CHƯƠNG1 Dãysố TOÁN CHO TÀI CHÍNH · 14/09/2017 1 BàigiảngToáncaocấp1 NguyễnVănTiến TOÁN CHO TÀI CHÍNH CHƯƠNG1 1 BàigiảngToáncaocấp1 NguyễnVănTiến

14/09/2017

1

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

TOÁN CHO TÀI CHÍNH

CHƯƠNG 1

1 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Dãy số

• Dãy số: hàm số xác định trên tập các số tựnhiên khác 0.

• Ta thường ký hiệu dãy số là (un).

• un gọi là số hạng thứ n của dãy.

*:u N R

n u n

2


Dãy số• Cho dãy số:

• Ta có:

• Hỏi:

• Khi n rất lớn thì giá trị của dãy số là bao nhiêu?

1

2 1

nu n

n

1 2 3

1 42; 1; ;...

2. 1 5

1

1u u u

100 999 9999999? ? ?u u u


Dãy số

• 10 giá trị đầu của dãy:

n un

1 2

2 1

3 0.8

4 0.714285714

5 0.666666667

6 0.636363636

7 0.615384615

8 0.6

9 0.588235294

10 0.578947368

• Các giá trị tiếp theo:

n un

100 0.507537688

101 0.507462687

9999 0.500075011

10000 0.500075004

10000000 0.500000075

100000000 0.500000008

1000000000 0.50000000110^9

4


Dãy số• Nhận xét:

• Giá trị của dãy càng ngày càng gần với số 0.5.

• Khi n càng lớn thì chênh lệch giữa dãy số và 0.5càng nhỏ (tại số hạng thứ 1 tỷ chênh lệch là 10-

9).

• Độ chênh lệch này có thể nhỏ hơn nữa nếu tăngn lên và có thể nhỏ tùy ý miễn là n đủ lớn.

• Vậy ta nói giới hạn của dãy số là 0.5.

1

2 1

nu n

n


Định nghĩa giới hạn dãy số• Dãy số (un) có giới hạn là a nếu:

• Chênh lệch (un) và a có thể nhỏ tùy ý khi n đủ lớn.

• Ký hiệu:

0 00 .0, :

nnn u an

lim

lim

n

n nn

n

u a hay u a

hay u a

nhỏ tùy ý Chênh lệchn đủ lớn

6

14/09/2017

2


Ví dụ

• Chứng minh:

• Bước 1. Lấy >0

• Bước 2. Lập hiệu:

• Bước 3. Tìm điều kiện của n để: (nếu có)

1 1lim 0,52 1 2n

n

n

nu a

nu a


Ví dụ• Bước 4. Chọn n0, viết lại dưới dạng định nghĩa

và kết luận.

• Giải.

• Với mọi >0. Ta có:

n

nu a

n n

n n

1 1 3

2 1 2 2 2 1

3 3 12 1

2 4 2

8


Ví dụ• Chọn

• Ta có:

Vậy theo định nghĩa:

0

3 1

2 2n

0 0

3 1 10, :

2 2 2nn n n u

1lim

2nnu


Hệ quả

• Số a không là giới hạn của dãy (un) nếu:

• Tồn tại >0 sao cho với mọi n0 đều tồn tại n1>n0

để chênh lệch giữa un1 và a lớn hơn .

• Nói cách khác luôn tồn tại một khoảng cáchgiữa dãy (un) và a. Độ chênh lệch giữa (un) và akhông thể nhỏ tùy ý.

10 1 0

0, 0 : à .n

n n n v u a

10


Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến + khi và chỉ khi:

• (un) có thể lớn hơn một số dương tùy ý khi n đủlớn.

• Ký hiệu:

0 00, 0 : .

nA n n n u A

limnnu


Giới hạn vô cực của dãy số.

• Ta nói dãy (un) tiến đến - khi và chỉ khi:

• (un) có thể nhỏ hơn một số âm tùy ý khi n đủlớn.

• Ký hiệu:

0 00, 0 : .

nA n n n u A

limnnu

12

14/09/2017

3


Tính chất• 1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

• 2. Cho tồn tại hữu hạn. Khi đó:lim ; limn nn nu v

) lim lim lim

) lim . lim . lim

lim) lim , lim 0

lim

) lim lim

n n n nn n n

n n n nn n n

nn nnn n

n nn

n nn n

a u v u v

b u v u v

uuc v

v v

d u u


Tính chất

• Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa:

• Nếu:

lim

) lim lim , lim 0

) lim 0 lim 0

nn n

vv

n n nn n n

n nn n

e u u u

f u u

0n n nu v z n n

lim limn nn nu z a

lim

nnv a

thì

14


Minh họa

0n n nu v z n n

a


Ví dụ

• Tìm giới hạn dãy số:

• Ta có:

• Vậy:

2

sin 5) )

1

n

n n n

na u b v

n n

2 2

sin 10 0

1 1n

nu

n n

lim 0 lim 0n nn nu u

16


Cấp số nhân

• Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện:

•

• với q không đổi.

• q được gọi là công bội của cấp số nhân.

• |q|<1 cấp số nhân lùi vô hạn.

1 , 1,2,3... n nx x q n


Cấp số nhân

• Ta có:

• Khi |q|<1 thì .

11

11 2

(1 )

1

nn

n

n n

x x q

x qS x x x

q

1lim1

nn

xS

q

18

14/09/2017

4


Chuỗi số

• Cho {an} là một dãy số vô hạn.

• Tổng vô hạn sau được gọi là một chuỗi số:

• Ký hiệu chuỗi số:

1 2 ... .....na a a

1n

n

a


Chuỗi số

• Tổng riêng thứ n của dãy:

• Nếu dãy {Sn} hội tụ tới S hữu hạn thì ta nói chuỗisố (a1+a2+a3+…) là hội tụ và gọi S là tổng củachuỗi số, ký hiệu.

• Nếu dãy {Sn} không hội tụ ta nói chuỗi là phânkỳ.

1 2 ...n nS a a a

1i

i

S a

20


Ví dụ 1

• Cho dãy số:

• Ta có chuỗi số:

• Tổng riêng thứ n:

• Do nên chuỗi hội tụ và có tổng bằng 1

1

2n na

1 20

1 1... 1 ...

