Capítulo 1 - Integração de Lebesgue

Capıtulo 1

Medida e Integracao: o integralde Lebesgue

Introduzem-se os conceitos de algebra-s , medida de um conjunto, conjunto demedida nula, funcao mensuravel, medida de Lebesgue e de Hausdorff. Faz-se uma revisao de alguns resultados da teoria da integracao de Lebesgue esao discutidos o teorema de Lusin, o teorema de Lebesgue da convergenciadominada e o teorema de Fubini para integrais multiplos.

1.1 Medida

O conceito de medida de um conjunto generaliza as definicoes de compri-mento, area e volume, esta na base da construcao dos espacos de funcoes e dateoria da integracao de Lebesgue.

Em linhas gerais, o conceito de medida introduz-se atraves de um con-junto de axiomas que caracterizam as famılias de conjuntos mensuraveis deum espaco. Este conjunto de axiomas define uma estrutura designada poralgebra-s . Um processo axiomatico identico esta na origem do conceito deconjunto aberto que e fundamental no estudo das funcoes contınuas. Nestecaso, a caracterizacao dos conjuntos abertos e feita atraves da introducao deaxiomas que definem uma topologia sobre o espaco. Este tipo de construcoesaxiomaticas sao familiares da algebra e estendem-se naturalmente a analise.

1

2 1. Medida e Integracao: o integral de Lebesgue

Topologia Axiomas Algebra�s

# #

Conjuntos Abertos Definicoes Conjuntos Mensuraveis

# #

Funcoes contınuas Definicoes Funcoes mensuraveis

Vamos comecar por relembrar o que e uma topologia e como se chega na-turalmente aos conceitos de conjunto aberto, de conjunto fechado e de funcaocontınua. Consideremos um conjunto X e uma famılia de subconjuntos de Xque se designa por T . Representa-se o conjunto vazio pelo sımbolo /0.1 Diz-seque T e uma topologia sobre X se, se verificarem as seguintes condicoes ouaxiomas:

i) X , /0 2 T .

ii) Se A,B 2 T , entao A\B 2 T .

iii) Se {An} e uma famılia finita ou numeravel de elementos de T , entao[nAn 2 T .

Verificados os tres axiomas anteriores para a famılia T , diz-se que T euma topologia sobre X ou que (X ,T ) e um espaco topologico. Quando sesubentende uma topologia sobre X , diz-se simplesmente que X e um espacotopologico. Por definicao, os elementos de T sao designados por conjuntosabertos. Permutando interseccoes por unioes nos axiomas ii) e iii), obtem-sea topologia dos fechados e os elementos da famılia de subconjuntos de X saoconjuntos fechados.

Na topologia dos abertos, podem-se definir conjuntos fechados. Um con-junto C e fechado no espaco topologico X , se C� :=X�C e aberto. O conjuntoC� designa-se por conjunto complementar de C em X . Deste modo, tem-se queX e /0 sao simultaneamente conjuntos abertos e fechados.

1O conjunto vazio nao tem elementos e a sua existencia e axiomatica. O conjunto vazio tem0 elementos.

1.1. Medida 3

Por exemplo, em R2 como espaco metrico, para a famılia de bolas aber-tas de centro 0 e raio 1/n, B(0,1/n) = {x 2 R2 : x2

1 + x22 < 1/n2

}, tem-se que\

•n=1B(0,1/n) = {0} e, \m

n=1B(0,1/n) = B(0,1/m). Assim, a interseccao in-finita de abertos pode ser fechada mas a interseccao finita de abertos e sempreum conjunto aberto. Estao assim justificadas as escolhas feitas nos axiomas ii)e iii) para a distincao entre conjuntos abertos e fechados.

Definindo uma topologia de abertos no conjunto dos numeros reais R, ointervalo [a,b] e fechado, o conjunto (a,b) e aberto e (a,b] nao e nem abertonem fechado. O conjunto (�•,b) e aberto e (�•,b] e fechado.

A continuidade de uma funcao e uma propriedade topologica. Seja umafuncao f : X ! Y em que X e Y sao espacos topologicos, diz-se que f e umafuncao contınua num ponto x0 2 X , se a pre-imagem de qualquer conjuntoaberto que contenha f (x0) e um conjunto aberto em X . Isto e, f�1(V ) e umaberto de X , sempre que V e um aberto de Y , desde que f�1(V ) e V contenhamx0 e f (x0), respectivamente. Pode-se demonstrar que esta definicao de funcaocontınua e equivalente a definicao usual dos ee e dd (Exercıcio 1.1).2 O in-verso da definicao anterior nao e verdadeiro. Isto e, pode-se ter uma funcaocontınua cuja imagem de um conjunto aberto e um conjunto fechado. Tome-se,por exemplo, a funcao constante sobre o conjunto dos reais.

