Chapitre 3 : régulateur PID...naturelle les caractéristiques qui lui permettront de répondre aux exigences de comportement posées en termes de performances. Un régulateur est

Cours Régulation Industrielle D. MOKEDDEM 1

Chapitre 3 : régulateur PID

3.1 : Introduction :

- Du point de vue de l’automaticien, un système asservi doit satisfaire aux critères de

performances suivants :

– être stable : un système instable n’est pas utilisable,

– être rapide : critère caractérisé par le temps de réponse à 5% pour une entrée en échelon,

– être précis : critère caractérisé par l’erreur à convergence pour une entrée en échelon,

– ne pas présenter de dépassements trop importants (éventuellement aucun dépassement) :

critère caractérisé par le pourcentage de dépassement D%.

Les spécifications fonctionnelles, opérationnelles et technologiques du cahier des charges

imposent aux concepteurs de la chaîne «pré-actionneurs ; actionneurs ; processus ; capteurs»

une organisation structurelle et des choix de composants.

Le système résultant de cette conception « classique » ne possède pas forcément de manière

naturelle les caractéristiques qui lui permettront de répondre aux exigences de comportement

posées en termes de performances.

Un régulateur est composé d’un comparateur qui effectue la différence entre la mesure et la

consigne et d’un correcteur qui élabore une valeur de sortie fonction de l’écart constaté par le

comparateur afin de corriger l’évolution de la grandeur à maîtriser du procédé.

3.2. Action élémentaires

L’algorithme, ou la loi de commande, du régulateur le plus classique est le régulateur PID qui

est l’association des trois actions élémentaires Proportionnelle, Intégrale et Dérivée.

3.2.1. Correction à action proportionnelle (P)

Le système converge trop lentement. Une solution simple consiste alors à "faire croire"

au système que l’écart à la consigne est K fois plus grand que l’écart réel pour amplifier sa

réaction. On applique une consigne en entrée du processus égale à K fois l’écart mesuré.

La relation entre la sortie u(t) et le signal d’erreur ε(t) est :

u(t) = Kp . ε(t)

c’est-à-dire la fonction de transfert : 𝑐(𝑠) =𝑢(𝑠)

𝜀(𝑠)= 𝐾𝑝

avec Kp appelé gain proportionnel

Quelques soient le mécanisme et la source d'énergie utilisés, le

correcteur proportionnel est essentiellement un amplificateur à gain

variable. Son schéma fonctionnel est celui de la figure :


a. Effets du correcteur :

Une augmentation du gain entraine :

amélioration de la précision en BF ;

augmentation de la bande passante (augmentation de la rapidité) en BF ;

diminution de la marge de phase (dégradation de la stabilité) en BF.

Un gain faible donne un système stable mais peu précis.

b. Réalisation pratique

Une réalisation pratique de ce correcteur en utilisant des circuits passifs et actifs est montrée

sur la figure :

Figure 1 : Réalisation du correcteur P avec un amplificateurs opérationnels.

Figure 2 : Réalisation du correcteur P avec 2 amplificateurs opérationnels.

𝐺𝑐(𝑠) =𝑢(𝑠)

𝜀(𝑠)=

𝑅2

𝑅1

𝑅4

𝑅3= 𝐾𝑝 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐾𝑝 =

𝑅2

𝑅1 𝑠𝑖 𝑅4 = 𝑅3

Le circuit de la figure 2 utilise 2 amplificateurs (le second servant d'inverseur, avec un gain

de valeur 1 en prenant R4 = R3).

Exemple 1 :

La figure illustre avec un diagramme de Bode

l’apparition d’une instabilité liée à une

constante de proportionnalité trop élevée.


Exemple 2 :

Pour différentes valeurs de Kp :

Les réponses indicielles s(t) de la FTBF du système corrigé sont reportées sur la figure, ainsi

les diagrammes de Bode FTBO du système corrigé.

On constate que l'augmentation de Kp, entraîne :

une amélioration de l’erreur statique,

mais également une diminution de la marge de phase et une augmentation du dépassement


(augmentation de l’instabilité du système).

