CFGS Curso de acceso, parte común. Matemáticas · Probabilidad de experimentos simples . 45 Probabilidad de experimentos ... planas, las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos

CFGS Curso de acceso, parte común. Matemáticas

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CFGSCurso de acceso, parte común

Matemáticas

Cristina Marimón Martínez

3

í Índice de capítulos

Índice de capítulos

BLOQUE 1Aritmética y álgebra

Unidad 1. Conjuntos numéricos (I): Números racionales

Clasificación de los números . . . . . . . . . 8

Fracciones y números decimales . . . . . . 15

Proporcionalidad y porcentajes . . . . . . . 16

Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Unidad 2. Conjuntos numéricos (II): Números reales y números complejos

La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Aproximaciones y errores . . . . . . . . . . . . 34

Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Unidad 3. Polinomios

Conceptos básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Operaciones con polinomios . . . . . . . . . 41

Regla de Ruffini y teorema del Resto . . . 41

Factorización de polinomios . . . . . . . . . . 45

Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 45

Unidad 4. Ecuaciones e inecuaciones

Ecuaciones de primer grado. . . . . . . . . . 45

Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . 45

Ecuaciones bicuadradas . . . . . . . . . . . . . 45

Ecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . 45

Ecuaciones polinómicas de grado mayor a dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . 45

Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . 45

Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . 45

Unidad 5. Sistemas de ecuaciones

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . 45

BLOQUE 2Geometría

Unidad 6. Trigonometría, figuras planas y cuerpos elementales

Áreas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . 45

Áreas y volúmenes de cuerpos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Índice de capítulos

Medida de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Resolución de triángulos rectángulos . . . 45

Resolución de triángulos no rectángulos . 45

Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Unidad 7. Geometría analítica en el plano

Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Aplicaciones métricas . . . . . . . . . . . . . . . 45

Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

BLOQUE 3Funciones

Unidad 8. Funciones

Conceptos básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Características generales de la gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Operaciones con funciones . . . . . . . . . . 45

Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . 45

Unidad 9. Sucesiones, límites y continuidad

Sucesiones y progresiones . . . . . . . . . . . 45

Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Continuidad y discontinuidades . . . . . . . 45

Unidad 10. Derivación y aplicaciones de la derivada

Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . 45

Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Estudio y representación de funciones . 45

Problemas de optimización . . . . . . . . . . 45

BLOQUE 4Estadística y probabilidad

Unidad 11. Estadística descriptiva

Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Tablas de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . 45

Gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . 45

Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . 45

Estadística descriptiva bidimensional . . 45

Unidad 12. Probabilidad

Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Probabilidad de experimentos simples . 45

Probabilidad de experimentos compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6Trigonometría, figuras planas y cuerpos

elementales

La trigonometría es la rama de la geometría que estudia los triángulos.

Aunque quizá no lo parezca, los triángulos son una de las figuras planas más importantes, ya que, a partir de estos, se pueden estudiar todos los demás polígonos y, a partir de la geometría plana, se puede estudiar la geometría en el espacio.

En esta unidad, trabajaremos principalmente las áreas de las figuras planas, las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos elementales y la trigonometría y sus aplicaciones en la resolución de triángulos.Ob

jetiv

os

6 Unidad 6. Trigonometría, figuras planas y cuerpos elementales

6Áreas de figuras planas

Un polígono es una figura plana limitada por tres o más segmentos.

RecuerdaEl perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

El perímetro de una circunferencia se llama longitud, y se calcula mediante la siguiente fórmula (donde r es el radio):

Longitud = L = 2 · π · r

r

En los polígonos regulares (todos los lados y ángulos son iguales), se calcula el perímetro mediante la siguiente fórmula:

Perímetro = P = lado · nº de lados

l

Áreas de las principales figuras planas

RecuerdaClasificación de los triángulos según sus lados

Escaleno

Los tres lados tienen longitudes diferentes

Equilátero Isósceles

Sus tres lados miden lo mismo

Dos de sus lados miden lo mismo

Triángulo Cuadrado

a

b l

l

A = base ⋅altura2

= b ⋅a2

A = lado ⋅lado = l ⋅ l = l2

Unidad 6. Trigonometría, figuras planas y cuerpos elementales 7

Rectángulo

b

a

A = base ⋅altura = b ⋅aRombo

d

D

A = Diagonal mayor ⋅diagonal menor2

=

= D ⋅d2

Romboide

b

a

A = base ⋅altura = b ⋅a

Trapecio

B

b

A =Base mayor + base menor( ) ⋅altura

2=

= B + b( ) ⋅a2

a

Área de un polígono regular

Los polígonos que tienen todos los lados iguales y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos re-gulares.

La apotema (ap) de un polígono regular es la dis-tancia entre el centro del polígono y cada uno de sus lados.

ap

P ⋅ap2

P ⋅ap2

= A = Perímetro · apotema = Área

polígono regular

Propiedad de los polígonos regulares

n Si en un polígono regular unimos el centro con los diferentes vértices del polígono, obtenemos triángulos isósceles iguales.

lado

n En el caso del hexágono, obtenemos triángulos equiláteros.

Área del círculo

r A = π · (radio)2 = π · r2

π ≈ 3,1416

RecuerdaSemejanza

Se dice que dos polígonos son semejantes si:

n Cada ángulo del polígono y el correspondiente de su transformado (homólogo) son iguales.

n El cociente de un lado y su transformado es constante (siempre da el mismo número) [Lados respectivos proporcionales].

n A este cociente se le llama razón de seme-janza.

C'

D'B'

A'A

B

C

l1

l1' l

2'

l3'

l4'

l2

l3

l4

D

l1 '

l1= l2 '

l2= l3 '

l3= l4 '

l4= razón de semejanza

A = A', B = B ', C = C ', D = D '

Unidad 6. Trigonometría, figuras planas y cuerpos elementales8

RecuerdaTeorema de Pitágoras

Dado un triángulo rectángulo:

n Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos.

n El otro lado, el de mayor longitud (que siem-pre es el opuesto al ángulo recto), se llama hipotenusa.

hipotenusa

cateto

cate

to

90º

Teorema de Pitágoras: Dado un triángulo rec-tángulo, se cumple que el cuadrado de la hipo-tenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

hipotenusa2 = cateto2 + cateto2

Ejercicios resueltos

1. Calcula el área del rectángulo cuya altura es de 4 cm y cuya base es el triple que la altura.

b = 3 · 4 = 12 cm

a = 4 cm

Altura = a = 4 cm

Base = b = 3 · altura = 3 · 4 = 12 cm

Área rectángulo = A = b · a = 12 · 4 = 48 cm2

Área del rectángulo = 48 cm2

2. Calcula el perímetro de un rectángulo si sa-bemos que un lado mide 4 cm y que su dia-gonal mide 5 cm:

b = 4 cm b = 4 cm

d = 5 cmd = 5 cma a

Hallemos el otro lado usando el teorema de Pitágoras:

d2 = b2 + a2; 52 = 42 + a2; 25 = 16 + a2;

a2 = 25 – 16 = 9; a =

48

2

a = 1728

9 =3; a = 3 cm

El perímetro es la suma de los lados, así:

Perímetro = P = 2 · a + 2 · b = (2 · 3) + (2 · 4) = 6 + 8 = 14

Perímetro del rectángulo = 14 cm

3. Calcula el área de un triángulo equilátero de 48 cm de lado.

Como el triángulo es equilátero, los tres lados tienen la misma longitud. Además, la altura del triángulo se apoya justo en el punto medio de la base. Así:

48 cm 24 cm

48 cm 48 cma

En el triángulo rectángulo tenemos que la base es

48

2

a = 1728

.