2 4n

n

a a a

1 1 1 1... 1

2 4 2 2

n

n nS

lim 1nnS


Ví dụ 2

• Xét chuỗi số có dạng

• Đây là tổng của cấp số nhân có công bội q

• Tổng riêng thứ n:

2 3

0

1 ... ...n n

n

q q q q q

1 11 ... 1

1

nn

n

qS q q q

q

22


Ví dụ 2

• Nếu |q|<1 thì chuỗi hội tụ và:

• Nếu |q|>1 thì chuỗi số phân kỳ

• Nếu q=1 thì Sn=n nên chuỗi phân kỳ

• Nếu q=-1 thì

Dãy số Sn không tồn tại giới hạn nên chuỗi phânkỳ

1

1S

q

0

1n

n chanS

n le


LÃI ĐƠN, LÃI GỘP

24

14/09/2017

5


Lãi suất

• Định nghĩa. Thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãitrong một đơn vị thời gian với vốn gốc trongthời gian đó.

• Ví dụ. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thuđược 112 triệu đồng. Như vậy sau 1 năm nhàđầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là12%/năm.

�ã� ��ấ� =�ã� �� ộ� đơ� �ị ��ờ� ��

�ố� �ố� �� ờ� �� đó. ��%


Lãi đơn

• Lãi đơn là lợi tức chỉ tính trên số vốn vay ban đầutrong suốt thời hạn vay. Nói khác đi, số lãi tínhtheo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn.Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãikhông sinh lợi.

• Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụtài chính ngắn han.

• Giá trị đạt được (hay giá trị cuối cùng, giá trị tươnglai): tổng số tiền thu được khi kết thúc đợt đầu tư.Giá trị đạt được gồm 2 phần: vốn gốc và lãi thuđược.

26


Công thức tính lãi đơn

• V0 là vốn gốc

• Vn là giá trị cuối tính đến thời điểm n

• i là lãi suất

• Lãi thu về:

0 1 .nV V n i

0. .I V n i


Ví dụ 1

• a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thứcgửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 1%/tháng. Xácđịnh giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6tháng?

• b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãiđơn), sau một thời gian thu được cả vốn lẫn lời118 triệu vào cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tưbao lâu?

• c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầulà bao nhiêu để thu được 28,4 triệu trong 3 năm 6tháng (tính theo lãi đơn)?

28


Chú ý

• Nếu đơn vị thời gian của lãi suất i và thời điểm nkhông đồng nhất thì trước tiên ta phải biến đổi đểchúng đồng nhất với nhau rồi mới áp dụng côngthức.

• Ví dụ.• a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng

thu được tổng số tiền là 105,6 triệu. Hỏi lãi suấtđầu tư là bao nhiêu?

• b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm. Sau mộtthời gian rút hết ra thu được 106 triệu. Hỏi thờigian đầu tư mất bao lâu?


Lãi suất ngang giá (tương đương)

• Hai lãi suất i và ik tương ứng với 2 chu kỳ khác nhauđược gọi là tương đương nhau khi cùng một số vốn,đầu tư trong cùng một thời gian thì cho cùng mức lãinhư nhau (giá trị đạt được bằng nhau).

• Giả sử có hai lãi suất i (chu kỳ 1 năm) và ik (chu kỳ 1/kcủa năm)

0 01 . 1 . . .n k k k

iV V i n V i n k i i k i

k

30

14/09/2017

6


Ví dụ

• Ví dụ. Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãisuất 12%/năm theo phương thức lãi đơn. Kếtthúc đợt đầu tư, giá trị đạt được là:

• Theo lãi suất hàng tháng:

• Theo lãi suất hàng năm:

20. 1 9.1% 21,8nV

920. 1 .12% 21,8

12nV

� =��

12= 1%


Tỷ suất lợi tức bình quân

• Tỷ suất lợi tức bình quân trong lãi đơn đượctính theo phương pháp bình quân có trọng số.

• Trong đó:

• ij là các mức lãi suất khác nhau trong cáckhoảng thời gian nj khác nhau.

1

1

.k

j jj

k

jj

n i

i

n

32


Ví dụ

• Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệuđồng với lãi suất thay đổi như sau: 8%/nămtrong 6 tháng đầu; 10%/năm trong 3 tháng tiếptheo và 12%/năm trong 4 tháng cuối cùng.

• Tính:

• a) Lãi suất trung bình của số vốn vay.

• b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khiđáo hạn


Lãi kép

• Việc tính lãi bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhậpvào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là phươngpháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theophương pháp này gọi là lãi kép.

• Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tàichính dài hạn.

34


Lãi kép

• Công thức cơ bản:

• Trong đó:

– i: mức lãi suất

– V0: vốn gốc

– n: thời gian đầu tư (tương ứng với i)

– Vn: giá trị đạt được sau đầu tư

0 1n

nV V i


Hệ quả• Vốn đầu tư ban đầu:

• Thời gian đầu tư:

• Lãi suất đầu tư:

0 01 1n n

n nV V i V V i

0

0

log /1

log 1

n n

n

V VV V i n

i

0

0

1 1n n

nn

VV V i i

V

36

14/09/2017

7


Ví dụ

• a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm.Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là 146,41 triệuđồng (tính theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu làbao nhiêu?

• b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất10%/năm. Sau một thời gian thu được cả vốn lẫnlời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏithời gian đầu tư là bao lâu?

• c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu với lãi suất10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn lời là214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suấtđầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là bao nhiêu?


Lãi suất ngang giá (tương đương)

• Hai lãi suất i và ik tương ứng với hai chu kỳ khácnhau được gọi là tương đương nhau khi với cùngmột số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian sẽ chocùng mức lãi như nhau (cùng giá trị đạt được).

• Giả sử lãi suất i tính theo năm, lãi suất ik tương ứngvới chu kỳ 1/k của năm (1 quý, 6 tháng …) là tươngđương nhau thì:

0 0

1 11 1 1 1

1 1

knk nkn n k

n k k k

k

i iV V i V i i i

i i

38


Ví dụ

• Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãisuất 6%/6 tháng. Ông B cũng gửi ngân hàng 100triệu đồng với lãi suất 12,36%/năm. Hãy tính sốtiền lãi mà ông A và ông B nhận được sau 1năm gửi. Cho nhận xét.

• Giải

• Điều này chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 thángvà 12,36%/1 năm là tương đương nhau.

2100 1 0,06 100 12,36

100 1 0,1236 100 12,36

A

B

I

I


Lãi suất bình quân trong lãi kép.