3.2.2. Correction à action Intégrale (I)

Le système ne converge pas vers la valeur de consigne, soit parce qu’il n’est pas précis,

soit parce qu’il est soumis à des perturbations.

Les systèmes non précis sont ceux qui ont besoin d’énergie pour maintenir la grandeur

de sortie à la valeur de consigne.

La sortie u(t) du régulateur intégral est proportionnelle à l’intégrale de l’écart ε(t)

𝑢(𝑡) =1

𝑇𝑖∫ 𝜀(𝑡)𝑑𝑡 =

𝑡

0𝐾𝑖 ∫ 𝜀(𝑡)𝑑𝑡

𝑡

0

Où Ti : constante de temps d’action intégrale.

Ki : gain intégral.

La figure suivante donne la réponse indicielle du correcteur Intégrale :

Le diagramme de Bode du correcteur pour Ki = 1 est :


L’action intégrale permet :

d’améliorer la précision en réduisant ou annulant l’erreur statique, mais

introduit un déphasage de –90° qui risque de déstabiliser le système (diminution de la

marge de phase et la bande passante).

Le correcteur à action exclusivement Intégrale n’est pratiquement jamais utilisé, en raison de

sa lenteur et de son effet déstabilisant. On lui adjoint généralement une action proportionnelle

(figure) afin de ne pas trop dégrader la rapidité et la stabilité.

La fonction de transfert de ce correcteur s’écrit :


Le diagramme de Bode est donné par la figure :

Ce correcteur ne diminue plus la phase pour . Il amplifie toujours les basses

fréquences ce qui assure la précision.


Une réalisation pratique de ce correcteur en utilisant des circuits passifs et actifs est montrée

sur la figure, ce circuit utilise 2 amplificateurs (le second servant d'inverseur avec un gain de

valeur unitaire).

Avec :


𝜀(𝑠)=

1

𝑅1𝐶2𝑠=

𝐾𝑖

𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐾𝑖 =

1

𝑅1𝐶2

3.2.3 Correcteur à actions dérivée (D)

Le système oscille trop avant de converger. Cela provient généralement d’une grande

inertie du système. Une commande sans correction conduit à une commande positive tant

que le système n’a pas dépassé la consigne. Si le système a accumulé beaucoup d’inertie

lorsqu’il atteint la consigne, il va alors dépasser cette consigne et l’écart devenu négatif doit

relancer le système dans le sens opposé.

Il est logique d’anticiper et de ralentir à l’approche de la valeur de consigne, c’est à dire

diminuer la commande, lorsque l’écart diminue rapidement. Il s’agit d’une correction dérivée.

La relation entre la sortie u(t) et le signal d'erreur (t) est :

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑑

𝑑𝜀(𝑡)

𝑑𝑡

La fonction de transfert correspondante est : 𝑢(𝑠)

𝜀(𝑠)= 𝐾𝑑. 𝑝

Les figures suivantes donnent les réponses à un échelon et à une rampe du correcteur D.




La réponse indicielle montre qu’un correcteur à action exclusivement dérivée ne permet pas la

transmission d’un signal. L’action dérivée ne peut donc être utilisée seule. On fait appel à elle

lorsque le signal de commande u doit être particulièrement efficace. En effet, ce correcteur

permet de faire intervenir la dérivée du signal d’erreur ; il sera d’autant plus actif que la

variation de (t) est rapide.

L’action dérivée pure :

– augmente la phase de + 90°, ce qui améliore fortement les marges de stabilité,

– amplifie les hautes fréquences (et entre autres les bruits !), ce qui est très nocif au

comportement,

– réduit le nombre d’intégrations dans la chaîne directe (et donc dégrade la précision et

l’insensibilité aux perturbations),

– n’est pas réalisable électroniquement car le degré du numérateur est supérieur à celui

du dénominateur !

Le correcteur à action exclusivement dérivée n’est pratiquement jamais utilisé. Il est en

général associé au correcteur Proportionnel.


La fonction de transfert de ce correcteur s’écrit :



Le circuit de la figure utilise 2 amplificateurs (le second servant d'inverseur avec un gain de

valeur 1).


