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Capítulo 1
Formulación variacional
1.1. Introducción
En este capítulo presentamos la formulación corrotacional del problema elastodinámico con
grandes rotaciones desde la perspectiva del PTV. Aunque durante la exposición supondremos un
único cuerpo, el mismo planteamiento puede extenderse fácilmente a un número indeterminado
de sólidos.
Partiremos de la expresión del PTV aplicada a un sólido deformable y en la que no con-
templaremos el amortiguamiento. Introduciremos en dicho principio las relaciones cinemáticas
desarrolladas en el capítulo anterior. Estas relaciones serán planteadas en forma discreta, ya que
emplearemos el MEF para el cálculo de la deformación del sólido.
Si se emplea la formulación tradicional del MEF, se admite la posibilidad de que se pro-
duzcan, además de deformaciones, desplazamientos de sólido rígido. Estos desplazamientos de
sólido rígido provocarían que el sistema de referencia local la estructura pudiese desplazase.
En nuestra formulación hemos supuesto que los desplazamientos de sólido rígido se descri-
ben desde el sistema de referencia inercial, para el sistema de referencia local el sólido sólo se
deforma. Para evitar que se produzca un desplazamiento de sólido rígido respecto del sistema
local, filtramos los desplazamientos calculados con el MEF, para ello aplicaremos un proyector
que elimina los desplazamientos de sólido rígido y nos asegura que el sistema local sólo va a
describir la deformación del sólido.
Continuamos la formulación incorporando a las ecuaciones del movimiento las restriccio-
nes, para ello utilizaremos multiplicadores de Lagrange localizados. El sistema de ecuaciones
1
2 Capítulo 1. Formulación variacional
que se obtiene es diferencial y algebraico (DAE), el conjunto de ecuaciones diferenciales co-
rresponde al equilibrio dinámico, mientras que el de ecuaciones algebraicas se debe a las restric-
ciones al movimiento. Existen dos formas de tratar un sistema DAE, una de ellas es introducir
directamente las restricciones en el conjunto de ecuaciones y utilizar un método específico de
integración temporal para este tipo de sistemas. La otra opción es convertir el sistema DAE en
uno diferencial ordinario de segundo orden, para ello se derivan las restricciones al movimiento
y se imponen en forma diferencial. Emplearemos la segunda alternativa.
Para finalizar mostraremos cómo se simplifica el sistema de ecuaciones si empleamos ele-
mentos isoparamétricos. Con este tipo de elementos se desacoplan las ecuaciones que gobiernan
los movimientos de sólido rígido de las que se deben a la deformación del sólido.
1.2. El Principio de los Trabajos Virtuales
El PTV, junto con el principio de d’Alembert, constituye una potente herramienta para la
obtención de las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los sistemas mecánicos.
El primero de los dos principios mencionados se enuncia: es condición necesaria y sufi-
ciente para que una posición cualquiera compatible con las ligaduras sea una posición de
equilibrio, que en dicha posición la suma de los trabajos de las fuerzas activas para cualquier
desplazamiento virtual del sistema sea igual a cero [?].
El principio de d’Alembert establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un
cuerpo y las fuerzas de inercia forman un sistema en equilibrio. A este equilibrio se le denomina
equilibrio dinámico. Este principio posibilita la aplicación del PTV a este tipo de sistemas. El
empleo de ambos principios nos conduce a las ecuciones principales de d’Alembert-Lagrange
(“d’Alembert-Lagrange principal ecuations”) y su expresión para un sólido deformable de do-
mino Ω y contorno Γ es:
δW =∫
Ωρx ·δx dΩ+
∫Ω
σσσ : δεεε dΩ−∫
Ωb ·δx dΩ−
∫Γ
t ·δx dΓ−n f p
∑i=1
fi ·δxi = 0 (1.2.1)
donde ρ es la densidad el cuerpo, x la aceleración, σσσ el tensor de tensiones de Cauchy, εεε el tensor
de deformación de Green-Lagrange, b las fuerzas de domino, t las tracciones en el contorno y
fi la fuerza puntual i-ésima, siendo n f p el número de fuerzas puntuales aplicadas.
El primer sumando de (3.2.1) representa el trabajo virtual de las fuerzas de inercia, el segun-
do término es el trabajo virtual empleado en la deformación del sólido, el tercero es el trabajo
1.2. El Principio de los Trabajos Virtuales 3
virtual de las fuerzas de dominio, el penúltimo el trabajo virtual de las tracciones aplicadas y el
último representa el trabajo virtual de las cargas puntuales. Desarrollaremos cada uno de éstos
términos en los siguientes apartados
1.2.1. Trabajo virtual de las fuerzas de inercia
El trabajo virtual de las fuerzas de inercia es el que realizan dichas fuerzas cuando el sistema
se ve sometido a un desplazamiento virtual. Éste se expresa matemáticamente, para un cuerpo,
mediante la ecuación:
δWin =∫
ΩρδxT x dΩ (1.2.2)
donde necesitamos introducir las expresiones del desplazamiento virtual y de la aceleración.
