Chi2 Curva Prob Dep Indp Condicional Binomial

ESTADÍSTICA Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

PROBABILIDADES

ESCUELA : INGENIERÍA QUÍMICA

AMBIENTAL

CATEDRÁTICO : Dr. Ms. PALACIOS VELÁSQUEZ

ABRAHAM

ALUMNA : TITO AVILA LIDA

UN INGENIERO QUÍMICO UNA EMPRESA

Semestre : III

Sección : “B”

HUANCAYO – PERÚ

2014

UNIVERSIDAD INNOVADORA

PROBABILIDADES

http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.uncp.edu.pe/botonpages/facultades/Metalurgica/imagenes/logoUNCP.gif&imgrefurl=http://www.uncp.edu.pe/botonpages/facultades/Metalurgica/portada.htm&usg=__QTKi06rBPwrjYjSAX_xW-sV15YM=&h=330&w=398&sz=8&hl=es&start=2&um=1&itbs=1&tbnid=_tbBJnAhLZ5jTM:&tbnh=103&tbnw=124&prev=/images?q=LOGOTIPO+DE+UNCP&um=1&hl=es&tbs=isch:1

2

ESTADÍSTICA Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS PROBABILIDADES

PROBABILIDAD CONDICIONAL

1. Se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 5 es 1/6 .Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número impar) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 5 ya no es 1/6. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número 2, si ya se sabe que ha salido un número par?

SOLUCIÓN:

P (B A ) Es la probabilidad de que salga el número 5 (suceso B) condicionada a que haya salido un número impar (suceso A).

P (B∩ A )Es la probabilidad de que salga el cinco y número impar.

P (A) Es la probabilidad a priori de que salga un número par.

Por lo tanto: P (B∩ A )=1/6P (A) =1/2

P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3 = 0.333La probabilidad de que salga el número 3, si ya sabemos que ha salido un número impar, es de 0.333.

2. En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10.

Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05.Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa.

SOLUCIÓN:P (B∩ A )= 0,05 P (A) = 0,25

P (B A )=P (B∩ A)P(A)

=0.050.25

=0.20=20%

La probabilidad de que la persona sufra problemas coronarios si esta obesa es de 0.20 o 20%.

3. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

SOLUCIÓN:

Eléctricos Mecánicos Chapa

3


Mañana 3 8 3 14Tarde 2 3 1 6

5 11 4 20

SUCESOS: A = {automóviles que acuden en mañana}, B= {autos con problemas eléctricos}

P (B∩ A )=3 P (B) = 5

P (A B )=P (B∩ A)P(B)

=35=0.6

La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda en la mañana es de 0.6.

4. Sean A y B dos eventos aleatorios con P(A) = 1/3, P (B) = 1/4, P(A∩B)= 1/5. Determinar:

P (B A ) Y P (A B )

SOLUCIÓN:

P (B A )=P (B∩ A)P(A)

=¿ 1/51/3

=3/5

P (A B )=P (A ∩B)P(B)

=¿ 1/51/4

=4 /5

5. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?

PALO COLOR TOTALROJO NEGRO

AS 2 2 4NO-AS 24 24 48TOTAL 26 26 52

SOLUCIÓN:

P (As Rojo )=(As∩Rojo)P(Rojo)

= 2/5226 /52

= 226

= 113

=0.0796

La probabilidad de que la carta sea un As sabiendo que es roja es de 0.0769

6. Consideremos la elección de un representante del alumnado teniendo en cuenta su procedencia y sexo. En la siguiente tabla se muestra la distribución del alumnado del centro de acuerdo a estas dos características.

4


Consideremos los eventos A= {ser de A}, B= {ser de B}, C= {ser chico}

Calcular la probabilidad de que la persona elegida sea chico teniendo en cuenta que es del pueblo B. Por tanto se pide P (B|C).

SOLUCIÓN:

P (B∩C )=32 P (C) = 40

P (BC )= P(B∩C)P (C)

=3240

=4 /5=0.8

La probabilidad de que la persona elegida sea chico y pertenezca al pueblo B es de 0.8.

7. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

GAFAS SIN GAFAS

HOMBRES 15 25 40

MUJERES 15 45 60

30 70 100

Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {varones que no usan gafas}, B= {alumnos(as) no usan gafas}

P (B∩ A )=25 P (B) = 70

P (A B )=P (B∩ A)P(B)

=2570

=5/14=0.357

Chico Chica TOTAL

Pueblo A 8 30 38

Pueblo B 32 30 62

TOTAL 40 60 100

5


La probabilidad de que el alumno seleccionado use gafas es de 0.357.

8. Un estuche contiene 3 lápices rojos y 2 negros. Si se sacan uno a uno 2 lápices sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que esos lápices sean negros?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {1° lápiz negro}, B= {2° lápiz negro}

P (A )=25 P (B) =

14

La probabilidad de sacar dos lápices negros es:

P (A )∗P (B )=

25∗1

4=110

=0.1o10%

La probabilidad de que los dos lápices sean negros es de 10%.

9. Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {no oye el despertador}, B= {no hace el examen}

P (B∩ A )=0.2∗0.5 P (B) = 0.8*0.1+0.2*0.5

P (A B )=P (B∩ A)P(B)

= 0.2∗0.50.8∗0.1+0.5∗0.2

=5/9=0.556

La probabilidad de que el alumno no haya oído el despertador es de 0.556.

10. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

SOLUCIÓN:

6


CABELLO

CASTAÑO

CABELLO

NO CASTAÑO

OJOS CASTAÑOS 15 10 25

OJOS NO CASTAÑOS 25 50 75

40 60 100

EVENTOS: A = {ojos castaños}, B= {cabello castaño}

P (B∩ A )=15 P (B) = 40

P (A B )=P (B∩ A)P(B)

=1540

=3 /8=0.375

La probabilidad de que la persona de cabellos castaños también tenga ojos castaños es de 0.375.

PROBABILIDAD COMPLEMENTARIA

11. Si la probabilidad de que un evento suceda es 0,47. Entonces la probabilidad de que

no suceda, dicho evento, es:

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {evento suceda}, B = {evento no suceda}

P(A)= 0.47

P (B)= 1- P(A) = 1- 0.47 = 0.53 o 53%

La probabilidad de que el evento A no suceda es de un 53%.