𝜀(𝑠)= 𝑅𝑑𝐶𝑑. 𝑠 = 𝐾𝑑 . 𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐾𝑑 = 𝑅𝑑𝐶𝑑

3.3. Correcteur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée (PID)

Un régulateur PID est obtenu par l’association de ces trois actions et il remplit essentiellement

les trois fonctions suivantes : 1. Il fournit un signal de commande en tenant compte de

l’évolution du signal de sortie par rapport à la consigne. 2. Il élimine l’erreur statique grâce au

terme intégrateur. 3. Il anticipe les variations de la sortie grâce au terme dérivateur.

La relation entre la sortie u(t) et le signal d'erreur (t) est :

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝 (𝜀(𝑡) +1

𝑇𝑖∫ 𝜀(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑇𝑑

𝑡

0

𝑑𝜀(𝑡)

𝑑𝑡)

C’est-à-dire : 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝜀(𝑡) + 𝐾𝑖 ∫ 𝜀(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐾𝑑𝑡

0

𝑑𝜀(𝑡)

𝑑𝑡

avec : Kp : gain proportionnel, Ki : gan intégrale, Kd : gain dérivé

𝐾𝑖 =𝐾𝑝

𝑇𝑖 , 𝐾𝑑 = 𝐾𝑝𝑇𝑑

La fonction du transfert du régulateur est :

𝐺𝑃𝐼𝐷 =𝑢(𝑠)

𝜀(𝑠)= 𝐾𝑝 +

𝐾𝑖

𝑠+ 𝐾𝑑𝑠

Les effets de chaque correcteur (Kp, Ki et Kd) sur la réponse en boucle fermée du système sont

regroupés sur le tableau.


Des méthodes pratiques de réglages permettent d'obtenir de bons résultats. Elles sont basées

sur la connaissance des effets que procure chaque correcteur sur la réponse du système bouclé

(tableau ). Par ailleurs, ces méthodes font beaucoup intervenir l'expérience de l'opérateur dans

ce domaine. Il n'y a pas de réglage unique permettant d'atteindre le cahier des charges, mais il

est nécessaire de suivre quelques règles d'ajustement de ces correcteurs :

1. Obtenir la réponse en boucle fermée et déterminer ce qui est nécessaire d'améliorer.

2. Rajouter un correcteur P pour améliorer la rapidité du système : modifier Kp pour

obtenir le temps de montée voulu.

3. Rajouter un correcteur I pour éliminer l'erreur statique : modifier Ki pour améliorer les

performances en régime statique.

4. Rajouter un correcteur D pour réduire les dépassements et améliorer le temps

d'établissement : modifier Kd pour améliorer les caractéristiques en régime transitoire.

5. Ajuster Kp, Ki et Kd jusqu'à obtenir les performances voulues.

Ce correcteur permet de cumuler les avantages des correcteurs précédents :

– L’amplification des basses fréquences améliore la précision (actions I et P),

– L’augmentation de la pulsation de coupure améliore la rapidité (action P),

– L’augmentation des marges de stabilité améliore stabilité et dépassements (action D)


3.4. Structures des régulateurs PID

Type parallèle :

La fonction de transfert est : 𝐺𝑃𝐼𝐷 =𝑢(𝑠)

𝑒(𝑠)= 𝐾𝑝 +

1

𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠

Type série :


𝑒(𝑠)= 𝐾𝑝(1 +

1

𝑇𝑖𝑠)(1 + 𝑇𝑑𝑠)

Type mixte :


𝑒(𝑠)= 𝐾𝑝(1 +

1

𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠)

e u

e

e

u

u


U(s) ε(s)

Exercice 1 :

On réalise un correcteur en utilisant un Ampli

Opérationnel parfait, selon la figure :

1. A partir du schéma, exprimer la fonction de

transfert C(s) du correcteur sous la forme :

𝐶(𝑠) =𝑢(𝑠)

𝜀(𝑠)= 𝐾1 +

𝐾2

𝑠+ 𝐾3𝑠

Exprimer les coefficients K1, K2 et K3 en fonction des éléments du schéma.