• Ví dụ. Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãikép với lãi suất lũy tiến.

• 8%/năm trong vòng 2 năm đầu tiên;

• 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo;

• 11%/năm trong vòng 4 năm cuối.

• a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu?

• b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu?

40


Lãi suất bình quân trong lãi kép.

Ta có:

Với

là tổng thời gian đầu tư.

ik là mức lãi suất trong các khoảng thời gian nk.

1 2

1 21 1 ... 1 knn nn

ki i i i

� = �� + ��+. . . +��

1 2

1 21 1 ... 1 1knn nn

ki i i i


So sánh lãi đơn và lãi kép.

• Lãi đơn: Lãi kép:

• Ta có:

0 1 .nV V n i 0 1n

nV V i

�) � < 1 ⇒ �� > ��

�) � = 1 ⇒ �� = ��

�) � > 1 ⇒ �� < ��

�ã� đơ�

�ã� kép

�

��

��

10

42

14/09/2017

8


So sánh lãi đơn và lãi kép.

• Ví dụ. Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực12%/năm. Hãy tính :

a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thờigian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm.

b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thờigian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm

c) Vẽ đồ thị của các lãi suất.


Lãi kép liên tục

• Ví dụ. Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãisuất 8%/năm, tính theo lãi kép. Hãy tính lãi thuđược nếu ghép lãi theo:

• a) Năm b) Nửa năm

• c) Quý d)Tháng

44



• Đáp số:

• Nhận xét.

45

5

0

10

0

20

0

20

0

) 1 1000. 1 0,08 1.469,33 $

0,08) 1 1000. 1 1.480,24 $

2

0,08) 1 1000. 1 1.485,95 $

4

0,08) 1 1000. 1 1.485,95 $

4

n

n

n

n

n

n

n

n

a V V i

b V V i

c V V i

d V V i



• Tính lãi không kỳ hạn

• Nếu số lần ghép lãi trong năm tăng lên vô hạnthì:

46

.i/i

0

1lim lim 1 ???

/ i

nt

nt t

V Vt

.

. . / . /

0 0 0 0

1 11 1 1 1

/ /

n in t n t r r t i

n

n

iV V i V V V

t t i t i



• Ta có:

• Trong ví dụ trên nếutính lãi liên tục thì:

47

.i/i

.i0 0

1lim lim 1 .

/ i

nt

nn

t tV V V e

t

. 5.0,080 1000.

1.491,8247 $

n inV V e e


Ví dụ

• Ví dụ 1. Tính giá trị tương lai của số tiền 5000$ đầu tư2 năm với mức lãi suất 8%/năm theo phương thức lãikép và thời gian ghép lãi: a) Theo ngày b) Liên tục

• Đáp số: a) 5.867,45 ($) b) 5.867,55 ($)

• Ví dụ 2. Bạn cần đầu tư bao nhiêu để mua một chiếcxe hơi sau 5 năm. Giả sử giá của chiếc là 8.000$ và lãisuất hàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gianghép lãi: a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục

• Đáp số: a) 4.882,17 b) 4.852,25

48

14/09/2017

9


Giá trị thời gian của tiền tệ

• Giá trị hiện tại PV

• Giá trị tương lai FV

• Giá trị hiện tại ròng NPV

• Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ IRR


Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền

• Giá trị tương lai của tiền tệ là giá trị tại mộtthời điểm nhất định trong tương lai của mộtkhoản đầu tư ở hiện tại với một mức lãi suấtcho trước.

• Giá trị hiện tại của tiền tệ là giá trị tính đổi vềthời điểm hiện tại của dòng tiền tệ tương lai.

50


Giá trị tương lai của tiền tệ

1.Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn

2.Giá trị tương lai của dòng tiền

2.1. Giá trị tương lai của dòng tiền đều

2.2. Giá trị tương lai của dòng tiền không đều


Giá trị tương lai của khoản tiền đơn

• Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn(khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền nàyở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nósinh ra trong khoảng thời gian từ hiện tại chođến một thời điểm trong tương lai.

i

52


Giá trị tương lai của khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

• Tính theo lãi kép

1 .FV PV i n

1n

FV PV i


Giá trị hiện tại của khoản tiền đơn

• Tính theo lãi đơn

• Tính theo lãi kép

1 .

FVPV

i n

1n

FVPV

i

54

14/09/2017

10


Ví dụ

• Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm5 triệu VNĐ cho con trai của ông ta vào ngàyđứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiềnvào đại học. Lãi suất hàng năm là 6%. Vậy sốtiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đạihọc là bao nhiêu? (tính theo lãi kép)

• Đ/S:

18

5.000.000 1 6% 14.271.6951n

FV PV i


Ví dụ

• Một người muốn để dành tiền cho tuổi giàbằng cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suấtngân hàng là 13%/năm. Người đó phải gửi vàongân hàng bao nhiêu tiền ở thời điểm hiện tại,để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ?(tính theo lãi kép)

20

20.000.0001.736.000

1 1 0,13n

FVPV

i

56


NGUYÊN TẮC 72

Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, thì kết quả làmột ước lượng gần đúng với số năm cần thiết để con sốban đầu tăng gấp đôi.

72/6 = 12 khoảng2028 thì thu nhập bìnhquân đầu người của

Việt Nam sẽ đạt 4.430 đô-la (từ mức 2.215

đô-la hiện nay).

72 chia cho 8 được 9. sẽ mất 9 năm đểtăng gấp đôi số tiềncủa bạn với lãi suấthằng năm là 8%.


Dòng tiền (chuỗi tiền tệ)

• Dòng tiền tệ (gọi tắt là dòng tiền) là một chuỗicác khoản tiền (thu nhập hoặc chi trả) xảy raqua một số thời kỳ nhất định

• Phân loại:

• - Dòng tiền đều

• - Dòng tiền không đều

58


Dòng tiền đều

• Khái niệm. Dòng tiền đều là dòng tiền bao gồm cáckhoản tiền bằng nhau được phân bố đều đặn theothời gian.

3 loại dòng tiền đều :• Dòng tiền đều thông thường (ordinary annuity) – xảy

ra vào cuối kỳ• Dòng tiền đều đầu kỳ (annuity due) – xảy ra vào đầu

kỳ• Dòng tiền đều vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ

và không bao giờ chấm dứt


Dòng tiền không đều

Dòng tiền không đều (mixed cash flows)

Dòng tiền không đều là dòng tiền bao gồm các

khoản tiền không bằng nhau phát sinh qua một

số thời kỳ nhất định.