48

2

a = 1728

= 24 cm

Para hallar la altura, usaremos el teorema de Pitá-goras:

482 = a2 + 242; 2304 = a2 + 576; a2 = 2304 − 576 = 1728; a= 1728; a = 41,57 cm

482 = a2 + 242; 2304 = a2 + 576; a2 = 2304 − 576 = 1728; a= 1728; a = 41,57 cm

Finalmente, el área del triángulo original es:

A = b ⋅a2

; A = 48 ⋅41,57

2; A = 997,68 cm2

Área del triángulo = 997,68 cm2

4. Calcula la longitud del lado de un rombo sa-biendo que sus diagonales valen 2 cm y 3 cm.

l l

d = 2 cm

d = 1 cmD = 3 cm

D = 1,5 cm

Diagonal mayor = D = 3 cm

Diagonal menor = d = 2 cm

Usando el teorema de Pitágoras:

l2 = 12 +1,52; l2 = 3,25; l = 3,25; l = 1,8 cm

Lado del rombo = 1,8 cm


6. [PACGS Andalucía] Obtén la incógnita y la unidad de medida de dicha incógnita en cada uno de los siguientes casos relaciona-dos con lados, áreas y perímetros de figuras planas.

Figura Datos Incógnita

RectánguloBase = 5 cm Área = 29 cm2 Altura =………

Cuadrado Área = 56 km2 Lado = ………

TriánguloAltura = 8 cm Área = 20 cm2 Base = ………

RomboDiagonal mayor = 5 m Área = 25 m2

Diagonal menor = ..............

RectánguloBase = 3 km Área = 27 km2 Perímetro = ………

Rectángulo:

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Cuadrado: A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Triángulo:

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Rombo:

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

Rectángulo:

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

A = b ⋅a; 29 = 5 ⋅a; a = 29

5; a = 5,8 cm

A = l ⋅ l = l2; 56 = l2; l = 56; l = 7,48 km

A = b ⋅a2

; 20 = b ⋅82

; b = 20 ⋅28

; b = 5 cm

A = D ⋅d2

; 25 = 5 ⋅d2

; d = 25 ⋅25

; d = 10 m

A = b ⋅a; 27 = 3⋅a; a = 27

3; a = 9 km

P = suma de lados = 2 ⋅a( ) + 2 ⋅b( ) = 2 ⋅9( ) + 2 ⋅3( ) = 24

P = 24 km

5. [Andalucía, Junio 2011] Una placa descansa sobre 4 tuercas hexagonales como la de la fi-gura. Para averiguar la superficie de apoyo y el peso al que puede ser sometida, calcula la superficie de apoyo que generan dichas tuer-cas. El diámetro de la circunferencia interior es de 16 mm y el lado del hexágono regular es de 16 mm.

16 mm

d = 16 mm

Radio circunferencia:

Radio = Diámetro

2; Radio = r = 16

2= 8 mm

A = π ⋅r 2; A = π ⋅82; A = 201,06 mm2

Área de la circunferencia interior: Radio = Diámetro

2; Radio = r = 16

2= 8 mm

A = π ⋅r 2; A = π ⋅82; A = 201,06 mm2

Para calcular el área del hexágono, necesitamos el perímetro y la apotema:

Perímetro del hexágono regular:

P = lado ⋅ nº lados = 16 ⋅6 = 96 mm

162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2

Ahora recordemos que, en los hexágonos regulares, los triángulos interiores son equiláteros. Así:

16 mm 8 mm

ap 16 mm

Apotema:P = lado ⋅ nº lados = 16 ⋅6 = 96 mm

162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2


162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2Área del hexágono:


162 = 82 + ap2; 256 = 64 + ap2; ap2 = 256 − 64; ap = 192 = 13,86 mm

A = P ⋅ap2

; A = 96 ⋅13,86

2; A = 665,28 mm2

Finalmente:

Área de la tuerca = Área del hexágono – Área de la circunferencia interior =

= 665,28 – 201,06 = 464,22 mm2

Área de 4 tuercas = 4 · 464,22=1856,88 mm2

La superficie de la tuerca es de 1856,88 mm2.


7. [PACGS Andalucía] El área de un triángulo isósceles es 48 m2 y su base mide 12 m. Otro triángulo semejante a él tiene una altura de 27 m.

a1

b1 = 12 m b

2

a2 = 27 m

a) La altura del primer triángulo mide ……… m.

b) La razón de semejanza es ………

c) La base del segundo triángulo es ……… m.

d) El área del segundo triángulo es ……... m2.

a)

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

La altura del primer triángulo mide 8 m.

b) Como los triángulos rectángulos interiores tam-bién serán semejantes:

La razón de semejanza es

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

c) Las razones de semejanza deben coincidir tanto en el cociente de las alturas como en el de las bases. Así:

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

La base del segundo triángulo es 40,5 m.

d)

A1 = b1 ⋅a1

2; 48 = 12 ⋅a1

2; a1 = 2 ⋅48

12; a1 = 8 m

a2

a1

= 27

8= 3,375

a2

a1

= b2

b1

; 27

8= b2

12; 27 ⋅12 = b2 ⋅8; b2 = 27 ⋅12

8;

b2 = 40,5 m

A2 = b2 ⋅a2

2; A2 = 40,5 ⋅27

2; A2 = 546,75 m2

El área del segundo triángulo es 546,75 m2.

Áreas y volúmenes de cuerpos elementales

Los cuerpos geométricos limitados por polígonos se llaman poliedros.

Área y volumen de un prismaLos prismas son poliedros que tienen dos caras (polí-gonos) iguales y paralelas llamadas bases y las otras caras laterales son paralelogramos (normalmente rectángulos).

Ejemplos de prismas

Cubo o hexaedro

Prisma pentagonal

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma rectangular

n Área de un prisma: Para calcular el área de un prisma, sumamos el área lateral y el área de las bases. Muchas veces es útil considerar el desa-rrollo plano de la figura y calcular las áreas de los polígonos que la forman.


