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Espaces vectoriels

Espace vectoriel

Definition. Unespace vectoriel(reel) est unensemble abstraitVnon vide aux elements notesa, b , . . . , appeles vecteurs etmuni des

operations Somme vectorielle : associant a toute paire delements (vec-

teurs) a, b V un element (vecteur) a+b VMultiplication par un scalaire : associant a tout vecteura V

et a tout scalaire (nombre reel) un vecteura V

satisfaisant aux huit axiomes suivants :

Algebre Lineaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL 1

1. a+b= b+ a : commutativite de la somme.

2. a+ (b+ c) = (a+b) + c : associativite de la somme.

3. Il existe 0 V tel que 0 + a= a, a V: vecteur nul.

4. a V il existea V tel que a + (a) = 0: vecteur oppose.

5. (a) = ()a , R, a V : associativite du produit.

6. ( +)a= a+a , R, a V : distributivite.

7. (a+b) = a+ b R, a, b V : distributivite.

8. 1a= a a V : nombre 1.


Exemples

1. R2 (Plan muni dune origine)

Vecteurs : paires ordonnees de reels, notes avec notre conven-

tion comme des matrices2 1 :

a=

a1a2

, x=

x1x2

Somme vectorielle :

a+b=

a1a2

+

b1b2

=

a1+b1a2+b2


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Multiplicationpar un scalaire :

a=

a1a2

=

a1a2

Verification des axiomes : proprietes du calcul matriciel.


Interpretation geometrique :

vecteurs de R2 : vecteurs-lieux des points du plan muni

dun repere cartesien Ox1x2.

Les axiomes ont leur interpretation en tant que theo-

remes de la geometrie plane (regle du parallelogramme,

similitude, etc.)

A

Bb

a

a+a b

a1b1

a2b2

a1b1+

a2 b2+

a1

b1


2. Rn (n > 1)

Vecteurs :n-uplets ordonnes de reels, notes avec notre conven-

tion comme des matricesn 1:

a=

a1...

an

, x=

x1...

xn

Somme vectorielle :

a+b=

a1...

an

+

b1...

bn

=

a1+b1...

an+bn


Multiplicationpar un scalaire :

a=

a1...

an

=

a1...

an

Verificationdes axiomes : proprietes du calcul matriciel.

Interpretation geometrique : pourn > 3on na plus dinterpretation,

mais on garde tout de meme le vocabulaire geometrique.


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3. Mmn : Espace vectoriel des matricesm n(aussi note Mmn)

Vecteurs : matricesm n: A : m n,B : m n

Sommevectorielle : somme matricielle

Multiplicationpar un scalaire : multiplication dune matrice par un

scalaire

Verification des axiomes : proprietes du calcul matriciel.

Illustration numerique : M22

A=

1 8

3 2

, B =

2 11

3 0


A+B =

3 3

6 2

0A=

0 0

0 0

A= 1 8

3 2

4. Pn: Espace vectoriel des polynomes de degre au plus ndans une

variablet.

Vecteurs : polynomes : p(t) =a0+a1t+. . .+antn, q(t) =

b0+b1t+. . .+bntn


Sommevectorielle :p(t) + q(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t + . . . +

(an+bn)tn

Multiplicationpar un scalaire : p(t) = a0 +a1t + . . . +antn

Verification des axiomes : proprietes des fonctions continues dune

variable.

Vecteur nul : Polynome identiquement nul 0 + 0t+

. . .+ 0tn = 0


Illustration numerique : P3p(t) = 4 4t t2 +t3,q(t) = 2 + 3t+t2

p(t) +q(t) = 6 t+t3

2q(t) = 4 6t 2t2

-2 -1 1 2

-10

-5

5

10

15

p

q

pq

2q


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Sous-espaces vectoriels

Definition. W est un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel

V si

W est un sous-ensemble non vide deV.W est lui-meme un espace vectoriel par rapport aux memes ope-

rations queV.