60

14/09/2017

11


Giá trị tương lai của dòng tiền

• Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n nămchính là tổng giá trị tương lai của từng khoảntiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong nnăm.


Giá trị tương lai của dòng tiền

• Giá trị tương lai của một dòng tiền sau n năm chínhlà tổng giá trị tương lai của từng khoản tiền xảy ra ởtừng thời điểm khác nhau trong n năm.

• FVA( Future Value of Annuity) : Giá trị tương lai của

dòng tiền thông thường

• FVAD : Giá trị tương lai của dòng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dòng tiền (các khoản tiền cấu thành)

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn (thường là năm)

62


Giá trị tương lai dòng tiền đều

• Trường hợp cuối kỳ

1CF i

11

nCF i

2

1n

CF i

3

1n

CF i

1 1ni

FVA CFi


Ví dụ

• Một người muốn có số tiền học phí 35.000 USDcho con trai đi du học vào 4 năm sau thì anh taphải gửi tiết kiệm hàng năm một khoản cố địnhlà bao nhiêu? Biết lãi suất tiền gửi là 6%/năm.

64


Giá trị tương lai dòng tiền đều

• Trường hợp đầu kỳ

1CF i

1n

CF i

1

1n

CF i

2

1n

CF i

1 1

. 1 1

ni

FVAD FVA i CF ii


Giá trị hiện tại của dòng tiền• Giá trị hiện tại của dòng tiền là tổng giá trị hiện tại

của các khoản tiền cấu thành

• PVA( Present Value of Annuity): Giá trị hiện tại của

dòng tiền thông thường

• PVAD : Giá trị hiện tại của dòng tiền đầu kỳ

• CF (Cash Flow) : Dòng tiền cấu thành

• i : lãi suất yêu cầu

• n: kỳ hạn ( thường là năm)

66

14/09/2017

12


Ví dụ

• Một người quyết định dành tiền để mua mở nhàhàng sau 7 năm nữa. Hiện tại trong tài khoản ngườiđó đã có 30.000USD và người đó quyết định trongvòng 6 năm vào cuối mỗi năm sẽ tiết kiệm và gửi vàotài khoản số tiền 30.000USD. Nếu lãi suất tiết kiệm là7%/năm thì sau 7 năm người này có thể mở nhàhàng với số tiền tối đa là bao nhiêu?

71 1 1,07 11 30.000 1,07

0,07

ni

FVAD CF ii


Giá trị hiện tại của dòng tiền đều

a. Trường hợp cuối kỳ

b. Trường hợp đầu kỳ

c. Trường hợp dòng tiền vô hạn:

1 1n

iPVA CF

i

1PVAD PVA i

CFPVA

i

68


Ví dụ

• Tính giá trị của mộtthiết bị sản xuất nếunó được bán trả gópvới lãi suất 12%/nămvà thời gian là 5 năm,mỗi năm trả 50 triệuVNĐ. Biết rằng việctrả tiền được tiếnhành vào đầu năm.

• Giải

5

1

1 11

1 1,1250 1,12 201,867

0,12

n

PVAD PVA i

iCF i

i

69Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ

• Một trái phiếu vôhạn được trả lãicuối mỗi năm là 1triệu VNĐ, biết lãisuất bình quân là8%/năm. Hãy xácđịnh hiện giá củatrái phiếu ?

• Đ/S: 12,5 tr

70


Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ bất kỳ

FVA : giá trị tương lai của dòng tiền cuối kỳ

CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t

0

1n

n t

tt

FVA CF i

71

Tổng quát


Giá trị tương lai của dòng tiền không đều

• Công ty Nam Phong dự định mở rộng một phân xưởngsản xuất bánh kẹo. Công ty dự kiến đầu tư liên tụctrong 5 năm vào mỗi cuối năm lần lượt các khoản tiềnsau: 50 triệu VNĐ, 40 triệu VNĐ, 25 triệu VNĐ, 10 triệuVNĐ và 10 triệu VNĐ. Lãi suất là 10%/năm. Vậy tổnggiá trị đầu tư của công ty tính theo thời giá của nămthứ 5 là bao nhiêu ?

72

14/09/2017

13


Giá trị hiện tại chuỗi tiền tệ bất kỳ

PV : giá trị hiện tại của dòng tiền

CFt: giá trị của dòng tiền ở cuối kỳ t

n

t

t

t iCFPV0

1

73

Tổng quát


Bài tập

• Hiện tại, một người gửi vào ngân hàng sốtiền 10 triệu đồng, đầu năm thứ 3 tính từhiện tại người đó gửi vào ngân hàng tiếp sốtiền 20 triệu đồng. Cuối năm thứ 5 tính từnăm thứ 3, người đó lại tiếp tục gửi vào ngânhàng số tiền 25 triệu đồng. Nếu lãi suất là10%/năm thì hỏi sau bao lâu, tài khoảnngười đó có số tiền 200 triệu đồng?

74


Trả nợ dần – Trả góp

• Amortization

• Thanh toán khoản vay bao gồm khoản tiền đượcdùng để thanh toán lãi suất phát sinh trên khoảnvay cùng với số tiền gốc còn lại.

• Cùng với thời gian, phần lãi suất giảm khi số dưnợ giảm và khoản tiền gốc đã thanh toán tăng đểtrả hết nợ (trả dần) theo đúng thời gian đã định.


Trả nợ dần

• Từ công thức:

• Ta có:

• Công thức này gọi là công thức tính khoản tiềntrả nợ dần của một khoản tiền vay trong hiệntại và trả đều trong tương lai.

76

1 1n

iPVA CF

i

1 1n

iCF PVA

i


Ví dụ

• Giả sử bạn mua 01 ti vi giá 800$ và trả góptrong vòng 18 tháng với mức lãi suất là1,5%/tháng.

• A) Số tiền trả hàng tháng là??? (51,04$)

• B) Tổng số lãi trả là??? (118,72$)


Kế hoạch trả nợ dần

• Amortization Schedule

• Bảng kế hoạch thể hiện từng khoản thanh toáncho khoản vốn vay và khoản lãi suất trong toànbộ thời gian vay. Kế hoạch trả dần cũng thể hiệnkhoản dư nợ được giảm dần cho đến khi bằng0.

