cetvrto_FER2

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi

skolska godina2006/2007Predavanje 4

ProfesorBranko Jeren

Osnovnisignali

Signali i sustavi


veljaca 2007.

1

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali

Eksponencijalnisignal

Vremenski diskretan jedinicni skok vremenski diskretnajedinicna step funkcija

vremenski diskretan jedinicni skok definiran je kao:

: Cjelobrojni Realni(n) =

{1 n 00 n < 0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

1

(n)

n

y ( n)

2

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski kontinuiran jedinicni skok vremenskikontinuirana jedinicna step funkcija

vremenski kontinuiran jedinicni skok definiran je kao:

: Realni Realni(t) =

{1 t 00 t < 0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

1

(t)

t

y ( t)

3

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Jedinicna kosina

vremenski diskretnakosina : Cjelobrojni Realnikosina(n) =

{n n 00 n < 0

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100123456789

10

n

kosina(n)

vremenski kontinuiranakosina : Realni Realnikosina(t) =

{t t 00 t < 0

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100123456789

10

t

kosina(t)

4

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Veza jedinicnog skoka i jedinicne kosine

veza vremenski diskretnejedinicne kosine ijedinicnog skoka je

kosina : Cjelobrojni Realni

kosina(n) =n

m=(m 1)

=n1

m=(m)

s druge strane vremenskidiskretan jedinicni skokmozemo definiratipomocu kosine kao

(n) = kosina(n+1)kosina(n)

vremenski kontinuiranujedinicnu kosinudefiniramo s jedinicnimskokom kao

kosina : Realni Realni

kosina(t) =

t

()d = t(t)

s druge strane vremenskikontinuiran jedinicni skokmozemo definiratipomocu kosine kao

(t) =d(kosina(t))

dt

5

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski diskretan jedinicni impuls Kroneckerova deltafunkcija

vremenski diskretan jedinicni impuls je vremenski diskretansignal definiran kao:

: Cjelobrojni Realni(n) =

{1 n = 00 n 6= 0

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

1

(n)

n

y ( n)

6

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski diskretan jedinicni impuls primjena1

za m koraka pomaknuti vremenski diskretan jedinicniimpuls definiran je kao

(n m) ={

1 n = m m Cjelobrojni0 n 6= m

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

1

(n3)

n

y ( n)

7

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Niz vremenski diskretnih jedinicnih impulsa

definiraju se nizovi jedinicnih impulsa oznacenih vremenskidiskretnom funkcijom comb (prema engleskom nazivu ovefunkcije)

comb : Cjelobrojni Cjelobrojnicomb(n) =

m= (n m)

12 8 4 0 4 8 12

1

comb(n)

comb : Cjelobrojni CjelobrojnicombM(n) =

m= (n mM)

0

1

combM(n), M=3

M 2M 3MM2M3M

8

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski diskretan jedinicni impuls primjena2

svaki niz moze biti prikazan uz pomoc niza vremenskidiskretnih jedinicnih impulsa sto proizlazi iz:

u(n) = u(n) comb(n) = u(n)

m=(n m) =

=

m=u(m)(n m)

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.40.30.20.1

00.10.20.30.40.50.60.70.8

u(n)

n

u(n) = .7(n + 3) + .2(n + 1)++.5(n 1) .2(n 2)++.7(n 4) + .3(n 5).3(n 7)

9

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Diracova delta funkcija vremenski kontinuirani jednicniimpuls

definira se vremenski kontinuiran jedinicni impuls iliDiracova delta funkcija

zbog svojih svojstava ona se izdvaja iz skupa regularnihmatematickih funkcija i svrstava su u klasu tzv.distribucija ili singularnih funkcija

teorija generaliziranih funkcija, koja objedinjuje singularnei regularne funkcije, razvijana je koncem devetnaestog, i uprvoj polovici dvadestog sotljeca, a prvenstveno zbogpotreba izucavanja elektricnih krugova i nekih problema ufizici

za potrebe ovog predmeta ovdje se uvodi vremenskikontinuirani jedinicni impuls ne ulazeci u strogimatematicki postupak

