Cap 4 Potencial Electrico

,

[_CA_P_í_T~U_LO_'" ~4~' ~] ,

POTENCIAL ELECTRICO

4,1 Diferencia de Potencial entre Dos puntos A y 8

qo: Carga de prueba ( + ) que se desplaza desde A hasta B.

W AB" Trabajo realizado por el agente extemo que mueve a la carga.

WAS (+ ) -<> Vo > VA

WAB (+) -" V, = V,

WAB (-) -> Ve < VA

'A ~ - ~ V, = O

El potencial en un punto. tal como "B~ está definido por:

La unidad del polencial eléctrico en el S t . es el vollFo (V)

IV = 1 J/C lKV = lO'V lMV = tO~V

4.2 Relación entre el Polenclal y el Campo Eléctrico ,

4.2, 1 Si E es uniforme:

d ' distancia entre A y B.

69

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• 4.2.2 Si E no es urlllorme: r------,---,

I W~ J'-Va-V" =--q:-""- "E d i

Cuando A -t oc ( VA = O ), se tiene:

Va = - t~ d i ( potencial en un punto, tal como B )

4.3 Potencial debido a una Carga Puntual:

s; 1 q E ----- 4 n: 1:

0 r '2 , se tiene:

q f rBdr V V --- -a-"-41(1: r 2

o '.

4.3.1 El potencial en un punto osta dado por:

1 ( , 1 1 --- ---4 r.: lO o rll r ...

4.4 Potencial en un punto producido por un grupo de cargas puntuales .

70

1 Q So calculan los potenciales Vn debido a cada una de las cargas, como si las demás cargas no estuvieran presentes.

29 Se suman algcbralCamentc dichos potenciales.

~ V _ 1 ~ q, V = L. ,---- L -

'~1 411:1' 0 ¡- , r i

n E Z '

4.4 ,1 Si la distribución de cargas es continua

V= JdV =_' - J ~ 4 11: (o r

dq: elemento diferencial de la distr ibución de ca rgas.

4.4 .2 Debido a un disco cargado:

p

r; distancia de "dq" al punto donde se calcula V_

orr a2 :--- '!

4 rrc o r 4 nr o

q: carga total del disco

r » a



• 4.4.3 Debido a un Dipolo:

p q 2acosO

Vp = -4- -

" H ,

.q , O 1 P cos O

Vp= -4--

" H,

-q r» 2a

4.5 Energía Potencial Eléctrica ( U ).

4.5. 1 Para dos cargas q, y q2

u = (U = W)

4.5.2 Para un siste ma de más de dos cargas se cá lcula U para cada pareja de cargas y luego se suma algebraicamente.

4 .6 Cálcu lo de E a partir de V.

4.6.1 En un punto P:

E = ( Ex ; Ey ; El) donde:

a, Ex = - -

"' a,

Ey = - ay El =

4.6.2 Para un Dipolo :

Como: v =

En el gráfico:

y

,

Luego:

0 , " ,

p

,

p cos O

"

y

a, p Ey = -ay '" 4 It Eo

X2 _ 2 y 2

{x 2 + y 2)512

( . )

71



,

= ,---"= ===""POTENCIAL ELÉCTRICO

1.

2.

3.

72

Calcular la diferencia de potencial ( VA. - Ve ) entre los puntos A y B del campo eléctrico homogéneo de intensidad E = 4 N/C.

Solución:

•

2m

En principio, las lineas de fuerza esta dirigida en el sentido en que disminuye el potencial eléctrico. Por consiguiente el potencial en "A" es menor que el potencial en "B".

Luego: -(V .. -Va ) = E d .. por leoria

= 4~ . 2m= e

8 voltios

I VA -Ve = -8 voltios I

Calcular la diferencia de potencial ( V 1 - V 2 ) entre los puntos I y 2 del campo eléctrico homogéneo de intensidad E = 9 N/C.

Solución:

, '"1--1-- --t,l~ 2. -----_L

Las Ifneas de fuerza se dirigen de mayor a menor potencial eléctrico. Por consiguiente. el potenCial en "1" es menor que el poteocial en el punto "2", entonces: ( V

1 • V

2 ) es

negativo.

Luego: -(V¡-V2 ) .. E.d

- (V¡ - V2 ) = 9 ~ 3m .. 27 voltios. e

I V¡ -V2 ... 27voltiOS·1

La figura muestra un campo eléctrico homogéneo de intensidad E =. 10 N/C, represen- ' tado mediante de lineas de fuerza horizontales hacia la derecha. Determinar la diferencia de potencial eléctrica ( V 8 • VA) entre los puntos By A.

03m I < • I



4

5

, Solución:

La diferencia de potenc ial entre los puntos ( B Y A ) es igual al producto de la intensidad de campo "E" por la distancia "d" entre las superficies equipotenciales, que son perpendiculares a las líneas de fuerza.

. A •

r

, , : d=O.4m

, . " .

Las líneas de fuerza tienen el sentido, de mayor a menor potenc ial eléctrico, entonces:

VA> Va·

(VA-Vol = + E.d

(Va - V,,) = -E.d 10 !::: . ( 0.4 m) = - 4 voltios e

Luego: I VIJ-V A = -4vollios.