Analogamente ao que foi feito para os conjuntos abertos, introduza-se oconceito de conjunto mensuravel. Seja um conjunto X e uma famılia de sub-conjuntos de X que se designa por A . A famılia de conjuntos A e umaalgebra-s sobre X se, se verificarem as tres condicoes:

i) X 2 A .

ii) Se A 2 A , entao A�

2 A .

iii) Se {An} e uma famılia finita ou numeravel de elementos de A , entao[nAn 2 A .

Um conjunto X juntamente com uma algebra-s designa-se por espacomensuravel e representa-se por (X ,A ). Por definicao, os elementos de A

2Uma funcao f (x) : X ! Y e contınua no ponto x0 2 X se, para todo o e > 0, existe umd > 0, tal que, |x� x0|< d , implica que | f (x)� f (x0)|< e . E usual escrever esta definicao doseguinte modo,

(8e>0)(9

d>0)(8x2X : |x� x0|< d ) =) (| f (x)� f (x0)|< e)

em que d ⌘ d (e). A funcao f e contınua no espaco topologico X (na topologia dos abertos) see contınua em todos os pontos do seu domınio (aberto).


designam-se por conjuntos mensuraveis. Se existirem subconjuntos de X quenao pertencem a A , este conjuntos nao sao mensuraveis. Muitas vezes, designa-se por X o espaco mensuravel sem indicar a algebra-s .

Das tres condicoes anteriores decorre que o conjunto vazio /0 pertence aA , pois X� = /0. Nas algebras-s , as interseccoes finitas ou numeraveis estaosempre em A . Ora vejamos. Se {An} e uma famılia finita ou numeravel deelementos de A , entao

\nAn = (\nAn)�� =

�

[nA�

n�

�

2 A ,

pois [nA�

n 2 A .Em geral, e difıcil caracterizar os elementos de uma algebra-s e por isso

recorre-se a tecnicas construtivas. Pode-se gerar uma algebra-s a partir deuma famılia de subconjuntos de X , juntando novos elementos atraves de unioes,interseccoes e de passagens ao complementar, no maximo numa infinidade nu-meravel. Isto motiva a definicao de gerador de uma algebra-s : Uma algebra-s e gerada por um conjunto S se todos os elementos da algebra-s se podemobter por operacoes de uniao, interseccao e passagem ao complementar de ele-mentos de S .

Designando por S uma famılia de subconjuntos de X , escolhem-se todasas algebras-s que contem S . De facto, existe pelo menos uma algebra-sque contem S que e o conjunto de todos os subconjuntos de X . A algebra-sgerada por S e a menor algebra-s que contem S e pode ser obtida pelasinterseccoes de todas as algebras-s que contem S .

Se X e um espaco topologico, designe-se por B a algebra-s gerada pelosconjuntos abertos de X — algebra-s de Borel. Assim, B contem conjuntosabertos e fechados. Os elementos de B sao designados por Borelianos.

Se X = R, a algebra-s dos Borelianos pode ser gerada pela famılia deconjuntos abertos

S = { (a,+•) : a 2 R } .

Se X = Rn ou X = Cn, a algebra-s canonica e a algebra-s de Borel geradapelos abertos semi-infinitos de X .

Qualquer intervalo ou famılia de intervalos da recta pode ser obtido atravesde interseccoes, unioes ou passagens ao complementar de elementos de S .

1.1. Medida 5

Ora vejamos:

[a,+•) =•\

n=1(a�

1n,+•)

(�•,a) = [a,+•)�

(a,b) = (�•,b)\

(a,+•)

[a,b] = [a,+•)\

(�•,b] = [a,+•)\

(b,+•)� .

Mostramos assim que [a,+•), (�•,a), (a,b) e [a,b] pertencem a algebra-sde Borel de R, sendo portanto conjuntos mensuraveis.

Uma funcao real, f : X ! R, em que X e um espaco mensuravel diz-semensuravel se, para todo o real a, os conjuntos

Aa = {x : f (x)> a}

sao mensuraveis. Isto e, Aa pertence a algebra-s de X .Se, para todo o a 2 R, os conjuntos Aa estao na algebra-s de X , entao os

conjuntos, {x : f (x) � a}, {x : f (x) < a} e {x : f (x) a} tambem pertencema algebra-s de X . Podemos partir de qualquer dos conjuntos anteriores paradefinir a mensurabilidade de uma funcao, pois

{x : f (x)� a} =•\

n=1{x : f (x)> a�

1n}

{x : f (x)< a} = {x : f (x)� a}�

{x : f (x) a} = {x : f (x)> a}� .

Vejam-se exemplos de funcoes mensuraveis.