12. En un contenedor hay 1.000 ampolletas, de las cuáles 1/35 son defectuosas. Si

se saca una ampolleta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ampolleta no

defectuosa?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {ampolleta defectuosa}, B = {ampolleta no defectuosa}

7


P (A)= ( 135 )∗10001000

= 135

P (B)= 1- P (A) = 1- 1/35 = 34/35 o 97.14%

La probabilidad de que la ampolleta no este defectuosa es de un 97.14%.

13. Lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su

complementario, suceso (B), es que salga un número impar. Calcular la

probabilidad de que al lanzar el dado salga un número impar.

SOLUCIÓN:

P(A) = 3/6 = 0.5

P (B) = 1 – P(A) = 1 - 0.5 = 0.5

La probabilidad de que al lanzar el dado salga un número impar es de 0.5 o 50%.

14. Según un informe del tiempo, se pronostica para mañana una probabilidad de lluvia

de 0,4 y de 0,7 de que haga frío. Si ambos sucesos son independientes, ¿Cuál es la

probabilidad de que mañana NO llueva ni tampoco haga frío?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: F = {mañana llueve}, G = {mañana hace frío}

P (F)= 0.4

P (G)= 0.7

La probabilidad de que mañana no llueva ni haga frio es de:

P (FC∩GC )=P ¿

La probabilidad de que mañana no llueva ni haga frío es de un 18%.

15. Se lanza dos veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de no obtener dos caras?

SOLUCIÓN:

8


Cada lanzamiento es independiente del otro, por lo tanto las probabilidades de obtener

cara de cada lanzamiento se multiplicarán entre sí. Para ello debemos tener presente que

cada evento de lanzar una moneda es independiente con el otro lanzamiento y la

probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es una de dos esto es (1/2)

P (dos caras) = 1/2 * 1/2 =1/4

P (no obtener caras) = 1- P (dos caras) = 1 – 1/4 = 3/4 = 0.75

La probabilidad de no obtener cara es de 0.75.

16. De un grupo de 40 alumnos, las notas de la asignatura de matemáticas tienen la

siguiente distribución:

Notas Hasta 2,0 Entre 3,0 y 3,9 Entre 4,0 y 7,0

Cantidad de alumnos

2 8 30

Al elegir un alumno del curso al azar, la probabilidad de que no tenga una nota entre 3,0 y 3,9 es:

SOLUCIÓN:

SUCESOS: A = {alumnos con notas entre 3.0 y 3.9}, B= {alumnos que tengan notas que no estén entre 3 y 3.9}

P(A) = 8/40 = 1/5

P (B)= 1 – P(A) = 1- 1/5 = 4/5 = 0.8

La probabilidad de que al elegir al azar el alumno no tenga nota entre 3 y 3.9 es de un 0.8.

17. Se calcula que la probabilidad de que un futbolista no haya cometido una falta es de

0.63 ¿Cuál es la probabilidad de que haya cometido falta?

18.SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {cometió falta}, B = {no cometió falta}

P (B)= 0.63

P (A)= 1- P (B) = 1- 0.63 = 0.37 o 37%

9


La probabilidad de que el futbolista haya cometido falta es de un 37%.

19. Se lanza 4 veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que salga al menos un

sello?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: F = {salga cara}, G = {salga sello}

Como se lanza 3 veces P (F) será igual a:

P (F)=

12∗1

2∗1

2∗1

2=116

P (G)= 1- P (F) = 1- 1/16 = 15/16 o 93.75%

La probabilidad de que salga al menos un sello es de un 93.75%.

20. Un avión de guerra sale con 2 misiles con la misión de destruir un objetivo

enemigo. La probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5,

independiente uno del otro. Si el avión lanza ambos misiles en el ataque, ¿Cuál es

la probabilidad de que no dé en el blanco?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: X = {dar en el objetivo}, Y = {no dar en el objetivo}

P (X)= 45

Como se lanza 2 misiles entonces P (Y) será igual a:

P (Y)=(1−P ( A ))2=(1−45)2

= 125

=0.04 o4%

La probabilidad de que al lanzar el misil no dé en el blanco es de un 4%.

10


21. Tengo que escoger una veta de un total de diez que existen en un yacimiento. Hay

dos vetas que tienen oro y con probabilidad de 1/3 de derrumbarse. ¿Qué

probabilidad tengo de hacerme millonario?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: X = {escoger una veta con oro}, Y = {la veta con oro se derrumba}

P (X)= 210

=15

P (Y)= 13

La probabilidad de hacerme millonario viene dada por:

P ¿

La probabilidad de hacerme millonario es de un 13.333%.

LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD

22. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol o un corazón en una baraja de 52

cartas?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: X = {sacar un trébol}, Y={sacar un corazón},Z={sacar un corazón o un trébol}

P (X)= 1352

=14

P (Y)= 1352

=14

P (Z) = P(X U Y) + P (Y) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 o 50%

La probabilidad de sacar un diamante o trébol de una baraja es de un 50%.

23. Si las probabilidades de alguien que compra un auto para elegir un color

entre verde, blanco, rojo o azul son respectivamente 0.9, 0.15, 0.21, 0.23.

¿Cuál es la probabilidad de que un comprador adquiera un automóvil que

tenga uno de esos colores?

SOLUCIÓN:

P (V)= 0.9

P (B)= 0.15

P(R )=0.21

P(A)= 0.23

P(A U B U R U V) = 0.9+ 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68 o 68%

2

ESTADÍSTICA Y DISEÑO DE EXPERIMENTOSP

ROBABILIDADES

La probabilidad de que alguien compre un automóvil ya sea de color rojo, verde, blanco o azul es de un 687%.

24. Se lanza un dado y una moneda.

S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a}

N(S) = 12

Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.

Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.

A = {2s, 3s}, N (A) = 2

B = {2s, 4s, 6s} N (B) = 3

A B = {2s} N (A B) = 1

P (A U B )=P ( A )+P (B )−P ( A∩B )= 210

+ 312

+ 112

=13

25. En una fiesta hay 60 invitados, de los cuales30 invitados que bailan, 20 que

cantan y 5 que cantan y bailan simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de

que al seleccionar al azar el invitado cante o baile?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: G = {invitado baila}, H = {invitado canta}

P (G) = 3060

=12

P (H)= 2060

=13

3


ROBABILIDADES

P (GH)= 560

= 112

P (G U H) = P (G) + P (H) – P (GH) = 1/2 + 1/3 – 1/12 = 0.75 o 75%

La probabilidad de que el invitado elegido al azar cante o baile es de un 75%.

26. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un diamante o un as en una baraja de 52

cartas?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: X = {sacar un diamante}, Y = {sacar un as}, Z = {sacar un as o un diamante}

P (X)= 1352

=14

P (Y)= 452

= 113

P (Z) = P(X U Y) = P (X) + P (Y) – P(XY) = 1/4 + 1/13 – 1/52 = 2/4 = 4/13 o 30.76%

La probabilidad de sacar un as o un diamante es de un 30.76%.

27. Al final del semestre, Juan se va a graduar en la facultad de ingeniería industrial

en una universidad. Después de tener entrevistas en dos compañías donde

quiere trabajar, él evalúa la probabilidad que tiene de lograr una oferta de

empleo en la compañía A como 0.8, y la probabilidad de obtenerla de la

compañía B como 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de que

reciba ofertas de ambas compañías es 0.5, ¿cuál es la probabilidad de que

4


ROBABILIDADES

obtendrá al menos una oferta de esas dos compañías?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {trabajo en la compañía A}, B = {trabajo en la compañía B}

P (A)= 0.8

P (B)= 0.6

P(AB)= 0.5

P(A U B) = P (A) + P(B) – P(AB) = 0.8 + 0.6 – 0. 5 = 0.9 o 90%

La probabilidad de que Juan reciba una oferta de esas dos compañías es de un 90%

28. Si las 261 partes que aparecen en la siguiente tabla están dentro de una caja ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar una parte producida por el proveedor X o por el proveedor Z?

Inspección por Proveedor

Proveedor # conformes # no conformes Total

X 50 3 53Y 125 6 131Z 75 2 77

Total: 250 11 261

SOLUCIÓN:

EVENTOS: X = {proveedor X}, Z = {proveedor Z}

P (X)= 53261

5


ROBABILIDADES

P (Z)= 77261

P(X o Z) = P (X) + P(Z) = 53/261 + 77/261= 0.498 o 49.8%

La probabilidad de seleccionar al azar un producto X o Z es de un 49.8%.

29. Del ejercicio anterior (27) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una parte no conforme del proveedor X o una parte conforme del proveedor Z?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {parte no conforme de X}, B = {parte conforme de Z}

P (A)= 3261

P (B)= 75261

P(A o B) = P (A) + P (B) = 3/261 + 75/261 = 0.299 o 29.9%

La probabilidad de seleccionar una parte no conforme de X o una parte conforme de Z es de un 29.9%.

6


ROBABILIDADES

LEY MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD

30. Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años

casados) y el suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y

obtenemos la siguiente información:

Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados.

De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos

(suceso B condicionado al suceso A).

Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y

tenga más de 2 hijos (suceso intersección de A y B).

SOLUCIÓN:

EVENTOS: L= {varones mayores de 40 casados}, T= {tienen más de 2 hijos}

P (L)= 0.35

P (T L) =0.30

P (A y B)= P (L)*P (T L) = 0.35 * 0.3 = 0.105 o 10.5%

Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.

7


ROBABILIDADES

31. Un lote contiene $100$ items de los cuales $20$ son defectuosos. Los items

son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos.

Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento (Significa

que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la

probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: I1 = {primer ítem defectuoso}, I2 = {segundo ítem defectuoso}

P (I1)= 20100

=15

P (I2 I1)=1999

P (A y B)= P(I1)* P (I2 I1) = 1/5 * 19/99 = 19/495

La probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es de 19/495.

32. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado balanceado dos veces, salga

primero un 6 y luego un 3?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {salga 6}, B = {salga 3}

P (A)= 16

8


ROBABILIDADES

P (B)=16

P (A y B)= P(A)*P (B) = 1/6 * 1/6 = 1/36

La probabilidad de al tirar el dado salga 6 y luego 3 es de 1/36.

33. En una ciudad hay dos camiones P y Q de bomberos. La probabilidad de que

un cada camión esté disponible si se necesitara es de 90%. Hay un incendio,

se desea saber el valor de la probabilidad de que ambos estén disponibles

para acudir al llamado.

SOLUCIÓN:

EVENTOS: P = {disponibilidad de camión P}, Q = {disponibilidad de camión Q}

P (P)= 0.9

P (Q)=0.9

P (P Q)= P(P)*P (Q) = 0.9 * 0.9 = 0.81 o 81%

La probabilidad de que ambos camiones estén disponibles para acudir a un llamado de emergencia es de 81%.

34. Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las

cuales 5 están defectuosas. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y se retiran

de la caja, uno después del otro, sin reemplazar el primero, ¿cuál es la

9


ROBABILIDADES

probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {primer fusil defectuoso}, B = {segundo fusil defectuoso}

P (A)= 520

=14

P (B) = 419

P (A B)= P(A) * P(B) = 1/4 * 4/19 = 1/19

La probabilidad ambos fusiles estén defectuosos es de 1/19.

35. Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la

probabilidad de extraer dos ases?

SOLUCIÓN:

EVENTO: W = {primera extracción de un as}, F = {segunda extracción de un as}

P (W) = 440

= 110

P (F) = 440

= 110

P (W F)= P (W) * P(F) = 1/10 * 1/10 = 1/100

10


ROBABILIDADES

La probabilidad de extraer 2 ases es de 1/100.

36. Se lanzan un dado blanco y un dado negro. Encontrar la probabilidad de que

la suma de sus caras sea 7 y que el número del dado negro sea mayor que el

dado blanco.

SOLUCIÓN:

EVENTOS: A = {la suma de las caras es 7}, B = {dado negro mayor a dado blanco}

P (A)= 636

=16

P (B) = 1636

P(A B) = 3/15

P (A y B)= (3/15) (15/36) = 1/12

La probabilidad de al tirar los dados sumen 7 y que el dado negro sea mayor que el dado blanco es de 1/12.

37. Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B (alumnos

que hablan alemán) y obtenemos la siguiente información:

Un 50% de los alumnos hablan inglés.

De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B

condicionado al suceso A).

11


ROBABILIDADES

Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (suceso

intersección de A y B).

SOLUCIÓN:

EVENTOS: M = {alumnos que hablan inglés}, T = {alumnos que hablan alemán}

P (M)= 0.5

P (T M) = 0.20

P (T y M)= P(M) * P(T M) =0.5 * 0.2 = 0.1 o 10 %

Es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán

38. La probabilidad de que una persona obesa tenga también problemas

coronarios es de 0,65. Si en una ciudad la probabilidad de que una persona

sufra de problemas obesidad es de 58%. Determine el valor de la

probabilidad de que una persona tenga problemas coronarios y sea obeso.

