Chapter IV. Fisica III. Energia y Potencial Electrico 2011

2013

OPTACIANO VSQUEZ GARCA

CAPITULO III ENERGA Y POTENCIAL

ELECTRICO

CAPITULO III ENERGA Y POTENCIAL ELECTRICO Optaciano Vsquez g. 2013

146

4.1 INTRODUCCIN.

Es sabido que todos los objetos poseen una propiedad conocida como carga elctrica. Un campo elctrico ejerce

una fuerza sobre un objeto cargado, acelerando a ste en la direccin de la fuerza, ya sea en el mismo sentido o

en el sentido opuesto a la direccin del campo. Si el objeto tiene una carga positiva, la fuerza y la aceleracin

estn en la misma direccin del campo. Esta fuerza tiene la misma direccin que el vector campo elctrico, y su

magnitud est dada por el valor de la carga multiplicado con la magnitud del campo elctrico.

Los conceptos tales como fuerza, energa, potencial, etc. son explorados y estudiados con ms detalle en la

mecnica clsica. Aqu se muestra que la fuerza y la energa potencial estn relacionadas directamente. As por

ejemplo, cuando un objeto se mueve en la direccin de la fuerza, esta lo acelera, disminuyendo su energa

potencial. Analogamente, la energa potencial de una bala de can es mayor en la cima de una colina que en la

base de la misma. Por otro lado, cuando el mvil desciende su energa potencial disminuye dicha disminucin de

energa potencial se transforma en energa cintica de movimiento.

Para ciertas fuerzas, es posible definir el potencial de un campo tal que la energa potencial de un objeto debido al campo es dependiente solamente de la posicin del objeto con respecto al campo. Este efecto de las

fuerzas sobre los objetos depende solo de las propiedades intrnsecas del objeto y de su posicin, y obedecen a

otras reglas matemticas.

Dos de tales son la fuerza gravitacional y la fuerza elctrica en ausencia de campos magnticos variables con el

tiempo. El potencial de un campo elctrico el llamado potencial elctrico. El potencial elctrico se mide en

voltios. En este captulo definiremos la energa potencial elctrica, la diferencia de potencial y la funcin

potencial elctrico y determinaremos el potencial de distribuciones discretas y continuas de carga.

Posteriormente veremos la relacin entre el campo y el potencial elctricos para finalmente estudiar el potencial

en el interior de conductores.

4.2 SISTEMAS GRAVITACIONALES Y ELCTRICOS: Similitudes y diferencias

Las interacciones gravitacional y elctrica son debidas a diferentes propiedades inherentes a las partculas que

constituyen la materia; la masa gravitacional y la carga elctrica. Pero matemticamente, ellas en forma similar

obedecen con la ley de la inversa al cuadrado de la distancia (ley de la gravitacin universal de Newton y la ley

de Coulomb.

As como la fuerza electrosttica total sobre un cuerpo cargado es la suma de las fuerzas ejercidas sobre este por

todos los dems cuerpos cargados, la fuerza gravitacional sobre un cuerpo es la suma de las fuerzas

gravitacionales ejercidas sobre ste por todas las dems masas que la rodean. Por ejemplo, el sol y la tierra

ejercen fuerzas gravitacionales significativas sobre la luna, por tanto existir una fuerza resultante actuando

sobre la luna. De igual forma ocurre con las partculas de desecho que conforman los anillos de Saturno. Estas

incluyen a las fuerzas ejercidas por Saturno, por fuerzas que ejercen el resto de partculas en el anillo, y aquellas

fuerzas ejercidas por pequeas lunas que giran con los anillos y ayudan a mantener la configuracin mostrada en

la figura.

Figura 4.2.1. Movimiento de pequeas lunas y cuerpos irregulares de materia en el planeta Saturno.


147

En el curso de mecnica, vimos que la fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre una partcula de masa m

localizada a una distancia r desde el centro de la tierra est dada por la ecuacin

2

g r

MmF G e

r

r

(4.1)

Donde, G = 6,67.10-11N.m2/kg2, es la constante de gravitacin universal y re es un vector unitario dirigido

radialmente hacia afuera. Asumiendo que la tierra es un cuerpo de forma esfrica de masa M. El campo

gravitacional correspondiente g , definido como la fuerza gravitacional por unidad de masa, est dado por

2g

r

F Mg G e

m r

rr

(4.2)

La ecuacin (4.2) indica que el campo gravitacional g , solamente depende de la masa M del cuerpo que crea el

campo y la distancia r medida desde el centro de M.

Para determinar el trabajo hecho por la fuerza gravitacional durante el movimiento de m desde A hacia B,

consideremos el movimiento de dicha partcula de masa m bajo la influencia de la gravedad tal como se muestra

en la figura

Figura 4.2.2. Trabajo desarrollado por la fuerza gravitacional sobre m.

En este caso, el trabajo de gF , viene expresado por

2

2

. .( )

1

B B

A A

B

B

A

A

r r

A B g r rr r

rr

A Br

r

MmW F ds G e dre rd e

r

drW GMm GMm

r r

r r

1 1A B

B A

W GMmr r

(4.3)

Esta ecuacin muestra que el trabajo es independiente de la trayectoria seguida por m y solamente depende de la

posicin inicial y final, respectivamente. Debe recalcarse adems que existen diferencias significativas entre el

trabajo hecho por la fuerza gravitacional A BW y el trabajo realizado por un agente externo

ext

A BW . Sin embargo,

ambas cantidades son iguales y de signo opuesto, es decir extA B A BW W .


148

En el ejemplo planteado anteriormente, si la trayectoria descrita por m es una trayectoria cerrada, de tal forma

que el cuerpo m se mueve alrededor de ella retornando a su posicin inicial, el trabajo neto hecho por la fuerza

gravitacional podra ser cero, en estas condiciones se dice que la fuerza gravitacional es conservativa. En forma

general decimos que una fuerza es conservativa si su trabajo alrededor de una trayectoria cerrada es nulo, esto es

. 0gC

W F ds er r

(4.4)

Cuando trabajamos con fuerzas conservativas, es conveniente introducir el concepto de energa potencial U. El

cambio en la energa potencial asociada con una fuerza conservativa F actuando sobre un cuerpo cuando se

mueve desde A hasta B es definido como

.B

A

r

B A A Br

U U U W F ds r r

(4.5)

Donde A BW es el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo de masa m. para el caso de la fuerza

gravitacional la energa potencial es

, 0,B g A gGMm GMm

Ug U U Ur r

(4.6)

Donde U0 es una constante arbitraria la cual depende del punto de referencia escogido. En general se escoge el

punto de referencia a aquel en el cual la energa potencial es cero. Para el caso de la fuerza gravitacional,

escogemos un punto de referencia a una distancia muy grande (infinito) de tal manera que 0 ( ) 0U r .

Debido a que Ug depende del punto de referencia escogido, solamente tiene importancia fsica la variacin de

energa potencial Ug.

En puntos alejados de la superficie terrestre el campo gravitacional es variable ya que depende de r y como tal

las lneas de campo gravitacional son radiales e ingresan a la tierra tal como se muestra en la figura 4.2.3a,

mientras que en puntos cercanos a la superficie terrestre el campo gravitacional g , es aproximadamente

constante, de tal forma que las lneas de campo gravitacional se pueden considerar paralelas tal como se muestra

en la figura 4.2.3b.

Figura 4.2.3 Campo gravitacional: (a) lejos de la superficie terrestre, (b) cerca de ella.

Entonces, cerca de la superficie terrestre, la fuerza gravitacional est dada por

gF mgr r

(4.7)

Donde el campo gravitacional g , es aproximadamente constante, con una magnitud g = 9,8 m/s2. El trabajo

hecho por la fuerza de gravedad para mover un cuerpo desde el punto A el cual est a una altura yA hasta el

punto B ubicado a una altura yB (vase la figura 4.2.4), es

. ( ).( ) ( ).( )B B B

A A A

y y y

A B gy y y

W F ds mg ds mgj dxi dyj r r r r


149

( ) ( )B

A

y

A B B Ay

W mgdy mg y y mgh (4.8)

Figura 4.2.4 Trabajo hecho por la fuerza gravitacional durante desplazamientos en puntos cercanos a la superficie

terrestre.

La variacin de energa potencial en estas condiciones es

( )g A B B AU W mg y y mgh (4.9)

Un concepto el cual est completamente relacionado con la energa potencial es el Potencial Gravitacional el cual se define como la energa potencial por unidad de masa esto es

. .B Bg g

gA A

U FV ds g ds

m m

rr r r

(4.10)

4.3 ENERGA POTENCIAL ELCTRICA

Estamos interesados en la cantidad de trabajo hecho por una fuerza elctrica durante el desplazamiento de una

carga desde un punto inicial A hasta un punto final B. Para ello seguimos la secuencia desarrollada para el caso

de la fuerza gravitacional. La figura 4.3.1 muestra un campo elctrico producido por un sistema de cargas, al

colocar una carga q0 en este campo ella experimenta una fuerza elctrica dada 0eF q E , la que tiende a mover

en la direccin del campo si la carga de prueba es positiva y en sentido contrario si dicha carga es negativa.

Figura 4.3.1. Movimiento de una carga en un campo no homogneo.

El trabajo hecho por el campo sobre la carga cuando se mueve desde A hasta B a travs de la trayectoria color

verde es

0. .B B

A B eA A

W F ds q E ds r rr r

(4.11)


150

Si ahora movemos a la carga desde A hasta B a travs de la trayectoria II, como se muestra en la figura 4.3.1,

observamos que el trabajo es el mismo, esto quiere decir que el trabajo es independiente de la trayectoria

seguida. Por lo tanto podemos considerar a la fuerza elctrica como una fuerza conservativa. En este caso el

trabajo puede expresarse como una variacin de energa potencial elctrica, esto es

0 .B

A BA

U W q E ds r r

(4.12)

Debe recordarse que la integral en la ecuacin (4.12) es un integral de lnea y como tal debe evaluarse a lo largo

de la trayectoria escogida para mover a q0. Claro est en el caso elctrico debido a que la fuerza es conservativa

dicha integral de lnea no depende de la trayectoria tomada.