Funcao caracterıstica ou funcao indicatriz de um conjunto. Seja (X ,A )um espaco mensuravel e seja A um subconjunto de X . Seja a funcao

cA(x) = 1A(x) =⇢

1 se x 2 A0 se x 62 A .

Entao, tem-se que

{x : cA(x)> a}=

8

<

:

/0 se a � 1A se 0 a < 1X se a < 0

e cA(x) e mensuravel se, e somente se, A pertence a algebra-s de X . Se oconjunto A e mensuravel, cA(x) e uma funcao mensuravel. A funcao cA(x)designa-se por funcao indicatriz do conjunto A.


Funcao simples. Seja f : X ! R ou C e suponha-se que f (x) assume umnumero finito de valores a1, . . . ,an, quando x percorre X . Assim, existem con-juntos A1, . . . ,An, definidos por

Ai = {x 2 X : f (x) = ai} .

Nestas condicoes, podemos representar a funcao f (x) por

f (x) =n

Âi=1

aicAi(x)

e f (x) designa-se por funcao simples. A funcao simples f (x) e mensuravel se,e somente se, os conjuntos Ai pertencem a algebra-s de X .

Se f e g sao funcoes mensuraveis e { fn}n�0 e uma sucessao de funcoesmensuraveis que converge para f ponto a ponto, e facil mostrar que:

a) | f | e mensuravel.

b) supn fn(x), infn fn(x), limn fn(x),

limn

sup fn(x) = infn�1

(supk�n

fn)

limn

inf fn(x) = supn�1

infk�n

fn(x)

sao funcoes mensuraveis.

c) f g, f +g e 1/ f , com f (x) 6= 0, sao funcoes mensuraveis.

Estas propriedades decorrem dos axiomas que definem as algebra-s e dasrelacoes entre as operacoes da teoria dos conjuntos. Por exemplo, com

{x : | f (x)|> a} = {x : f (x)> a}[{x : f (x)<�a}

{x : sup fn(x)> a} =•[

n=1{x : fn(x)> a},

a mensurabilidade de | f (x)| e de {x : sup fn(x) > a} decorre dos axiomas dasalgebras-s . As restantes propriedades demonstram-se de maneira analoga (E-xercıcio 1.2).

Seja f uma funcao real, f : X ! R, e definam-se as funcoes f+(x) =max{0, f (x)} e f�(x) = �min{0, f (x)}. Assim, tem-se que f (x) = f+(x)�f�(x), em que f+(x) e f�(x) sao ambas funcoes positivas (figura 1.1). Como

1.1. Medida 7

0 2 4 6 8 10!0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

x

f

0 2 4 6 8 10!0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

x

f"

0 2 4 6 8 10!0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

x

f!

Figura 1.1: Decomposicao de uma funcao como uma diferenca de funcoespositivas, f (x) = f+(x)� f�(x).

uma funcao real se pode escrever como a diferenca de duas funcoes positivase quando se somam duas funcoes mensuraveis a propriedade de mensurabili-dade e preservada. No que se segue, sem perda de generalidade, toda a analisepode restringir-se as funcoes reais positivas.

Vai-se agora estabelecer uma relacao entre funcoes simples e funcoes men-suraveis. E sempre possıvel determinar uma sucessao de funcoes simples { fn}

que converge para f , limn!• fn(x) = f (x), para todo o x 2 X . Suponha-se quef � 0 nao e uma funcao simples e escolham-se os conjuntos

En,i =

⇢

x :i�12n f (x)<

i2n

�

, i = 1,2, . . .n2n

Fn = {x : f (x)� n},

com n = 1,2, . . .. Seja a funcao,

fn(x) =n2n

Âi=1

i�12n cEn,i(x)+n cFn(x) . (1.1)

Por construcao, fn ! f , ponto a ponto. Por outro lado, se f e mensuravel,tambem as funcoes fn o sao e { fn} e uma sucessao de funcoes simples queconverge para a funcao positiva f (x). No caso em que a funcao f toma va-lores positivos e negativos, a decomposicao em funcoes simples e aplicada asfuncoes positivas f+ e f�. Assim, dada uma funcao mensuravel f , e semprepossıvel construir uma sucessao de funcoes simples, convergente ponto a pontopara f .

Na figura 1.2 estao representadas aproximacoes com funcoes simples afuncao f (x) = 1/|x|.

Seja o espaco mensuravel (X ,A ) e seja uma funcao de conjunto µ : A !

R+ em que R+ = R+ [ {+•} — µ e uma funcao positiva. A funcao µ eaditiva-s em relacao a algebra-s A se, se verificarem os axiomas seguintes:


!4 !2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

1!"x" n"1

a#

f1$x#

!4 !2 0 2 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

1!"x" n"3

b#

f3$x#

Figura 1.2: Aproximacoes a funcao f (x) = 1/|x|, com x 2 R, atraves dasfuncoes simples fn(x) definidas em (1.1). Em a), escolheu-se n = 1. Em b),escolheu-se n = 3.

a) µ( /0) = 0 e µ(A)� 0 para todo o A 2 A .

b) Se An 2 A e Ai \A j = /0, para todo o i 6= j, entao µ ([nAn) = Ân µ(An).