• Ví dụ. Giả sử bạn vay 500$ và đồng ý trả góptrong vòng 6 tháng với số tiền góp bằng nhau.Lãi suất là 1% mỗi tháng trên số tiền chưa trả.Hãy lập kế hoạch trả nợ dần cho khoản vay?

78

14/09/2017

14


Kế hoạch trả nợ dần

79

Sốlầntrả

Sốtiềntrả

Lãitức

Khấutrừdư nợ

Dưnợ


Ví dụ

• Lập bảng khấu hao cho khoản vay 1000$, trảgóp hàng tháng, trong vòng 6 tháng với lãi suất1,25%/tháng trên dư nợ.

80


Giá trị hiện tại ròng NPV

• Net Present Value

• NPV là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiềnsẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triểnkhai dự án.

(1 ) nNPV B i C


Định nghĩa 2

• Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riênglẻ sau khi đã chiết khấu, theo nghĩa trên.

• CI: cash in (luồng tiền thu về)• CO: cash out (luồng tiền chi)• n: số năm hoạt động của dự án• t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm

gốc

0

1n

t

t tt

NPV CI CO i

82


Định nghĩa 2

• Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riênglẻ sau khi đã chiết khấu, theo nghĩa trên.

• CF0: tiền đầu tư• CFi: tiền thu về năm thứ i• n: số năm hoạt động của dự án• t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm

gốc

1 2

0 2...

1 1 1

nn

CFCF CFNPV CF

i i i


Ví dụ

• Chọn dự án có NPV>0 và cao hơn.

• Mức lãi suất đang tính là bao nhiêu?

NămThu nhập hàng năm ($) Giá trị hiện tại ròng NPV ($)

Dự án A Dự án B Dự án A Dự án B

0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000

1 700 0 666,667 0

2 500 0 453,515 0

3 600 2.000 518,303 1.727,675

Tổng 800 1000 638,485 727,675

84

14/09/2017

15


Tỷ suất hoàn vốn nội bộ

• IRR – Internal rate of return (tỷ suất hoàn vốn

nội bộ): mức lãi suất mà dự án có thể đạt được

đảm bảo cho tổng các khoản thu của dự án cân

bằng với các khoản chi

lãi suất chiết khấu làm cho NPV = 0

n

t

t

t

n

t

t

t iCOiCI00

11


Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ

IRR có được bằng phương pháp thử sai như sau:

• - Tìm mức chiết khấu sao cho NPV nhỏ vàdương;

• - Tìm mức chiết khấu lớn hơn sao cho NPV nhỏvà âm

• - Sử dụng nội suy tuyến tính giữa hai giá trị trênđể tìm mức chiết khấu sao cho NPV=0

86



• Hãy tính IRR cho dự án sau:

• Hãy tính NPV với mức 5% và 10%

Thời gian 0 1 2 3 4

Dòng tiền -80 40 30 20 5



• Ta có:Thời gian Tổng dòng tiền PV (5%) PV (10%)

0 -80 -80 -80

1 40 38,095 36,364

2 30 27,211 24,793

3 20 17,277 15,026

4 5 4,114 3,415

NPV 6,697 -0,402

88



• Theo phương pháp nội suy ta có:

• Kết quả tính toán theo Excel: 10%

11 2 1

1 2

6,6975% 10% 5% 9,7%

6,697 0,402

NPVIRR R R R

NPV NPV

IRR



• Phươngphápnội suy

1R

1NPV

2NPV

2R

IRR

0

11 2 1

1 2

NPVIRR R R R

NPV NPV

90

1 1

2 1 1 2

IRR R NPV

R R NPV NPV

14/09/2017

16


Ví dụ

• Hãy xác định IRR của dự án sau:

• Sử dụng hàm IRR trong Excel

• Cú pháp: IRR(values, guess)

Thời gian 0 1 2 3

Dòng tiền -100 50 50 2011%


• Điều kiện chọn dự án: chọn IRR cao nhất hoặc

• Rmin là lãi suất đi vay nếu phải vay vốn đầu tư.

• Nếu IRR lớn hơn lãi suất chiết khấu (chi phí cơ hội) thì dự án đánggiá.

• Tỉ lệ hoàn vốn nội bộ càng cao thì khả năng thực thi dự án là càngcao. IRR còn được sử dụng để đo lường, sắp xếp các dự án có triểnvọng theo thứ tự, từ đó có thể dễ dàng hơn trong việc cân nhắc nênthực hiện dự án nào.

• Nói cách khác, IRR là tốc độ tăng trưởng mà một dự án có thể tạo rađược. Nếu giả định rằng tất cả các yếu tố khác của các dự án là nhưnhau thì dự án nào có tỉ suất hoàn vốn nội bộ cao nhất thì dự án đócó thể được ưu tiên thực hiện đầu tiên.

Tỷ suất hoàn vốn nội bộminIRR R

92


Bài tập

• Có hai phương án (A) mua máy photocopy và (B) thuêmáy photocopy. Hãy tính NPV, IRR của từng phương án.Từ đó quyết định xem nên mua hay thuê? Biết rằng đơn vịtính là triệu đồng.

93

(A) Mua

máy

(B) Thuê

máy

Thu nhập hàng năm (triệu/năm)

Đầu tư ban đầu (triệu)

Chi phí hàng năm (triệu/năm)

Giá trị còn lại (triệu)

Tuổi thọ (năm)

160

30

50

5

10

160

0

100

0

10

Suất thu lợi tối thiểu 20%/năm


1. Công ty bạn mua 1 máy photocopy giá 6000USD sửdụng trong 5 năm. Luồng tiền công ty thu được trong cácnăm như sau, lãi suất chiết khấu là 10%:

Hãy tính NPV?2. Tính giá trị hiện tại ròng của một dự án mà bạn bỏ vốnban đầu là 200 triệu VND. năm 1 bạn thu về 20 triệu VND,năm 2 bạn chi ra 50 triệu VND. Đến năm 3 bạn thu được100 triệu VND và năm 4 là 170 triệu VND. Với lãi suất là10%

BÀI TẬP NPV

94


BÀI TẬP NPV• 3. Bạn đang dự định đầu tư xây dựng trang trại mà có

thể chịu lỗ 55 triệu VND vào cuối năm thứ nhất, nhưngsau đó sẽ thu lại 95 triệu VND, 140 triệu VND, 185 triệuVND vào cuối năm thứ 2 thứ 3 thứ 4, và sẽ phải trả chiphí ban đầu là 250 triệu VND, với tỷ lệ lãi suất là 12%năm. Hãy đánh giá việc đầu tư này.