En general, queremos discutir la energa potencial de una carga o sistema de cargas en un punto en particular, es

decir queremos encontrar una funcin ( )U r , pero para obtenerlo es necesario escoger un punto en el cual la

energa potencial es nula. Normalmente se toma la decisin de que la energa potencial es nula en puntos muy

alejados de la distribucin de carga esto es 0 ( ) 0U .

4.4 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y POTENCIAL ABSOLUTO.

En la presencia de un campo elctrico E y siguiendo lo descrito en el campo gravitacional g , definimos la

diferencia de potencial elctrico entre dos puntos A y B como

0 0

.( ) .B B

e ee

A A

U FV ds E ds

q q

rrr r

(4.13)

Donde q0 es la carga de prueba. La diferencia de potencial , representa la cantidad de trabajo por unidad de carga hecho por el campo para mover una carga de prueba q0 desde un punto A hasta otro final B, sin cambiar su

energa cintica. Una vez ms, la diferencia de potencial no de confundirse con la variacin de la energa

potencial. Las dos cantidades estn relacionadas mediante la ecuacin.

0U q V (4.14)

Las unidades de la diferencia de potencial en el SI es el voltio (V)

1 1 /1 (1 1 /1 )voltio joule coulomb V J C (4.15)

Cuando se trate de sistemas a escala atmica o molecular, un joule (J), a menudo resulta ser demasiado grande

como unidad de energa. A esta escala es mucho ms til el uso del llamado electrn voltio (eV), el cual se

define como la energa que adquiere un electrn (o pierde) cuando se desplaza a travs de una diferencia de

potencial de 1 voltio.

19 191 1(1,6.10 )(1 ) 1,6.10eV C V J (4.16)

La ecuacin (4.13) nos da simplemente la diferencia en el valor del potencial entre dos punto A y B. Para

determinar una funcin ( )V r que defina el potencial en todos los puntos necesitamos especificar un punto en

el cual el potencial V es cero. Frecuentemente escogemos este punto a distancias muy grandes (infinito), es decir

en puntos muy alejados de la ubicacin de la carga productora de campo o potencial siendo, en estos puntos el

campo o el potencial elctrico son muy pequeos en valor absoluto. Sin embargo, este punto de referencia puede

ser escogido para cada problema en particular lo nico que se requiere es estar seguro de que V = 0 en dicho

lugar antes de hablar con sensatez acerca de la funcin ( )V r . Entonces la ecuacin (4-13) se escribe

( ) .B

refV r E ds

rr r (4.17)


151

4.5 DIFERENCIA DE POTENCIAL EN CAMPOS ELECTRICOS UNIFORMES.

Consideremos una carga q0 movindose desde un punto A hasta un punto B situado a una distancia d en el

interior de un campo elctrico 0E E i , como se muestra en la figura 4.5.1.

Figura 4.5.1. Movimiento de una carga en un campo elctrico uniforme.

Al moverse la carga desde A hasta B, el trabajo hecho por el campo elctrico es

0 0 0 . ( ).( ) ( )

B B B

A B e B AA A A

W F ds q Ei dxi q Edx q E x x r r

0A BW q Ed (4.18)

La variacin de energa potencial est dada por

0A BU W q Ed (4.19)

La diferencia de potencial entre estos dos puntos es

0

0 0

B A

q EdUV Ed V V Ed

q q

(4.20)

El signo menos en la ecuacin (4.20) indica que el potencial del punto B es menor al potencial del punto A. Por

otro lado la variacin de energa potencial dada por la ecuacin (4.19) indica que si q > 0, U es negativa, esto implica que la energa potencial de una carga positiva disminuye conforme se mueve a lo largo de la direccin

del campo.

Si ahora la carga q0 se mueve en una direccin no paralela al campo sino que forma un ngulo , tal como se muestra en la figura 4.5.2.

Figura 4.5.2. Movimiento de una carga puntual positiva en una direccin no paralela al campo elctrico uniforme.

La diferencia de potencial en este caso es

. cos cos ( )B B

B AA A

V E ds E ds E s s Ed r r

(4.21)


152

Por otro lado si la carga se mueve desde A hasta C y posteriormente a B, la diferencia de potencial de A a C es

ACV Ed , y la diferencia de potencial entre los puntos C y B es cero debido a que el campo es

perpendicular al desplazamiento. Entonces tenemos:

0AC CBV V V Ed Ed (4.22)

Esta ecuacin indica por un lado que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria por tanto el

campo elctrico es conservativo. As mismo se observa que los puntos B y C tienen el mismo potencial, por

tanto a esta lnea que une B y C se le denomina lnea equipotencial.

Ejemplo 4.1

Encuentre el voltaje requerido en un set de placas paralelas separadas 10,00 cm y que llevan cargas iguales y

opuestas; para crear un campo elctrico de 1000N/C en la regin comprendida entre ellas.

Solucin

En la figura 4.5.3 se muestra la disposicin de las placas, el campo se considera uniforme en las regiones

alejadas de los bordes E Ei .

Figura 4.5.3. Diferencia de potencial entre placas paralelas.

La diferencia de potencial entre las placas es

0 0 0

. ( ).( )

(1000 / )(0,10 )

100

d d d

B A

V E ds Ei dxi E dx Ed

V N C m

V V V Volt

r r

El signo menos indica que el A est a mayor potencial que el punto B

Ejemplo 4.2

Un electrn que se mueve paralelamente al eje x tiene una velocidad inicial de 3,7. 106/ en el origen. Su velocidad se reduce a 1,4. 105/ en el punto x = 2,00 cm. Determine la diferencia de potencial entre el origen y ese punto. Cul de los puntos est a mayor potencial?.

Solucin

Debido a que el electrn se mueve en un campo elctrico uniforme, la energa se conserva por tanto

2 21 1

2 2i i i i e i e i e f e fT U T U m v q V m v q V

2 2

0

1( ) ( )

2e i f e fm v v q V V


153

31 6 2 5 2 19

2 0

2 0

1(9,1.10 ) (3,7.10 / ) (1,4.10 / ) ( 1,6.10 )( )

2

( ) 38,9

kg m s m s C V V

V V volt

De esta ecuacin se concluye que el punto x = 0 est a mayor potencial, esto es

0 2 38,9V V volt

4.6 POTENCIAL ELCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.

En esta seccin vamos a determinar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B mostrados en la figura

4.6.1, debido a una carga puntual +Q. Debemos recordar que el campo elctrico de una carga puntual es 2 ( / ) rE kQ r e , donde re es un vector unitario dirigido a lo largo del campo elctrico.

Figura 4.6.1. Diferencia de potencial producido por una carga puntual.

La diferencia de potencial entre los puntos A y B cuando la carga se mueve en el interior del campo elctrico es

2 . .( )

B B

A AB A r r

QV V V E ds k e dre rd e

r

r r r

2

0

1 1 1

4

B

B

A

A

rr

B Ar

B Ar

dr QV V kQ kQ

r r r r

(4.23)

Una vez ms observamos que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria y solamente depende

de las posiciones final e inicial de la carga testigo.

Al igual que en el caso de la fuerza gravitacional, solamente la diferencia de potencial tiene importancia fsica

significativa. Por lo tanto, es conveniente establecer un punto de referencia en el cual el potencial es cero. En la

prctica se escoge al punto de referencia que tiene potencial nulo al infinito. Entonces el potencial en cualquier

punto ser.

.B

PV E ds

r r

(4.24)

Con este punto de referencia, el potencial en un punto P ubicado a una distancia r de una carga puntual Q es

0

( )4

QV r

r (4.25)


154

Ejemplo 4.3

Una carga positiva de valor 2 C est localizada en el origen. (a) Cul es el potencial elctrico V en un punto a 4 m del origen respecto al valor V = 0 en el infinito?. (b) Cunto trabajo debe ser realizado por un agente

exterior para llevar la carga de 3C hasta r = 4 m considerando que se mantiene fija en el origen de cordenadas la carga de 2 C?

Solucin

En la figura 4.6.2, se muestra la carga

Figura 4.6.2. (a) Potencial de una carga puntual en un punto a una distancia, (b) Carga movindose

desde el infinito hasta P.

Parte (a). El potencial en el punto P est dado por

69 2 2

3

2.109.10 . / ( )

4

4,5.10

P

P

Q CV k N m C

r m

V volt

Parte (b). El trabajo realizado por el agente externo para traer la carga q3 desde el infinito hasta el punto P ser

6 3

3

3

3.10 (4,5.10 )

13,5.10

P P

P

W q V C vol

W J

4.7 POTENCIAL ELCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES.

Consideremos un sistema de N cargas puntuales situadas en posiciones fijas como se muestra en la figura 4.7.1,

las cuales producen campos elctricos en el espacio que los rodea. Para evaluar el potencial producido por el

sistema se evala el movimiento de una carga testigo +q0 a lo largo de la trayectoria desde un punto inicial hasta

otro final (P).

Figura 4.7.1. Potencial debido a un sistema de cargas puntuales.


155

El potencial en el punto P debido al sistema de cargas puntuales es

( , , ) 0 .P

iV x y z E ds

r r

Al evaluar la integral se usa un procedimiento siguiente

1 2, , . . ..... . ..... .P P P P

i Ni i i i

V x y z E ds E ds E ds E ds

r r r rr r r r

Las integrales son idnticas a la resultante para el caso de una sola carga puntual, por ello, la primera integral

corresponde al potencial de la primera carga y as sucesivamente, entonces tenemos.