• > ,

, La figura muestra un campo eléct rico homogéneo de intensidad E = 500 KN/C, representado mediante líneas de fuerza hac ia la derecha. Determinar el trabajo real izado por un agente externo para trasladar una carga q '" 500pC, desde la posición A hasta B siguiendo como trayectoria la hipotenusa del triángu lo rectángu lo.

cb ______ '-4.El 'm

Solución:

Los puntos A y C se encuentran a igual potencial eléct rico ( V A

diferencia de potenc ial entre los puntos B y C es: Va <: Vc -'..> Vo - Vc := - 500 000 !::: .4 m '" - 2.106 vol tios.

e Luego: Vn - VA = - 2.106vollios

= Vc )' además la (VB - Ve ) = -E.d

El trabajo real izado contra el campo eléctrico es independiente del camino seguido, sólo Interesa el potencial inicial ( A ) Y final ( B ):

W;~rB = - 100J

Luego, el trabajo realizado por el agente externo es igual a 100 J, el signo ( - ) significa que el agente externo se opone al movimiento de la carga "q".

, ------:----, B

La carga O = 2. 10 3 C, que muestra la figura. genera un campo en el espacio que lo rodea. Determinar el trabajo que debe realizar un agente externo para mover una carga de prueba qo = 411 e, desde el punto A hasta el punto B. Q

2m A

73



• Soluci6n:

Hallando los potenciales en los puntos A y B generada por la carga ~Q' .

v = K . Q d

V. = 9.109 • 2. 10-3

:::: 2

V. = 9 . 106 voltios

V, = 18 . 1 ()6 vol tios

Trabajo realizado sobre la carga ~qo·:

9.1 ()II

. . ( 1 )

. .... ( 2 )

W".6 = qo (Vs" V,, } W",B = 4.lO,8 C(9.lOS V)

luego: I W A. --> B = +36 J

6. Determinar el trabajo que debe hacer un agente e)(terno para mover una carga de prueba qo = 10 ~ C. desde el punto M hasta el punto A.

74

q l = 40.1O'9 C y q2 = · 30.W ·9 C

Solución:

Cálculo del potencial eléctrico en el punto A generado por las cargas ql y q2:

VA = VAl + VA2

v" = 9.109.

40 .10 -9

8

. . ... ( 1 )

_ 9.109 . 30 .10 9

6

VA = O

Cálculo del potencial eléclrico en el punto M:

VM = VM1 + VM2

v'" = 9.109,

40 .10- 9

5

VII. = 18 voltios . . .. ( 2 )

El trabajo externo para mover la carga ~qo" :

WM ... A = qo ( V ... · VM )

30. 10- 9

5

W",_ " = lO'9C (O - 18) V = - 1,8 .10·8J



,

Q , ,,= _________ a,

7. Tres cargas puntuales de magnitud O, = 40 1-1 C, O2 = -50 ~l C y 0 3 = 30 ~l C, han sido colocados en tres vértices de un rectángulo cuyos lados miden 30 cm y 40 cm como se muestra en la figura. Determi

. nar el trabajo realizado por un agente externo para trasladar una carga qo = - 2 Jl C desde el punto A hasta B.

JO cm

Q, -- - ------ B

Solución:

Cálculo del potencial en el punto "A": VA = V'A + V2A + V3A

Luego: VA = 72 . 104 V

Cálculo del potencial en el punto "B": VB = V1B + V2B + V31l

Luego : VB = 90 . 104 V

Cálculo del trabajo realizado por el agente externo sobre la carga "qo~

I W A .... B = - 0, 36 J I 8. En un hexágono, cuyo lado mide 3 m, se ubican seis cargas en los vértices cada una es

de +2.10.5 C, halle el trabajo sobre una ca rga de .1 0.3 C para moverla desde el infin ito hasta el centro del hexágono.

SolucIón :

Representamos el hexágono regular:

Cálculo de los potenciales:

• Punto de llegada "B" :

V = 6 [K 2 .10 -5c 1

• 3 m

En el $ .1.: N m' . ' K ., 9.10 cr

Va = 36.10~ V.

2.104 e (f¡,

2.10"' e e. Jm

(1). 2.104 e

2. 1 0~ e

Z .. A

, , . . . . .

o o 3m' " " • • (1) 2 . 1 0~ e

. " ' Jm .J m

. (fl 2.10· e

75



9.

• • Punto de salida uA~:

Como es en el inhnito: VA = V = O

Cálculo del trabaJO' W = (Vs-V ... )qo

W = (36. 104 V - O)( · l o3e)

IW= -360J

La Itgura muestra una pirámide de altura 24 m y base cuadrada cuya diagonal mide 14 m. En los vértices del cuadrado se han colocado 4 cargas eléctricas puntuales. O = 25 C. idénti cas. Determinar la ene rgía potencial eléctrica de la carga q = 2 P e, ubicada en el vértice "A"" de la pirámide.

Solución:

A

'),""l-.-¿, o " -'

O' "-'--'-----"10

Calculo del potencial eléctrico en el punlo -A". Las cargas ~Q" equidistan del punto A, donde d = 25 m

VA = 4K. O = 4.9 . 109 (25) d 25

VA = 36 109 volhos ( 1 )

Cálculo de la energía potencial de la carga "q", ubicado en el punto A.

Ep = q . V",

Ep = (2. 10 6C ).36. 109 V

EP=72KJI

1 Q. En los vértices de un triángulo equilátero se han colocado tres cargas e léctricas puntuales de magnitud: a ; -20 ; 30.

7C-

Sabiendo que la carga "a" genera un potencial de 10 volt ios en el ba ricentro de triángulo, determinar el potencial eléctrico resultante en el baricentro.