La apotema (ap) de una pirámide regular es la altura de sus caras laterales.

altura

apotema

(altura del triángulo)

n Área de una pirámide: Para calcular el área total de las pirámides, también se suele usar el desa-rrollo plano de la figura y se suman las áreas de cada uno de los polígonos que la forman.

Pirámide cuadrangular

base

n Volumen de una pirámide: Se calcula a partir de la fórmula:

Volumen =Área de la base ⋅altura

3

Área y volumen de los cuerpos redondosn Cilindro

Área del cilindro = = 2 · Área de la base + Área lateral = 2 · π r2 + 2 π r h

(Observa que el área lateral es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia)

Prisma cuadrangular

base

base

altu

ra

n Volumen de un prisma: Se calcula a partir de la fórmula:

Volumen = Área de la base · altura

Área y volumen de una pirámideLas pirámides son los poliedros en los cuales una de las caras (llamada base) es un polígono y las otras caras (llamadas caras laterales) son triángulos que tienen un vértice común.

Ejemplos de pirámides

Pirámide triangular Pirámide rectangular

Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal

Llamamos altura de una pirámide a la distancia en-tre el vértice y la base.



1. Calcula el área de lámina metálica que ne-cesitaríamos para construir un recipiente con forma de ortoedro de 1,40 m de largo, 0,50 m de ancho y 0,40 m de altura. Halla también el volumen del recipiente.

Observemos, en primer lugar, que un ortoedro está compuesto por tres tipos de rectángulos diferentes:

baselado

lado

base

frontal

frontal0,40 m

0,50

m

1,40 m

Área base = Área rectángulo = 1,4 · 0,5 = 0,7 m2

Área frontal = Área rectángulo = 1,4 · 0,4 = 0,56 m2

Área lado = Área rectángulo = 0,5 · 0,4 = 0,2 m2

Área lateral = 2 · Área frontal + 2 · Área lado = = 2 · 0,56 + 2 · 0,2 = 1,12 + 0,4 = 1,52 m2

Área total ortoedro = 2 · Área base + Área lateral == 2 · 0,7 + 1,52 = 2,92 m2

Volumen ortoedro = Área base · altura = = 0,7 · 0,40 = 0,28 m3

Área total del ortoedro = 2,92 m2

Volumen del ortoedro = 0,28 m3

Necesitaríamos 2,92 m2 de lámina metálica. El volumen del recipiente es de 0,28 m3.

2. Halla el área y el volumen de un prisma hexagonal de altura h = 10 cm y base un hexágono regular de 3 cm de lado y 2 cm de apotema.

h = 10 cm

ap = 2 cm

l = 3 cm

h

r

rr

h

2 π r

Volumen del cilindro = = Área de la base · altura = π r2 · h

n Cono

Si en un cono consideramos un triángulo rectángulo formado por su altura y el radio de la base como catetos, llamamos generatriz del cono (g) a la hipo-tenusa de este triángulo rectángulo.

Área del cono = = Área de la base + Área lateral = π r2 + π r g

h

GeneratrizGeneratriz

r

r

Volumen del cono = Área de la base ⋅altura

3= π r 2 ⋅h

3

n Esfera

Área de la esfera: A = 4 π r2

Volumen de la esfera: V = 4

3π r 3

centro

radio


Aplicando el teorema de Pitágoras:

62 = h2 + 22; 36 = h2 + 4; 36 − 4 = h2; 32 = h2;

h = 32; h = 5,66 cm

Finalmente:

Volumen pirámide = Área de la base ⋅altura

3=

= 16 ⋅5,66

3= 30,19 cm3

Área pirámide = 64 cm2

Volumen pirámide = 30,19 cm3

4. [Cataluña, 2007, serie 1] Queremos construir un recipiente cilíndrico sin tapa, de manera que el diámetro de la base mida 20 cm y su altura 30 cm. Calcula:

a) La superficie de plancha que necesitaremos.

b) El volumen del líquido que podrá contener.

h = 30 cm

d = 20 cm

h

2 π r

a) Radio = Diámetro

2; Radio = r = 20

2; r = 10 cm

Considerando el desarrollo plano del cilindro (recor-demos que no tiene tapa):

Área del recipiente = Área de la base + Área lateral == π r2 + 2 π r h = π · 102 + 2 · π · 10 · 30 = 2199,11 cm2

Área recipiente = 2199,11 cm2

Necesitaremos 2199,11 cm2 de plancha.

b) Volumen cilindro:

V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 10( )2 ⋅30 = 9424,748 cm3

El volumen del líquido que podrá contener es de 9424,78 cm3.

Perímetro del hexágono = lado · nº lados == 3 · 6 = 18 cm

Área de la base = Área del hexágono =

= Perímetro ⋅apotema

2= 18 ⋅2

2= 18 cm2

Área lateral = Área rectángulo · nº rectángulos = = (3 · 10) · 6 = 180 cm2

Área prisma = (2 · Área base) + Área lateral = = (2 · 18) + 180 = 216 cm2

Volumen prisma = Área base · altura = 18 · 10 = 180 cm3

Volumen prisma hexagonal = 180 cm3

Área prisma hexagonal = 216 cm2

3. Calcula el área total de una pirámide cua-drangular que mide 6 cm de apotema y el lado del cuadrado de la base vale 4 cm. Halla también su volumen.

4 cm

6 cm

Área de la base = Área del cuadrado = 4 · 4 = 16 cm2

Área lateral = Área del triángulo · nº triángulos =

=(4 ⋅62

⋅4 = 48 cm24 ⋅62

⋅4 = 48 cm24 ⋅62

⋅4 = 48 cm2(Área total = Área de la base + Área lateral == 16 + 48 = 64 cm2

Para hallar el volumen de la pirámide, primero de-beremos calcular su altura. Construimos un triángulo rectángulo formado por la mitad de la longitud de su base, la altura de la pirámide y la apotema de la cara:

h

ap = 6 cm

2 cm4 cm


5. [Andalucía, Junio 2012] Tres pelotas de tenis se introducen en un tubo cilíndrico de 6,6 cm de diámetro en el que encajan hasta el borde.

altu

ra =

3 ·

6,6

d = 20 cm

6,6 cm

Vol. parte vacía

a) Calcula el volumen total de las tres pelotas de tenis.

b) ¿Cuál es el volumen del cilindro que contiene las pelotas?

c) ¿Cuál será el volumen de la parte vacía del bote?

a)

Radio = Diámetro

2; Radio = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3

V = 3⋅ Volumen pelota = 3⋅150,53 = 451,59 cm3

V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3

Volumen de una pelota (esfera): Radio = Diámetro

2; Radio = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3


V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3Volumen de las 3 pelotas:

Radio = Diámetro

2; Radio = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3


V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3

El volumen total de las tres pelotas es de 451,59 cm3.

b) Volumen cilindro:

Radio = Diámetro

2; Radio = r = 6,6

2; r = 3,3 cm

V = 4

3πr 3 = 4

3π 3,3( )3 = 150,53 cm3


V = πr 2 ⋅h = π ⋅ 3,3( )2 ⋅ 3⋅6,6( ) = 677,40 cm3

El volumen del cilindro que contiene las pelotas de tenis es de 677,40 cm3.

c) Volumen de la parte vacía:

Volumen del cilindro – Volumen de las 3 pelotas

V = 677,40 – 451,59 = 225,81 cm3

El volumen de la parte vacía es de 225,81 cm3.