1 20 1 0 2 0 0

, , .... ....4 4 4 4

i N

i N

q qq qV x y z

r r r r

10

1, ,

4

Ni

i i

qV x y z

r

(4.26)

Ejemplo 4.4

Cargas puntuales idnticas de 1,7 C se fijan diagonalmente en las esquinas opuestas de un cuadrado. Una tercera carga es entonces fijada en el centro del cuadrado, tal que esta cause que los potenciales en las esquinas

vacas cambien de signo sin cambiar sus magnitudes. Encontrar el signo y la magnitud de la tercera carga.

Solucin

La figura muestra dos cargas idnticas, q fijas en las esquinas del cuadrado. El potencial en la esquina A es

causado por la presencia de las dos cargas y est dado por

, 2A iq q q

V k k kr r r

Figura 4.7.2 (a) Carga fijas en la esquina del cuadrado (inicial), (b) ubicacin de la tercera carga en el centro del cuadrado

Debido a que ambas cargas estn a la misma distancia de B, este potencial es igual al potencial en la esquina B.

Si ahora una tercera carga Q es localizada en el centro del cuadrado, el ptencial en la esquina A (as como en la

esquina B) es

, 2 2/ 2

A f

q q Q q QV k k k k k

r r d r d

De la geometria se determina la longitud de la diagonal = 2 . Entonces tenemos

, 2 22

A f

q QV k k

r r


156

De la condicin del problema, conocemos que la adicin de Q causa que el potencial en A o B cambia de signo

sin cambiar la magnitud. En otras palabras

, ,

6

2 2 22

2 2 2 2 1,7.10

4,8

A f A iV V

q q Qk k k

r r r

Q q C

Q C

Ejemplo 4.5

Considere un dipolo elctrico ubicado sobre el eje y, como se muestra en la figura. Encuentre el potencial

elctrico V en un punto P en el plano xy.

Figura 4.7.3 Potencial elctrico de un dipolo elctrico

Solucin

Utilizando el principio de superposicin, el potencial en el punto P est dado por

1 1P

q qV V V k k kq

r r r r

Utilizando la ley de los cosenos, se determina las distancias + y , esto es

2 2 2 2 cosr r a ra m

Debido a que la distancia entre las cargas es mucho menor a la distancia del centro del dipolo al punto donde se

determina el potencial (a


157

Donde el momento dipolar es 2p qaj .

4.7 POTENCIAL ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN CONTINUA DE CARGA.

La ecuacin (4.26) tambin es vlida aunque el nmero de cargas tienda al infinito y la distribucin de cargas

sea continua. Sin embargo, en este caso es necesario conocer la cantidad de carga que contiene cualquier

elemento diferencial de carga. Para esto debemos conocer la densidad de carga por unidad de volumen o por

unidad de rea o por unidad de longitud. As mismo es necesario conocer la distancia entre el elemento

diferencial de carga y el punto de observacin (vase la figura 4.7.1). En consecuencia el elemento de carga

produce un pequeo potencial dado por

0

1( , , )

4 '

dqdV x y z

r r

r r (4.27)

Figura 4.7.1. Potencial elctrico de una distribucin continua de carga

El potencial total se obtiene sumando (integrando) sobre toda la distribucin de carga, esto es

0

1( , , )

4 '

dqV x y z

r r

r r (4.28)

Para el caso de una distribucin lineal la ecuacin se convierte en

0

1 ( ')( , , )

4 's

r dsV x y z

r r

r

r r

(4.29)

Para una distribucin superficial tenemos

0

1 ( ')( , , )

4 'A

r dAV x y z

r r

r

r r (4.30)

Finalmente para una distribucin volumtrica se tiene

0

1 ( ')( , , )

4 'V

r dVV x y z

r r

r

r r

(4.31)

Ejemplo 4.6

Sobre una barra delgada no conductora de longitud 2L, se ha distribuido uniformemente una carga +Q con un

densidad de carga por unidad de longitud . Determine el potencial elctrico en un punto a lo largo de la bisectriz perpendicular a la barra a una distancia z de su centro.


158

Figura 4.7.2. Potencial elctrico de una distribucin lineal finita de carga.

Solucin

Consideremos un elemento diferencial de longitud dy el cual lleva una carga = =

2, como se muestra

en la figura 4.7.2. El elemento que produce el potencial est localizado en (0, , 0) mientras que el punto en donde se determina el potencial est en el eje z en (0, 0, ). La distancia del elemento diferencial al punto P

es|| = 2 + 2 . Entonces la contribucin al potencial esta dado por

2 2 1/ 2

0 04 4 ( )

dq dydV

r y z

r

Tomando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debito a la distribucin entera es

2 22 2

2 2 1/ 2 2 20 0 0

ln ln4 ( ) 4 4

aa

a a

dy a a zV y y z

y z a a z

En el lmite cuando z > a, tenemos

0 0 0

0 0 0

0

1 1

ln ln ln4 4 4

1 1

2ln 1 ln 1 ( )

4 4 4

4

a az

a z z zV

a aa zz

z z

a a a a aV

z z z z z

QV

z


159

Ejemplo 4.7

Un anillo de radio R cargado uniformemente con una carga por unidad de longitud , se encuentra sobre el plano xy con su eje a lo largo del eje z. Determine el potencial elctrico en cualquier punto del eje z debido a la

distribucin.

Solucin

En la figura se muestra el anillo en el plano xy. Para determinar el potencial se divide a la distribucin en

pequeos elementos diferenciales de carga dq de longitud = . El elemento tiene una carga

dq ds Rd

Figura 4.7.3. Potencial elctrico de una distribucin lineal de carga en forma de anillo

El potencial producido por el elemento diferencial es

2 20 0

4 4

dq RddV

r R z

r


2

2 2 1/ 2 004 ( )

RV d

R z

2 2 1/ 2 2 2 1/ 2

0 0

2

4 ( ) 4 ( )

R QV

R z R z

Donde la carga total del anillo es = 2. En el lmite cuando z >> R, se tiene

2 2 20 2

0

0

44 1

4

Q QV

R z Rz

z

QV

z


160

Ejemplo 4.8

Un disco de radio R cargado uniformemente con una carga por unidad de rea , se encuentra sobre el plano xy con su eje a lo largo del eje z. Determine el potencial elctrico en cualquier punto del eje z debido a la

distribucin.

Solucin

Se divide a la distribucin de carga en elementos dq en forma de anillos de radio a y espesor da tal como se

muestra en la figura 4.7.4, tal que la carga del elemento dq est dada por

(2 ) 2Q dq

dq dA ada dq adaA dA

Figura 4.7.4. Potencial elctrico de una distribucin superficial de carga en forma de anillo

El potencial producido por el elemento diferencial es

2 2 2 20 0 0

2

4 4 2

dq rdr rdrdV

r a z a z

r


2 2

2 20 00 0

2 2

0

2 2

2

RR rdrV a z

a z

V R z z

En el lmite cuando ||

1/ 22 2

2 2 11 1 .....2

R RR z z z

z z

Remplazando este valor en el potencial del disco, se tiene

2 2

2

0 0

0

2 2 4

4

z R RV z z

z z

QV

z

Determinemos ahora el potencial en el centro del disco


161

2 2 20 0

0

0 02 2

2

V R z z R

RV

Ejemplo 4.9

Una corteza delgada esfrica de radio R posee una carga total Q con una densidad superficial uniforme de carga

en la superficie. Mediante integracin directa, determine el potencial elctrico en trminos de la distancia r desde el centro de la corteza.

Solucin

Se divide a la distribucin en elementos diferenciales de carga en forma de anillos de radio y, espesor ds y carga

dq como se muestra en la figura. Dicho elemento diferencial tiene una carga dq dado por

(2 )( ) (2 )( )dq dA y Rd Rsen Rd

22dq R sen d (a)

El potencial elctrico producido por el elemento diferencial dq en el punto P situado a una distancia r del centro

del cascarn es

22dq R sen ddV k k

S S

(b)

Figura 4.7.5. Potencial elctrico de un cascarn esfrico cargado

Antes de proceder a integrar la ecuacin (b) es necesario eliminar una de las dos variables S y . En este caso las variables se remplazan en funcin de S

Aplicando la ley de cosenos en el tringulo OPA

2 2 2 2 cosS R r Rr (c)

Derivando la expresin (e), tenemos

2 2SdS rRsen d

SdSsen d

rR (d)

Remplazando la ecuacin (d) en (e), se tiene


162

222

SdSR

dq RrRdV k k k dS

S S r

(f)

Tomando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debido a la distribucin esfrica completa es

2

0

0

2 2 1 (4 )

4

4

r R r R

r Rr R

k R k R RV dS S

r r r

QV

r

El potencial en la superficie de la corteza ser.

2

04

QV

R (g)

El potencial en puntos interiores es

0

2

0 0

0

2 2 1 (2 )( )

4

1 (4 ) 1 (4 )

4 4

4

R r R r

R rR r

k R k R RV dS S R r R r

r r r

rR RV

r R

QV

R

Esta ecuacin indica que el potencial en puntos interiores es constante e igual al potencial en la superficie.

4.8 ENERGA POTENCIAL ELCTRICA DE SISTEMAS DE CARGAS.

4.8.1 Energa de dos cargas puntuales.

Consideremos a una carga puntual fija q en el espacio y una carga q0 que se desplaza de A hacia B tal

como se muestra en la figura 4.8.1.

Figura 4.8.1. Energa potencial elctrica de dos cargas puntuales.

El trabajo realizado por la fuerza elctrica sobre la carga q0 al moverse de A hasta B es


163

0

2

0

. .( )4

B

A

B r

A B e r rA r

qqW F ds e dre rd e

r

r r

0 0

2

0 0

1 1

4 4

B

A

r

A Br

A B

qq qqdrW

r r r

(4.32)

Se observa que el trabajo de una fuerza elctrica es independiente de la trayectoria seguida por lo tanto dicha

fuerza es conservativa y como tal el trabajo puede expresarse como una variacin de la energa potencial, esto es

0

0

1 1

4A B

B A

qqU W

r r

(4.33)

La energa potencial U cuando la carga de prueba q0 est en cualquier distancia r de q, es

0

04

qqU

r (4.34)

La ecuacin (4.34) es vlida para cualquier combinacin de signos. La energa potencial es positiva si las cargas

q y q0 son del mismo signo (figura 4.8.2a) y negativa si tienen signos opuestos (figura 4.8.2.b).