El primero lo obtendremos a partir de la velocidad (??), desarrollada en el tema (??) y cuya
expresión es:
x = A ˙d+ r0 −A˜rωωω (1.2.3)
y a partir de la que conseguimos:
δx = Aδd+δr0 −A˜rδθθθ (1.2.4)
donde δθθθ representa la variación del giro de sólido rígido.
Como comentamos en la introducción, emplearemos el MEF para el cálculo de la deforma-
ción del sólido. Por eso, a continuación introduciremos la funciones de forma con las que se
aproximan tanto la geometría como los desplazamientos debidos a la deformación. Dado que
dichas funciones de forma no dependen del tiempo se tiene que:
δx = Aϕϕϕδd+δr0 −AN˜rδθθθ (1.2.5)
donde ϕϕϕ son las funciones de forma con las que se interpolan los desplazamientos deforma-
cionales, mientras que N son las funciones de forma con las que se aproxima la geometría.
Emplearemos, por tanto, elementos no isoparamétricos para el desarrollo de la formulación. En
(3.2.5) d pasa a representar los desplazamientos deformacionales nodales, mientras que r son
las posiciones de dichos nodos.
La expresión (3.2.5) puede reescribirse en forma de producto matricial:
δx = A[
ϕϕϕ I −N˜r ]
δd
AT δr0
δθθθ
(1.2.6)
4 Capítulo 1. Formulación variacional
que nos será más útil y donde se ha aprovechado la ortogonalidad de la matriz de giro para
incluirla con la variación de la posición de sólido rígido. De esta forma todas las variaciones se
expresan en los ejes del sistema de referencia local.
A partir de aquí, por claridad en el desarrollo, denotaremos al vector con las variaciones
como δψψψ, es decir:
δψψψ =
δd
AT δr0
δθθθ
(1.2.7)
y que representa la variación de las variación de las variables generalizadas del sistema.
A continuación procedemos a la obtención de la versión discreta de la aceleración. Recor-
dando su expresión (??):
x = A ¨d+ r0 −A˜r ˙ωωω+A ˜ωωω2r+2A ˜ωωω ˙d (1.2.8)
e introduciendo la aproximación de elementos finitos obtenemos:
x = Aϕϕϕ ¨d+ r0 −AN˜r ˙ωωω+A ˜ωωω2Nr+2A ˜ωωωϕϕϕ ˙d (1.2.9)
que agrupando matricialmente se reescribe:
x = A[
ϕϕϕ I −N˜r ]
¨d
AT r0
˙ωωω
+A(˜ωωω2
Nr+2 ˜ωωωϕϕϕ ˙d)
(1.2.10)
donde hemos vuelto a aprovechar la ortogonalidad de la matriz de rotación para expresar la
aceleración de sólido rígido en los ejes móviles del sólido.
Si introducimos (3.2.6) y (3.2.10) en la expresión del trabajo virtual de las fuerzas de inercia
(3.2.2) nos queda:
δWin = δψψψT∫
Ωρ
ϕϕϕT ϕϕϕ ϕϕϕT −ϕϕϕT N˜r
ϕϕϕ I −N˜r−˜rT NT ϕϕϕ −˜rT NT ˜rT NT N˜r
dΩ
¨d
AT r0
˙ωωω
+
+δψψψT∫
Ωρ
ϕϕϕT
I
−˜rT NT
(˜ωωω2Nr+2 ˜ωωωϕϕϕ ˙d
)dΩ
(1.2.11)
1.2. El Principio de los Trabajos Virtuales 5
donde el primer sumando representa la aportación de los desplazamientos de sólido rígido y
deformacionales, mientras que el segundo sumando representa la aportación al trabajo virtual
de las fuerzas de inercia de la fuerza centrípeta y de la aceleración de Coriolis.
En este punto, terminaríamos con el trabajo virtual de las fuerzas de inercia si realizásemos
la integrales de dominio de (3.2.11). Pero antes de eso continuaremos con el resto de términos
de (3.2.1). El motivo es que el desarrollo de esos sumandos nos ayudará a introducir operadores
como la matriz con los modos de sólido rígido, que aparecerá de forma natural en nuestra
formulación. Por eso vamos a continuar con el trabajo virtual de las fuerzas externas.
1.2.2. Trabajo virtual de las fuerzas externas
El trabajo virtual de las fuerzas externas es el trabajo realizado por dichas fuerzas cuando
la estructura sufre un desplazamiento virtual. Debido a que las fuerzas externas pueden ser de
distinta naturaleza, de dominio, de contorno o puntuales, su expresión está compuesta por tres
términos, es:
δWext =−
(∫Ω
δxT b dΩ+∫
ΓδxT t dΩ+
n f p
∑j=1
δxTj f j
)(1.2.12)
y si sustituimos en (3.2.12) la expresión del desplazamiento virtual (??) llegamos a:
δWext =−δψψψT
∫
Ω
ϕϕϕT
I
−˜rT NT
AT b dΩ+∫
Γ
ϕϕϕT
I
−˜rT NT
AT t dΓ+n f p
∑j=1
I
I
−˜rT
AT f j
(1.2.13)
donde las fuerzas externas se han expresado en los ejes del sistema de referencia local. La
igualdad anteriores el trabajo virtual de las fuerzas externas para un sólido discreto. El resultado
de su integración nos proporcionará el reparto nodal de las cargas externas, de forma que el
conjunto de fuerzas nodales obtenido es equivalente al sistemas de fuerzas definido por b, t y
f j.