5. Calcula el área y el volumen de un cono de 5 dm de radio de base y 10 dm de generatriz.

g = 10 dm

h

r = 5 dm5 dm

10 dm

En primer lugar, hallemos la altura del cono utilizan-do el teorema de Pitágoras:

102 = h2 + 52; 100 = h2 + 25; 100 − 25 = h2;

75 = h2; h = 75; h = 8,66 dm

Área del cono:

πr 2 + πrg = π ⋅52 + π ⋅5 ⋅10 = 235,62 dm2

πr 2 ⋅h3

= π ⋅52 ⋅8,66

3= 226,72 dm3

Volumen del cono:

πr 2 + πrg = π ⋅52 + π ⋅5 ⋅10 = 235,62 dm2

πr 2 ⋅h3

= π ⋅52 ⋅8,66

3= 226,72 dm3

Área del cono = 253,62 dm2

Volumen del cono = 226,72 dm3

Medida de ángulos

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común, vértice.

O

a

bα


El ángulo es positivo si se desplaza en sentido con-

trario al movimiento de las agujas del reloj y negati-vo en caso contrario.

Para medir ángulos se pueden utilizar grados sexa-gesimales o radianes.

RecuerdaEquivalencias en el sistema sexagesimal

1º (grado) = 60’ (minutos)

1’ (minuto) = 60’’ (segundos)

!

CalculadoraA lo largo de esta unidad, cuando uses la cal-culadora, debes asegurarte de que estás en modo DEG o D (grados sexagesimales).

En la calculadora, la tecla permite ex-presar un ángulo de forma compleja ( º ‘ ’’) en forma decimal y viceversa.

Ejemplo:

47,68º (forma decimal) = = 46º 40’ 48’’ (forma compleja)

La equivalencia entre las dos unidades es la siguiente:

360º = 2π radianes 180º = π radianes

Relaciones entre ángulos

n Dos ángulos complementarios son aquellos

cuya suma es 90º.

n Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya

suma es 180º.

Ejemplo:

El ángulo suplementario de 85º es 95º

(ya que 180 – 85 = 95º).


1. Expresa en grados sexagesimales los si-guientes ángulos:

a)

π3

rad

9π5b)

π3

rad

9π5

c) 7 rad

Sabemos que π radianes son 180º, así que sustitu-yendo:

a) π3

rad = 180º

3= 60º

9π5

rad = 9 ⋅180º

5= 324º

x = 180 ⋅7π

= 401,07º = 401º 4 ' 12 ''

b)

π3

rad = 180º

3= 60º

9π5

rad = 9 ⋅180º

5= 324º

x = 180 ⋅7π

= 401,07º = 401º 4 ' 12 ''c) Utilizando una regla de tres, tenemos:

Radianes Grados

π rad → 180º

7 rad → x

π3

rad = 180º

3= 60º

9π5

rad = 9 ⋅180º

5= 324º

x = 180 ⋅7π

= 401,07º = 401º 4 ' 12 ''

2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:

a) 45º

b) 280º

c) El ángulo complementario a 63º

Utilizando reglas de tres, tenemos:

a)

Grados Radianes

180º → π rad

45º → x

x = 45 ⋅π180

= 1

4π = π

4rad

x = 280 ⋅π180

= 14

9π = 14π

9rad

x = 27 ⋅π180

= 3

20π = 3π

20rad

b)

Grados Radianes

180º → π rad

280º → xx = 45 ⋅π180

= 1

4π = π

4rad

x = 280 ⋅π180

= 14

9π = 14π

9rad

x = 27 ⋅π180

= 3

20π = 3π

20rad


c) El ángulo complementario de 63º es:

90º – 63º = 27º

Grados Radianes

180º → π rad

27º → x

x = 45 ⋅π180

= 1

4π = π

4rad

x = 280 ⋅π180

= 14

9π = 14π

9rad

x = 27 ⋅π180

= 3

20π = 3π

20rad

Resolución de triángulos rectángulos

Conceptos básicos

RecuerdaClasificación de ángulos

En función de su medida, los ángulos se clasifi-

can en:

n Agudos, que miden entre 0º y 90º.

n Obtusos, que miden entre 90º y 180º.

n Rectos, que miden exactamente 90º.

n Llanos, que miden exactamente 180º.

Ángulo agudo

Ángulo recto

Ángulo obtuso

Ángulo llano

RecuerdaClasificación de triángulos

Los triángulos, según la medida de sus ángulos se clasifican en:

n Acutángulos, cuando sus tres ángulos miden menos de 90º (agudos).

n Rectángulos, cuando tienen un ángulo que mide 90º (recto).

n Obtusángulos, cuando tienen un ángulo que mide más de 90º (obtuso).

Acutángulo

Tres ángulos agudos

Un ángulo obtuso

Un ángulo recto

Rectángulo

Obtusángulo

NotaciónEn un triángulo rectángulo, generalmente, llamamos:

n a sus vértices; A, B, C (mayúsculas).

n a sus ángulos; A, B, C

α , ß, γ (o bien las tres primeras

letras del alfabeto griego

A, B, C

α , ß, γ ).

n a sus lados; a, b, c (teniendo en cuenta que el lado a es el opuesto al vértice A, el lado b es el opuesto al vértice B y el lado c es el opuesto al vértice C).

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

aB

b

C

c


RecuerdaSuma de los ángulos de un triángulo

Dado cualquier triangulo, la suma de sus tres án-gulos es siempre 180º.