Figura 4.8.2. Grficas de la energa potencial U en funcin de r para dos cargas puntuales: (a) q y q0

tienen el mismo signo y (b) q y q0 tienen diferente signo.

La energa potencial siempre se define con respecto a un punto de referencia en el cual U = 0. En la ecuacin

(4.34), la energa potencial es nula cuando las cargas q y q0 estn separadas una distancia muy grande esto es

r = . Por lo tanto, U representa el trabajo que el campo elctrico de la carga q realiza sobre la carga testigo q0 si esta se desplaza desde una distancia inicial r hasta el infinito.

4.8.2 Energa potencial de varias cargas puntuales.

Para determinar la energa potencial de un sistema de cargas puntuales consideremos en primer lugar

que se desea ensamblar un sistema de dos cargas mediante un agente externo, entonces exti f i fU W W .

Esto es, el cambio en la energa potencial del sistema es igual trabajo realizado por un agente externo para

ensamblar la configuracin. En nuestro caso, las cargas son tradas lentamente desde el infinito, sin aceleracin,

esto es, ellas estn en reposo al final del proceso. Empezaremos el ensamblaje con dos cargas q1 y q2 para ello

consideremos que la regin est libre de cargas y el campo elctrico debe ser nulo en todas las partes y posteriormente traemos una a una a las cargas hasta ubicarlas en las posiciones mostradas. De la figura 4.8.3, se

observa que el trabajo requerido para colocar la primera carga q1 en el punto A es cero (W1 = 0), debido a que en

la regin no existe campos elctricos. El trabajo requerido para colocar la segunda carga q2 en la posicin B es

igual al producto de la carga q2 por el potencial en el punto B debido a q1, es decir (W2 = q2VB,1).


164

(a) (b)

Figura 4.8.3. (a) Regin del espacio sin cargas; (b) Traslado secuencial de cargas desde el infinito para formar la

configuracin mostrada.

Por lo tanto, el trabajo es

1 2 2 ,1 2 ,10E B BW W W q V q V (4.35)

Debido a que el potencial de q1 en el punto B es ,1 1 0( / 4 )BV q r , donde r es la distancia medida desde q1

hasta B. entonces la energa potencial ser

1 212

04E

q qU W

r (4.36)

Si ahora aadimos una tercera carga al sistema tal como se muestra en la figura 4.8.4, el trabajo requerido es

3 3 ,1 ,2( )C CW q V V (4.37)

Figura 4.8.3. Traslado secuencial de cargas para ensamblar la configuracin de tres cargas.

En este caso el trabajo desarrollado por el agente para ensamblar dicha configuracin es

1 2 3 2 ,1 3 ,1 ,20 ( )E B C CW W W W q V q V V (4.38)

La energa potencial para esta configuracin es entones

1 2 1 23

0 12 0 13 0 234 4 4E

q q q qU W q

r r r

(4.39)

1 3 2 31 212 13 23

0 12 0 13 0 234 4 4

q q q qq qU U U U

r r r (4.40)

La ecuacin muestra que la energa potencial total es simplemente la suma de las contribuciones de distintos

pares. Generalizando para un sistema de N cargas, tenemos.


165

1 10

1

4

N Ni j

i j ijj i

q qU

r

(4.41)

Donde la limitacin j > 1 se utiliza para evitar la doble contabilidad de cada par. Alternativamente se puede

contar dos veces cada par y dividir el resultado entre dos. Esto conduce a

1 1 1 1 10 0

1 1 1 1

8 2 2 2

N N N N Ni j j

i i i

i j i j iij ijj i j i

q q qU q qV r

r r

(4.42)

Donde ( )iV r , es el potencial en la localizacin de qi debido a todas las dems cargas.

Ejemplo 4.10

Consideremos un cuadrado de lado a, con una carga en cada esquina +q y una carga q en el centro. Determine la energa electrosttica total del sistema de cinco cargas

Solucin

En la figura 4.8.4 se muestra la ubicacin de las carga

Figura 4.8.4. Ensamblaje del sistema de cinco cargas en un cuadrado.

Imaginemos que las cargas se traen una a una desde el infinito hasta dejarlas en su posicin final. Entonces el

trabajo realizado por un agente externo es

1 2 3 4 5

2 2,1 3 3,1 3,2 4 4,1 4,2 4,3 5 5,1 5,2 5,3 5,40 ( ) ( ) ( )

tot neto

tot

U W W W W W W

U q V q V V q V V V q V V V V

Determinando los potenciales y remplazando tenemos

3 31 1 2 1 2 1 2 42 3 4 5

2 2 2 / 2 2 / 2 2 / 2 2 / 2tot

kq kqkq kq kq kq kq kq kq kqU q q q q

a a a aa a a a a a

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 8 4 6 4 3 2

2 2 2

(3 2 4)

tot

tot

kq kq kq kq kq kq kq kqU

a a a a aa a a

kqU

a


166

4.8.3 Energa potencial de una distribucin contnua de carga.

Si en lugar de una distribucin de carga discreta tenemos una distribucin contnua de carga, podemos

generalizar la ecuacin (4.42), simplemente haciendo que la suma se extienda hasta el infinito en este caso

; ( ) ( )i iq dq y V r V r . Entonces se tiene

1 1( ) ( ) ( )

2 2v v

U V r dq r V r dv (4.43)

Donde ( )r , es la densidad de carga por unidad de volumen; V(r) es el potencial y dv es el diferencial de volumen.

En el caso de una distribucin lineal o superficial de carga, la integral se convierte de acuerdo a la distribucin.

Debido a que la integral es sobre la distribucin de carga, esta puede ser extendida a todo el espacio mediante la

definicin de la densidad de carga nula fuera de la distribucin, tal que la contribucin a la integral es la debida

solamente a la regin del espacio donde existe carga.

1( ) ( )

2 todoelespacioU r V r dv (4.44)

De la forma diferencial de la ley de Gauss tenemos . = 0 , entonces tenemos

0 ( . ) ( )2 todoelespacio

U E V r dv

r r

(4.45)

Usando el vector intensidad

2

.( ) . . . .( ) .

. .( )

VE V E E V V E VE E V

V E VE E

r r r r r r r r r r

r r r r r

Donde se ha remplazado = . Entonces la energa se escribe

20 0.( )

2 2todoelespacio todoelespacioU VE dv E dv

r r r (4.47)

Podemos expandir las fronteras de la superficie S1 a S2 debido a que en la regin comprendida entre S1 y S2 no

existe carga y como tal su contribucin a la integral de la ecuacin (4.43) es nula. Sin embargo, el campo

elctrico en esta regin no es cero. As si observamos la ecuacin (4.47) el volumen se incrementa conforme S2

es mucho mayor.

Entonces podemos tomar la superficie a distancias infinitas donde el campo elctrico es cero. Como resultado el

primer trmino de la ecuacin (4.47) se desprecia, es decir

20

2 todoelespacioU E dv

r (4.48)

Figura 4.8.4. La superficie S1 encierra la distribucin de carga y la regin comprendida entre S1 y S2 no existe

cargas.


167

4.9 CAMPOS ELECTRICOS A PARTIR DE POTENCIALES.

La ecuacin 4.13, establece la relacin entre el campo elctrico y la diferencia de potencial mediante la ecuacin

.B

AV E ds , con esta ecuacin se puede determinar la diferencia de potencial si es que se conoce el campo

elctrico. Sin embargo, dicha ecuacin tambin se puede utilizar para determinar el campo elctrico a partir de

potenciales, para esto consideremos que el punto A es muy cercano a B, de tal manera que la diferencia de

potencial ser

.dV E ds r r

(4.49)

Ecuacin que nos da el potencial para un desplazamiento . Por otro lado, debido a que el potencial es un campo escalar, entonces depende de las coordenadas, es decir (, , ). En consecuencia si se considera a dV como el cambio de potencial al pasar de un punto de coordenadas (, , ) a otro muy cercano ( + , + , + ). Entonces se tiene

V V VdV dx dy dz

x y z

(4.50)

Por otro lado el campo elctrico y el desplazamiento se escriben

x y zE E i E j E k

ds dxi dyj dzk

rr r r

rr rr (4.51)

Y el producto escalar de ambos es

. x y zE ds E dx E dy E dz r r

(4.52)

Al remplazar la ecuacin (4.50) y (4.52) en la ecuacin (4.49)

x y z

V V Vdx dy dz E dx E dy E dz

x y z

Por lo tanto las componentes del campo elctrico son

x y zV V V

E E Ex y z

(4.53)

Al remplazar estas componentes en el campo elctrico se tiene

V V VE i j k

x y z

E i j k Vx y z

E V

rr r r

rr r r

r r

(4.54)

Siguiendo la misma secuencia se puede encontrar las componentes radial y transversal, esto es

1; r

V VE E

r r

(4.55)


168

Ejemplo 4.11

El potencial elctrico en un punto en el plano xy est dado por = [22 32]/2. Determine la expresin vectorial del campo elctrico en el punto (3,0 , 2,0 ).

Solucin

Las componentes del campo elctrico son

2 2

2 2

2 34

2 36

x

y

x yVE x

x x

x yVE y

y y

La expresin vectorial ser

4 6x yE E i E j x i y j r

El campo en el punto (3 m, 2 m) ser

4(3) 6(2) ( 12 12 ) /E i j i j volt m r

Ejemplo 4.12

Un campo elctrico est dado por la expresin 3E bx i , donde b= 2,00 kV/m4. Determine la diferencia de

potencial entre el punto en x = 1,00 m y el punto x = 2,00 m. Cul de estos puntos est a un potencial ms

alto?.

