CH4收益率度量

收益率

债券收益率反映的是债券收益与其初始投资之间的关系。常见的债券收益率有以下几种形式：

• 到期收益率• 当期收益率• 持有期回报率• 赎回收益率

到期收益率（ Yield To Maturity ， YTM ）

N

i Ni 1

C FP

(1 YTM) (1 )YTM

其中， P 是债券当前的市场价格， C 是利息，F 是债券面值， N 为距到期日的年数， YTM是每年的到期收益率。

例子

• 有一种 10 年后到期的债券，每年付息一次，下一次付息正好在一年后。面值为 100 元，票面利率为 8% ，市场价格是 107.02 元，求它的到期收益率。

10

i 10i 1

100107.02

(1 ) (1 )YTM YTM

YTM = 7%

零息债券的到期收益率

• P=F / (1+YTM)N

其中，P是零息债券的市场价格， F 是到期价值，N为距到期日

的年数，YTM为每年的到期收益率。

例子

• 假设欧洲国债市场中有 A 、 B 、 C 三种债券，面值都是 1000 元。 A 是 1 年期零息债券，目前的市场价格为 934.58 元； B 为 2 年期的零息债券，目前的市场价格为 857.34 元； C 为 2 年期附息债券，票面利率为 5% ，一年付息一次，下一次付息在一年后，目前的市场价格为 946.93 元。请分别计算这三种债券的到期收益率。

分别列出三种债券到期收益率的求解公式：

2

1000934.58

(1 )AYTM

2

1000857.34

(1 )BYTM

50 1000946.93

(1 )C CYTM YTM

A 债券的到期收益率为 7% ， B 债券的到期收益率为 8% ， C 债券的到期收益率为 7.97%

半年支付一次利息的债券到期收益率

• 根据债券市场的习惯做法，首先计算债券每期（半年）到期收益率，然后将半年收益率乘以 2 ，就得出该债券年到期收益率

N

i Ni 1

C FP

(1 YTM) (1 )YTM

P 是债券当前的市场价格， C 是每次支付的利息， F 是债券面值， N 为距到期日的期数（年数 ×2 ）， YTM 是每期的到期收益率

例子

• 某债券面值为 100 元，还有 8 年到期，票面利率为 7% ，半年支付一次利息，下一次利息支付正好在半年后，该债券当前价格为 94.17 元，求该债券的年到期收益率

16

i 16i 1

3.5 10094.17

(1 YTM) (1 )YTM

求出该债券的半年到期收益率为 4% ，因此，该债券的年到期收益率则为 4%×2=8% 。

在两个利息支付日之间购买的债券的到期收益率

M

n t-1 n M-1t 1

C FP

(1 r) (1 r) (1 r) (1 r)

P 是债券的市场价格， C 是支付的利息， F 是债券的面值， M 是距到期日的年数， YTM 是每期到期收益率， n= 清算日距下一次利息支付日之间的天数 / 利息支付期的天数。

关于到期收益率的两点说明

• 即使持有债券到期，到期收益率也不是准确衡量回报率的指标

• 一个债券的到期收益率高于另一个债券的到期收益率并不意味着前者好于后者

• P(1+YTM)N =C(1+YTM)N-1 +C(1+YTM)N-2 +…+F

LOGO 例子：收益率比较

时期 1 2 价格 YTM

贴现率 3.5% 4.5%

A 现金流

100 1100 1103.92 4.45%

B 现金流

0 1080 988.99 4.5%

当期收益率

• 当期收益率 =C/P• C= 年利息额• P= 债券的当前价格

1 、到期收益率：市场用 YTM 确定债券价格，反映了利息收入和资本利得（损失）。

2 、当期收益率：仅仅衡量了利息收益率

到期收益率 VS 当期收益率

开发银行付息债券的收益率

• 发行者 国家开发银行– 面值 100– 票面利率 8% – 期限 10 年

--市场价格 107.02

求这种债券的到期收益率和当期收益率？

%48.702.107

8当期收益率

7%YTM 02.107$07.1

100$

07.1

11

07.0

8$1010

票面利率、贴现率和价格之间的关系

• 票面利率 < 贴现率 价格 < 面值

• 票面利率 = 贴现率 价格 = 面值• 票面利率 > 贴现率 价格 > 面值

赎回收益率

*

*

*N

i Ni 1

C FP

(1 YTC) (1 )YTC

P 是债券的市场价格， C 是利息， F* 是赎回价格， YTC 是每期的赎回收益率， N*

是直到赎回日前的期数。

例子

• 某债券 10 年后到期，半年付息一次，下一次付息在半年后。它的面值为 1000 元，票面利率为 7% ，市场价格是 950 元。假设在第五年时该债券可赎回，赎回价格为 980 元。求解赎回收益率。

