Prof. Aldo Tamburrino Tavantzis

ECUACIÓN DE BERNOULLIy

APLICACIONES

p

g2v

hB2

Daniel Bernoulli (1700 – 1782)

SUMA DE BERNOULLI

hpg2v

B2

ALTURA DE VELOCIDAD

ALTURA DE PRESIÓN

COTA

COTA PIEZOMÉTRICA

hpp̂

COTA PIEZOMÉTRICA:

EL BERNOULLI Y LA COTA PIEZOMÉTRICA TIENEN DIMENSIONES DE LONGITUD

SUMA DE BERNOULLI

p

g2v

hB2

p

h

g2v22

D1

D2

v1

v2

p

h

g2v21

p

h

g2v21

NIVEL DE REFERENCIA

B

ECUACIÓN (o PRINCIPIO) DE BERNOULLI

h1

h2

NIVEL DE REFERENCIA

v2

v1

(1) (2)

p1

p2

La ecuación de Bernoulli

junto a la ecuación de continuidad

son fundamentales para la resolución de los problemas de la Dinámica de los Fluidos

2

22

21

21

1p

g2v

hp

g2v

h

2211 AvAv

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

Principio de Torricelli:

“La velocidad con la que sale un líquido por el orificio de un recipiente es igual a la que adquiriría un cuerpo que se dejara caer libremente desde la superficie libre del líquido hasta el nivel del orificio”.

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIApliquemos la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2) considerando que el nivel del líquido (H) permanece constante.

B1 = B2

En el punto (1): h1 = H, p1 = patm (o p1 = 0 si trabajamos con presiones relativas). Como el nivel se mantiene constante: v1 = 0.

En el punto (2): h2 = h, p2 = patm (o p2 = 0 si trabajamos con con presiones relativas).

De donde despejamos la velocidad de salida:

(1)

(2)

H

h

NIVEL DE REFERENCIA

2

22

21

21

1p

g2v

hp

g2v

h

atm

22atm pg2v

hp

0H

hHg2v2

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

FLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN

Continuidad: El caudal es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)

Conservación de la energía: El Bernoulli es el mismo en las secciones (1), (2) y (3)

V1

V2V3

D1 D2 D3

p1 p2

p3

(1) (2) (3)

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN

Continuidad:

Q1 = Q2 = Q3 = Q

V1

V2V3

D1 D2 D3

p1 p2

p3

(1) (2) (3)

33

22

11

AQv

AQv,

AQv

Como D2 < D1 < D3 , se tiene que A2 < A1 < A3 , resultando que V2 > V1 > V3

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN

Conservación de la energía:

B1 = B2 = B3 = B

V1

V2V3

D1 D2 D3

p1 p2

p3

(1) (2) (3)

323

33

222

22

121

11

pg2v

hB

pg2v

hB

pg2v

hB

Consideremos que la tubería es horizontal y que el nivel de referencia está en el eje de la tubería. Esto significa que h1 = h2 = h3 = 0 y las ecuaciones de Bernoulli se reducen a:

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN

V1

V2V3

D1 D2 D3

p1 p2

p3

(1) (2) (3)

323

3

222

2

121

1

pg2v

B

pg2v

B

pg2v

B

Como B1 = B2 = B3 = B , tenemos que la presión en cada sección es igual a:

g2v

Bp,g2v

Bp,g2v

Bp23

3

22

2

21

1

O sea, en las secciones de menor diámetro, el área es menor, la velocidad es mayor y la presión es menor.

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLIFLUJO EN UNA TUBERÍA CON CAMBIOS DE SECCIÓN

La presión es menor en las secciones de mayor velocidad

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

TUBO DE VENTURI

o VENTURÍMETRO:Venturi tuvo la idea de medir las presiones en la sección de mayor área y en la de menor área para determinar el caudal que escurre por la tubería.

GIOVANNI BATISTA VENTURI

(1746 – 1822)

2121

22

2221

21

21

ppg2v

g2v

pg2vp

g2v

BB

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

VENTURÍMETRO:

Además

Reemplazando en la ecuación anterior:

22

11 A

Qv,AQv

21

22

21

21

2122

21

22

212

2121

2

22

2

ppg2

AA

AAQ

ppg2

AAAA

Q

ppg2

AQ

AQ

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

VENTURÍMETRO:

En las aplicaciones prácticas se usa:

Donde C es una constante empírica que se calibra para cada venturímetro

21 ppCQ

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:El mismo principio que el usado en el venturímetro se utiliza en la placa orificio o diafragma.

(1) (2)

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI

DIAFRAGMA o PLACA ORIFICIO:Sea A el área de la tubería y A0 el de la placa orificio.

En la sección (2) el área del chorro es ccA0.

El problema es esencialmente el mismo que el del venturímetro, resultando, reemplazando A1 por A y A2 por ccA0 en la expresión final: (1) (2)

p1 p2

21

20c

2

0c ppg2

AcA

AAcQ

En aplicaciones prácticas se utiliza

Donde C’ se calibra experimentalmente.

21 pp´CQ

PUNTOS DE ESTANCAMIENTO

Los puntos de estancamiento son puntos del flujo en los que la velocidad es nula.

Ellos surgen para compatibilizar físicamente puntos en los que las líneas de corriente tienen radio de curvatura tendiendo a cero.

PUNTOS DE ESTANCAMIENTO

LÍNEAS DE CORRIENTE

PUNTO DE ESTANCAMIENTO (PE)

(0) (PE)

Se cumple: B0 = BPE

PUNTOS DE ESTANCAMIENTO

(0) (PE)B0 = BPE

PE0

20 ppg2v

PRESIÓN ESTÁTICA

PRESIÓN DINÁMICA

0PE0

ppg2v

Podemos conocer la velocidad:

PUNTOS DE ESTANCAMIENTO

(0) (PE)

Podemos conocer la velocidad:

0PE0

ppg2v

Instrumento para medir la velocidad de los fluidos: TUBO DE PITOT

TUBO DE PITOTInventado en 1732 por Henri de Pitot (1695 – 1771) para determinar el caudal del río Sena (Francia)

TUBO DE PITOT

(1)(2)

H

L H

L

patm

vo

A

B

El punto (2) es un punto de estancamiento

TUBO DE PITOT

B1 = B2

Como el punto (2) es un punto de estancamiento

p1 y p2 las ligamos con las presión que hay dentro del tubo. En el tubo la situación es hidrostática:

Pero pA = pB = patm , de donde resulta que

v1

(1)(2)

H

L H

L

patm

A

B

v1

(1)(2)

H

L H

L

patm

A

B

21

21 ppg2v

121

ppg2v

LHpp,Lpp B2A1

gH2vHpp 112

Curso de Capacitación en Mecánica de Fluidos Básica