Solucin

Debido a que V(x) y Ex y estn relacionados mediante la ecuacin /E V x , se puede encontrar V a partir de E mediante integracin

3

x

VE bx

x

Debido a que el campo solo depende de x, entonces la derivada parcial se convierte en ordinaria y se procede a

separar variables e integrar. Es decir,

3

23

1

24 3 4

4 4 4

1

2.10 /2 1 (15 )

4 4 4

7500

B m

A m

m

B A

m

B A

dV bx dx

dV b x dx

x b V mV V b m

V V volt

El punto que est a mayor potencial es A (x = 1 m)

Ejemplo 4.13

El campo elctrico en el interior de una esfera no conductora de radio R con carga distribuida uniformemente a

travs de su volumen, est radialmente dirigido y tiene una magnitud de 3( ) ( / )E r kqr R . Donde q (positiva o


169

negativa) es la carga total dentro de la esfera y r es la distancia medida desde el centro de la esfera. (a)

Considerando V= 0 en el centro de la esfera, determine el potencial elctrico V(r) dentro de la esfera, (b) Cul

es la diferencia de potencial entre un punto sobre la superficie y el centro de la esfera?. (c) Si q es positiva, cul

de stos dos puntos est a un mayor potencial?.

Solucin

Parte (a) En este caso debido a que el campo elctrico solo depende de r, podemos utilizar la ecuacin

/rE V r , entonces se tiene

3

04r

qrdV E dr dr

R

Teniendo en cuenta que V0 = 0, en r = 0 (punto de referencia, el potencial para cualquier punto r dentro de la

esfera ser V(r) se obtiene integrando la ecuacin anterior

030 0

0

2 2

3 3

0 00

2

3

0

4

( ) 04 2 8

( )8

V r r

V

r

qdV rdr

R

q r qrV r

R R

qrV r

R

Parte (b). Usando el resultado de la parte (a), la diferencia de potencial entre un punto en la superficie y el centro

de la esfera es

2 2

3 3

0 0

2

3

0

(0)( ) (0)

8 8

( ) (0)8

qR qV r V

R R

qRV r V

R

Parte (c). Para cuando la carga q es positiva, la respuesta a la parte (b) es un nmero negativo. Por lo tanto el

centro de la esfera est a un mayor potencial.

Ejemplo 4.14

Una carga q es distribuida uniformemente a travs de un volumen esfrico de radio R. (a) Asumiendo que V = 0

en el infinito, muestre que el potencial a una distancia r del centro, donde r < R, est dado por 2 2 3

0(3 ) /8V q R r R . (b) Por qu este resultado difiere de aquel encontrado en el ejemplo 4.13?. (c) Cul

es la diferencia de potencial entre un punto en la superficie y el centro de la esfera?. (d) Por qu este resultado

difiere de aquel encontrado en el ejemplo previo?.

Solucin

Parte (a) Se determina primero el campo en el exterior e interior de la esfera:

Campo para > . Aplicando la ley de Gauss tenemos

2

0 0

,

. (4 )encS G

E ndA Q E r q r r

2

04

qE

r


170

Figura 4.9.1 Superficies gaussianas para r > R y para r < R, utilizadas para determinar

Campo para < . Aplicado la ley de Gauss tenemos

0

,

2 2 3

00 0

.

4(4 ) 4

3

enc

S G

r r

E ndA Q

E r dV r dr r

r r

Teniendo en cuenta que 33 / 4q r , se tiene

2 303

3

0

44

43

3

4

qE r r

R

qrE

R

Potencial para puntos exteriores (r > R). Debido a que el campo solo depende de r, se usa la ecuacin

2

04r

qdV E dr dr

r

( )

200 0 0

0

1 1 1( ) 0

4 4 4

( )4

rV r r

V

q dr q qdV V r

r r r

qV r

r

Potencial para puntos interiores (r < R). Debido a que el campo solo depende de r, se usa la ecuacin

Figura 4.9.2 Determinacin de la diferencia de potencial para puntos interiores

3

04r

qrdV E dr dr

R

( )

3( )04

V r r

V R R

qdV rdr

R


171

2 2 2

3 3

0 0

2 22 2

3

0 0 0

2 2

3

0

( ) ( )4 2 4 2 2

( ) ( )4 2 2 4 8

(3 )( )

8

r

R

q r q r RV r V R

R R

q r R q qV r V R R r

R R

q R rV r

R

Parte (b). La diferencia entre este resultado y aquel obtenido en el ejemplo previo es debido a los diferentes

puntos de referencia utilizados. Aqu no existe problema alguno ya que solamente las diferencias de potencial

tienen importancia fsica.

Parte (c). Las diferencias de potencial entre un punto en la superficie y el centro, es

2 2

3

0 0 0 0

0

(3 0 ) 3( ) (0)

4 8 4 8

( ) (0)8

q q R q qV R V

R R R R

qV R V

R

El resultado es el mismo que aquel obtenido en el ejemplo anterior

Parte (d). Las diferencias en el potencial elctrico no dependen en realidad del punto de referencia escogido, la

respuesta podra ser la misma que el ejemplo anterior. Si el potencial es calculado correctamente.

4.10 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.

Consideremos una carga puntual +q fija en la posicin mostrada en la figura 4.10.1a, cuyas lneas de campo

elctrico son radiales y salientes. Procedamos a determinar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B

ubicados sobre la circunferencia de radio r

(a) (b)

Figura 4.10.1. Cuando se mueve q0 de A a B a lo largo de la circunferencia la diferencia de potencial entre estos

puntos es nula.

El trabajo hecho por el campo elctrico cuando se mueve la caga testigo desde A hasta B, es

0

0 0. . cos90

0

B B

A B eA A

A B

W F ds q E ds q E ds

W

r rr r


172

La variacin de energa potencial desde A hasta B ser

0A BU W

Sabemos adems que la variacin de potencial (diferencia de potencial es la variacin de energa potencial por

unidad de carga. Por tanto se tiene

0 0

00B A

UV V V

q q

B AV V (4.56)

La ecuacin (4.56) indica que la diferencia de potencial entre dos puntos que estn sobre una circunferencia

concntrica a la carga +q es cero; es decir los puntos A y B estn al mismo potencial. Por lo tanto, todos los

puntos sobre esta circunferencia se encuentran al mismo potencial. Es a esta circunferencia que se le denomina

lnea equipotencial. En general, cuando no se realiza trabajo para mover una carga de prueba lentamente de un

lugar a otro sobre una superficie como lo es la trayectoria I de la figura 4.10.1b, se dice que todos los puntos de

dicha superficie estn al mismo potencial y a una superficie como esta se denomina superficie equipotencial.

En la figura 4.10.2a se muestra las lneas equipotenciales de una carga puntual y en la figura 4.10.2b se

muestran dos superficies equipotenciales para una carga puntual +q.

(a) (b)

Figura 4.10.2. (a) Lneas equipotenciales y lneas de fuerza para una carga puntual q. (b) superficies equipotenciales

para la carga q.

En la figura 4.10.3a se muestra las lneas equipotenciales (lneas de color verde) en la regin comprendida entre

dos placas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos y en la figura 4.10.2b se muestran dos superficies

equipotenciales para la misma configuracin

(a) (b)

Figura 4.10.3. (a) Lneas equipotenciales y lneas de fuerza para dos planos paralelos cargados. (b) superficies

equipotenciales para la distribucin de planos paralelos


173

En la figura 4.10.4a se muestra las lneas equipotenciales (lneas de color naranja) en la regin comprendida

entre dos cargas puntuales de igual valor pero diferente signo (dipolo) y en la figura 4.10.4b se muestran dos

superficies equipotenciales dos cargas puntuales de igual valor y signo.

Las propiedades de las superficies equipotenciales pueden resumirse como sigue.

a. Las lneas de campo elctrico son perpendiculares a las equipotenciales b. Por simetra, las superficies equipotenciales producidas por cargas puntuales son una familia de esferas

concntricas, y para campos elctricos uniformes, una familia de planos perpendiculares a las lneas de

campo.

c. La componente tangencial del campo elctrico a lo largo de la superficie equipotencial es cero, por otra parte ningn trabajo puede hacerse para mover una carga de un punto a otro en una superficie.

(a) (b)

Figura 4.10.1. (a) Superficies equipotenciales y lneas de fuerza para un dipolo. (b) superficies

equipotenciales y lneas de campo para dos cargas iguales

Un uso anlogo a las curvas equipotenciales son los mapas topogrficos (figura 4.10.5) utilizados por los

alpinistas y excursionistas. En un mapa topogrfico se trazan curvas de nivel que pasan por los puntos que

tienen una misma elevacin. Cada lnea de contorno matemticamente se expresa como = (, ) =. Debido a que el potencial gravitacional cerca a la superficie terrestre es = , estas curvas corresponden a equipotenciales gravitacionales.

Figura 4.10.5. Mapas topogrficos de un volcn


174

4.11 EQUIPOTENCIALES Y CONDUCTORES.

En el captulo anterior, usando la ley de Gauss se demostr que cuando se alcanza el equilibrio electrosttico

permanente, una carga adicional que se coloque en un conductor aislado se mover a la superficie exterior.

Podemos asegurar que la carga q se distribuir en esta superficie de tal manera que todos los puntos del

conductor, incluyendo los de la superficie y los interiores tienen el mismo potencial. Por lo tanto, el campo

elctrico E es siempre perpendicular a la superficie del conductor (figura 4.11.1).

Por otro lado, si un conductor contiene una cavidad y no existe carga en el interior de sta, entonces no puede

haber carga neta en ninguna parte de la superficie de la cavidad. Esto significa que si una persona est en el

interior de una caja conductora con carga (figura 4.11.1b), puede tocar sin peligro alguno cualquier punto de las

paredes interiores a la caja sin sufrir descarga. Demuestre este teorema!