10

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Diracova delta funkcija vremenski kontinuirani jednicniimpuls

vremenski kontinuiran jednicni impuls (t) prvi je definiraoP. A. M. Dirac kao

(t) = 0 za t 6= 0

(t)dt = 1

u cast Diracu vremenski kontinuiran jednicni impuls (t)naziva se i Diracova delta funkcija

11

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Diracova delta funkcija 1

izvod za Diracovu delta funkciju zapocinje s definicijompravokutnog impulsa povrsine jednake jedan

: Realni Realni (t) =

{1 |t| < 20 |t| > 2

00

(t)

t/2/2

1/

12

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Diracova delta funkcija 2

za 0 pravokutni impuls postaje sve uzi i sve visi alipri tome povrsina ostaje uvijek vrijednosti jedan

za granicni slucaj slijedi

(t) = lim0

(t)

Diracovu delta funkcijuprikazujemo kao na slici

strelica u t = 0 ukazuje kakoje povrsina impulsakoncentrirana u t = 0, avisina strelice i oznaka 1oznacuje jedinicnu povrsinuimpulsa

povrsina ispod impulsa senaziva tezina ili njegovintenzitet

0 t

(t)

(1)

13

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Umnozak Diracove delta funkcije i vremenski kontinuiraneregularne funkcije

razmatra se umnozak Diracove delta funkcije s nekomvremenski kontinuiranom regularnom funkcijom f (t) kojaje konacna i kontinuirana u t = 0

kako je jedinicni impuls razlicit od nule samo za t = 0 avrijednost od f (t) u t = 0 je f (0) slijedi

f (t)(t) = f (0)(t) (1)

dakle, umnozak vremenski kontinuirane funkcije f (t) i (t)rezultira s impulsom intenziteta ili tezine f (0) (sto jevrijednost funkcije f (t) na mjestu impulsa)

isto tako, za funkciju koja je konacna i kontinuirana ut = t0, vrijedi

f (t)(t t0) = f (t0)(t t0) (2)

14

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Svojstvo otipkavanja Diracove delta funkcije

iz jednadzbe (1) slijedi

f (t)(t)dt = f (0)

(t)dt = f (0) (3)

isto tako, iz jednadzbe (2), slijedi

f (t)(t t0)dt = f (t0)

(t)dt = f (t0) (4)

sto znaci da je povrsina produkta funkcije i impulsa (t)jednaka vrijednosti funkcije u trenutku u kojem je definiranjedinicni impuls

moze se takoder reci da Diracova delta funkcija vadi iliotipkava vrijednost podintegralne funkcije na mjestu nakojem je impuls definiran

15

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Diracova delta funkcija kao generalizirana funkcija

Diracovu delta funkciju se ne moze promatrati kaoregularnu funkciju jer ona ima vrijednost nula za svevrijednosti osim za vrijednost t = 0, a za taj t nijedefinirana

zato Diracovu delta funkciju definiramo u smislu teorijedistribucija ili generaliziranih funkcija

generaliziranu funkciju, umjesto njezinih vrijednosti za svevrijednosti domene, definiramo preko njezina djelovanja nadruge, testne (ispitne), regularne funkcije

definicija Diracove delta funkcija u smislu teorijedistribucija je dana u jednadzbama (3) i (4) dakle:

f (t)(t t0)dt = f (t0)

(t)dt = f (t0) (5)

16

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Niz Diracovih delta funkcija

niz Diracovih delta funkcija, oznacen kao funkcija comb(t)prema engleskom nazivu ove funkcije, definiran je kao

comb(t) =

m=(t m), m Cjelobrojni

4 3 2 1 0 1 2 3 4

comb(t)

t

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)