20

i 10i 1

35 980950

(1 YTC) (1 )YTC

可以求出半年的赎回收益率为 3.95% ，因此，该债券的年赎回收益率则为 2×3.95%=7.90% 。

债券组合的收益率

• 债券组合的收益率不是构成该组合的单个债券到期收益率的加权平均值。计算债券组合到期收益率的正确方法是，将债券组合看作是一个单一的债券，使该债券组合所有现金流的现值等于该债券组合的市场价值的适当贴现率就是该债券组合的到期收益率，也被称为债券组合的内部回报率。

每期收益率和年实际收益率（ effective annual rate，简称 EAR）

EAR = ( 1+ 每期收益率 )1 年中期数 – 1

例： A 债券的月度收益率为 1%,B债券的半年收益率为 6%，求这两种债券的年实际收益率。

由于 A 债券的收益率是月度收益率，即每期收益率为 1% ， 1 年共有 12 个月。所以， A 债券的年实际收益率则为：

EAR = (1+1%)12 - 1 = 12.68% 由于 B 债券的收益率是半年收益率，即每期收益率为 6% ， 1 年共有 2 个半年。所以， B 债券的年实际收益率则为：

EAR = (1+6%)2 - 1 = 12.36%

年度百分数利率和年实际利率

• 年度百分数利率（ annual percentage rate ，简称APR ）表示债券的收益率，也被简称为年利率

• 年利率 = 每年付息频率 × 每期收益率 例： A 债券的年利率为 12%，半年支付一次利息。 B 债券

的年利率为 10%，每季度支付一次利息，求这两种债券的年实际收益率？

A 债券的年利率为 12% ，半年支付一次利息，因此 A 债券的每期（半年）收益率为 12%/2=6% 。 B 债券的年利率为 10% ，每季度支付一次利息， B 债券的每期（季度）收益率则为 10%/4=2.5% 。

A 债券的 EAR= （ 1+6% ） 2-1=12.36%B 债券的 EAR= （ 1+2.5% ） 4-1=10.38% 

连续复利计息

• 投资期限为 T年 ，债券的初始投资额为 C0, 复利计息 m次，债券的年利率为 APR ，该投资年末终值：

FV=C0 (1+APR/m)mT

• 当 m 趋向于无穷大时， C0 初始投资额 T 年后的终值则为： FV= C0 e

APR×T

张明将其 1000 元以连续复利计息方式投资两年，年利率为 10% 。求该投资 2 年后的终值为多少？

解： FV(2 年后终值 )= 1000e0.1×2=1221.4 元

连续复利计息投资的现值

PV=FV e-APR×T

例：保险公司 4年后要付给你 1000元资金 ,如果按 8%的年利率连续复利计息 ,这笔资金的现值为多少 ?

解 : PV=1000 e-0.08×4=726.16元

持有期回报率（ Holding Period Return ）

持有期回报率 = （期末财富 - 期初财富） / 期初财富 ×100%

=[ 利息收入 + （期末价格 - 期初价格） ] / 期初价格 ×100% 。

= 当期收益率 + 资本利得（损失）收益率

单期的持有期回报率

回报率 = （期末财富 - 期初财富） / 期初财富

其中 :

多期的持有期回报率

• FV=Pn + C[(1+r)n-1]/r 。其中， Pn是期末价格， C 是利息， r 是利息再投资利率， n 是持有期数。设债券的期初价格是 P0，因为 P0×(1+y)n=FV ，所以，

1

0

1nFV

yP

债券总收益

• 利息支付• 资本利得或资本损失• 利息的利息收入

如何计算利息的利息？

(1 ) 1+ [ ]

nrC

r

利息 利息的利息

(1 ) 1[ ]

nrC nC

r

利息的利息

例子

• 投资者用 1108.38 元购买一种 8 年后到期的债券，面值是 1000 元，票面利率为 12% ，每半年付息一次，下一次付息在半年后。假设债券被持有至到期日，再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息，以及资本损失。

