CHƯƠNG 3

SAI SỐ ĐO

3.1. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP ĐO

ĐO LÀ GÌ?

Đo là một phép so sánh đại lượng cần xác định

với một đại lượng cùng loại được chọn làm đơn vị.

Phân loại các giá trị đo

Đo trực tiếp là so sánh đại lượng cần xác định với đại lượng dùng làm đơn vị

Đo gián tiếp là phép đo mà giá trị của một đại lượng

cần tìm được xác định thông qua hàm số của các kết quả đo trực tiếp các đại lượng khác

a. Phân loại dựa vào phương thức tiến hành để nhận được kết quả đo

b. Phân loại dựa vào điều kiện đo

Đo cùng độ chính xác

là đo trong cùng một

điều kiện như nhau

Đo không cùng độ

chính xác là đo trong

những điều kiện khác nhau

c. Phân loại dựa vào quan hệ giữa các đại lượng đo

Đại lượng đo độc lập

là những đại lượng đo

mà giữa chúng không

tồn tại bất kỳ một sự

phụ thuộc nào.

Đại lượng đo không độc lập

là những đại lượng đo

mà giữa chúng tồn

tại một mối tương quan

hoặc một sự phụ thuộc

nào đó.

d. Để phục vụ cho công tác chỉnh lý kết quả đo

Đại lượng đo cần thiết

là số đại lượng cần thiết

tối thiểu để từ đó có thể tính được

giá trị của đại lượng cần

xác định

Đại lượng đo thừa

là số đại lượng đo thêm

ngoài các đại lượng đo cần thiết

để có điều kiện kiểm tra các

giá trị đo và nâng cao độ

chính xác của kết quả

cần tìm

3.2. SAI SỐ ĐO ĐẠC Sai số đo là gì?

là độ chênh lệch giữa giá trị đo và giá trị thực của nó

Sai số thực của giá trị đo thứ i là: ii lX

Trong đó X là giá trị thực của một đại lượng cần đo

Các giá trị đo l1,l2,…,ln (đo n lần)

Nguyên nhân gây ra sai số đo

Do máy và dụng cụ Do người đo Do ảnh hưởng điều

kiện bên ngoài

Phân loại sai số đo

Sai số thô (sai lầm)

Sai số hệ thống

Sai số ngẫu nhiên

Là sai số do nhầm lẫn trong khi đo

hoặc tính toán do người thiếu cẩn

thận như ngắm sai, đọc sai, tính sai

Là sai số do nguyên nhân nào đó gây ra và thể hiện rõ

rệt tính chất quy luật của nó

Là loại sai số mang tính ngẫu nhiên

Khắc phục: Sử dụng đại lượng đo thừa để kiểm tra tính toán…

Khắc phục: - Kiểm nghiệm và điều chỉnh thật chính xác máy và dụng cụ đo đạc.

-Dùng phương pháp đo thích hợp.

- Dùng phương pháp tính toán hợp lý để chỉnh lý kết quả đo.

Đặc tính của sai số ngẫu nhiên

Xét ví dụ: Trong cùng điều kiện đo, người ta đo toàn bộ các góc của 162 tam giác. Vì không thể tránh khỏi sai số nên tổng 3 góc trong mỗi tam giác không bằng 1800. Coi X = 1800 là giá trị thực của tổng 3 góc trong mỗi tam giác, li là giá trị đo của tổng ba góc trong tam giác thứ i. = i (i là sai số khép góc trong tam giác)

Sai số trong khoảng

- + Tổng số Ghi chú

SL % SL % SL %

0,00’’ 0,2’’

0,2’’ 0,4’’

0,4’’ 0,6’’

0,6’’ 0,8’’

0,8’’ 1,00’’

1,00’’ 1,20’’

1,20’’ 1,40’’

1,40’’ 1,60’’

1,60’’ trở lên

21

19

11

8

7

6

3

2

0

13,0

11,7

6,8

5,0

4,3

3,7

1,8

1,2

0

21

19

16

13

9

5

1

1

0

13,0

11,7

9,9

8,0

5,6

3,1

0,6

0,6

0

42

38

27

21

16

11

4

3

0

26,0

23,4

16,7

13,0

9,9

6,8

2,4

1,8

0

Giá trị bên phải của mỗi khoảng được tính vào khoảng ấy

Tổng 77 47,5 85 52,5 162 100

Phương trình biểu diễn sự phân bố của sai số ngẫu nhiên:

Phân bố của sai số ngẫu nhiên

22h-e . h

)(f

d

(Số lần xuất hiện)

Trong đó h là tham số đặc trưng cho độ chính xác, hay đặc trưng cho điều kiện đo.