SOLUCIÓN:

EVENTOS: C = {persona con problemas coronarios}, O= {persona con obesidad}

P (O)= 0.58

P (C O) = 0.65

P (C M)= P(O) * P(C O) =0.58 * 0.65 = 0.38 o 38 %

12


ROBABILIDADES

La probabilidad de que una persona tenga problemas coronarios y sea obesa es de un 38%.

39. Si las 261 partes que aparecen en la siguiente tabla están dentro de una caja

¿Cuál es la probabilidad que 2 partes seleccionadas al azar sean del

proveedor X y del proveedor Y? Suponer que se regresa la primera parte a la

caja, antes de seleccionar la segunda (esto se llama con sustitución o con

remplazo)?

Inspección por Proveedor

Proveedor # conformes # no conformes Total

X 50 3 53Y 125 6 131Z 75 2 77

Total: 250 11 261

SOLUCIÓN:

EVENTOS: X = {proveedor X}, Y = {proveedor Y}

P (X)= 53261

P (Y)= 131261

P(X y Z) = P (X) * P (Z) = 53/261 * 131/261= 0.102 o 10.2%

La probabilidad de seleccionar al azar un producto X y Y es de un 10.2%.

13


ROBABILIDADES

40. De una urna que contiene 4 esmeraldas y 1 brillante, se extraen 2 piedras,

una a una, sin reposición. Calcule la siguiente probabilidad

a.- Que la 1° piedra sea esmeralda y la 2° brillante.b.- Que las dos piedras sean esmeraldasc.- Solo una sea esmeralda.

SOLUCIÓN:

Como es sin reposición las extracciones, entonces los sucesos son dependientes, además que piden orden.

a.- P(E1 B2 ) = P(E)P(B/E)

= 4/5. 1/4

= 4/20 = 1/5 = 0.20 de probabilidad de que la 1°piedra sea esmeralda y la 2° brillante

b.- P (E1 E2) = 4/5. 3/4

= 16/20 = 6/10 = 0.6

c.- P (E1 B2 B1 E2) = P (E) P (B/E) + P (B) P (E/B)

= 4/5 . 1/4 + 1/5. 4/4

= 4/20 + 4/20 = 8/20 = 4/10 = 0.4

14


ROBABILIDADES

TEOREMA DE BAYES - PROBABILIDAD

41. Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por tres

proveedores: el 45% de las piezas son compradas al primer proveedor

resultando defectuosa el 1%. El segundo proveedor suministra el 30% de las

piezas y de ellas es defectuosos el 2%. Las restantes piezas provienen del

tercer proveedor, siendo defectuoso el 3 % de las mismas.

En un control de recepción de artículos se selecciona una pieza al azar y es

defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el segundo

proveedor.

SOLUCIÓN:

Cada una de las piezas procede de uno y sólo uno de los proveedores (sistema exhaustivo y excluyentes de sucesos) y lo denotaremos por A1, A2, y A3

Sea B el suceso de que la pieza sea defectuosa.

Probabilidad de Procedencia (Probabilidad a Priori, de que la pieza proceda de Aj)

15


ROBABILIDADES

P (A1) = 0.45 P (A2) = 0.30 P (A3) = 0.25

Probabilidad de que la pieza sea Defectuosa (Probabilidad de que la pieza suministrada por Aj sea defectuosa)

P(B/A1) = 0.01 P(B/A2) = 0.02 P(B/A3) = 0.03

P (A2B )=P (B A2) P(A2)

P (B A1 ) P ( A1 )+P (B A2) P ( A2 )+P (B A3 )P (A3)

= 0.02∗0.3

0.01∗0.45+0.02∗0.3+0.03+0.25=0.33

La probabilidad que suministro el segundo proveedor de 0.33

42. En la empresa “Alimentos Mr. Pollo” el 2 0% de los empleados son ingenie

ros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un cargo

directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los demás

trabajadores (no ingenieros y no economistas) solamente el 20% ocupa un

puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo

elegido al a zar sea ingeniero?

SOLUCIÓN:

16


ROBABILIDADES

P ( ingenieroDirectivo )= 0.2∗0.750.2∗0.75+0.2∗0.5+0.6∗0.2

=0.405

La probabilidad de que un empleado directivo elegido al a zar sea ingeniero

es de un 40.5%

43. Se tienen dos urnas que contienen bolas blancas y azules:

URNA1 URNA 2

¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?

Urna 1: P (U1) = ½ P (B/U1) = 4/7

Urna 2: P (U2) = ½ P (B/U2) = 3/5

Así la P (B) = P (B/U1). P (U1) + P(B/U2). P(U2)

4B 3A 3B 2A

17


ROBABILIDADES

= 4/7. ½ + 3/5. ½

= 4/14 + 3/10

= 41/70 = 0.5857

La probabilidad de que salga una bola blanca es de 58.57%

44. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1

negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y

extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber

sido extraída de la urna A?

SOLUCIÓN:

Llamamos R= "sacar bola roja" y

N= "sacar bola negra".

En el siguiente diagrama de árbol pueden verse las distintas probabilidades de

ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

18


ROBABILIDADES

P (A R )=P (R A )P (A )

P (R A ) P (A )+P (RB )P (B )+P (RC )P (C )

P (A R )=

13∗3

813∗3

8+

13∗2

3+

13∗2

5

=0.260

La probabilidad de que la bola roja haya sido extraída de la urna A es de 26%

45. Una Empresa Lechera tiene dos lavadoras de botellas, la “A” procesa un

20% de todas las botellas utilizadas diariamente y rompe un 4% de las que

lava. La “B” procesa las restantes y rompe un 2%.

¿Cuál es la probabilidad de que una botella lavada que seleccionaremos al

azar este rota?

Una botella que seleccionamos al azar está rota. ¿Cuál es la probabilidad de

que haya sido lavada en la máquina “A”?.

SOLUCIÓN:

Llamaremos A1 y A2 a los sucesos “lavadora de botellas A” y “lavadora de botella B”, respectivamente.

Llamaremos suceso B, “botellas que se rompen”.