1.2.3. Trabajo virtual de las fuerzas elásticas
El último término a desarrollar en la expresión del PTV es el trabajo virtual de las fuerzas
elásticas. Éste se expresa:
δWe =∫
ΩδεεεT σσσ dΩ (1.2.14)
6 Capítulo 1. Formulación variacional
donde hemos empleado la notación de Voigt, representando los tensores de Green-Lagrange y
Cauchy como pseudo-vectores.
Necesitamos relacionar la deformación (εεε) con las variables independientes de nuestra for-
mulación, que son los desplazamientos deformacionales. La relación del tensor de Green-
Lagrange con éstos es:
εεε =12
(∂di
∂x j+
∂d j
∂xi
)i, j = 1,2,3 en 3D (1.2.15)
siendo di las componentes del desplazamiento deformacional(d)
y xi las coordenadas locales.
La expresión anterior es una aproximación de primer orden, que es posible gracias a la hipótesis
de pequeños desplazamientos debidos a la deformación y se puede reescribir en forma matricial
como:
εεε =
∂∂x 0 0
0 ∂∂y 0
0 0 ∂∂z
∂∂y
∂∂x 0
∂∂z 0 ∂
∂x
0 ∂∂z
∂∂y
d1
d2
d3
= Dd (1.2.16)
donde D es un operador de diferenciación. Si aplicamos la aproximación de elementos finitos
el tensor de deformación puede expresarse como:
εεε = Dϕϕϕd = Bd (1.2.17)
donde B = Dϕϕϕ y ahora d representa el vector de desplazamientos nodales.
La ley de comportamiento expresa la relación entre la deformación y la tensión. Esta ley es
una propiedad inherente del material y puede expresarse como:
σσσ = Cεεε (1.2.18)
siendo C la matriz constitutiva.
Si introducimos (3.2.17) en (3.2.18) obtenemos:
σσσ = CDϕϕϕd (1.2.19)
que expresa la relación entre el tensor de tensiones y los desplazamientos deformacionales.
Hasta aquí, hemos determinado las relaciones entre la tensión y la deformación con las variables
1.3. Descomposición del desplazamiento deformacional total 7
independientes de la formulación. Si introducimos dichas relaciones en (3.2.14) llegamos a la
expresión del trabajo virtual de las fuerzas elásticas, esta es:
εεε = Dϕϕϕd =⇒ δεεε = Dϕϕϕδd (1.2.20)
δWe = δdT∫
ΩBT CB dΩ d = δdT Kd (1.2.21)
donde
K =∫
ΩBT CB dΩ (1.2.22)
es la matriz de rigidez.
El trabajo virtual de las fuerzas elásticas podemos expresarlo finalmente de la siguiente
manera:
δWe =[
δdT δrT0 A δθθθT
]K 000 000
000 000 000
000 000 000
d
AT r0
θθθ
= δψψψT
K 000 000
000 000 000
000 000 000
ψψψ (1.2.23)
donde se comprueba que la rigidez afecta únicamente a las deformaciones.
Antes de continuar con la integración de los términos presentes en (3.2.11) y (3.2.12), debe-
mos hacer algunos comentarios acerca de la matriz de rigidez y qué ocurre cuando utilizamos
los elementos finitos clásicos para el cálculo de la deformación.
1.3. Descomposición del desplazamiento deformacional total
En general, la matriz de rigidez (K), definida en el apartado anterior, es singular. La causa
de que K no sea invertible es que posee autovalores nulos, correspondientes a los movimientos
de sólido rígido. Éstos son campos de desplazamientos que no producen esfuerzos internos en
la estructura y que suponen el espacio nulo de K. El empleo de la formulación clásica del MEF
para representar el campo de posibles desplazamientos, conlleva por tanto la posibilidad de que
el cuerpo sufra un desplazamiento de sólido rígido respecto del sistema de referencia local.
Esto es así porque cuando empleamos el MEF lo que hacemos es parametrizar el campo de
desplazamientos, pero en ningún momento imponemos que no pueda haber un movimiento de
sólido rígido.
A modo de ejemplo, supongamos un único elemento, como el representa en la Figura (3.1).
Si no restringimos ningún movimiento, el campo de desplazamientos totales u puede descom-
8 Capítulo 1. Formulación variacional
= +
u d Rb
Figura 1.1. Descomposición del desplazamiento nodal total de un elemento en parte deformacional y parte de
sólido rígido. Por simplicidad sólo se representa el giro de sólido rígido.
ponerse de la siguiente manera:
u = Rβββ+ d (1.3.1)
donde d es un desplazamiento puramente deformacional y Rβββ un movimiento de sólido rígido,
que puede descomponerse como el producto de R, la matriz con los modos de sólido rígido,
por βββ, el vector con las amplitudes de esos desplazamientos. Con esta descomposición de u, se
asume que el desplazamiento de sólido rígido es lineal.
