Capitulo 03 - Ecuacion Masa Energia Momento (1)

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Capítulo 3: Flujo 1D incompresible (ecuaciones: Masa, Energía/Bernoulli, y

Momento)

Ing. Luis Timbe C., PhDDirección de Investigación

Universidad de Cuenca

Mar. - Ago. 2015

Capítulo 4: Ecu. Masa, Bernoulli, y EnergíaHidráulica 2

Introducción

Este capitulo trata sobre las 3 ecuaciones comúnmente usadas en mecánica de fluidos

La ecuación de la masa es una expresión del principio de conservación de la masa.

La ecuación de Bernoulli (energía) se refiere a la conservación de las energías de: flujo, cinética y potencial de una corriente de fluido y su conversión.

La ecuación Momento (cantidad movimiento) es una expresión que relaciona las fuerzas y el movimiento de fluido.

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Sistema

Sistema: cuando las leyes se aplican a una cantidad de materia determinada.

Un sistema puede cambiar de forma, posición y condición térmica, pero debe contener siempre la misma cantidad de materia.

Ej. sistema de fluido/vapor dentro del cilindro de una maquina

Sistema cerrado


Volumen Control

VC: es un volumen definido, que se establece en el espacio. La frontera de este volumen se conoce como superficie de control.

La cantidad e identidad de la materia en el VC puede cambiar con el tiempo, pero la forma del VC permanece fija.

Ej. Flujo a través de un boquilla, como VC puede escogerse el interior de la boquilla.

Sistema abierto

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Conservación de la Masa

El principio de conservación de la masa es uno de los principios más fundamentales en la naturaleza.

La masa, igual que la energía, es una propiedad que se conserva, y esta no puede ser creada o destruida durante un proceso.

Para sistemas cerrados la conservación de la masa es implícita, debido a que la masa del sistema permanece constante durante un proceso.

Para volúmenes de control, la masa puede atravesar las fronteras, lo cual significa que no debemos perder de vista la cantidad de masa que entra y sale del volumen de control.



Para flujo 1D, estacionario, incompresible (ρ constante)

Ecuación continuidad

(kg/s)

(m3/s)Caudal, descarga o gasto volumétrico

Razón de flujo de masa a través 1 = Razón de flujo de masa a través 2

dA1 dA2

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Para flujo 1D, estacionario (permanente), incompresible (ρ constante)

Ecuación continuidad

(m3/s)Caudal, descarga o gasto volumétrico

Ecuación continuidad: la cantidad de fluido (agua) que fluye dentro de un sistema debe ser igual a la cantidad de fluido que sale del sistema.

Vincula no solo el caudal, sino también las áreas y velocidades.

Valida para flujo estacionario (régimen permanente): el flujo permanece constante/igual a lo largo del tiempo.



Hay casos en que el flujo (caudal) de entrada no es igual al flujo (caudal) de salida, p.e. tanque de almacenamiento, presa.

En estos casos hay que incluir un término adicional a la ecuación de continuidad para permitir el cambio de almacenamiento en el reservorio:

Flujo de entrada = Flujo de salida + tasa incremento/disminución almacenamiento

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Flujo de entrada = Flujo de salida + tasa incremento/disminución almacenamiento

Una sola entrada y salida

Varias entradas y salidas

(kg/s) Flujo másico

Forma general de la ecuación de continuidad


Ejercicio: Conservación de la Masa

Un chorro de agua se descarga en un tanque abierto y sale agua del tanque arazón de 0.003 m3/s por un orificio situado en el fondo. Si el área de seccióntransversal del chorro es de 0.0025 m2 donde la velocidad del agua es 7 m/s,¿Cuál es el flujo másico de acumulación o de vaciado del tanque?. ρ = 1000kg/m3.

R: 14.5 kg/s

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En la cámara rectilínea de la figura, la sección 1 tiene un diámetro de 4 pulg. yel flujo es 2 ft3/s. La sección 2 tiene un diámetro de 3 pulg. y el flujo de salidatiene una velocidad media de 36 ft/s. Calcular la velocidad media y el flujo desalida en la sección 3 si el diámetro es 1 pulg. ¿el flujo en la sección 3 es deentrada o salida?

R: 0.233 ft3/s, 42.7 ft/s



El tanque de la figura esta siendo llenado a través de la sección 1 con v1 = 5 m/s y a través de la sección 3 con Q3 = 0.012 m3/s.a.- Si el nivel h del agua es constante, determinar la velocidad de salida v2.R: 6.47 m/s

b.- Si el nivel del agua varia y v2 = 8 m/s, encontrar la razón de cambio dh/dt(nivel agua con respecto al tiempo). Asumir d = 1 m.R: dh/dt = -5.52 mm/s

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Conservación Energía

“La energía no puede ser creada ni destruida”

Sólidos:

Energía total = Energía cinética + Energía potencial (unidad: julio)

Fluidos:

A diferencia de la mecánica de sólidos, en fluidos hay un termino extra de energía (E. presión = mp/ρ)

Energía total = Energía cinética + Energía potencial + E. Presión (unidad: m o ft)

También llamada carga de energía en hidráulica

[kg m2/s2]



Ecuación de la energía para flujo unidimensional

• También conocida como ecuación de Bernoulli

• Se usa conjuntamente la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad para resolver problemas de flujo de fluidos

• Si despreciamos las perdidas en tuberías, y se tiene un sistema sin bombas o turbinas.

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La Ecuación de Bernoulli

Limitaciones uso de la ecuación de Bernoulli

Flujo estacionario: d/dt = 0

Flujo sin fricción

Sin trabajo transmisión: wbomba = wturbina = 0

Flujo incompresible: r = constante

Sin transferencia de calor

Aplicado a lo largo de una línea de corriente/flujo



Ecuación de la energía: pérdidas y ganancias

En la practica algo de energía se “pierde” a través de la fricción (hL),también se puede añadir energía extra por medio de una bomba o extraera través de una turbina (E). Por lo tanto la ecuación de la energía será:

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Ejercicio

Se tiene un tanque grande, con unaapertura de salida pequeña y bienredondeada. Cual es la velocidad de salidade un chorro de agua saliendo del tanque.Despreciar la energía cinética en la sección1.


Ejercicio:

Un sifón de diámetro 50 mm esta extrayendo aceite (S=0.82) de un reservorio(ver figura). Si la perdida de carga entre el punto 1 y 2 es de 1.5 m y desde elpunto 2 al 3 es 2.4 m, encontrar el caudal de aceite del sifón y la presión delaceite en el punto 2. Peso especifico agua γw = 9790 N/m3.

R: 0.00912 m3/s, -36.9 kPa.

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Ejercicio:

La figura muestra un sifón descargando aceite (S=0.84) de un reservorioabierto al aire. Si la velocidad del flujo en la tubería es v, la pérdida de cargaentre el punto 1 y 2 es 2v2/2g, y la pérdida de carga entre el punto 2 y 3 es3v2/2g. Determinar el caudal en la tubería del sifón y la presión absoluta en elpunto 2. Asumir una presión atmosférica de 14.70 psi. γw = 62.4 lb/ft3. psi= lb/in2.

R: 0.509 ft3/s, -11.06 lb/in2.


Ejercicio:

Aceite fluye de un tanque a través de una tubería de 500 ft de 6 pulg. dediámetro, como se muestra en la figura. Si la pérdida de carga entre el punto 1y 2 es 1.95 ft de aceite, determinar la presión necesaria en el punto 1 paraproducir un flujo de aceite de 0.6 ft3/s. Peso especifico agua = 62.4 lb/ft3.

R: 1158 lb/ft2.

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Ejercicio

El venturi calibrado de la figura es un estrechamiento diseñado cuidadosamentede forma que su diferencia de presiones es una medida del caudal en el conducto.Empleando la ecuación de Bernoulli para flujo estacionario incompresible sinperdidas, demuestre que el caudal Q esta relacionado con la altura manométrica ha través de:

Donde ρM es la densidad del fluido del manómetro.


Conservación del momentum lineal

Momentum/Momento lineal:

Se refiere al movimiento de los fluidos y las fuerzas que lo causan.Es el vinculo entre la fuerza, masa y velocidad.Principio: 2da ley de Newton.Se usa para determinar las fuerzas creadas por el fluido (agua) a medida que

se mueve a través de tuberías y estructuras hidráulicas.

Fuerza (N) = Flujo de masa (kg/s) x Cambio de velocidad (m/s)

F = m · a a = (v2 – v1)/Δt

F = m (v2 –v1)/ Δt m/ Δt: flujo de masa = ρ·v·A = ρ Q = ṁ

F = ρ Q (v2 –v1) = ṁ (v2 –v1)

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Conservación del momentum lineal

Momentum/Momento lineal:

La fuerza y la velocidad son vectores: tienen magnitud y dirección

Forma vectorial:

Forma escalar:

La suma de todas las fuerzas externas actuando sobre el volumen de control es igual a la razón de cambio del momento lineal con el tiempo.

Fuerza presión sobre una superficie: es perpendicular ésta (superficie) y dirigida hacia ella.


Ejercicio: Conservación del Momento

Un chorro de agua con un diámetro de 60 mm y una velocidad de 5 m/s golpeauna placa vertical. Calcular la fuerza de impacto del chorro sobre la placa.

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Ejercicio: Momento lineal

Un chorro de agua moviéndose a una velocidad de 45 ft/s como se muestra en lafigura, es dividido mediante una placa, de manera que un tercio del agua semueve hacia A. Calcular la magnitud y dirección de la fuerza sobre la placaestacionaria. Asumir flujo ideal en el plano horizontal. Asumir que las velocidadesen los chorros son iguales.

ρ = 1.94 slug/ft3



Por un codo reductor de 45°, de 60 cm de diámetro en la sección aguas arribay 30 cm en la sección aguas abajo, circulan 444 lt/s de agua con una presiónde 145 kPa en la sección 1 (ver figura). Despreciando cualesquier perdida enel codo, calcular la fuerza ejercida por el agua sobre el codo reductor.

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El depósito de la figura pesa 500 N vacío y contiene 600 litros de agua a 20°C. Los conductos 1 y 2 tienen un diámetro de 6 cm y un caudal de 300 m3/hcada uno. ¿Cuál sería la lectura de W en newtons?



La tobera horizontal de la figura tiene D1 = 12 pulgadas y D2 = 6 pulgadas, conuna presión de entrada p1 = 38 lb/in2 absoluta y V2 = 56 ft/s. Con agua a20°C, calcular la fuerza horizontal que proporcionan los tornillos de la brida desujeción para mantener fija la tobera.

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