Nestas condicoes, µ e uma medida sobre A e (X ,A ,µ) e um espaco demedida. A algebra-s A e o domınio da medida µ .

Uma consequencia imediata da definicao de medida e que, se A ⇢ B, entaoµ(A) µ(B). Como B = A[ (B�A), tem-se que µ(B) = µ(A)+µ(B�A)�µ(A).

1.2 Medida de Lebesgue

Seja o espaco euclidiano Rk. Um k-intervalo ou k-cubo I e um conjunto depontos de Rk cujas coordenadas verificam

ai xi bi i = 1,2, . . . ,k .

Um k-cubo pertence a algebra-s de Borel de Rk, sendo portanto um conjuntomensuravel. Por definicao, o k-volume de I ou volume a k dimensoes e

`(I) =k

’i=1

(bi �ai) .

Seja A um subconjunto de Rk e suponha-se que A ⇢[ jI j, em que os I j saok-cubos de uma cobertura de A, no maximo contavel.3 A medida exterior de

3Uma famılia de conjuntos {I j} e uma cobertura de A, se A ✓ [ jI j .

1.2. Medida de Lebesgue 9

A eµ

⇤(A) = infcoberturasÂj

`(I j),

em que o ınfimo e tomado sobre todas as coberturas finitas ou numeraveis deA.

A medida interior de A e

µ

⇤

(A) = supK⇢A

µ

⇤(K),

em que K e um subconjunto fechado contido em A e o supremo e tomadosobre todos os conjuntos fechados contidos em A. Diz-se que o conjunto A emensuravel a Lebesgue se

µ

⇤(A) = µ

⇤

(A) = µ(A)

e µ(A) designa-se por medida de Lebesgue de A. A medida de Lebesgue de umconjunto tem a propriedade de ser invariante para translacoes, µ(x+[a,b]) =µ([a,b]). Desta propriedade resulta:

Teorema 1.1 ([Stein e Shakarchi, 2005]). Seja I um k-cubo ou k-intervalo emRk. Na algebra-s de Borel de Rk existe uma medida unica µ , tal que

µ(I) =k

’i=1

(bi �ai) .

A funcao positiva µ e a medida de Lebesgue e todos os conjuntos de Borel saomensuraveis a Lebesgue.

Todos os Borelianos sao mensuraveis a Lebesgue, mas nem todos os sub-conjuntos de Rk sao mensuraveis a Lebesgue. Da mesma maneira, existemconjuntos mensuraveis que nao sao Borelianos.

Para a construcao da medida de um conjunto qualquer recorre-se a nocaode conjunto elementar. Um conjunto de Rk e elementar se pode ser posto comoa uniao finita de k-cubos, disjuntos dois a dois.

Um conjunto A ⇢Rk e mensuravel a Lebesgue se, para todo o e > 0, existeum conjunto elementar B tal que

µ(ADB) := µ ((A�B)[ (B�A))< e,

em que ADB e a diferenca simetrica entree A e B, A�B = (A\B)\A e B�A =(A\B)\B.


Os espacos euclidianos (Rk,B,µ) sao espacos de medida com as nocoesgerais de comprimento, area, volume, etc.. Assim, os conjuntos mensuraveis aLebesgue sao bem aproximados por unioes de k-cubos.

Veja-se outro exemplo de espacos de medida: os espacos de probabilidade.Seja (X ,A ,µ) um espaco de medida sujeito a condicao µ(X) = 1. Assim,

(X ,A ,µ) e um espaco de probabilidade e µ e uma medida de probabilidade.Por exemplo,

�

[0,1],B,µL�

e um espaco de probabilidade, em que µL e amedida de Lebesgue e a algebra-s de Borel e gerada por todos os intervalosabertos, fechados ou semi-abertos de [0,1].

Seja o espaco de probabilidade�

[0,1],B,µL�

e [a,b] um intervalo con-tido em [0,1]. Uma variavel aleatoria xt e uma funcao do tempo, discretoou contınuo, que assume valores num certo conjunto. A variavel aleatoria xtque assume valores no intervalo [0,1] e equidistribuıda, se a probabilidade deocorrencia de xt 2 [a,b] e igual a medida de Lebesgue de [a,b]: P(xt 2 [a,b]) =(b�a). Sendo p(x) a densidade de probabilidade da variavel aleatoria xt , tem-se que

P(xt 2 [a,b]) =Z b

ap(x)dx =

Z b

a1dx = b�a

e a funcao p(x) = 1 esta associada a medida de Lebesgue. Muitas vezesconfunde-se a medida da Lebesgue, µL([a,b]) = (b�a), com a densidade deprobabilidade p(x) = 1. Assim, associando medida de Lebesgue com densi-dade de probabilidade, e possıvel construir um algoritmo para a determinacaode areas.