A + B +C = 180º

RecuerdaTeorema de Pitágoras

Dado un triangulo rectángulo, se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

hipotenusa2 = cateto2 + cateto2

hipotenusa

cate

to

cateto

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo A, B, C

α , ß, γ:

n Llamamos cateto opuesto al lado opuesto al án-gulo que se pretende estudiar, en nuestro caso b.

n Llamamos cateto contiguo al lado que está en contacto con el ángulo que se está estudiando y el ángulo recto. En este caso, el cateto contiguo es a.

n Recordemos que la hipotenusa es el lado de ma-yor longitud (que siempre es el opuesto al ángulo recto).

cateto opuesto del ángulo A, B, C

α , ß, γ

hipotenusa

cateto contiguo del ángulo A, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

aB

b

C

c

Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo A, B, C

α , ß, γ,

se definen tres razones trigonométricas:

n El seno (abreviado como sen) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

n El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto contiguo sobre la hipotenusa.

n La tangente (abreviado como tan) es la razón en-tre el cateto opuesto sobre el cateto contiguo.

sen B = cateto opuestohipotenusa

= b

c

cos B = cateto contiguohipotenusa

= a

c

tan B = cateto opuestocateto contiguo

= b

a

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

aB

b

C

c

Identidades trigonométricas fundamentales

Dos de las identidades más conocidas que relacionan las tres razones trigonométricas son las siguientes:

sen α( )2 + cos α( )2 = 1 tan α = sen αcos α

!

Calculadora

Para hallar un ángulo conociendo sus razones trigonométricas, usamos las teclas sen-1, cos-1 y tan-1.

Ejemplo:

sen α = 0,34

α = arcsen 0,34 = sen −1 0,34( ) → α = 19,88º


Razones trigonométricas más usuales

0º

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

sen α 0

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

cos α 1 3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

tan α 0 3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

1

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

3

2

2

21

2

3

30º = π6

45º = π4

60º = π3

90º = π2

180º = π

270º = 3π2

360º = 2π

sen α 1 0 -1 0

cos α 0 -1 0 1

tan α - 0 - 0

Resolución de triángulos

Resolver un triángulo significa hallar todos sus án-gulos y todos sus lados.


1. Calcula los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo.

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γ

A

BC

a = 45 cm

c = 53 cmb = 28 cm

a = 45 cm; b = 28 cm; c = 53 cm; A, B, C

α , ß, γ= 90º

Podemos usar cualquier razón trigonométrica

de los ángulos A, B, C

α , ß, γ o A, B, C

α , ß, γ:

sen A = 45

53= 0,85; A = arcsen 0,85 = sen −1 0,85( );

A = 58,21º

Ahora, como A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90º

, tenemos:A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90ºAsí:

A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90º

2. En un triángulo rectángulo, un ángulo agu-do mide 32º y su cateto contiguo 10 cm. Resuelve el triángulo.

c

a = 10 cm

b

A

BC 32º

Ángulos: A, B, C

α , ß, γ = 32º; A, B, C

α , ß, γ = 90º (triángulo rectángulo en C)

Como A + B +C = 180º

B = 180 − A −C; B = 180 − 58,21− 90; B = 31,79º

A = 58,21º; B = 31,79º; C = 90º

, entonces:

A = 180 − B −C; A = 180 − 32 − 90; A = 58º

Lados: a = 10 cm

cos B = a

c; cos 32º = 10

c; c = 10

cos 32º; c = 11,8 cm

tan B = b

a; tan 32º = b

10; b = 10 ⋅ tan 32; b = 6,2 cm

3. [Cataluña, 2009, serie 4] Con los datos de la figura adjunta, calcula:

A, B, C

α , ß, γ

A, B, C

α , ß, γD

4 m

3 m

2 m

a

a) El lado a

b) El ángulo A, B, C

α , ß, γc) El ángulo A, B, C

α , ß, γd) El ángulo D

a) Usando el teorema de Pitágoras:

a2 = 42 + 32; a2 = 16 + 9;

a2 = 25; a = 25; a = 5 m

tan B = 4

3; tan B = 1,3;

B = arctan 1,3( ); B = 52,43º

tan C = 4

3+ 2; tan C = 4

5= 0,8;

C = arctan 0,8( ); C = 38,66º


b)

a2 = 42 + 32; a2 = 16 + 9;

a2 = 25; a = 25; a = 5 m

tan B = 4

3; tan B = 1,3;

B = arctan 1,3( ); B = 52,43º

tan C = 4

3+ 2; tan C = 4

5= 0,8;

C = arctan 0,8( ); C = 38,66º

c)

a2 = 42 + 32; a2 = 16 + 9;

a2 = 25; a = 25; a = 5 m

tan B = 4

3; tan B = 1,3;

B = arctan 1,3( ); B = 52,43º

tan C = 4

3+ 2; tan C = 4

5= 0,8;

C = arctan 0,8( ); C = 38,66º

d) Calculemos, en primer lugar, el suplementa-rio del ángulo A, B, C

α , ß, γ, al que llamaremos α .

α = 180 – 52,43 = 127,57º

Considerando ahora el triángulo formado por los vértices C, D y el vértice del suplementario de

A, B, C

α , ß, γ (α ), tenemos:

D = 180 −C − α ; D = 180 − 38,66 −127,57;

D = 13,77º

4. Calcula el área de una parcela triangular, sa-biendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 65º.

h

A

B

C

80 m

130 m

65º

Considerando el triángulo rectángulo que apa-rece sombreado en la figura anterior:

sen C = h

80; sen 65º = h

80; h = 80 ⋅sen 65º; h = 72,5 m

Área triángulo = b ⋅a2

= 130 ⋅72,5

2= 4712,5 m2

sen C = h

80; sen 65º = h

80; h = 80 ⋅sen 65º; h = 72,5 m


= 130 ⋅72,5

2= 4712,5 m2

El área de la parcela triangular es de 4712,5 m2.

5. [Comunidad Valenciana, Junio 2012] Quere-mos fijar un poste de 4 m de altura con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 30º.

30º B

A

a

b = 4 m c

C

a) ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable?

b) ¿Cuál es la longitud del cable?

a) La razón trigonométrica que relaciona el ca-teto opuesto y el cateto contiguo es la tan-gente. Así:

tan B = b

a; tan 30º = 4

a; a = 4

tan 30º; a = 6,93 m

sen B = b

c; sen 30º = 4

c; c = 4

sen 30º; c = 8 mSujetaremos el cable a 6,93 m del poste.

b) La razón trigonométrica que relaciona el ca-teto opuesto y la hipotenusa es el seno. Así:tan B = b

a; tan 30º = 4

a; a = 4

tan 30º; a = 6,93 m

sen B = b

c; sen 30º = 4

c; c = 4

sen 30º; c = 8 m

La longitud del cable es de 8 m.

6. [Madrid, Mayo 2012] Para acceder a la parte superior de una valla, se coloca una escalera apoyada en el borde de la misma y que for-ma con el suelo un ángulo α cuyo seno vale 0,8. La base de la escalera queda a una dis-tancia horizontal de 6 m respecto a la valla.