Đặc tính của sai số ngẫu nhiêna. Trị số tuyệt đối của các sai số ngẫu nhiên không vượt qua một giới hạn nhất đinh, trị số giới hạn này phụ thuộc vào điều kiện đo.

b. Những sai số ngẫu nhiên có giá trị tuyệt đối nhỏ có khả năng xuất hiện nhiều hơn những sai số ngẫu nhiên có giá trị tuyệt đối lớn.

c. Các sai số ngẫu nhiên âm và dương có giá trị tuyệt đối bằng nhau đều có khả năng xuất hiện như nhau.

d. Khi số lần đo tăng lên vô hạn thì giá trị trung bình cộng các sai số ngẫu nhiên tiến đến không, nghĩa là:

0 lim

nn

) j i ( 0

.lim

n

ji

n

Và cũng đúng với

d

(Số lần xuất hiện)

3.3. TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC KẾT QUẢ ĐO

1. Sai số trung bình

n

limn

Sai số trung bình là giới hạn của số trung bình cộng các giá

trị tuyệt đối của sai số ngẫu nhiên độc lập, khi số lần đo tiến

đến vô cùng.

n

2. Sai số trung phương

n

.limmn

Sai số trung phương là giới hạn của căn bậc hai số trung

bình cộng của bình phương các sai số ngẫu nhiên độc lập, khi

số lần đo tiến đến vô cùng

Thực tế dùng công thức Gauss

n

. m

3. Sai số xác suất

Sai số xác suất là một giá trị của sai số ngẫu nhiên mà các

sai số có trị tuyệt đối lớn hơn hoặc nhỏ hơn nó đều có khả

năng xuất hiện như nhau.

Sai số xác suất được tính như sau:

Khi n là số lẻ:2

1n

Khi n là số chẵn:

2

11

2

n

2

n

4. Sai số giới hạn

Giới hạn của sai số ngẫu nhiên

gh = 3. m

Trong trắc địa công trình độ chính xác cao sai số giới hạn là:

gh = 2. m

5. Sai số tương đối

Sai số tương đối là tỷ số giữa giá trị tuyệt đối của sai số và

giá trị của đại lượng đo và luôn luôn lấy tử số bằng 1.

Ký hiệu

x

m

Tx

1

3.4. SAI SỐ TRUNG PHƯƠNG CỦA HÀM CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐO ĐỘC LẬP

1. Sai số trung phương của hàm có dạng tổng quát

Giả sử có hàm số: F = f(x,y,z,…,u)

Trong đó: x,y,…,u là các đại lượng đo độc lập với sai số trung phương tương ứng là mx,my,…,mu.

Sai số trung phương của hàm F:

2u

22z

22y

2

2x

2

F mu

f...m

z

fm

y

fm

x

f m

Sai số trung phương của một số hàm thường gặp

a. Hàm số có dạng tuyến tính

F = K1 x1 + K 2x2 +...+ K nxn

Trong đó: Ki là các hằng số.

xi là các đại lượng độc lập có sai số trung phương là mi

b. Hàm có dạng tổng hoặc hiệu các đại lượng đo độc lập

F = x1 x2 ... xn

m . .... m . 2n

221

21 nF KKm

m .... m 2n

22

21 mmF

3.5. GIÁ TRỊ ĐO CÙNG ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG

1. Giá trị trung bình cộngĐo n lần cùng độ chính xác 1 đại lượng có giá trị thực X được các giá trị đo l1,l2,…,ln

1 = X – l1 2 = X – l2………. n = X – ln

Tính sai số ngẫu nhiên:

n

lX

n

Ký hiệu:

n

l...ll

n

lx n21

xX

n

2. Sai số trung phương của giá trị trung bình cộng

Công thức giá trị trung bình:

n21 ln

1 ...l

n

1 l

n

1x

Các giá trị đo cùng độ chính xác và có sai số trung phương là m

Sai số trung phương của giá trị trung bình công là:

22

22

22

.1

....1

.1

mn

mn

mn

M

n

m

n

mm

nnM

22

2

.1

.

Sai số trung phương của trị trung bình cộng các giá trị độc lập, cùng

độ chính xác của một đại lượng nhỏ hơn sai số trung phương của một

lần đo căn bậc hai n lần.

3. Sai số trung phương theo sai số xác suất nhất

Ta có một dãy các giá trị đo cùng độ chính xác l1,l2,…,ln

Tính sai số trung phương theo sai số xác suất nhất hay

còn gọi là vi theo công thức sau:

vi = x – li (i = 1, 2,…, n)

l - n

. m

Công thức Bessel