CHƯƠNG 5BIẾN ĐỔI LAPALCE VỚI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

NGÔ ĐỨC HÒANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC QuỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

CÁC BƯỚC DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GiẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Bước 1: Lấy biến đổi Laplace tất cả các số hạng có mặt trong phương trình vi phân tuyến tính, nhằm chuyển phương trình đã cho từ miền t sang phương trình đại số miền s.

Bước 2: Giải phương trình đại số để được biến đổi Laplace của hàm cần tìm.

Bước 3: Lấy biến đổi Laplace ngược của kết quả bước 2 để được nghiệm của phương trình vi phân.

Bài tập 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng sau:

2

'2 3 6 0, 0 0, 0 3

d x dxx x x

dt dt

Bước 1: Lấy biến đổi Laplace 2 vế của phương trình, lưu ý:

2

2 ' 22L 0 0 3

d xs X s sx x s X s

dt

L 0dx

sX s x sX sdt

Suy ra,

2 3 3 6 0s X s sX s X s

Bước 2: Giải phương trình đại số để tìm biểu thức X(s)

22

33 6 3

3 6s s X s X s

s s

CÁC BƯỚC DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GiẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Suy ra,

326 15

sin215

tx t e t u t

2 22 22

153 3 6 2

9 15 153 15 3 1534 4 2 2 2 2

X ss s s s

Bước 3: Lấy biến đổi Laplace ngược của X(s)

CÁC BƯỚC DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GiẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

MATLAB VỚI VIỆC GiẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Trong Symbolic Math Toolbox của MATLAB có lệnh dsolve dùng để giải hệ phương trình vi phân thường.Cú pháp:dsolve(‘eq1,eq2,…’ , ‘cond1,cond2,…’ , ‘v’)

dsolve(‘eq1’,’eq2’,…,’cond1’,’cond2’,…,’v’)

Các phương trình eq1, eq2,… là các phương trình vi phân thường cần giải.

cond1, cond2, … là các điều kiện đầu.

Mặc định, biến độc lập là t. Nếu muốn khai báo biến độc lập là v chẳng hạn thì phải có ‘v’ ở cuối cùng.

Để biểu diễn đạo hàm bậc hai của hàm f thì dùng ký hiệu D2f, đạo hàm bậc nhất của hàm f thì dùng ký hiệu Df…

MATLAB VỚI VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Ví dụ để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng ở bài tập 1, ta dùng lệnh sau:

>> dsolve('D2x+3*Dx+6*x=0','x(0)=0','Dx(0)=3')ans = 2/5*15^(1/2)*exp(-3/2*t)*sin(1/2*15^(1/2)*t)

Lưu ý:Không có gì khẳng định lệnh dsolve của MATLAB dùng phương pháp biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thường.

Bài tập 2:

Giải phương trình vi phân:(3) 3 3 1, (0) (0) (0) 0y y y y y y y

Lấy biến đổi Laplace cả 2 vế, rồi giải phương trình đại số ,

3 2 1 43 3 2

33 13

32 13

1

2

1

1( )

( 1) ( 1) ( 1) 1

1[ ( 1) ] 1

( 1)

1 1[ ( 1) ] [ ( )]

( 1)

( ) 1

s

s

s

s

b b b cY s

s s s s s s

b ss s

d db s

ds s s ds s

s

Dùng MATLAB:

31

1

30

3 2

2

1(2 ) 1

2!

11

( 1)

1 1 1 1( )

( 1) ( 1) 1

1( ) 1

2

s

s

t t t

b s

c ss s

Y ss s s s

y t t e te e

>> dsolve('D3y+3*D2y+3*Dy+y=1','y(0)=0','Dy(0)=0','D2y(0)=0') ans = 1-exp(-t)-exp(-t)*t-1/2*exp(-t)*t^2

GIẢI HỆ PHUƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THƯỜNG

Bài tập 3:

Giải hệ phương trình vi phân :,

,

3 0

0

x x y

y x y

thỏa 0 1; 0 1x y

Lấy biến đổi Laplace của các vế của hệ:

2

2

23 1

1 1 4

2

sX s

ss X s Y s

X s s Y s sY s

s

GIẢI HỆ PHUƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THƯỜNG

Lấy biến đổi Laplace ngược,

2 2

2 2 2

2 2 1 222 2

2 1 2t t t

sX s

ss s

x t e te u t t e u t

2 2

2 2 2

2 2 1 222 2

2 1 2t t t

sY s

ss s

y t e te u t t e u t