• 利息 + 利息的利息 =60×[(1+5%)16-1]/5%=1419.45（元）

• 总的利息 =16×60=960 （元），利息的利息 =1419.45-960=459.45 （元）；

• 资本损失 =1000-1108.38=-108.38 （元） • 该债券的总收益等于 1419.45-108.38=1311.07 （元）

持有至到期日的债券总收益率

1 、债券的期末价值 = 总的利息 + 利息的利息 + 债券面值

2 、

3 、将每期总收益率转化为年实际收益率例子：投资者用 905.53 元购买一种面值 1000 元的 8

年期债券，票面利率是 12% ，半年付息一次，下一次付息在半年后。如果债券持有至到期日，再投资利率为 8% 。求该债券的总收益率。

1

1n

期末价值每期收益率期初价格

• 8 年后的期末价值等于 60[(1+4%)16-1]/4%+1000=2309.47（元）。所以，半年期总收益率等于（ 2309.47/905.53 ）1/16-1=6.03% ，实际年收益率是（ 1+6.03% ） 2-1=12.42% 。我们可以求出该债券的到期收益率是 14% ，由于再投资利率（ 8% ）小于到期收益率，所以该债券每年的总收益率小于到期收益率。

提前卖出的债券总收益率

• 债券提前卖出时，债券期末价值 = 至投资期末的利息+ 至投资期末利息所生的利息 + 投资期末的债券价格。

其中，投资期末的债券价格是事先未知的，取决于投资者对投资期末收益率的预测。我们可以运用债券的定价公式预测出投资期末的债券价格：

投资期末的债券价格

1 (1 ) (1 )

N

t Nt

C FP

r r

其中， P 是投资期末的债券价格， C 是利息， F 是债券的面值， r 是预期的投资期末每期收益率， N 是投资期末距到期日的期数。

例子

投资者购买一种8年期的平价（1000元）出售的债券，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。投资者5年后将会把债券卖出，他预期5年中利息的再投资利率为每年8%，5年后的三年期债券的到期收益率为10%，求该债券的总收益率。

5 年内（利息 + 利息的利息） =60[(1+4%)10-1]/4%=720.37（元）

第 5 年末债券价格 =60×[1- （ 1+5% ） -6]/5%+1000/ （ 1+5% ） 6=1050.76 （元）

所以， 5 年后的期末价值 =720.37+1050.76=1771.13（元）。那么，半年期总收益率 = （ 1771.13/1000 ） 1/1

0-1=5.88% ，实际年收益率是（ 1+5.88% ） 2-1=12.11% 。

可赎回债券的总收益率

• 期末价值 = （赎回日前的利息 + 利息的利息 + 赎回价格）× （ 1+r ） N ， r 是每期再投资利率， N 是赎回日距投资期末的期数。

• 例：有一种 10 年期的可赎回债券，面值为 1000 元，票面利率为 7% ，半年付息一次，下一次付息在半年后，市场价格是 950 元。假设在第 5 年时该债券可赎回，赎回价格为 980 元。投资期为 8 年，投资者预期这 8 年内利息的再投资利率为每年 8% 。求解总收益率。

解

• 5 年内的利息支付 +5 年内利息的利息 =35[(1+4%)10-1]/4%=420.21 （元）。第 5 年末债券被赎回时，投资者一共获得 420.21+980=1400.21 （元），收入到第8 年末升值为 1400.21* （ 1+4% ） 6=1771.71 （元），即投资期末的财富终值为 1771.71 （元）。因此，半年期总收益率 = （ 1771.71/950 ） 1/16-1=3.97% ，实际年收益率是（ 1+3.97% ） 2-1=8.10% 。