Figura 4.10.1. (a) En equilibrio electrosttico las lneas de campo son perpendiculares a las superficies

equipotenciales. (b) Un hombre en el interior al tocar la caja metlica no experimenta descarga a

pesar que en la parte exterior existe una descarga intensa.

Finalmente, establecemos que la distribucin de carga en un conductor es proporcional al inverso del radio de

curvatura del conductor, esto es

1

R (4.57)

Donde es la densidad de carga superficial y R el radio de curvatura de la superficie en el punto en cuestin. Es decir, la carga tiende a acumularse en las partes ms aguzadas del conductor, en donde el radio de curvatura es

pequeo. Por otro lado, debido a que el campo elctrico es proporcional a la densidad de carga y por

consiguiente, es proporcional a (1/R). Por tanto puede alcanzar valores muy elevados cerca de las puntas aguzadas. Este hecho es utilizado en el diseo de dispositivos de alto voltaje. Puede adems ocurrir una descarga

corona en estos objetos si su potencial es muy alto.

Podemos entender este efecto considerando un conductor de forma no esfrica (figura 4.10.2b), la superficie de

este ser equipotencial, pero la densidad de carga y el campo justamente fuera del conductor varan de un punto

a otro. As por ejemplo en A la densidad de carga y el campo sern grandes mientras que en B estas cantidades

son mucho menores. Esto se entiende cualitativamente asumiendo que el extremo A es esfrico y B tiene un

radio de curvatura mayor. Por tanto, si es la densidad de carga, entonces el potencial ser

0

1

4

qV

r (4.58)


175

(a) (b)

Figura 4.10.2 (a) En el conductor de forma arbitraria las cargas se concentran en aquella zona donde el radio de

curvatura es menor, (b) El campo es ms intenso en las zonas de menor radio de curvatura

Pero la densidad de carga est relacionada con el radio y la carga mediante = 42. Entonces al remplazar este valor en el potencial se tiene

2

0 0

1 4

4

r rV

r

0V

r

(4.59)

Debido a que ambas esferas estn al mismo potencial, la de menor radio tendr mayor densidad superficial de

carga. Y como el campo est dado por =

0, el campo es mucho mayor en los puntos sobre el conductor donde

el radio de curvatura es mnimo (vase la figura 4.10.2b).

Ejemplo 4.15

Cules son (a) la carga y (b) la densidad de carga sobre la superficie de un conductor de forma esfrica de radio

R = 20 cm el cual posee un potencial de 500 V (con V = 0 en el infinito)?

Solucin.

Parte a. Para determinar la carga en la superficie del conductor primero se determina el campo elctrico fuera

del conducto, posteriormente se determina el potencial en puntos exteriores r > R y despus el potencial en la

superficie de dicho conductor.

Campo para r > R. La figura 4.10.3 se muestra el conductor rodeada por la superficie gaussiana de radio r >R.

Figura 4.10.3 Superficie gaussiana para determinar E en puntos exteriores al conductor

Aplicando la ley de Gauss se tiene


176

2

0 0

,

2

0

. (4 )

4

enc

S G

E ndA Q E r q

qE

r

r r

Potencial para r > R. Debido a que el campo elctrico solo depende de r y teniendo en cuenta que () = 0, se tiene

2

0

200

4

4

r

V r r

V

qdV E dr dr

r

q drdV

r

0 0

0

1 1 1( ) 0

4 4

( )4

rq q

V rr r

qV r

r

El potencial en la superficie del conductor ser

04R

qV

R

Entonces la carga en la superficie ser

0

12 2 2

0

4

4 4 (8,85.10 / . )(0,20 )(500 )

11,12

R

R

qV

R

q RV C N m m V

q nC

Parte (b) La densidad de carga en la superficie es

2 2

2

11,12

4 4 (0,2 )

5,6 /

q q nC

A R m

nC m

Ejemplo 4.16

El potencial elctrico de una placa metlica aislada muy grande es 0. sta lleva una distribucin de carga uniforme sobre su superficie con una densidad (C/m2). Determine el potencial V a una distancia x de la placa. Considere que el punto x est lejos de los bordes y asumir que x es mucho menor que las dimensiones de las

placas.

Solucin

En la figura se muestra la placa cargada positivamente.


177

Figura 4.10.3 Aplicacin de la ley de Gauss a un plano conductor cargado

Aplicando la ley de Gauss a la superficie en forma de paraleleppedo y teniendo en cuenta que el flujo en una de

las caras es nulo por ests en el conductor, adems en las otras caras paralelas al campo electico tampoco existe

flujo y slo hay flujo en la cara situada a una distancia x del plano, se tiene:

0 0,

0 0

. ( ).( )enc encxS G

x x

Q QE ndA E i dAi

AE A E

r r rr

El potencial a una distancia x se obtiene a partir de la ecuacin =

, esto es

0

0

00

0 0

0

0

x

V x

V

dV E dx dx

dV dx V V x

V V x


178

Problema 01

Una lmina no conductora infinita tiene una densidad

de carga 225 /nC m sobre un lado. Qu distancia

se encuentran separadas dos superficies equipotenciales

cuyos potenciales difieren en 25 V.

Solucin.

En la figura se muestra la lmina y las dos superficies

equipotenciales

Despreciando el efecto de los bordes y considerando

que la intensidad del campo elctrico para un plano

infinito es uniforme y est dado por 0

( / 2 )E i .

Entonces la diferencia de potencial ser

0

. .( )2

dV E ds i dxi

r r rr

0

0 0

0

2

( )2 2

2

B

A

B x

A x

B A B A

A B

dV dx

V V V x x x

V V x

Entonces la separacin entre las equipotenciales es

12 2 2

0

9 2

3

2 ( ) 2(8,85.10 / )(25 )

25.10 /

17,7.10

A BV V C Nm VxC m

x m

Problema 02

Una partcula tiene una masa de m1 = 3.10-3 kg y una

carga q1 =8,0 C. Una segunda partcula tiene una masa de m2 = 6.10-3 kg y la misma carga. Las dos partculas

estn inicialmente en reposo separadas cierta distancia y

entonces soltadas. Debido a la repulsin electrosttica

las partculas se separan, y cuando dicha separacin

entre ellas es de 10 cm, la velocidad de la partcula 1 es 125 m/s. Encuentre la separacin inicial entre las

partculas.

Solucin

La fuerza que acta sobre las dos partculas es la fuerza

elctrica y sta es conservativa. Por lo tanto, la energa

total (cintica ms potencial elctrica) se conserva

cuando las partculas se separan. En suma, la fuerza

externa neta que acta sobre el sistema de dos partculas

es nula (las fuerzas elctricas que se ejercen las

partculas entre s son fuerzas internas). As el momento

lineal del sistema tambin se conserva. Entonces

podemos utilizar la conservacin de la energa y la

conservacin del momento lineal para encontrar la

separacin inicial.

Aplicando la conservacin de energa se tiene

2 2 2 21 2 1 21 1, 2 2, 1 1, 2 2,

2

1 1 1 1

2 2 2 2

i f

i i f f

i

E E

kq q kq qm v m v m v m v

r r

Resolviendo esta ecuacin para determinar 11

y teniendo

en cuenta que v1,i = v2,i = 0, se tiene

2 2

1 1, 2 2,

1 2

1 1 1 1 1

2 2f f

i f

m v m vr r kq q

(a)

Aplicando la conservacin del momento lineal para

encontrar la relacin entre las velocidades finales se

tiene

1 1, 2 2, 1 1, 2 2,

1 1, 2 2,

3

12, 1, 3

2

0

3.10(125 / )

6.10

i fsistema sistema

i i f f

f f

f f

p p

m v m v m v m v

m v m v

m kgv v m s

m kg

2, 62,5 /fv m s (b)

Remplazando (b) en (a) y simplificando se tiene

2 23 32

9 6

1 1 1 1 13.10 125 3.10 62,5

0,1 2 29.10 8.10ir

2

1 1,41.10r m

Problema 03

El potencial elctrico en la superficie de una esfera

uniformemente cargada es 450 V. En un punto fuera de

la esfera a una distancia radial de 20 cm desde su


179

superficie, el potencial elctrico es 150 V. Asumiendo

que el potencial para puntos muy alejados de la esfera

es cero. Cul es el radio de la esfera, y cul es la carga

de la esfera?.

Solucin

Sea R el radio de la esfera y Q su carga. Podemos

expresar el potencial de las dos ubicaciones dadas y

resolver las ecuaciones simultneamente para

determinar R y Q

El potencial en la superficie de la esfera es

450RkQ

V VR

(a)

El potencial a una distancia de 20 cm de la superficie

ser

1500,20

r

kQ kQV V

R R m

(b)

Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se tiene

450

150

0,20

10

kQVR

kQ V

R m

R cm

Al remplazar este valor en (a) se tiene

9 2 2

450 (0,10 )5

9.10 . /

V mQ nC

N m C

Problema 04

Encuentre el cambio en la energa potencial elctrica

cuando dos protones inicialmente separados 0,100 nm

se apartan hasta estar completamente separados.

Solucin

Asumimos que un protn esta fijo y el otro se va a

mover en el campo del primer protn

El cambio en la energa potencial elctrica est dado por

2

2

2

2 9 2 2 19 2

9

0

18

. .( )

1

9.10 . / (1,6.10 )

4 0,1.10

2,3.10

PP P

R R

P PR

R

P

kqU q E ds q i dri

r

drU kq kq

r r

q N m C CU

R

U J

r r rr

Note que ( ) ( )U U U r . Es habitual considerar

( ) 0U de tal manera que podemos decir que la

energa potencial de los protones fue 18( ) 2,3.10U R J . Estos protones originalmente

tienen una alta energa potencial por ello ellos tienden a

separarse cuando se les da la oportunidad.

Problema 05

Una gota esfrica de agua lleva una carga de 30 tiene un potencial de 500 V en su superficie (con V = 0

en el infinito). (a) Cul es el radio de la gota?. Si dos

gotas con la misma carga y radios iguales se combinan

para formar una sola gota, Cul el potencial de la

superficie de la nueva gota?.