17

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Produkt niza Diracovih delta funkcija i vremenskikontinuiranog signala

produkt niza Diracovih delta funkcija, razmaknutih za T , ikontinuiranog signala f (t) naziva se impulsno otikpavanjekontinuiranog signala ili impulsna modulacija

rezultat mnozenja je niza funkcija intenziteta kojiodgovaraju trenutnim vrijednostima funkcije f (t) namjestima t = nT za n Cjelobrojni

f(t) = f (t)

n=(tnT ) =

=

n=f (nT )(tnT )

nT (n+1)Tt

comb(t)f(t)

18

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Veza vremenski kontinuiranog jedinicnog impulsa ivremenski kontinuiranog jedinicnog skoka 1

derivacija funkcije jedinicnog skoka svuda je nula osim namjestu diskontinuiteta u t = 0 gdje derivacija nijedefinirana

uvodi se tzv. generalizirana derivacija i pokazuje se kako jeDiracova funkcija generalizirana derivacija funkcijejedinicnog skoka

do ovog zakljucka dolazi se sljedecim razmatranjem za funkciju f (t) na slici prikazana je i njezina derivacija

a/2 a/20

.5

1

t

f(t)

a/2 a/20

1/a

t

df(t)/dt

19

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Veza vremenski kontinuiranog jedinicnog impulsa ivremenski kontinuiranog jedinicnog skoka 2

derivacija funkcije f (t) definirana je za svaki t osim zat = a/2 i t = a/2

smanjivanjem a funkcija f (t) se u konacnici priblizavajedinicnom skoku, a pravokutni impuls, povrsine jedan,koji predstavlja df (t)/dt, prelazi u jedinicnu Diracovu funkciju

ovako postignuta derivacija naziva se generaliziranaderivacija, a jedinicni impuls je generalizirana derivacijajedinicnog skoka

(t) =d(t)

dt

iz ovoga slijedi i

(t) =

t

()d

20

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Generalizirana derivacija funkcije g(t) s diskontinuitetom ut = t0

generalizirana derivacija funkcije g(t) s diskontinuitetom ut = t0 definirana je kao

d

dt(g(t)) =

d

dt(g(t))t 6=t0+ lim

0[g(t+)g(t)](tt0), > 0

21

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer generalizirana derivacija funkcije g(t) sdiskontinuitetima

neka je funkcija g(t) zadana s

g(t) =

0 t < 1t + 3 1 < t 40.5(t 6) 4 < t 82 8 < t 9t + 11 9 < t 110 11 < t

odnosnog(t) = (t + 3)[(t 1) (t 4)]

+0.5(t 6)[(t 4) (t 8)]+2[(t 8) (t 9)]+(t + 11)[(t 9) (t 11)]

22

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer generalizirana derivacija funkcije g(t) sdiskontinuitetima

dakle, za zadanu funkciju g(t)g(t) = (t + 3)[(t 1) (t 4)]

+0.5(t 6)[(t 4) (t 8)]+2[(t 8) (t 9)]+(t + 11)[(t 9) (t 11)]

generalizirana derivacija jeg (t) = 1 [(t 1) (t 4)]

+0.5[(t 4) (t 8)]1 [(t 9) (t 11)]+[g(1+) g(1)](t 1)+[g(8+) g(8)](t 8)

23

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Generalizirana derivacija funkcije s diskontinuitetima

za funkciju g(t)g(t) = (t + 3)[(t 1) (t 4)]

+0.5(t 6)[(t 4) (t 8)]+2[(t 8) (t 9)]+(t + 11)[(t 9) (t 11)]

generalizirana derivacija jeg (t) = 1 [(t 1) (t 4)]

+0.5[(t 4) (t 8)]1 [(t 9) (t 11)]+[g(1+) g(1)](t 1)+[g(8+) g(8)](t 8)

0 2 4 6 8 10 121

0

1

2

g(t)

0 2 4 6 8 10 121

0

1

2

dg(t)/dt

t

(2) (1)