Seja N o numero de pontos equidistribuıdos no interior de um rectanguloQ, com lados de comprimento a e b. A area ou medida de Lebesgue de Q e

Z a

0

Z b

0dxdy = a⇥b .

Seja S um subconjunto de Q. Dada uma sucessao de numeros {ai}Ni=1, equi-

distribuıdos no rectangulo Q, no limite N ! •, tem-se que

P(ai 2 S) =R R

S dxdyR a

0R b

0 dxdy.

Seja NS o numero de pontos da sucessao {ai} que estao no interior de S (fi-gura 1.3). Entao

area de S = area de Q ⇥ P(ai 2 S) = (a⇥b)NS

N.

1.3. Conjuntos de medida nula 11

S

Q

Figura 1.3: Metodo de Monte Carlo para a determinacao de areas e integraisem Rk. A razao entre o numero de pontos no interior de S e o numero total depontos no rectangulo Q e proporcional a razao entre as areas de S e de Q.

A ligacao entre probabilidade, medida e area permite construir um algo-ritmo para a determinacao aproximada das areas de figuras complicadas. Estatecnica designa-se por metodo de Monte Carlo e e especialmente util paraa determinacao numerica de integrais em Rk. Por exemplo, se f : Rk

!

R, o seu integral sobre um conjunto mensuravel A ⇢ Rk pode ser determi-nado da seguinte maneira: Seja a sucessao {a} = {a1,a2, . . . ,aN} com ai =(ai,1, . . . ,ai,k,y) 2 Rk+1, em que (ai,1, . . . ,ai,N) 2 A, C1 y C2 e C1 e C2 saoconstantes tais que, C1 < minA f e C2 > maxA f . Se {a} e uma sucessao equi-distribuida no domınio A, seja NA o numero de elementos de {a} para o qualf (ai,1, . . . ,ai,N) y. Entao, tem-se que

R

A f u µ(A)(C2 �C1)NA/N.

1.3 Conjuntos de medida nula

E possıvel encontrar conjuntos de medida de Lebesgue nula e com a potenciado contınuo. Um exemplo deste tipo de conjuntos e o conjunto ternario deCantor.

Para construir o conjunto ternario de Cantor, subdivide-se o intervalo [0,1]em tres partes iguais e retira-se o conjunto aberto (1/3,2/3), figura 1.4. Acada um dos intervalos [0, 1

3 ] e [23 ,1] retira-se um intervalo aberto de compri-

mento igual a um terco do comprimento do intervalo inicial. Repetindo este


0 1

1!3 2!3

1!9 2!9

C0

C1

C2

Figura 1.4: Construcao iterativa do conjunto ternario de Cantor, C• =limn!•Cn.

procedimento, obtem-se uma sucessao de conjuntos Cn da forma

C0 = [0,1]

C1 =⇥

0, 13⇤

S

⇥ 23 ,1

⇤

C2 =⇥

0, 19⇤

S

⇥ 29 ,

13⇤

S

⇥ 23 ,

79⇤

S

⇥ 89 ,1

⇤

...

Designando cada subintervalo de Cn por In j, com j = 1, . . . ,2n, tem-se que,Cn =

S2n

j=1 In j. O conjunto ternario de Cantor e o conjunto

C• =•\

n=0Cn .

A medida de Lebesgue de Cn e, µ(Cn) =2n

3n =� 2

3�n, e a medida de Lebesgue

de C• elimn!•

µ(Cn) = µ(C•) = 0.

Por outro lado, C• nao e vazio, pois, por exemplo, {0},{1/3} 2C•. Assim, oconjunto ternario de Cantor C• tem medida de Lebesgue zero.

Pode-se agora mostrar que o conjunto ternario de Cantor tem a potenciado contınuo. Isto e, C• tem tantos elementos como o intervalo [0,1], ou tantoselementos como o conjunto dos numeros reais. Por construcao, o desenvolvi-mento ternario de x 2C• e

x =•

Âi=1

ai

3i ,

em que ai = 0 ou 2. Fazendo a correspondencia biunıvoca, (ai = 0)! (bi = 0)e (ai = 2)! (bi = 1), todo o numero x de C• e bijectivamente aplicado num

1.3. Conjuntos de medida nula 13

numero x0 2 [0,1] atraves de

x =•

Âi=1

ai

3i ! x0 =•

Âi=1

bi

2i .

Como Â•i=1

bi2i , com bi = 0 ou 1, e o desenvolvimento binario de um numero

qualquer do intervalo [0,1], x0 pode ser qualquer numero no intervalo [0,1].Assim, o conjunto de Cantor C• tem a mesma potencia que o intervalo [0,1]ou seja, C• tem a potencia do contınuo.

Concluıu-se assim que existem conjuntos de medida de Lebesgue nula quetem tantos elementos como o intervalo [0,1]. No entanto, a medida de Le-besgue do intervalo [0,1] e 1 e a medida de Lebesgue do conjunto ternario deCantor e 0.

Os conjuntos de medida nula tem um papel importante na construcao dointegral de Lebesgue e na teoria dos espacos de funcoes (Capıtulo 2).

Um conjunto A, nao necessariamente mensuravel, e de medida nula, seexistir um conjunto mensuravel B tal que, A⇢B e µ(B)= 0. E intuitivo ver quecertas propriedades se mantem para conjuntos que diferem por de conjuntosde medida nula. E o caso dos conjuntos [a,b] e (a,b), em que µ([a,b]) =µ((a,b)). Pois, como [a,b]D(a,b) = {a,b}, vem que, µ([a,b]D(a,b)) = 0.Quando uma propriedade nao e valida apenas sobre conjuntos de medida nula,diz-se que a propriedade e valida quase por todo o lado (q.t.`.). Assim, (q.t.`.)define uma relacao de equivalencia em medida.

Por exemplo, em relacao a medida de Lebesgue, as funcoes f ,g : [0,1]![0,1] definidas por

f (x) = x e g(x) =⇢

x se x e irracional1 se x e racional

sao iguais quase por todo o lado, isto e, f (x) = g(x) (q.t.`.), ou ainda, f e gdiferem apenas num conjunto de medida nula do domınio comum.

Podem-se relacionar funcoes mensuraveis com funcoes contınuas:

Teorema 1.2 (Lusin, [Kolmogoroff e Fomin, 1977]). Seja µ a medida de Le-besgue em R. Uma funcao f (x) : [a,b] ! R e mensuravel no intervalo [a,b]se, e somente se, para todo o e > 0, existe uma funcao j(x), contınua em [a,b],tal que

µ({x 2 [a,b] : f (x) 6= j(x)}) e .


Assim, pelo Teorema de Lusin, uma funcao e mensuravel num intervalo[a,b] se ela difere de uma funcao contınua apenas num conjunto de medidanula. Em particular:

Corolario 1.3. Todas as funcoes contınuas sao mensuraveis.

1.4 Integral de Lebesgue

Seja, (X ,A ,µ) um espaco de medida e f : X ! R uma funcao simples

f (x) =n

Âi=1

aicAi(x) , ai 2 R,

em que Ai 2 A , i = 1, . . .n e µ e a medida de Lebesgue. Como os conjuntos,Ai 2A , i = 1, . . .n, sao mensuraveis, o integral de Lebesgue de f (x) e definidopor

Z

Xf (x)dµ(x) =

n

Âi=1

aiµ(Ai) .

Tambem se utilizam as notacoesZ

Xf (x)µ(dx) ,

Z

Xf (x)dµ(x) ou

Z

Xf (x)µ(x)dx .

Como se viu, e sempre possıvel construir uma sucessao de funcoes simplesque convergem ponto a ponto para f . Assim, e possıvel estender a definicao deintegral de Lebesgue para uma classe mais geral de funcoes. Um consequenciaimediata da definicao de integral e que se duas funcoes simples e mensuraveisdiferem uma da outra num conjunto de medida nula, entao os seus integrais deLebesgue sao iguais.

Se f (x) : X ! R e uma funcao nao negativa e mensuravel e { fn(x)} euma sucessao de funcoes simples convergentes para f (x) (q.t.`.), o integral deLebesgue de f em relacao a medida µ e

Z

Xf dµ = lim

n!•

Z

Xfn(x)dµ(x) (< •)

e, pode-se mostrar que, esta definicao e independente da sucessao escolhida.No caso em que f (x) nao e uma funcao positiva, pode-se aplicar a decomposicao,

f = f+� f� e, devido a aditividade do integral, todos os resultados mantem-sevalidos.

A teoria da integracao a Lebesgue e justificada pelos teoremas seguintes.

1.4. Integral de Lebesgue 15

Lema 1.4 (convergencia monotona de Beppo Levi, [Kolmogoroff e Fomin,1977]). Seja { fn} uma sucessao de funcoes mensuraveis de X para R ou C.Suponha-se que { fn+1 � fn} e que { fn} converge para f (q.t.`.). Entao

limn!•

Z

Xfn(x)dµ =

Z

Xf (x)dµ.