La matriz R contiene por columnas los desplazamientos de sólido rígido y como éstos no
pueden producir esfuerzos internos, esta matriz debe constituir el espacio nulo de K, es decir:
R = null (K) (1.3.2)
y cumplirse que:
KR = 000 (1.3.3)
La matriz con los modos de sólido rígido podría pues ser obtenida por análisis espectral a
partir de la matriz de rigidez, pero ello resultaría costoso computacionalmente [?], por lo que
empleamos un método que únicamente precisa de información geométrica para generar dicha
matriz.
1.4. Cálculo de las integrales de dominio 9
La forma de R viene dada por:
RTi =
[I χχχi
], χχχi =
0 −(zi − z0) (yi − y0)
(zi − z0) 0 −(xi − x0)
−(yi − y0) (xi − x0) 0
(1.3.4)
donde (xi,yi,zi) y (x0,y0,z0) son las coordenadas del nodo i y del nodo de referencia, respecti-
vamente. La matriz Ri, es la submatriz de R correspondiente al nodo i. La extensión a toda la
estructura se realiza como sigue:
RT =[
RT1 RT
2 · · · RTm
](1.3.5)
donde m es el número de nodos de la estructura. Obsérvese que la matriz χχχi coincide con la
matriz ˜ri, siendo ri la posición del nodo i. Este es un detalle importante, ya que gracias a él
veremos cómo la matriz con los modos de sólido rígido emerge de forma natural en nuestra
formulación.
1.4. Cálculo de las integrales de dominio
Esta sección está dedicada al cálculo de todas las integrales de dominio que quedan por
realizarse. Los términos de (3.2.1) que aún no se han integrado son el trabajo virtual de las
fuerzas externas y el trabajo virtual de las fuerzas de inercia. Comenzaremos por éste último,
que recoge las aceleraciones deformacionales y de sólido rígido. Estas últimas están asociadas
a los modos de sólido rígido y por ello se agrupan las traslaciones y los giros en un sólo vector.
Así, a partir de ahora:
¨ααα =
[AT r0
˙ωωω
](1.4.1)
donde ¨ααα es el vector con las amplitudes de los modos de sólido rígido. Está reorganización
también afecta a los desplazamiento virtuales, en adelante tendremos:
δψψψ =
[δd
δααα
](1.4.2)
con
δααα =
[AT δr0
δθθθ
](1.4.3)
10 Capítulo 1. Formulación variacional
expresiones que utilizaremos posteriormente.
La expresión del trabajo virtual de las fuerzas de inercia (3.2.11) se descompone en suma de
dos términos. El primero es el sumando correspondiente a las aceleraciones de sólido rígido y
deformacional, éste tiene elementos puramente deformacionales, puramente de sólido rígido y
elementos de acople. El primero de ellos es el puramente deformacional y su integral da como
resultado:
Md =∫
ΩρϕϕϕT ϕϕϕ dΩ (1.4.4)
donde Md es la matriz de masa deformacional. Continuemos con la integral correspondiente
al término de acoplamiento entre los desplazamientos deformacionales y de sólido rígido de
(3.2.11), ésta es: ∫Ω
ρ[
ϕϕϕT −ϕϕϕT N˜r ] dΩ =∫
ΩρϕϕϕT
[I −N˜r ] dΩ (1.4.5)
donde hemos sacado factor común ϕϕϕT . Si sustituimos la matriz identidad que aparece en la
matriz por bloques de la última integral por la siguiente relación:
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 0
=
∑m
i=1 Ni 0 0
0 ∑mi=1 Ni 0
0 0 ∑mi=1 Ni
=[
I I · · · I]
N1
N2...
Nm
=[
I I · · · I]
NT (1.4.6)
podemos escribir:
∫Ω
ρϕϕϕT[
I −N˜r ] dΩ =∫
ΩρϕϕϕT N dΩ
I −˜r1
I −˜r2...
...
I −˜rm
(1.4.7)
y descomponer el término de acoplamiento en el producto de una integral por una matriz. A la
integral se la va a denotar por:
ST =∫
ΩρϕϕϕT N dΩ (1.4.8)
1.4. Cálculo de las integrales de dominio 11
mientras que la matriz que multiplica a dicha integral coincide con la matriz R, definida en
(3.3.5). De esta forma el término de acoplamiento entre las aceleraciones deformacionales y las
de sólido rígido queda: ∫Ω
ρ[
ϕϕϕT −ϕϕϕT N˜r ] dΩ = ST R = Rs (1.4.9)
y análogamente se tiene para el término simétrico:
∫Ω
ρ
[ϕϕϕ
−˜rT NT ϕϕϕ
]dΩ = RT S = RT
s (1.4.10)
El último elemento del primer sumando de (3.2.11) corresponde a la aceleración de sólido rígido
y su integración nos conduce a:
Mα =∫
Ωρ
[I −N˜r
−˜rT NT ˜rT NT N˜r]
dΩ =∫
Ωρ
[I
−˜rT NT
][I −N˜r ] dΩ = (1.4.11)
= RT∫
ΩρNT N dΩR = RT MgR (1.4.12)
donde Mα se denomina matriz principal de masa. Esta matriz surge de aplicar la matriz de
modos de sólido rígido a la matriz Mg, que es la matriz de masa geométrica.
Si observamos la estructura de la matriz RT , comprobamos que al multiplicar dicha matriz
por un vector de fuerzas nodales obtendremos la resultante de fuerzas y momentos correspon-
dientes a dicho vector de fuerzas. Por esta razón, la matriz Mα se puede expresar de la forma:
Mα =
[Mtt Mtr
MTtr Jrr
](1.4.13)
donde Mtt es una matriz de 3×3 que agrupa la masa total del sólido en su diagonal y representa
la inercia traslacional, Jrr es el tensor de inercia, mientras que Mtr es una matriz de acoplamien-
to entre las traslaciones y rotaciones, ésta se vuelve cero si colocamos el punto de referencia en
el centro de gravedad del sólido.
Procedamos ahora a realizar la segunda integral del segundo sumando de (3.2.11), comen-
zamos con el término ligado a la deformación:
Qvd =−∫
ΩρϕϕϕT
(˜ωωω2Nr+2 ˜ωωωϕϕϕ ˙d
)dΩ (1.4.14)
12 Capítulo 1. Formulación variacional
éste representa la fuerza de Coriolis y centrípeta que genera la deformación del sólido. La parte
correspondiente a los desplazamientos de sólido rígido nos lleva a la expresión:
∫Ω
ρ
[I
−˜rT NT
](˜ωωω2Nr+2 ˜ωωωϕϕϕ ˙d
)dΩ = RT
∫Ω
ρNT(˜ωωω2
Nr+2 ˜ωωωϕϕϕ ˙d)
dΩ =−RT Qvα
(1.4.15)
lo que nos da la resultante de las fuerzas de coriolis y centrípeta. El trabajo virtual de las fuerzas
de inercia, una vez realizada la integración, conduce a la expresión:
δWin = δψψψT
[Md Rs
RTs Mα
][ ¨d¨ααα
]+
[−Qvd
−RT Qvα
](1.4.16)
donde tenemos, por un lado, la contribución de la deformación del cuerpo y, por otro, la contri-
bución debida a la traslación y el giro.
Retomemos el término de las fuerzas externas, que presenta la forma:
δWext =−δψψψT
∫
Ω
ϕϕϕT
I
−˜rT NT
b dΩ+∫
Γ
ϕϕϕT
I
−˜rT NT
t dΓ+n f p
∑j=1
I
I
−˜rT
f j
(1.4.17)
y realizando un proceso análogo al seguido para el trabajo virtual de las fuerzas de inercia,
encontramos que:
fd =∫
ΩϕϕϕT b dΩ+
∫Γ
ϕϕϕT t dΓ+n f p
∑j=1
f j (1.4.18)
RT fα =∫
Ω
[I
−˜rT NT
]b dΩ+
∫Γ
[I
−˜rT NT
]t dΓ+
n f p
∑j=1
[I
−˜rT
]f j (1.4.19)
vectores que tienen la misma interpretación que sus homólogos de las fuerzas centrípeta y de
Coriolis, pero para el caso de fuerzas externas aplicadas.
Si introducimos (3.4.16), (3.2.23),(3.4.18) y (3.4.19) en la ecuación (3.2.1) llegamos a la
igualdad:
δW = δψψψT
[Md Rs
RTs Mα
][ ¨d¨ααα
]−
[Qvd
RT Qvα
]+
[K 000
000 000
][d
ααα
]−
[fd
RT fα
]= 0
(1.4.20)
que representa la expresión matricial del PTV para sólidos deformables.
1.5. Filtrado de los desplazamientos totales debidos a la deformación 13
1.5. Filtrado de los desplazamientos totales debidos a la de-
formación
Como se comentó en la sección (3.3), el uso directo del MEF para la aproximación de
las deformaciones del sólido conlleva incluir un desplazamiento de sólido rígido respecto del
sistema de referencia local, que debemos eliminar. Como vimos, el vector de desplazamientos
nodales que utilizamos en el MEF puede escribirse como superposición de un movimientos de
sólido rígido más una deformación:
u = Rβββ+ d (1.5.1)
donde se ha linealizado el giro. Este desplazamiento de sólido rígido es incompatible con nues-
tra formulación, pues se ha supuesto que el sólido sólo se deforma respecto del sistema de
referencia local.
Para eliminar los movimientos de sólido rígido de (3.5.1) aplicaremos un filtro a u que tiene
la propiedad de eliminar los movimientos de sólido rígido, proyectando el vector u sobre el
espacio ortogonal al espacio definido por R. Este proyector lo denotaremos por[P M
R]
y tiene la
forma: [P M
R
]= I−MgR
(RT MgR
)−1 RT (1.5.2)
cumpliendo, como se puede comprobar fácilmente por cálculo directo, que:[P M
R
]TR = 000 (1.5.3)
lo que nos conduce a la relación:
d =[P M
R
]Tu (1.5.4)
y de esta forma eliminamos la componente de sólido rígido del desplazamiento.
En la Figura (3.2) se representa un esquema de la idea expresada. El vector u está compuesto
por dos vectores ortogonales: los desplazamientos debidos a la deformación del cuerpo (d) y
un desplazamiento de sólido rígido (Rβββ), que es necesario eliminar. Al aplicar el proyector a u,
nos quedamos con la componente ortogonal al espacio definido por R.
Nótese que si u es puramente deformacional, se cumple que:[P M
R
]Tu = u (1.5.5)
ya que no existe componente de sólido rígido que eliminar.
14 Capítulo 1. Formulación variacional
u
Rb
M
Rd u
T
Pé ù= ë û
X
Y
Z
( )1
R
( )2
R
Subespacio R
Figura 1.2. Proyección del vector u sobre el espacio de deformaciones. Eliminación de los modos de sólido rígido.
Introduciendo la proyección (3.5.4) en (3.4.20) llegamos al sistema:
δψψψT
([ [P M
R]
Md[P M
R]T [
P MR]
Rs
RTs[P M
R]T Mα
][¨u¨ααα
]−
[ [P M
R]
Qvd
RT Qvα
]+ (1.5.6)
+
[ [P M
R]
K[P M
R]T 000
000 000
][u
ααα
]−
[ [P M
R]
fd
RT fα
])= 0 (1.5.7)
donde ahora el vector:
δψψψT =[
δuT δαααT]
(1.5.8)
agrupa la variación del desplazamiento deformacional y del movimiento de sólido rígido con
grandes rotaciones. Dado que[P M
R]
no depende del tiempo, encontramos que:
δd =[P M
R
]δu (1.5.9)
¨d =[P M
R
]¨u (1.5.10)
y de esta forma empleamos los operadores R y[P M
R]
para descomponer las fuerzas en su
componente equilibrada y su resultante. Llegamos así a una formulación del PTV expresada en
función de los desplazamientos puramente deformacionales y de sólido rígido como variables
independientes.
1.6. Imposición de las restricciones 15
1.6. Imposición de las restricciones
Hasta el momento hemos tratado al sólido como libre, es decir, en las ecuaciones que hemos
planteado no hemos tenido en cuenta posibles restricciones al movimiento. En muchas ocasio-
nes, como puede ser en los mecanismos, los sólidos tienen determinados grados de libertad
impedidos o conectados con otros elementos móviles. La imposición de dichas restricciones se
puede hacer de diversas formas, entre ellas tenemos la utilización de multiplicadores de Lagran-
ge localizados (MLLs). Este método consiste en imponer la ecuaciones de restricción por medio
de multiplicadores de Lagrange. En este caso no se impone de forma directa que el movimiento
de los nodos involucrados en las restricciones sea el mismo, sino que se hace de forma indirecta.
Introducimos unos cuerpos intermedios denominados frames y obligamos a que el movimiento
de los nodos sea el mismo que el desplazamiento de los frames. Estos frames se comportarán
como sólidos rígidos sin masa.
A modo de ejemplo, en la Figura (3.3(a)) se presenta un péndulo simple, consiste en una
barra modelada con elementos finitos planos de cuatro nodos. La barra tiene impedida el des-
A
g¯
(a) Péndulo simple en el plano vertical.
1
ll
2
ll
f
(b) Péndulo simple con los multiplicadores de La-
grange localizados.
Figura 1.3. Ejemplo de aplicación de multiplicadores de Lagrange localizados.
plazamiento del nodo A, pero no el giro alrededor de dicho punto. El método de los MMLs
consiste en considerar al péndulo como un cuerpo libre, desvinculándolo de su apoyo, nodo B
de la Figura (3.3(b)), pero con una fuerza que actúa sobre el nodo A. Esta fuerza, representa por
el multiplicador de Lagrange λλλ2l , obliga a que el desplazamiento de dicho nodo sea el mismo
16 Capítulo 1. Formulación variacional
que el desplazamiento del frame, denotado por f . A su vez, el multiplicador λλλ1l obliga a que el
desplazamiento del frame sea el mismo que el de B. De esta forma lo que imponemos es:
xB = x f (1.6.1)
xA = x f (1.6.2)
y al ser el desplazamiento de B nulo, por condición de contorno, estamos de forma indirecta
imponiendo que el desplazamiento de A también lo sea.
La imposición de las restricciones debe verse reflejada en las ecuaciones del movimiento.
Ello se lleva a cabo incluyendo en el sistema el producto de los MLLs por la ecuación de
restricción, dando lugar a un nuevo término que se escribe de la siguiente forma:
δWm = δλλλTl(BT x−L f x f
) (1.6.3)
donde B y L f son dos matrices booleanas cuya función es extraer de todo el conjunto de nodos
aquellos grados de libertad implicados en las restricciones. De esta forma, si volvemos a la
Figura (3.3(b)), la matriz B extrae, de todos los desplazamientos nodales ligados al péndulo,
los desplazamientos de A. Mientras que la matriz L f ordena los grados de libertad de los nodos
de los frames, de forma que se igualen los desplazamientos oportunos. Así, si hay multiples
restricciones que afectan a puntos distintos de una estructura, nos aseguramos que la restricción
se aplica al grado de libertad indicado. Si desarrollamos la igualdad (3.6.3):
δWm = δλλλTl(BT x−L f x f
)+λλλT
l Bδx−λλλTl L f δx f (1.6.4)
donde obtenemos tres sumandos, de los que el segundo se puede reescribir como:
δxT Bλλλl = δψψψT
[ [P M
R]
B
RT B
]λλλl (1.6.5)
donde a la matriz resultante del producto RT B se le va a denotar por RTb y los multiplicadores
de Lagrange localizados están ahora expresados en el sistema de referencia local.
Pasamos a plantear lo que se denomina el PTV aumentado, es decir, incluyendo las restric-
ciones al movimiento:
δW = 0 −→ δWin +δWe +δWext +δWm = 0 (1.6.6)
1.6. Imposición de las restricciones 17
lo que conlleva:
δψψψT
([ [P M
R]
Md[P M
R]T [
P MR]
RS
RTS[P M
R]T Mα
][¨u¨ααα
]−
[ [P M
R]
Qvd
RT Qvα
]−
[ [P M
R]
fd
RT fα
]
+
[ [P M
R]
K[P M
R]T 000
000 000
][u
ααα
]+
[ [P M
R]
B
RTb
]λλλl
)+δλλλT
l(BT x−L f x f
)−δxT
f LTf λλλl = 0
(1.6.7)
y para que se cumpla la ecuación anterior, para cualquier desplazamiento virtual que sufra
nuestro sistema, es necesario que se cumpla:
[ [P M
R]
Md[P M
R]T [
P MR]
Rs 000
RTs[P M
R]
Mα 000
]¨u¨ααα¨λλλl
+
+
[ [P M
R]
K[P M
R]T 000
[P M
R]
B
000 000 RTb
]u
ααα
λλλl
−[ [
P MR](
fd + Qvd)
RT (fα + Qvα) ]
= 000 (1.6.8)
BT x−L f x f = 000 (1.6.9)
−LTf λλλl = 000 (1.6.10)
conjunto de ecuaciones que gobiernan el movimiento de nuestro sistema. Este sistema de ecua-
ciones se denomina sistema sistema diferencial y algebraico (DAE, de las iniciales en inglés),
donde el subconjunto de ecuaciones diferencial corresponde al equilibrio dinámico del sistema,
mientras que las ecuaciones algebraicas se deben a las restricciones al movimiento. Estos sis-
temas se pueden resolver incluyendo directamente las ecuaciones algebraicas y empleando un
algoritmo de integración temporal específico, o bien transformando el sistema DAE en un siste-
ma diferencial ordinario de segundo orden. Para ello derivamos las restricciones al movimiento
dos veces y las imponemos en igualdad de aceleraciones. En este trabajo hemos optado por la
segunda opción. Dado que tanto B como L f son matrices que no dependen del tiempo, derivar
dos veces la ecuación de restricción (3.6.9) nos conduce a:
BT x−L f x f = 000 (1.6.11)
e introduciendo la expresión de la aceleración (??) en (3.6.11):
BT[P M
R
]T¨u+BT R ¨ααα+BT ˜ωωω2
r+2BT ˜ωωω[P MR
]T˙u−AT L f x f = 000 (1.6.12)
18 Capítulo 1. Formulación variacional
y despejando, obtenemos:
BT[P M
R
]T¨u+Rb ¨ααα− L f x f =−BT
(˜ωωω2r+2 ˜ωωω[P M
R
]T˙u)
(1.6.13)
donde AT L f = L f . Para finalizar con la manipulación de las ecuaciones, llegando a un sistema
simétrico, transformaremos la ecuación de (3.6.10):
LTf λλλl = 000 −→ LT
f AAT λλλl = 000 −→ LTf λλλl = 000 (1.6.14)
de esta forma, el sistema de ecuaciones nos queda:[P M
R]
Md[P M
R]T [
P MR]
Rs 000 000
RTs[P M
R]T Mα 000 000
BT [P MR]T Rb 000 −L f
000 000 −LTf 000
¨u¨ααα¨λλλl
x f
+
+
[P M
R]
K[P M
R]T 000
[P M
R]
B 000
000 000 RTb 000
000 000 000 000
000 000 000 000
u
ααα
λλλl
x f
=
[P M
R]
gvd
RT gvα
BT gvλ
000
(1.6.15)
gvd = fd + Qvd, gvα = fα + Qvα, gvλ =− ˜ωωω2r+2 ˜ωωω[P M
R
]T˙u (1.6.16)
donde la primera ecuación:[P M
R
]Md
[P M
R
]T¨u+[P M
R
]RT
s¨ααα+[P M
R
]Bλλλl +
[P M
R
]K[P M
R
]Tu = 000 (1.6.17)
representa el equilibrio dinámico de la deformación del sólido. La parte de las fuerzas de inercia
que se emplea en deformar el sólido viende dada por el término[P M
R]
Md[P M
R]T ¨d, donde
a la matriz de masa deformacional se le elimina la componente de sólido rígido mediante el
proyector. El segundo sumando es[P M
R]
Rs ¨ααα, que se puede desarrollar como[P M
R]
ST R ¨ααα, éste
es un término de acoplamiento entre la inercia de sólido rígido y de cuerpo deformacional
(cuando se utilizan elementos isoparamétricos este término desaparece). Tenemos por un lado,
el filtro deformacional, en medio está ST , matriz de transición que tiene funciones de forma
geométricas (N) y funciones de forma deformacionales (ϕϕϕ), por el otro lado tenemos a la matriz
con los modos de sólido rígido. El que este sumando sea distinto de cero implica que inercia de
sólido rígido puede provocar deformaciones y viceversa. El sumando[P M
R]
Bλλλl selecciona la
1.6. Imposición de las restricciones 19
parte empleada de los multiplicadores en la deformación del cuerpo, éstos han sido aumentados
a tamaño m, siendo m el número de grados de libertad nodales, para que el sistema cuadre en
términos de dimensiones. Por último tenemos la rigidez del cuerpo, a la que también se le han
eliminado la parte de cuerpo rígido.