24

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Generalizirana derivacija funkcije g(t) s diskontinuitetom 2

prikazana je generalizirana derivacija funkcije g(t) sdiskontinuitetima te integral dobivene funkcije

0 2 4 6 8 10 121

0

1

2

g(t)

0 2 4 6 8 10 121

0

1

2

dg(t)/dt

t

(2) (1)

0 2 4 6 8 10 12

202

t

Integral(dg(t)/dt)0 2 4 6 8 10 12

1012

dg(t)/dt

25

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski kontinuiran sinusoidni signal 1

u uvodnim izlaganjima navedena vaznost sinusoidnogsignala

vremenski kontinuiran sinusoidni signal definiramofunkcijom

f : Realni Realnif (t) = A cos(2piF0t + ) = A cos(0t + ) = A cos(

2piT0t + )

F0 =1T0, 0 = 2piF0

gdje suA = realna amplituda sinusoidnog signalaT0 = realni osnovni period signalaF0 = realna osnovna frekvencija signala, [Hz]0 = realna kutna frekvencija signala, [rad/s] = faza, [rad]

26

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski kontinuiran sinusoidni signal 2

0 1

0.5

0

0.5

1

cos(0t+), 0=1, =/6

/6 22

Slika 1: Vremenski kontinuiran sinusoidni signal

27

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski kontinuiran kompleksni eksponencijalni signal 1

kompleksna eksponencijalna funkcija odlikuje se nizomznacajki koje mogu posluziti u jednostavnijem i boljemrazumijevanju pojava i postupaka kod realnih signala isustava

zato se definira vremenski kontinuiran kompleksnieksponencijalni signal

f : Realni Kompleksnis0 = 0 + j0 Kompleksni ,C = Ae j Kompleksni ,A, Realnif (t) = Ces0t = Ae je(0+j0)t = Ae0te j(0t+)

28

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal 2

primjenom Eulerove relacije vremenski kontinuirankompleksni eksponencijalni signal prikazujemo i kao

f : Realni Kompleksnif (t) = Ae0te j(0t+) = Ae0t [cos(0t + ) + j sin(0t + )]F0 =

1T0, 0 = 2piF0

gdje suA = realna amplituda kompleksnog eksponencijalnog signalas0 = kompleksna frekvencijaT0 = realni osnovni period sinusoidnog signalaF0 = realna osnovna frekvencija sinusnog signala, [Hz]0 = realna kutna frekvencija sinusnog signala, [rad/s]0 = prigusenje = faza, [rad]

29

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer vremenski kontinuirane kompleksne eksponencijalnefunkcije 1

za s0 = 0 + j0, kompleksna eksponencijala je

f (t) = Aes0t = Ae(0+j0)t = Ae0t [cos(0t) + j sin(0t)]

neka je na primjer 0 = 0.1, 0 = 1 i A = 1 tada je

f (t) = e(0.1+j)t = e(0.1t)[cos(t) + j sin(t)]

za danu kompleksnu eksponencijalu mozemo prikazatirealni i imaginarni dio, te modul i fazu

30

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer vremenski kontinuirane kompleksne eksponencijalnefunkcije 2

0

A0A

0

A0A

t

0

A0A

0

0

t

Real[e(0+j0t)], 00

Imag[e(0+j0t)], 00 Arg[e(

0+j

0t)], 00

Abs[e(0+j0t)], 00

Slika 2: Vremenski kontinuirana kompleksna eksponencijala

31

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjena kompleksne eksponencijale Aes0t u prikazu nekihrealnih funkcija 1

za s0 = 0 + j0, vremenski kontinuiranu kompleksnueksponencijalu prikazujemo kao

Aes0t = Ae(0+j0)t = Ae0t [cos(0t) + j sin(0t)]

za s0 = 0 j0, konjugirano od s0, vrijediAes

0 t = Ae(0j0)t = Ae0t [cos(0t) j sin(0t)]

pa dalje slijediAe0tcos(0t) =

1

2[Aes0t + Aes

0 t ]