B

A

a = 6 m

b c

Cα

a) Calcula el coseno y la tangente del ángulo α .

b) Calcula la altura de la valla y la longitud de la escalera utilizada.

a) Utilizando las identidades trigonométricas fundamentales:

sen α = 0,8


sen α( )2 + cos α( )2 = 1; 0,8( )2 + cos α( )2 = 1;

0,64 + cos α( )2 = 1; cos α( )2 = 1− 0,64;

cos α = 0,36; cos α = 0,6

tan α = sin αcos α

; tan α = 0,8

0,6; tan α = 1,33

(También es posible resolver este apartado bus-cando primero el ángulo α con la tecla sen-1 de la calculadora y hallando el seno y la tangente del ángulo directamente).

b) Hallemos, en primer lugar, el ángulo α:

sen α = 0,8; α = arcsen 0,8; a = 53,1º

(En nuestro dibujo le llamaremos A, B, C

α , ß, γ)

La razón trigonométrica que relaciona el cateto contiguo y el cateto opuesto es la tangente. Así:

tan B = b

a; tan 53,1º=

b

6; b = 6 ⋅ tan 53,1º ; b = 8 m

cos B = a

c; cos 53,1º = 6

c; c = 6

cos 53,1º; c = 10 mLa altura de la valla es de 8 m.

La razón trigonométrica que relaciona el cateto contiguo y la hipotenusa es el coseno. Así:tan B = b

a; tan 53,1º=

b

6; b = 6 ⋅ tan 53,1º ; b = 8 m

cos B = a

c; cos 53,1º = 6

c; c = 6

cos 53,1º; c = 10 m

La longitud de la escalera utilizada es de 10 m.

7. [PAGS Andalucía] Un gran ventanal tiene forma de triángulo isósceles con el lado des-igual en su base (como aparece en la figura siguiente). La longitud del mencionado lado desigual es de 6 metros y el ángulo que for-ma la base del triángulo con los lados igua-les es de 30º. Calcula el área del ventanal.

30º 30º

6 m 3 m

h

Como se trata de un triángulo isósceles, la altura se apoya justo en el punto medio de la base. Así, divide el triángulo en dos triángulos rectángulos. Conside-rando el primero de ellos, tenemos:

tan 30 = h

3; h = 3⋅ tan 30º; h = 1,73 m


= 6 ⋅1,73

2= 5,19 m2

El área del ventanal es de 5,19 m2.

8. [Cataluña, 2009, serie 3] Queremos calcular la altura de un edificio que está a una cierta distancia de donde nos encontramos noso-tros. Desde donde estamos, observamos el punto más alto con un ángulo de 35º. Si nos acercamos 200 metros al edificio, entonces el ángulo es de 47º.

a) Haz un esquema del problema

b) Calcula la altura del edificio.

a)

x + 200 m

y y

35º47º

x 200 mx + 200 m

y

35º47º

A

B C

x

b) Fijándonos en el esquema anterior y consi-derando cada uno de los triángulos rectán-gulos que aparecen (el de base ‘200 + x’ y el de base ‘x’), obtenemos el siguiente sis-tema de ecuaciones:

y = 200+ x( ) ⋅ tan 35;

y = 200 + x( ) ⋅0,7; y = 140 + 0,7x

tan 47 = yx

; tan 47 = 140 + 0,7x

x; 1,07 = 140 + 0,7x

x;

1,07x = 140 + 0,7x; 1,07x − 0,7x = 140; 0,37x = 140;

x = 140

0,37; x = 378,38 m

y = 140 + 0,7x; y = 140 + 0,7 ⋅378,38; y = 404,87 m

tan 35 = y

200 + x

tan 40 = yx

y = 200+ x( ) ⋅ tan 35;

y = 200 + x( ) ⋅0,7; y = 140 + 0,7x

tan 47 = yx

; tan 47 = 140 + 0,7x

x; 1,07 = 140 + 0,7x

x;

1,07x = 140 + 0,7x; 1,07x − 0,7x = 140; 0,37x = 140;

x = 140

0,37; x = 378,38 m

y = 140 + 0,7x; y = 140 + 0,7 ⋅378,38; y = 404,87 m

La altura del edificio es de 404,87 m.


9. Una antena está sujeta al suelo por dos ca-bles de acero, como indica la figura. Calcula la altura de la antena y la longitud de los dos cables:

x 126 – x126 m

h

45º

C1

C2

60º

x 126 – x

hh

45º

C1

C2

60º

Para hallar la altura de la antena, consideramos los dos triángulos rectángulos que determina la antena con cada uno de los cables y resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

h = 126 − x( ) ⋅ tan 45; h = 126 − x( ) ⋅1;

h = 126 − x

tan 60 = h

x; tan 60 = 126 − x

x; 1,73 = 126 − x

x;

1,73x = 126 − x; 1,73x + x = 126; 2,73x = 126;

x = 126

2,73; x = 46,15 m

h = 126 − x; h = 126 − 46,15; h = 79,85 m

tan 45 = h

126 − x

tan 60 = h

x

h = 126 − x( ) ⋅ tan 45; h = 126 − x( ) ⋅1;

h = 126 − x

tan 60 = h

x; tan 60 = 126 − x

x; 1,73 = 126 − x

x;

1,73x = 126 − x; 1,73x + x = 126; 2,73x = 126;

x = 126

2,73; x = 46,15 m

h = 126 − x; h = 126 − 46,15; h = 79,85 m

Ahora, para hallar la longitud de los cables, tra-bajamos con los dos triángulos rectángulos por separado y aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos.

C12 = x2 + h2; C1

2 = 46,152 + 79,852;

C12 = 2129,82 + 6376,02; C1

2 = 8505,84

C1 = 8505,84; C1 = 92,23 m

C22 = 126 − x[ ]( )2 + h2; C2

2 = 79,852 + 79,852;

C22 = 6376,02 + 6376,02; C2

2 = 12 752,04;

C2 = 12 752,04; C2 = 112,92 m

La altura de la antena es de 79,85 m y los cables miden 92,23 m y 112,92 m.

Resolución de triángulos no rectángulos

Teoremas de los senos y los cosenosLos siguientes teoremas que vamos a ver pueden aplicarse en cualquier tipo de triángulo, incluso para los triángulos rectángulos. Aunque, en este último caso, es mucho más recomendable usar las fórmulas de las razones trigonométricas vistas en el apartado anterior.

Dado un triángulo cualquiera se cumple que:

n Teorema de los cosenos:

a2 = b2 + c2 − 2 ⋅b ⋅c ⋅cos A

b2 = a2 + c2 − 2 ⋅a ⋅c ⋅cos B

c2 = a2 + b2 − 2 ⋅a ⋅b ⋅cos C

A, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γA, B, C

α , ß, γ

A

bc

aB C

n Teorema de los senos:

a

sen A= b

sen B= c

sen C

El Teorema de los senos y los ángulos mayores a 90º

Es recomendable no usar el teorema de los senos cuando el ángulo que buscamos es mayor a 90º. Esto es debido a que, al buscar el ángulo con la calcu-ladora, esta nos dará siempre el ángulo menor que tenga dicho valor del seno y que, en algunos casos, no coincidirá con el ángulo que realmente estamos buscando.