• 4. Bạn đánh giá thế nào về hai dự án sau:

• Dự án 1: bạn bỏ ra 200 triệu VND để nhận được 250triệu VND vào 2 năm sau

• Dự án 2: bạn bỏ ra 400 triệu VND để nhận được 500triệu vào 3 năm sau


• Bạn có một ngôi nhà hiện đang được định giá là 1 tỷ 2.Bạn đang muốn cho thuê trong dài hạn thì bạn sẽ chothuê bao nhiêu một năm với mức lãi yêu cầu của bạnlà 18%/năm. Với chi phí quản lý bạn bỏ ra là 6triệu/năm

• Đ/S: 222 triệu/năm

96

BÀI TẬP

14/09/2017

17


Bài tập 1,2

1. Một người thuê nhà $1000/năm, thuê trong 3 năm(trả vào cuối mỗi năm). Nhưng người cho thuê đòi lấytrước 1 lần. Vậy giá thương lượng nên là bao nhiêu,biết rằng lãi suất bình quân thị trường là 18%/năm

2. Bạn cho thuê nhà với giá là 6000$ /năm, thanh toánvào 01/01 hàng năm trong thời hạn 5 năm. Toàn bộtiền cho thuê được ký gửi vào ngân hàng với lãi suất6%/năm, trả lãi kép hàng năm. Sau 5 năm số tiền bạncó được cả gốc và lãi là bao nhiêu?


Bài tập 3,4

3. Công ty A có một khoản nợ 500 triệu phải trả sau 1năm. Hiện tại công ty A muốn trả nợ hàng tháng vớinhững khoản tiền bằng nhau. Nếu lãi suất là2%/tháng thì số tiền trả mỗi tháng là bao nhiêu?

4. Bạn dự định sửa nhà, ước tính 38 triệu. Mỗi thángbạn tích cóp được 2tr mang gửi vào ngân hàng vớilãi suất 1%/tháng. Biết bao giờ đủ số tiền 38 tr đểsửa nhà? (Bắt đầu gửi vào tháng tới)

98


Bài tập 5,6

• 5. Ngày 15/01/2012 bạn gửi vào tài khoản tiếtkiệm hưởng lãi 14%/năm số tiền 500 ngàn VND.Tương tự, vào 15/01 năm 2013, 2014, 2015, 2016và 2017 bạn cũng gửi vào tài khoản này 500 ngànVND. Hỏi vào này 15/01/2019 bạn có bao nhiêutiền trong tài khoản?

• 6. Bạn mua một laptop với hình thức trả góp. Theođó, bạn sẽ trả cho người bán 2 triệu VND mỗitháng trong vòng 1 năm, bắt đầu từ lúc mua. Hỏigiá của laptop này là bao nhiêu, với lãi suất trả góplúc này là 2%/tháng?


Bài tập 7,8

• 7. Bạn mua một chung cư với mục đích chothuê trong dài hạn. Bạn kỳ vọng có thể thuđược 120 triệu VNDmột năm. Vậy bạn sẵn sàngchi trả bao nhiêu để mua nó nếu mức lãi suấtyêu cầu của bạn là 18%/năm

• 8. Trong kế hoạch 5 năm tới của A, A sẽ gửi tiếtkiệm 5 triệu VND vào ngày 02/01 hàng năm vàotài khoản hưởng lãi 14%/năm. Hỏi cuối nămthứ 5 A có bao nhiêu tiền trong tài khoản?

100


Bài tập 9

• Giả sử, bây giờ là 01/01/2017, bạn gửi vào ngân hàng 50triệu VND với lãi suất 11% (lãi nhập gốc 1 năm 1 lần)

• a. Vào 01/01/2019 bạn có bao nhiêu tiền trong tàikhoản?

• b. Giả sử bạn gửi thành 5 lần là 10 triệu VND vào ngày01/01 các năm 2017, 2018, 2019, 2020 và 2021. Bạn sẽcó được bao nhiêu tiền trong tài khoản vào thời điểm01/01/2021? (lãi suất không đổi, không rút tiền trongsuốt thời gian trên)

• c. Để có được 100 triệu VND vào 01/01/2023 bạn phảigửi mỗi lần bao nhiêu tiền tại các thời điểm như câu b?


Trái phiếu

• Trái phiếu (bond) là công cụ nợ dài hạn dochính phủ hoặc công ty phát hành nhằm huyđộng vốn dài hạn.

• Là một chứng khoán có kỳ hạn từ 1 năm trở lêntrong đó chứng nhận người vay nợ một khoảntiền được xác định cụ thể cùng với các điềukhoản liên quan tới việc hoàn trả khoản tiềnnày và lãi trong tương lai.

102

14/09/2017

18


Trái phiếu


Trái phiếu• Mệnh giá trái phiếu (face or value): số tiền ghi trên trái

phiếu• Lãi suất trái phiếu (coupon rate): lãi suất mà trái phiếu

được hưởng• Ngày đáo hạn : Là ngày trái phiếu hết hạn, đến kỳ thanh

toán• Lãi suất huy động (kD) – suất coupon : Là lãi suất mà

công ty phát hành trái phiếu hứa thanh toán cho các tráichủ.

• Giá trái phiếu (Vb): là giá khi nhà đầu tư mua trái phiếu• Lãi suất thị trường (kDM): là mức lãi mà thị trường đòi

hỏi đối với một khoản vay cụ thể

104


Phân loại

• Trái phiếu chính phủ

• Trái phiếu doanh nghiệp


Rủi ro khi đầu tư trái phiếu

• Rủi ro lãi suất

• Rủi ro tái đầu tư

• Rủi ro tín dụng

• Rủi ro lạm phát

• Rủi ro tỷ giá

• Rủi ro thanh khoản

• Rủi ro thuế

106

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến107 Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

Trái phiếu thông thường

• Mệnh giá trái phiếu: M

• Lãi suất định kỳ cố định hàng năm: i

• Kỳ hạn (năm): n

• Trả lãi: 1 lần/năm vào cuối kỳ

• Trả nợ gốc: trả 1 lần bằng mệnh giá trái phiếu vàongày đáo hạn.