32

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjena kompleksne eksponencijale Aes0t u prikazu nekihrealnih funkcija 2

pozicija kompleksnih frekvencija s0 = 0 j0 ukompleksnoj ravnini odreduje ponasanje Ae0tcos(0t)

kompleksnu ravninu podijelimo na cetiri dijela: imaginarna os j za {s| = 0} realna os za {s| = 0} lijeva kompleksna poluravnina za {s| < 0} desna kompleksna poluravnina za {s| > 0}

razmatramo cetiri mogucnosti za f (t) = Aest za s na imaginarnoj j osi

s = = = 0 rezultira u konstanti f (t) = A = 0 i s = j rezultira u f (t) = A cos(t)

za s na realnoj osi s = i = 0 rezultira u f (t) = Aet

za s = s = j rezultira u f (t) = Aet cos(t)

33

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjena kompleksne eksponencijale Aest u prikazu nekihrelanih funkcija 3

0

A0A

=0, =0

0

A0A

t

=0, 00

A0A

>0, =0

0

A0A

0, 0

0

A0A

t

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Prikaz realnog sinusoidnog signala s kompleksnimeksponencijalnim signalom

iz prije izvedenoga slijedi:

A cos(0t + ) =A

2e je j0t +

A

2ejej0t = Re{Ae j(0t+)}

A sin(0t + ) =A

2je je j0t A

2jejej0t = Im{Ae j(0t+)}

35

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Vremenski diskretan kompleksni eksponencijalni signal 1

vremenski diskretan kompleksni eksponencijalni signal (iliniz) prikazujemo funkcijom

f : Cjelobrojni Realniz0 Kompleksni , z0 = 0 + j0f (n) = Aez0n = Ae(0+j0)n = An

A Kompleksni , Kompleksnigdje su = e(0+j0), A = |A|e

uobicajeno se kompleksna eksponencijala oznacuje kaoAn, no promotrimo i alternativni nacin prikaza

36

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Kompleksni eksponencijalni niz 2

kako su A Kompleksni i Kompleksni mozemo pisati

A = |A|e j i = e(0+j0) = e0e j0 = ||e j0

uz e j0n = cos0n + j sin0n slijedi

f (n) = An = |A|||n cos(0n + ) + j |A|||n sin(0n + ) || i 0 definiraju ponasanje kompleksne eksponecijale

za || = 1 realni i imaginarni dio kompleksneeksponencijale su sinusoidni nizovi.

za || < 1 oni su sinusoidni nizovi mnozeni seksponencijalom koja se prigusuje te

za || > 1 oni su sinusoidni nizovi mnozeni seksponencijalom koja se raspiruje

37

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer eksponencijalnog niza

10 0 102

0

2

Real[e(1/16+j/8)n]

10 0 102

0

2

Imag[e(1/16+j/8)n]

n

10 0 100

1

2

3Abs[e(1/16+j/8)n]

10 0 10

Faza[e(1/16+j/8)n]

n

0

Slika 4: Kompleksni nizprimjer

38

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Eksponencijalni niz u tvorbi realnog prigusenog sinusoidnogniza 1

za kompleksni nizAn = Ae0ne j0n = A||n cos(0n) + jA||n sin(0n)

je njegov konjugirano kompleksniA()n = Ae0nej0n = A||n cos(0n) jA||n sin(0n)

pa vrijediA||n cos(0n) = 1

2[An + A()n]

39

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Eksponencijalni niz u tvorbi realnog prigusenog sinusoidnogniza 2

analiziramo A||n cos(0n) za razne vrijednosti || i 0 za 0 = 0

| = 0|, || < 0, || > 0 za 0 = pi8

| = 0|, || < 0, || > 0

40

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjena kompleksne eksponencijale Aest u prikazu nekihrelanih funkcija 2

0 10 200

0.5

1

n

||=1, =0

0 10 200

0.5

1

n

||=0.9, =0

0 10 200

5

10

n

||=1.1, =0

0 10 201

0

1

n

||=1, = /8

0 10 201

0

1

n

||=0.9, = /8

0 10 2010

0

10

n

||=1.1, = /8

Slika 5: A||n cos(0n)

41

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Sinousoidni signal 1

neovisno o nacinu nastajanja diskretna se sinusoidadefinira kao

f : Cjelobrojni Realnif (n) = A cos(0n + ) = A cos(2pif0n + ) = A cos(

2pinN0

+ )

f0 =1N0

= 02pigdje su N0 Realni ,A Realni

A je amplituda, 0 [radijana/uzorku] kutna frekvencija, a [radijana] faza signala

N0 je broj uzoraka jedne periode f0 je dimenzije [perioda/uzorku] i predstavlja dio periodekoji odgovara jednom uzorku

42

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer realnog sinusoidnog niza

primjer sinusoidnog niza za 0 = pi12 f0 = 124 , te = pi3

0 4 10 22 34 401

0.5

0

0.5

1

n

0=/12

Slika 6: cos( pi12n pi3 )43

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Periodicnost sinusoidnog niza

niz u(n) = cos(0n + ) je periodican ako vrijedicos[0(n + N) + ] = cos(0n + )

izvodimocos[0(n+N)+] = cos(0n+) cos(0N)sin(0n+) sin(0N)

desna je strana jednaka cos(0n + ) zacos(0N) = 1, i sin(0N) = 0

a to je za0N = 2pik, ili

02pi

=k

N, ili f0 =

k

N

44

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer periodicnog sinusoidnog niza

za niz 1.8 cos(2pi15n pi7 ) vrijedi

0 =2pi

15pa je N =

2pik

0=

2pik215pi

= 15 za k = 1

0 5 10 15 20 25 30 35 402

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

n

Slika 7: Periodicni sinusoidni niz

45

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer neperiodicnog sinusoidnog niza

za niz 1.8 cos(5pi15 n pi7 ) vrijedi

0 =

5pi

15pa je N =

2pik

0=

2pik5

15 pi=

305k

0 5 10 15 20 25 30 35 402

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

n

Slika 8: Neperiodican sinusoidni niz46

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Nejednoznacnost valnih oblika vremenski diskretnesinusoide

valni oblici vremenski kontinuirane sinusoide cos(t) sujednoznacni za svaku realnu vrijednost iz intervala 0 do

u slucaju vremenski diskretne sinusoide imamo drugacijupojavu

razmotrimo sinusoidne signale kutne frekvencije 0 + 2kpi,za k Cjelobrojni

cos((0 + 2kpi)n + ) = cos((0n + ) + 2kpin) = cos(0n + )

vidi se da su sinusoidni signali frekvencije 0 + 2kpiidenticni signalu frekvencije 0

slijedi zakljucak kako je dovoljno razmatrati samovremenski diskretne sinusoide cije su kutne frekvencijaunutar intervala 0 0 2pi odnosno pi 0 +pi

47

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Jos o periodicnosti vremenski diskretne sinusoide

zbog upravo pokazane periodicnosti vremenski diskretnesinusoide jasno je da ne postoji kontinuirani porast brojaoscilacija kako raste 0

na slici koja slijedi ilustrirano je kako s porastom 0 od 0prema pi raste broj oscilacija, a s porastom 0 od pi prema2pi, smanjuje broj oscilacija

prikazane su sinusoide cos(0n) za 0 =0, pi6 ,

pi4 ,

2pi6 ,

pi2 ,

4pi6 ,

3pi4 ,

5pi6 , pi,

7pi6 ,

5pi4 ,

8pi6 ,

3pi2 ,

10pi6 ,

7pi4 ,

11pi6

48

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Primjer realnog sinusoidnog niza