债券组合的总回报率

（ 1 ）债券组合期末的市场价值超过其期初市场价值的部分；

（ 2 ）该债券组合在该时期内分配的所有收益。1 0

0

PRMV MV D

MV

• RP=债券组合某个时期总收益率债券组合某个时期总收益率

• MV1= 债券组合期末市场价值 • MV0= 债券组合期初市场价值 • D= 该时期内债券组合分配的现金收益

三个隐含的假设前提

• 该时期内债券组合产生的利息如果没有分配给投资者就必须进行再投资，其价值反映在债券组合的期末价值中。

• 如果该时期内债券组合向投资者分配资金，分配的时间应该正好在期末。

• 投资者在该时期内不会追加任何资金。

平均回报率

• 算术平均数、几何平均数• ra = (r1 + r2 + r3 + ... +rn) / n

• rg = {[(1+r1) (1+r2) .... (1+rn)]} 1/n – 1

• 内部回报率1 2

0 2(1 ) (1 ) (1 )N N

ND D D

C VC CV

R R R

年实际收益率

• 年实际收益率 = （ 1+各期回报率的平均数） 1 年内的时期数 -1

Rates of Return: Single Period

HPR P P DP

1 0 1

0

HPR = Holding Period Return

P1 = Ending price

P0 = Beginning price

D1 = Dividend(interest ) during period one

Rates of Return: Single Period Example

Ending Price = 24

Beginning Price = 20

Dividend = 1

HPR = ( 24 - 20 + 1 )/ ( 20) = 25%

Data from Text Example

1 2 3 4

Assets(Beg.) 1.0 1.2 2.0 .8

HPR .10 .25 (.20) .25

TA (Before

Net Flows ) 1.1 1.5 1.6 1.0

Net Flows 0.1 0.5 (0.8) 0.0

End Assets 1.2 2.0 .8 1.0

Returns Using Arithmetic and Geometric Averaging

Arithmetic(time)

ra = (r1 + r2 + r3 + ... rn) / n

ra = (.10 + .25 - .20 + .25) / 4

= .10 or 10%

Geometric

rg = {[(1+r1) (1+r2) .... (1+rn)]} 1/n - 1

rg = {[(1.1) (1.25) (.8) (1.25)]} 1/4 - 1

= (1.5150) 1/4 -1 = .0829 = 8.29%

WHICH IS BETTER?

• Consider a two period example: P0 = $100, R1 = -50%

and R2 = +100%. In this case, the arithmetic average

is calculated as (100-50)/2 = 25%, while the geometric average is calculated as: [(1+R1)(1+R2)]

1/2-1=0%. the

geometric average is closer to investment experience.

WHICH IS BETTER?

• suppose R1 and R2 were statistically

representative of future returns. Then next year, you have a 50% shot at getting $200 or a 50% shot at $50. Your expected one year return is (1/2)[(200/100)-1] + (1/2)[(50/100)-1] = 25%.

• 结论：几何平均收益率能更准确地衡量历史业绩，而算术平均收益率则能更好地代表未来的预期收益率

Dollar Weighted Returns

Internal Rate of Return (IRR) - the discount rate that results present value of the future cash flows being equal to the investment amount

• Considers changes in investment• Initial Investment is an outflow• Ending value is considered as an inflow• Additional investment is a negative flow• Reduced investment is a positive flow

Dollar Weighted Average Using Text Example

Net CFs 1 2 3 4$ (mil) - .1 - .5 .8 1.0

Solving for IRR1.0 = -.1/(1+r)1 + -.5/(1+r)2 + .8/(1+r)3 + 1.0/(1+r)4

r = .0417 or 4.17%

Quoting Conventions

APR = annual percentage rate

(periods in year) X (rate for period)

EAR = effective annual rate

( 1+ rate for period)Periods per yr – 1

EAR=EXP(APR)-1

Example: monthly return of 1%

APR = 1% X 12 = 12%

EAR = (1.01)12 - 1 = 12.68%

APR 中必须考虑的问题

• 如果只给出 APR ，没有给出计息间隔期，则无法计算终值。 例如， APR=10% ，如半年复利计息，则投资 1￥， 1 年后增长为（ 1+5% ） 2=

1.1025 ；如按季度复利计息，则增长为（ 1+2.5% ） 4=1.1038

• EAR 则有很明确的意义，无须给出复利计息的间隔期，就能准确计算终值。

连续复利计息

• 1 年中一项初始投资额为 C0, 复利计息 m 次投资年末终值为

FV=C0(1+APR/m)m

• 如果上述投资期限延长为 T 年 , 终值为 FV=C0(1+APR/m)mT

• 如果连续复利计息 , 终值为 FV=C0eAPR×T