Lema 1.5 (Fatou, [Kolmogoroff e Fomin, 1977]). Seja { fn} uma sucessao defuncoes mensuraveis de X para R ou C e suponha-se que { fn} converge paraf (q.t.`.). Se, para todo o n, existe uma constante k tal que,

R

X fn(x)dµ k, afuncao f e integravel a Lebesgue em X e

R

X f (x)dµ k.

Por exemplo, seja f (x) = limn!• xn, com x 2 [0,1]. Entao como,

In =Z 1

0xndx =

1n+1

1

para todo o n � 0, pelo lema de Fatou, a funcao f e integravel a Lebesgue e

limn!•

Z 1

0xndx =

Z 1

0f (x)dx = 0.

Teorema 1.6 (convergencia dominada de Lebesgue, [Kolmogoroff e Fomin,1977]). Seja { fn} uma sucessao de funcoes mensuraveis de X para R ou Ce suponha-se que { fn} converge para f (q.t.`.). Se existe uma funcao g, in-tegravel em relacao a medida de Lebesgue µ e tal que, para todo o n � 0,| fn| g, entao

limn!•

Z

Xfndµ =

Z

Xf dµ < • .

Assim, sobre a hipotese da convergencia dominada, podemos sempre per-mutar o sinal de limite com o sinal de integral.

Na teoria da integracao de Riemann, para que o integral de uma funcaoexista, a funcao integranda tem de ser contınua e limitada num intervalo fe-chado e limitado. Por outro lado, o limite de uma funcao integravel a Rie-mann nao e necessariamente integravel. Ora, esta situacao levanta problemasao construir os espacos de funcoes da analise funcional. Na teoria de Lebes-gue, as condicoes de integrabilidade sao menos restritivas do que na teoria deRiemann (Exercıcio 1.5), podendo-se sempre passar ao limite, desde que se


verifiquem as hipoteses do teorema da convergencia dominada de Lebesgue,ou seja, desde que,

Z

X| fn|dµ < • .

Em tudo o que se segue, todos os integrais deverao ser entendidos no sen-tido de Lebesgue e todos os espacos sao considerados espacos mensuraveis,estando definida implicitamente uma algebra-s canonica. Nos espacos eucli-dianos considera-se sempre a algebra-s dos Borelianos.

Quando se estende a teoria de Lebesgue para funcoes a duas variaveis tem-se:

Teorema 1.7 (Fubini, [Kolmogoroff e Fomin, 1977]). Seja f (x,y) : X ⇥Y !Ruma funcao mensuravel e suponha-se que

Z

f (x,y)dµ(x) eZ

f (x,y)dn(y)

sao ambas funcoes integraveis, isto e os integrais,Z

dn(y)Z

| f (x,y)|dµ(x) eZ

dµ(x)Z

| f (x,y)|dn(y)

sao finitos. EntaoZ Z

f (x,y)dµ(x)dn(y) =Z

✓

Z

f (x,y)dµ(x)◆

dn(y)

=Z

✓

Z

f (x,y)dn(y)◆

dµ(x) .

1.5 A dimensao de Hausdorff

A medida exterior de Hausdorff generaliza o conceito de medida de Lebesguee e utilizada para comparar conjuntos de medida de Lebesgue nula. A neces-sidade deste novo conceito resulta do facto da construcao de medida dependerda dimensao dos conjuntos. Por exemplo, o intervalo [0,1] como subconjuntode R tem medida de Lebesgue 1. Quando considerado como subconjunto deRk, com k � 2, a medida de Lebesgue de [0,1] e 0.

Seja A um subconjunto de Rk e defina-se o diametro de A como |A| :=sup{|x� y| : x,y 2 A}. Seja {I j} uma cobertura finita de A em que cada ele-mento da cobertura tem diametro menor ou igual do que e . A medida exterior

1.5. A dimensao de Hausdorff 17

de Hausdorff de A e definida como

H⇤

d (A) = lime!0

infcoberturas Â

j|I j|

d ,

em que o ınfimo e tomado sobre todas as coberturas finitas de A. Esta definicaoso faz sentido quando H⇤

d (A) e finito, isto e, quando existe uma constante d talque, 0 < H⇤

d (A) < •. Como se vera, a constante d tem o significado de umadimensao.

Por exemplo, se I e um intervalo de comprimento `, |I|= µ(I), tem-se que

H⇤

d (I) = lime!0

infcoberturas Â

j(µ(I j))

d .

Se os elementos I j da cobertura {I j} sao tomados com comprimento e = `/N,tem-se que

H⇤

d (I) = limN!•

N

Âj=1

(`

N)d = lim

N!•N✓

`

N

◆d

= limN!•

`dN1�d

e portanto

H⇤

d (I) =

8

<

:

+• se d < 1` se d = 10 se d > 1.