1. Halla la longitud del lado b.

A

bc = 12 m

a = 10 mB C

Aplicando el teorema de los cosenos:


b2 = a2 + c2 − 2 ⋅a ⋅c ⋅cos B;

b2 = 102 +122 − 2 ⋅10 ⋅12 ⋅cos 45;

b2 = 100 +144 −169,7; b2 = 74,3;

b = 74,3; b = 8,62 m

2. Halla la longitud de los lados a y b.

A

b

40º 80º

c = 3 m

a B C

Calculemos, en primer lugar, el ángulo A, B, C

α , ß, γ:

A, B, C

α , ß, γ = 180º – 80º – 40º; A, B, C

α , ß, γ = 60º

Aplicando el teorema de los senos:

b

sen B= c

sen C;

b

sen 40= 3

sen 80;

b

0,64= 3

0,98; b = 3⋅0,64

0,98; b = 1,96 m

a

sen A= c

sen C;

a

sen 60= 3

sen 80;

a

0,87= 3

0,98;

a = 3⋅0,87

0,98; a = 2,67 m

3. Halla el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

a = 25 m

b = 14 m

c = 18 mA B

C

Aplicando el teorema de los cosenos:

b2 = a2 + c2 ⋅2 ⋅a ⋅c ⋅cos B;

142 = 252 +182 − 2 ⋅25 ⋅18 ⋅cos B;

196 = 625 + 324 − 900 ⋅cos B;

196 − 625 − 324 = −900cos B;

−753 = −900cos B; cos B = −753

−900; cos B = 0,84;

B = arccos 0,84( ); B = 32,86º

Aplicando el teorema de los cosenos nuevamente:

a2 = b2 + c2 − 2 ⋅b ⋅c ⋅cos A;

252 = 142 +182 − 2 ⋅14 ⋅18 ⋅cos A;

625 = 196 + 324 − 504 ⋅cos A;

625 −196 − 324 = −504 cos A;

105 = −504 cos A; cos A = 105

−504; cos A = −0,21;

A = arccos −0,21( ); A = 102,12º

C = 180 − B − A; C = 180 − 32,86 −102,12; C = 45,02ºFinalmente:

a2 = b2 + c2 − 2 ⋅b ⋅c ⋅cos A;

252 = 142 +182 − 2 ⋅14 ⋅18 ⋅cos A;

625 = 196 + 324 − 504 ⋅cos A;

625 −196 − 324 = −504 cos A;

105 = −504 cos A; cos A = 105

−504; cos A = −0,21;

A = arccos −0,21( ); A = 102,12º

C = 180 − B − A; C = 180 − 32,86 −102,12; C = 45,02º

4. Resuelve el triángulo siguiente:

C = 45º

a = 9 cmb = 6 cm

BAc

Aplicamos el teorema de los cosenos para hallar el lado c:

c2 = a2 + b2 − 2 ⋅a ⋅b ⋅cos C;

c2 = 92 + 62 − 2 ⋅9 ⋅6 ⋅cos 45;

c2 = 40,63; c = 40,63; c = 6,37 cm

Ahora, aplicamos el teorema de los senos para hallar uno de los ángulos.

b

sen B= c

sen C;

6

sen B= 6,37

sen 45;

6

sen B= 6,37

0,71;

6 ⋅0,71 = 6,37 ⋅sen B; sen B = 6 ⋅0,71

6,37;

sen B = 0,67; B = arccos 0,67( ); B = 47,93º

Finalmente:

A = 180 − B −C; A = 180 − 47,93− 45; A = 87,07º

5. [Cataluña, 2010, serie 1] El barco V está ama-rrado al puerto con dos cuerdas sujetas en los puntos A y B, separados 20 metros entre ellos. Las cuerdas forman un ángulo de 50º y otro de 35º, respectivamente, con la pared del puerto.

V

PUERTO

50º

A B35º


a) Calcula el ángulo que forman las dos cuer-das entre ellas.

b) Calcula la suma de la longitud de las dos cuerdas.

a)

C = 180 − A − B; C = 180 − 50 − 35; C = 95º

Las dos cuerdas forman un ángulo de 95º.

b)

50º

A B

C

ab

c = 20 m

35º

Apliquemos el teorema de los senos:

b

sen B= c

sen C;

b

sen 35= 20

sen 95;

b

0,57= 20

1;

b = 20 ⋅0,57

1; b = 11,4 m

a

sen A= c

sen C;

a

sen 50= 20

sen 95;

a

0,77= 20

1;

a = 20 ⋅0,77

1; a = 15,4 m

Suma de las cuerdas: a + b = 15,4 + 11,4 = 26,8 m

La suma de la longitud de las cuerdas es de 26,8 m.

Escalas

La escala es la relación numérica que existe entre las dimensiones reales de un objeto y las de su repre-sentación sobre un plano o un mapa.

La notación que se usa habitualmente para expresar las escalas es a : b, donde:

n a indica el valor en el plano

n b equivale al valor real

Los valores a y b siempre están expresados en la mis-ma unidad, normalmente en cm.

Ejemplo: Un plano a escala 1: 200 significa que 1 cm en el plano equivale a 200 cm (2 m) en la realidad.


1. Si dos pueblos A y B están separados 50 km, ¿a qué distancia se encuentran en un mapa a escala 1: 800 000?

Primero, pasamos los km a cm:

50 km = 5 000 000 cm

Mapa Realidad

1 cm 800 000 cm

x cm 5 000 000 cm

x = 5 000 000

800 000= 6,25 cm

Se encuentran a una distancia de 6,25 cm en el mapa.

2. La distancia entre dos puntos marcados so-bre un plano cuya escala es 1: 20 000 es de 10 cm. ¿Qué distancia les separa en la reali-dad?

Plano Realidad

1 cm 20 000 cm

10 cm x cm

x = 10 ⋅20 000 = 200 000 cm

Pasando el resultado a km:

200 000 cm = 2 km

Les separa una distancia de 2 km.

3. ¿A qué escala está representado un plano si 6,4 cm equivalen a 32 m en la realidad?