cos[0n]=cos[(2)n]

cos[(/6)n]

cos[(/4)n]cos[(2/6)n]cos[(/2)n]cos[(4/6)n]cos[(3/4)n]

cos[(5/6)n]

cos[n]=cos[n]

cos[(7/6)n]=cos[(5/6)n]

cos[(5/4)n]=cos[(3/4)n] cos[(8/6)n]=cos[(4/6)n] cos[(3/2)n]=cos[(/2)n] cos[(10/6)n]=cos[(2/6)n] cos[(7/4)n]=cos[(/4)n]

cos[(11/6)n]=cos[(/6)n]

Slika 9: cos(0n)49

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Jos o nejednoznacnosti prikaza vremenski diskretnesinusoide

prethodni primjer potvrduje kako ce vremenski diskretnasinusoida biti jednoznacnog valnog oblika samo zavrijednosti [pi, pi] ovaj interval se naziva osnovnofrekvencijsko podrucje

bilo koja frekvencija bez obzira na njezinu visinu bit ceidenticna nekoj frekvenciji a u temeljnom podrucju(pi a pi)

dakle mozemo pisati

a = 2pik, pi a pi i k Cjelobrojni

2 2 3 40

0

a

Slika 10: Odnos i a

50

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Jos o nejednoznacnosti prikaza vremenski diskretnesinusoide 2

slicno se razmatranje moze provesti i za prikaz sinusoideuz pomoc frekvencije f0 koja predstavlja dio periode kojaodgovara jednom uzorku

pokazuje se da su sve sinusoide cije se frekvencije razlikujuza cjelobrojnu vrijednost identicne (npr. za frekvencije 0.4,1.4, 2.4,. . . )

ovaj zakljucak slijedi izcos[(0 + 2kpi)n + ] = cos(0n + ) za 0 = 2pif0 vrijedicos[(2pif0 + 2kpi)n + ] = cos[2pi(f0 + k)n + )] = cos(2pif0n + )

jednoznacno moze biti prikazana vremenski diskretnasinusoida cos(2pifn + ) za vrijednosti f iz intervala(0.5 f 0.5)

51

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Veza f i fa

zakljucujemo kako je svaka frekvencija f , bez obzira nanjezin iznos, identicna jednoj od frekvencija, fa uosnovnom intervalu (0.5 f 0.5)

1 0.5 0 0.5 1 1.5 20.5

0

0.5fa

f

Slika 11: Odnos f i fa

52

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Frekvencijski alias 1

prethodna razmatranja sugeriraju kako za diskretnesignale ne postoje frekvencije iza || = pi ili |f | = 12 i kakoje najvisa frekvencije = pi(f = 0.5) i najniza 0

treba naglasiti kako frekvencije vise od ovdje navedenihpostoje ali se one predstavljaju odgovarajucomfrekvencijom unutar osnovnog podrucja frekvencija dakleone imaju svoj alias

primjer sinusoidnih signala frekvencija unutar i izvanosnovnog frekvencijskog podrucja ilustrira pojavu kojunazivamo, prema engleskoj terminologiji, aliasing

bit ce pokazano kako signal cos(7pi6 ) ima svoj alias ucos(5pi6 ) odnosno cos(

11pi6 ) svoj alias u cos(

pi6 )

53

UNIVERSITAS

STUDIORUM

ZAGRABIENSIS

MDCLXIX

Signali isustavi



Osnovnisignali

Jedinicni skok

Jedinicna kosina

Jedinicni impuls

Sinusoidni signali


Frekvencijski alias 2

cos[(5/6)n]

n

cos[(7/6)n]=cos[(5/6)n]

n

cos[(/6)n]

n

cos[(11/6)n]=cos[(/6)n]

n

Slika 12: Aliasing

54

Osnovni signaliJedinicni skokJedinicna kosinaJedinicni impulsSinusoidni signaliEksponencijalni signal

Documents

cetvrto_FER2