La segunda ecuación del sistema es:
RTs
[P M
R
]T¨u+Mα ¨ααα+RT
b λλλl = RT gvα (1.6.18)
donde el primer término es de acople entre aceleraciones de sólido rígido y deformacional, ya
ha sido comentado en el párrafo anterior. El segundo es la matriz principal de masa, que ya
fue comentada cuando se definió. El sumando RTb λλλl es la resultante de los multiplicadores de
Lagrange.
La tercera ecuación, como se puede ver en su desarrollo, representa la igualdad de acelera-
ciones entre los nodos ligados a las restricciones y las propias restricciones. La última ecuación
del sistema es:
−LTf λλλl = 000 (1.6.19)
y representa el equilibrio entre multiplicadores. Ésta simboliza el principio de acción y reacción
cuando hay más de un cuerpo ligado a una misma restricción. La ecuación (3.6.19) nos dice que
la suma de todos los multiplicadores que están ligados a un frame es cero.
Se puede demostrar que el método de los MLLs no presenta ninguna ventaja sobre el método
de los multiplicadores de Lagrange clásicos en problemas de dinámica de sistemas multicuerpo
de cadena abierta y un sistema formado por un único sólido es un caso particular de estos
sistemas. Pero cuando el sistema no es de cadena abierta, el método de los MLLs presenta varias
ventajas sobre el método de los multiplicadores de Lagrange clásicos, como la no redundancia
a la hora de definir las restricciones al movimiento. Uno de los posibles desarrollos futuros es
la extensión de esta formulación a sistemas multicuerpo y por ese motivo hemos escogido este
método de imposición de las restricciones.
El sistema (3.6.15) será implementado y resuelto mediante un algoritmo de integración tem-
poral. Previa a esta resolución se aplicarán diversas simplificaciones, aplicables a casos parti-
culares utilizados para el análisis del funcionamiento de la formulación.
20 Capítulo 1. Formulación variacional
1.7. Simplificación para el caso de elementos finitos isopará-
metricos
Para finalizar el capítulo mostraremos cómo se simplifica el sistema (3.6.15) cuando se
emplean elementos finitos isoparamétricos. Estos elementos presentan la particularidad de que
utilizan las mismas funciones de forma para aproximar la geometría y los desplazamientos,
pudiendo sustituir ϕϕϕ por N en todas las integrales de dominio o de contorno realizadas en sec-
ciones anteriores. Si introducimos esa simplificación en nuestra formulación obtenemos otras
simplificaciones más importantes. La primera se escribe:
S = Mg (1.7.1)
Md = Mg (1.7.2)
que para el caso de elemento isoparamétrico, al haber una sola matriz de masas, Mg pasará
a denotarse simplemente M. La ecuación (3.7.1) nos lleva a una segunda simplificación más
importante, dado que ahora:
Rs = MR (1.7.3)
lo que conlleva que el término de acoplamiento entre las aceleraciones deformacionales y las
de sólido rígido se anule. En efecto:
[P M
R
]MR = 000 (1.7.4)
esta propiedad del proyector es fácil de comprobar por simple cálculo directo. La tercera sim-
plificación es:
fd = fα; Qvd = Qvα (1.7.5)
1.7. Simplificación para el caso de elementos finitos isoparámetricos 21
es decir, los términos independientes del equilibrio dinámico del sistema son los mismo. Si
introducimos las simplificaciones anteriores en (3.6.15) llegamos al sistema:[P M
R]
M[P M
R]T 000 000 000
000 Mα 000 000
BT [P MR]T Rb 000 −L f
000 000 000 000
¨u¨ααα¨λλλl
x f
+
+
[P M
R]
K[P M
R]T 000
[P M
R]
B 000
000 000 RTb 000
000 000 000 000
000 000 −LTf 000
u
ααα
λλλl
x f
=
[P M
R]
gvα
RT gvα
BT gvλ
000
(1.7.6)
donde ahora las aceleraciones deformacionales están desacopladas de las aceleraciones de sóli-
do rígido.