Solucin

(a) Consideremos a la gota como un conductor, de tal manera que el potencial est dado por

9 129.10 (30.10 )

500

54

kQ kQV R

R V

R mm

(b) Cuando se combinan dos gotas, la gota nueva tiene otro radio, el mismo que se determina a

partir de la conservacin de la masa

0

3 3

1

1

2

4 42

3 3

2 54 2 76,37

M m

R R

R R mm

El potencial de la nueva gota ser

0

3 3

1

1/3

1

2

4 42

3 3

(2 )

M m

R R

R R


180

11 01/3 1/3

1

1 1/3

1

(2 ) 2

(2 ) (2 )

2(500 )

(2 )

793,7

kQ k qV V

R R

V V

V V

Problema 06

Encuentre la diferencia de potencial entre la parte

superior (P) y el centro de la base (O) de un cono de

radio a y altura a, el cual lleva una densidad de carga sobre el rea lateral.

Solucin

Debido a la geometra el ngulo del cono es 45. Para

encontrar el potencial primero dividamos a la superficie

lateral en rebanadas de radio x a una profundidad z

(desde el vrtice del cono). Por ser el ngulo de 45 el

radio x es igual a la altura z. La longitud del elemento

diferencial a lo largo de la pendiente es 2dS dz y el area del pequeo elemento diferencial es

2 ( 2 )dA z dz . Por lo tanto la contribucin del

elemento diferencial al potencial es

2 2

(2 2 )

( )

k zdzdV

z a z

La diferencia de potencial entre los puntos P y O se

determina integrando la ecuacin anterior, es decir

2 200

0

2 2

4 ( )

2ln

2 2

o

P

V z a

V z

O P

zdzdV

z a z

a a aV V

a a

Problema 07

El potencial elctrico (V) como una funcin de la

distancia es graficado en la figura. Determine la

magnitud del campo elctrico en las regiones (a) A a B;

(b) B a C y (c) C a D.

Solucin

El campo elctrico entre puntos en el espacio es

proporcional a la diferencia de potencial entre puntos

dividida por la distancia entre ellos. Esto es

VE

x

Parte (a). Campo entre A y B

1

5,0 50 /

0,2 0,0

V V VE V m

x m m

Parte (b). Campo entre B y C

2

3,0 5,010 /

0,4 0,2

V V VE V m

x m m

Parte (b). Campo entre B y C

3

1,0 3,05 /

0,8 0,4

V V VE V m

x m m

Problema 08

Un campo elctrico uniforme de magnitud 325 V/m est

dirigido en direccin negativa de las y como se muestra

en la figura. Las coordenadas del punto A son

(- 0,2 m; -0,3 m) y las coordenadas del punto B es

(0,4 m; 0,5 m). Determine la diferencia de potencial: (a)

utilizando la trayectoria ACB, (b) utilizando la

trayectoria recta AB y (c) Cul punto est a mayor

potencial?.


181

Solucin

Parte (a) Diferencia de potencial para el trayecto ACB

. .

( ).( ) ( ).( )

( ) 0

(325 / )(0,8 ) 260

B C B

A A C

C B

B AA C

B A C A

B A

dV E ds E ds

V V Ej dsj Ej dsi

V V E s s

V V N C m V

r rr r

r r r r

Parte (b) Diferencia de potencial para el trayecto AB

.

( ).( )

( )

(325 / )(0,8 ) 260

B B

A A

B

B AA

B

B A B AA

B A

dV E ds

V V Ej dxi dyj

V V E dy E y y

V V N C m V

r r

r r r

Problema 09

Con una barra plstico se ha formado un aro de radio R.

ste tiene una carga +Q distribuida uniformemente a lo

largo de un cuarto de circunferencia y una carga

negativa -6Q ha sido distribuida a lo largo del resto del

anillo. Considerando a V = 0 en el infinito, determine el

potencial elctrico: (a) en el centro del anillo y (b) en

un punto O, el cual est sobre el eje del anillo a una

distancia z del centro.

Solucin

Parte (b). Debido a que la parte (a) es un caso particular

de (b) entonces comenzamos con la ltima para ello

dividimos a la distribucin en elementos de carga dq de

longitud ds, entonces el potencial ser

2 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

ds dsdqdV k k k

r r r

R d R ddV k k

R z R z

r r r

El campo total se obtiene integrando la ecuacin

anterior, esto es

/ 2 2

2 2 2 20 / 2

0 0

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

2 2 2 2

0 0

2 2

0

4 4

2( )22

4 4

3( )

2 24 4

6

32 / 4 6 / 4( )

2 24 4

4

R RV d d

R z R z

RR

VR z R z

R RV

R z R z

Q QR R

R RV

R z R z

QV

R z

2 2

0

6

4

Q

R z

2 2

0

5

4

QV

R z

Parte (a). El potencial en el centro del anillo ser

2 2 2 2

0 0

0

5 5

4 4 0

5

4o

Q QV

R z R

QV

R

Problema 10

Un disco de radio R tiene una densidad de carga

superficial dada por = 0 . Donde 0 es una constante y r es la distancia desde el centro del disco.

Encuentre: (a) la carga total sobre el disco. (b) una

expresin para el potencial elctrico a una distancia x

desde el centro del disco sobre el eje que pase a travs

del centro del disco y es perpendicular a su plano.

Solucin

Podemos encontrar Q mediante integracin de la carga

sobre un anillo de radio r y espesor dr desde r = 0 hasta

r = R y el potencial en el eje del disco mediante

integracin de la expresin del potencial en el eje de un

anillo de carga entre los mismos lmites.


182

Parte (a). La expresin para la carga de un anillo de

radio r y espesor dr est dada por

0

0

(2 )

(2 )

2

dq dA rdr

Rdq rdr

r

dq Rdr

La carga total del anillo se obtiene integrando la

expresin anterior, esto es

00

2

0

2

2

R

Q dq R dr

Q R

El potencial producido por dq en el punto P es

0

2 2

2 RdrdqdV k k

r r x

r

El potencial neto en P se obtiene integrando la ecuacin

anterior

2 2

0

0

ln2

R R R xV

x

Problema 11

Las tres placas conductoras mostradas en la figura,

estn cada una separadas por una distancia b. Si las

cargas sobre las dos placas extremas son como se muestra en la figura. Determine la diferencia de

potencial entre las placas extremas

Solucin

Debido a que las placas son conductoras en la placa CD

se inducen cargas en el lado B y + en el lado C.

Adems usando la ley de Gauss se determina el campo

entre las lminas AB y CD, esto es

0

0 0

. enc

SG

QE ndA

AE A E

r r

La diferencia de potencial entre A y B es

0 0

. ( ).( )

( )

B B B

A A A

B A B A

dV E ds Ei dxi

V V x x d

r r rr

(1)

La diferencia de potencial entre C y D es

0 0

. ( ).( )

( )

D D D

C C C

D C D C

dV E ds Ei dxi

V V x x d

r r rr

Debido a que la placa central es conductora, el campo

en su interior es cero y como tal todos los puntos estn

al mismo potencial por tanto = . Entonces se tiene

0

D BV V d

(2)

Sumando las ecuaciones se tiene

0 0

0

2

D A

D A

V V d d

V V d

Problema 12

Una pequea esfera de 3,2 g de masa cuelga de un hilo

de seda entre dos placas conductoras paralelas verticales

separadas 5 cm. La carga en la esfera es 5,8 C. Qu


183

diferencia de potencial entre las placas har que el hilo

forme un ngulo de = 30 con la vertical.

Solucin

Debido a que la carga +q se desva hacia la derecha,

entonces el campo electico entre las placas debe estar

dirigido hacia la derecha, por ello la placa izquierda es

positiva y la derecha negativa. Entonces la diferencia de

potencial ser

. ( ).( )B B B

A A A

B A

dV E ds Ei dxi

V V Ed

r r rr

A BV V Ed (a)

En la figura Se muestra el DCL de la carga, sobre ella

actan el Peso (mg); la tensin en el hilo (T) y la fuerza

elctrica debido al campo ( eF qE ).

Aplicando las ecuaciones de equilibrio segn los ejes

mostrados se tiene

00 cos30xF T mg

0cos30

mgT (b)

00 30xF qE Tsen (c)

Remplazando (b) en (c) se tiene

030qE mgtg (d)

Remplazando la ecuacin (a) en (d), resulta

0

0 3 2 0

6

30

30 3,2,10 (9,8)(5.10 ) 30

5,8.10

156

Vq mgtg

d

mgdtg tgV

q

V V

Problema 13

Se tiene dos anillos finos de alambre de radio R, cuyos

ejes coinciden. Sus cargas son iguales a q y q. Determine la diferencia de potencial entre sus centros,

siendo la distancia entre ellos igual a d.

Solucin

En la figura se muestra a ambos anillos

En el ejemplo se demostr que el potencial para un

anillo en puntos sobre su eje es

2 2

kqV

R z

El potencial en el punto O es la suma de los potenciales del anillo +q y del anillo q. es decir

' , ' , '

'2 2

O q O q O

O

V V V

kq kqV

RR z

El potencial en el punto O es la suma de los potenciales

del anillo +q y del anillo q. es decir

, ,O q O q OV V V

2 2O

kq kqV

R R z

La diferencia de potencial entre sus centros ser.


184

'2 2 2 2

'2 2 2 2

0 0

'2 2

0

2 2 2 2

4 4

1 1[ ]

2

O O

O O

O O

kq kq kq kqV V

R RR z R z

kq kq q qV V

R RR z R z

qV V

R R z

Problema 14

Se tiene un hilo recto y muy largo, cargado con una

densidad lineal de carga 0,40 /C m . Determine la

diferencia de potencial en los puntos A y B si el punto

B dista 2,0 veces ms del hilo, que el A.

Solucin

En la figura se muestra el hilo recto y muy largo

conjuntamente con una superficie gaussiana cilndrica

que permite evaluar el campo producido por el hilo

0 0,

0

. 2

2

enc

S G

Q LE ndA E rL

Er

r r

Como el campo solo depende de la distancia r al

alambre, la diferencia de potencial entre los puntos A y

B ser

0

0

2

2

B

A

B r

A r

dV Edr drr

drdV

r

0 0

ln ln2 2

B AB A

A A

r rV V

r r

0

ln2

A BV V

Remplazando valores se tiene

6

12 2 2

0,40.10ln 2

2 (8,85.10 / . )

5,0

A B

A B

CV V

C N m

V V kV

Problema 15

Halle el potencial elctrico en el centro de una

semiesfera de radio R, cargada con una densidad

superficial de carga

Solucin

Para determinar el potencial de la distribucin de carga

en O, se divide a sta en anillos de radio y con un

espesor = como se muestra en la figura

El potencial del elemento diferencial ser

0 0 0

0

(2 ) ( cos )( )

4 4 2

cos2

dq yds R RddV

R R R

RdV d

El potencial neto en el punto O se obtiene integrando la

expresin anterior

/ 2 / 2

000 0

0

cos2 2

2

R RV d sen

RV

Problema 16

Dos hilos finos y paralelos que distan l se cargan

uniformemente hasta la densidad lineal y . Determine el potencial elctrico a la distancia r >> l

bajo un ngulo al vector p como se muestra en la

figura.


185

Solucin.

En la figura se muestra el punto P donde se halla V

En el problema N 10 se ha demostrado que el potencial

para un alambre infinito est dado por

2 lnr

V ka

Donde el potencial cero se considera en un punto de

referencia = .

El potencial debido al alambre que transporta una

densidad +, ser

2 lna

V kr

El potencial debido al alambre que transporta una

densidad -, ser

2 lna

V kr

El potencial total en el punto P ser

2 ln 2 ln

2 ln ln 2 ln

a aV V V k k

r r

rV k r r k

r

Haciendo uso de la ley de cosenos se tiene

2

2 2

2

2 2

2 cos2 2

2 cos2 2

l lr r r

l lr r r

El potencial se escribe ahora en la forma

2

2

2

2

2 cos2 2

2 ln

2 cos2 2

l lr r

V kl l

r r

1/ 22

2

1/ 22

2

1 cos4

2 ln

1 cos4

l l

r rV k

l l

r r

Teniendo en cuenta que para r >> l, 2

42 0, se tiene

1/ 2 1/ 2

2 ln 1 cos ln 1 cosl l

V kr r

ln 1 cos ln 1 cosl l

V kr r

Usando la relacin

2 3

ln(1 ) ..........2 3

z zz z

2

ln 1 cos cos cos .....

ln 1 cos cos

l l l

r r r

l l

r r

Remplazando este desarrollo en la ecuacin para el

potencial total se tiene.

0

2cos cos cos

cos2

l l k lV k

r r r

lV

r

Problema 17

Dos anillos coaxiales finos de alambre de radios R cada

uno se encuentran a una pequea distancia l uno de otro


186

(l >l, entonces

2

2 24( )

l

x R , se tiene

1/ 2 1/ 2

2 2 2 2 2 2

1/ 22 2 3/ 2

2

2 2

1 1( )

( )1 ( )

lx lx

kQ x R x R x RV

x R lx

x R

Usando el binomio de newton tenemos

2 2 2 2 2 2

1/ 22 2 3/ 2

2

2 2

1 11 ( ) ... 1 ( ) ...

( ) 2 2

( )1 ( )

lx lx

kQ x R x R x RV

x R lx

x R

Simplificando resulta

2 2 2 2 2 2

1/ 22 2 3/ 2

2

2 2

2 2 3/ 2

0

1 1( ) ( )

( ) 2 2

( )1 ( )

4 ( )

lx lx

kQ x R x R x RVx R lx

x R

ql xV

x R

Problema 18

Una carga lineal uniforme = 1 / est arreglada en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se

muestra en la figura. Determine: (a) El potencial en el

punto (0, 0, 5 ) (b) en el centro del cuadrado; (c) el trabajo necesario para trasladar una carga de 600 desde el punto P hasta el centro del cuadrado.

Solucin

Parte (a) El potencial en el punto P debido al elemento

diferencial de carga dq = dx es

2 234 34

kdq k dxdV

x x

El potencial debido a este lado del cuadrado ser la

suma (integracin) del potencial diferencial

3

23 34

8,89

P

p

dxV k

x

V V

El potencial debido al cuadrado completo en P ser

, 4 4(8,89 ) 35,56tot P PV V V V


187

Parte (b) El potencial en el punto O debido a un lado es

3

23 9

15,84

O

O

dxV k

x

V V

El potencial debido al cuadrado completo en O ser

, 4 4(15,84 ) 63,36tot O PV V V V

Parte (c) El trabajo es

, ,

6

3

( )

600.10 (63,36 35,56)

16,68.10

P O movil tot O tot P

P O

P O

W q V V

W

W J

Problema 19

Un anillo cargado uniformemente con una carga total de

100 C y un radio de 10 cm yace en el plano xy con su centro en el origen. Una regla de metro tiene una carga

puntual de 10 C en el extremo marcado con el O y una carga puntual de 20 C en el extremo marcado con 100 cm. Qu trabajo hay que realizara para transportar

la regla de metro desde una distancia muy grande hasta

una posicin a lo largo del eje z con el extremo marcado

con O en z = 0,2 m y el otro extremo en z = 1,2 m.

Solucin

En la figura se muestra al anillo y a la regla con las

cargas puntuales en su posicin final.

El trabajo realizado para traer la regla con las cargas

desde un punto muy alejado y colocarlo en dicha

configuracin es

1 22 2 2 2

9 6 6 9 6 6

2 2 2 2

0,1 0,2 0,1 1,2

9.10 (10.10 )(100.10 ) 9.10 (20.10 )(100.10 )

0,1 0,2 0,1 1,2

55,19

anillo anilloP mov P

P

P

kq kqW q V q q

W

W J

Problema 20

Una carga lineal de longitud L (m) y densidad de carga

uniforme C/m, est situada paralelamente a una lmina infinita la que lleva una densidad superficial C/m2, tal como se indica en la figura. Determine el

trabajo necesario para girar la carga lineal un ngulo de

90 hasta situarla sobre el eje z

Solucin

Se ha demostrado que el campo elctrico para una

distribucin plana infinita es

02nE e

r r

El potencial elctrico ser

1

0 0

0

0

0

. ( ).( )2 2

2

( )2

2

f

i

V z

V z

f i i

dV E ds k dzk dz

dV dz

V V z z

V cte z

r rr r

El trabajo del campo elctrico para traslada el elemento

de carga = desde el punto inicial al final, est dado por la ecuacin

( )i f i fdW dq V V

Al girar la carga lineal, el elemento de carga = situado a una distancia y del origen, pasa del potencial

= () al potencial 2 = () = ( + )


188

0

00

2

0

( )2

2

4

i f i f

a

i f

i f

dW V V dy ydy

W ydy

aW

Problema 21

Una distribucin de carga con simetra esfrica cuya

densidad est dada por () = C/m3 para , y () = 0 para , siendo k una constante. La carga total contenida en la esfera de radio R es Q. Determine:

(a) el valor d la constante k en funcin de Q y R; (b) la

intensidad de campo elctrico en puntos interiores y

exteriores de la esfera, y (c) el potencial en la superficie

V(R) y el potencial en el origen V(0).

Solucin

Parte (a). Se divide a la distribucin volumtrica en

elementos de carga en forma de cascaras esfricas de

radio r y espesor dr, entonces la carga de este elemento

diferencial ser

2 3

3

0

4

( ) (4 ) 4

4R

dq r dV Ar r dr Ar dr

Q A r dr

Q AR

Despejando el valor de la constante A se tiene

3

QA

R

Parte (b). Campo para puntos exteriores

La ley de Gauss nos da

2

0 0,

2

0

. (4 )

4

enc

S G

Q QE ndA E r

QE

r

r r

Campo para puntos interiores

La ley de Gauss nos da

42 3

00 0,

2

4

0

4

. (4 )

4

renc

S G

Q

Q RE ndA E r r dr

QrE

R

r r

Parte (c). Potencial para puntos exteriores

2

0

2

0 0

4

4 4

V r

V

QdV Edr dr

r

Q QdV r dr V

r

El potencial en la superficie es

0

( )4

QV R

R

Potencial para puntos interiores

2

4

0

2

4

0

3

4

0

3

3

0 0

3

3

0

4

4

4 3

1

4 4 3 3

412

R

V r

V R

r

R

R

QrdV Edr dr

R

QdV r dr

R

Q rV V

R

Q Q rV

R R R

Q rV

R R

El potencial en el centro de la esfera es (r = 0)

0

(0)3

QV

R


189

Problema 22

Una corteza conductora esfrica de radio interno b y

radio externo c rodea concntricamente una pequea

esfera metlica de radio a < b. La esfera metlica tiene

una carga positiva +Q mientras que la carga total de la

esfera conductora es -3Q. (a) Cul es el potencial de la

corteza esfrica?. (b) Cul es el potencial de la esfera

metlica?.

Solucin

En la figura se muestra al sistema

Se halla el campo elctrico usando la ley de Gauss

Campo para < <

2

0 0,

2

0

. (4 )

4

enc

S G

Q QE ndA E r

QE

r

r r

Campo para < <

2

0 0,

0

. (4 )

00

4

enc

S G

Q Q QE ndA E r

E

r r

Campo para >

2

0 0,

3. (4 )enc

S G

Q Q Q Q QE ndA E r

r r

2

0

2

4

QE

r

Potencial elctrico para puntos exteriores

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Chapter IV. Fisica III. Energia y Potencial Electrico 2011