• Dòng tiền ra: V (số tiền bỏ ra mua trái phiếu)

• Dòng tiền vào:– Lãi vay: I=i.M

– Nợ gốc: M

108

14/09/2017

19


Trái phiếu thông thường

M=100.000

i=8,5%/năm

n=5

I=8.500

V=???

Phát hành:

21/10/2003

Đáo hạn:

21/20/2008


Trái phiếu• Trái phiếu kho bạc phát hành bởi kho bạc để tài trợ

cho thiếu hụt ngân sách của chính phủ

• Trái phiếu đô thị phát hành bởi chính quyền địaphương nhằm mục đích huy động vốn tài trợ cho ngânsách của chính quyền địa phương

110


Trái phiếu

• Trái phiếu vĩnh cửu (perpetual bond): là trái phiếucó lãi định kỳ nhưng không bao giờ đáo hạn

• Trái phiếu không hưởng lãi (non-coupon bond):bán rất thấp so với mệnh giá, còn gọi là trái phiếuchiết khấu. Khi đáo hạn, trái chủ được hoàn trả lạisố tiền bằng mệnh giá.

• Trái phiếu thông thường (trái phiếu có lãi trả hàngkỳ): Là loại trái phiếu mà trái chủ được trả lợi tứchàng kì đã ấn định trước và trả gốc (bằng mệnhgiá) khi đáo hạn.


Định giá trái phiếu

• Lãi suất trên thị trường của một khoản đầu tưcùng rủi ro và kỳ hạn như trái phiếu là kd.

• Nhà đầu tư vào trái phiếu sẽ yêu cầu trái phiếucó suất sinh lợi tối thiểu là kd vì đó là mức màhọ có được nếu đi đầu tư trên thị trường.

• Giá trái phiếu được định ở mức bằng với giá trịhiện tại của toàn bộ thu nhập nhận được từ tráiphiếu trả trong tương lai với suất chiết khấu làkd.

112



• Giá trị của trái phiếu được xác định bằng cách xác địnhgiá trị hiện tại của toàn bộ thu nhập nhận được trongthời hạn hiệu lực của trái phiếu.

• Nguyên tắc: Giá trị của trái phiếu được xác định bằnggiá trị hiện tại của toàn bộ thu nhập mà trái phiếu nàymang lại.


• Giá trị của loại trái phiếu này được xác định bằng

giá trị hiện tại của dòng tiền vô hạn mà trái phiếu

này mang lại.

• Gọi:

• V: giá của trái phiếu

• I: mức lãi cố định được hưởng mãi

• kd: tỷ suất lợi nhuận theo yêu cầu của nhà đầu tư.

d

I

kV

Định giá trái phiếu không có thời hạn

114

14/09/2017

20


Giả sử bạn mua một trái phiếu được hưởng lãi 50 $ một

năm trong khoảng thời gian vô hạn. Bạn đòi hỏi tỷ suất lợi

nhuận đầu tư là 12%.

Hiện giá của trái phiếu này sẽ là:

Ví dụ

50

416,67 $12%d

I

kV


Chính phủ Anh phát hành trái phiếu vô hạn có mệnh giá

1.000 bảng Anh. Lãi suất huy động 12%/năm. Nếu lãi suất

theo yêu cầu của nhà đầu tư là 10%/năm thì giá trái phiếu

này được bán trên thị trường là bao nhiêu ?

Chú ý: Lãi I = Mệnh giá x lãi suất.

Ví dụ

1000.12%1.200

10%d

I

kV

116


ĐG trái phiếu có kỳ hạn, hưởng lãi hàng kỳ

2 1...

1 1 1 1 1n n n

I I I I M

i i i i iV

I: lãi cố định được hưởng từ trái phiếu

V: giá của trái phiếu

i: lãi suất của trái phiếu

kd: tỷ suất lợi nhuận yêu cầu của nhà đầu tư

M: mệnh giá trên trái phiếu

n: số năm cho đến khi đáo hạn


Ví dụ

2 9 9

1.000.000 10$ 100.000

100.000 100.000 100.000 1.000.000...

1 0,12 1 0,12 1 0,12 1 0,12

893.800( )

I

V VND

V

• Bạn cần quyết giá của một trái phiếu mệnh giá 1 triệu

đồng, được hưởng lãi suất 10% trong thời hạn 9 năm

trong khi nhà đầu tư đòi hỏi tỷ suất lợi nhuận là

12%/năm. Ta có:

118


Ví dụ

• Giá 893,8 ngàn đồng là giá trị lý thuyết của trái phiếu

(tức là giá trị ta có được khi áp dụng mô hình định giá)

• Nếu trên thị trường giá trái phiếu cao hơn mức này thì

ta nên bán trái phiếu.

• Nếu trên thị trường giá trái phiếu thấp hơn mức này

thì ta nên mua trái phiếu. Giả sử có nhiều người định

giá và quyết định như bạn thì kết quả là trái phiếu lên

giá. Khi đó ta lại bán và kiếm lợi nhuận kỳ vọng.


Định giá trái phiếu khi phát hành

• Suất sinh lợi của nhà

đầu tư cao hơn 2,25%

so với lợi suất trái phiếu

chính phủ cùng kỳ hạn

• Lợi suất trái phiếu chính

phủ kỳ hạn 5 năm vào

ngày 20/9/2007:

8%/năm

120

1.001.880.000V VND

14/09/2017

21


Một doanh nghiệp cổ phần phát hành ra trái phiếu có mệnh

giá 1.000.000 đồng, thời hạn 5 năm và lãi suất huy động là

12%/năm, mỗi năm trả lãi 1 lần nhưng trái phiếu đã phát

hành cách đây 2 năm nên thời hạn còn lại của trái phiếu là 3

năm. Xác định giá bán của trái phiếu trên thị trường, nếu lãi

suất theo thị trường là 10%.