Probabilidad de Procedencia: (probabilidad a priori, de que las botellas procedan de la lavadora Ai)

P (A1) = 0.20 P (A2) = 0.80

19


ROBABILIDADES

Probabilidad de que las botellas se rompan: (probabilidad de que las botellas lavadas por Ai se rompan)

P (B/A1) = 0.04 P (B/A2) = 0.02

¿Qué piden? Que una botella lavada este rota, esto es una probabilidad total

P (B) = P (A1) P (B/A1) + P (A2) P (B/A2)

= 0.20 (0.04) + 0.80 (0.02) = 0.024

¿Qué piden?, Que una botella seleccionada al azar que está rota, haya sido lavada en la lavadora A(para nosotros es A1 tal como lo definimos al inicio)

P (A1B )=P (B A1 ) P(A1)

P (B A1 ) P ( A1 )+P (B A2 ) P ( A2 )

= 0.2∗0.04

0.20∗0.04+0.8∗0.02=0.33

La probabilidad de que la botella haya sido lavada en la máquina 2 es de 33%.

46. En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

SOLUCIÓN:

20


ROBABILIDADES

Sea

D: “Que el artículo sea defectuoso”.

ND: “Que el artículo no sea defectuoso”.

M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”.



P (M1) = .50 P (D/M1) = .03

P (M2) = .30 P (D/M2) = .04

P (M3) = .20 P (D/M3) = .05

P (M 1B )=P (DM 1 )P (M 1)

P (DM1 ) P (M 1 )+P (DM 2 ) P (M2 )+P (DM 3 )P (M 3 )

= 0.5∗0.030.37

=0.4054

La probabilidad de que el artículo sea defectuoso es de un 40.54%

47. Una empresa que fabrica camisetas posee tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en la fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%,4% y 5% respectivamente. Tomamos, al azar, una camiseta y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

SOLUCIÓN:

Sea D= "la camiseta defectuosa" y N= "la camiseta no es defectuosa". La

información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

21


ROBABILIDADES

P (B D )=P (DB )P(B)

P (D A )P ( A )+P (DB )P (B )+P (DC )P (C )

P (B D )= 0.3∗0.040.45∗0.03+0.3∗0.04+0.25∗0.05

=0.316

La probabilidad de que la camiseta defectuosa tomada al azar sea producida por la máquina B es de 31.6%

48. Del ejercicio anterior (45) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido una camiseta defectuosa?

SOLUCIÓN:

Sea D= "la camiseta defectuosa" y N= "la camiseta no es defectuosa"

Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado

P (A D )= 0.45∗0.030.45∗0.03+0.3∗0.04+0.25∗0.05

=0.355

P (C D )= 0.25∗0.050.45∗0.03+0.3∗0.04+0.25∗0.05

=0.329

22


ROBABILIDADES

La máquina con mayor probabilidad de haber producido una camiseta defectuosa es A.

50. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses

P (HM )=P (M H )P(H )

P (M H )P (H )+P (M V )P (V )

P (HM )= 0.6∗0.20.6∗0.2+0.4∗0.35

=0.46o 46%

La probabilidad de que sea niña un infante menor de 24 meses será del 46%

51. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en

23


ROBABILIDADES

computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

SOLUCIÓN:

Definamos los eventos: H: Sea un hombreM: Sea una mujerE: La persona sea especialista en computación Tenemos que:

P (H) = 65/100 = 0.65

P (M) = 35/100 = 0.35

P (E H ) = 0.1

P (EM ) = 0.06

P (M E )=P (EM )P (M )

P (E H ) P (H )+P (EM )P (M )

P (M E )= 0.35∗0.060.65∗0.1+0.35∗0.06

=0.2442o24.42%

La probabilidad de que la especialista de computación sea mujer es del

24.42%

24


ROBABILIDADES

TEOREMA DE BERNOILLI -

PROBABILIDAD

52. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

SOLUCIÓN:

B (10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

p ( x=3 )=(103 )( 1433)∗( 347

7)=0.25 La probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones es de 25%

p (almenos uno )=1−(100 )( 1400)∗( 3410

10)=0.9437 La probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión es de 94.37%

53. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

SOLUCIÓN:

B (10, 1/5) p = 1/5q = 4/5

25


ROBABILIDADES

p ( x=2 )=(102 )( 1522)∗( 458

8)=0.3020

La probabilidad de comunicarse con dos números de teléfonos

marcados entre diez números al a zar es de 30.2%

54. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan las cinco personas.

SOLUCIÓN:

B (5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

p ( x=5 )=(55)( 2355)=0.132

La probabilidad de que vivan las cinco personas transcurridos los 30 años es de 13.2%

55. Del ejercicio anterior(53) ,hallar la probabilidad de que transcurridos los 30 años, vivan :

Exactamente dos personas

SOLUCIÓN:

26


ROBABILIDADES

p ( x=2 )=(52)( 2322)( 133

3)=0.164La probabilidad de que vivan exactamente dos personas transcurridos los 30 años es de 16.4%

Al menos tres personas

SOLUCIÓN:

p ( x≥3 )=p (X=3 )+ p ( x=4 )+ p ( x=5 )

p ( x≥3 )=(53)( 2333)( 132

2)+(53)( 2344)( 13 )+(55)( 235

5)=0.791

La probabilidad de que al menos tres personas vivan transcurridos los 30 años es de 79.1%

56. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:¿Cuál es la probabilidad de que del grupo hayan leído la novela 2 personas?

SOLUCIÓN:

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B (4, 0.2)

p ( x=2 )=(42 )0.82∗0.22=4∗32 ∗0.64∗0.04=0.1536

27


ROBABILIDADES

La probabilidad de que del grupo hayan leído la novela dos personas es de 15.36%

57. Un laboratorio afirma que una medicina causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga

¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos tengan efectos secundarios??

SOLUCIÓN:

p ( x≥2 )=1−p ( X<2 )=1−¿

p ( x≥2 )=1−(50)0.975+(51)0.03∗0.974=0.00847

La probabilidad de que al menos dos tengan problemas secundarios es de 0.847%.

58. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

SOLUCIÓN:

B (4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

28


ROBABILIDADES

p ( x≥3 )=p ( x=3 )+ p ( x=4 )

¿4

3∗0.53∗0.5+ 44∗0.54

=0.3125

La probabilidad de que salgan más caras que cruces es de

31.25%

59. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica

SOLUCIÓN:

La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea

defectuoso es p = 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a

unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos,

la varianza y la desviación típica.