2. De quel correcteur s’agit-il?.

3. On choisit la valeur des éléments du schéma de la figure, afin que la fonction de transfert du

correcteur C(s) s’écrive sous la forme : 𝐶(𝑠) =𝑤1(1+

𝑠

𝑤1)(1+

𝑠

𝑤2)

𝑠

Avec 𝑤1 = 20. 103𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1 𝑒𝑡 𝑤2 = 80. 103𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1

Calculer les valeurs numériques des coefficients K1, K2 et K3.

Représenter le diagramme asymptotique de Bode (gain et phase) de C(s).

Exercice 2 :

En utilisant le modèle : 𝐺(𝑠) =𝐴𝑒−𝑠𝑇𝑢

1+𝑠𝑇𝑎 , appliquer la méthode de Ziegler-Nichols pour dimensionner

un correcteur PI, correspondants au système dont la réponse indicielle (en BO) est donnée ci-contre :

Série TD N° 3


Exercice 3 :

On dispose d’une enceinte dont on souhaite réguler la température par le contrôle d’un débit

de vapeur. Le système représenté sur le schéma fonctionnel de la figure .1 décrit le

fonctionnement d’une enceinte à chauffage indirect. Il est constitué d’une vanne que l’on va

commander (application d’une tension u(t) sur un servomoteur permettant d’ouvrir ou de

fermer la vanne), d’un échangeur eau–vapeur, d’une enceinte dont on veut commander la

température en agissant sur la vanne et d’une pompe à débit constant. De l’ouverture de la

vanne va découler le débit de vapeur, la température de l’eau dans l’échangeur, le débit de

vapeur et la température de l’enceinte.

Figure 1 – Enceinte à chauffage indirect

Suite à une ouverture rapide de la vanne, l’évolution de la température T°(t) est d´écrite

par un comportement du second ordre – premier ordre au carré – dont le gain statique

Ke = 20C°/(m3/s) et la constante de temps τe = 1200s (20 min).

Le modèle du servomoteur est donné :

𝑋(𝑝)

𝑈(𝑝)=

𝐾𝑝

𝑝(1 + 𝜏𝑝𝑝)

pour lequel x(t) est la position linéaire de la soupape montée sur l’arbre du moteur. On donne

Kp = 2.10-4m/V et τp = 0.5s.

La fonction de transfert de la vanne est assimilable à un gain de valeur Kv = 100(m3/s)/m.

L’organe de mesure de la température est un capteur de gain Kc = 5.10-2V/°C.

1. Représenter le schéma blocs de la chaîne directe du procédé ;

2. Un régulateur proportionnel K est implanté pour commander la température de l’enceinte

par action sur la tension u(t). Représenter le schéma bloc de l’asservissement ;

3. Ecrire les fonctions de transfert en boucle ouverte et en boucle fermée ;

4. Faire une analyse de la stabilité de l’asservissement par le critère algébrique de Routh.

Retrouver analytiquement ce résultat à partir du module et de l’argument de la fonction de

transfert en boucle ouverte ;


5. Le lieu de transfert de la boucle ouverte pour K = 1 représenté dans le plan de Bode

est donné figure 2. Retrouver le résultat de la question précédente dans ce plan.

Figure 2 – Boucle ouverte pour K = 1

6. Pour quelle(s) raison(s), dans le cas d’une correction proportionnelle, l’erreur de

position de l’asservissement est-elle nulle ?

7. Dessiner le comportement indiciel de l’asservissement pour K = 0.08.

On propose de remplacer le correcteur proportionnel par une correction proportionnelle

dérivée (PD) de fonction de transfert :

D(p) = K (1 + Td.p)

avec K = 0.08 et Td = 2539.

8. Quelle est l’influence de ce correcteur sur la précision de l’asservissement ?

9. Faire le tracé de la réponse harmonique de D(p) sur le graphique 3. Déduire celui

de la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte ;


Figure 3 – Boucle ouverte pour K = 1

10. Faire apparaitre la marge de phase du système corrigé et conclure sur l’utilité du

correcteur D(p). Pour étayer votre propos la réponse indicielle de l’asservissement

corrigé est reportée sur la figure 4.


Figure 4 – Réponse indicielle de l’asservissement corrigé par D(p)

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