Ví dụ

D/S: 1.049.728V


• Trái phiếu không hưởng lãi định kỳ

• Được bán thấp hơn mệnh giá

• Trong đó:

• M: mệnh giá

• kd: tỷ suất lợi nhuận yêu cầu của nhà đầu tư

• V: giá của trái phiếu

Định giá trái phiếu chiết khấu

1n

d

MV

k

122


Ngân hàng BIDV phát hành trái phiếu không trả lãi có

thời hạn 10 năm và mệnh giá 1 triệu đồng. Nếu tỷ suất

lợi nhuận đòi hỏi của nhà đầu tư là 12% thì giá bán của

trái phiếu này là:

Nhà đầu tư bỏ ra khoảng 322 ngàn đồng và không

hưởng lãi trong 10 năm. Nhưng bù lại khi đáo hạn (10

năm sau) nhà đầu tư thu về 1 triệu đồng.

Ví dụ

10

1.000.000321.973 ( )

1 0,12V VND


Thông thường trái phiếu được trả lãi hàng năm 1 lần.

Nhưng đôi khi có trái phiếu trả lãi theo định kỳ nửa năm

một lần (tức là mỗi năm trả lãi hai lần), hoặc những trường

hợp khác.

Ta có công thức sau

ĐG trái phiếu trả lãi nhiều lần trong năm

.

.1

.

1 1

n m

t n mt d d

iM

MmVk k

m m

124


• Trường hợp một năm trả lãi hai lần ta có:

• Chú ý.

• Nếu trả 2 lần trong năm thì lãi giảm đi một nửa và số kỳ

tăng gấp 2. Công thức như cũ.

• Tương tự nếu trả m lần trong năm.

ĐG trái phiếu trả lãi nhiều lần trong năm

2 2

2 21 1

./ 2 2

1 1 1 12 2 2 2

n n

t n t nt td d d d

iM

I M MV

k k k k


Hãy định giá của trái phiếu có mệnh giá là 1000$, lãi suất

huy động vốn là 8%/năm, thanh toán lãi nửa năm một

lần. Trái phiếu đáo hạn trong 6 năm. Giả sử lãi suất thị

trường tại thời điểm phát hành trái phiếu là 10%.

Đáp số: khoảng 911 ($)

Ví dụ

126

14/09/2017

22


Trái phiếu được công ty U.S.B Corporation phát hành

mệnh giá 1 triệu đồng, kỳ hạn 12 năm, trả lãi theo định

kỳ nửa năm với lãi suất 10% và nhà đầu tư mong có tỷ

suất lợi nhuận 14% khi mua trái phiếu này. Giá bán loại

trái phiếu này là bao nhiêu.

Đáp số: khoảng 770,450 ngàn đồng

Ví dụ


Lưu ý : Chúng ta không những có thể định giá trái phiếu tại thời

điểm hiện tại mà còn có thể định giá ở bất cứ thời điểm nào trong

thời gian hoạt động của trái phiếu.

Ví dụ: Một trái phiếu có mệnh giá 1 triệu đồng, đáo hạn sau 5

năm lãnh lãi định kỳ 1 lần/năm. Lãi suất huy động vốn là

10%/năm. Lãi suất thị trường tại thời điểm phát hành trái phiếu là

10%. Sau 2 năm phát hành, lãi suất thị trường vốn biến động

mạnh, giảm chỉ còn 8% và giữ nguyên không đổi cho tới kỳ đáo

hạn. Hãy tính giá trái phiếu tại thời điểm lãi suất thị trường biến

động (t=2) và tại thời điểm t = 0?


128


Trái phiếu – Định giá

0 ?V 2 ?V

2 01,056 1,0462V V • Đáp án:


Một trái phiếu có mệnh giá 1.500.000đ, lãi suất huy động

12%/năm, đáo hạn trong 12 năm. Trái phiếu này đã lưu

hành 2 năm.

Hiện nay, lãi suất thị trường là 7%/năm. Tuy nhiên theo dự

báo của các chuyên gia, lãi suất thị trường sau 3 năm nữa

sẽ có sự biến động lớn, tăng lên 12%/năm và sự thay đổi

này duy trì trong 2 năm và sẽ ổn định ở mức 8%/năm cho

các năm tiếp theo.

Tính giá trái phiếu năm hiện tại?

Ví dụ

130


• Ta có sơ đồ sau:

Ví dụ

5

5

1 1 , 0 8 1 . 5 0 01 8 0

1 , 0 8 1 , 0 8

1.739,561.690,981.852,72


• Giá trái phiếu phụ thuộc các biến sau:

– I: lãi cố định được hưởng từ trái phiếu

– kd: tỷ suất lợi nhuận yêu cầu của nhà đầu tư

– M: mệnh giá trái phiếu

– n: số năm cho đến khi đáo hạn

• Nhận xét:

• I và M không đổi sau khi trái phiếu được phát hành

• kd và n thường xuyên thay đổi theo thời gian và thị

trường

Phân tích biến động giá trái phiếu

132

14/09/2017

23


Phân tích biến động giá trái phiếu

• Khi lãi suất thị trường bằng lãi suất trái phiếu thì giá trái

phiếu bằng mệnh giá của nó.

• Khi lãi suất thị trường thấp hơn lãi suất trái phiếu thì giá

trái phiếu cao hơn mệnh giá của nó.

• Khi lãi suất thị trường cao hơn lãi suất trái phiếu thì giá

trái phiếu thấp hơn mệnh giá của nó.

• Lãi suất tăng thì giá trái phiếu giảm và ngược lại

• Giá trái phiếu tiến dần đến mệnh giá của nó khi thời

gian tiến dần đến ngày đáo hạn


Giá trái phiếu nghịch biến với lãi suất thị trường

• Nếu nhà đầu tư bỏ ra V để đầu tư và giữ trái phiếu cho

đến khi đáo hạn thì tỷ suất lợi nhuận mà nhà đầu tư

được hưởng bằng đúng lợi suất đến khi đáo hạn YTM

• Nói cách khác,nhà đầu tư chấp nhận giá V nếu suất sinh

lợi yêu cầu của họ khi đầu tư vào trái phiếu bằng YTM

• Khi lãi suất thị trường tăng nhà đầu tư yêu cầu suất sinh

lợi cao hơngiá trái phiếu giảm

• Khi lãi suất thị trường giảm nhà đầu tư sẽ yêu cầu suất

sinh ợi thấm hơn giá trái phiếu tăng

134

Documents

CHƯƠNG1 Dãysố TOÁN CHO TÀI CHÍNH · 14/09/2017 1 BàigiảngToáncaocấp1 NguyễnVănTiến TOÁN CHO TÀI CHÍNH CHƯƠNG1 1 BàigiảngToáncaocấp1 NguyễnVănTiến