μ=10000∗0.02=200

σ 2=10000∗0.02∗0.98=196

σ=√196=14

29


ROBABILIDADES

60. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad.

También se ha observado que las dos infracciones son independientes.Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.

Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

SOLUCIÓN:

P (almenosuno )=1−(50)0.8555=0.543

La probabilidad de que al menos uno de los conductores haya cometido alguna de las dos infracciones 0.543

61. En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica

SOLUCIÓN:

B (10, 1/3) p = 1/3q = 2/3

μ=10∗13

=3.33

30


ROBABILIDADES

σ=√ 10∗13 ∗2

3=1.49

DISTRIBUCIÓN DE UNA CURVA

NORMAL

62. En una empresa se ha visto que en un 10% de sus facturas se cometen errores y se desea calcular la probabilidad que de 100 facturas, 12 de ellas los contengan:

SOLUCIÓN:

μ=100∗0.1=10

Z1

Z2

31


ROBABILIDADES

σ=√(np)(1−p)=3

z1=12.5−103

=0.83≫0.2967

z2=11.5−103

=0.5≫0.1915

p (12 )=0.2967−0.1915=10.52

63. En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.

SOLUCIÓN:

n=90 p=1/3 q=2/3

n*p 5 n*q 5

B(90 , 13 )→N ¿

p ( x>30 )=p(z> 30−304.47 )=p ( z>0 )=1−p ( z≤0 )=0.5

64. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

65.¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

32


ROBABILIDADES

P=0.75 z= 0.65

x−10015

=0.675 x=110

(90 ,110)

66. Del ejercicio anterior (62) determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

SOLUCIÓN:

¿0.7486−(1−0.6293 )=0.3779

68. Del ejercicio (62), en una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

33


ROBABILIDADES

SOLUCIÓN:

¿1−p ( z1.67 )=1−0.9525=0.0475∗2500=119

69. En una ciudad en la que la edad de sus habitantes se ajusta a una distribución normal de media 35 años, ¿qué grupo es más numerosos: el de los mayores de 65 años o el de los menores de 18 años? Justifica la respuesta.

SOLUCIÓN:

La población se distribuye según la normal N(35, s). Su función de densidad es aproximadamente como sigue:

Esa función es simétrica respecto de la media, siendo la probabilidad de que la variable edad tome valores por encima de un valor X1 la superficie de la “cola” derecha; y la probabilidad de que tome valores menores de X2, la superficie de la “cola” izquierda. Por tanto, a mayor distancia de X a la media la superficie de la cola será menor.

Como la distancia 65 - 35 = 30 y la distancia 35 - 18 = 17, es menos probable pertenecer al grupo de mayores de 65 años.

34


ROBABILIDADES

El grupo más numerosos es el de los menores de 18 años.

70. En un país en el que la estatura de sus habitantes sigue una distribución normal de media 1,75 m, los individuos que miden más de 1,90 representan el 6,68 % del total. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál es la proporción de individuos con estatura superior a 1,60 m?

SOLUCIÓN:

La distribución de la estatura de la población es como sigue:

Se sabe que P(X > 1,90) = 0,0668

Como la normal de media y desviación típica , N (,), se tipifica mediante el

cambio z=x−μσ

, se tendrá:

p ( x>1.9 )=p(z> 1.9−1.75σ )=0.0668 p(z> 0.15σ )=0.0668

p(z< 0.15σ )=1−0.0668=0.9332

0.15σ

=1.15σ=0.1

Esto es la desviación típica vale 0.1 m

35


ROBABILIDADES

Por tanto:

p ( x>1.6 )=p( z> 1.6−1.750.1 )=p ( z>−1.5 )=p (z<1.5 )=0.9332

Esta probabilidad equivale al 93.32%.

71. La media de los pesos de 500 estudiantes de un Instituto es 70 kg y la

desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen

normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan menos de 64 kilos:

SOLUCIÓN:

=1 - 0. 9 7 7 2 = 0. 0 2 2 8 * 5 0 0 = 11

72. Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una

línea de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una

desviación típica de 1.2°C.

¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura

superior a -3°C?

SOLUCIÓN:

z= x−μσ

= -4

36


ROBABILIDADES

=12

P(X -3°C)

Z=38

P=0.5-0.2967 = 20.33%

La probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superior a -3 °C es de 20 ,33%

73. Se supone que el nivel de colesterol de los enfermos de un hospital sigue una distribución normal con una media de 179,1 mg/dL y una desviación estándar de 28,2 mg/dL.Calcule el porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol inferior a 169 mg/dL.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Normal (Mu, Sigma) Mu: Media 179,1000 Sigma: Desviación estándar 28,2000 Punto X 169,0000 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3601 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,6399 Dos Colas Pr[|X|<=k] 0,7202

37


ROBABILIDADES

El porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol inferior a 169 mg/dL es

36%.

74. Se cree que la duración del sueño profundo de las personas se puede aproximar mediante una distribución normal con media μ= 3.5 horas y desviación estándar σ= 0.7 horas. Probar la veracidad de esta idea con los siguientes datos tomados de una muestra de pacientes. Utilizar una significancia de 0.05.

SOLUCIÓN:

38


ROBABILIDADES

Total de datos 40.Primero visualizamos los datos en un histograma

Aparentemente los datos siguen una distribución normal.

Prueba de hipótesis:H0; Los datos provienen de una distribución normal.H1; Los datos no provienen de una distribución normal.

En este ejercicio en particular se cuenta con la media y desviación estándar de la población, por lo que no se tienen que estimar. En caso de que no se tuvieran, se estimarían a partir de los datos agrupados, tomando en cuenta que para los grados de libertad el valor de m sería 2, ya que se estimarían la media y la

39


ROBABILIDADES

desviación estándar. Se procederá a calcular los valores de z para encontrar las probabilidades usando los límites inferiores de los intervalos de clase:

z= x−μσ

La razón por la cual se comienza con el límite de 1.95 y se termina con el límite de 4.45, es porque la suma de todas las probabilidades debe ser 1, bajo la curva normal.A continuación se muestra la curva normal con sus respectivas probabilidades, según los limites reales.

Con estas probabilidades se calcularán los valores esperados, multiplicando cada probabilidad por 40 (el total).

40


ROBABILIDADES

75. Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares

tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares

en el citado barrio. Se pide:

¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan

cuando menos dos televisores?