Solución:

Las cargas equid istan del punto "G". po r consigu iente el potencial eléctrico gene r~do por cada carga e's proporcional

la magnitud de la carga. El signo de la carga y del potencial nerado son Iguales:

- O: - 20: ... 30'

potencial eléctrico: + 10V potoncial eléctrico: -20V rotencial eléctrico: +30V

o

, , , ,

, , , ,

G

-, o , ,

, ,

30



, Potencial eléctrico resul tante en el punto "G"

VG

:: 10V - 20V + 30V

V G = 20 voltios I

11 Se tiene "n + 1" esferas conductoras de igual radio de curvatura, de los cuales una sola esfera tiene carga y esta es de q '" 12811 C, Si ésta se pone en contacto con la segunda esfera hasta alcanzar el equilibrio eléctrico, luego con la tercera, repitiéndose el proceso con las otras esferas restantes_ Hallar el número de esferas, si después del último contacto la carga de la eslera inicial es 2 p C.

Solución:

Cuando dos esleras de igual tamaño se ponen en contacto , estas se repa rten las cargas equitativamente.

Carga de la esfera inicial: q

Después del ler contacto: q/2 Después del 2do contacto: q/4 Después del 3er contacto: q/8

Después del n-ésimo contacto:

Reemplazando el dato :

Luego:

..2!... = 2 u C 2' .

128 = 2 ~· 1

{n + 1)=7

12. Dos esferas conductoras de radios de curvatura "r" y "R" (R = 2r ), se encuentran cargados con magnitud:q =+ 16 IlC y Q = -4.l1 C, alejados entre si una distancia infinitamente grande, Determinar la carga final que tendrá cada esfera tiempo después que se les conecte mediante un alambre conductor.

Solución:

q Q

B

Al cerrar la llave "S" , se establece un flujo de cargas eléctricas (convensionalmente positivas) de mayor a menor potencial. El flujo de cargas eléctricas cesa cuando los potenciales eléctricos en A y B alcanzan igual valor, Inicialmente V A. > VB,

V'" = V'B -"> K. '..r = K Q:. , R

q' Q' ~ = -

Q' = 2 q' . ( 1 )

77



• PrinCIpio de conservación de las cargas eléctricas:

Luego.

q+O=q'.Q'

q' = 41-1 e Q' '" 8 J.I e

16~C - 4I-1C = q'+2q'

13. Una estera conductora de radio de curvatura r =- 3 cm y cargada con magnitud q = 250 ~l C. se pone en contacto con otra eslora conductora de radio de curvülura A ;:: 4 cm. descargada (Q = O). Después de separar las esferas, hallar la carga en cada estera

Solución:

R

Cuando ponemos en contacto las esferas se establece un fluJo de cargas eléctricas, de tal modo que las cargas se repat1en directamente proporcional al cuadrado de sus radios de cu rvatura.

Q' O' -¡:T = ¡:¡-r

q'= ~ Q' \ 6

-?

.... (

Principio de conservación de las cargas eléctr icas:

Resolviendo:

250 I-IC.O =~Q' \ 6

Q'= 160IlC

q' = 9011 e

q +Q=q'+Q'

+ Q'

14. Dos gotas de agua esféricas de radios de curvatura A¡ = 1,0 mm y A2 = 3.[7 mm y

78

cargadas con magnitud: q¡ :::: 20 11 e y q2:: · 70 11 e

luego se Juntan las gotas para formar otra gota también esférica. Determinar el pOlencial elécl rlco de la nueva gola considerandola como una eslera conductora.

Solución :

Principio de conservación de la masa: R, R

mi + m2 = m ...... ( 1 ) +

D. VI + D . V; :: D. V (I ,.m, (I" m,



• Reemplazando: R = 2 mm

Principio de conservación de las cargas eléctricas:

q l + q 2::: Q

Reemplazando: Q = ·50 11 C

..... ( 21

Cálculo del potencial eleclrico, de la nueva gota: Q

VE = K. R (5.1O -~)

= 9 10' x ',,~..,-! . -2.10 3

I VE ::: · 225 MV I

15. Dos esferas conductoras de radios de curo vatura r = 1,0 m y A ::: 2,0 m, se en· cuenlran cargados con magmlud: q ::: 60 11 C y Q ::: ·30 ~I C, respectivamente. Determinar la diferencia de potencial en· tre los puntos A y B, sabiendo que la distancia de separación entre A y B es d = 4,0 In.

q,....-,... A B

~ ------- --- -I d

Solución:

Para un análisis exterior se considera que toda la carga de un cuerpo esférico se encuentra concentrado en el cenlro de curvatura.

Cálculo del polencial eléctrico en el punto "A* .

VA = K . .9. +_K_Q_ r (d + r)

VA = 9.10? (60.~0 *6) + 9.109 ( _ 30~1 0 · 6 )

VA = 495 KV ... ( 1 1

Cá lculo del potencial eléctrico en .el punto "8* .

V - K Q q e - . - + K --R (d+r)

(_ 30. 10-6 ) +9. 109 (60 . 10 6) 2 5

... . (21

Diferencia de potencial entre A y B: (VA-Ve) = 495 KV+ 27 KV

VA-Ve = 522 KV

79



• 16. Dos cascarones esféricos conductores, con radios U r" y "21", con cargas respectivas de

+ 14C y -4C, deben hacer contacto según sus casos, externamente ( caso A ) e internamente (caso B l. ¿Qué cargas tendrán los cascarones después del contacto. según sea su caso?

Solución:

En cada caso la carga lolal ( 14C - 4C ) se conservará:

Q = t Oe

Caso A : ( Contacto externo ). Recuerde que en cualquier cuerpo conductor. la ca rga positiva o negativa se aloja en la superficie externa, luego:

q\ q z 7 = (2r)2 . . . . • q • •

. . ( 1 )

Conservación de la carga:

Caso B (Contacto Interno). Como la carga de un cuerpo o sistema de cuerpos conductores se va a la superlicie exterior, los 10 e se alojan en el cascarón mayor:

I q, = 10 el I q, = O I

De aquí se desprende que si desde un cuerpo conductor se requiere pasar toda la carga a otro cuerpo conductor. debe pracllcarse un contacto interno.

17. Se muestran cargas cascarones ( +0 )

80

y cargas sólidas (-q). determine cualitatIvamente la intensidad de campo eléctrico en tos puntos ~ A ~ Y aBo para cada caso.

Solución:

Primer Caso:

• • • . A •

• •

Sabemos que las líneas de fuerza salen de la carga positiva e Ingresan a las cargas negativas. pero como en este caso en el interior del cascarón no hay cargas negahvas luego interiormente no se lorman lineas de tuerza



• la intensidad de campo eléctrico ( E) es directamente proporcional al número de lineas de fuerza, como no se forman líneas de fuerza en el interior del cascarón la intensidad de campo eléctrico en cualquier punto interior será cero.

EA = O

Segundo Caso:

Al ubicar una carga negativa ( -q) en el interior del cascarón, se forman líneas de fuerza que salen del cascarón ( +Q ) e ingresan a la carga negativa ( -q l.

Esto quiere decir que en el interior del cascarón si existe campo eléctrico , luego:

18. Un anillo conductor de 3 m de radio liene una carga de 3.10.2 e uniformemente distribuida. Si desde un punto de su eje de simetría a una distancia de 4 m de su centro O se coloca un cuerpo de 0,2 kg de masa y -10-5 e de carga eléctrica, hallar su velocidad cuando pase por el punto O. Desprecie la acc ión de la gravedad sobre el cuerpo.

Solución:

m - - - - - -. Q (- )

Hallaremos primeramente los potenciales eléctricos en los puntos A y O del espacio, generado por la carga distribuida del anillo:

v, o KQ 1:) V, 54.108 V é9~'~L o L R ~ . n,..~

! ,,:'1

V, Ka 1:) V, 90.1Os V

~''-'" :~. "",,, ~'¡¡U".L1bA o o

R

Hallaremos a continuaci6n la Energra Potencial Eléctrica que tiene la carga movil q cuando pasa por estos puntos:

EPE!e~A = -540 J

EP~I'CI B = - 900 J

Finalmente, como sobre la carga m6vil s610 actúa una fuerza electrostática, que es una fuerza conservativa, se conservará su energla mecánica, es decir:

81



•

Q -540 = · 900 + .2. (02) V2 2 '

.. I V = 60 mis I 19. Un cascarón metálico de radios r: Interno y A: externo tiene una ca rga "+0 ", encuent re

el palencial eléctrico en el centro del cascarón .

Solución:

Las cargas se ubica en la superficie exterior del cascarón metallcQ, todo sólido metal es conductor.

Tomamos pequeñas cargas sobre la superlicie externa del cascarón. luego: en el centro ( O ):

V.

V q , q 2

=K - + K -+ K R R K

Vo - R [ q¡+q2 + q,+q~+·

La suma de estas pequeñas cargas será ~O~. luego:

+

+

~ ~

20. En una esfera no conductora de radio R se distribuye uniformemente una carga q.

82

a) Demostrar que el potencial a una distancia r del centro de la esfera, en donde r < A, está dada por:

V =

b) Segun esta expresión V no es cero en el centro de la eslera, ¿es esto razonable? ,

Solución:

al Primeramente calculamos la carga q de la esfera de radio r.

Para la esfera de radio R:

Para la esfera de radio r:

De( 1 )y( 2 ):

q p=--4 ,

- r.: r 3

. .... ( 1)

q' P= i

1t r 3· · · ·· (2)

3

q' = [ ~: 1 q . .. .. ( 3)



•

Ahora por definición : Vr = - fE d i", - L~ d i -LE d i (4 )

Luego reemplazamos ( 3 ) en ( 4 ) Y teniendo en cuenta que E depende de la carga encerrada, integramos en forma radial:

r' 1 1r14n: t o

. ( 5)

Vr = " q f d, q ~ -;:T - 4 /l f R 3 , _ o

v,o- - q [_1]" 4 n: t o r ~

Reemplazando los límites tenemos: v o -,-::-'q,-¡;-4 Ir [o R

Simpl ifica ndo y sacando factor común: V ::: 4 rrqto

( ~ - 2r;3 .... 2'R )

b) Según la última expresión para r = 0, tenemos:

3q V=81tf

OR

Pero esto no es razonable po r tra tarse de una esfera no conductora, se tiene que:

r=O =) q E""""ada=Ü --' .... E=O

->:> IVoO[ 2 1. Encontrar una distribución de tres cargas puntuales. separadas por distancias finitas, que

tenga una energía potencial eléctrica igual a cero.

Solución: q,

Como son Ires cargas puntuales, le damos la siguiente configuración: , ,

Luego' U ", K~ a '

8:.J



, Por condición del problema: U :: O

Si hacemos: q2 = q3 = q

En ( 1 ): q, = _..9. 2

K ~ (q , . q2 + q, . q3 + Q2' q~ ) = O

q, . q2 + q, . % + Q2' q3 = O

Q,(Q2+ Q3 ) = - Q2, Q3

, , Finalmente nuestro dispositivo será: /

, "q

. ( 1 I

22. al Demostrar que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo cargado de radio a. calculado directamente de:

84

v = f dv = - '- fdq

4 n eo r. está dado por: v =--

4 1t lO o

q

b) Oblener, a parti r de este resultado, una expresión para E en los puntos axiales; comparar con el cálculo direclO de E.

Solución: z

al Consideremos un elemento diferencial del anillo, de

longitud d I colocado en la parte superior del anillo. Es

te elemento d i contiene un elemento de carga dado por:

en donde 2 1t a es la longitud del anillo.

Además en la figura: r = ( t! + a2 )'12

Luego reemplazando en" V = fd,=-'- fdq

4 It 40 r

,

se tiene :

V - --1 f q d ' - 4 1tC

o 211a (x 2 + a 2 ¡ 112

,.

esta integral s610 depende de I que va desde O hasta 2 11 a , entonces:

V ---- d i ' [ q ) J'" - 411[ 0 2 It a(x 2+ a 2 )112 o

p

x



• q

b) Como el campo E es el gradiente negativo del potencial entonces para puntos axiales. Según la figura tenemos:

av E = --a,

Luego: E = - _ q_ ( - -,) ( x2 + a~ ). l!2 (2 x) 4 rr f o 2

E q'

23. En un segmento rectilíneo de longitud L se encuentra distribuida uniformemente una carga con una densidad lineal " }, •

al Determinar e l potencial electrostático (considerando que su valor es cero en el infinito) en un punto "P" que se encuentra a una distancia y ~y" de uno de los ext remos del segmento cargado y sobre la línea

que lo contiene (veáse la figura). b) Uti lizar el resultado de {al para calcular la componente del campo

eléctrico en "P" en la dirección "y" (a 10 largo de la linea).

el Determinar la componente del campo eléctrico en "P" en la direc- . L ción perpendicular a la línea.

Solución:

.P

a) Primero determinamos el potencial eléctrico de un diferencial de carga: d q = Á d u siendo u una variable.

kdq k Adu dV = --=--

y-u y-u

u es negativo y L es positivo. luego efectuamos la integración pa ra hallar el potencial de toda la barra en P.

. y

Evaluando los límites obtenemos: I V = K) ,n(,+ell b) Para hallar el campo eléctrico en la dirección y utilizamos:

T .... du

I

x

85



24.

86

•

"' Ey :::: () y entonces so obtiene:

Ey _ K} · L I - 'y(y+l)

e) Para hallar la componente del campo eléctrico en la dirección del eje "x" utilizamos:

E, "' a,

lo cual es cero porque la expresión del potencial no depende de "x",

Una ca rga cuya densidad lineal está determinada por ), = k x, en donde k es una constante, está distribuida sobre una varilla delgada de longitud L que se encuentra sobre el eje X como uno de sus extremos en el origen (x :::: O l, como en la figu ra. a) ConSiderando que el potencial electrostático en e l infinito

es cero, calcular V en un punto P sobre el eje Y.

b) Determinar la componente vert ical Ey de intensidad del campo eléctrico en P usando el resultado de (a) y también por cálculo directo.

e) ¿Por qué no se puede obtener la componente horizontal Ex del campo electrico en P usando el resultado de (a)?

Solución:

o ,

y

p

a) Primero determinaremos el potencial electr ico en el punto P debido a una diferencia de carga sabiendo que:

, o

d dq = I. dx = Kx .dx

Pero: dV -- 4 n: Eo x

d q

d

..... ( 1 )

( 21

reemplazando ( 1 ) en ( 2 ): 1 K x d x

dV - -- . .,-;= ::;c,,, -4llf

o (X 2 +y 2 ) 1I2

El siguiente paso integración así:

es determinar el potencial de toda la barra en el punto por

K . JL X dx V=4Ilf O 0 ( X2 +y 2 )1!2

= _' _K __ [{X 2 +y2)112]l 4 Ir Co o

K V = -- [ ( y2 + L2 )11"2. Y 1

4 11 Eo



• b) El campo vertical Ey es:

dv

dy

,---------c:-------,

Ey 4:Eo[1-(y :2 +Y

l 2)\J2j

e) la componente horizontal del campo no se puede obtener de (a) porque dicha expresión no contiene a la variable ~x~ .

25. Una estera hueca conductora de radio R y pared muy delgada está, montada sobre un soporte y se carga hasta que su potencial es -V. Desde un punto que se encuentra a una distancia -(' del centro de la esfera ( r » R ) se dispara a un electrón con una rapidez Inicial Vo a lo largo de una trayectoria radial y hacia el centro de la eslera. ¿Cuál debe ser el valor de Vo para que el electrón llegue Justamente a la superlicie de la esfera?

Solución:

Sabemos que la capaCidad eléctrica de una eslera hueca es:

C::=4JtE o A

Ademas: O ::= C.V

Luego el potencial eléctrico a la distanda "r" es:

o V, - ---

4 It lOo 4 It Ea

- 4nEa RV

v = , AV

En seguida aplicamos el teo rema del trabajo y la energía mocánica desde que es lanzado 01 electrón hasta que llega a la superficie de la esfera:

EM( I»I<:"") = EM( Fil\lll)

Ek(I_) + Ep lnoCIal) = Ek(F ...... l + Ep(FW\fII)

..!.mv 2 +O:: 2 '

Ahora para r » R se tiene:

de donde: V=J - 2VI¡ , m

VA 0- (+V ~ - )q , donde q = ~ 1,6.1O·u~C

NOTA: Para que el electrón llegue Justamente a la superf)c)e da la esfera, entonces dicha superficie su velocidad es cero.

87



,

26. ¿Puede una esfera conductora de 10 cm de radio colocada en el aire mantener una carga de 4. t0 6e, sin que se produzca una descarga? La inlensidad dieléctrica (el mínimo del campo necesario para producir el rompimiento del aire a una atmósfera es de 3.10 V/m ).

Solución:

Calculamos el campo eléctrico E que produciría con una carga de 4.10-6 C.

Por la Ley de Gauss sabemos que: Co fE . ds '" qN.~ . entonces:

Reemplazando valores:

4.10 .6

E - 4/tEo --,-,-

E = 9 .10 9 (4 .10 -6 )

( 10.10 -2 )2 E '" 3,6.106 V/m

Luego como la intensidad dieléctrica de 3.1OS Vlm es menor que el campo E necesariamente tiene que producirse descarga: por lo tanto NO se puede mantener una carga de esa magnitud.

27. Dos esferas huecas concéntricas, de paredes delgadas, conductoras y de radios R1 y R2 tienen cargas ql y q2 • respectivamente. Obtener expresiones para E ( r) y V ( r j, en donde r = O hasta r = 4 m. Para Al = 0,5 m, A2 = 1,0 m, ql = +2,0.10-! C y q2 = +1,0.10-1>C.

88

Solución: ,--, ,

, '-~-

, \

I

Primero hallaremos el potencial, sabiendo que éste en cualquier punto del espacio debido a una carga puntual. es:

V=K.9. , . .. . ( 1 )

También sabemos que la carga de una esfera hueca y conductora se puede considerar como una carga puntual concentrada en el centro de la esfera; además el potencial en el interior es igual al potencial en la superficie de la eslera.

Con estas consideracione~ y aplicando la ecuación ( 1 ) para cada esfera tenemos:

k q,

36.103 r sO,5m • A, VI•1 = ~ q, 18.10 3

k -.--- r>0,5m A,



•

={: ~ == 9.10 3

V, .2 A,

q, 9.10 3 -=--, Luego:

Vr :;

Graficando tenemos:

45.103

(18.:°3 +9.103) 27.103

4

, > 1

r s O,5m

0,5« 5 1

,> 1

v (KV) Ahora para hallar E, tenemos la siguiente relación:

45

, 27 --'-- ~V(¡)

05 2 3

Luego el gráfico es :

E, = r(m)

E (WC)

72 10'

27 10'

1810' -"-~ , , - ~ - - ' , , , ,

0,5 1 2 3

"V, E, = -"Tr""

, (m)

r S 0,5

0,5«:<;

28. El espacIo comprendido entre dos esleras concéntricas de radios r I y '2 se llena con matenal no conduclor que tiene una densidad de carga uniforme P. Determinar el potenCial eléctrico V como una función de la distancia r medida desde el centro de las esferas. considerando las regiones:

a) r > '2 b) " < r < '2 el r < " d) Coinciden estas ~olucjones en r = ' 2 Y en r = ',?

Solución: s

al Para r > ' 2

89



•

Aplicando la ley de Gauss' '0 ,( E d s '" p (Volumen) - q 'J' - Nela Enoorr_

(o E(4 It ( 2) =p( ~ 1[ [ ri - r: 1)

E = P ( r3_ r 3 ) 3

2 2 , ' o '

Luego el potencial se obtiene integrando el campo en la dirección radial.

Vr -= - J E d r = - J P (ri - r?) dr 3 Eo ( 2

b) Para r, <: r <: '2: Aplicando la Ley de Gauss:

[ 4 , 'l Co E ( 4rr r2 ) '" p "3 n (r2 - (, )

E = 3 2 ( rl _r,3) 'o '

p

En seguida aplicamos la integral de linea desde ( 2 hasta r, así tenemos que:

siendo:

V =_"_[ 3r; -~-il r 3 Eo 2 2 r

el Para r <: r , el potencial es constante e Igual al que loma la expresión anterior para r = r,"

Así:

29. Dos esferas metálicas de 3,0 cm de radio están cargadas con +1,Q, 10·8C y -3,O. 10 8C respectivamente. Si sus cenl ras se encuentran separados 2,0 m, calcular:

9

al El potencial en el punto medio entre sus cenl ros y b) El potenCial de cada esfera.



, Solución:

a) El potencial en el punto medio ~x· es:

Reemplazando valores tenemos:

V. = ( 1.1 0-8 - 3.10-8 )

V.= -180v l

b) El potencial en cada esfera es igual al propio mas el provocado por la aira carga,

Luego . K ~ +K~ , , r - r,

[1.10 -8 - 3.10 -8]

Reemplazando valores tenemos: V, ::: 9. 109 0,03 + 2 - 0,03

I V, ::: 2863 V

Reemplazando valores tenemos:

I VII ::: - 8 954 ,3 V

1.108 1

+ 2 - 0,03

30 Dos esferas conductoras. de radio 6,0 y 12,0 cm, cada una, y con cargas de 3,O. 10·eC, están separadas una gran distancia. Si las esferas se interconectan con un alambre conductor, determinar: a) La magnitud de la carga transferida y la dirección de su movimiento. b) la carga y el potencial l inal en cada esfera.

Solución: a,sa

0 ,- 0 ,,"--00 (ff- --- ~'

a) En primer lugar determinamos que la carga total del sistema se conserva, es decir:

Q,+q2 = 20 = 6 ,1O·a C ..... (1)

Q, y Q2 son las cargas l inales y a = 3. 1 O-a e es la carga inicial de cada eslera.

b) En segundo lugar el flujo de carga culmina cuando los potenciales de las esferas son iguales, es decir:

91



31.

02

•

K q,

K q,

[ :; 1 = q, ( i 1 - = ~) q, = q, R, R,

q, .. (2 I q,

2

Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) tenemos:

q, 2 + q2 = 6.10-8

3 6.10-8 '2 q2 =

Sean RI == 1.0 cm y R2 = 2 .0 cm en la figura, Antes de conectar a las esferas con alambre delgado, se coloca una carga de 2,0.10 7 e en la esfera pequeña y la grande no tiene carga. Calcular: al la carga b) la densidad superficial de la carga .

-, I q, = 4 . 10 8 e

I q, = 2 .10-8 e

e) el potencia l de cada esfera una vez que se les ha conectado_

Solución:

al Por conservación de la carga:

Q, +Q2 = 2. 10 7 ..... ( 1 )

y

R,

Cesa el flujo de carga cuando los potenciales son iguales; entonces:

q, K - '" R,

q, = q, [ : ; 1 = q, ( i 1

Ree mplazando ( 2 ) en ( 1 ):

q, = 2.10"7 q2 + "'2 ~>

q, 2

q, = O, 67.1O-7 C

b) Las densidades superf iciales de ca rga son :

. . . (2 I

y



• ql 0,67.10 7 (J1 >z ___ o

4rrrf 4n:(10 2)2 -/ (JI 0,53.10 - 4 c/m 2

0 , >z~- 1,33.107

;;;;;;;) 1(J2 =0,26.1O - 4 c/m 2

4n:r~ -4n:(2 . 10 2)2 .

c) El potencial es común y vale:

I VI = V2 '" 6, 104 V I

0 ,67.10 -7

10 '

ILIIIEII 32. En la posición A mostrada en la figura se

abandona un bloque de 1 kg masa y 2 C de carga, el cual se mueve sobre la superficie cilíndrica, lisa y no conductora, de rad io de curvatura R = 1 m. Sabiendo que la intensidad del campo uniforme es E = 10 N/C, calcular la máxima fuerza de reacc ión que ejerce la superficie sobre el bloque.

,----

q = 10 m/s2

Solución:

Como sobre el bloque sólo actúan fuerzas conservativas. su energía mecánica se conservará en el tiempo, es decir:

EM ( en A ) + EM ( en B )

1 mg R + q ER = 2" m V2 .... . ( 1 )

Aplicando dinámica circular en la posición "B":

l---- AO-----' , ' , ' , '

R ' ,

------>::~: v' N - mg - qE = m._ . (2) R

Resolviendo de ( 1 ) Y ( 2): N = 3 ( m g + q E )

Reemplazando datos: N = 90 newtons I

33. La figura muestra un péndulo de longitud L = 0,5 m de masa m = 0,05 kg Y carga q = 500 ¡.t C, se abandona en la posición "A". El campo eléctrico de intensidad E = 600 N/C es uniforme, representado mediante lineas de fuerzas ve rt icales . Calcular la máxima ve locidad que adquiere "m". Considere: 9 = 10 m/s2.

,WJtj ,j\ t- i, -

93



Solución:

Luego:

•

Sobre el cuerpo esférico actuan dos fuerzas constantes: el peso ~m.g~ y la fuerza electrica "q.E- y la tensión "T" que es una fuerza variable.

La energía potencial del cuerpo será debido al ca mpo gravilatorio y al campo eléctrico.

La esferllla alcanza su máxima velocidad cuando pasa por su trayectoria más baja esto quiere decir cuando la energía po-tencial es mínima y la energía cinética será máxima. "Principio de Conservación de la Energía Mecánica·'.

E:> (A)+Ek(A) = Ep(B)+E\(B)

1 mgh + qEh + O = O +"2 m. V~ pero: h = L

Reemplazando: Y o.5m ( 10 + 500.10 6.600 l~ 0 .05 S 2

34. En la figura mostrada se abandona un bloque de masa ·m~ y carga "q~ en la posición ~Aw dentro de un campo homogéneo Eléctrico de intensidad E = 10 N/e. sabiendo que el bloque llega a la posición "B" con una velocidad 8 mIs. Hallar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento sobre el bloque. donde: m = 1 kg, q = 5 e y h = 1 m.

A , , ,

E

94

Desprecie el campo gravitatono. g = O.

Solución:

En principio la energía polencial, se puede presentar como energía potencial gravitatoria, elástica y eléctrica.

h

B ------------ - ---~--~

Teorema del trabajo y la energla mecánica. "Ellrabajo realizado por fuerzas diferentes a las fuerzas conservativas es igual a la variación de la energra mecánica".

, w" :: E .. ( 8 ) + EQ ( B ) - El( ( A ) - Ep ( A )

:: i .m.y2+0-Q-q.E.h

1 m2 N = 2 . 1 kg. 64 ""S2 - 5 e . 10 e . 1 m



•

WI, "" 32J - 50J = -18J

luego: wlr = -18J

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( fuerza NO conservativa) es igual a 18 joules.

Se dice que la fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por dicha fuerza es independiente del camino o trayectoria seguida. esto qUiere decir que sólo se necesita conocer el estado inicial y fmal del cuerpo.