V

0

xW 0


Theoreme. SoitV un espace vectoriel etW un sous-ensembledeV. AlorsW est un sous-espace vectoriel deV si et seulement si

les 2 conditions suivantes sont satisfaites :

1. W =

2. a,b W a+ b W, R

Pr.Si W est un sous-espace vectoriel deV alors les conditions sont

remplies par definition dun espace vectoriel. Inversement, tous les

8 axiomes sont satisfaits car, pour tous sauf pour 3 et 4 ils sont

valables pour des elements quelconques de V et donc herites par

W. Pour3 on a W = a W, et par2 a + (1)a W. Or

a + (1)a= 0. De meme pour4, on a a W, a + (2)a W.

Ora+ (2)a= a


Exemples

1. V = R2, W1=x R2

3x1 2x2= 0W1 : Droite passant par lorigine, dequation cartesienne 3x1

2x2= 0.

Autre representation : W1 = x R2

x= sd, s R

avec

d=

2 3T

W1 : Droite passant par lorigine, de vecteur directeur d

3

2

d

W


W1 est bien un sous-espace de R2 car

! 0 W1

! a,b W1 a+ b W1, R , en effet

a W1 3a1 2a2= 0b W1 3b1 2b2= 0

3(a1+b1)2(a2+b2) = 0

a+ b W1

ou encore, avec la representation parametrique

a W1 s1 R : a= s1db W1 s2 R : b= s2d

a + b= (s1+ s2)d

a+ b W1


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2. V = R2, W2=x R2

3x1 2x2= 1W2 : Droite ne passant pas par lorigine !

W2 nest pasun sous-espace vectoriel de R2 car

" 0 / W2 , ce qui est deja une raison suffisante, mais on a aussi

" a+

b /W

2a,

bW

2. En eff

eta W1 3a1 2a2= 1b W1 3b1 2b2= 1

3(a1+b1)2(a2+b2) = 2 = 1

a+b / W2


3. V = P2 , W ={p(t) P2|p(t) =kt(t 1), k R}

W : Ensemble des polynomes de degre au plus 2 sannulant en0

et1.

On verifie que W est bien un sous-espace de P2.

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1

1

2

k1

2

3

1


4. V = M22 , W = {A M22| A= kD, k R} avec D =1 2

3 4

W est bien un sous-espace de M22. En effet

! 0 = 0DLa matrice nulle 2 2appartient a W

! car

A W s1 R : A= s1D

B W s2 R : B = s2D

A+B = (s1+s2)D

A+ B W


5. V = Rn , W5=x Rn| Ax= 0

pour A : m ndonnee.

W5 : Ensemble des solutions dun systeme homogene dequations

lineaires.

W5 est bien un sous-espace vectoriel de Rn. En effet

!Le vecteur nul de Rn appartient a W5 car A0n= 0m

!Aa= 0 et Ab= 0 A(a+ b) = 0 a+ b W5


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6. V = Rm , W6 = {y Rm| x Rn tel que y= Ax} pourA: m ndonnee.

W6 est bien un sous-espace vectoriel de Rn. En effet

! Le vecteur nul de Rm appartient a W6 car 0m= A0n

! la deuxieme condition est satisfaite car

a W6 xa Rn : a= Axa

b W6 xb Rn : b= Axb

a+b= A(xa +xb)

a+ b W6


Deux espaces vectoriels definis par la matrice

A: m n

Les deux derniers exemples W5 et W6 sont associes a une matrice

Adonnee, quelconque, et sont particulierement importants. Ils sont

couramment designes par :

N(A) =x Rn| Ax= 0

(= W5)

Cest lespace nul (en anglais nullspace) de A ou encore lespace

orthogonal aux lignes de A. En effet les vecteurs de cet espace sa-


tisfont

Ax=

T1

T2...

Tm

x=

T1 x

T2 x...

Tmx

=

0

0...

0

Le deuxieme est

C(A) = {y Rm| x Rn tel que y= Ax} (= W6)

Cest lespace des colonnes deA. En effet les elements de cet espace


sont de la forme

Ax=a1| a2| |an

x1x2...

xn

= a1x1+ a2x2+. . .+ anxn

cest-a-dire les combinaisons lineaires des colonnes de la matrice A.


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