SOLUCIÓN:

n=50 p=0.6 q=0.4

n*p 5 n*q 5

B (50 ,0.6 )→N ¿

p ( x>20 )=p(z> 20−303.46 )=p ( z>−2.89 )=p ( z ≤2.89 )=0.9981

41


ROBABILIDADES

DISTRIBUCIÓN T-STUDENTS

76. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500

horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25

focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se

encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar

de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

SOLUCIÓN:

t= x−μ

s /√n

α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

520 521 511 513 510 µ=500 h513 522 500 521 495 n=25496 488 500 502 512 Nc=90%510 510 475 505 521 X=505.36506 503 487 493 500 S=12.07

42


ROBABILIDADES

77. La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm

y desviación s=1 mm, Calcular la probabilidad de que en una muestra de

tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

SOLUCIÓN:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t (24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea

inferior a 20.5 mm es del 99.02%

78. Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio

requerido para realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 16 mediciones

produce una media y una desviación estándar de 13 y 5.6 minutos

43


ROBABILIDADES

respectivamente.

SOLUCIÓN:

Encontrando t :

t= Una confianza del 99% con (n-1) grados de libertad.

GL=16-1=15

DATOS:n=16x=13 mins=5.6 mint=2.947

∂=13±2.947(5.6/√16)∂=13±4.12

∂1=17.12 minutos∂2=8.88 minutos

Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12 minutos

con una certeza del 99%.

44


ROBABILIDADES

79. Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

SOLUCIÓN:

Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)

El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

80. En 16 recorridos de prueba de una hora cada uno, el consumo de gasolina

de un motor es de 16.4 gal, con una desviación estándar de 2.1 gal.

Demuestre que la afirmación que el consumo promedio de gasolina de este

motor es 12.0 gal/hora

45


ROBABILIDADES

SOLUCIÓN:

Sustituyendo n=16, μ =12.0, x̄ =16.4 y s=2.1 en la fórmula de t-Student, se tiene

t= x−μs /√n

=16∗4−122∗1/√16

=8.38

Para el cual en las tablas, para =5% y 15 gl es insignificante, y por tanto se puede concluir que el consumo de 12 gal/h es real

81. Se desea saber si un instrumento de medición cualquiera está calibrado,

desde el punto de vista de la exactitud. Para ello se consigue un valor

patrón y se lo mide 10 veces (por ejemplo: una pesa patrón para una

balanza, un suero control para un método clínico, etc.). Suponiendo que el

resultado de estas mediciones arroja una media de 52,9 y una desviación de

3, usando un patrón de valor 50, se debe determinar si el instrumento está

calibrado y la estimación de su error sistemático, si es que se prueba su

existencia (no se usan unidades para generalizar este ejemplo).

SOLUCIÓN:

Ho: = 50 el instrumento está calibrado en exactitud

H1: ≠50 no está calibrado. Hay un error sistemático

46


ROBABILIDADES

t=52.9−503/√10

=3

Dibujando las zonas con los valores críticos, el valor de t cae en la de rechazo para el 95% y no alcanza para las otras. La conclusión es que se ha probado la existencia de un error sistemático con una confianza del 95%.

82. Un analgésico de plaza, afirma en su propaganda que alivia el dolor en el

90% de los casos antes de la primera hora luego de su ingesta. Para validar

esa información, se hace un experimento en 20 individuos con cefalea. Se

observa que fue efectivo en 15 de ellos.

SOLUCIÓN:

47


ROBABILIDADES

Ho: ≥0.9

H1: ≤0.9

El valor t-Student para una sola cola es, siendo P el porcentaje de éxitos

P=15/20=0.75 y la media de =0.90 con desviación σ=√0 .9∗0 .1/20=0 .067

t=0.75−0.90.067

=−2.24

Valor es significativo pues t0.999, 19=-3.579 o t0.99, 19=-2.539 o t0.95, 19=-1.729, entonces cae fuera del intervalo del 95%. De todas formas la evidencia no alcanza para rechazar la hipótesis a los niveles del 99% y 99,9%. Se la rechaza al nivel de 95% únicamente. Si bien no es tan terminante, se puede afirmar que la aseveración es falsa con un 95% de confianza.

83. Se aplica un medicamento a 15 pacientes que padecen cierta enfermedad,

escogidos al azar, y un placebo a 20 pacientes. En el primer grupo, la

desaparición del estado febril se observa a las 19 horas de tratamiento en

promedio (con una desviación de 2 h.). En el grupo control, la mejoría se

observa en promedio las 25 horas con una desviación de 3 horas. Decidir si

el medicamento modifica el tiempo de curación.

SOLUCIÓN:

48


ROBABILIDADES

Ho: 1=2

H1: 1≠2

El valor t-Student para dos colas para 33 gl, siendo

t= 25−19

√ 920 + 415

=7.06

Valor cae fuera del intervalo, como el valor hallado de t es mucho más grande que

el valor crítico de tablas para 33 grados de libertad: tα; υ=t0, 999; 33=3,44 (ensayo de dos colas y un 99,9% de confianza), por tanto se obtuvieron resultados altamente significativos como para rechazar la hipótesis nula. Se tiene una prueba científica del efecto del medicamento.

84. Se escogen 5 pacientes al azar, del grupo que concurre diariamente al Laboratorio de Análisis Clínicos a efectuarse una determinación de Uremia. Las muestras extraídas se miden con el procedimiento habitual y además con una nueva técnica clínica que se desea probar. Ver si hay diferencia entre ambas técnicas. Los resultados expresados en g/l fueron:

Paciente 1 2 3 4 5

Vieja 0.38 0.54 0.22 0.11 0.23

Nueva 0.33 0.45 0.15 0.09 0.22

Diferencia 0.05 0.09 0.07 0.02 0.01

Promedio y desviación estándar, respectivamente: 0.048 y 0.033

49


ROBABILIDADES

Con los valores de las diferencias se calculan d=0.048 y =0.033, luego:

t= 0.048

0.033√5=3.25

Que obviamente es mayor que t0.95, 4=2.776, entonces O cae por fuera del intervalo, y entonces se tienen evidencia significativa de que hay diferencia entre ambas técnicas.

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

85. El espesor de un semiconductor se controla mediante la variación estándar no mayor a =0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamaño de 20 unidades, y se considera que el sistema está fuera de control cuando la probabilidad de que 2 tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si s=0.84mm?