Como se conclui deste exemplo, o expoente d tem o significado de uma di-mensao — dimensao de Hausdorff ou dimensao fractal.

Nos casos em que d e um inteiro, H⇤

d (A) = µ

⇤(A), em que µ

⇤ e a medidaexterior de Lebesgue em dimensao (inteira) d = n.

Quando e possıvel encontrar uma particao regular de um conjunto em sub-conjuntos de medida de Lebesgue igual, pode-se facilmente determinar a di-mensao de Hausdorff do conjunto. Assim, para A ⇢ Rk, cada elemento I j dacobertura em k-cubos, de lado e , tem diametro |I j|=

p

ke , e

H⇤

d (A)⇠N grande N(p

ke)d ,

ou seja,

d = lime!0

lnH⇤

d (A)ln(

p

ke)� lim

e!0

lnNln(

p

ke)= lim

e!0

lnNln 1

p

ke

,

em que N e o numero de elementos da cobertura de A. Claro esta que, porhipotese, lnH⇤

d (A) e finito e N ⌘N(e). O numero d assim determinado designa-se por capacidade ou dimensao fractal do conjunto A.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5D=1.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-3

-2

-1

0

1

2

3D=1.8

Figura 1.5: Graficos da funcao de Weierstrass-Mandelbrot (1.2), para D = 1.5e D = 1.8, com g = 1.5. A constante D e a dimensao de Hausdorff do graficode f .

Calcule-se a dimensao e a medida de Hausdorff do conjunto ternario deCantor. Assuma-se que H⇤

d (C•) e uma constante positiva e cubram-se os con-juntos Cn com 2n intervalos de comprimento 1/3n. Assim,

H⇤

d (C•) = limn!•

2n✓

13n

◆d

= limn!•

✓

23d

◆n

= constante .

Como, limn!• ln(constante)/n = (ln2�d ln3) = 0, tem-se que,

d = ln2/ ln3 = 0,6309 . . . .

Assim, em dimensao d = 0,6309 . . ., a medida exterior de Hausdorff do con-junto ternario de Cantor e H⇤

d (C•) = (2/3d)n = 1n = 1. Por exemplo, a medidade Hausdorff de A = C• \ [0,1/2] e zero em dimensao 1 mas, em dimensaoln2/ ln3, e,

Hln2/ ln3(A) = limn!•

2n�1✓

13n

◆ln2/ ln3

=12.

Os graficos de funcoes tambem podem ter dimensoes nao inteiras. E o casoda funcao contınua e nao diferenciavel de Weierstrass-Mandelbrot,

f (x) =+•

Ân=�•

(�1)n sing

nxg

(2�D)n , (1.2)

em que g > 1 e 1 < D < 2. Na figura 1.5, estao representados os graficosde f (x) para D = 1.2 e D = 1.5, com g = 1.5. A constante D e a dimensao deHausdorff do grafico de f .

1.6. Exercıcios 19

1.6 Exercıcios

1.1) Mostre que a definicao usual de funcao contınua e equivalente a seguintedefinicao: Sejam X e Y espacos topologicos. Uma funcao f : X !Y e contınua,se f�1(V ) e um aberto de X , sempre que V e um aberto de Y .1.2) Sejam f ,g : X ! R funcoes mensuraveis. Mostre que f +g, f 2, f g e 1/ fsao funcoes mensuraveis. Neste ultimo caso, suponha que f (x) 6= 0.1.3) Mostre que a medida de Lebesgue de qualquer conjunto finito ou nu-meravel da recta e zero. Em particular, determine a medida de Lebesgue dosconjuntos dos numeros racionais e irracionais do intervalo [0,1].1.4) Faca uma estimativa de p usando apenas papel e lapis. Comece poresbocar a mao um quadrado com uma circunferencia inscrita. Coloque variospontos no interior do quadrado, distribuıdos uniformemente. Faca a contageme calcule uma aproximacao a p .1.5) Considere a funcao simples (funcao de Dirichlet) f (x) : [0,1] ! R, emque,

f (x) =⇢

0 se x e racional1 se x e irracional

Calcule o integralR 1

0 f (x)dx, no sentido de Lebesgue. Use resultados do Exercıcio1.3). Mostre ainda que a funcao f (x) nao e contınua.1.6) Quais as dimensoes de Hausdorff dos conjuntos dos numeros reais dointervalo [0,1] que nao contem dıgitos pares nas bases decimal, ternaria e qua-ternaria.1.7) Determine a dimensao de Hausdorff do conjunto do plano obtido atravesdas operacoes indicadas na figura (curva de Koch). Note que, em cada iteracao,os comprimentos dos segmentos de recta sao os mesmos.

0 1 0 1

1!3

0 1

1!3

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Capítulo 1 - Integração de Lebesgue