Primero, pasamos los m a cm:

32 m = 3200 cm

Plano Realidad

6,4 cm 3200 cm

1 cm x cm

x = 3200

6,4= 500 cm

La escala del plano es 1: 500

25 Unidad 6. Trigonometría, figuras planas y cuerpos elementales 25

1. Calcula el perímetro de la figura siguiente:

30 cm 5 cm10 cm

30 cm

2. Calcula el área de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.

3. Calcula el área de la región sombreada:

a)

Lado cuadrado = 8 cm

b) Lado pentágono = 5 cm

Apotema pentágono = 3 cm

Radio circunferencia = 2 cm

4. Calcula el área de la siguiente figura:

2 cm

5 cm

8 cm

10 cm

2 cm

11 c

m

5. Calcula la altura de un triángulo isósceles de 32 cm de perímetro si el lado desigual mide 12 cm.

6. El área de un rombo es 40 cm2. Calcula la lon-gitud de la dos diagonales si sabemos que una mide el doble que la otra.

7. Queremos envolver una caja cúbica de 20 cm de arista, ¿qué cantidad de papel de regalo necesitaremos?

8. Sabiendo que la pirámide de Keops es una pi-rámide de base cuadrada y de altura 146,6 m y que el lado de la base mide 230 m, calcula su área total y su volumen.

Actividades


9. Calcula el área y el volumen de un prisma pentagonal de 13 cm de altura cuya base mide 4 cm de lado y 3 cm de apotema.

10. Calcula el volumen del siguiente sólido com-puesto:

2 cm

5 cm

4 cm

3 cm

11. Calcula el área y el volumen de un globo terráqueo de 15 cm de diámetro.

12. Calcula el área y el volumen de un tubo de pe-gamento cilíndrico que mide 9 cm de altura y 1 cm de radio.

13. Calcula el área de un cono que tiene 12 cm de generatriz, una altura de 14 cm y un volumen de 134 cm2.

14. Expresa en radianes los siguientes ángulos:

a) 30º d) 120º

b) 45º e) 225º

c) Complementario de 30º f) 307º

15. Expresa en grados los siguientes ángulos:

a) 3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

d)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

b)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

e)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2c)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

f)

3π4

15π3

3π2

8π7

π45π2

16. [Cataluña, 2008, serie 2] Con los datos de la figura adjunta, calcula:

B

3 m

10 m

6 m

25ºc

ba

a) El lado a

b) El ángulo B

c) El lado b

d) El lado c

17. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

a)

c = 7 m

b a

C

BA

b)

c

ba = 7,81 cm

C

BA

50,91º

c)

b

a c = 6,55 dm

B

AC 50º

18. [Madrid, Junio 2009] Apoyamos una escalera de 12 m en una pared para acceder a una ventana. Desde el pie de la escalera al pie del edificio, hay un obstáculo y no podemos medir directamente la distancia entre ambos pies. La escalera forma un ángulo con el sue-lo de 60º. Calcula las longitudes siguientes:

a) Distancia del pie de la escalera a la pared.

b) Altura a la que se apoya la escalera en la pared


19. [Madrid, Mayo 2011] Desde el extremo su-perior de un poste vertical, hay tendido un cable hasta el suelo. El cable sigue una línea recta y el punto del suelo en el que está fija-do se sitúa a 5 m del pie del poste. El cable forma con el suelo un ángulo α cuyo seno es igual a 12/13.

a) Calcula cos α.b) Determina la altura del poste y la longitud

del cable.

20. [PACGS Andalucía] Un carpintero quiere cons-truir una escalera de tijeras cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60º. Responde a las cuestiones siguientes sabien-do que la altura de la escalera abierta es de 2 metros.

60º

2 m

a) ¿Qué longitud debería tener cada brazo?

b) ¿Qué distancia quedará entre los dos pies de la escalera cuando los brazos estén total-mente abiertos?

21. [Cataluña, 2008, serie 1] Desde la orilla de un río, observamos el punto más alto de un árbol situado en la orilla opuesta bajo un ángulo de 34º 10’. Si caminamos 6 metros hacia atrás, observamos el mismo punto bajo un ángulo de 22º 40’.

a) Haz un esquema del problema.

b) Calcula la anchura del río.

c) Calcula la altura del árbol.

22. Un ornitólogo situado a la derecha de un gran árbol, ve el nido de un pájaro con un ángu-lo de elevación de 25º 18’. Su compañero, situado a la izquierda del árbol, ve el mismo

nido con un ángulo de elevación de 16º 53’. Si la distancia entre los dos ornitólogos es de 72 m, ¿a qué altura se encuentra el nido?

16º 53' 25º 18'

72 m

23. Halla la longitud de los lados a y b.

C

BA

a

c = 678 m

b60º

75º 45º

24. Resuelve los siguientes triángulos:

a)

C

B

A

ac = 5 m

b = 10 m

60º

b)

C

BA

a = 10 m

c = 7 m

b = 5 m

25. Las agujas de un reloj de pared miden 10 y 12 centímetros, respectivamente.

a) ¿Cuál es la distancia que hay entre sus extre-mos cuando el reloj marca las cuatro?

b) ¿Cuál es la superficie del triángulo que de-terminan a esa hora?

26. Un barco mercante emite dos señales de auxilio en diferentes direcciones y formando un ángulo de 48º. Una la recibe un petrolero situado a 10 km y la otra, una barca de pesca a 22 km. ¿Qué distancia separa la barca del petrolero?


27. Un globo aerostático está sujeto al suelo mediante dos cables de acero en dos puntos separados 60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 37º. Calcula:

80 m

60 m

37º

a) La longitud del otro cable.

b) La distancia del globo al suelo.

28. Los dos lados consecutivos de un paralelo-gramo miden 18 m y 35 m, y el ángulo ma-yor es de 122º. Calcula:

a) El valor del ángulo menor del paralelogramo.

b) Su área.

c) Las longitudes de sus diagonales.

29. ¿Cuántos kilómetros son 12 centímetros a escala 1: 20 000?

30. Un puente tiene una longitud de 200 m. ¿Cuánto medirá en un plano a escala 1: 1500?

31. Si en un mapa a escala 1: 10 000 la distancia entre dos puntos es 15 cm, ¿a qué distancia se encuentran en la realidad?

32. [Andalucía, Septiembre 2012] Los construc-tores y urbanistas diseñan su obra en di-mensiones reducidas como paso previo a su construcción. Para ello, utilizan maquetas y planos, que vienen acompañados por una escala. Una empresa de este sector tiene entre manos dos proyectos, del primero solo tiene el solar y del segundo ya tiene la ma-quetación.

a) En el primer proyecto, ¿qué longitud repre-senta una distancia real de 5 km en un pla-no cuya escala es 1: 20 000?

b) El segundo proyecto son unas viviendas con forma de ortoedro (caja de zapatos). Sus di-mensiones son de 135 m de largo, 70 m de ancho y 43 m de alto. La maqueta que se ha hecho ha sido con una escala de 1:100. Calcula el volumen de la maqueta que está realizando la empresa.

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CFGS Curso de acceso, parte común. Matemáticas · Probabilidad de experimentos simples . 45 Probabilidad de experimentos ... planas, las áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos