx

xx

xx

xx

Fig. 3.5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

2 2y x

4y x


84

Ejemplo 2

Calcular el valor del área de la región limitada por

0

623

y

xxxy

SOLUCIÓN:

PASO 1: Dibujamos xxxy 623

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:

dxxxxdxxxxA

3

0

23

0

2

23 6()0()0(6


12

253

2794

8112

3

84

)0(2

36

3

3

4

3

2

26

3

2

4

20

26

3426

34

66

6()0()0(6

234234

3

0

2340

2

234

3

0

23

0

2

23

3

0

23

0

2

23

A

xxxxxx

dxxxxdxxxx

dxxxxdxxxxA

230

0)2(3

06

06

2

23

xxx

xxx

xxx

xxx

Fig. 3.6


85

Ejemplo 3

Calcular el valor del área de la región limitada por 2 2y x

y x

SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos las curvas dadas PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:

Como la región es simétrica al eje y , calculamos el área de 0 a 2 y la multiplicamos por 2.

2

2

0

2 2A x x dx


2

22 3

2

0

0

2 2 2 22 3

8 202 2 4

3 3

x xA x x dx x

Fig. 3.7

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

y x y x

2 2y x


86

3.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y

Si la región plana tuviese la forma:

Aquí es conveniente hacer particiones en sentido horizontal, también se obtienen rectángulos cuya altura en este caso está dada por la distancia horizontal x , definida por la función. Para este tipo de región hay que tener la

ecuación de la curva en la forma x f y .

El área del elemento diferencial será: dyyfxdyhdydA )(

El área de la región plana se la obtiene sumando una cantidad infinita de

particiones que se forman ahora entre c y d ; Es decir: d

c

dyyfA )(

Y para el caso de regiones simple- y más generales, tenemos:

El área del elemento diferencial será: dyygyfhdydA )()(

Fig. 3.8

Fig. 3.9


87

Entonces el área de la región plana está dada por:

d

c

dyygyfA )()(

Ejemplo 1


0

6

y

xy

xy

SOLUCIÓN:

PASO 1: Se dibuja en un mismo plano xy y 6 xy

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Anteriormente este problema fue resuelto con el elemento diferencial vertical. Ahora lo resolveremos de la otra forma. SEGUNDO MÉTODO. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por:

2

2

0

22 3

0

2 3

2

6

62 3

2 26 2 0

2 3

812 2

3

22u

3

A y y dy

y yy

A

Fig. 3.10


88

Ejemplo 2


23

1

yx

xy

SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso Paso 4 y 5: El área de la región sería:

1 11

3 22 2

22 2

3 23 22

3 1 2 23 2

2 21 1 1 1 8 92 1 2 2 2 2 4 u

3 2 3 2 3 2 3 2

y y

A y y dy y y dy y

Ejercicios propuestos 3.1

Hallar el área de la región limitada por las curvas:

1. ,,2 2 xyxy

2. ,0,4 2 yxxy entre 1x y 3x .

3. 8,0,4 xyxy .

4. 01,342 yxxxy .

5. 0,42,2 xxyxy .

6. 0124,02 22 xyxy .

7. 422 xy,xy

8. xxyxy 4, 22

9. ,,6 3xyxy 4

2xy .

10. 3,1 2 xyxy

11. xyxxy 4,3 23

12. xxyxxxy 4,86 223

12

012

02

31

2

2

yy

yy

yy

yy

Fig. 3.11


89

3.1.4 AREAS EN COORDENADAS POLARES.

Ahora trataremos regiones simple- , regiones que están limitadas por curvas cuyas ecuaciones están dadas en forma polar.

En este caso, el elemento diferencial tiene la forma de un sector circular,

entonces su área está dada por:

drdA 2

2

1

Por tanto el área de la región está dada por:

2

1

2)(

2

1dfA

Ejemplo 1

Hallar el área de la región encerrada por ar SOLUCIÓN: Graficando la circunferencia ar e identificando la región, tenemos:

El área estaría dada por:

2

1

2 2

2 2 22 2 2

0

0 0

1 1 1 1( )

2 2 2 2

A f d a d a d a a

Fig. 3.12

Fig. 3.13


90

Ejemplo 2

Hallar el área de la región encerrada por cos1r SOLUCIÓN: Graficando la cardioide cos1r e identificando la región, tenemos:


2

1

2

2

0

2

0

2

0 0 0

0 0 0

0

2

1( )

2

12 1 cos

2

1 2cos cos

2 cos cos

1 cos 22 cos

2 2

1 sen 22sen

2 4

3u

2

A f d

d

d

d d d

d d d

A

A

Ejemplo 3

Hallar el área de la región encerrada por 3sen4r SOLUCIÓN: Graficando la rosa 3sen4r e identificando la región, tenemos:

Fig. 3.14

Fig. 3.15


91


4

624

6

00

6

6

624

6

624

2

6cos148

3163

342

16

)(2

1

6

6

0

6

0

6

0

2

6

0

2

2

2

1

A

A

sensenA

sen

d

dsen

dsen

dfA

Ejemplo 4

Hallar el área de la región encerrada por el rizo de cos42r SOLUCIÓN: Graficando el caracol cos42r e identificando la región, tenemos:


Fig. 3.16


92

374

2

32

2

3164

0sen20sen16)0(123

2sen23

sen163

12

2

2sen48sen164

2

2cos116cos164

cos16cos164

cos16cos164

cos422

12

)(2

1

3

0

3

0

3

0

3

0

3

0

2

3

0

3

0

3

0

2

3

0

2

2

2

1

A

A

A

A

ddd

ddd

d

d

dfA

Ejemplo 5

Hallar el área de la región interior a ambas curvas

cos1

sen3

r

r

SOLUCIÓN: Graficando las figuras e identificando la región, tenemos:

El ángulo de intersección se la obtiene igualando las ecuaciones de las curvas y luego resolviendo la ecuación trigonométrica que se forma, es decir:

Fig. 3.17


93

3

21cos1cos

01cos21cos

01coscos2

02cos2cos4

coscos21cos13

coscos21sen3

cos1sen3

cos1sen3

2

2

22

22

22


34

3

43

316

9

4433

16

3

4

8

33

22

3

2

1

8

3

62

3

4

2sen

2

1sen2

2

1

4

2sen

2

1

2

3

cos12

1sen3

2

1

3

3

0

3

2

3

0

2

A

A

A

A

ddA


1. Hallar el área limitada por la curva 3cosar .

2. Determinar el área de la región exterior a sen2r , e interior a sen5r

3. Determine el área de la región interior de la cardioide cos33r y exterior a la cardioide

senr 33 en el primer cuadrante

4. Determine el área de la región dentro de la circunferencia senr 3 y fuera de senr 2 .

5. Determinar el área interior a 2cos82 r y exterior a 2r .

6. Calcular el área de la región que es externa a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide

cos22r

7. Determine el área interior al limaron senr 63 pero exterior al rizo.

8. Hallar el área de la región interna común entre 2cosr y 2senr

9. Determine el área de la región 2cos633/, rrR


94

3.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar 0360 con

respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN.

En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.

CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se

muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un sólido de revolución:

El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera:

Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.

Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por:

dxxfdxrdV22 )(

Fig. 3.18

Fig. 3.19


95

Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes de las particiones, es decir:

dxxfV

b

a

2)(

CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea

en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido de revolución de la siguiente forma:

Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO

El volumen del sólido diferencial estaría dado por:

dxrrdV2

1

2

2

Observe que: )(2 xfr y )(1 xgr entonces:

dxxgxfdV22

)()( .

Fig. 3.20

Fig. 3.21


96

Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana alrededor del eje "x", estaría dado por:

b

a

dxxgxfV22

)()(

CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región anterior en torno al eje "y":

El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:

Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular:

r2 h

dx

Fig. 3.22

Fig. 3.23

Fig. 3.24


97

Su volumen sería:

rhdxdV 2

Observe que:)()( xgxfh

xr

Por tanto el volumen total del sólido sería:

dxxgxfxV

b

a

)()(2 .

Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.

Ejemplo 1

Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana

xy

xyR

8:

2

alrededor

del eje x. SOLUCIÓN: PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas. PASO 2: Identificamos la región. PASO 3: El elemento diferencial, lo escogemos vertical Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por:

dxrrdV2

12

2 y en este caso xr 82 y 2

1 xr

PASO 4: Por tanto:

2 22

2 52 22 4 3

00 0

32 488 8 8 16

2 5 5 5

x x

V x x dx x x dx u

NOTA: resuelva el ejemplo tomando el elemento diferencial horizontal.

20

08

8

8

3

4

2

xx

xx

xx

xx

Fig. 3.22


98

Ejemplo 2


xy

xyR

8:

2

alrededor

del eje y. SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la del ejercicio anterior PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje "y" da lugar a una Corteza

Cuyo volumen está dado por rhdxdV 2 y en este caso xr y 28 xxh

PASO 4: Por tanto:

2 2

24

3 52 32 2

00 0

45

32

2 82 8 2 8 2

5 4

2 8 2 32 242 2 (0) 2 4

5 4 5 5

x

V x x x dx x x dx x

u

Ejemplo 3


xy

xyR

8:

2

alrededor

del eje 4y

SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores

PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 4y " da lugar a una Anillo

Fig. 3.25

Fig. 3.26


99

El volumen de este diferencial está dado por dxrrdV2

12

2 y en este caso 22 4 xr y

xr 841

PASO 4: Por tanto, calculando el volumen tenemos:

3

23235

2

0

23235

2

0

21

24

2

0

42

2

0

222

15

206

3

12816

3

64

5

32

)0(23

232

2

28

3

28

5

2

3

232

28

38

5

8888

88816816

844

uV

xxxx

dxxxxx

dxxxxx

dxxxV

Ejemplo 4


xy

xyR

8:

2

alrededor

del eje 1y

SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores

PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1y " da lugar a una Anillo

El volumen de este diferencial está dado por dxrrdV2

12

2 y en este caso 2

1 1 xr y

xr 812

Fig. 3.27


100

PASO 4: Por tanto:

3

5322

3

2

0

53223

2

0

422

1

2

0

42

2

0

222

15

174

5

32

3

1616

3

32

)0(5

2

3

22242

3

28

532

28

23

82

2882

218821

181

uV

xxxx

dxxxxx

dxxxxx

dxxxV

Ejemplo 5


xy

xyR

8:

2

alrededor

del eje 2x SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores

PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 2x " da lugar a una corteza

El volumen de este diferencial está dado por rhdxdV 2 y en este caso xr 2 y 28 xxh

PASO 4: Por tanto:

Fig. 3.28


101

3

42

53

23

2

0

425

323

2

0

32

322

1

2

0

32

2

0

2

15

88

4

16

5

32

3

16

3

322

)0(4

22

5

24

3

222

3

282

42

522

32

23

242

222242

82822

822

uV

xxxx

dxxxxx

dxxxxxx

dxxxxV

Ejemplo 6


xy

xyR

8:

2

alrededor

del eje 1x SOLUCIÓN: PASO 1 Y PASO 2: La región plana es la misma que la de los ejercicios anteriores

PASO 3: El elemento diferencial girado en torno al eje " 1x " da lugar a una corteza

El volumen de este diferencial está dado por rhdxdV 2 y en este caso xr 1 y 28 xxh

PASO 4: Por tanto:

Fig. 3.29


102

3

42

53

23

2

0

425

323

2

0

32

322

1

2

0

32

2

0

2

15

152

4

16

5

32

3

8

3

162

)0(4

22

5

24

3

22

3

242

42

522

32

3222

22222

882

812

uV

xxxx

dxxxxx

dxxxxxx

dxxxxV

Ejercicios Propuestos 3.3

1. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R alrededor del eje indicado; siendo R la región limitada por las curvas, cuyas ecuaciones se dan a continuación:

a. 1,0,0,2 2 xxyxxy ; eje y

b. 4,tg,2

,1

xxarcyyx ; eje y .

c. 1;1

1,3,1,3,0

xeje

xyxxyy .

2. Sea R la región limitada por las curvas: x

yxy1

,2 y las rectas 2,0 xy ..

a) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje 2x .

b) Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor del eje 1y .

3. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar en torno al eje 9x la región limitada por

las curvas: xyxy 3,92 .

4. Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor de la recta 4x , la región acotada por

las curvas: 3, 22 yxyyx .

5. Encuentre el volumen del sólido generado por la rotación en torno a la recta 2y de la región del primer

cuadrante limitada por las parábolas 048163 2 yx , 080162 yx y el eje de las y .

6. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje y, donde R es:

0

05

4

0

2

03422

x

yx

y

y

x

yyx

7. Sea la región 2241/, xyxyxR . Calcule el volumen del sólido generado al girar R alrededor

del eje: a) 1x , b) 1y


103

3.3 LONGITUD DE ARCO

Siguiendo el esquema de procedimientos para determinar áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos de revolución, se hacen infinitas particiones de la curva y se establece una suma infinita.

Una partición diferencial tendrá la forma:

Y su longitud está dada por: 22 dydxds

1. Si )(xfy entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:

dxdx

dydx

dx

dydxds

222

1

Es decir:

b

a

dxdx

dys

2

1

2. Si )(yfx entonces se utiliza el diferencial de arco de la forma:

dydy

dxdy

dy

dydxds

222

1

Es decir:

d

c

dydy

dxs

2

1

ids

dx

dy

Fig. 3.30


104

3. Finalmente si

)(

)(:

tyy

txxC entonces se utiliza el diferencial de arco de la

forma: dtdt

dy

dt

dxdt

dt

dydxds

2222

Es decir:

2

1

22t

t

dtdt

dy

dt

dxs

Ejemplo 1

Encuentre la longitud de arco de la curva 23

xy desde el punto )1,1( al punto )8,4(

SOLUCIÓN:

En este caso usamos el diferencial de arco de la forma

b

a

dxdx

dys

2

1 ¿por qué?

Ahora 21

2

3x

dx

dy

Por tanto:

23

4132

3

4

1

23

4

1

4

1

2

21

4

1

2

1027

8

49

4

91

3

2

4

91

2

31

1

s

x

dxx

dxx

dxdx

dys

Fig. 3.31


105

Ejemplo 2

Encuentre la longitud de la curva 21;1

1

3 xduuy

x

SOLUCIÓN:

La longitud de arco esta dada por:

2

1

2

1 dxdx

dys

Para lo cual la derivada sería: 11 3

1

3 xduuDdx

dy

x

x

Reemplazando resulta:

2 2 2 22

23 3 3

1 1 1 1

25

2 5 52 2

1

1 1 1 1 1

2 22 1 4 2 1

5 5 52

dy

s dx x dx x dx x dxdx

x

Ejemplo 3

Calcular la longitud de la circunferencia 222 ayx

SOLUCIÓN: Para este caso es mejor calcular la longitud de arco con la forma paramétrica

2

1

22t

t

dtdt

dy

dt

dxs

La ecuación de la circunferencia en forma paramétrica es:

20;

sen

cos: t

tay

taxC

Por tanto tadt

dxsen y ta

dt

dycos . Reemplazando resulta:

Fig. 3.32


106

2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2

22 2 2

0

0 0 0

sen cos sen cos

sen cos 2

dx dys dt a t a t dt a t a t dt

dt dt

a t t dt a dt a dt at a

Ejercicios Propuestos 3.4

1. Determine la longitud de arco de la curva 4

;cosln1 xxy

2. Determine la longitud de arco de la curva:

ty

ttx

cos1

sen en el intervalo 40 t

3. Determine la longitud de arco de la curva:

tatasenty

atsenttax

cos

cos en el intervalo 11 t

4. Encuentre la longitud de la curva 36

,1cos64

6

42

xduuuseny

x

3.3.1 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES.

La longitud de arco esta dada por:

dd

dy

d

dxs

2

1

22

Reemplazando, tenemos:

dsenfsenfs

dfsenffsenf

senfsenfffs

dfsenfsenffs

2

1

2

1

2

1

222222

2222

2222

22

cos)(cos)´(

cos)(cos)()´(2)´(

)(cos)()´(2cos)´(

cos)(´)(cos´

Resultando finalmente:

dffs

2

1

22)´()(


107

Ejemplo 1

Hallar la longitud de la circunferencia ar

SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta:

2

1

2 2

22 2 2 2

0

0 0

( ) (́ ) 2

s f f d a o d ad a a

Ejemplo 2

Hallar la longitud de la cardioide cos1r

SOLUCIÓN: Aplicando la formula y resolviendo, resulta:

2

1

2 2 2 2

0

2 2

1

0 0

2

2 2 2 0

0 0 0

( ) (́ ) 2 1 cos sen

2 1 2cos cos sen 2 2 2cos

2 2 1 cos 2 2 2cos 2 2 2 cos 4sen 8

s f f d d

s d d

s d d d

Ejemplo 3

Hallar perímetro de región interior a las curvas

cos1

sen3

r

r

SOLUCIÓN: En este caso el perímetro estaría dado por

Fig. 3.33


108

3

2 22 2

03

3

32 2

2 20 3

03

1

2

Per 3 sen 3 cos 1 cos sen

Per 3sen 3cos 2cos 3 4sen

3 3Per 4 4 2

3 3

d

d d


1. Determine el área y el perímetro de la región interior a las curvas cos3r y cos1r .

2. Determinar:

a) El valor de a para el cual el área de la región limitada por la cardioide cos1 ar sea igual a

9 unidades cuadradas.

b) La longitud de la cardioide definida en el literal a).

3.4 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

Sea f una función continua en el intervalo ba, . El

VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO de f ,

denotado como f , está dado por:

b

a

dxxfab

f )(1

Ejemplo

Las estadísticas indican que " t " meses después del principio de año, el precio de la carne de res era

6.12.009.0)( 2 tttp dólares por libra. ¿Cuál fue el precio medio de la carne durante los 3

primeros meses?. SOLUCIÓN: El promedio del precio durante los 3 primeros meses es:

33

3 22

0

0

1 1 1 0.09 0.2( ) 0.09 0.2 1.6 1.6

3 0 3 3 2

10.81 0.9 4.8 $1.57

3

b

a

t tp p t dt t t dt t

b a


109

3.5 INTEGRALES IMPROPIAS

Se trata ahora de trabajar con regiones que estén limitadas por curvas no acotadas, que tengan asíntotas horizontales y verticales.

3.5.1 LÍMITES INFINITOS.

Se presentan cuando se plantean integrales de la forma

a

dxxf )( , o de la

forma

a

dxxf )( , o de la forma

dxxf )( .

En este caso, es una integral impropia porque uno de los límites de integración o ambos, no es una cantidad finita. En tal caso, deberá tratárselas con propiedad. Es decir:

N

a

N

a

dxxfdxxf )(lím)(

a

N

N

a

dxxfdxxf )(lím)(

Y finalmente la última integral por la propiedad de aditividad se la trataría así:

a

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Ejemplo 1

Hallar el área de la región

0

0:

x

y

ey

R

x

, en el primer cuadrante.

SOLUCIÓN: Dibujando las curvas dadas e identificando la región tenemos:

Fig. 3.34


110

El área de la región estaría dada por

0

dxeA x, la cual es una integral impropia, que escribiéndola con

propiedad tenemos:

N

x

N

x dxedxeA

00

lím

Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:

111límlímlím 0

0

eeedxe N

N

Nx

N

N

x

N

En este caso se dice que el área converge a 1 (21uA )

Ejemplo 2


0

1

1

:

y

x

xy

R

SOLUCIÓN:

El área de la región estaría dada por

1

1dx

xA , la cual es una integral impropia, que escribiéndola con

propiedad tenemos:

N

Ndx

xdx

xA

11

1lím

1

Al calcular la integral definida y luego tomando límite resulta:

1lnln1lnlnlímlnlím1

lím 1

1

Nxdxx N

N

N

N

N

En este caso se dice que la integral DIVERGE ( A ) es decir que haciendo la integral entre 1 y un número muy grande, el resultado es una cantidad muy grande.

Fig. 3.35


111

Ejemplo 3

Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar la región

0

1

1

:

y

x

xy

R , alrededor del eje x.

SOLUCIÓN:

El volumen del sólido estaría dado por

1

21

dxx

V , esto es una integral impropia, que escribiéndola

con propiedad tenemos:

N

Ndx

xdx

xV

1

2

1

21

lím1

Al calcular la integral definida y luego tomar límite resulta:

Nx

dxx N

N

N

N

N

11lím

1lím

1lím

11

2

Note que mientras el área era divergente el volumen es CONVERGETE. La convergencia o divergencia de la integral depende de su forma algebraica.

Ejemplo 3

Determina el valor de "k" para que el área bajo la curva de 21 x

ky

sea iguala a 1.

SOLUCIÓN:

Dibujando la curva para un k positivo sería:

El área estaría dado por

dx

x

kA

21.

Como es una función par, aplicando simetría, tendremos

0

212 dx

x

kA .

Escribiéndola con propiedad y resolviendo:

Fig. 3.36


112

kA

k

k

xk

dxx

k

dxx

kA

N

N

N

N

N

N

2

0

0

2

0

2

2

0arctgarctg2

arctglím2

1

1lím2

1lím2

Si la condición es que 21uA entonces 1k por tanto

1k

Ejemplo 4

Determine para qué valores de "p" la integral impropia

1

1dx

x p converge y para que

valores diverge. SOLUCIÓN:

Escribiendo con propiedad la integral impropia tenemos:

N

pNdx

x1

1lím

Se observa que hay que considerar 2 casos: si 1p y si 1p

Primero si 1p tenemos:

1lnlímlnlím

1lím 1

1

LnNxdxx N

N

N

N

N (Diverge)

Segundo si 1p tenemos:

pp

N

p

xdxx

pp

N

Np

N

N

p

N 1

1

1lím

1límlím

11

1

1

1

de lo último hay que considerar dos casos:

Si 1p entonces

ppp

N pp

N 1

1

1

1

1lím

11

(diverge)

Si 1p entonces pppp

N pp

N

1

10

1

11

1

1

1lím

11

(converge)

Por lo tanto:

1;1

1

1;1

1

pp

p

dxx p


113

3.5.2 INTEGRANDOS INFINITOS Ahora trataremos regiones que están limitadas por curvas no acotadas, las

graficas de las curvas tienen asíntotas verticales

Ejemplo 1


0

0

1

:

y

x

xy

R .

SOLUCIÓN: La región referida sería:

La integral para el área es: 1

0

1dx

xA note que la función

xxf

1)( no está definida en 0x por

tanto es una integral impropia, que escribiéndola con propiedad y resolviendo resulta:

0ln0ln1lnlímlnlím1

lím1

0

1

0

1

0

1

0

txdxx

dxx

At

tt

t

t (diverge)

Ejemplo 2

Calcular

2

1

2

1dx

x

SOLUCIÓN:

Fig. 3.37

Fig. 3.38


114

La función no está definida 0x , por tanto es una integral impropia que debemos tratarla de la siguiente

manera:

)(1

2

11lím

11lím

1lím

1lím

1lím

1lím

1

2

1

2

00

2

010

2

20

1

20

2

1

2

divergedxx

tt

xx

dxx

dxx

dxx

tt

tt

t

t

t

t

t

t


1. Evalúe la integral impropia dada o demuestre que es divergente.

a.

1

dxex

b.

522 xx

dx

c.

0

sen dxxe x

d.

dx

x

x

22 4

e.

3

29 x

xdx

f.

3

0

2 2xx

dx

2. Dada la curva xey , determine el área bajo la curva para 2lnx .

3. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y .

1030/, xyxyxR

4. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por 0,1

, yx

yxy ;

alrededor del eje x (en el primer cuadrante).

5. Sea R la región del primer cuadrante bajo la curva 32

xy y a la izquierda de 1x .

a) Determine el área de la región R.

b) Encuentre el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje 1y .

6. Encuentre los valores de "p" para los cuales la integral 1

0

1dx

x p converge y los valores para los cuales

diverge.


115

Misceláneos

1. Sea R la región definida por : 2, / ln 1 1R x y x y x e . Calcule:

a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y"

2. Sea la región

2 2, / 2 4 0 2 4 0R x y x y x x x y x x

Calcule:

a) El área de la región R.

b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 4y

c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1x

3. Calcule el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar la región

2 2, / 14R x y x y x

Alrededor de la recta 4x .

4. Calcular el área de la región interior a la rosa 2cos2r y exterior a la circunferencia 1r .

5. Sea la región R limitada por la recta 0x y la curva xy 42 . Determine el valor de " a " de tal modo

que la recta ax divida a la región R en dos regiones de igual área.

6. Sea la región 240/, xyyxR . Determine el valor de " a " de tal modo que la recta ay

divida a la región R en dos regiones de igual área.

7. Calcule el área de la región xyxxyxyyxR 21222/, 2

8. Calcular el área de la región interior a cos2r .

9. Sea 1012/, 2 xxyxyxR . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la

región R alrededor de la recta 1x

10. Calcular el área de la región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño de cos42r .

11. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas 2,0,22

2coscos2

t

tsensenty

ttx

12. Sea R la región limitada por

xxy

xy

y

4

0

2

2

Calcule: a) El área de la región R.

b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1x

13. Calcular el área de la región interior a cos21r y exterior a la 1r .

14. Sea 22 230/, yxyxyyxR . Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar la

región R alrededor del eje 1y .

15. Calcule el perímetro de la región ubicada en el primer cuadrante y limitada por 13

2 3 xy ,

313

2 xy ,

3

8 xy , 0x , 0y .

16. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por 4

2xy , 21 yx ,

yx 3 , 0x alrededor de 2y .

17. Sea 22 42/, xyxIRyxR . Determine:

a) El área de dicha región R b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje "y"

c) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 2y .

18. Determine el área de la región dentro de 222 senr y fuera de senr 2

19. Encuentre el área de la región limitada por las curvas 3x

xey , 0y , 9x .

20. Determinar el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por 13 xy , 0y , , 1x

alrededor de 1x .

21. Calcule el área de la región que es externa a la cardioide senr 22 e interna a la cardioide

cos22r .


116

22. Sea R la región limitada por 3xy , 121 xy , 10 xy . Calcule el volumen del sólido que se

genera cuando la región R rota alrededor de la recta 8x .

23. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región R limitada por xy , 2y , 0x

alrededor de la recta 2y .

24. Hallar el área de la región limitada por 022 xy , 01242 xy

25. Hallar el área de la región limitada por 3cos4r que está fuera del circulo 2r

26. Calcular el área de la región interior a la circunferencia ar y exterior a la rosa 3asenr , 0a .

27. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas 3xy ,

xxy 22 alrededor de la recta 2x

28. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por las curvas 0;4 2 xxy ,

0y , 0x alrededor de la recta 2x

29. Hallar el área interior a cos6r y exterior a cos22r .

30. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por xy 2ln , 0y , ex

alrededor del eje:

a) ex

b) ey 2ln

31. Determine la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas

t

tey

sentex

t

t

0,cos

32. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región xyxyxR 14/, 2 alrededor

de la recta 4x

33. Calcule el área de la región comprendida entre 23 xy y la recta 12 xy

34. Calcular el volumen del sólido que se genera al rotar la región comprendida entre 2xxy , 0y

alrededor de la recta 1y

35. Determine el volumen del sólido que se genera al rotar la región 20/, xxyyxR alrededor de

la recta 2x .

36. Sea la región R definida por 2, / 0 11

xR x y x y

x

. Calcule si es posible:

a) El área de la región R.

b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor de la recta 1y

37. Calcular si es posible la longitud de la espiral 0;2 er .

38. Encuentre el volumen del sólido generado mediante la rotación de la región limitada por xey , 0y ,

3lnx ; alrededor del eje x .

39. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por 0;1

xx

y y

los ejes coordenados; alrededor del eje y .

40. Si 2

2

1, / 0 0

1R x y y x

x

. Determine si es posible el área de la región R.

41. Si 2

3

1, / 0 1R x y y x y

x

. Si es posible calcule el volumen del sólido que se

genera al rotar la región R alrededor del eje 1x .

42. Determine el valor del área de la región, en el primer cuadrante, limitada por

0

1

1

2

y

xy .

43. Encuentre el área de la región limitada por

x

y

2

1, y los ejes coordenados en el primer cuadrante.

44. Calcular si es posible el volumen del sólido generado al rotar la región R alrededor del eje x, donde

2, / 0 1 xR x y y y x y e .

45. Determine el volumen del sólido no acotado que se obtiene al girar en torno del eje "y" la región bajo la curva

0;2

xey x.


117

46. Determine los valores de c, 0c , tal que el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje

x, de la región limitada por el eje x, 1x y la función 1

( ) cf xx

exista.

47. Sea R la región definida por 2, / ln 1 0R x y x y x e . Calcule si es posible:

a) El área de la región R. b) El volumen del sólido que se genera al rotar la región R alrededor del eje y .

48. Determine el perímetro de la región ubicada en el plano polar, que está limitada por:

a) Una parte de la recta 2ln

b) El tramo de la cardioide cos1r para 2 , y

c) La espiral 2ln0,2 er

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Cap 3 Aplicaciones de La Integral