SOLUCIÓN:

50


ROBABILIDADES

Existe fuera de control si(n−1)s2

σ2 con n=20 y =0.60, excede x0.01 ,19

2 =36.191

Entonces,(n−1)s2

σ2=19∗0.84

2

0.602=37.24

Por tanto, el sistema está fuera de control

86. Un bioquímico sospecha que su micro-centrífuga no mantiene constante su velocidad mientras trabaja, lo cual le da una variabilidad indeseada en sus determinaciones. Para controlarla, consigue un tacómetro regulado y mide cada minuto la velocidad durante 10 minutos. Los resultados fueron: una velocidad promedio en las 10 mediciones de 3098 rpm con una desviación de 100,4 rpm. Testear para un error relativo máximo del 2% o menos, si la centrífuga es estable.

La desviación estándar es σ max=2%*3098=62 rpm, luego,

H0: σ max≤ 62 rpm

H1: σ max≥ 62 rpm

x2=(n−1)s2

σ2=

(10−1 )∗100.42

622=23.6

De la Tabla de valores críticos surge: x0.99 ,92 =21.666 y x0.991 ,9

2 =27.877. Por lo tanto, el

bioquímico ha encontrado una muy fuerte evidencia que la velocidad del equipo oscila en forma indeseada, tal como sospechaba. Y deberá ajustarlo si desea

51


ROBABILIDADES

disminuir la variabilidad de sus mediciones. Los resultados fueron muy significativos x2=23.6 .

87. Un farmacéutico Jefe del Dpto. Control de Calidad en una industria alimenticia, descubre que en su proceso de producción el contenido de ciclamato en su línea de mermeladas dietéticas varía en forma indeseada. Sospechando que se trata de una falla en el dosificador, decide tomar 10 muestras seguidas del mismo. Encuentra un promedio de 20 gramos con una desviación de 8 gramos. Si en su protocolo de fabricación la variación máxima permitida es del 3%, determinar si el dosificador debe ser corregido.

SOLUCIÓN:

El desviación estándar aceptable es: σ máx= 3% de 20 g = 6 g. Luego:

H0:σ máx≤ 6 g.: el dosificador funciona correctamente

H1:σ máx > 6 g.: el dosificador debe ser cambiado

x2=(n−1)s2

σ2=

(10−1 )∗82

62=16

De la Tabla de valores críticos surge:x0.95 ,92 =16.9 . Por lo tanto, el farmacéutico no

ha encontrado evidencia que respalde sus sospechas. Sin embargo, el valor hallado es muy cercano al crítico, por lo que le convendría hacer más pruebas.

88. El departamento de manufactura corrió una prueba de control de calidad usando 7 baterías seleccionadas al azar. En su prueba, la desviación estándar fue de 6 minutos, lo que equivale a un valor de chi-cuadrada de 13.5. Supongamos que repiten la prueba con otras 7 baterías. ¿Cuál es la probabilidad de que la desviación estándar de la nueva prueba sea mayor a 6 minutos?

SOLUCIÓN:

52


ROBABILIDADES

Sabemos lo siguiente:Tamaño de la muestra es n= 7.Los grados de libertad son n-1 = 7 -1 = 6. El valor X2para la prueba es 13.5.

Dados estos valores, podemos determinar la probabilidad acumulada de chi-cuadrada. Para ello, usamos una tabla de la estadística X2con los valores de grados de libertad (6) y de chi-cuadrada (13.5) o empleamos alguna herramienta como la calculadora Chi-SquareDistributionCalculator.

De cualquiera de los dos obtenemos el valor de: 0.96. Esto implica que la probabilidad de que la desviación estándar de la muestra fuera menor o igual a 6 minutos es 0.96.

Lo anterior significa que la probabilidad de que la desviación estándar sea mayor a 6 minutos es de1 -0.96 o sea .04 (muy pequeña).

89. La compañía de baterías Duramás ha desarrollado una nueva batería para celulares. En promedio, la batería dura 60 minutos por carga. La desviación estándar es de 4 minutos. Supongamos que el departamento de manufactura corre una prueba de control de calidad. Ellos seleccionan 7 baterías al azar. La desviación estándar de las baterías seleccionadas es de 6 minutos. ¿Qué valor de la estadística chi-cuadrada tenemos para esta prueba?

SOLUCIÓN:

Bueno, empezamos con lo que sabemos:•La desviación estándar de la población es de 4 minutos. •La desviación estándar de la muestra es de 6 minutos. •El número de observaciones muestreadas es 7.

Para calcular la estadística chi-cuadrada, usamos los valores en la ecuación para X2

53


ROBABILIDADES

x2=(n−1)s2

σ2=

(7−1 )∗62

42=13.5

Dónde X2 es la estadística chi-cuadrada, n el tamaño de la muestra, s la desviación estándar de la muestra, y σ la desviación estándar de la población.

90. En los experimentos de Mendel con chícharos, observaron 315 lisos y amarillos, 108 lisos y verdes, 101 rugosos y amarillos y 32 rugosos y verdes. De acuerdo con su teoría, estos números deberían presentarse en la proporción 9:3:3:1. ¿Hay alguna evidencia que permita dudar de su teoría al nivel de significación del 0.01?

SOLUCIÓN:

Ho; La teoría de Mendel es acertada.H1; La teoría de Mendel no es correcta.

El número total de chícharos es 315+108+101+32=556. Puesto que los números esperados están en la proporción 9:3:3:1 (9+3+3+1=16), se esperaría lo siguiente:

916

(556 )=312.75 Lisos y amarillos

316

(556 )=104.25 Lisos y verdes

316

(556 )=104.25 Rugosos y amarillos

116

(556 )=34 .75 Rugosos y verdes

91. Grados de libertad: k-1-m = 4-1-0 = 3

54


ROBABILIDADES

Regla de decisión:

Si x2≤7.815 no se rechaza Ho.

Si x27.815 se rechaza Ho.

x2=¿∑

j−l

k (o j−e j)2

e j

=(7−8.5904)2

8.5904+

(15−10.2936)2

10.2936+(10−10.6724)2

10.6724+

(8−10.4434)2

10.4434=3.06¿

Justificación y decisión: Como 3.06 no es mayor de 7.815, no se rechaza H0 y se concluye conα= 0.05 que el ajuste de los datos a una distribución normal es bueno.

Documents

Chi2 Curva Prob Dep Indp Condicional Binomial