Si el trabajo realizado por la fuerza depende del camino que se sigue, entonces la fuerza se denomina NO conservativa, ejemplo : la fuerza de rozamiento .

35. la figura muestra un péndulo de masa "m", longitud "L- y carga eléctrica "+q", dentro de un campo ( homogéneo) eléctrico ~E~ representado mediante lineas de fuerzas verticales . Hallar la mínima velocidad ·Vo• que se le debe comunicar en su posición más bajo. tal que, pueda describir por lo menos una vuelta en un plano vertical. Considere el campo gravitatorio "g".

Solución:

1,,1-1-. 01 : , ,

,

' ~ 'I v, I

, -" ~~' ~ , -: QE mg',

Dinámica circular, en el punto más allo. la tensión mínima en ·B~ debe tender a cero ( T -t O 1, de la condición del pro· blema.

, T - o ' , ' , , o' ,

rF ( radiales 1 = m . a(

v' ( qE ... mg) = m. L

. . ( 1 I

Principio de conservac ión de la energ ía mecánica.

EM ( A) = EM ( B )

Ep( AI ... Ek(A) = Eo( B)+E~(B)

1 1 '2 mV/ = ( qE ... mg) (2l 1 ... '2 mV2 ( 2 )

Reemplazando ( 1 ) en ( 2 J. tenemos:

1 :::: (qE ... mg J( 2L ) + '2

Vg = J ~L(mg+ qE)

( qE ... mg) L

95



•

36 Un bloque de 50 gramos de masa y carga q ;:= -50 ¡.le se abandona en la pOSICión A dentro de un campo alóclrico homogéneo do intenSidad E -= 6 kVlm Si no existe rozamiento, determinar la velocidad del bloque cuando pasa por B. A = 2 m y 9 = 10 mls2.

,-"-----~-----,= ," _-:-::-::-:~~~'~~~' , ---4-

:'~ ,~

---' -, ~ B ---

Solución: --~

"" I - '----~

El bloque se muevo dentro de dos campos homogéneos, eléctrico y gravitatorio perpendiculares entre si:

Por principio de conservación de la energía mecánica:

'~~-, g,

,

Reemplazando los datos en el S.I.:

37. Encuentre la velocidad de lanzamiento ( V) de una masa "m" con carga "-q~, sobre una superficie no conductora lisa, de modo que por acción de un campo eléctrico de Intensidad "E" la masa suba una altura máXima "h".

Solución:

, I

EM (enA) = EM(enB)

Epg( A) = Epe(B)+EK(B)

mgR

V = 8m/s

Euiiv Sobre la carga negativa la fuerza (E. q) es hacia arriba y como el desplazamll~n · to es también hacia arriba el trabajo será positivo, luego:

E

-0- V - - - - -

vT V l' ¿ _----- ---

El l rabaJo realizado por el campo eléctri· co es igual a la variación de la energía mecánica.

WCE = El" EQ -:> Eqh I

= mgh" 2" mV2

96

I I 2 h ( mg Eq)

V = V = m'----'=-"-"



• Demuestre que si la carga fuese positiva, ta velocidad sería:

2h(mg+Eq) m

38. Ha lle la energía potencial eléctrica de una distribución de 4 cargas iguales a "Q" ubicados

en los vértices y baricentro de un triángulo equilátero de lado ~a J3".

39.

Solución:

, Para mayor facilidad seleccione las energías potenciales que resulten semejantes.

Observe que en total debe hacer 6 combinaciones de dos en dos.

,~, , ' , , ,

a[3: : \..[3 , a, , Observe q~e hay 3 pares de carga cuya separación

es "a" y 3 pares cuya separación es • a J3". Luego:

,

K q' E =-(3+[31 , a

Un péndulo de 5 cm de longitud, masa .. 14,4 kg Y carga Q = 2 ~l e, se abandona en la posición A SI q = -3 Il e, determinar la máxima velocidad que adquiere la esferilla cargada m. 7T

: 6cm g .. 10 m/s2.

Solución :

--r 53·

------- --B h

d,

~1 La energía potencial de Interacción eléctrica varía, cuando la carga ~Q" cambia de posición.

De la figura se deduce: dj = 5 cm ,d2 .. 1 cm y h .. 2 cm

Por principio de conservación de la energla mecánica:

(Epe+Epgli = (Epe+ E~) f

KqO+mgh d,

= K q ° d,

1 + - mV2

2

97



• Reemplazando los datos en el S. I. y despejando tenemos:

V = 1 m1S!

40. Un eleclrón, cuya rapidez inicial es de 3,24.105 mIs, se lanza en dirección a un protón que está esencia lmente en reposo. Si al p rincipio el electrón se encontraba a una gran distancia del protón, ¿a qué distancia de éste su rapidez instantánea es igual al doble de su valor inicial?

98

(Sugerencia: utiliza r el teorema de la variación de la energía)

Solución:

Teorema de la variación de la ene rgía

. . 11 1

donde:

WFe = Trabajo realizado por la fuerza eléctrica.

\ E, = Variación de la energra Cinética .

• \ Ep = Variación de la onergía potencial.

En ( 1 ):

Despejando:

e . e l , , --=-- m l' . , 1+ 0

X 2 2 - Z 1

e ' , - ---2 It cg l ' , 1 m v 2 - V ,

Reemplazando valores se obtiene:

x = l ,6 . \O-9 m



Documents

Cap 4 Potencial Electrico